函数应用题解题策略论文

函数应用题解题策略论文（共12篇）

函数应用题解题策略论文 篇1

解题思路对于数学题而言是必不可少的环节,是解答出数学题的重要部分. 只有明确理出数学的解题思路, 才能够为数学题的解决提供条件. 每种数学题的解题思路会随着题型的不同而发生变化,对于初中数学中的函数应用题,解题思路是构成函数数学题的重要部分,初中的函数类型为一次函数、二次函数以及反比例函数,对这种类型题先明确其解题思路是关键问题.

一、明确理解函数应用题的立意

明确理解函数应用题的立意是解出函数应用题的重要前提. 在解题之前,应当对函数题目进行反复的推敲,能够正确读懂立意,才不会因为理解偏题而导致错误的解析,严重影响解题效率和解题质量. 因此,在解初中函数应用题时,应当仔细阅读题目要求,因为根据应用题的特性,题目会比较长,容易模糊学生的解题思路,因此,应当正确审题,明确题目立意. 我们根据苏科版教材中的函数应用题进行了研究与分析.

例题1某服装销售部门,一款衣服的进价为150元,当这件衣服的销售价为200元时,平均每个月能够售出20件,销售额每降低5元,每个月会多售出10件,设每件衣服的降价为x元,每件衣服的利润为y元,列出相应的函数关系式.

(1)如上题所示 ,首先明确题目的立意 ,是让求每件衣服的降价和利润之间的关系, 根据这个要求我们可以得出:利润 = 销售价 - 降价 - 进价;

(2)根据这个公式我们可以出相关的x与y的函数关系式:y = 200 - x - 150 = -x + 50如果在商家不存在亏损的情况下x的取值为0≥x≥50.

二、重视函数基础内容的运用

函数的数学基础是解出函数数学题的基本保证. 由于初中函数应用题考察的内容偏向于基础知识,都是对基础知识的整合与深入,在扎实掌握初中数学函数的基础知识的基础上,进行函数应用题的解析,会感觉题目的难度系数并不是很高,重点考察学生的函数基础知识.

例如,在例题1中,如果是求平均每个月该服装的销售利润问题和最值问题, 则是对基础知识的进一步整合. 设该款衣服平均每个月的销售利润为m元,求m与x之间的函数关系式以及x取何值时,平均每个月的销售利润最大.

(1)根据题意 ,我们首先应当求列出销售量的关系式为 :

(2) 有例题1可知 ,Y = -x + 50, 那么m = (-x + 50)

(3)关于求最值的问题 ,可以利用完全平方公式来求得 ,m = -2x2+ 80x + 1000 = -2(x - 20)2+ 1800. 当x = 20时 ,衣服的定价为200 - x = 180元,平均每个月的最大利润是1800元.

以上的题目就是对函数基础内容的考察,一个是最值问题,一个是函数的完全平方公式,函数应用题是各种函数基础知识的叠加,应当注重函数学习的基本功,让学生能够明确解题思路.

三、加强函数之间内容的联系

数学题中各个概念是相互联系的,应当注重内容的相互联系,将内容进行整合,有利于数学知识的系统性学习. 数学的函数之间知识的连贯性很强, 尤其是在函数应用题中,重视对函数综合能力的考察,涉及的内容很全面,将不同次项的函数以及最值问题进行综合考察,是现代函数应用题普遍存在的特点. 目前, 初中数学函数应用题都是综合性很强的题目,重视对函数知识的整合,对解题思路的构建具有重要意义.

例题2如图所示,已知抛物线y =ax2- 5ax + 4a交于x轴的A、B两点 ,其中,C点的坐标为(5,4),求a值和顶点P的坐标.

(1) 如图所示 , 已知C点的坐标(5 ,4 ) , 将点的坐标代入抛物线方程中能够求得a = 1. 由图所示,a > 0,因此,a = 1;

(2)由于a = 1,所以可以得出y = x2- 5x + 4,根据题意可知该抛物线交于x轴,可以得出A(x1,0),B(x2,0), 然后可以计算出x1和x2的值,x1= 1,x2= 4;

(3)由于P点是抛物线的顶点 ,P点的横坐标是A、B两点横坐标的中点,得出P的横坐标为2.5,将横坐标数据代入到抛物线方程中,得出P点的坐标为(2.5,-2.25).

以上这个题目既考查到了函数问题,同时还包括抛物线的坐标问题、顶点问题、系数问题,其中涉及的问题很多,内容之间存在着一定的联系,是构建解题思路的关键,应当重视对所学函数内容的整合,加强内容上的联想,对形成解题思路具有重要意义.

结束语

随着新课程的改革,函数在初中数学中占有的比重越来越大, 是初中数学课程的重点和难点. 函数应用题是函数问题的升级题目,是对函数问题的综合考验,将一次函数、二次函数以及反比例函数进行考验,因此,明确函数题型的解题思路成为杰出函数应用题的关键. 因此,教师应在教学过程中注重对学生解题思路的锻炼,为解出函数应用题奠定基础.

摘要：初中数学是学生数学学习的重要阶段,也是打下坚实根基的决定性阶段.在初中数学课程中,函数占据了很大的份额,是初中数学的主要内容之一.初中数学中的函数应用题是函数的主要类型题,针对这种题型,应当明确应用题的解题思路,对每一步解题思路都能够联想到其理论内容,对于数学函数应用题来说具有重要意义.本文就初中数学函数应用题的解题策略进行了分析与探究.

关键词：初中数学,函数应用题,解题思路策略

函数应用题解题策略论文 篇2

主要内容：本文主要从八个方面来阐述学生在解答分数应用题的出现的错误，究其原因进行深刻剖析，从而提出解题策略，不断提高学生的解决问题的能力。

关键词：错误原因 解题策略 提高能力

在《数学新课程标准》实施的日常课堂教学中，学生在解答分数应用题时，经常会出现这样或那样的错误。分析造成这些错误的原因，提出相应的对策，有利于帮助学生防错，提高解答分数应用题的能力。

一、把抽象的分率当成具体数量。

例1：一块花布长10米，剪去3/5又3/5米，还剩多少米？

错解：10-3/5-3/5=8.8(米)

产生以上错误的原因是:把抽象的分率“3/5”当成具体数量“3/5米”。“3/5”与“3/5米”表示的实际意义并不相同。“3/5”是指“10米的3/5”，它表示10×3/5=6(米)；“3/5米”是指实际数量。正确解法为：10-10×3/5-3/5=3.4(米)或10-(10×3/5+3/5)=3.4(米)。为了防止学生出现这样的错误，教师应帮助他们弄清一个分数不带单位时，表示相对意义，它是由单位“1”的大小决定的；一个分数带上单位后，就表示一个具体数量，具有绝对意义，它的大小是不能改变的。

二、把具体数量当成抽象的分率。

例2：一件工作，单独做，甲要1/5小时，乙要1/4小时。今甲、乙二人同时合做，多少小时可以做完？

错解：1÷(1/5+1/4)=2 2/9(小时)

出现这种错误解法，是学生被常见的分数工作效率所干扰，因而误认为分数表示的工作时间是工作效率。甲的工作效率应为（1÷1/5），乙的工作效率应为（1÷1/4）。正确解法为：1÷（1÷1/51÷1/4）=1/9（小时）。为了避免解题错误，教师要帮助学生认真审题，弄清工程问题的数量关系，预防工作时间与工作效率混淆。

三、对某些数量关系一知半解。

例3：车站有45吨货物，用甲汽车10小时可以运完，用乙汽车15小时可以运完。用两辆汽车同时运货，多少小时可以运完？

错解：45÷（1/101/15）=270（小时）

以上解法，表现出对工程问题的数量关系一知半解，将具体的工作总量与抽象的工作效率建立了关系。正确解法为：1÷（1/101/15）=6（小时）或45÷（45÷1045÷15）=6（小时）。为了预防错误，教师应让学生理解，工程问题中具体的工作总量应与具体的工作效率建立数量关系，或者是抽象的工作总量“1”应与抽象的工作效率（几分之几）建立数量关系。

四、数量与分率不对应。

例4：小明看一本故事书，第一天看40页，第二天看50页，还剩下1/3没有看，这本故事书有多少页？错解：（40+50）÷1/3=270（页）。解错上题的原因是没有认准已知数量的.对应分率，误认为两天看这本书页数的和与“1/3”直接对应，实际上两天看这本书页数的和与“（1－1/3）”对应。正确解法为：（40+50）÷（1－1/3）=135（页）。解这类应用题时，教师应告诉学生，不能随便将已知数量与分率建立关系，一定要注意对应。分数应用题中，有时已知数量是明显的，对应分率是隐藏的，这时就要设法找出隐藏的分率，再解题。

五、没有统一单位“1”。

例5：一辆汽车从甲地开往乙地，上午行了全路程的1/4，下午行了余下路程的1/4，还剩360千米没有行，甲地到乙地的路程是多少千米？错解：360÷（1－1/4－1/4）=720（千米）。解错本题的原因是没有统一单位“1”。题中的两个分数虽然相同，但它们的单位“1”不同，因此这两个分数所表示的实际意义也不相同。第一个1/4是对全路程而言的，第二个1/4是对余下路程而言的，所以应该把“下午行了余下路程的1/4”转化为全路程的（1－1/4）1/4=3/16。这样统一了单位“1”，就能得出正确解法为：360÷[1－1/4－（1－1/4）1/4]=640（千米）。解答这道题时，一定要引导学生仔细观察题目，认真审题，分清不同单位“1”的分数，并在解题时要注意先统一单位“1”，然后再计算。

六、弄错单位“1”的量。

例6：李大伯栽梨树240棵，比栽的苹果树多1/4，比苹果树多栽多少棵？错解：2401/4=60（棵）。这道题解错的原因是把梨树的棵数看作单位“1”，而实际上是苹果树的棵数为单位“1”的量。要求梨树比苹果树多栽多少棵，必须知道苹果树栽了多少棵。苹果树的棵数被看作单位“1”的量，梨树棵数相当于苹果树的（1+1/4），换句话说，苹果树棵数的（1+1/4）就是梨树棵数240棵。根据这一等量关系，正确解法为：设苹果树栽了X棵，X（1+1/4）=240，X=192，240－192=48（棵）。为了防止学生出现这样的错误，教师要帮助他们弄清题中被比较的量（单位“1”的量）。单位“1”的量，有时在题目中是明显的，有时要从题意去理解。

七、类推整数应用题的解题方法。

例7：一种彩色印花巾，原价每条16元，提价1/10后又降价1/10，现在每条售价多少元？错解：16（1+1/10－1/10）=16（元）。在整数应用题中，增加了一个数量，要求增加后的数量是多少，用加法；减少了一个数量，要求减少后的数量是多少，用减法。解本题时，学生类推了整数应用题的解题方法，因而造成错误。解这类应用题时，教师要帮助学生弄清，解分数应用题与解整数应用题的意义不同，解题方法也就不同。

八、受思维定势影响。

抽象函数定义域的解题策略 篇3

【关键词】抽象函数 定义域 解题策略

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。在函数的三要素——定义域、值域和对应法则中，定义域和对应法则是函数的核心，而定义域又是研究函数的先决条件，对函数的学习和研究必须建立在定义域的基础上，因此，求解函数的定义域是研究函数问题中一项重要内容[1]。

但在求函数定义域的问题中，抽象函数的定义域求解成为多数学生难以理解并且无从下手的一类题目。抽象函数是指没有明确给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的一类函数，正是由于其抽象性常常让学生感到迷惑。

对于求解抽象函数的定义域，只需要理解下面两句话，所有问题都可以迎刃而解。

（1）函数定义域是指自变量的取值范围。

（2）函数三要素中，相同对应法则的作用范围相同。

第一句话意味着无论是函数，，，给出函数的定义域，即是给出的取值范围。第二句话意味着对于两个函数和，在同一个对应法则的作用下，的取值范围与的取值范围是相同的，两者等价，也就是说，两个函数的值域相同（并不表示定义域相同）。

根据该解题策略，下面结合具体实例分析抽象函数定义域问题的四种题型及解题方法。

1 已知的定义域，求的定义域

解题方法：根据第二句话，相同对应法则作用范围相同，意味着的取值范围与的取值范围相同，两者等价。再根据第一句话，求的定义域，就是求的取值范围，则问题化为，根据的取值范围求的取值范围，即为的定义域。

例如，若的定义域为，即，则等价于中，从中解得，即的定义域为。

例1：已知函数的定义域为[1，4]，求函数的定义域。

解：已知的定义域为[1，4]，即中，

，解得，

∴函数的定义域为[-1，0]。

2 已知的定义域，求的定义域

解题方法：根据相同对应法则作用范围相同，意味着的取值范围与的取值范围相同，两者等价。再根据第一句话，已知的定义域，就是已知的取值范围，则问题化为，根据的取值范围求的取值范围，即为的定义域。

例如，若的定义域为，即，可确定的取值范围，则等价于中，即的定义域为。

例2：已知函数的定义域为[-l，2），求函数的定义域。

解：已知的定义域为[-l，2），即，

，即等价于中，

∴函数的定义域为[3，9）。

3 已知的定义域，求的定义域

题型3本质上为题型1和题型2的综合。

解题方法：根据第一句话，已知的定义域，就是已知的取值范围，根据的取值范围可确定的取值范围。再根据第二句话相同对应法则作用范围相同，意味着的取值范围与的取值范围相同，两者等价，则问题化为，根据的取值范围求的取值范围，即为的定义域。

例如，若的定义域为，即，可确定的取值范围，则等价于中，再根据的取值范围求得，即的定义域为。

例3：已知函数的定义域为[-1，1]，求函数的定义域。

解：已知的定义域为[-l，1]，即

，即等价于，

解得中，∴函数的定义域为。

4 已知的定义域，求运算型抽象函数的定义域

运算型的抽象函数是指由有限个抽象函数经四则运算得到的函数，如，等。

解题方法：先根据题型1求出各个函数，的定义域，然后再求其交集。

例如，若的定义域为，即，则等价于中和中，分别解得的取值范围，其交集即为所求定义域。

例4：若的定義域为[-5，3]，求函数和的定义域。

解：由的定义域为[-5，3]，即中，

则中有，解得，

取交集得，∴函数的定义域为。

同理，的定义域也为。

总之，抽象函数定义域的求解问题一定要从本质上弄明白，理解函数的定义域和对应法则，清楚解题策略，进而根据对应法则下的等价转化，利用不等式知识解决问题。

【参考文献】

抽象函数解题策略剖析 篇4

一、一次型抽象函数

f (x+y) =f (x) +f (y) (x, y∈R) 对应具体函数模型f (x) =kx (k为常数)

f (x+y) =f (x) +f (y) +b (x, y∈R) 对应具体函数模型f (x) =kx-b (k, b为常数)

例1:f (x) 是定义在R上的奇函数, 且满足如下两个条件。

1) 对于任意的x, y∈R, 有f (x+y) =f (x) +f (y)

2) 当x>0时f (x) <0且f (1) =-2

求函数f (x) 在[-3, 3]上的最大值和最小值。

分析:由关系式f (x+y) =f (x) +f (y) , 可知此函数为f (x) =kx型, 而由x>0时f (x) <0知f (x) 必为减函数, 所以本题应先考虑利用已知条件确定f (x) 在[-3, 3]上的单调性, 从而再由已知条件f (1) =-2求解最值。

解:设x1

∴f (x2) -f (x1) =f (x2-x1) 。

又∵x10而x>0时f (x) <0。

∴f (x2-x1) <0即f (x2) -f (x1) <0, ∴f (x2)

∴f (x) 在x∈R上是减函数

∴fmin (x) =f (3) =f (1+2) =f (1) +f (2) =f (1) +f (1+1) =3f (1) =-6。

fmax (x) =f (-3) =-f (3) =6。

例2:函数f (x) 对任意的a, b∈R都有f (a+b) =f (a) +f (b) -1, 并且当x>0时f (x) >1。

1) 求证:f (x) 是R上的增函数;

2) 若f (4) =5解不等式f (3m2-m-2) <3。

分析:由关系式f (x+y) =f (x) +f (y) +b, 可联想一次函数f (x) =kx+b, 由x>0时f (x) >0可知该函数必为增函数, 再由f (4) =5可分析f (2) =3。

解:1) 设x1

由f (a+b) =f (a) +f (b) -1可知f (a+b) -f (a) =f (b) -1,

∴f (x2) -f (x1) =f (x2-x1) -1∵x>0时f (x) >1

而x2>x1∴x2-x1>0∴f (x2-x1) >1∴f (x2-x1) -1>0

即f (x2) >f (x1) , ∴f (x) 是R上的增函数。

2) 由f (4) =5可得f (4) =f (2) +f (2) -1

∴f (2) =3。

∴f (3m2-m-2) <3=f (2) , ∵f (x) 为增函数。

∴3m2-m-2<2, 得-1

评注:对于抽象函数, 往往是通过研究函数单调性确定其最值的。

二、指数型抽象函数

f (x+y) =f (x) ·f (y)

其中f (y) ≠0 (x, y∈R) 对应具体函数模型f (x) =ax (a>0且a≠1) 。

例3:已知函数f (x) 定义域为R, 且对任意x, y总有f (x+y) =f (x) ·f (y) , 且当x>0时, 0

1) 求证f (0) =1且当x<0时f (x) >1;

2) 求证f (x) 是R上的减函数。

分析:由关系式f (x+y) =f (x) ·f (y) , 可知此函数为指函数而由x>0时0

证明:1) 由f (x+y) =f (x) ·f (y) ,

令x=1, y=0得f (1) =f (1) ·f (0) ∵x>0时0

∴f (0) =1。

令x<0则-x>0, ∴0

∴f (x) =1f (-x) >1, 即x<0时f (x) >1。

2) 设x10且0

由f (x+y) =f (x) ·f (y) 得f (fx (+x) y) =f (y) ,

∴f (x2)

∴f (x) 是R上减函数。

评注:本题解题中应注意整体思想的应用。

三、对数型抽象函数

f (x) +f (y) =f (xy)

f (x) -f (y) =f (x/y) (其中x, y∈R+) 对应的具体函数模型f (x) =logax (a>0且a≠1)

例4:已知函数f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数且满足对于任意正实数x, y都有f (xy) =f (x) +f (y) , 且f (2) =1:

1) 求f (8) 的值;

2) 解不等式f (x) -f (x-2) >3。

解:1) 令x=2, y=2则f (4) =2f (2) ∵f (2) =1,

∴f (4) =2。

再令x=4, y=2, 则f (8) =f (4) +f (2) =3。

2) 由f (x) -f (x-2) >3=f (8) , 可知x>0, x-2>0,

f (x) >f (8) +f (x-2) ,

f (x) >f[8 (x-2) ],

∵f (x) 为增函数∴x>0, x-2>0, x>8 (x-2) , 得到2

评注:解对数型的抽象函数是一定要注意定义域的范围。

四、三角函数型抽象函数

) ) 中:1±f (x) f (y) ≠0)

对应具体函数模型f (x) =tanx (x≠π/2+kπ, k∈z)

f (x) f (y) =1/2[f (x+y) +f (x-y) ], 对应具体函数模型y=cosx。

例5:已知函数f (x) 满足f (x+y) +f (x-y) =2f (x) f (y) (x, y∈R且f (0) ≠0) 。

求证:f (x) 为偶函数。

证明:令x=y=0, 有f (0) +f (0) =2f (0) ·f (0) ,

又∵f (0) ≠0∴f (0) =1,

令x=0得f (y) +f (-y) =2f (0) ·f (y) ,

∴f (-y) =f (y) , ∴f (x) 为偶函数。

例6:设函数f (x) 定义域关于原点对称, 且满足

(2) 存在正常数a, 使f (a) =1。

求证:1) f (x) 是奇函数;

2) f (x) 是周期函数, 并且有一个周期为4a。

分析:由关系式可知, 此函数可类比f (x) =tanx,

1) 利用赋值法, 构造出式子f (-x) =±f (x) ;

2) 证明周期性, 一般通过两次代换。

证明:1) 令x=x1-x2得

∴f (x) 是奇函数

2) 由f (a) =1可知

∴f (x) 是以4a为周期的周期函数。

二次函数解析式解题技巧 篇5

函数解析式的常用求解方法：

(1)待定系数法：(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)：若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

(2)换元法(注意新元的取值范围)：已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)，我们常设t=g(x)，从而求得x=(g^(-1))(t)，然后代入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。

(3)配凑法(整体代换法)：若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子。

(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

(5)赋值法(特殊值代入法)：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。

求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。极客数学帮给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。

一、定义法

根据函数的定义求其解析式的方法。

二、换元法

利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即f(x)的定义域。

三、方程组法

根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。

方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。

四、特殊化法

通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。

五、待定系数法

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。

六、函数性质法

利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。

七、反函数法

利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。

八、“即时定义”法

给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。

九、建模法

根据实际问题建立函数模型的方法。

十、图像法

利用函数的图像求其解析式的方法。

十一、轨迹法

设出函数图像上任一点P(x,y)，根据题意建立关于x,y的方程，从而求出函数解析式的方法。

练习题

1、已知二次函数的图象的顶点为(-2，3)，且过点(-1，5)，求此二次函数的解析式

2、已知二次函数的图象与x轴交于点(-2，0)，(4，0)，且最值为-4.5，求此二次函数的解析式。 3、已知二次函数f(x)与x轴的两交点为(-2,0)，(3,0)，且f(0)=-3，求f(x)

4、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17求f(x)

5、已知二次函数f(x)满足：f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x,求f(x)

6、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=9x+8,求f(x)

7、已知f(x)=x^2-1，求f(x+x^2)

函数应用题解题策略论文 篇6

一、二次函数

例1：已知函数f（x）=x2+4(1-a)x+1在[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是_______。

解题关键：一元二次函数应抓住开口方向以及对称轴与给定区间端点的位置关系，特别注意对称轴与端点重合也是满足的。

解：f（x）的对称轴为：x=2(a-1)。

由题意可知：2（a-1）≤1

所以a≤。

变式1：函数f（x）=ax2+4（1-a）x+1在[1,+∞）上是增函数，求a的取值范围_______。

分析：由于二次项前的系数不确定故先对a是否为零进行讨论，在是一元二次函数的情况下再考虑与开口方向与对称轴。

解：1.当a=0时，f（x）=4x+1满足。

2.当a≠0时，f（x）的对称轴为 。

综上得：a∈［0，2］。

变式2：f（x）=ax2+4（1-a）x+1在［1，2］上是增函数，求a的取值范围_______。

分析：在变式1的基础上，结合开口方向与对称轴发现多了开口向下对称轴在区间右侧或右端点处的情形。

解：1.当a=0时，f（x）=4x+1满足。

2.当a≠0时，f（x）的对称轴为： 。

范围是__________。

解题关键：“先局部”，即确保各个部分均为减函数，“再整体”,即左边函数在1处的函数值大于等于右边函数在1处的函数值。

解：由题意可知：

变式：“在R上单调递增”

解：由题意可知：a无解

三、复合函数

例3：已知f（x）+log （x2-ax+3a）在［2，+∞）上单调递减，则a的取值范围是_________。

解题关键：对于复合函数应利用“同增异减”的法则转化为内层函数g（x）=x2-ax+3a的单调性，同时一定要注意内层函数整体作为真数应大于0这一前提条件。

解：外函数为f（x）+log ，内函数为g（x）=x2-ax+3a 因为外函数在（0，+∞）单调递减。由题意可知：g（x）=x2-ax+3a在［2，+∞）上单

调递增，且g（x）＞0在［2，+∞）上恒成立∴ =>-4＜a≤4

四、分式函数

例4：已知函数f（x）= 在（-2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是_______。

解题关键：对形如 的函数通常采用分离常数的方法，再通过图像变换来处理相关问题。

解：

故f（x）的图像是将f（x）的图像向左平移2个单位，再向上平移a个单位，由题意可知：在（0，+∞）上单调递增，∴1-2a＜0，∴a＞。

五、高次函数

例5：已知f（x）=x3-ax在（-∞，-2］和［2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是_______。

解题关键：对于高次的多项式函数常用导数来处理其单调性，即转化为导数的恒成立问题，而对恒成立问题的常规处理方法为（1）分离字母参数（2）数形结合。

解：导数f'（x）=3x2-a，因为f（x）=x3-ax在（-∞，-2］和［2，+∞）上单调递增，由题意知：f’（x）=3x2-a≥0在（-∞，-2］和 ［2，+∞）上恒成立。

方法一：分离字母参数

即：a≤3x2在（-∞，-2］和［2，+∞）上恒成立，

当x∈（-∞，-2］和［2，+∞）时[3x2]min=12，∴a≤12

方法二：数形结合

因为：f'（x）=3x2-a在（-∞，-2］上单调递减，在［2，+∞）上单调

例6．已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x 若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，则a的取值范围为__________。

解题关键：对“不单调”的处理

解：f（x）在（-1，1）上不单调

f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=0在（-1，1）上有根且非重根

f'（x）=（x-a）[3x+（a+2）]

f'（x）=0的两根为a或 ，

由题意知：-1

例说一类抽象函数的解题策略 篇7

一、利用函数图象,将抽象函数具体化

例1 (2009年高考山东卷理16)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=______.

解析:根据已知条件f(x-4)=-f(x)可得函数f(x)是以8为周期的周期函数,联立奇函数的性质f(-x)=-f(x)可得函数f(x)的图象关于直线x=-2对称.作出函数f(x)的图象如图1所示:

方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1

例2 (2010年高考福建卷理15)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出结论如下:

①对任意m∈Z,有f(2n)=0;②函数f(x)的值域为[0,+∞);③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k+1)”.其中所有正确结论的序号是

解析:令:y=f(x),y'=f(x')=2f(x)=f(2x),则有即函数f(x)图象是由其部分图象/(x)=2-x,x∈(1,2],按其横、纵坐标均变为原来的2倍变换而成的.作出图象如下:根据图2可直观地得到正确选项①②④.

点评:以上两题均利用函数的图象,数形结合,将抽象的函数具体化,降低了思维的难度,使问题的解决显得简洁有效.例2则巧用f(ax)=af(x)性质,从函数图象变换的角度,来探索函数的图形特征.

二、利用函数的解析式,将抽象函数特殊化

例3 (2010年高考重庆卷理15)已知函数f(x)满足:,(x,y∈R),则f(2010)=______.

解析:由4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)联想到两角和与差的余弦公式,故构造函数f(x)=Acosωx,则4f(x)f(y)=4A2cosωxcosωy且f (x+y)+f (x-y)=2Acosωxcosωy,则有4A2cosωxcosωy=2Acosωxcosωy,解得,结合,可得,所以有,故.

例4设函数f(x)是定义在R上的增函数,且对任意的x都有f(1+x)+f(1-x)=0恒成立,如果实数m,n满足不等式组,则m2+n2的取值范围是______.

解析:由函数f(x)对任意的x都有f(1+x)+f(1-x)=0恒成立,可得函数的图象关于点(1,0)对称,又因为f(x)在R上是增函数,则可令f(x)=x-1,不等式组可化为

其表示的平面区域如图3所示.

由图可得线段最小,线段OB=7最大,故m2+n2∈(13,49).

二次函数综合题之解题策略 篇8

一、利用数形结合思想求解策略

利用二次函数图像求极值问题, 是近几年各地数学中考试卷中很常见的题型, 此类题综合性比较强, 涉及的知识较广, 可以结合几何图形来解题, 实际上二次函数图像本身就是一个图形即抛物线, 图像上点的坐标就表示相关线段的长度, 点点相连成了几何图形, 实现从“数或式”到“形”的转化, 这一转化为解题创造了有利条件, 而能否熟练地解答, 则取决于是否把二者有机结合起来, 在解题中充分运用函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法.教师要适当引导学生, 使他们消除学习定势对解题思路的阻碍, 培养他们利用数形结合解题的技巧和能力.

例1:已知函数y=x2+bx+2的图像经过点 (3, 2) .

(l) 求这个函数的关系式; (2) 画出它的图像; (3) 根据图像指出:当x取何值时, y≥2?

分析: (1) 利用待定系数法, 可以求出b的值, 从而获得函数表达式; (2) 根据函数关系式画出函数图像; (3) 借助函数图像, 由“形”想“数”, 要“确定y=2时, x的取值范围“就是要求位于“直线y=2上方”图像的自变量取值范围.

解: (1) 根据题意, 得2=9+3b+2, 解得b=-3.所以函数关系式为y=x2-3x+2.

(2) 易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为 (1, 0) , (2, 0) , 与y轴的交点坐标为 (0, 2) , 对称轴为函数y=x2-3x+2的图像如图1所示.

(3) 根据图像可得, 当y=2时, 对应的x值为0和3.因此, 当x≤0或x≥3时, y≥2.

二、利用方程思想求解策略

二次函数图像与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点时, 该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是:△>0, △=0和△<0.要判定△的值的情况, 往往要将函数y=ax2+bx+c (a≠0) 右边配方成完全平方式去确定交点个数.由此可见两者关系非常“密切”.在思路上要分清:方程与△值, 函数与x轴交点, △值与x轴交点之间的关系.而当二次函数y=ax2+bx+c (≠0) 中y=0时, 二次函数就转化为一元二次方程ax2+bx+c=0, 根据一元二次方程根与系数关系可以求出二次函数与x轴两个交点间的距离.

例2:如图2, 一元二次方程x2-3x+2=0的两根x1、x2 (x1

(1) 求此二次函数的解析式;

(2) 设此抛物线的顶点为P, 对称轴与线段AC相交于点Q, 求点P和Q的坐标;

(3) 在x轴上有一动点M, 当MQ+MA取得最小值时, 求M点的坐标.

分析: (1) 求出方程的两个根, 就相当于知道了B, C两点的坐标, 进而由A、B、C三点的坐标, 利用待定系数法, 很容易求出二次函数的解析式; (2) 要求交点Q的坐标, 只要将该抛物线的“对称轴方程”与“直线AC的解析式”联立得方程组, 解这个方程组就可得到; (3) 要求“MQ+MA”的最小值时, 只需作点A关于x轴的对称点即可, 用对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决.

解: (1) 解方程x2-3x+2=0, 得x1=-3, x2=1.所以抛物线与x轴的两个交点坐标为C (-3, 0) , B (1, 0) .

将A (3, 6) , B (1, 0) , C (-3, 0) 代入抛物线的解析式, 求得所以抛物线解析式为

(2) 由得抛物线顶点P的坐标为 (-1, -2) , 对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=3k+b, 将A (3, 6) 、C (-3, 0) 代入, 求得k=1, b=3, 所以直线AC的函数关系式为y=x+3.而Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点其方程为x=1, 两方程联立方程组, 解得x=-1, y=2, 所以点Q坐标为 (-1, 2) .

(3) 作A点关于x轴的对称点A′ (3, -6) , 连接A′Q, A′Q与x轴交点M即为所求的点.

设直线A′Q的函数关系式为y=kx+b.把A′ (3, -6) 、Q (-1, 2) 代入求解, 得b=0, k=-2.所以直线A′Q的函数关系式为y=-2x令x=0, 则y=0, 所以点M的坐标为 (0, 0) .

评析:求两个函数图像的交点问题, 其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解的问题.点与函数图像的关系是, 若点的坐标满足函数关系式, 则点在函数图像上, 反之也成立本题中的第三问改为“若在y轴上有一动点N, 当NO+NA取得最小值时, 求N点的坐标”.

三、利用建模思想求解策略

对于有些简单实际问题, 可以利用二次函数进行求解.如有关最大利润、用料最省、最低成本等问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一此类题型要求学生会运用面积法、勾股法、相似法、利润法等建立函数模型, 然后利用二次函数的性质解答.这样可以培养学生从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力.

例3:某商店经销甲、乙两种商品.甲、乙两种商品的进货单价之和是5元, 甲商品零售单价比进货单价多1元, 乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元.按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件, 共付了19元.问:

(1) 甲、乙两种商品的进货单价各多少元?

(2) 该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现, 甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元, 这两种商品每天可各多销售100件.为了每天获取更大的利润, 商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下, 当m定为多少时, 才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多少?

分析: (l) 据题意设出未知数, 列方程组求解; (2) 根据利润=甲、乙两种商品每件的利润×销售数量, 转化为二次函数并配方, 根据图像性质求得最大利润.

解: (1) 设甲商品的进货单价是x元, 乙商品的进货单价是y元.根据题意知x+y=5和3 (x+1) +2 (2y-1) =19x, 两方程组成方程组求得x=2, y=3.

答:甲商品的进货单价是2元, 乙商品的进货单价是3元.

(2) 设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为w元, 则

当m=0.55时, w有最大值, 最大值为1705.

答:当m值为0.55时, 才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大, 每天的最大利润是1705元.

综上所述, 解答二次函数综合题, 总的来讲要冷静分析, 缜密思考, 耐心梳理, 吃透题意, 运用二次函数有关性质, 同时要善于据题意采取有关数学思想:如方程的思想、数形结合思想、建模思想等, 确定解题策略, 并正确求解.

摘要：二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广, 是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最大的内容之一.要解决好此类题目需要有扎实的基础知识, 较强的分析、演算、理解能力, 因此是近年来各地中考命题的重点和热点, 引起人们的广泛关注.它主要以压轴题的形式出现, 本文列举几例, 探究二次函数综合题的解题策略.

关键词：二次函数,综合题,解题策略

参考文献

[1]王赛英.新课程理念下中考“压轴题”的解题思路「J].数学通报, 2005 (02) .

[2]董玉成.我国当代中学函数教育特征研究[D].华东师范大学, 2007.

函数应用题解题策略论文 篇9

三角函数求值问题通常包括求三角函数式的值和角的具体值两种, 它是三角函数中的基本问题, 也是各种考试中的常见问题.在教学中需要从思维策略层面引导学生如何迅速准确地解答这类问题, 即遇到这类问题时该如何思考解题之策略, 怎样找到解题的切入点.一般来说, 解决这些问题可以从思考角的关系、函数特征、差异分析、退到特殊化等方面思考解题策略, 找出解题的切入点.

一、寻找角的关系

许多三角函数求值问题的条件与结论之间、角与角之间隐含着某种关系或特征.

1.找结论式与条件式中角的和、差、倍角关系

例1 若α、β均为锐角, $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}‚\cos (\alpha +\beta )=-\frac{3}{5}$, 求cosβ的值.

分析:由于β= (α+β) -α (差) , 故将β写成 (α+β) -α的形式.

解:cosβ=cos[ (α+β) -α]=cos (α+β) cosα+sin (α+β) sinα.由条件可求$\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}‚\sin (\alpha +\beta )=\frac{4}{5}$.则$\cos \beta =\frac{\sqrt{5}}{5}.$

例2 若θ、ϕ∈ (0, π) , 且$\tan (\theta -\text{ϕ})=\frac{1}{2}‚\tan \text{ϕ}=-\frac{1}{7}$, 求2θ-ϕ的值.

分析:由于θ= (θ-ϕ) +θ (和) , 故将θ写成 (θ-ϕ) +ϕ的形式.又2θ-ϕ= (θ-ϕ) +θ (和) , 故将2θ-ϕ写成 (θ-ϕ) +θ的形式.

解:$\tan \theta =\tan [(\theta -\text{ϕ})+\text{ϕ}]=\frac{\tan (\theta -\text{ϕ})+\tan \text{ϕ}}{1-\tan (\theta -\text{ϕ})\tan \text{ϕ}}=\frac{1}{3},\tan (2\theta -\text{ϕ})=\frac{\tan \theta +\tan (\theta -\text{ϕ})}{1-\tan \theta \tan (\theta -\text{ϕ})}=1$.因为ϕ∈ (0, π) , tanϕ<0, 所以$\text{ϕ}\in (\frac{\text{π}}{2},\text{π})$.又$\theta \in (0,\text{π}),\tan \theta <1,\theta \in (0,\frac{\text{π}}{4}),2\theta -\text{ϕ}\in (-\text{π},0)$, 故$2\theta -\text{ϕ}=-\frac{3\text{π}}{4}.$

例3 已知$0＜\beta ＜\frac{\text{π}}{2}＜\alpha ＜\text{π}‚\sin (\alpha +\frac{\beta }{2})=\frac{2}{3}‚\cos (\frac{\alpha }{2}+\beta )=-\frac{1}{9}$.求cos (α-β) 的值.

分析:因为$\alpha -\beta =2[(\alpha +\frac{\beta }{2})-(\frac{\alpha }{2}+\beta )]$ (倍角) , 所以将α-β写成$2[(\alpha +\frac{\beta }{2})-(\frac{\beta }{2}+\beta )]$的形式.

解:由条件得$\frac{\text{π}}{4}＜\frac{\alpha }{2}+\beta <\text{π},\frac{\text{π}}{2}＜\alpha +\frac{\beta }{2}＜\frac{5\text{π}}{4}‚\cos (\alpha +\frac{\beta }{2})=-\frac{\sqrt{5}}{3}‚\sin (\frac{\alpha }{2}+\beta )=\frac{\sqrt{80}}{9}‚\cos [(\alpha +\frac{\beta }{2})-(\frac{\alpha }{2}+\beta )]=\frac{\sqrt{5}}{3}$, 故$\cos (\alpha -\beta )=\cos 2[(\alpha +\frac{\beta }{2})-(\frac{\alpha }{2}+\beta )]=2\cos {}^2[(\alpha +\frac{\beta }{2})-(\frac{\alpha }{2}+\beta )]-1=\frac{1}{9}.$

例4 已知$7\sin (\alpha +\beta )+2\sin \alpha =0,\cos (\alpha +\frac{\beta }{2})\cos \frac{\beta }{2}\ne 0$, 求$\tan \frac{\beta }{2}\cot (\alpha +\frac{\beta }{2})$的值.

分析:因为$\alpha +\beta =\frac{\beta }{2}+(\alpha +\frac{\beta }{2})‚\alpha =(\alpha +\frac{\beta }{2})-\frac{\beta }{2}$, 再考虑到条件与结论的函数关系, 所以将条件中的α, α+β分别写成$(\alpha +\frac{\beta }{2})-\frac{\beta }{2}$、$\frac{\beta }{2}+(\alpha +\frac{\beta }{2})$的形式.

解:由条件得$7\sin [(\alpha +\frac{\beta }{2})+\frac{\beta }{2}]+2\sin [(\alpha +\frac{\beta }{2})-\frac{\beta }{2}]=0$, 展开合并得$9\sin (\alpha +\frac{\beta }{2})\cos \frac{\beta }{2}+5\cos (\alpha +\frac{\beta }{2})\sin \frac{\beta }{2}=0$, 故

$\tan \frac{\beta }{2}\cot (\alpha +\frac{\beta }{2})=-\frac{9}{5}.$

2.找题目中角的和或差关系

例5 求$\frac{\cos 66°-\cos 15°\cos 81°}{2\cos {}^{2}12°+\sin 15°\cos 81°-1}$的值.

分析:题目中的角的关系为66°=81°-15°、66°+2×12°=90°, 再观察式子的结构可将12°化为24°.

解:原式$=\frac{\cos (81°-15°)-\cos 15°\cos 81°}{\cos 24°+\sin 15°\cos 81°}=\frac{\sin 15°\sin 81°}{\sin 66°+\sin 15°\cos 81°}=\frac{\sin 15°\sin 81°}{\sin (81°-15°)+\sin 15°\cos 81°}=\frac{\sin 15°\sin 81°}{\sin 81°\cos 15°}=\tan 15°=2-\sqrt{3}.$

例6 求y=4sin (2x+18°) -7sin (2x+138°) 的最小值.

分析:题目中的角的关系为2x+138°= (2x+18°) +120°.

解:$y=4\sin (2x+18°)-7\sin [(2x+18°)+120°]=\frac{15}{2}\sin (2x+18°)-\frac{7\sqrt{3}}{2}\cos (2x+18°).$

则$y{}_{\min }=-\sqrt{(\frac{15}{2}){}^2+(-\frac{7\sqrt{3}}{2}){}^2}=-\sqrt{93}.$

评注:利用角的和、差或倍角关系是特殊角往往是成功解题的关键, 因此要特别注意寻找特殊角.

3.找已知条件中角的地位特征

例7 已知α、β、γ都是正角, α+β+γ=π, 且$\csc \gamma =\frac{\cos \alpha +\cos \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }$, 求α、β、γ中最大的角的值.

分析:观察条件式中α、β的地位特征可发现它们的地位相等, 即α、β轮换后对结果无影响, 故α、β不可能最大, γ最大.因此在已知等式中消去α、β, 求出γ即得.

解:因为$\csc \gamma =\frac{\cos \alpha +\cos \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }$, 所以$\frac{1}{\sin \gamma }=\frac{2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}$, 即$\frac{1}{\sin \gamma }=\frac{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}}{\sin \frac{\alpha +\beta }{2}}$, 也即$\frac{1}{2\sin \frac{\gamma }{2}\cos \frac{\gamma }{2}}=\frac{\sin \frac{\gamma }{2}}{\cos \frac{\gamma }{2}}$.又因为$\cos \frac{\gamma }{2}\ne 0$, 所以$2\sin {}^2\frac{\gamma }{2}=1$, 而$\sin \frac{\gamma }{2}＞0$, 故$\sin \frac{\gamma }{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$得$\frac{\gamma }{2}=\frac{\text{π}}{4}$, 即$\gamma =\frac{\text{π}}{2}.$

二、抓住函数特征

三角函数求值问题除了弄清角的关系外, 还要思考函数特征, 抓住特征解题.

例8 求值:$①\sin {}^{2}40°+\cos {}^{2}100°+\sqrt{3}\sin 40°\cos 100°$;②sin10°sin50°sin70°.

解:①构造和对偶式.设$a=\sin {}^{2}40°+\cos {}^{2}100°+\sqrt{3}\sin 40°\cos 100°‚b=\cos {}^{2}40°+\sin {}^{2}100°-\sqrt{3}\cos 40°\sin 100°$.则$a+b=2-\sqrt{3}\sin 60°=\frac{1}{2}‚a-b=\cos 200°-\cos 80°+\sqrt{3}\sin 140°=0$.故$a=b=\frac{1}{4}.$

②构造积对偶式.设A=cos10°cos50°cos70°,

B=sin10°sin50°sin70°, 则

$\begin{array}{l}AB=\sin 10°\cos 10°\sin 50°\cos 50°\sin 70°\cos 70°=\frac{1}{8}\sin 20°\sin 100°\sin 140°=\\ \frac{1}{8}\cos 10°\cos 50°\cos 70°=\frac{1}{8}A.\because A\ne 0‚\therefore B=\sin 10°\sin 50°\sin 70°=\frac{1}{8}.\end{array}$

例9 求函数y=tanx+cotx+secx+cxc$x‚x\in (-\frac{\text{π}}{2},-\frac{\text{π}}{4})$的值域.

分析:切割化弦、统一函数名称后, 再通分可知出现sinx+cosx及sinxcosx, 因此要建立sinx+cosx与sinxcosx的关系才能解题.为此, 要用到 (sinx+cosx) 2=1+2sinxcosx.

解:$y=\tan x+\cot x+\sec x+\csc x=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{\text{c}\text{o}\text{s}x}+\frac{\text{c}\text{o}\text{s}x}{\text{s}\text{i}\text{n}x}+\frac{1}{\text{c}\text{o}\text{s}x}+\frac{1}{\text{s}\text{i}\text{n}x}=\frac{1+\text{s}\text{i}\text{n}x+\text{c}\text{o}\text{s}x}{\text{s}\text{i}\text{n}x\text{c}\text{o}\text{s}x}$.设u=sinx+cosx, 则$\sin x\cos x=\frac{1}{2}(u{}^2-1)‚u=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\text{π}}{4})$, 因为$x\in (-\frac{\text{π}}{2},-\frac{\text{π}}{4})$, 所以u∈ (-1, 0) .故原函数的值域就是转化为求函数$y=\frac{2}{u-1}‚u\in (-1,0)$的值域, 解得y∈ (-2, -1) , 即原函数的值域是 (-2, -1) .

三、对题目的条件与达成结论的目标之间进行差异分析

要顺利解题就是要在题目的条件与结论之间架起一座桥梁, 使题目的条件与结论之间的目标差异逐步缩小, 因此解题就必须对题目的条件与达成结论的目标之间进行差异分析.

例10 已知△ABC的三边a、b、c成等差数列, 求y=5cosA-4cosAcosC+5cosC的值.

解题策略分析:将条件与求解目标列出进行对比.已知条件为

$\{\begin{array}{l}2b=a+c\\ y=5\text{c}\text{o}\text{s}A-4\text{c}\text{o}\text{s}A\text{c}\text{o}\text{s}C+5\text{c}\text{o}\text{s}C\\ A+B+C=\text{π}\end{array}$

, 求解目标为y的值.

可以看到有以下两个主要差异: (1) 条件有边有角, 但结论既没有边也没有角, 又由于三角函数名称不同, 故应该化为角 (正弦定理或余弦定理) . (2) 条件是等量关系, 但结论却是一个常数;又由于y=5cosA-4cosAcosC+5cosC中没有B, 故应消去B, 则应运用A+B+C=π (隐含条件) , 这样就会出现A+C.因此需要用到二倍角的正弦及和差化积.

解:由条件得2b=a+c, 又由正弦定理得2sinB=sinA+sinC, 又A+B+C=π则2sin (A+C) =sinA+sinC即$4\sin \frac{A+C}{2}\cos \frac{A+C}{2}=2\sin \frac{A+C}{2}\cos \frac{A-C}{2}$.因为$\sin \frac{A+C}{2}\ne 0$, 所以$2\cos \frac{A+C}{2}=\cos \frac{A-C}{2}$, 故$y=5\cos A-4\cos A\cos C+5\cos C=5(\cos A+\cos C)-4\cos A\cos C=10\cos \frac{A+C}{2}\cos \frac{A-C}{2}-2[\cos (A+C)+\cos (A-C)]=10\cos \frac{A+C}{2}\cos \frac{A-C}{2}-2[2\cos {}^2\frac{A+C}{2}+8\cos {}^2\frac{A+C}{2}-2]=4.$

四、“以退为进”的思维策略

它的思维过程是:复杂问题→退成简单问题→找出规律→拓展.

例11 在边长分别为a、b、c的△ABC中, c-a等于AC边上的高h, 则

$\begin{array}{l}\tan \frac{C-B}{2}+\\ \tan \frac{C+B}{2}=.\end{array}$

解:退到特殊情形.把已知条件特殊化成直角三角形△ABC, 满足条件时取c=2, a=1, ∠C=90°, 则这时A=30°, B=60°, 故$\tan \frac{C-B}{2}+\tan \frac{C+B}{2}=4.$

例12 已知锐角A、B、C、D是变化的角, 且满足A+B+C+D=180°, 求函数y=sinAsinBsinCsinD的最大值.

解:先“退”一步, 将多变角后“退”, 减少角的个数, 设A、B是锐角, 且A+B=P (P是定值, 0<P<π) , 先求函数y=sinAsinB的最大值.

由$y=\sin A\sin ({\rm P}-B)=\frac{1}{2}[\cos (2A-{\rm P})-\cos {\rm P}]$, 当且仅当$A=\frac{{\rm P}}{2}$, 即$A=B=\frac{{\rm P}}{2}$时, y取最大值$\sin {}^2\frac{{\rm P}}{2}$.由这里引起对原题的猜想, 它的结论应该是:当且仅当A=B=C=D=45°时, y取最大值$\sin {}^{4}45°=\frac{4}{5}.$

对结论的证明 (反证法) :即证若A、B、C、D不相等, 则函数y=sinAsinBsinCsinD的值就不是最大.事实上, 若A、B、C、D不都相等, 不妨设A≠B, 先固定C、D的值不变, 使A、B变化, 则有A+B=45°- (C+D) 为定值, 且0<180°- (C+D) <180°.由于A≠B, 因此可知sinAsinB不是最大, 因而函数y=sinAsinBsinCsinD的值不是最大, 从而证明对原问题的结论的猜想是正确的.

在解决三角函数求值问题时, 正确运用解题策略能使学生在学习数学知识、方法、思想上不断提高数学认识, 形成解决问题的基本观点和方法, 不但提高解题效率, 而且培养创新能力.

函数应用题解题策略论文 篇10

一、解题的基本步骤

利用二次函数可以解决商品销售中的最优化问题,用以确定商品价格.解商品销售问题时,要明确关系式:商品销售利润=每件商品利润×销售件数(或销售总额-总成本),这是建立二次函数关系式的依据,凸显了“构造”的重要性.解此类问题的基本思路是:

1.理解题意,分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;

2.根据题中所求问题,设出两个适当的变量:函数和自变量;

3. 根据图像或问题的实际意义,用数学表达式表示出函数和自变量之间的关系;

4. 利用二次函数的有关性质做数学求解,并检验结果的合理性.

二、典例分析

例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施. 调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.

(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)

(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?

(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?

分析:(1)每台冰箱降价x元后,每天的销量增加4×x/50台,即销售量为(8+2x/25)台;此时每台的利润为(2400-2000-x)=(400-x)元,可构建每天销售这种冰箱的利润关于x的关系式;(2)利用(1)中函数关系式,令y=4800,从而问题转化为一元二次方程问题,对所求结果,还要结合“使百姓得到实惠”进行取舍,从而得到最后结果;(3)利用二次函数知识求解即可.

所以,每台冰箱降价150元时,商场的利润最大,最大利润是5000元.

说明:对这类问题,同学们在表示销售量时容易出现错误,我们可以理解并记忆两个公式:

1涨价后的销售量 = 涨价前的销售量-涨的钱数/销售价格变化规律数×销售量的变化规律数;

2降价后的销售量 = 降价前的销售量 +降的钱数/销售价格变化规律数×销售量的变化规律数.

在本题中,降价前的销售量为8台,降得钱数为x元,销售价格变化规律数为50元,销售量的变化规律数为4台,代入公式2即可求出降价后的销售量.

例2商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=65时,y=55;x=75时,y=45.

(1)求一次函数y=kx+b的表达式;

(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?

分析:(1) 利用待定系数法可求一次函数表达式;(2) 根据商品销售利润 =每件商品利润×销售件数可构建二次函数,解题时,要注意条件“获利不得高于45%”对x的限制作用,当顶点横坐标在自变量的取值范围内时,二次函数在顶点处取得最值;当顶点横坐标不在自变量的取值范围内时,可借助图像进行分析以求取最值.

∴当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元.

说明:求实际问题最值时,要充分挖掘题目中明确的、隐含的不等关系(在例1中,隐含的不等关系是降的钱数不超过400元)来确定自变量的取值范围,然后确定最值能否在顶点处取得.当最值不能在顶点处取得时,要注意“数形结合”,结合函数的增减性来解决.

摘要：培养学生的应用意识是课程标准的一个重要目标,学习数学的根本目的是把所学的知识与现实生活有效地结合起来,体现数学的最终价值.

函数思想在解题中的应用例析 篇11

一、以函数为依托，强化函数思想在集合问题中的运用

集合与函数都是数学中最基本、最重要的概念，它们既有区别，又有联系.用函数思想解集合问题，不仅能加强知识间的横向联系，还能培养解题能力，提高解题效率.

例1已知集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-2ax+a+2≤0}，且BA，求实数a的取值范围.

解：当B=时，即方程x2-2ax+a+2=0的判别式Δ<0，所以4（a2-a-2）<0，解得-1

当B≠时，设f（x）=x2-2ax+a+2，因为A={x|1≤x≤4}，所以f（x）=0的两根在区间[1，4]之间，如图所示，有：

f（1）=1-2a+a+2≥0，f（4）=16-8a+a+2≥0，Δ=4a2-4（a+2）≥0，1≤--2a2≤4.2≤a≤187.②

综合①、②得a的取值范围为-1

例2设A={x|1

解：设f（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1，

g（x）=x2-2bx+5=（x-b）2+5-b2.

要使AB，则必须使f（x），g（x）在[1，3]上的函数图象落在x轴下方，即：

f（1）≤0，f（3）≤0.a-1≤0，a+3≤0.a≤-3，

且g（1）≤0，g（3）≤0.-2b+6≤0，14-6b≤0.b≥3.

∴满足条件的a、b取值范围为a≤-3且b≥3.

评析：在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用函数知识和方法把问题解决.这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来.运用函数思想来研究集合中有关参数取值范围的问题，就是将集合之间的关系直观地解释成数轴上的区间覆盖关系，从而借助于函数的性质和图象，达到直观、简捷的解题目的.

二、以函数为工具，强化函数思想在方程问题中的运用

函数与方程有着内在的联系，可以说方程是函数的一个局部，而函数则包括方程的全部内涵，因此用函数的思想方法来解决方程问题往往是一种很有效的方法.

例3设x、y为实数，且满足关系式：（x-1）3+2013（x-1）=-1，（y-1）3+2013（y-1）=1.求x+y的值.

解：令f（t）=t3+2013t，易知f（t）是奇函数，且在R上是增函数，

∴由已知条件得：f（x-1）=-f（y-1）=f（1-y），

当注意到f（t）是单调函数时，有x-1=1-y，即x+y=2.

例4已知（x+2y）5+x5+2x+2y=0，求x+y的值.

解：已知方程化为：（x+2y）5+（x+2y）=-（x5+x）.（1）

由（1）式的结构，构造函数f（t）=t5+t，显然，f（t）是奇函数，且在R上的单调递增.

由于（1）式可写成：f（x+2y）=-f（x）=f（-x），所以有x+2y=-x，即x+y=0.

评析：函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看作一个方程，这样，许多函数的问题可以用方程的方法来解决.也就是说，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0；反之，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要.

三、以函数为桥梁，强化函数思想在不等式问题中的应用

由于函数反映变量之间的相互关系，由它的整体性，自然可反映变量间的不等式情况，因此，不等式问题可看成函数问题的另一局部，利用函数思想方法能更深入了解不等式问题的本质.

例5设0≤a、b、c≤2，求证：4a+b2+c2+abc≥2ab+2bc+2ca.

证明：视a为自变量，构造一次函数

f（a）=4a+b2+c2+abc-2ab-2bc-2ca=（bc-2b-2c+4）a+（b2+c2-2bc），

由0≤a≤2，知f（a）表示一条线段.

又f（0）=b2+c2-2bc=（b-c）2≥0，

f（2）=b2+c2-4b-4c+8=（b-2）2+（c-2）2≥0，

可见上述线段在横轴及其上方，∴f（a）≥0，

即4a+b2+c2+abc≥2ab+2bc+2ca.

例6已知a、b、c是△ABC的三边，且m为正数，求证：am+a

证明：构造函数f（x）=xm+x，易证f（x）=xm+x=1-mm+x，当x>0时单调递增.

∵a

即am+a

故am+a

评析：在不等式问题中，应重视以函数为桥梁，根据实际问题建立函数观念，用函数思想与函数方法分析、解决问题意义重大.解（证）不等式问题，从实质上说，是研究相应函数的零点、正负值问题.所以，用函数思想来处理这类问题，不仅会优化解题过程，而且会使我们迅速获得解题的途径.

四、以函数为媒介，强化函数思想在数列中的应用

数列是特殊的函数，用函数观点把数列中的数量关系表示出来加以研究，这种利用函数思想合理转化的手段是解决数列问题的重要策略.

例7已知项数为奇数的等差数列奇数项的和为44，偶数项的和为33，求这个数列的项数及中间项.

解：设这个数列共有2n+1项，由于f（n）=Snn是关于n的一次函数，则点（n+1，44n+1），（n，33n），（2n+1，772n+1）共线.

由斜率相等得：772n+1-33n2n+1-n=772n+1-44n+12n+1-（n+1）n=3.

所以该数列共有7项，中间项为11.

评析：在等差数列{an}中，其前n项和公式Sn可以变形为：Snn=d2n+（a1-d2），所以Snn是n的一次函数，且点（n，Snn）均在直线y=d2x+（a1-d2）上.因此，在解等差数列问题时，若能把问题转化为一次函数来研究，就很方便快捷.

例8已知数列{an}中的通项公式an=（n+1）（1011）n（n∈N*）.试问该数列{an}有没有最大项？

解：∵an+1-an=（n+2）（1011）n+1-（n+1）（1011）n=（1011）n·9-n11，

∴当n<9时，an+1-an>0，即an+1>an；

当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an；

当n>9时，an+1-an<0，即an+1

故a1a11>a12>…，

∴数列{an}有最大项a9或a10，其值为10·（1011）9，其项数为9或10.

评析：由通项公式研究数列是常用的方法，此时要注意数列是一类特殊的函数，本例是以数列为背景，借用函数思想研究数列的问题.

五、以函数为载体，强化函数思想在数列与函数交汇题中的应用

函数与数列是高中数学重要内容，它们二者相互联系，相互补充，又可以相互渗透，相互转化，共同构成了高中数学知识网络中的一个重要环节.正由于它们地位的特殊性，以函数与数列的交汇处设计有关综合性考题在高考试卷中占有较大比例，其中不乏有立意新颖，富有创意的试题.

例9已知函数f（x）=log2（x+1），当P（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点M（x3，ny）（n∈N*）在函数y=gn（x）的图象上运动.设Sn（x）=g1（x）+g2（x）+…+gn（x）（n∈N*），x∈[1，+∞）.试问，当n和x分别为何值时，Sn（x）有最小值？并求出这个最小值.

解：∵当P（x，y）在函数y=log2（x+1）的图象上，点M（x3，ny）在函数y=gn（x）的图象上，

∴y=log2（x+1），ny=gn（x3）.gn（x）=nlog2（3x+1）.

∴Sn（x）=g1（x）+g2（x）+…+gn（x）=（1+2+3+…+n）log2（3x+1）=n（n+1）2log2（3x+1）.

∵x∈[1，+∞），∴log2（3x+1）>0，

又log2（3x+1）在∈[1，+∞）上是增函数，{n（n+1）2}是递增数列，

∴当n=1且x=1时，Sn（x）取得最小值2.

评析：以函数为引入条件，综合函数与数列交叉部分，密切注意到各部分知识在各自发展中的纵向联系以及部分知识之间的横向联系构筑试题.解此类问题应注意从题目的众多条件和求解（求证）中提取相关信息，推动题目信息的延伸，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列，有效地、灵活地解决问题，这就是解题方向.

例10已知二次函数f（x）=x2+2（10-3n）x+9n2-61n+100，其中n∈N*.

（1）设函数y=f（x）图象顶点的横坐标构成数列{an}，求证数列{an}为等差数列；

（2）设函数y=f（x）的图象顶点到y轴的距离构成数列{dn}，求数列{dn}前n项的和Sn.

证明：（1）由已知an=3n-10，当n≥2时，an-an-1=3n-10-[3（n-1）-10]=3，

∴数列{an}为等差数列.

解：（2）由题意得：dn=|an|=|3n-10|，

即dn=10-3n，（1≤n≤3）3n-10.（n≥4）

∴当1≤n≤3时，Sn=7+（10-3n）2×n=17n-3n22.

当n≥4时，Sn=-an-a2-a3+a4+a5+…+an=a1+a2+a3+a4+…+an-2a1-2a2-2a3=-7+3n-102×n+2（7+4+1）=3n2-17n+482.

评析：这是一个以函数为载体，综合函数与数列交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，这样就把函数与数列有机地融合在一起，使得题型新颖、内容综合、解法灵活.

六、以借助函数的手段，强化函数思想在圆锥曲线中的应用

对于曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便.

例11直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，直线l过P（-2，0）和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围.

解：由y=kx+1，x2-y2=1.（x≤-1）消去y得（k2-1）x2+2kx+2=0，由题意，有：

Δ=4k2+8（1-k2）>0，x1+x2=2k1-k2<0，x1x2=-21-k2>0.1

设M（x0，y0），则x0=x1+x22=k1-k2，y0=kx0+1=11-k2.

由P（-2，0）、M（k1-k2，11-k2）、Q（0，b）三点共线，可求得b=2-2k2+k+2.

设f（k）=-2k2+k+2，则f（k）在（1，2）上为减函数.

∴f（2）

∴-（2-2）2.

评析：通过建立b与k的函数关系式，借用函数的单调性，将问题转化为函数的值域以确定b的变化范围.

例12已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），B为椭圆的下顶点，过B点作椭圆的弦BM，求弦长最大值.

解：设M（x，y），又B（0，-b），则有|BM|2=x2+（y+b）2，

由x2a2+y2b2=1得x2=a2b2（b2-y2），代入上式得：

|BM|2=a2-a2b2y2+y2+2by+b2=（1-a2b2）y2+2by+（a2+b2）（-b≤y≤b）.

∵a>b>0，∴1-a2b2<0，为开口向下的抛物线，则该抛物线顶点横坐标为：

y=-2b2（1-a2b2）=b3a2-b2>0.

当0

|BM|2取得最大值a4a2-b2，此时|BM|取得最大值a2a2-b2.

当b3a2-b2>b，即a<2b，函数f（y）=（1-a2b2）y2+2by+（a2+b2）（-b≤y≤b）为增函数，所以y=b时，|BM|2取得最大值4b2，此时|BM|取得最大值2b.

评析：把圆锥曲线方程转化为函数问题，利用函数思想加以解决，在解决问题的过程中，还涉及到其他数学思想的运用，如消元、分类讨论思想，多种数学思想方法的交叉运用是简化解题的有效手段.

七、以借助函数的意识，强化函数思想在实际问题中的运用

函数的应用涉及的知识较多，与许多日常生活知识都有联系，因此，从实际问题出发，通过分析、联想、转化等手段引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，利用函数有关知识解答问题.

例13某家庭今年一月份，二月份，三月份煤气用量支付费如下表所示：

该市煤气收费的方法是：煤气费=基本费+超额费+保险费.若每月用气量不超过最低限定Am3，只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元；若用气量超过Am3时，超过部分每立方米（m3）付B元.又知保险费不超过5元.根据上面的表格求A、B、C.

解：设每月煤气用量为xm3，支付费用为y元，根据题设条件得：

y=3+C，（0≤x≤A）①3+B（x-A）+C.（x>A）②

由0

3+B（25-A）+C=14，3+B（35-A）+C=19.B=0.5，A=2C+3.

再分析一月份的煤气用量是否超过最低限度，不妨设A<4，将x=4代入②，得：

3+0.5[4-（2C+3）]+C=4，并由此得3.5=4，矛盾.

所以A≥4，即一月份付费方式为①，∴3+C=4，即C=1.

从而A=5，B=0.5，C=1.

例14有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系式可由经验公式给出：P=15x，Q=35x.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？

解：若投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（3-x）万元.

依题意，甲种商品可获利：P=15（3-x）万元，乙种商品可获利：Q=35x万元，甲、乙两种商品

共获利为：y=P+Q=15（3-x）+35x

=15（-x+3x+3）=15[-（x-32）2+214].

当x=32，即x=94时，ymax=2120，此时，3-x=34.

即甲种商品投入0.75万元，乙种商品投入2.25万元，可获得最大利润.

评析：在解此类问题时，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素.处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为函数问题，然后应用函数相关知识加以综合解答.

（作者：赵春祥，河北省中学数学特级教师）

函数思想在解题中的应用 篇12

1. 求范围

例1对于满足0≤p≤4的所有实数p, 不等式x2+px>4x+p-3恒成立, 求x的取值范围.

分析这是一个有关x的二次不等式恒成立问题, 但若以x为主元考虑解题将非常复杂, 而变换视角, 将p为主元便可构建p的一次函数结构, 使问题很容易得解.

解构造函数f (p) = (x-1) p+x2-4x+3.依题知f (p) >0对0≤p≤4恒成立,

2. 比大小

例2已知a>b>0, m>0, 且 , 则A, B, C的大小关系为.

分析本题是三个数式比大小问题, 从比差、比商的基本思路入手将非常麻烦, 观察它们的结构特点易知均可看做同一个函数的数值, 从而利用函数单调性可将问题迎刃而解.

解构造函数, 易知x∈ (0, 1) 时f (x) 是减函数.而, ,

3. 解不等式

例3解不等式: (x2-20x+38) 3+4 (x2-20x+38)

分析这是一个一元六次不等式, 按常规思路 (分解因式) 很难形成解法, 但注意其结构特征, 可构造函数转化得解.

解设f (x) =x3+4x, 可知f (x) 在 (-∞, +∞) 上递增.

∴原不等式等价于f (x2-20x+38)

即x2-20x+38

4. 证明不等式

例4设a, b为正实数, 且eba.

分析从结论入手考虑, 基本证法 (比差、比商) 均不能证题, 可将两边取以e为底的对数得:blna>alnb, 即 , 然后构造函数便可证题了.

5. 解答数列题

例5若Sn为等差数列{an}前n项和, Sn=m, Sm=n, (m≠n) , 求Sm+n.

分析该题从数列知识出发, 运用方程思想可以解题.但如果从函数角度出发, 充分挖掘数列的函数特征, 利用函数思想求解可使我们耳目一新.

6. 求系数和

例6若 (3x4+7x3+4x2-7x-5) 5· (3x4-7x3+4x2+7x-5) 5=a0+a1x+a2x2+…+a40x40, 试求:a0+a2+a4+…+a40的值.

分析本题可以用赋值法求解, 但利用它的函数特点求解可让你赏心悦目.

解设f (x) = (3x4+7x3+4x2-7x-5) 5· (3x4-7x3+4x2+7x-5) 5=a0+a1x+a2x2+…+a40x40, 则f (x) =f (-x) .

∴f (x) 为偶函数, ∴a1=a3=a5=…=a39=0,