构造函数法在导数中的应用（精选7篇）
构造函数法在导数中的应用 篇1
构造函数法在导数中的应用
“作差法”构造
证明不等式或解决不等式恒成立问题都可以利用作差法将不等式右边转化为0，然后构造新函数[F（x）]，最后根据新函数[F（x）]的单调性转化为[F（x）min≥0]或者[F（x）max≤0来解决.]
例1 设函数[f（x）=x1+x]，[g（x）=lnx+12].求证：当[0 ∵[F（x）=1+x-x1+x2-1x=-x2-x-11+x2?x<0.] ∴[F（x）]在（0，1]上单调递减.∵[F（1）=12-0-12=0，] ∴[F（x）]≥0，当且仅当[x=1]时，等号成立.∴当[0 恒成立问题中，求参数范围的问题，常常分离参数转化为[a≤F（x）min或者a≥F（x）max，]其中[F（x）]为构造的新函数.例2 若不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，则实数[a]的取值范围是（） A.（-∞，0）B.（-∞，4] C.（0，+∞）D.[4，+∞） 解析不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，即[a≤2lnx+x+3x]在（0，+[∞]）上恒成立.设[h（x）=2lnx+x+3x]，则[h′（x）=（x+3）（x-1）x2（x>0）].当[x∈（0，1）]时，[h′（x）<0]，函数[h（x）]单调递减； 当[x∈（1，+∞）]时，[h′（x）>0]，函数[h（x）]单调递增.所以[h（x）min=h（1）=4].所以[a≤h（x）min=4].答案 B 根据题干的“结构特征”猜想构造 1.根据运算公式[f（x）?g（x）′=f（x）g（x）+f（x）g（x）]和[f（x）g（x）′][=f（x）g（x）-f（x）g（x）g（x）2来构造] 例3 已知函数[f（x）]的定义域是[R]，[f（0）=2]，对任意的[x∈R]，[f（x）+f（x）>1]恒成立，则不等式[ex?f（x）][>ex+1]的解集为（） A.（0，+∞）B.（-∞，0） C.（-1，+∞）D.（2，+∞） 解析构造函数[g（x）=ex?f（x）-ex]，因为[g′（x）=ex?f（x）+ex?f（x）-ex=ex[f（x）+f（x）]-ex] [>ex-ex=0]，所以[g（x）=ex?f（x）-ex]为[R]上的增函数.又[g（0）=e0?f（0）-e0=1]，所以原不等式转化为[g（x）>g（0）]，所以[x>]0.答案 A 例4 设函数[f（x）]满足[x2?f（x）+2x?f（x）=exx，][f（2）=][e28，]则当[x>0]时，[f（x）]（） A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值又无极小值 解析构造函数[F（x）=x2?f（x）] 则[f（x）=F（x）x2′=ex-2F（x）x3，] [令h（x）=ex-2F（x），则h（x）=ex（x-2）x.] [∴h（x）]在（0，2）上单调递减；在[（2，+∞）]上单调递增.[∴h（x）≥h（2）=0].[∴f（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增.] 答案 D 2.根据已知条件等价转化后再以“形式”来构造 运用下列形式的等价变形构造：分式形式[f（b）-f（a）b-a<1，] 绝对值形式[f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]，指对数形式[1×2×3×4ׄ×n≥en-sn.] 例5 设函数[ f（x）=lnx+mx]，[m∈R].（1）当[m=e]（[e]为自然对数的底数）时，求[f（x）]的极小值； （2）讨论函数[g（x）=f（x）-3x]零点的个数； （3）若对任意[b>a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立，求[m]的取值范围.解析（1）当[m=e]时，[f（x）=lnx+ex]，则[f（x）=x-ex2].∴当[x∈（0，e）]，[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，e）]上单调递减； 当[x∈（e，+∞）]，[f（x）>0]，[f（x）]在[（e，+∞]）上单调递增.∴[x=e]时，[f（x）]取得极小值[f（e）=lne+ee]=2.∴[f（x）]的极小值为2.（2）由题设知，[g（x）=f（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0）].令[g（x）=0]得，[m=-13x3+x（x>0）].设[φ（x）][=-13x3+x（x>0）]，则[φ（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）]，当[x∈（0，1]）时，[φ（x）]>0，[φ（x）]在（0，1）上单调递增； 当[x∈（1，+∞）]时，[φ（x）]<0，[φ（x）]在（1，+∞）上单调递减.∴[x=1]是[φ（x）]的惟一极值点，且是极大值点.因此[x=1]也是[φ（x）]的最大值点.∴[φ（x）]的最大值为[φ（1）]=[23].又[φ（0）]=0，结合[y=φ（x）]的图象（如图）可知，①当[m>23]时，函数[g（x）]无零点； ②当[m=23]时，函数[g（x）]有且只有一个零点； ③当[0 ④当[m≤0]时，函数[g（x）]有且只有一个零点.综上所述，当[m>23]时，函数[g（x）]无零点； 当[m=23]或[m≤0]时，函数[g（x）]有且只有一个零点； 当[0 ∴[m]的取值范围是[14，+∞].例6 已知[f（x）=（a+1）lnx+ax2+1]，（1）讨论函数[f（x）]的单调性； （2）[设a<-1，?x1，x2∈（0，+∞），][f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]恒成立，求[a]的取值范围.解析（1）[∵x∈（0，+∞），∴f（x）=2ax2+a+1x.] [①当a≥0时，f（x）>0，f（x）在（0，+∞）上单调递增.②当-10时，f（x）在（0，-a+12a）上单调递增；当f（x）<0时，f（x）在（-a+12a，+∞）上单调递减.③当a≤-1时，f（x）<0，f（x）在（0，+∞）上单调递减.] （2）不妨设[x1≤x2，]由（1）可知，当[a<-1]时，[f（x）]在[（0，+∞）上单调递减.] [则有f（x1）-f（x2）≥4x1-x2] [?f（x1）-f（x2）≥-4（x1-x2）] [?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.] [构造函数g（x）=f（x）+4x，则g（x）=a+1x+2ax+4≤0].[∴a≤（-4x-12x2+1）min.] [设φ（x）=-4x-12x2+1，x∈（0，+∞），] [则φ（x）=4（2x-1）（x+1）（2x2+1）2.] [故φ（x）在（0，12）上单调递减；][在（12，+∞）上单调递增].[∴φ（x）min=φ（12）=-2.] [∴a≤-2.] 一、构造法必须考虑适用的范围 当导数问题的证明是关于自然数n的求和式时, 此种方法宜用构造法. 二、构造函数必须巧设函数, 必要时适当换元 有些题目, 即使构造了函数由于函数求导非常复杂, 因此函数的构造应该以容易求出导数为主, 有时可以适当的换元. 证明不等式或解决不等式恒成立问题都可以利用作差法将不等式右边转化为0，然后构造新函数[F（x）]，最后根据新函数[F（x）]的单调性转化为[F（x）min≥0]或者[F（x）max≤0来解决.] 例1 设函数[f（x）=x1+x]，[g（x）=lnx+12]. 求证：当[0 证明 设[F（x）=f（x）-g（x）=x1+x-lnx-12]，[0 ∵[F（x）=1+x-x1+x2-1x=-x2-x-11+x2?x<0.] ∴[F（x）]在（0，1]上单调递减. ∵[F（1）=12-0-12=0，] ∴[F（x）]≥0，当且仅当[x=1]时，等号成立. ∴当[0 “分离参数法”构造 恒成立问题中，求参数范围的问题，常常分离参数转化为[a≤F（x）min或者a≥F（x）max，]其中[F（x）]为构造的新函数. 例2 若不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，则实数[a]的取值范围是（ ） A.（-∞，0） B.（-∞，4] C.（0，+∞） D.[4，+∞） 解析 不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立， 即[a≤2lnx+x+3x]在（0，+[∞]）上恒成立. 设[h（x）=2lnx+x+3x]，则[h′（x）=（x+3）（x-1）x2（x>0）]. 当[x∈（0，1）]时，[h′（x）<0]，函数[h（x）]单调递减； 当[x∈（1，+∞）]时，[h′（x）>0]，函数[h（x）]单调递增. 所以[h（x）min=h（1）=4]. 所以[a≤h（x）min=4]. 答案 B 根据题干的“结构特征”猜想构造 1. 根据运算公式[f（x）?g（x）′=f（x）g（x）+f（x）g（x）]和[f（x）g（x）′][=f（x）g（x）-f（x）g（x）g（x）2来构造] 例3 已知函数[f（x）]的定义域是[R]，[f（0）=2]，对任意的[x∈R]，[f（x）+f（x）>1]恒成立，则不等式[ex·f（x）][>ex+1]的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0） C.（-1，+∞） D.（2，+∞） 解析 构造函数[g（x）=ex·f（x）-ex]， 因为[g′（x）=ex·f（x）+ex·f（x）-ex=ex[f（x）+f（x）]-ex] [>ex-ex=0]， 所以[g（x）=ex·f（x）-ex]为[R]上的增函数. 又[g（0）=e0·f（0）-e0=1]， 所以原不等式转化为[g（x）>g（0）]，所以[x>]0. 答案 A 例4 设函数[f（x）]满足[x2?f（x）+2x?f（x）=exx，][f（2）=][e28，]则当[x>0]时，[f（x）]（ ） A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 解析 构造函数[F（x）=x2?f（x）] 则[f（x）=F（x）x2′=ex-2F（x）x3，] [令h（x）=ex-2F（x），则h（x）=ex（x-2）x.] [∴h（x）]在（0，2）上单调递减；在[（2，+∞）]上单调递增. [∴h（x）≥h（2）=0]. [∴f（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增.] 答案 D 2. 根据已知条件等价转化后再以“形式”来构造 运用下列形式的等价变形构造：分式形式[f（b）-f（a）b-a<1，] 绝对值形式[f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]，指对数形式[1×2×3×4×…×n≥en-sn.] 例5 设函数[ f（x）=lnx+mx]，[m∈R]. （1）当[m=e]（[e]为自然对数的底数）时，求[f（x）]的极小值； （2）讨论函数[g（x）=f（x）-3x]零点的个数； （3）若对任意[b>a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立，求[m]的取值范围. 解析 （1）当[m=e]时，[f（x）=lnx+ex]，则[f（x）=x-ex2]. ∴当[x∈（0，e）]，[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，e）]上单调递减； 当[x∈（e，+∞）]，[f（x）>0]，[f（x）]在[（e，+∞]）上单调递增. ∴[x=e]时，[f（x）]取得极小值[f（e）=lne+ee]=2. ∴[f（x）]的极小值为2. （2）由题设知，[g（x）=f（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0）]. 令[g（x）=0]得，[m=-13x3+x（x>0）]. 设[φ（x）][=-13x3+x（x>0）]， 则[φ（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）]， 当[x∈（0，1]）时，[φ（x）]>0，[φ（x）]在（0，1）上单调递增； nlc202309090555 当[x∈（1，+∞）]时，[φ（x）]<0，[φ（x）]在（1，+∞）上单调递减. ∴[x=1]是[φ（x）]的惟一极值点，且是极大值点. 因此[x=1]也是[φ（x）]的最大值点. ∴[φ（x）]的最大值为[φ（1）]=[23]. 又[φ（0）]=0，结合[y=φ（x）]的图象（如图）可知， ①当[m>23]时，函数[g（x）]无零点； ②当[m=23]时，函数[g（x）]有且只有一个零点； ③当[0 ④当[m≤0]时，函数[g（x）]有且只有一个零点. 综上所述，当[m>23]时，函数[g（x）]无零点； 当[m=23]或[m≤0]时，函数[g（x）]有且只有一个零点； 当[0 （3）对任意的[b>a>0]， [f（b）-f（a）b-a<1]恒成立[?f（b）-b 构造函数[h（x）=f（x）-x=lnx+mx-x（x>0）]， ∴[h（x）]在（0，+∞）上单调递减. 由[h′（x）=1x-mx2-1≤0]在（0，+∞）上恒成立得， [m≥-x2+x=-（x-12）2+14（x>0）]恒成立. ∴[m≥14（对m=14，h（x）=0仅在x=12时成立）.] ∴[m]的取值范围是[14，+∞]. 例6 已知[f（x）=（a+1）lnx+ax2+1]， （1）讨论函数[f（x）]的单调性； （2）[设a<-1，?x1，x2∈（0，+∞），][f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]恒成立，求[a]的取值范围. 解析 （1）[∵x∈（0，+∞），∴f（x）=2ax2+a+1x.] [①当a≥0时， f（x）>0，f（x）在（0，+∞）上单调递增.②当-1 （2）不妨设[x1≤x2，]由（1）可知，当[a<-1]时，[f（x）]在[（0，+∞）上单调递减.] [则有f（x1）-f（x2）≥4x1-x2] [?f（x1）-f（x2）≥-4（x1-x2）] [?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.] [构造函数g（x）=f（x）+4x，则g（x）=a+1x+2ax+4≤0]. [∴a≤（-4x-12x2+1）min.] [设φ（x）=-4x-12x2+1，x∈（0，+∞），] [则φ（x）=4（2x-1）（x+1）（2x2+1）2.] [故φ（x）在（0，12）上单调递减；][在（12，+∞）上单调递增]. [∴φ（x）min=φ（12）=-2.] [∴a≤-2.] 【摘 要】新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值。导数是分析和解决问题的有效具。 【关键词】导数 函数的切线 单调性 极值和最值 导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。 有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。 一、用导数求函数的切线 例1.已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。 分析：根据导数的几何意义求解。 解：y′ = 3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3 =-3(x-1)，即为：y =-3x.1、方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0)，相应的切线方程为y-y0= f′(x0)(x-x0)。 二、用导数判断函数的单调性 例2．求函数y=x3-3x2-1的单调区间。 分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。 解：y′= 3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。 由y′<0 得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。 故 所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为(0，2)。 2、方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。 三、用导数求函数的极值 例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值 解：由 f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.当x变化时，y′、y的变化情况如下： 当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y有极小值f(2)=－(4/3).3、方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。 四、用导数求函数的最值 五、证明不等式 5、方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。 总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。参考资料： 1、普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社） 一类带PML声波导中的共轭特征函数构造及其应用 在带有完美匹配层的有界区域中,由于改进的`复Helmholtz方程的特征函数一般不具有正交性,故数值步进求解复方程时存在着局部基下坐标计算的困难.本文一方面推导出此复偏微分方程的共轭特征函数所满足的方程,并论证方程的特征函数与共轭特征函数正交之性质;另一面,给出局部基下坐标计算的简便公式,它可使步进计算保持高效率.数值模拟结果表明所提方法切实可行、有效. 一、联想和、差函数的导数运算法则 例1设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)上可导,且f'(x) (A)f(x)>g(x) (B) f (x) (C)f(x)+g(a) (D)f(x)+g(b) 分析:由于题设条件中有“f'(x) 因为f'(x) 例2函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,且对任意x∈R,f'(x) 2,则f(x)>2x+4的解集为() (A)(-1,1)(B)(-1,+∞) (C)(-∞,-1)(D)(-∞,+∞) 分析:本题题设条件中有“f'x)>2”,这颇让人费解:导数f'(x)的正负决定着函数f(x)的单调性,这里“f'(x)>2”是何用意?联系到结论中的“f(x)>2x+4”,你是否有一种豁然开朗的感觉…… 构造函数g(x)=f(x)-2x-4,则不等式f(x)>2x+4⇔g(x)>0. 由于f'(x)>2,故g'(x)=f'(x)-2>0,即函数g(x)在R上单调递增. 又因为f(-1)=2,故g(-1)=f(-1)+2-4=0. 综上,不等式f(x)>2x+4⇔g(x)>g(-1)⇔x>-1,应选选项(B). 点评:例2中注意到题设条件f'(x)>2与所求结论f(x)>2x+4两者结构特征间的联系,进而联想到函数g(x)=f(x)-2x-4的单调性,有效考查了考生转化与化归的意识. 二、联想积函数的导数运算法则 例3函数f(x)是定义在R上的偶函数f(-2)=0,且x>0时f(x)+xf'(x)>0,则不等式xf(x)≥0的解集是______. 分析:由题设条件中的“f(x)+xf'(x)>0”联想到积函数y=xf(x)的单调性. 因为x>0时f(x)+xf'(x)>0,故构造函数y=xf (x),且该函数在(0,+∞)上单调递增. 又因为f(x)为偶函数,故y=xf(x)为奇函数. 结合f(-2)=0,可画函数y=xf(x)的大致图象如图1所示.易得,不等式xf(x)≥0的解集为[-2,0]∪[2,+∞). 例4f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0.对任意正数a,b,若a (A) af(b)≤bf (a)(B) bf(a)≤af(b) (C) af(a)≤f(b)(D) bf(b)≤f(a) 分析:同例3,构造函数y=xf(x),x∈(0,+∞). 由于xf'(x)+f(x)≤0,故函数y=xf(x)在(0,+∞)上或单调递减或为常数函数.所以,对任意正数a,b,若a 又因为f(x)≥0,且0 综上,af (b)≤bf(b)≤af(a)≤bf(a),应选选项(A). 点评:上述两例,由式子“xf'(x)+f(x)”联想到函数y=xf(x)的导数,思路自然、合理.其中,例4还可以借助商函数的单调性进行求解,读者不妨一试. 例5设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f (x)+xf'(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是() (A)f(x)>0 (B)f(x)<0 (C)f(x)>x (D)f(x) 分析:由题设条件“2f(x)+xf'(x)>x2”该如何进行联想……式子2f(x)+xf'(x)与函数y=x2f(x)的导数颇为相像,思路由此产生! 构造函数g(x)=x2f (x), 则其导数为g'(x)=2xf(x)+x2f'(x). ①当x>0时,由2f(x)+xf'(x)>x2,得g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)>x3>0,即函数g(x)=x2f (x)在区间(0,+∞)上递增,故g(x)=x2f(x)>g(0)=0⇒f(x)>0. ②当x<0时,有g'(x)=2xf (x)+x2f'(x) ③当x=0时,由2f(x)+xf'(x)>x2,得f(0)>0. 综上,对任意x∈R,有f(x)>0,应选选项(A). 点评:本例中构造函数不直接,有一定的曲折性,对学生的联想能力、创新能力有较高要求.又比如,由式子xf'(x)+nf (x),你能联想到哪个函数. 三、联想商函数的导数运算法则 例6函数f(x)是定义在R上的奇函数,(3)=0,且x<0时,xf'(x) 分析:由题设条件中的“xf'(x) 因为x<0时,,即函数在(-∞,0)上单调递减. 又由f(x)为奇函数,知为偶函数,故函数在(0,+∞)上单调递增. 结合f(3)=0,可画函数的大致图象如图2所示.易得,不等式f(x)≥0的解集为[-3,0]∪[3,+∞). 点评:要注意不等式f(x)≥0的解集中含有元素0. 例7 f(x)是定义在R上的可导函数,且f(x)>f'(x)对任意x∈R都成立,则下列不等式中成立的是() (A) f (2013)>e2013f (0),f (2013)>ef (2012) (B) f (2013)>e2013f (0),f (2013) (C) f (2013) 关键词：函数导数；构造思想；不等式 下面借助于教学过程中的几个例子，通过构造函数的方法来解决这类不等式的证明问题。 例1.已知m∈R函数f（x）=mx--lnx，g（x）=+lnx （1）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调递增函数，求实数m的取值范围 （2）证明：+++…+<，（n∈N*） 解析：（1）∵y=f（x）-g（x）=mx--2lnx， ∴y'=m+-≥0在[1，+∞）上恒成立， 即m≥在[1，+∞）上恒成立，又=≤1， 所以m≥1.故m所求的取值范围为[1，+∞）. （2）由（1）令m=1，设h（x）=f（x）-g（x）=x--2lnx≥h（1）=0 则2lnx≤x-，即≤（1-）. 于是≤（1-），（n∈N*） ∴++++…+≤[n-（+++…+）]<[n-（+++…+）]=[n-（1-+-+-）]= 所以+++…+<，（n∈N*） 例2.（1）已知函数f（x）=x（lnx+1），（x>0）若斜率为k的直线与y=f'（x）曲线 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：x1< （2）在数列{an}中，a1=1，an=an-1+2n·3n-2，（n≥2，n∈N*），cn= 求证：ln（1+n） 解析：（1）f'（x）=lnx+2（x>0），k= =要证x1< 即证x1< 等价于证明1<<，令t= 则只要证1< 故考虑证lnt 设g（t）=t-1-lnt，（t>1）则g'（t）=1->0 故g（t）在（1，∞）上是增函数 所以当t>1时， g（t）=t-1-lnt>g（1）=0，即lnt 设h（t）=tlnt-（t-1），则h'（t）=lnt>0，（t>1） h（t）在（1，∞）上是增函数，∴当t>1时， h（t）=tlnt-（t-1）>h（1）=0，即t-1 （2）据题意有=+2×3n-2，（n≥2） 由累加法得-=（-）+（-）+…+（-） =2（30+31+32+…+3n-2）=3n-1-1 ∴an=n·3n-1（n≥2），当n=1时，a1=1也满足上式 ∴an=n·3n-1（n∈N*） 从而cn=，∵ln（1+n）=ln（×××…） =ln+ln+ln+…+ln（1+） 为证ln（1+n） 令f（x）=x-ln（1+x），0 则f（x）在（0，1]上为单调递增函数，从而f（x）>f（0）=0 即x>ln（1+x），（0 ∴ln（1+）<，故得证！ 例3.函数f（x）=a（-1）-logb （1）当b=e（e是自然数的底数）时，若函数f（x）在 [1，∞）上为增函数，求实数a的取值范围 （2）求证：当n∈N，且n>19时，不等式9< 解析：（1）当b=e时，f'（x）=，依题意≥0在[1，∞）恒成立， 即x≥a在[1，∞）恒成立∴a≤1 （2）当a=1，b=e时，f（x）=+lnx在[1，∞）上为增函数， 当n>1时，令x=，则x>1，故f（）=+ln=-+ln>0 ∴ln> ∴+++…+ 又>=+++…+>++++++…+>+（+）+（+++）+…（+…+）>++…+=+9>9故不等式成立。 例4.设函数f（x）=mlnx，h（x）=x-a （1）当m=2时，若函数k（x）=h（x）-f（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围； （2）证明：当n≥2，n∈N*时，loge 2+loge 3+loge 4+…+loge n> 解析（1） 函数k（x）=h（x）-f（x）在[1，3]上恰有两个不同零点等价于方程x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根 令g（x）=x-2lnx，则g'（x）=1-， 当x∈[1，2），g'（x）<0；当x∈（2，3]，g'（x）>0 故g（x）min=g（2）=2-2ln2，又g（1）=1，g（3）=3-2ln3，g（3）-g（1）=ln<0∴g（1）>g（3）， 由题意只需g（2） （2）∵loge x=，在F（x）=f（x）-h（x）中，令m=1，a=0， 从而F（x）=lnx-x，∴F'（x）=-1=故函数F（x）在（0，1）上递增；在（1，∞）上递减 ∴F（x）≤F（1），即lnx≤-1+x ∴>=>=-，（n≥2） ∴loge 2+loge 3+loge 4+…+loge n=++…+>1-+-+…+（-）=1+--=即得证。 总之，利用导数研究函数与不等式，方程，数列这一类解答题比较灵活，通过巧妙构造函数可以将其化归为易解决的问题，以上的几个例子都体现了构造函数这一思想方法。利用函数导数证明不等式一般需要注意： （1）充分联想前一个问题或已知条件中函数的结构； （2）观察待证不等式，分析法构造适当的函数； 【构造函数法在导数中的应用】推荐阅读： 导数中的构造函数方法09-03 辅助函数的构造和应用07-07 构造函数法11-29 构造函数与析构函数09-20 c++中六种构造函数的实现以及9中情况下，构造函数的06-13 辅助函数的构造方法12-04 构造函数证明不等式07-19 导数的应用函数单调性09-15 导数与函数06-16构造函数法在导数中的应用 篇2
构造函数法在导数中的应用 篇3
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构造函数法在导数中的应用 篇5
构造函数法在导数中的应用 篇6
构造函数法在导数中的应用 篇7