反函数法

反函数法（精选12篇）

反函数法 篇1

函数思想和方法重在揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化、联系和发展角度进行思维.

在中学数学中,函数思想方法,主要体现在根据问题的需要,构造函数模型,从而将所给问题转化为函数问题,利用函数的性质( 如单调性、奇偶性、周期性、图像、最值等) 使问题得以解决. 下面就利用函数思想方法解决不等式问题举出两例:

例1设不等式mx2- 2x - m + 1 < 0对于满足m ≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.

从表面看,这是一个含参数m( - 2≤m ≤2) 的关于的一元二次不等式问题,实质上,本题通过变形化为关于m的一元一次不等式,且已知它的解集为[- 2,2],求参数的取值范围. 用分类讨论思想解法如下:

从以上解法看比较繁琐,利用函数思想可非常容易得出结论:

两种解法对照,显而易见,构造函数法要简明得多.

构造函数法,揭示了两个变量之间的本质联系. 即函数f( x) = ( x2- 1) m - 2x + 1当自变量m在[- 2,2]上取值时对应的函数值f( m) 都小于零( 函数图像在x轴下方) . 依据一次函数的单调性,只要m取两端点值时函数值f( 2) 和f( - 2) 小于零,即满足题意,所以解不等式组

即得出结论.

例2不等式x3-1/2x2-2x + c < c2对任意x∈[- 1,2 ]恒成立,求实数c的取值范围 .

这是一个求不等式中参系数问题,我们可通过构造函数,利用函数性质,将不等式转化得出结论.

解原不等式即为

当x变化时,y',y的变化情况如下表:

从表中可知f( x) 在[- 1,2]上最大值为2.

两个例题,从表面看是两个不同题型,但均可采用函数思想解答. 因为两个问题都反映两个变量间关系. 例1是已知不等式中参系数m的取值范围,求变量x的取值范围,将问题转化为已知函数定义域与函数值域,求待定系数x,不等式化归为关于m的一次函数,利用一次函数单调性得解; 例2是给定不等式中变量x的取值范围,求参系数c的取值范围,化归为函数后,求出函数在定义域内的最大值得关于c的不等式,使问题得到解决.

函数思想方法的应用十分广泛,在此只列举了两个含参数的条件不等式. 利用函数思想将不等式化归为函数,然后利用函数的单调性,最值来处理,使问题解得简洁、明快、 易懂. 函数的伟大就在于此.

反函数法 篇2

：题设条件多元-构造一次函数

B：题设有相似结构-构造同结构函数主要介绍

C：题设条件满足三角特性-构造三角函数 D：其它方面——参考构造函数解不等式

A、题设条件多元时，选择构造一次函数

例

1、已知x.y.z(0,1).求证：x(1y)y(1z)z(1x)1（第15届俄罗斯数学竞赛

题）

分析 此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。可构造一次函数试解本题.证法一 函数图像性质法、构造函数f(x)(yz1)x(yzyz1)因为y,z(0,1)，所以

f(0)yzyz1(y1)(z1)0

f(1)yz1(yzyz1)yz0

而f(x)是一次函数，其图象是直线，所以由x0,1恒有f(x)0，即(yz1)x(yzyz1)0，整理可得x(1y)y(1z)z(1x)

1证法二函数单调性法、构造一次函数f(x)x(1y)y(1z)z(1x)整理，得：

f(x)(1yz)x(yzyz).(0x1)

因为0x1，0y1,0z1 所以11yz

1(1)当01yz1时,f(x)在0,1上是增函数，于是f(x)(2)当

11yz0

f(x)1yz1；

时,f(x)

在1,0上是减函数，于是

f(x)f(x)=yzyz=1(1y)(1z)1；

(3)当1yz0时，即yz1时，f(x)

成立。

yzyz1yz1。综上所知，所证不等式

小结(1)为了利用所构造的一次函数的单调性，将11yz1分成“01yz1,11yz0,1yz0”三种情况讨论，使问题得以解决。

(2)解决本题有两个核心的地方，一是将证式构造成一次函数，二是对一次项系数进行逻辑划分。

(3)本题也可以构造关于y或z的一次函数，这就需要真正理解函数的实质概念。

例

2、已知1a,b,c1：，求证:abcabc

2证明 构造一次函数y(bc1)x2bc，易知bc10，在1又x

则由一次函数的性质不难得知当1

x1时，y0；又1a1所以xa

1时,y(bc1)12bc

x1时，y

为减函数；

=bc1bc(1b)(1c)0

时，y0，即(bc1)a2bc0 命题得证

B、题设条件有相似结构时-构造同样结构的函数

例

1、a、b、c, R，求证

abc1abc



a1a



b1b



c1c

.证明：构作函数f(x)当任意x1，x2满足0

f(x2)f(x1)

x21x

2x1x

x1x，x[0,)，则研究这个函数性质如下：

时，0

x1x2



x11x

1

x2x1

(1x1)(1x2)，所以函数f(x)在[0,)是递增函数.f(|a||b||c|).因为|abc||a||b||c|，所以f(|abc|)即

|abc|1|abc|



|a||b||c|1(|a||b||c|)

|a|1|a|

|b|1|b|



|a|

1|a||b||c|



|b|

1|a||b||c|



|c|

1|a||b||c|



|c|1|c|

.不等式得证.例

2、解方程(6x+5)(1+

(6x5)4)x(1

x4)0．

为f(6x+5)=-f(x).只要证明f(x)是奇函数且是单调函数，就能简单的解出此题．

解：构造函数

f(x)=x(1+

原方程化为

f(6x+5)+f(x)=0．

显然f(-x)=-f(x)，f(x)是奇函数.再证f(x)具有单调性.x4))，f(x)在（-∞,+∞）上是增函数.所以f(6x+5)=f(-x)x=－

5C、题设条件满足三角函数的特性时-构造三角函数

例

1、已知a.b.x.yR.且a2b

21，xy1.求证：1axby

1证明 已知x

y

由a2b21，xy1，可设

bsin,acos.xcos,ysinaxbycoscossinsincos()1所

以1axby1

例

2、分析 由根号里面的代数式可以看出有这样的关系：x1x1且0故想到三角函数关系式并构造xsin2

所以ysinxcosx

D、其它-参考构造函数解不等式

在解决不等式的证明题时常常通过构造辅助函数，把原来问题转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性等性质来解决。

例

1、求证不等式：

证明：构造函数：f(x)

x1

2x

x1.(0

)



)，当



即x时,ymax



x12

x



x2

(x0)



x2

(x0)

x2x2

x

x

f(x)

x12

x

2

1

x2

所以

f(x)的图像关于y



xx

1(12)x212x12

x

x

x

x2

f(x).轴对称。当x0时，12x

0，故f(x)0；当x0时，依图象的对称性知f(x)0.故当x0时，恒有f(x)0.即

x12

x



x2

(x0).例

2、已知x0，求证：x

1x



1x

1x



52证明：构造函数f(x)

x

1x

(x0)，则x

1x

2，设2,由

f()f()

1

(

11()(1)

)()



1显然：因为2

，所以-＜0，＞1，所以f()

f()0，所以f(x)在2,上是单调递增的，所以

x

1x

1x

1x

f(2)

构造法解函数不等式 篇3

例1 已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导函数f'（x）>x1，则不等式f（x）<1/2x? -x+1的解集为_______________.

我们并不知道问题中的函数f（x）的解析式，只知道它满足两个条件：①f（2）=1，②导函数.f'（x）>x-l，求解不等式f（x）<1/2x?-x+1.这样的问题称为“求解函数不等式”.注意到（1/2x?-x+1）'=x-1，构造函数g（x）=f（x）-（1/2x?-x+1），本质就是解不等式g（x）<0.

g'（x）=f'（x） -x+1.由条件②知，g'（x）>o，所以g（x）在（-∞，+∞）上为增函数.又由条件①，知g（2）=f（2）-1/2×4+2-1=0，故由g（x）

由此可见，解此类函数不等式的步骤是：

Sl结合题设中的导数条件和所要求解的函数不等式，构造一个新函数；

S2确定新函数的导数符号，以确定新函数的单调性；

S3利用新函数的单调性及图象中的特殊点，得到函数不等式的解集.

例2 函数f（x）的定义域是R，f（o）=2，对任意x∈R，f（x）+f'（x）>1，则不等式ex·f（x）>ex+1的解集为__________.

解析记函数g（x）=ex·f（x）-ex1，则g'（x）=ex（f（x）+f'（x）-1）.

因为对任意x∈R，f（x）+'（x）>1，所以g '（x）>0恒成立，所以g（x）在（-∞，+∞）上为增函数，因为g（0）=f（o）-11=0，所以不等式ex·f（x）>ex+1，即g（x）>g（0）的解集是x>o，所以不等式e·f（x）>ex+1的解集为（o，+∞）.

评析最简单的构造函数方法是“g（x）一左边-右边”，这样目标就是解不等式g（x）>o.

例3 已知f（x），g（x）（g，（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'（x）g（x）

解析

当x<0时，由题设得h'（x）

由f（-3） =0，得h（-3）=-h（3）=0.

由h（x）3.

不等式的解集为（-3，0）∪（3，+∞）.

评析对照导数条件f'（x）g（x）

例4 己知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）

解析因为f（x+2）为偶函数，所以f（x+2）的图象关于直线x=o对称，所以f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（0）=f（4）=1.

因为f'（x）

因为

不等式f（x）

评析导数条件“f'（x）

例5 已知函数y=f（x）对于任意的x满足f'（x）cosx+f（x）sinx>0（其中'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不一定成立的是

（）

解析 设故B正确.A，C同理.故选D.

评析导数条件中的“+”未必是两个函数的积的导数，本题中，（cosx）'=-slnx，所以，我们仍然是构造商函数.

例6 已知函数f（x）满足x>o时，有则下列结论一定成立的是

（）

解析 由f'（x）=2X?，得f（x）=2/3x?+C.

当x>o时，由f'（x）=2x?>得

评析关键是确定常数C的取值范围.导数条件f'（x）>变形为xf'（x）-f（x）>o，这样就能联想到构造什么样的新函数了.

小结联系已知导数条件和要求解的函数不等式，构造辅助函数是求解这类问题的常用方法.构造方法无非是两个函数的和、差、积和商，通过研究辅助函数的单调性、奇偶性等性质得到函数不等式的解.特别注意函数ex、Inx，前者的导数永远不变，后者的导数变成多项式，弄清楚它们的结构特点，有助于我们联想得更快、更准.

函数列表法的应用 篇4

一、列表法的概念

1. 列表法的定义

列表法就是通过列出表格来表示两个变量的函数关系的方法.

2. 列表法的优缺点

列表法优点是对于表中自变量的每一个值, 可以不通过计算, 直接把函数值找到, 查询时很方便, 这种表格常常应用到实际生产和生活中.缺点是表中不一定能把所有的自变量与函数对应值全部列出, 而且从表中看不出变量间的对应规律.

例1某种笔记本的单价是5元, 买x (x∈{1, 2, 3, 4, 5}) 个笔记本需要y元, 试用函数的三种表示法表示函数y=f (x) .

解这个函数的定义域是数集{1, 2, 3, 4, 5}.

(1) 用解析法可以将函数y=f (x) 表示为y=5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}.

(2) 用列表法可以将函数y=f (x) 表示为 (如表1所示) :

(3) 图像法 (如图1所示) .

通过以上三种方法的比较可以看到三种表示方法及它们各自的特点, 而本题利用列表法可以更直接明了的知道所需要的钱.也就是说当自变量的取值较简单又少时我们可以考虑利用列表法来表示函数, 达到直观、形象的目的.

二、列表法的应用

(一) 在作图中的应用

例2画出函数的图像.

解先利用五点法列表 (如表2所示) .

再描点画图, 然后由周期性, 通过向左、向右平移 (每次π个单位) 得整个图像 (如图2所示) .

评注因为它是一个周期函数, 所以可通过列表法将一个周期中的五个关键点列出, 达到作出图像的目的.同时利用多媒体技术提供直观、逼真的呈现周期变换的图像, 引发学生的好奇心, 激发学生学习和探索数学的动机, 渲染了轻松活跃的课堂气氛, 寓学于乐.使学生在轻松愉悦的氛围中获取新知识.

(二) 在实际生活中的应用

例3假设你有一笔资金用于投资, 现有三种投资方案供你选择, 这三种方案的回报如下:

方案一:每天回报40元.

方案二:第一天回报10元, 以后每天比前天多回报10元.

方案三:第一天回报0.4元, 以后每天的回报比前一天翻一番.

请问:你会选择哪种投资方案?

分析我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型, 再通过比较它们的增长情况, 为选择投资方案提供依据.

解设第x天所得回报是y元.

第一方案的函数模型:y=40 (x∈N*) .

第二方案的函数模型:y=10x (x∈N*) .

第三方案的函数模型:y=0.4×0.2x-1 (x∈N*) .

列表比较 (如表3所示) :

根据以上的分析, 你会发现:

·投资5天以下选方案一.

·投资5～8天以下选方案二.

·投资8天以上选方案三.

评注正所谓:事实胜于雄辩.本题中不同的函数增长模型, 增长变化存在很大差异, 无从下手.而通过多媒体展示大量的数据、图形, 让学生能够充分地观察物体, 以培养学生的决策能力和协作精神, 并直观地体现它们的增长趋势, 从而为我们的投资提供依据.

三、与新课改的联系

可通过多媒体对以上三道例题进行分析, 直观地体现了列表法在解决各类函数问题的实际运用, 让学生体验了学习数学的过程, 感受学习数学带来的喜悦.

构造函数法证特殊数列不等式 篇5

题目1：求证1111111+1++…+ln(1n)1++++…+

题目2：求证

题目3：求证234n1234n2n(n1)ln2ln3ln4lnn ln2ln3ln4lnn

234n1

n

构造函数法证特殊数列不等式

题目1：求证12111111+1++…+ln(1n)1++++…+ 34n1234n

(一)构造函数①f(x)ln(1x)

分析：f(x)x(x0)1x1(1x)xx=>0,函数f(x)在(0,+)上单调递增。221x(1x)(1x)

x(x0)1x

1111111,ln(1),ln(1)，…… 因而有ln(1)13141112231123ln(1)1nn11n

11111111故：ln(1)+ln(1)+ln(1)+……+ln(1)>+++……+ 123n234n11111即ln(1n)+++……+ 234n1所以当x0时，有f(x)>f(0)=0，即有ln(1x)

（二）构造函数②f(x)ln(1x)x(x0)分析：f(x)x11=<0,函数f(x)在(0,+)上单调递减。1x1x

所以当x0时，有f(x)

233nn

11111111故：ln(1)+ln(1)+ln(1)+……+ln(1)<1++++……+ 123n234n1111即ln(1n)1++++……+ 234n因而有ln(1)1,ln(1),ln(1),……, ln(1) 1112

综上有：12111111ln(1n)1++++…+ +1++…+34n1234n小结：记住函数不等关系㈠

题目2：求证x

(三)构造函数③f(x)lnxx1(x0)x1

1(x1)(x1)x21分析：f(x)=>0,函数f(x)在(0,+)上单调递增。22x(x1)x(x1)

x1(x1)x1

211312413,ln3,ln4，…… 因而有ln2213314415

n1lnn n1所以当x1时，有f(x)>f(1)=0，即有lnx

故：ln2ln3ln4lnn>

综上有1234n2n12xxxx……xx= 3456nn1n(n1)2ln2ln3ln4lnnn(n1)

x1lnx(x1)x1

ln2ln3ln4lnn1题目3：求证234nn小结：记住函数不等关系㈡)构造函数④f(x)lnx(x1)(x1（注：此函数实质和构造函数二一样）分析：f(x)1=1

x1x<0,函数f(x)在(1,+)上单调递减。x

所以当x1时，有f(x)

因而有ln21,ln32,ln43，……，lnnn1

ln2ln3ln4lnn1234（n2)(n1)n

n（n2)(n1)即有ln2ln3ln4lnn234 故有：ln2ln3ln4lnn1234nn

小结：记住函数不等关系㈢lnxx1(x1)

识记重要不等式关系

ln(1x)x(x0)1x

ln(1x)x(x0)

x

x1lnx(x1)x1

lnxx1(x1)

资料由谢老师收集：

一类特殊的幂指函数求导法 篇6

关键词：幂指函数；对数求导法；隐函数

形如的函数叫做幂指函数。求幂指函数的导数，在大多数高等数学教材中都是采用的对数求导法，方程两边同时取自然对数，把幂指函数的幂落下来变成隐函数，再按隐函数的求导法则来求导。但是过程烦琐，学生不易掌握。在后来学习多元函数微积分时，按多元复合函数求导会方便很多，但是由于课程的时限性，多元函数还没有学习之前，显然不能按多元复合函数求导来求幂指函数的导数。受此启发，在对数求导法的基础上，给出一种当时学生可以理解的幂指函数求导法。

1.预备知识（启发命题）

多元复合函数的求导法则:复合函数,其中,若对可導,则对也可导,全导数'。此命题在许多高等数学教材中都有介绍，这里证明省略。

2.一个命题

已知函数，若对可导，则对可导，且 | |。（命题*）

证明：方程两边同时取自然对数，对数求导法

Lnln

方程两边同时对求导，把看作的函数即，隐函数求导法

参考文献：

[1]张随学.负三次幂函数与排列数的交错级数型线性微分方程[J]中国科技期刊学会,http://www.xtd-gmw.cn/jiaoyu/class/;2005.03

“零点坐标法”求解函数零点 篇7

函数零点的性质原是大学的内容, 由于学生在求解函数零点时往往无从下手. 以原来的教学方法似乎不能达到新课程的要求, 希望能寻找更好的解决办法. 通过对大学函数的学习和研究, 结合新课程改革的教学思想发现: 高中解高次不等式会用到零点的性质, 那么令不等式等于0, 解出零点, 再用数轴画出示意图, 根据图像就可以得出答案[2]. 受此启发, 利用“函数零点”解出函数的零点个数, 在直角坐标系中标出零点, 根据最值, 画出示意图, 判断函数零点的情况, 简称“零点坐标法”, 似乎是一种新的求解函数零点的方法[3]. 不难看出函数零点体现了函数与方程的思想, 由于与高等数学相衔接, 利用函数零点解决函数问题已成为高考命题的一个热点.

例1 求证y = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 有且仅有一个零点.

解: 令f ( x) = 2x+ lg ( x + 1) - 2, 因为f ( 0) = - 1 < 0, f ( 2) = 2 + lg3 > 0,

则f (0) f (2) <0, 只需证明该函数在 (0, 2) 内单调性即可

即f ( x1) < f ( x2) , 则f ( x) = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 单增,

所以y = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 有且仅有一个零点.

说明: 此例利用零点存在定理和单调性证明函数存在唯一零点, 如果函数存在多个零点, 此解法就比较繁琐.

例2 试求函数y = ( x2- 1) 2- | x2- 1 | + k的零点个数.

解法1: 函数零点等价于方程 ( x2- 1) 2- | x2- 1 | + k = 0 的根

令t = | x2- 1 | , k = - t2+ t.

利用复合函数函数单调性画出图3.

解法2:令f (x) = (x2-1) 2-|x2-1|, 则F (x) =f (x) +k.

则将空间分为6 个区间, 在各区间中代入一点可画出法一示意图, 则显然F ( x) = 0 可能有2 个零点, 5 个零点, 8 个零点.

说明: ( 1) 使用常规的换元法解此题思路繁琐, 计算量大, 易出错. ( 2) 用函数零点解题就简单方便, 只需求出函数的零点和最值, 然后画出示意图根据图像即可判断函数零点的个数, 此方法是否可以推广求多项式函数的零点个数?

例3 求f ( x) = ax2+ bx的零点.

说明: 此方法可以判断二次多项式的零点个数, 那么这样是否就可以求三次多项式的零点个数呢?

例4求y=ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的零点?

解:f (x) =ax3+bx2+cx=x (ax2+bx+c=0.

代入f ( x) = ax3+ bx2+ cx求出其最大值和最小值为k1和k2.

画出示意图4.

当d > - k2或d < - k1时, y =ax3+ bx2+ cx + d只有一个零点;

当- k1< d < - k2时, y = ax3+bx2+ cx + d只有三个零点.

说明: 此例通过设f ( x) = 0, 将三次多项式降次为二次, 再利用二次多项式求零点的个数的方法来求一般三次多项式的零点个数.那么, 我们是否可以通过这样来求四次多项式、五次多项式……的零点个数呢? 由上面的例子可以总结用“零点坐标法”求一般多项式的零点时, 通过降次, 求零点, 最值, 循环使用上面的步骤, 则可求解y = anxn+ an - 1xn - 1+ … + a1x + a0的零点个数.

摘要：“零点坐标法”, 是一种新的求解函数零点的方法, 函数零点体现了函数与方程的思想, 本文对高中数学中利用“零点坐标法”求解函数零点的题目的示范, 浅析此法在题目中的应用.

关键词：零点坐标法,函数,求解

参考文献

[1]阳志长.分析探讨, 零点突破[J].中学数学, 2012 (12) :32-34.

[2]赵霞.函数零点问题探讨[J].理科考试研究:高中版, 2015, 22 (5) :10-11.

典型函数单调性题解法大观 篇8

题型一求函数的单调区间: 因为函数的单调性是一个局部概念, 因此函数的单调区间是函数定义域的子集, 求函数的单调区间前应先求函数的定义域.

例1函数y =f ( x) 在区间 ( -3, 3) 上是增函数, 则y =f ( x + 5) 的递增区间是__________.

分析本题是求抽象函数的单调性问题, 当然也可以看成函数y =f ( x) 图像向左平移5个单位而得到函数y =f ( x + 5) 的图像.

例2函数f ( x) = log4 ( x2+ 4x - 5) 的单调增区间为_____________.

分析本题是求复合函数单调区间问题, 按照“同增异减”原则只要求内函数u = x2+ 4x - 5的单调增区间, 这里须提醒的是注意定义域.

例3已知函数的单调增区间为_________ .

分析本题是分段函数求单调区间问题, 一定要注意两段函数的端点值, 本题增区间为 ( -∞ +∞) ; 若将第二段改为f ( x) =x+1, 那么单调增区间为 ( -∞, 1) 和 (1, +∞) .

题型二证明函数的单调性: 证明函数的单调性须用函数单调性的定义进行证明, 它与判断函数的单调性有根本的区别.

例4证明:函数的单调性.

分析本题用单调性的定义证明, 在用定义证明前最好将原式变形为: f ( x) =1 -2/ (2x+ 1) .

例5设函数f ( x) =x +p/x ( p >0) 在 (0, 2) 上是单调减函数, 求p的范围.

题型三比较函数的大小: 利用函数单调性比较大小时须将变量化到同一个单调区间内才能比较大小.

例6 (1) 已知函数f ( x) 在区间 (0, +∞) 上是减函数, 则f ( x2+ x + 1) 与f (3/4) 的大小关系是__________ .

(2) 定义在R上的偶函数y = f ( x) 满足f ( x + 1) =- f ( x) 且在[- 1, 0]上单调递增, 设f ( 3) = a, f ( 2) = b, f (1/2) = c, 则a, b, c的大小关系为_____ .

分析 ( 1) 判断x2+ x + 1与3/4的大小关系即可以比较大小了.

( 2) 必须将a, b, c对应的变量化到同一单调区间上来才能比较大小, 又偶函数y =f ( x) 在[-1, 0]上单调递增, 所以y =f ( x) 在[0, 1]上单调递减, 函数y = f ( x) 满足f ( x +1) = - f ( x) , 说明函数的周期为2, 这样a = f ( 3) = f ( 1) , b =f ( 2) = f ( 0) 就可以比较大小了.

题型四解不等式: 利用函数的单调性解不等式注意单调区间的限制条件.

例7 (1) 已知, 则不等式的解集为 _______.

(2) 已知偶函数y =f ( x) ( x∈[-1, 1]) 在区间[0, 1]上是单调递增函数, 若f ( m -1) ≥f (1 -2m) , 则实数m的取值范围为__________.

例8 (1) 已知奇函数f ( x) 在 (0, +∞) 上为增函数, 且f ( 1) = 0, 则不等式 (f ( x) - f ( - x) ) /x< 0的解集为 __________.

(2) 已知函数f ( x) 是R上的增函数, A ( 0, -1) , B ( 3, 1) 是其图像上的两点, 那么不等式| f ( x) | < 1的解集是____________.

分析 ( 1) (f ( x) - f ( - x) ) /x< 0可化为xf ( x) < 0, 结合函数图像可以得解集.

( 2) |f ( x) | <1可化为 -1

题型五单调性的逆运算.

例9 ( 1) 若函数f ( x) = mx2+ x + 5在 [- 2, + ∞ ) 上是增函数, 则m的取值范围是________.

( 2) 已知y =loga (2 -ax) 在[0, 1]上是x的减函数, 则a的取值范围是__________.

分析①注意讨论m =0, m >0, m <0这三种情形或用求导方法求m的范围.

②此函数为复合函数, 内函数u = 2 - ax为减函数, 由“同增异减”知外函数y = logau为增函数, 所以a > 1, 此时必须考虑内函数u =2 - ax在[0, 1]上恒大于零, 因此a的取值范围是 ( 1, 2) .

例10已知是 ( - ∞, + ∞ ) 上的减函数, 则实数a的取值范围是 _________.

待定函数法求解一类不定积分 篇9

1 对于∫xnexdx型, 设y=qn (x) ex (qn (x) 为x的n次多项式)

例1:求不定积分∫x3exdx

解设y= (ax3+bx2+cx+d) ex

易知a=1;b=-3;c=6;d=-6

2 对于∫xnsinxdx型, 设

例2:求不定积分∫x4 sinxdx

解:设y=ax4sinx+bx3cosx+cx2sinx+dxcosx+esinx

易知a=1;b=4;c=-12;d=-24;e=24

3 对于∫emxsinnxdx型, 则设y=emx (asinnx+bcosnx)

例3:求不定积分∫e5xsin2xdx

解:设y=e5x (asin2x+bcos2x)

4 若为∫xexsinxdx型, 则设y= (ax+b) exsinx+ (cx+d) excosx

例4:求不定积分∫xexsinxdx

解:设y= (ax+b) exsinx+ (cx+d) excosx

5 其它被积函数为分式, 而又不适于用换元法求解的

有时, 可能会碰到形如类型的不定积分, 乍一看无从下手, 其实也属于分部积分求解类的, 不过因隐藏较深不易观察而已。当然对于此类问题, 我们也可以利用待定函数法比较方便的求解。

运用构造法解决三角函数题 篇10

构造法的方法很多, 技巧性强, 使用时没有固定的模式, 须根据具体问题采用相应的构造法. 下面通过构造不同数学模型的例子, 介绍一下构造法的应用.

一、构造三角形

例1 求cot10° - 4cos10°.

解根据三角形中的边角关系, 可构造如图的三角形ABC, 使∠C = 90° , ∠A = 10° , BC = 1, D为AC边上的一点, 且使∠BCD = 30°, 则BD = 2 且∠ABD = 20°.

在△ABD中, 由正弦定理得

又AC=cot10°, ∴

二、构造方程

例2已知ABC是△ABC的三个内角, 且sin A≠sin B, (sin C-sin A) 2-4 (sin A–sin B) (sin B-sin C) =0, 求证:0<B≤π/3.

证明∵ sin A≠sin B, ∴ 可构造一元二次 ( sin A – sin B) x2+ ( sin C - sin A) x + sin B - sin C = 0.

∵方程各项系数之和为0, ∴1是方程的一个根.

又∵Δ=0, ∴方程的另一个根也是1.

∴根据韦达定理得:

2sin B=sin A+sin C.

即0<B≤π/3.

三、构造函数

例3已知x, , a∈R且, 求cos (x+2y) 的值.

分析看到这个题目, 会有一种陌生感, 这个题目既有代数式又有超越式, 还有参数. 通过题设消去参数a, 可得x3+ sinx = ( - 2y) 3+ sin ( - 2y) . 因此, 可构造函数f ( x) =t3+ sint, 此函数在上递增, 又f ( x) = f ( - 2y) , ∴ x = - 2y, 即x + 2y = 0, cos ( x + 2y) = 1.

四、构造椭圆

例4已知, 求证:

证明条件和椭圆方程很相似, 构造椭圆, 显然P1 (cos2α, sin2α) P2 (cos2β, sin2β) 都在椭圆上, 又过点P2的切线方程是x+y=1, 而点P1也在直线x+y=1上, 由切点的唯一性知P1和P2重合, 故

用导数法解决三角函数最值问题 篇11

整体思想可以降低“设角”难度

例1 已知函数[f（θ）=sinθ-3cosθ][（0<θ<π4），]试求当[tanθ]为何值时，函数取最小值.

解析 [f（θ）=-cos2θ-（3-sinθ）（-sinθ）cos2θ]

[=3sinθ-1cos2θ，]

令[f（θ）=0]，则[sinθ=13].

当[sinθ>13]时，[f（θ）>0].

当[sinθ<13]时，[f（θ）<0].

∴当角[θ]满足[sinθ=13]时，[f（θ）]最小.

点拨 本题角度也不是特殊角，没有令[sinθ0=13]，而是直接作为整体，判断出函数[f（t）]，也就是[f（sinθ）]在[（0，13）]上单调递减，在[（13，22）]上单调递增，从而求出函数的最小值.

例2 已知[f（α）=33-5cosαsinα]（[α∈（0，π2）]），试求当角[α]的余弦值为何值时，函数取最小值.

解析 ∵[f（α）=5-33cosαsin2α]，

令[cosα=t，|t|<1]，则[y=5-33t1-t2.]

∴令[y=0]得，[t=533].

当[t<533]时，[y>0].

当[t>533]时，[y<0].

∴[t=533]时，[y]取得最大.

∵[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数，

∴当[α]满足[cosα=533]时，[f（α）]最小.

点拨 整体法有个易错的地方，就是上面解法如果不添加“[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数”这句话，不考虑内层函数的单调性，我们是不是就会得出当[cosα=533]时，[f（cosα）]取最大呀？很明显函数[f（t）]应该在[（-1，533）]上单调递增，在[（533，1）]上单调递减，那么对函数[f（t）]来说，在[t=533]处只能取得极大值，而不是极小值，这就和题目要求的结果相悖.

事实上，这都是复合函数惹的祸，或者说就是余弦函数惹的祸.因为作为内层函数[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数，外层函数的单调性直接受到内层函数的影响，所以当角[α]满足[cosα=533]时，[f（α）]取得最小.

换元之后再求导可减少运算量

例3 求函数[y=sin2x+4sinx+32+sinx]最小值与最大值.

解析 设[t=2+sinx（1≤t≤3）]，

则[1+sinx=t-1]，[3+sinx=t+1].

[y=sin2x+4sinx+32+sinx=（sinx+1）（sinx+3）2+sinx]

=[（t-1）（t+1）t=t-1t]，[1≤t≤3].

求导，[y=1+1t2>0]，

故[y]在[t∈[1，3]]上是增函数.

∴当[t=1]时，[ymin=0].

当[t=3]时，[ymax=83].

点拨 对于本题，我们要直接求导也不是不可以，但是稍微难了.而上面的解法先换元再求导，可以大大地降低运算量.

以角度所在的区间作为函数单调区间

例4 已知[x]为锐角，求函数[y=63sinx+2cosx]的最值.

解析 因为[y=63sinx+2cosx]，

所以[y=-63cosxsin2x+2sinxcos2x=2sin3x-63cos3xsin2xcos2x].

当[y=0]时，解得[tan3x=33]，即[tanx=3].

又因为[x]是锐角，所以[x=π3].

当[0<x<π3]时，[y<0].

当[π3<x<π2]时，[y>0].

函数[y]在[（0，π3）]上单调递减，在[（π3，π2）]上单调递增，

因此，当[x=π3]时函数有最小值16，函数无最大值.

点拨 三角函数的单调区间一般使用弧度制，在确定单调区间之后，便可以确定函数的极值点，从而确定三角函数的最值，这一点和一般函数并没有二样.

将角度直接作为三角函数式子的一部分

例5 某园林公司计划在一块[O]为圆心，[R]（[R]为常数）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形[CMDC]区域用于观赏样板地，[ΔOCD]区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.

[草皮地][花木地][观赏样板地][草皮地]

（1）设[∠COD=θ]，[CMD=l]，分别用[θ]，[l]表示弓形[CMDC]的面积[S弓=f（θ），S弓=g（l）];

（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？

解析 （1）[S扇=12R2θ]，[SΔOCD=12R2sinθ]，

[S弓=f（θ）=12R2（θ-sinθ）].

又[S扇=12Rl]，

nlc202309051545

[∴SΔOCD=12R2sinlR]，

[S弓=g（l）=12R（l-RsinlR）].

（2）设总利润为[y]元，草皮利润为[y1]元，花木地利润为[y2]，观赏样板地成本为[y3.]

[y1=3（12πR2-12lR）]，[y2=12R2sinθ?8]，

[y3=12R（l-Rsinθ）?2]，

[∴y=y1+y2-y3=3（12πR2-12R2θ）+12R2sinθ?8-12R2（θ-sinθ）?2]

[=12R2[3π-（5θ-10sinθ）]].

设[g（θ）=5θ-10sinθ]， [θ∈（0，π）].

[g（θ）=5-10cosθ]， [g（θ）<0，cosθ>12，]

[g（θ）在θ∈（0， π3）]上为减函数.

[g（θ）>0，cosθ<12，g（θ）在θ∈（π3，π）]上为增函数.

当[θ=π3]时，[g（θ）]取到最小值，此时总利润最大.

所以当园林公司把扇形的圆心角设计成[π3]时，总利润最大.

点拨 一般来说，一个三角函数式中各个部分都应是三角函数，但是本题却部分出现了角度单列的现象. 其实不就是求导吗？一个角度其实就是一个自变量[x]，单独的[x]难道就不能求导了吗？当然本题要是写成[g（x）=x-2sinx]或许你就会了吧？

“设而不求”应对非特殊角极值点横坐标

例6 函数[y=sinθ（2cosθ+1）]在[[0，π3]]上取最大值时，[cosθ]的值.

解析 当[0<θ<π3]时，求导得，

[y=cosθ2cosθ+1+sinθ-2sinθ=4cos2θ+cosθ-2.]

令[y=0]得，[cosθ=33-18].

记区间[（0，π3）]上余弦值等于[33-18]的角为[θ0]（惟一存在）.

列表如下：

[[θ]＼&[0， θ0]＼&[θ0]＼&[（θ0， π3）]＼&[y]＼&[+]＼&0＼&[-]＼&[y]＼&增函数＼&极大值＼&减函数＼&]

所以当[θ=θ0]，即[cosθ=33-18]时，[y]取得最大.

点拨 本题和前面例题不同之处在于，极值点横坐标不是特殊的角度，不能直接表达单调区间.怎么办？遇到此类情形，因为这个极值点是存在的，但是我们最终又不需要求出这个横坐标，只需要对应的函数值，因此我们完全可以“设而不求”.

例7 求函数[f（θ）=3cosθ+2sinθ2+1]，[θ∈（0，π2）]取最大值时，[tanθ]的值.

解析 [f（θ）=-3sinθ+cosθ2]，

令[f（θ）=0，][sinθ2=16]，设[sinθ02=16，]

[f（θ）>0，][sinθ2<16]，[θ2<θ02]，即[0<θ<θ0].

[f（θ）<0，][sinθ2>16]，[θ2>θ02]，即[θ0<θ<π2].

函数[f（θ）]在[（0，θ0）]上单调递增，在[（θ0，π2）]上单调递减，所以函数[f（θ）]在[θ=θ0]处取最大值.

此时[sinθ02=16，][tanθ02=135]，

[tanθ0=2tanθ021-tan2θ02=2351-135=3517.]

所以，[f（θ）]取最大值时，[tanθ]的值为[3517].

点拨 本题实际上可以用二倍角公式展开，再用二次函数解决的，这里仅仅为了熟悉“设而不求”的手段.

幂指函数的和求导法 篇12

例1、求y=xx (x>0) 的导数。

解: (利用对数求导法) 两边取对数得:lny=lnxx=xlnx

比较上式右边与幂函数xμ和指数函数ax的形式 (其中a, μ为常量)

我们发现上式 (1) 中等号后面的x·xx-1就是把xx看作幂函数 (指数看作常量而把底数看作变量) 求导的结果, 而xxlnx就是把xx看作指数函数 (底数看作常量而把指数看作变量) 求导的结果。所以我们推断幂指函数的导数就是把指数看作常量的幂函数导数与把底数看作常量的指数函数导数之和。

又复合幂函数u (x) μ (μ为常量) 和复合指数函数av (x) (a为常量) 复合求导公式分别是:

我们根据上述结论可得出一般公式:

证明上述公式先介绍一个定理:

定理设u=u (x) , v=v (x) 在点x处可导, 在z=f (u, v) 对应的点 (u, v) 处有连续的偏导数。则一元函数z=f (u (x) , v (x) ) 在点x处可导, 称其为全导数。且

证明 (2) 式:

令y=u (x) v (x) , 设u=u (x) , v=v (x) , 则y=f (u, v) =uv, 由公式

原式得证。从上述证明可以看出 (3) 式中就相当于如果把u (x) v (x) 中u (x) 看作常量μ转化为幂函数求导的结果, 而就相当于如果把u (x) v (x) 中u (x) 看作常量α转化为指数函数求导的结果, 说明幂指函数求导可以看作幂函数求导和数函数求导之和。

例1.求函数y= (cosx) x的导数

例2.求函数y=xxx的导数

例3.求函数y= (1+sinx) x的导数, 则dy|x=π (2005考研题) 。

摘要：针对幂指函数的特点, 结合教学中实践, 给出了一个较为简便的和求导方法。和求导法不仅更方便地解决幂指函数的求导问题, 而且给我们节约很多解题时间, 特别适合学生在紧张的考试中应用。

关键词：幂指函数,复合函数,导数,和求导法

参考文献

[1]同济大学数学系主编.高等数学 (上、下册) (第五版) [M].高等教育出版社, 2005.