第八章多元函数的微分法及其应用

第八章多元函数的微分法及其应用（通用2篇）

第八章多元函数的微分法及其应用 篇1

第八章多元函数的微分法及其应用

§ 1多元函数概念

一、设.二、求下列函数的定义域：

1、2、三、求下列极限：

1、（0）

2、()

四、证明极限不存在.证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着 趋于（0，0）时，极限为 ,二者不相等，所以极限不存在五、证明函数在整个xoy面上连续。

证明：当 时。当 时，所以函数在（0，0）也连续。所以函数

在整个xoy面上连续。

六、设 且当y=0时，求f(x)及z的表达式.解：f(x)=，z

§ 2偏导数

1、设z=,验证

证明：，2、求空间曲线 在点（）处切线与y轴正向夹角()

3、设 ,求(1)

4、设 , 求，解：，5、设，证明 :

6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由

连续；不存在，7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求

（2fx(a,b)）

§ 3全微分

1、单选题

（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________

(A)必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件

（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件

（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___

(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：

1）

2）解：

3）解：

3、设，求

解：

=

4、设求：

5、讨论函数 在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性

解：所以 在（0，0）点处连续。，所以可微。

§4多元复合函数的求导法则

1、设，求

解： =

2、设，求

3、设，可微，证明

4、设，其中 具有二阶连续偏导数，求，解：，=,5、设，其中 具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数，求

解：，6、设，，求

解：。

7、设，且变换可把方程=0化为，其中 具有二阶连续偏导数，求常数 的值

证明：

得：a=

38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1, ,又，求和(1),(a+ab+ab2+b3)

§ 5隐函数的求导公式

1、设，求

解：令，2、设 由方程 确定，其中 可微，证明

3、设 由方程 所确定，其中 可微，求

4、设，求，(，)

5、设 由方程 所确定，可微，求

解：令，则

6、设 由方程 所确定，求()

7、设z=z(x,y)由方程所确定，求 ，,§ 6微分法在几何中的应用

1、求螺旋线在对应于 处的切线及法平面方程

解：切线方程为

法平面方程

2、求曲线在（3，4，5）处的切线及法平面方程

解：切线方程为，法平面方程：

3、求曲面 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程

解：切平面方程为

及法线方程

4、设 可微，证明由方程 所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行

证明：令，则，所以在（）处的切平面与定向量（）平行。

5、证明曲面）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为

证明：令，则

在任一点 处的切平面方程为

在在三个坐标轴上的截距分别为 在三个坐标轴上的截距的平方和为

证明曲面 上任意一点 处的切平面都通过原点

7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有

k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点

证明 ：两边对t 求导，并令t=

1设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：

+ + =0

此平面过原点（0，0，0）

§ 7方向导数与梯度

1、设函数，1）求该函数在点（1，3）处的梯度。

2）在点（1，3）处沿着方向 的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向

解：梯度为, 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到

最小值的方向为。

2、求函数 在（1，2，-1）处沿方向角为 的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

解：：方向导数为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向，此时最大值为

3、求函数 在（1，1，-1）处沿曲线 在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。

解：：，该函数在点（1，1，-1）处的方

向导数为，4、求函数 在（1，1，-1）处的梯度。

解：：，§ 8多元函数的极值及求法

1、求函数 的极值。

答案：（，）极小值点

2．求函数 的极值

答案：极小值

3.函数 在点（1，1）处取得极值，求常数a(-5)

4、求函数 在条件 下的条件极值

解：，极小值为

5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。

（长和宽2米，高3米）

6、在球面（）上求一点，使函数达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明有

证明：令

令，解得驻点。所以函数 在 处达到极大值。极大值为。即，令 得。

7、求椭球面 被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的长度

解：，长半轴，短半轴

第八章自测题

一、选择题：（每题2分，共14分）

1、设有二元函数则[]

A、存在；

B、不存在；

C、存在，且 在(0,0)处不连续；

D、存在，且 在(0,0)处连续。

2、函数 在 各一阶偏导数存在且连续是 在 连续的[]

A、必要条件；B、充分条件；

C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。

3、函数在(0,0)点处[]

A、极限值为1；B、极限值为-1；

C、连续；D、无极限。

4、在 处，存在是函数在该点可微分的[]

（A）必要条件；（B）充分条件；

（C）充要条件；（D）既非必要亦非充分条件。

5、点 是函数 的[]

（A）极小值点；（B）驻点但非极值点；

（C）极大值点；（D）最大值点。

6、曲面 在点P(2,1,0)处的切平面方程是[]

（A）；（B）；

（C）；（D）

7、已知函数 均有一阶连续偏导数，那么 []

(A);(B);

(C);(D)

二、填空题：（每题３分，共18分）

1、（0）

２、设，则（）

３、设 则(0)

４、设，则在点 处的全微分.５、曲线 在点 处的切线方程为(６、曲线 在点(1,1,1)处的切线方程为()

三、计算题（每题6分）

1、设，求 的一阶偏导数。

2、设，求此函数在点 处的全微分。并求该函数在该点处沿着从P 到 方向的方向导数(，)

３、设 具有各二阶连续偏导数，求

解：

４、设求 和。

不存在，故 不存在，同理，也不存在。

当 时，有

５、设 由方程 所确定，求()

６、设，具有连续的二阶偏导数，可导，求

７、设 确定函数，求。

８、设，式中 二阶可导，求

解：记，则，)

类似地，有

四、（１０分）试分解正数 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。设三个正数为，则，记，令

则由

解出。

五、证明题：（１０分）

试证：曲面 上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中 连续可导。证明：曲面在任一点 处的切平面的法向量为

定直线L的方向向量若为，则，即

则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。

第八章多元函数的微分法及其应用 篇2

1 一阶微分形式不变性

一阶全微分形式不变性是指[1]:无论u, v是自变量还是中间变量, 函数zz ff ( (uu, , vv) 的全微分形式是一样的。此性质的好处:一方面可以直接不用区分变量直接利用一元函数的微分性质计算;另一方面不用区分变量是自变量、因变量还是中间变量, 以及它们的结构问题就可以直接利用微分性质直接计算。

2 一阶全微分形式不变性在求偏导数中的应用

对于多元函数求偏导数, 实际就是利用一元函数的求导公式, 但是不同的是对其中一个变量求偏导时, 要将其它变量都看成常量。但这一点学生往往容易出错, 而一阶微分形式不变性可以解决这一问题, 同时对于变量更多时可以一次求出所有偏导数。

解:

从而对应变量微分的系数就是此变量的偏导数, 即

3 一阶全微分形式不变性在求多元复合函数求导中的应用

多元复合函数求导是多元函数微分法这一章的重点, 同时也是一个难点。第一, 学生对变量之间的结构分析不清楚, 尤其三层或更多层复合情形时, 导致用树形图画不出来, 就很难用链式法则求解;第二, 对有些变量既是中间变量又是最终自变量这一情形很容易出错;第三, 对外层是抽象函数, 学生一方面不会设中间变量, 另一个方面学生对抽象问题很害怕, 无从下手。但是用一阶全微分形式不变性就可以轻松解决这些问题。

从而得:

4 一阶全微分形式不变性在求隐函数求导中的应用

隐函数求导最容易出错的就是学生忘记因变量是自变量的复合函数, 必须按复合函数求导法则计算。但是利用一阶全微分形式不变性就可以避免出现这样的错误。且微分时根本不需要管谁是自变量, 谁是因变量, 只需在最后求出因变量的微分即可。

解:两边微分得:

一次求出四个偏导数, 且不需考虑隐函数的复合形式。

结束语

从上例的计算过程可以发现, 求偏导数、复合函数求导以及隐函数求导这些不同问题都可以用统一方法———全微分形式不变性来解决;且所有解决过程不需要考虑变量的结构或是自变量、中间变量、因变量, 一律用微分的性质或定义可以直接计算。同时关于这一章后面几节--多元函数微分法的几何应用、方向导数和梯度、多元函数的极值及其求法, 其实还是求偏导问题, 都可以用上面所用的一阶全微分形式不变性解决。因此, 这一章用一种方法就可以将其统一, 便于学生掌握, 同时简化计算的复杂性, 使学生可以用上学期学过的微分的性质加这学期的全微分定义就可以轻松解决这些复杂问题。

摘要：多元函数微分法这一章对学生来说有一定的难度, 且每节内容的解决方法都不同, 这就导致学生难以掌握。而一阶全微分形式不变性可以将这些内容的解决方法统一起来, 使学生轻松解题。

关键词：多元函数,全微分,偏导数,隐函数,微分形式不变性

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (下) [M].高等教育出版社, 2007;63-89.