§2.4.3反函数

§2.4.3反函数（共6篇）

§2.4.3反函数 篇1

一．课题：反函数（3）

二．教学目标：1.进一步理解互为反函数的定义域、值域的对应关系，运用它解决有关问题；

2.了解特殊轴的轴对称的图象之间的函数解析式的联系。三．教学重点：运用反函数的性质，关系解题。四．教学过程：

（一）复习：（提问）

1．原函数与反函数的定义域与值域之间的关系。2．yf(x)(xA)的反函数为yf1(x)(xC)，则有

f(a)baf1(b),f1(f(a))a(aA)；

f(f1(a))a(aC)．

3．练习：

2x3x,求f1()； x37x21

（2）已知f(x)，求f(0)；

2x3x

（3）已知f(x1)，求f1(x1)．

x1

（1）已知f()

（二）新课讲解：

例1．已知函数f(x)axk的图象经过(1,3)，其反函数图象经过点(2,0)，则求f(x)的表达式。

解：因为反函数图象经过点(2,0)，所以原函数必过点(0,2)，又原函数图象过点(1,3)，由此可得

解得a1,k2，所以f(x)x2． x3a0k2

ak3x1(x0)的反函数。

x1(x0)解：由yx1(x0)得其反函数为yx1(x1)，又由yx1(x0)得其反函数为yx1(x1)．

x1(x1)

综上可得所求的反函数为y．

x1(x1)例2． 求函数y1例3．已知函数yf(x),xA,yC存在反函数yf(x)，1

（1）若yf(x)是奇函数，讨论yf(x)的奇偶性；

1（2）若yf(x)在定义域上是增函数，讨论yf(x)的单调性。

证明：yf(x)是奇函数，定义域关于原点对称，∴yf(x)的值域也关于原点对称。∴yf(x)的定义域关于原点对称，1设xC，存在tA使f(t)x，∴f(x)t，yf(x)是奇函数，∴f(t)x，反函数（3）∴f1(x)t，∴f1(x)tf1(x)，所以yf1(x)是奇函数。

（2）设x1,x2C，且x1x2，存在t1,t2A，使f(t1)x1，f(t2)x2，又∵yf(x)在定义域上是增函数，∴t1t2，即f1(x1)f1(x2)，所以，yf1(x)在定义域上是单调增的。例4．若函数yf(x)的图象过点(1,4)，（1）求f(x2)的反函数的图象必经过的一个定点的坐标；

（2）若函数yf(x)的反函数为yf1(x)，求函数yf1(x1)和函数yf1(x)1必经过的定点。解：（1）yfx的图象经过点(1,4)，∴yfx2的图象经过点(1,4)，所以，yfx2的反函数的图象经过点(4,1)．

（2）yfx的图象经过点(1,4)，∴yf1x的图象经过点(4,1)，故函数yf1(x1)的图象经过点(3,1)，函数yf1(x)1必经过的定点(4,2)． 说明：1．可以利用函数图形的平移去看；

2．可以利用映射，作用对象的观点来分析。

五．小结：

1.反函数的性质；

2.互为反函数的两个函数的关系在解题中的应用。六．作业： 补充：

1． 若函数yf(x)的图象经过点0,1，求函数yf(x4)的反函数的图象经过的定点的坐标。

2． 已知fx2x11,求f1．

4x33213．已知函数yf(x)在定义域,0上存在反函数，且fx1x2x，求f1 ．2x21(x0)

4． 求函数y的反函数。

2x1(x0)

反函数（3）

六．作业： 补充：

1． 若函数yf(x)的图象经过点0,1，求函数yf(x4)的反函数的图象经过的定点的坐标。

2． 已知fx2x11,求f1．

4x3323．已知函数yf(x)在定义域,0上存在反函数，且fx1x2x，求f11 ．

2x21(x0)

4． 求函数y的反函数。

2x1(x0)

六．作业： 补充：

1． 若函数yf(x)的图象经过点0,1，求函数yf(x4)的反函数的图象经过的定点的坐标。

2． 已知fx2x11,求f1．

4x33213．已知函数yf(x)在定义域,0上存在反函数，且fx1x2x，求f1 ．

2x21(x0)

4． 求函数y的反函数。

2x1(x0)

六．作业： 补充：

1． 若函数yf(x)的图象经过点0,1，求函数yf(x4)的反函数的图象经过的定点的坐标。

2． 已知fx2x11,求f1．

4x33213．已知函数yf(x)在定义域,0上存在反函数，且fx1x2x，求f1 ．

2x21(x0)

4． 求函数y的反函数。

2x1(x0)反函数（3）

3）

反函数（

§2.4.3反函数 篇2

数（2）

映 射

逆映射：如果f是A与B之间的一一对应，那么可得B到A的一个映射g：任给bB，规定g(b)a，其中a是b在f下的原象，称这个映射g是f的逆映射，并将g记为f —1.显然有（f —1）—1= f，即如果f是A与B之间的一一对应，则f —1是B与A之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f.典例分析

例1：设A={a,b,c},B={0,1},请写出所有从A到B的映射

变式1：设集合A＝1,0,1,2集合B＝1,0,1。

（1）从集合A到集合B可以构造多少不同的映射？（2）从B到A的映射有多少个？

（3）若B中每个元素都要有原象，这样的映射有多少个？

例2：假设集合M ={0,-1,1} N ={-2,-1 ,0,1,2} 映射f：M→N 满足条件“对任意的x属于M ,x+f(x)是奇数”，这样的映射有多少个？

变式2：设集合A={-1，0，1} B={2，3，4，5，6 } 从A到B的映射 f满足条件 ：对每个X∈A 有 f（X）+X为偶数 那么这样的映射f的个数是多少？

变式3：设集合X＝

1,0,1，Y＝2,3,4,5,6，映射f：

XY，使得对任意的xX，都有x+fx+xfx是奇数，这样的映射f有多少个？

例3：已知：集合M{a,b,c}，N{1,0,1}，映射f:MN满足f(a)f(b)f(c)0，那么映射f:MN的个数是多少？

例4：设集合A＝1,0,1，集合B＝2,1,0,1,2。若A中的元

素x对应B中元素f（x），且满足fxfx2，则这样的映射有

多少个？

变式4：知集合M＝

x,y,z，N＝1,0,1，由集合M到N的映射f满足：fx＝fy+fz，那么这样的映射有多少个？

反 函 数

1．反函数的定义

设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函数存在的条件

按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．

3．函数与反函数图象间的关系

函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．

4．反函数的几个简单命题

（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．

（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数． 典例分析

例1：求下列函数的反函数：

(1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2]

(2)y=

（3）已知f(x)=(0≤x≤4)

例2：已知点（1，2）既在y=的图象上，又在它反函数的图象上，求a、b．

例3：函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象（）.A、关于直线y=x对称

B、关于直线y=x+1对称

C、关于直线y=x-1对称

D、关于直线y=-x对称

例4：设y=f(x)=, y=g(x)的图象与 y=f-1(x+1)的图象关于y=x

对称，求g(3)的值．

例5：函数y=f(x)=(1+)2-2(x≥-2), 求方程f(x)=f-1(x)的解集．

例6．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).课后练习

1．定义在R上的函数y=f(x)有反函数，则函数y=f(x+a)+b的图象与

y=f-1(x+a)+b的图象间的关系是（）.A、关于直线y=x+a+b对称

B、关于直线x=y+a+b对称

C、关于直线y=x+a-b对称

D、关于直线x=y+a-b对称

2．设定义域为R的函数y = f(x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5)= 1999，那么 f(4)=（）

A、1999

B、2000

C、2001

D、2002

3．设有三个函数，第一个函数式y=f(x)，第二个函数是它的反函数，而第三个函数的图象关于直线x+y=0对称。则第三个函数是（）A、y=-f（x）

B、y=-f（-x）

C、y=-f-1(x)

D、y=-f-1(-x)

4．若函数f(x)的图象过（0，1）点，则f-1(x+4)的图象必过点________．

5．已知f(x)2x3，则f1(x1)______________．

6．已知f(x)2x3，则f(x1)的反函数为_____________．

7．已知yf(x)反函数为yf1(x)，则f(x3)的反函数

_____________．

8．已知yf(x)的图象过点（0,1），则函数yf(4x)的反函数图象过点____________． 9．若函数图象yf1(x)过点（-2,0），则函数图象yf(x5)过点___________． 10．若函数f(x)x,则f11x2(3)=______________． 参 考 答 案

映射

例

1、从A到B的映射共有2^3=8个：（a，b，c）→（0，0，0）；（a，b，c）→（0，0，1）；（a，b，c）→（0，1，0）；（a，b，c）→（1，0，0）；（a，b，c）→（0，1，1）；（a，b，c）→（1，0，1）；（a，b，c）→（1，1，0）；（a，b，c）→（1，1，1）。

变式

1、分析 这个问题是要建立没有限制条件的映射。它的关键是正确理解映射的概念。对于映射f：AB，集合A中的任何一个元素在集合B中都有B中都有唯一的象(可理解为放球模型)，因此，建立从A到B的映射就是给A中的每个元素找到一个象，而A中的每个元素都有3种对应方式，根据乘法原理，共有34个不同的映射。

1)变形思考 C234P3＝36个 2)43个

例

2、①当x=-1时，x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数” f(-1)=-2,0,2 ②当x=0时，x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”可知f(0)只能等于-1和1 ③当x=1时，x+f(x)=1+f(1)恒为奇数

f(1)=-2,0,2 综上①②③可知，只有第②种情况有限制，所以这样的映射共有3×2×3=18个

变式

2、映射可以多对一，要让f（X）+X＝偶数，当X＝－1和1时，只能从B中取奇数，有3，5两种可能，当X＝0从B中取偶数有2 4 6三种，则一共有2×2×3＝12个

变式

3、分析 此题需仔细分析题意，根据映射的定义，要使X中的每个元素都有象，而集合X中只有三个元素，所以我们可以直接对元素进行分类。

1)当x＝－1时，x+fx+xfx＝－1，恒满足题意，所以－1的象可在Y中任取，有5种可能。

2)当x＝0时x+fx+xfx＝f0，要满足题意，0的象可在3，5中任取一个，有2种可能。3)当x＝1时，x+fx+xfx＝1+2f1，恒满足题意，所以－1的象可在Y中任取，有5种可能。由乘法原理得：共有映射525＝50个。

例

3、思路提示：满足f(a)f(b)f(c)0，则只可能

00001(1)0，即f(a)、f(b)、f(c)中可以全部为0，或0,1,1各取一个．

解：∵f(a)N,f(b)N,f(c)N，且f(a)f(b)f(c)0 ∴有00001(1)0．

当f(a)f(b)f(c)0时，只有一个映射；

当f(a)、f(b)、f(c)中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有32＝6个映射．因此所求的映射的个数为1＋6＝7．

评注：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想．

例

4、分析 这是一个要建立有限制条件的映射，所以关键是分析它有何限制条件。由条件fxfx2可知，f1f12＝

f1，也就是说，－1和1应该和同一个元素对应，又f0f02是一定

满足的，所以这样的映射可以有：55＝25个。变式:

4、7个。

反 函 数

例

1、解：（1）∵ y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2]，∴-2≤y≤1且(x+1)

2=y+3.∴ x+1=-, y=-1-，∴ 所求反函数y=-1--2≤x≤1.(2)若x≤0，则y=x2

≥0, x=-.若x>0, 则 y=-x-1<-1, x=-y-1.∴ 所求反函数y=.（3）∵0≤x≤4,∴0≤x2

≤16, 9≤25-x2≤25, ∴ 3≤y≤5，∵ y=, y2

=25-x2, ∴ x2

=25-y2

.∵ 0≤x≤4, ∴x=

(3≤y≤5)

将x, y互换，∴ f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).评注：求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是

（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域．

（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).（3）将x、y交换位置得y=f-1(x)．

（4）求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，它们联合在一起构成原函数的反函数．

例

2、解：∵点（1，2）在y=上，∴ 2=...........(1)

∵点（1，2）在y=的反函数的图象上，∴点（2，1）在y=

上，∴1=...........(2)由(1),(2)得a=-3, b=7．

评议：本题目巧妙的运用了：若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．

例

3、解答：y=f(x+1)与y=f-1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得，∵ y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，y=x向左平移一个单位而得y=x+1.故选B.例

4、解：由y=f-1(x+1), f(y)=x+1.∴ x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-

1(x+1)的反函数，即它们关于y=x对称．所以g(x)=f(x)-1，∴g(3)=f(3)-1=

-1=

．

例

5、分析：若先求出反函数f-

1(x)=2-2(x≥-2)，再求它的解集，这时由题设有

2-2=(1+)2-2.整理得四次方程，求解

有困难，但我们可利用y=f(x)与y=f-1

(x)的图象关系求解．

首先画出y=f(x)=(1+)2-2的图象，如图所示．因为互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x对称的，故立即可画出y=f-1

(x)的图象，由图可见两图象恰有两个交点，且交点在y=x上，因此可由方程组：

解得 x=2或-2, 从而得方程f(x)=f-1

(x)的解集为{-2,2}． 例

6、解：设f-

1(5)=x0, 则 f(x0)=5,即 =5(x0≥3)

∴ x02+1=5x0-5, x0

2-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴ f-1

(5)=3.课后练习

1、解答:将y=x向左平移a个单位，向上平移b个单位得y=x+a+b，故选A.2、解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，∴y = g-1(x－2)反函数是y = f(x－1)，而y = g-

1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,应选（C）

3、B

4、分析：∵f(x)的图象过（0，1）点，∴ f-1(x)的图象过（1，0）点，而f-1(x+4)-1的图象是把y=f-

1(x)的图象向左平移4个单位而得到的，故f(x+4)的图象过(-3,0)点．

5、f1(x1)=12(x4)

6、y12(x1)

7、yf1(x)

38、（1,4）

高中数学《反函数》说课稿 篇3

我担任高职单招辅导班的数学科教学，可以说每节课都是复习课。今天，我说的是复习课这种课型。内容是《函数》这一章中的“反函数”这一节。

一、教材分析：

反函数这一节在《函数》这章中是一个难点，篇幅不多（课时少），在高考考纲中的要求也比较简单。但我个人这样认为，复习课应尽量把与本节内容相关的新旧知识系统地串在一起，所以在备课时要找一条能把知识点连在一起的线索。这线索就是函数的三要素：

（一）教学目标：

①使学生掌握反函数的概念并能求出简单函数的反函数（考纲要求）。

②互为反函数的两个函数具有的性质，以及这些性质在解题中的运用。

③通过知识的系统性，培养学生的逆向思维能力和逻辑思维能力。

（二）重点、难点：

①重点：使学生能求出简单函数的反函数。

②难点：反函数概念的理解。

二、教学方法：

整节课采用传统的讲解法。

首先要认识反函数应先有函数的概念这知识，用例子来说明反函数的求法以及让学生来完成一题没有反函数的函数，从而得出一个不满足函数定义的关系式，通过分析来得到一个函数具有反函数的条件。这里是用“欲擒故纵”的手法，加深对概念的理解，也是突破难点的关键。

三、学生学习方法：

学生认识了反函数的求法（步骤），在老师的引导下得出三个结论，并运用这些结论来解题。希望能达到提高学生性质的.解题能力和思维能力的目标。

四、教学过程：

（一）温故：函数的概念、三要素

（二）新课：例1：求y=2x+1的反函数

解：

即（x∈R）

注意步骤，新关系式满足从R到R是一个函数关系式。

互这反函数的特点：

①运算互逆；②顺序倒置

例2：y=x2（x∈R）用y的代数表示x

得x=这x不是y的函数，不满足函数定义

若对，y=x2的定义域改为x≥0

可得x=，即y=（x≥0）

当逆对应满足函数定义，原函数才存在反函数。

得到结论①互为反函数的定义域、值域交换

即

分别在同一坐标上画出以上互为反函数的图象

得到结论②图象关于y=x对称

③单调性一致

（三）练习

1、求的反函数，并求出反函数的值域。

2、函数的图象关于对称，求a的值。

讲评：略。

（四）小结：

奇函数加奇函数是什么函数？ 篇4

奇函数±奇函数=奇函数

偶函数±偶函数=偶函数

奇函数×奇函数=偶函数

偶函数×偶函数=偶函数

奇函数×偶函数=奇函数

公式推导

设f(x)，g(x)为奇函数，t(x)=f(x)+g(x)，t(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+(-g(x))=-t(x)，所以奇函数加奇函数还是奇函数;

若f(x)，g(x)为偶函数，t(x)=f(x)+g(x)，t(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=t(x)，所以偶函数加偶函数还是偶函数。

奇偶函数定义

奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

§2.4.3反函数 篇5

教学目标

1．掌握正弦函数、余弦函数图象的画法．

2．通过学习正弦函数、余弦函数图象的画法培养学生分析问题、解决问题的能力．

教学重点与难点

五点法画正弦函数的图象． 教学过程设计

一、复习准备

为了学习正弦函数、余弦函数图象的画法，首先复习以前所学的相关知识．1．复习学过的函数．

（1）一次函数y=kx+b（k≠0）．它的图象为直线，如图1．

（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）．它的图象是抛物线．如图2．

（3）幂函数y=xα，α≠0，其图象为下表．

（4）指数函数y=ax（a＞0且a≠1），其图象如图3．

（5）对数函数y=logax（a＞0且a≠1），其图象如图4．

2．复习图象变换知识．（1）平移变换

（2）对称变换

3．复习相关的诱导公式．

sin（α+2π）=sinα，cos（α+2π）=cosα

sin（x+π）=-sin x cos（x+π）=-cos x 以上基础知识的复习为下面的新课教学做好了准备工作．

二、新课讲授

1．正弦函数图象的画法．

（1）（板书）画出y=sinx，x∈［0，2π］的图象．

师：画函数图象的步骤是：第一步列表；第二步，根据表中每组x，y的取值逐一在直角坐标系下找到相应的点；第三步，用平滑曲线将所描各点连接．

此题函数定义域为［0，2π］，所以表中自变量x可选择此范围

成列表．

（在完成此表时，当x∈［π，2π）时，也可使用诱导公式sin（π+α）=-sinα来计算．）

根据此表在直角坐标系下描出相应的点．再用平滑曲线连接．如图5．

在这里应该提醒学生注意以下两点：

（i）在建立直角坐标系时，x轴的刻度应以π为单位长取值，而y

由此可见，这种描点法是对函数值取近似值后画的函数图象，不是准确图象．这种画法也叫代数描点法．

（2）（板书）画出y=sinx的图象． 请学生比较（1）与（2）两个小题：

生：这两个题的定义域不同．第（1）题定义域为［0，2π］，第（2）题的定义域为R．

师：这一点非常重要，在函数三要素（即定义域，对应法则，值域）中，定义域是基础，是函数的决定因素之一．定义域不同，函数不同，函数图象也不同．但有区别也有联系．这种联系对函数图象的画法有什么影响呢？

学生：［0，2π］是R的真子集．所以第（2）题当x∈［0，2π］时的函数图象就是第一题的结果．所以面临的新问题实质上只需考虑x∈（-∝，0）∪（2π，+∝）时的函数图象即可．

师：对x∈（-∝，0）∪（2π，+∝）的函数图象的思考可以分为x∈（2π，+∝）和x∈（-∝，0）两部分．因为sin（x+2π）=sinx，所以x∈（2π，+∝）时，sinx=sin（x-2π），即y=sinx，x∈［2π，4π］的图象是把y=sinx，x∈［0，2π］的图象右移2π个单位长，y=sinx，x∈［4π，6π］的图象是y=sinx，x∈［2π，4π］右移2π个单位长的结果……依此类推下去，就可得到y=sinx（x≥0）时的函数图象．下面只需考虑x＜0时y=sinx的图象．（请学生思考．）生：由于sin（-x）=-sinx，所以x≤0时，y=sinx的图象是y=sinx（x≥0）的图象关于原点中心对称的结果，它的理论根据是函数y=f（x）与y=-f（-x）之间图象变换的特点．

师：这样我们就得到了y=sinx，x∈R时的完整的图象．（板书）

由此可见，画出y=sinx的图象关键是首先要画出y=sinx在［0，2π］内的图象．而y=sinx在［0，2π］的图象有这样五个点很重要：

分别是函数图象的最高、最低点．所以这五个点是确定y=sinx图象的基本点．

因此，代数描点法也可简称为“五点法”，以后再画y=sinx图象时，就可直接使用五点法了．

（板书）

（“五点法”作图往往是在精度要求不太高时的作函数简图的方法．）下面再学习一种函数图象的画法——几何描点法． 请学生阅读课本P167，从第7行开始，边阅读边讲解．

师：几何描点法是利用单位圆中的三角函数线来作图．先建立一个直角坐标系，在x负半轴上取一点O1，以O1为心

每取到一个角的终边位置都将正弦线平移至右侧坐标系的相应位置后，就可得到正弦函数图象上的点．（如图8）

用平滑曲线将各正弦线的端点连结．便可得正弦函数图象．（如图9）

师：比较代数描点法与几何描点法的区别在于：代数描点法所取的各点的纵坐标都是近似值，不能描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确；而几何描点法作图准确，但真正画图却较难实现．

2．余弦函数图象的画法．

师：正弦函数图象是我们遇到的第一个三角函数图象．所以对它的画法的研究需从最基本的描点法开始．而余弦函数图象是继正弦函数图象之后的第二个函数图象，对它的画法的研究可以借鉴正弦函数图象的画法．

方法1：代数描点法．（可由学生完成）

列表后描点，用平滑曲线相连得到y=cosx，x∈［0，2π］的图象．

再根据cosx=cos（x-2π），cos（-x）=cosx可得到完整的y=cosx的图象． 当精确度要求不很高时，也可用“五点法”画出y=cosx的简图．五

π，1），其中（0，1），（2π，1）为最高点，（π，-1）为最

方法2：几何描点法．基本思路同正弦函数图象． 方法3：平移变换法．

其中方法3表明了正弦函数与余弦函数图象之间的关系． 3．课堂练习． 画出下列函数的图象．（1）y=2sinx（3）y=sinx+1 解答过程如下：

（1）y=2sinx．先用“五点法”画出y=sinx图象，再纵向伸至2倍．（2）y=-cos是把y=cosx图象作关于x轴的对称变换．（3）y=sinx+1的图象可将y=sinx图象向上平移1个单位．

（2）y=-cosx

（4）y=sinx+cosx，x∈［0，2π］

师：此题y=sinx+cosx是否还有其它作法？

4．课堂小结．

这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移交换法得出．

这节课讲授的“五点法”是比较常用的方法，应重点掌握．

通过学习正弦函数、余弦函数图象的画法，学生应学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，才能提高分析问题、解决问题的能力．

作业：课本P169练习．P177练习第1～7题． 课堂教学设计说明

这节课的教学设计可概括为： 1．复习相关知识．（1）以前学过的函数；（2）图象变换知识；（3）诱导公式． 2．新课．

（1）正弦函数图象（代数描点法、几何描点法）；（2）余弦函数图象（代数描点法、几何描点法、平移交换法）．

重点突出“五点法”． 3．小结．

这节课涉及到过去所学的知识较多，可利用这个机会对它们加以巩固复习．也可采用启发式教学，引导学生思考要解决的正弦函数图象的画法．先回顾我们以前所学到函数图象是如何得到的，引出描点法，而正弦函数是建立在角到角的正弦值之间的对应关系上，所以要解决y=sinx，x∈R时的图象可先从y=sinx，x∈［0，2π］的图象研究起，即遵从从特殊到一般的认识规律，由y=sinx，x∈［0，2π］的图象，再根据sin（x+2π）=sinx得到y=sinx（x≥0）时的图象，体现了知识间的联系．而后得到的y=sinx，x∈R图象，是借用对称变换的知识．使学生看到一个新问题的解决并不是深不可测，关键在于我们能否较好地恰当地调动学过的旧知识．这种对知识的调动、迁移能力是需要学生在学习的过程中不断领悟、不断实践、不断提高的．在调动、迁移的过程中需要学生分析新旧知识的联系，利用旧知识解决新问题．

而余弦函数图象的画法的解决可以以y=sinx的图象为起点，利用

得到．这是利用旧知识解决新问题的又一很好的例证．

另外，这节课讲述了代数描点法，几何描点，它们都是通过描点得到函数图象．但又有所区别，这点应让学生给予注意．在解决数学问题时，既要有代数思想又要有几何思想，这种意识应在教学过程中加以培养．

本节课讲授了两个三角函数图象的画法．这两个图象不妨可以按如下方法加以比较：

同一个内容采用不同的方法加以比较，从不同角度去认识，一定可以帮助学生加深对知识的认识程度，培养灵活的思维方式．

本节课最后出了四个练习题，都是正弦函数、余弦函数图象与图象变换知识的综合题．既是为了巩固本节课的知识，使学生能较熟练地画出y=sinx，y=cosx图象，强化了“五点法”画图，又为后续课程讲正弦型曲线打下了基础．从开始画y=sinx，x∈［0，2π］的图象，到画出y=sinx，x∈R图象，再到这四个练习题，体现了从特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．在这种螺旋式上升的过程中，学生不仅学到了本节课的知识，而且还提高了思维水平和认知能力．

这节课图形多，涉及的知识点多，尤其在复习时，学生对一次函数、二次函数掌握得较熟练，对指数函数．对数函数和幂函数可能记忆得不很准确，既然遇到了还是应该帮学生复习一下．为了节省时间，可课前写成投影片的形式． 对于函数图象的几何描点法，学生能理解，可不必在此耽误时间．“五点法”应是重点掌握的．

对于余弦函数图象的画法，基础好的学生可以直接用“五点法”画出y=cosx，x∈［0，2π］的图象，再利用cosx=cos（x-2π）和cosx=cos（-x）的性质得到出y=cosx，x∈R的图象．对于基础较差的学生最好是从基本的列表描点开始慢慢来，不要急于求成．

这节课所画的图象很多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确找到，然后迅速画出图象．

§2.4.3反函数 篇6

Excel函数即是预先定义，执行计算、分析等处理数据任务的特殊公式，以常用的求和函数SUM为例，它的语法是“SUM(number1,number2,......)”。其中“SUM”称为函数名称，一个函数只有唯一的一个名称，它决定了函数的功能和用途。函数名称后紧跟左括号，接着是用逗号分隔的称为参数的内容，最后用一个右括号表示函数结束。

参数是函数中最复杂的组成部分，它规定了函数的运算对象、顺序或结构等。使得用户可以对某个单元格或区域进行处理，如分析存款利息、确定成绩名次、计算三角函数值等。

按照函数的来源，Excel函数可以分为内置函数和扩展函数两大类。前者只要启动了Excel，用户就可以使用它们;而后者必须通过单击“工具→加载宏”菜单命令加载，然后才能像内置函数那样使用。

什么是公式？

函数与公式既有区别又互相联系。如果说前者是Excel预先定义好的特殊公式，后者就是由用户自行设计对工作表进行计算和处理的计算式，

以公式“=SUM(E1:H1)*A1+26”为例，它要以等号“=”开始，其内部可以包括函数、引用、运算符和常量。上式中的“SUM(E1:H1)”是函数，“A1”则是对单元格A1的引用(使用其中存储的数据)，“26”则是常量，“*”和“+”则是算术运算符(另外还有比较运算符、文本运算符和引用运算符)。

如果函数要以公式的形式出现，它必须有两个组成部分，一个是函数名称前面的等号，另一个则是函数本身。