形函数法

2024-10-07

形函数法（精选7篇）

形函数法篇1

经典的求解弹性力学偏微分方程的数值方法主要包括有限单元法、有限差分法和边界元法等,这些方法在处理加工成型、裂纹扩展、移动相边界和大变形等问题时,常使原有网格发生扭曲甚至缠绕,为摆脱对求解区域网格划分的依赖,一些新的无网格数值计算方法便应运而生了[1].自然单元法(NEM)[2]采用自然邻点插值(NNI)的思想构造近似函数和试函数,其形函数计算与其它无网格法相比,由于不涉及矩阵及其逆运算,因而计算量较小,且可以方便地准确施加本质边界条件[3].

自然单元法形函数的计算过程中涉及到对计算点x的一阶和二阶Voronoi单胞的体积计算,通常采用的Watson算法不易推广到三维情形[4,5],且不能计算Delaunay三角形边上的形函数.本文基于Laserre提出的凸多面体的体积算法[6]详细推导了二维情形下自然单元法Sibson插值和non-Sibson插值形函数及其导数的计算列式,对计算过程中可能导致计算失败的情形进行了细致的分析和几何解释,并给出相应的处理方法和对策,为自然单元法的进一步应用提供坚实的基础.

1 凸多面体体积及导数计算的Lasserre算法

Lasserre关于凸多面体的体积算法首先将凸多面体描述为受一组线性不等式所约束的区域

式中x∈Rn,A为m×n矩阵,b为m维向量,m是约束不等式的个数,n为空间维数.多面体的第i个面定义为

其中,ai为A的第i行,bi为b的第i个元素.式(2)表示n-1维超平面上的一个凸壳.

记凸多面体体积为V(n,A,b),其第i个小面的面积记为Vi(n-1,A,b),可以证明受式(1)约束的凸多面体的体积表达式为

式(3)表示凸多面体的体积等于各小面的面积乘以小面到原点的距离的1/n的总和.

记各小面在超平面xj=0上的投影面积为,则有

其中是将第i个约束不等式取等号后求出第j个坐标变量,再代入其余的约束不等式后所得关于n-1个坐标变量的约束不等式所对应区域的体积,约束不等式数目也由m变为m-1个,至于的计算则可重复上述过程.

凸多面体的体积V(n,A,b)依赖于其约束不等式各个坐标变量的系数和自由项,在自然单元法形函数计算中系数和自由项可能包含计算点的坐标(xp,yp),则V(n,A,b)对xp或yp的偏导数可由式(5)求导得出,并且这将导致一个新的递归计算公式,显然体积导数的递归计算公式比体积的递归计算公式要复杂得多.

2 自然单元法形函数及其导数计算

自然单元法是以自然邻点插值构造近似函数的一种数值方法.自然邻点插值[7]可分为Sibson插值和Laplace插值(也称为non-Sibson插值),自然单元法形函数就是建立在计算点的二阶Voronoi图基础上的自然邻点坐标.

Sibson[8]利用二阶Voronoi图和二阶Voronoi单胞的概念定义了点x的自然邻点坐标.对图1的二维情形,结点I的形函数与导数为

其中AI为计算点x与其自然邻点I对应的二阶Voronoi单胞的面积.如图1所示x与其自然邻点4对应的二阶Voronoi单胞是四边形abfe所围成的区域,在二维情形下该区域是一个凸多边形,其面积可按Lasserre的凸多面体体积算法计算.

Non-Sibson[9]插值是较晚提出的一种基于Voronoi图的插值方法,对于图1的情形,nonSibson插值形函数定义为

其中sJ(x)为计算点x与结点J相关的Voronoi边的边长,hJ(x)是计算点x到结点J的距离的一半,αJ(x)是形函数计算中涉及到的Laplace权函数[10],形函数及其导数计算可归结为点x的一阶Voronoi单胞各边的边长及其导数的计算.

3 计算点Voronoi单胞边长计算

以图1中ab边的长度计算为例,四边形abfe为点x与结点4对应的二阶Voronoi单胞,将结点4记为结点I,设计算点x的坐标为(xp,yp),直线ab为结点I与计算点x的垂直平分线,其方程为

垂直平分线将平面分为两个半平面,四边形abfe内的点应位于计算点一侧的半平面内,即满足不等式

同理,结点I与结点1,2,3的垂直平分线也分别将平面分为两个半平面,因此四边形αbfe为下列不等式所约束的区域

简记为

为计算ab边的长度,可先计算ab边在坐标轴上的投影长度,再按式(4)计算其边长,注意到ab边上的点满足式(11a)取等号,其范围受式(11b),(11c),(11d)的约束.

不失一般性设|a01|≥|a02|,将式(11a)取等号并解出x=(b0-a02y)/a01,代入另外3个不等式得

设起控制作用的不等式是式(12)和(13),且式(12)左端系数小于0,式(13)左端系数大于0,则得ab在y轴上投影的有效区间范围为

记ab在y轴上投影的长度为V'0,ab的长度为V0,则有

进而可求得V0对xp和yp的导数.

4 计算失效情形与处理方法

4.1 计算点位于结点上

当a01=a02=0时,式(11a)所代表的约束方程是不定的,方程的约化过程无法进行,此时所对应的实际情形是计算点位于结点上.自然单元法形函数在本点处为1,在它点处为0.形函数的导数在本点处不存在,Sibson插值形函数导数在它点处为0,non-Sibson插值形函数导数在它点处不存在,因此可能的解决办法是当计算点位于结点上时,给以微小扰动以避开结点,或直接赋予相应的值.

4.2 两条约束直线平行

当时，式(13)的进一步简化也会导致计算失败,此时所对应的情形是图1中的ef与ab平行,即3点I,xp,2共线,此时直线eF与ab的交点在无穷远处,并不起控制作用,因此可以不考虑约束方程(11c)的影响.

4.3 计算点在边界上

若式(12)～(14)中不等式左端系数同号时,这时所对应的情形是计算点在区域的边界上,相应的Voronoi边的一端是无限的,因此长度也趋于无穷.可能的解决办法是给计算点一个偏向区域内部的微小偏移量以使计算点避开边界,或者是在计算边长时将趋于无穷的端点换成一个绝对值非常大的数,计算导数时则不考虑无穷远端点变化的影响,所得结果是近似的.事实上Watson算法也不能计算边界上的计算点的形函数及其导数[4].

5 计算点位于三角形外接圆上时的计算

5.1 形函数及导数在外接圆处的特点

Sibson插值形函数在外接圆处是C1的,而nonSibson插值形函数在外接圆处是C0连续的[4,5],Sibson插值形函数的导数当计算点趋于外接圆周时是趋于0的,如图2所示,尽管此时无法判断是哪一条约束直线控制Voronoi边的区间端点,但任选其中一条,形函数导数的计算结果是相同的,因此Sibson插值形函数的导数是连续的.

而non-Sibson插值形函数导数在接近外接圆周时不为0,Voronoi边的端点由特定的约束直线决定,计算点以不同的方向趋于外接圆周上的点时,形函数的导数计算结果是不同的,因此non-Sibson插值形函数导数在外接圆周处是不连续的.如果计算过程中随机选取一条作为控制约束直线,其结果相当于给予计算点一个微小的偏移量,但偏移方向是由计算过程随机确定的.

5.2 在计算过程中的表现形式

若式(12)～(14)中有两个不等式所得结果完全相同,如由式(13)得y≤yR,同时由式(14)得,且,取式(13)或(14)来计算形函数结果是相同的,但导数计算结果可以是不同的.这是由于当xp从不同的方向趋近于圆周上的点时,控制端点的约束直线是不同的,事实上xp的自然邻点也将发生变化,如图2所示,当xp在结点I,3间的圆弧上时,若向圆外偏移,结点2将不再是其自然邻点.可以证明正是xP位于ΔI23的外接圆圆周上的解析表达式,此时non-Sibson插值形函数导数的计算结果是不确定的.

6 算例与计算结果分析

6.1 形函数计算与位移小片检验

结点布置与三角化结果如图3所示.结点12的Sibson与non-Sibson插值形函数及导数计算结果如图4和图5所示.

取图3的中心为坐标原点,在边界上施加u=x,v=y的位移边界条件进行计算,全场位移相对误差范数为1.599×10-4,与文献[4]采用Watson算法结果是一致的.从计算结果的图示可以看出,自然单元法sibson或non-Sibson插值形函数都是连续函数,non-Sibson插值形函数对坐标的一阶导数在外接圆圆周上是不连续的,Sibson插值形函数对坐标的一阶导数除结点外是连续的.

6.2 悬臂梁杆端受分布剪力

图6所示悬臂梁,左端中点水平线元被固定,右端受抛物线分布竖向面力,长L=320,高D=80,P=1000,该问题的精确解可参见文献[11],数值分析时在左端按位移解析解施加了精确的位移边界条件,沿长度和高度方向共布置了65×17个结点.

自然单元法计算结果与解析解非常吻合,其中正应力最大误差为1.2%,剪应力最大误差为3.9%.而相同结点布置下3结点有限单元法结果的误差和应力波动性都较大,大量计算结果表明自然单元法的计算精度与收敛率要高于3结点有限单元法[3,4],一般情况下其计算精度与4结点有限元相当,对于应力变化比较剧烈的问题如裂纹问题其计算精度的提高更为显著.

7 结语

本文基于Lasserre凸多面体体积算法,推导了自然单元法形函数及导数的计算方法和步骤.分析和计算结果表明,当计算点位于结点和边界上时会导致计算失败,程序设计时对此应有相应的处理.当计算点位于三角形外接圆上时non-Sibson插值形函数导数计算值是不确定的,从而验证了两种插值模式下的形函数具有不同的连续性.自然单元法形函数的计算过程具有无网格法的特征,而得到的形函数又具有有限单元法的插值特点,自然单元法是一种具有良好应用前景的数值计算方法.

参考文献

[1] Belytschko T,Krongauz Y,Organ D,et al.Meshless meth- ods:An overview and recent developments.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1996,139: 3～47

[2] Braun J,Sambridge M.A numerical method for solving partial differential equations on highly irregular evolving grids.Nature,1995,376:655～660

[3] Cueto E,Sukumar N,Calvo B,et al.Overview and recenet advances in natural neighbour Galerkin methodes.Inter- national Journal for Numerical Methods in Engineering, 2003,4:307～384

[4] Sukumar N,Moran B,Belytschko T.The natural elements method in solid mechanics.International Journal for Nu- merical Methods in Engineering,1998,43:839～887

[5] Sukumar N,Moran B,Semenov A Yu,et al.Natural neigh- bor Galerkin methods.International Journal for Numeri- cal Methods in Engineering,2001,50(1):1～27

[6] Lasserre JB.An analytical expression and an algorithm for the volume of a convex polyhedron in Rn.Journal of Op- timization Theory and Applications,1983,39(3):363～377

[7] de Berg M，van Kreveld M等著．邓俊辉译．计算几何——算法与应用．北京：清华大学出版社，2005

[8] Sibson R.A vector identity for the Dirichlet tessellation. Math Proc Cambridge Philos Soc,1980,87:151～155

[9] Belikov VV,Semenov A Yu.Non-Sibsonian interpolation on arbitrary system of points in Euclidean space and adap- tive isolines generation.Applied Numerical Mathematics, 2000,32(4):371～387

[10] Belikov W,Ivanov VD,Kontorovich VK,et al.The non- Sibsonian interpolation:A new method of interpolation of the values of a function on an arbitrary set of points.Com- putational Mathematics and Mathematical Physics,1997, 37(1):9～15

[11]铁摩辛柯，古地尔著．徐芝纶译．弹性理论．北京：高等教育出版社，1990

形函数法篇2

关键词：自然单元法,非凸区域,本质边界,边界结点

0 引言

有限单元法在计算力学及其相关工程领域得到了广泛的应用, 但由于其结点之间必须连接成相关的单元, 因此在处理诸如裂纹扩展、大变形等问题时因网格的变形和扭曲而影响解的精度甚至造成求解困难。近年来兴起的无网格方法的主要优点是不必将所研究的区域划分为网格, 但由于很多无网格方法的近似函数不具备插值性质, 因而有准确施加本质边界条件的困难。

较晚出现的自然单元法 (NEM) [1], 在凸区域的边界上其形函数可以满足δ函数性质并具有线性插值性, 在非凸边界上则需要采用α-shape方法[2]或约束自然单元法 (C-NEM) [3]来计算形函数, 但这两种方法在实施时存在诸多限制和不便之处。

本文就非凸边界上自然单元法形函数插值性能及其计算方法进行了研究和探讨, 在揭示了造成非凸边界上形函数不在边界结点间线性变化的原因及其本质的基础上, 提出了一种新的非凸边界上自然单元法形函数计算方法, 实现了形函数在边界结点间的线性变化, 对结点布置和区域边界的凹凸程度并无限制, 对各种形式的凸或非凸边界计算方法是统一的。

1 自然单元法与自然邻点插值

自然单元法是以自然邻点插值作为试函数的求解偏微分方程的数值方法, Sukumar等在文献[4]中将自然单元法应用于二维弹性力学问题的研究。

Sibson[5]利用Voronoi图和二阶Voronoi单胞的概念定义了点x的自然邻点坐标。对图1的二维情形, 点x对于结点I的形函数为:

其中, AI为计算点x与其自然邻点I对应的二阶Voronoi单胞的面积。如图1所示, 点x与其自然邻点4对应的二阶Voronoi单胞是四边形abfe所围成的区域。

Non-Sibson[6]插值是较晚提出的一种基于Voronoi图的插值方法, 对于图1的情形, 点x对于结点I的non-Sibson插值形函数定义为:

其中, sJ (x) 为计算点x与结点J相关的Voronoi边的边长;hJ (x) 为计算点x到结点J的距离的一半;n为点x的自然邻点个数。

在凸区域的边界上, 由于计算点与边界结点相应的二阶Voronoi单胞的面积趋于无穷, 因此在凸区域的边界上计算点x的形函数仅当其自然邻点为边界结点时才不为0, 且为计算点坐标的线形函数。但是在非凸区域的边界上, 由于边界结点的Voronoi单胞面积 (三维时为体积) 不再是无限的, 因而插值函数在边界节点间不再是线形变化的。

Cueto E等[2]使用建立点集α-shape的方法来构建非凸区域的模型, 以实现在非凸区域边界上位移场是线性变化的, 并称这种方法为α-NEM。在计算力学中往往需要在场变量变化剧烈的地方加大布点密度, 这种情况下点集的α-shape不一定能重构区域的真实形状, 如此又引出了随密度变化的α-shape, 即α值随局部的点的分布密度而变化。因此布点密度的变化不仅是计算精度的需要, 也是模拟计算区域几何模型的需要。

Yvonnet J等[3]通过引入可见性准则来建立点集的约束Voronoi图, 并以此作为形函数计算的依据, 实现了近似函数在非凸边界上的线性插值, 这种方法特别适用于具有裂纹边界的非凸区域, 称为约束自然单元法 (C-NEM) 。

非凸边界上自然单元法形函数计算的α-shape方法和C-NEM方法各有其优点和不足。α-shape方法需要对结点布置加以控制, 且对高度非凸边界如裂纹尖端等情形是不适用的。C-NEM方法通过定义点集的约束Voronoi图来限制相应的邻点关系, 比较适合于具有裂纹或材料边界的情形, 但对于复杂边界其计算复杂性和计算量都较大。本文提出一种计算非凸边界上自然单元法形函数的统一方法, 在明确定义边界结点的基础上, 通过简单的局部判定来限制相关的邻点关系, 从而实现在非凸边界上形函数的线性变化和近似函数在边界上的线性插值。相对于α-NEM和C-NEM, 将本文方法称为边界结点法 (B-NEM) 。

2 非凸边界上自然单元法形函数计算的边界结点法

影响形函数计算的因素是计算点的自然邻点和相关结点的自然邻点。为了使形函数在边界结点间是线性变化的, 边界上的计算点x的Voronoi单胞在边界线的外侧应该是无限的。由于非凸边界上的计算点实际上是位于原点集凸壳的内部, 因而其Voronoi单胞总是有限的, 而从另一个角度来看, 引起这一现象的根本原因是非凸边界上的计算点一定有位于其所在边界线段外侧的自然邻点。

边界结点法的基本思想是通过边界结点确定边界线段, 且边界线段是有向的, 任一点x位于边界线段ij的内侧是指按照i, j, x的循环次序所定义的三角形的有向面积为正值。通过限制位于边界线段外侧的结点成为计算点的自然邻点, 可以实现边界上计算点的Voronoi单胞在边界线段的外侧是无限的, 事实上通过局部边界线段来限制相关点对的邻点关系可以满足可见性准则的要求。

如图2所示, 需要限制边界线段12外侧的结点3和结点4成为计算点x的邻点, 为了保证形函数计算的连续性, 结点3, 4也不应成为位于△125外接圆内且位于边界线段12内侧的计算点的邻点。注意到结点3, 4位于边界线段12的外侧与计算点x位于边界线段31的外侧是等效的, 因此可以通过判断计算点x位于边界线段31的内侧还是外侧来决定结点3, 4能否成为其邻点, 换句话说边界线段12外侧的结点3, 4不能以越过边界的方式影响计算点x的形函数计算。

另一个需要处理的问题是计算区域的三角化应该能准确反映区域的边界形状, 这可以通过允许空外接圆包含相应边界线段外侧的结点来实现。图3中△123的外接圆包含位于边界线段外侧的结点4, 因此△123是有效的, 但是应该禁止△541成为有效的三角形, 因为结点1位于边界线段45的外侧。

3 算例

考虑图4情形, 区域包括了两类非凸边界情形, 一类是在裂纹分析中可能出现的高度非凸的边界, 另一类是一般的非凸区域, 为了使边界显示的更加清楚, 在裂纹边界处有意地使裂纹两侧的边界进行了一定程度的分离, 事实上裂纹两侧的边界结点位置也可以是重合的, 但需要进行不同的结点编号。两个不同结点1, 13的形函数计算结果见图5, 限于篇幅未示出形函数的导数的计算结果。

4 结语

为实现非凸边界上自然单元法形函数在边界结点间的线性变化, 本文提出通过边界结点确定相应边界线段的内外侧, 以简单的局部判断避免在三角化时出现跨越边界的三角形, 在形函数计算时避免结点以跨越边界的方式影响形函数的计算, 实现了形函数在边界结点间的线性变化。通过对多种形式的边界进行实际计算, 结果显示无论对凸边界、一般非凸边界、裂纹边界、材料边界以及内部结点比较接近于边界时的情形, 计算所得形函数在边界线段上是线性变化的, 且采用的方法或判断准则是一致的。因此本文方法具有方便实用、适用面广和计算方法统一等特点, 为自然单元法的进一步应用奠定了坚实的基础。

参考文献

[1] Braun J, Sambridge M.A Numerical Method for Solving Partial Differential Equations on Highly Irregular Evolving Grids[J].Nature, 1995 (376) :655- 660.

[2]Cueto E, DoblaréM, Gracia L.Imposing essential boundary con-ditions in the natural neighbour Galerkin method by means ofdensity-scaledα-shapes[J].International Journal for NumericalMethods in Engineering, 2000 (49) :519-546.

[3]Yvonnet J, Ryckelynck D, Lorong P, et al..A new extension ofthe natural element method for non-convex and discontinuousproblems:the constrained natural element method (C-NEM) [J].International Journal for Numerical Methods in Engineer-ing, 2004 (60) :1451-1474.

[4]Sukumar N, Moran B, Belytschko T.The Natural Elements Meth-od in Solid Mechanics[J].International Journal for NumericalMethods in Engineering, 1998 (43) :839-887.

[5]Sibson R.A Vector Identity for the Dirichlet Tesselation[J].Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Soci-ety, 1980 (87) :151-155.

例谈数形结合求函数的值域篇3

函数f ( x) 与x的值相对应的y值叫作函数值, 函数值的集合{ f ( x) |x∈A} 叫作函数的值域. 函数的值域是难点, 需结合函数的解析式的特征以及定义域, 灵活地选择恰当的方法求解. 学生普遍感到困难. 其实求函数的值域采用数形结合的方法也是比较好的. 数形结合法求函数的值域就是将函数与图形有机地结合起来, 利用图形的直观性求出函数的值域.

例1求函数的值域.

分析很多同学会先求出x范围, ∵x + 1≥0, ∴x≥- 1. 然后直接把x = - 1往解析式代, 得出 {y | y≥ - 1}. 在这里非常明显学生把函数看成是单调增函数. 事实上函数是个复合函数, 非单调的. 这时老师应告诉学生先用换元法, 再画图像解决.

解设, x = t2- 1, y = t2- t - 1 ( t≥0) , 把问题转换成二次函数值域问题. 这样学生就很容易接受. 在这里要强调二次函数值域问题用数形结合的方法很有效, 只要函数图形画对, 值域一般也就能求出. 此题画出图形可以看出函数是非单调的, 验证前面学生的错误做法.

例2求函数y =x2- 2x + 3, x∈[- 3, 3]的值域.

分析很多同学是把x = -3, x =3分别代入解析式, 求出y值, 直接得出值域, 这样就错了.

解事实上此题画图即可, 只要函数图形画对, 值域一般也就能求出. 一般地, 求一次、二次函数的值域与最值, 还要考虑它们的定义域.

例3求y = sin2x - 6sinx + 2的值域.

分析函数的值域就不是[-7, +∞) 了. 因为当x∈R时, sinx∈[- 1, 1], 而sinx取不到3, 则函数值取不到 -7.

解令sinx = t, 则y = t2- 6t + 2, t∈[ - 1, 1].

它的图像是抛物线的一段, ∴函数的值域是[-3, 9].

在此方法中用到了数形结合的方法.

例4已知x + y +1 =0, 则2的最小值是______ .

分析可由x + y + 1 = 0代入消去变量x或y, 从而减少变量, 再运用有关函数的性质必可求解. 但是, 想象得出, 这种方法的计算量是不小的. 我们注意到可以看作直线x +y +1 =0上的点 ( x, y) 与点 ( 1, 1) 间的距离, 从而可以简捷求解. 如图.

例5求函数y = |x +1| +| x -2|的值域.

我们只要画出函数y =| x +1| + |x -2|分段函数的图像, 问题迎刃而解.

我们还可以这样分析: 函数y =| x -1| +| x +2|可以看成数轴上点P ( x) 到定点A (1) , B ( -2) 的距离的和. 因此, 根据其几何意义, 可以利用数形结合法来求解.

解函数y = |x -1| + |x +2|可以看成数轴上点P ( x) 到定点A (1) , B ( -2) 的距离的和. 由下图可知: 当点P ( x) 在线段AB上时, y = |x -1 |+ |x +2| = AB =3;

当点P ( x) 在线段AB的延长线或反向延长线上时, y =|x - 1| +| x + 2| > |AB| = 3.

∴函数y = |x - 1| + |x + 2|的值域为 [3, + ∞ ) .

例6求函数的值域.

分析函数, 显然y可以看成是点P ( x, 0) 到点A ( 0, 2) 的距离与点P ( x, 0) 到点B ( -1, 3) 的距离的和. 而点P ( x, 0) 是x轴上的任意一点, 因此该题就可以等价转化为一条直线上的点到两个定点的距离之和的范围.

具有间断点的分形插值函数篇4

传统的函数插值方法(例如:多项式插值、有理函数插值、样条插值等等)所得到的插值函数都是光滑的、或逐段光滑的。1986年Barnsley[1]提出了分形插值函数的概念,它是一种新的插值方法,对于那些自然界中普遍存在的、处处连续而又处处不光滑的曲线的拟合,显示出了独特的优越性。由于实际中还存在着许多断裂的粗糙曲线和曲面,例如:由于地震或矿藏开采引起的地壳不均匀的沉陷、人工加工过程中产生的断裂或粘接、在地形地貌和加工部件上都会产生不连续的间断点等。基于此,本文提出了具有间断点的分形插值方法。根据插值结点和间断点的情况,构造二维空间上一个压缩映射,其不变集是过插值结点的间断曲线,满足预先给定的间断条件的间断函数的图像。此方法可以用于生成或拟合那些具有不同粗糙度,且处处不光滑的间断曲线。

给定区间I=(a,b],令a=x0<x1<…<xN=b是I的一个划分,其中N≥2。设0=0'<1'<…<M'=N,且。令y0+,y1-,y1+,…,yN-1,y+N-1,yN-是一组实数,满足条件:若时,有yi-=yi+。对于每个i=1,2,…,N,设Ii=(xi-1,xi],Di=(x(l(i)-1)',x(l(i))'],其中,且xixi-1<x(l(i))'-x(l(i)-1)'。记Ki=Ii×R,K=I×R。

对于i=1,2,…,N,令Li是DiIi的一个压缩同胚,满足条件Li(x(l(i)-1)')=xi-1,Li(x(l(i))')=xi,并且存在某个0<αi<1,使得对于任意u1,u2∈Di有

再令Fi是R 2※R的连续函数,满足条件

并且存在某个0≤qi<1,使得对于任意u∈Di及v1,v2∈R,有

定义映射wi:Di×R※Ii×R为

设是一矩阵,满足条件:如果,则Ci,j=1,否则Ci,j=0。矩阵C称为关联矩阵[2]。

记H=H(K1)×H(K2)×…×H(KN),这里H(Ki)是由Ki的所有非空紧子集组成的集合,对任意A=(A1,A2,…,AN)∈H,定义映射W:HH为

(4)式中对任意i,j=1,2,…,N,我们规定

设C0(I)表示在每个子区间(x(j-1)',xj']内连续、并且在两端点处满足条件:g(x(j-1)'+0)=y+(j-1)',g(xj')=yj'的所有区间I上函数g组成的集合。对任意g,h∈C0(I),定义。显然d是定义在C0(I)上的一个距离。

引理C0(I);d是一个完备的度量空间。

证明设是函数空间;d中的一个Cauchy序列,即:任给ε>0,存在大于零的整数N,当n,m>N时,有。从而,对于任意的x∈I,是实数域中的一个Cauchy列。由实数的完备性可知,存在f(x)∈R,使得。并且由C0(I)上定义的距离可知,在区间I上是一致收敛于f的,从而,在区间I的每个子区间(x(j-1)',xj']上是一致收敛于f,所以f在每个子区间(x(j-1)',xj']上连续,这样f∈C0(I)。所以是一个完备的度量空间。证毕。

现在在C0(I)上定义一个映射T,对于任意一个函数g∈C0(I),

由(2)式和条件,显然有Tg∈C0(I)。

对于区间J上的任意一个函数g,记

定理映射T在C0(I)上有唯一的一个不动点f,它是过给定的插值结点的插值函数,即:(1)函数f在每个区间内连续,(2)f(xi+0)=yi+,i=0,1,2,…,N-1;f(xi)=yi-,i=1,2,…,N。并且,其图像Γ(f,I1),Γ是W的不动点。

证明:对于任意g,h∈C0(I),若x∈Ii,由(3)式和(6)式可知

其中,从而d((Tg),(Th))≤q·d(g,h),即T是完备度量空间C0(I)上的一个压缩映射,由压缩映射原理[3],存在唯一的f∈C0(I),使得Tf=f。对于i=0,1,2,…,N-1,f(xi+0)=(Tf)(xi+0)=Fi+1(L-i+11(xi+0),f(L-i+11(xi+0)))=Fi(xi',f(xi'+0))=Fi(xi',yi+')=yi+。同理可证f(xi)=yi-,i=1,2,…,N。另外

从而是W的不动点。证毕。

定理中得到的函数f称为由{wi,i=1,2,…,N}确定的具有间断点的分形插值函数。对于所有i=1,2,…,N,若Li(x)和Fi(x,y)都取为线性函数,这种具有间断点的分形插值函数为具有间断点的仿射分形插值函数。此时,对于任意(x,y)∈Di×R,

(8)式中0≤di<1,i=1,2,…,N预先给定,称为垂直压缩因子,而ai,ci,ei和fi可由插值结点的值计算得到。

例如:若。给定。通过计算得:。这样就可以构造出一个形如(6)式的C0(I)上的映射T,其不动点f是过给定插值结点的具有间断点的分形插值函数(图1)。

参考文献

[1] Barnsley M F.Fractal functions and interpolation.Constr Approx,1986,2:303—329

[2]沙震.分形与拟合.杭州:浙江大学出版社,2005

“数形结合”在函数教学中的运用篇5

本人就“函数”教学中如何渗透与运用“数形结合”的方法来促进学生对新知识的理解与掌握, 进而提高并培养学生的解题能力及思维能力浅谈几点感想.

一、以形助数

运用“以形助数”, 揭示“函数”的相关概念内涵, 促进学生理解、掌握新知识.在课堂教学中, 可充分利用平面直角坐标系 (“形”) 的概念, 结合点的坐标 (“数”) 的形成, 循序渐进地启发诱导学生在理解掌握平面直角坐标系的有关概念的基础上, 领悟平面内“点”的“意义”.这将为学生学好下一段函数及其图像的性质打下坚实的基础.

二、由数思形

教师可运用“由数思形”的方法, 构建“函数”章节中有效的知识网络, 培养学生联想问题及迁移知识的能力.

在二次函数y=ax2+bx+c的教学中如何让学生在“形”上理解相关知识, 如“a, b, c”的正负性以及“Δ”符号的几何意义, 还有“y=0, y﹥0或y<0”时x的解等都离不开教学中直角坐标系图形的展示.可见, 由数思形不仅揭示了知识之间的内在联系, 也充分展示了知识之间相互沟通的内在规律性.使学生追根溯源, 形成清晰的思维脉络, 获得迁移知识的途径, 将知识化“深”为“浅”.

三、数形转化

数缺形时少直观, 形缺数时难入微.数形结合, 是解决某些应用问题和综合问题的法宝.教师有效地运用“数形转化”, 可深化发展学生原有的认知水平, 提高学生的思维能力.

例2011年成都中考第28题:如图, 在平面直角坐标系x Oy中, △ABC的A, B两个顶点在x轴上, 顶点C在y轴的负半轴上.已知|OA|∶|OB|=1∶5, |OB|=|OC|, △ABC的面积S△ABC=15, 抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 经过A, B, C三点.

(1) 求此抛物线的函数表达式.

(2) 设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点, 过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F, 过点F作FG垂直于x轴于点G, 再过点E作EH垂直于x轴于点H, 得到矩形EFGH.则在点E的运动过程中, 当矩形EFGH为正方形时, 求出该正方形的边长.

(3) 在抛物线上是否存在异于B, C的点M, 使△MBC中BC边上的高为?若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由.

解 (1) ∵|OA|∶|OB|=1∶5, |OB|=|OC|, 设OA=m, 则OB=OC=5m, AB=6m.

设抛物线解析式为y=a (x+1) (x-5) , 将C点坐标代入, 得a=1, ∴抛物线解析式为y= (x+1) (x-5) , 即y=x2-4x-5.

(2) 设E点坐标为 (m, m2-4m-5) , 抛物线对称轴为x=2, 点F与点E关于对称轴对称, 由EF=EH, 得2 (m-2) =- (m2-4m-5) 或2 (m-2) =m2-4m-5, 解得m=1±槡10或m=3±槡10.

∴边长EF=2 (m-2) =2槡10-2或2槡10+2.

(3) 假设存在点M, 使△MBC中BC边上的高为7槡2,

∴M点应在与直线BC平行, 且相距7槡2的两条平行直线l1和l2上.

如图, 设l1与y轴交于P点, 过P作PQ与直线BC垂直, 垂足为点Q,

∴由勾股定理, 得

∴直线l1与y轴的交点坐标为P (0, 9) .

同理设l2与y轴交于R点, 过C作CS与直线l2垂直, 垂足为点S, 在等腰Rt△CSR中, |CR|=14, 可求得:l2与y轴交点坐标为R (0, -19) , 易知直线BC的函数表达式y=x-5.

∴直线l1和l2的函数表达式分别为l1:y=x+9, l2:y=x-19.

根据题意, 列出方程组:

由 (2) 得x2-5x+14=0.

一次函数中的数形结合篇6

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质. 另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的.

【典例精析】

例1一次函数y1=kx +b与y2=x +a的图像如图1,则下列结论1k<0;2a>0;3当x<3时,y1<y2中,正确的个数是( ).

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

【解析】由图像可得y1随x的增大而减小,根据一次函数的性质可得k<0;由图像可得y2与y轴的交点在y轴负半轴上,从而可得a<0;从图像上可以看出当x=3时,y1=y2,在两个函数图像交点的左边即x<3时,y1的图像位于y2图像的上方,因此y1>y2. 故只有结论1正确,答案选B.

例2函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2满足b1<b2,且k1·k2<0的两直线的图像为( ).

【解析】由k1·k2<0可得k1与k2异号,故有一条直线是上升的,一条直线是下降的,排除选项A;由b1<b2可知y1与y2不能与y轴交于同一点,排除选项C;同时得出y1与y轴的交点在y2与y轴的交点的下方,排除选项B. 故答案选D.

例3用图像法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像(如图2所示),则所解的二元一次方程组是_______________.

【解析】由图像可求得,过(2,0)和(0,2)的一次函数关系式为y=-x+2,过(0,-1)和(1,1)的一次函数关系式为y=2x-1,根据两个一次函数的图像的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解,因此二元一次方程组为

例4如图3,一次函数图像经过点A,且与正比例函数y=-x的图像交于点B,求该一次函数的关系式.

【解析】由图像可知,点B在正比例函数y=-x上,将B的横坐标x=-1代入y=-x得,y=1,可得B点坐标为(-1,1). 从图像可得A(0,2),B(-1,1)在该一次函数图像上,可设一次函数关系式为y=kx+b,将x=0,y=2;x=-1,y=1代入可得二元一次方程组.解得因此函数关系式为y=x+2.

【小结】以上例题的解题思路主要运用了数形结合的思想方法,利用图像来分析问题可以将数量关系直观化、形象化. 在一次函数的学习中,同学们不能仅仅着眼于具体题目的解题过程,而应不断加深对数形结合思想的领会,从整体上认识问题的本质,就一定会收到事半功倍的效果.

【巩固练习】

1. 在同一直角坐标系中,函数y=kx与y=x-k的图像大致应为( ).

2. 如图4,是一个正比例函数的图像,把该图像向下平移一个单位长度,得到的函数图像的关系式为 ____________.

3. 观察图5,二元一次方程组的解是 _______.

4. 已知直线经过原点和点(-2,-4),直线经过点(1,5)和点(8,-2),求:

(1)求y1和y2的函数关系式,并在同一坐标系中画出两个函数的图像;

(2)若两直线交于点M,求M的坐标;

(3)若直线y2与x轴交于点N,试求△MON的面积.

【答案】

1. B

2. y=-2x-1