误差函数

2024-08-30

误差函数（共4篇）

误差函数篇1

考虑固定设计下的非参数回归模型:Yi=g (ti) +εi;i=1, 2, …n (1)

式 (1) 中A是R中的一个紧集, 固定设计点列t1, t2, …tn∈A, g (·) 是A上的有界实值未知函数, {εi;i=1, 2, …, n}为随机误差序列, 且E (εi) =0, E (ε2i) =σ2<∞, i=1, 2, …, n。不妨设A=[0, 1], 0≤t1≤t2≤…≤tn≤1。定义回归函数g (·) 的小波估计为

$\hat{g}_{n} (t) = \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s (2)$

式 (2) 中Ai=[si-1, si) ;i=1, 2, …, n为区间[0, 1]上的分割且满足ti∈Ai。Em (t, s) 是由刻度函数φ (x) 产生的小波再生核:

$\begin{array}{l} E_{m} (t, s) = 2^{m} E_{0} (2^{m} t, 2^{m} s) ； \\ E_{0} (t, s) = \sum_{j \in Ζ} φ (t - j) φ (s - j) 。 \end{array}$

其中m=m (n) >0为仅依赖于n的常数。

对于模型 (1) 的回归函数的小波估计, 许多学者进行了大量的研究, 取得了丰硕的成果。如文献[1]在独立随机误差下研究了小波估计的相合性, 渐近正态性, 渐近方差;文献[2]在误差为φ混合情形下讨论了小波估计的收敛速度问题;文献[3,4]分别在α混合和ρ混合误差下研究了小波估计的相合性及收敛速度;文献[5]研究了φ混合误差下小波估计的渐进正态性;文献[6]讨论了随机误差为鞅差序列和Lq混合平稳序列时回归函数小波估计的大样本性质。

本文研究了在随机误差为 $\tilde{ρ}$ 混合时回归函数g (x) 的小波估计 (2) 的渐近正态性。

1 引理及假定

基本假定条件

(A1) 刻度函数φ (·) 是τ正则且具有紧支撑, 满足1阶Lipschitz条件, 并有

$| ϕ^{*} (ζ) - 1 | = Ο (ζ) ‚ ζ \to \infty 。$

其中ϕ*为ϕ的Fourier变换。

$(A 2) g (\cdot) \in Η^{v} ‚ v > \frac{3}{2}$ , 且g (·) 满足1阶Lipschitz条件。

$(A 3) \max_{1 \leq i \leq n} | s_{i} - s_{i - 1} | = Ο (n^{- 1})$ 。

(A4) (i) 2m=O (n1/3) , (ii) 22m/n→0。

$(A 5) \frac{2^{3 m}}{n} \to \infty$ 。

(A6) 存在正整数p:=p (n) , q:=q (n) , 使对充分大的n, 有p+q≤n, qp-1≤C<∞, 且当n→∞时

$(i) \frac{q}{p + q} 2^{m} \to 0$ ; $(i i) p \frac{2^{m}}{n} \to 0$ ;

$(i i i) k p \tilde{ρ} (q)^{1 / 2} (2^{m} / n)^{1 / 2} \to 0$ 。

假定条件 (A1) — (A4) 是讨论小波估计的一般性条件, 具体见文献[1,2,3,4,5,6]。条件 (A5) , (A6) 满足是容易验证的, 见文献[5]。

引理1 当 (A1) — (A3) 成立时, 有

(i) $\sup_{t} \int_{0}^{1}$ Em (t, s) ds<C;

(ii) $| \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s | = Ο (2^{m} / n)$ ;

$\sum_{i = 1}^{n} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s | \leq C$ ;

$\sum_{i = 1}^{n} (\int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s)^{2} = Ο (\frac{2^{m}}{n})$ ;

(iii) ∫ $_{0}^{1}$ Em (t, s) g (s) ds=g (t) +O (2-m) 。

(i) , (ii) 和 (iii) 的证明见文献[1,3,5,7]。

引理2[8] 当条件 (A1) — (A4) 成立时, 在模型 (1) 中若随机误差列{εi;i=1, 2…, n}为 $\tilde{ρ}$ 混合序列, 且Eεi=0;i=1, 2, …, n, 则

$E \hat{g}_{n} (t) - g (t) = Ο (2^{- m}) + Ο (n^{- 1})$ 。

引理3[8] 当条件 (A1) — (A4) 成立时, 在模型 (1) 中若随机误差列{εi;i=1, 2…, n}为 $\tilde{ρ}$ 混合平稳序列, 且 $\sum_{k = 1}^{\infty} \tilde{ρ} (k) < \infty$ , 则

$V a r (\hat{g}_{n} (t)) = Ο (\frac{2^{m}}{n})$

引理4[9] 设{Xi;i∈N}为 $\tilde{ρ}$ 混合序列, $E X_{i} = 0 ‚ E | X_{i} |^{q} < \infty ‚ q \geq 2 ‚ \tilde{ρ} (1) < 1$ , 记 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ , 则存在仅依赖于 $\tilde{ρ}$ (·) 和q的正常数C, 使∀n≥1有

$E | S_{n} |^{q} \leq C {\sum_{i = 1}^{n} E | X_{i} |^{q} + (\sum_{i = 1}^{n} E (X_{i})^{2})^{q / 2}}$ 。

引理5[10] 设{Xi;i∈N}为 $\tilde{ρ}$ 混合序列, p, q为两个正整数, 记

$η_{l} = \sum_{j = (l - 1) (p + q) + 1}^{(l - 1) (p + q) + p} X_{j}$ ; (1≤l≤k) 。

则有

$\begin{array}{l} | E e x p (i t \sum_{l = 1}^{k} η_{l}) - \prod_{l = 1}^{k} E \exp (i t η_{l}) | \leq \\ C | t | \tilde{ρ} (q)^{1 / 2} \sum_{l = 1}^{k} | η_{l} |_{2} 。 \end{array}$

2 主要结果及证明

定理1 当假定条件 (A1) — (A6) 成立时, 在模型 (1) 中若随机误差列{εi;i=1, 2, …, n}为 $\tilde{ρ}$ 混合同分布序列, 且 $E | ε_{i} |^{2 + δ} < \infty ‚ 0 < δ \leq 1 ‚ \tilde{ρ} (k) = Ο (n^{- θ}) ‚ θ > 1$ 则

$σ_{n}^{- 1} {\hat{g}_{n} (t) - E \hat{g}_{n} (t)} \overset{d}{\to} Ν (0, 1) ‚ t \in [0, 1] ‚ n \to \infty$ 。

证明采用文献[11]中定理2.1的证明方法, 记

$S_{n} = σ_{n}^{- 1} {\hat{g}_{n} (t) - E \hat{g}_{n} (t)} ‚$

Zni=σ $_{n}^{- 1}$ εi∫AiEm (t, s) ds, i=1, 2, …, n。

则 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} Ζ_{n i}$ 。

令k=[n/ (p+q) ], 利用Bernstein大小分块原理, Sn可分解为Sn=S′n+S′n+Sn。

$\begin{array}{l} 其中 S^{'}_{n} = \sum_{m = 1}^{k} y_{n m} ‚ S^{″}_{n} = \sum_{m = 1}^{k} y^{'}_{n m} ‚ S^{‴}_{n} = y^{'}_{n k + 1} ‚ \\ y_{n m} = \sum_{i = k_{m}}^{k_{m} + p - 1} Ζ_{n i} ‚ y^{'}_{n m} = \sum_{i = l_{m}}^{l_{m} + q - 1} Ζ_{n i} ‚ y^{'}_{n k + 1} = \sum_{i = k (p + q) + 1}^{n} Ζ_{n i} ‚ \\ k_{m} = (m - 1) (p + q) + 1 ‚ \\ l_{m} = (m - 1) (p + q) + p + 1 ； m = 1, 2, \dots, k 。 \end{array}$

则在定理1的条件下, 可证得

$\begin{array}{l} S^{″}_{n} + S^{‴}_{n} \overset{Ρ}{\to} 0 (3) \\ S^{'}_{n} \overset{d}{\to} Ν (0, 1) (4) \end{array}$

成立。由式 (3) , 式 (4) 和Slutsky引理知, 定理1成立。

首先证明式 (3) 成立。由引理1 (ii) 和引理3知, $σ_{n}^{- 2} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s | \leq C$ 。

再由引理1 (ii) 和条件 (A6) (i) :

$\begin{array}{l} E (S^{″}_{n})^{2} = E (\sum_{m = 1}^{k} \sum_{i = l_{m}}^{l_{m} + q - 1} σ_{n}^{- 1} ε_{i} \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s)^{2} \leq \\ C \sum_{m = 1}^{k} \sum_{i = l_{m}}^{l_{m} + q - 1} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s | \leq \\ C k q \frac{2^{m}}{n} \leq C \frac{n}{p + q} q \frac{2^{m}}{n} = \\ C \frac{q}{p + q} 2^{m} \to 0 (5) \end{array}$

$\begin{array}{l} E (S^{‴}_{n})^{2} = E (\sum_{i = k (p + q) + 1}^{n} σ_{n}^{- 1} ε_{i} \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s)^{2} \leq \\ C \sum_{i = k (p + q) + 1}^{n} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s | \leq C [n - k (p + q)] \frac{2^{m}}{n} \leq C (p + q) \frac{2^{m}}{n} = \\ C (1 + q p^{- 1}) p \frac{2^{m}}{n} \to 0 (6) \end{array}$

由式 (5) , 式 (6) 和Tchebychev不等式, 对∀ε>0, 有

$\begin{array}{l} Ρ (| S^{″}_{n} + S^{‴}_{n} | > 2 ε) \leq Ρ (| S^{″}_{n} | > ε) + \\ Ρ (| S^{‴}_{n} | > ε) \leq \frac{E (S^{″}_{n})^{2}}{ε^{2}} + \frac{E (S^{‴}_{n})^{2}}{ε^{2}} \to 0 。 \end{array}$

由ε的任意性知, 式 (3) 成立。

现证明式 (4) 成立。令 $s_{n}^{2} = \sum_{m = 1}^{k} V a r (y_{n m}) ‚ Γ_{n} = \sum_{1 \leq i < j \leq k} cov (y_{n i}, y_{n j})$ , 则

s $_{n}^{2}$ =E (S′n) 2-2Γn, E (S $_{n}^{2}$ ) =1,

E (S′n) 2=E[Sn- (S″n+Sn) ]2=

1+E (S″n+Sn) 2-2E[Sn (S″n+Sn) ]。

则

$| E (S^{'}_{n})^{2} - 1 | =$ E (S″n+Sn) 2-

2E[Sn (S″n+Sn) ]→0 (7)

$\begin{array}{l} | Γ_{n} | \leq \sum_{1 \leq i < j \leq k} \sum_{u = k_{i}}^{k_{i} + p - 1} \sum_{v = k_{j}}^{k_{j} + p - 1} | cov (Ζ_{n u}, Ζ_{n v}) | \leq \\ \sum_{1 \leq i < j \leq k} \sum_{u = k_{i}}^{k_{i} + p - 1} \sum_{v = k_{j}}^{k_{j} + p - 1} σ_{n}^{- 2} \end{array}$

∫AuEm (t, s) ds∫AvEm (t, s) ds $cov (ε_{u}, ε_{v}) \leq C \sum_{1 \leq i < j \leq k} \sum_{u = k_{i}}^{k_{i} + p - 1} \sum_{v = k_{j}}^{k_{j} + p - 1}$

$\begin{array}{l} | \int_{A_{u}} E_{m} (t, s) d s | \tilde{ρ} (v - u) | ε_{u} |_{2} | ε_{v} |_{2} \leq \\ C \sum_{i = 1}^{k - 1} \sum_{u = k_{i}}^{k_{i} + p - 1} | \int_{A_{u}} E_{m} (t, s) d s | \sum_{j = i + 1}^{k} \sum_{v = k_{j}}^{k_{j} + p - 1} \tilde{ρ} (v - u) \leq \end{array}$

$C \sum_{u = 1}^{n}$ ∫AuEm (t, s) ds

$\begin{array}{l} \sum_{j = q}^{\infty} \tilde{ρ} (j) \leq \\ C \sum_{j = q}^{\infty} \tilde{ρ} (j) \to 0 (q \to \infty) (8) \end{array}$

由式 (7) , 式 (8) 知

E (S′n) 2→1, s $_{n}^{2}$ →1 (9)

为了建立S′n的渐近正态性, 假设{ηnm;m=1, 2, …, k}是独立随机变量序列, 且ηnm和ynm (m=1, 2, …, k) 有相同的分布, 则有

Eηnm=0, Var (ηnm) =Var (ynm) 。

令Tnm=ηnm/sn, m=1, 2, …, k, 则

{Tnm;m=1, 2, …, k}是独立的, 且

$E Τ_{n m} = 0 ‚ \sum_{m = 1}^{k} V a r (Τ_{n m}) = 1$ 。

用ϕX (t) 表示随机变量X的特征函数, 则有

$ϕ_{\sum_{m = 1}^{k} y_{n m}} (x) - e^{- \frac{t^{2}}{2}}$ ≤

$E \exp (i t \sum_{m = 1}^{k} y_{n m}) - \prod_{m = 1}^{k} E \exp (i t y_{n m})$ +

$\prod_{m = 1}^{k} E \exp (i t y_{n m}) - e^{- \frac{t^{2}}{2}}$ ≤

$E \exp (i t \sum_{m = 1}^{k} y_{n m}) - \prod_{m = 1}^{k} E \exp (i t y_{n m})$ +

$\prod_{m = 1}^{k} E \exp (i t Τ_{n m}) - e^{- \frac{t^{2}}{2}}$ :=

I1+I2 (10)

由引理5, 引理1 (ii) 和条件 (A6) (iii) 得

$\begin{array}{l} Ι_{1} \leq C | t | \tilde{ρ} (q)^{1 / 2} \sum_{m = 1}^{k} | y_{n m} |_{2} \leq \\ C | t | \tilde{ρ} (q)^{1 / 2} \sum_{m = 1}^{k} E (\sum_{i = k_{m}}^{k_{m} + p - 1} | σ_{n}^{- 1} ε_{i} \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s |^{2})^{1 / 2} \leq \\ C | t | \tilde{ρ} (q)^{1 / 2} \sum_{m = 1}^{k} \sum_{i = k_{m}}^{k_{m} + p - 1} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s |^{1 / 2} \leq \\ C | t | \tilde{ρ} (q)^{1 / 2} k p (\frac{2^{m}}{n})^{\frac{1}{2}} \to 0 (11) \end{array}$

I2→0显然, 由此及式 (10) , 式 (11) , 可把S′n看做是独立不同分布随机变量之和。由Lyapunov中心极限定理, 要证式 (4) 成立, 只需证明存在某δ>0, 有

$\frac{1}{s_{n}^{2 + δ}} \sum_{m = 1}^{k} E | y_{n m} |^{2 + δ} \to 0 ‚ n \to \infty (12)$

由引理1, 引理3, 引理4和条件 (A6)

$\begin{array}{l} \sum_{m = 1}^{k} E | y_{n m} |^{2 + δ} \leq \\ C \sum_{m = 1}^{k} [\sum_{i = k_{m}}^{k_{m} + p - 1} E | Ζ_{n i} |^{2 + δ} + (\sum_{i = k_{m}}^{k_{m} + p - 1} E | Ζ_{n i} |^{2})^{\frac{2 + δ}{2}}] \leq \end{array}$

$\begin{array}{l} C \sum_{m = 1}^{k} {\sum_{i = k_{m}}^{k_{m} + p - 1} [σ_{n}^{- 2} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s |^{2}]^{\frac{2 + δ}{2}} + \\ [\sum_{i = k_{m}}^{k_{m} + p - 1} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s |]^{\frac{2 + δ}{2}}} \leq \end{array}$

$\begin{array}{l} C \sum_{m = 1}^{k} {\sum_{i = k_{m}}^{k_{m} + p - 1} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s |^{\frac{2 + δ}{2}} + \\ [\sum_{i = k_{m}}^{k_{m} + p - 1} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s |]^{\frac{2 + δ}{2}}} \leq \end{array}$

$\begin{array}{l} C \sum_{m = 1}^{k} {p^{\frac{δ}{2}} \sum_{i = k_{m}}^{k_{m} + p - 1} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s |^{\frac{2 + δ}{2}} + \\ [\sum_{i = k_{m}}^{k_{m} + p - 1} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s |]^{\frac{2 + δ}{2}}} \leq \end{array}$

$\begin{array}{l} C (p \frac{2^{m}}{n})^{\frac{δ}{2}} \sum_{i = 1}^{n} | \int_{A_{i}} E_{m} (t, s) d s | \leq \\ C (p \frac{2^{m}}{n})^{\frac{δ}{2}} \to 0 (13) \end{array}$

由式 (9) , 式 (13) 知式 (12) 成立。从而式 (4) 成立。证毕。

定理2 当假定条件 (A1) — (A6) 成立时, 且{εi}满足定理1中的所有条件, 则

$σ_{n}^{- 1} {\hat{g}_{n} (t) - g (t)} \overset{d}{\to} Ν (0, 1) ‚$

t∈[0, 1], n→∞。

$\begin{array}{l} 证明 σ_{n}^{- 1} {\hat{g}_{n} (t) - g (t)} = \\ σ_{n}^{- 1} {\hat{g}_{n} (t) - E \hat{g}_{n} (t)} + \\ σ_{n}^{- 1} {E \hat{g}_{n} (t) - g (t)} (14) \end{array}$

由定理1知 $σ_{n}^{- 1} {\hat{g}_{n} (t) - E \hat{g}_{n} (t)} \overset{d}{\to} Ν (0, 1)$ , 故只需要证明

$σ_{n}^{- 1} {E \hat{g}_{n} (t) - g (t)} \to 0 (15)$

即可。由引理2有

$E \hat{g}_{n} (t) - g (t) = Ο (2^{- m}) + Ο (n^{- 1})$ 。

再由引理3及条件 $\frac{2^{3 m}}{n} \to \infty$ 得

$\begin{array}{l} σ_{n}^{- 1} {E \hat{g}_{n} (t) - g (t)} = Ο (\sqrt{\frac{n}{2^{3 m}}}) + \\ Ο (\frac{1}{\sqrt{n 2^{m}}}) \to 0 。 \end{array}$

定理证毕。

参考文献

[1]Antoniads A, Gregoire G, Mckeague I W.Wavelet method for curve estimation.JASA, 1994;89:1340—1352

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[9]杨善朝.一类随机变量部分和的矩不等式及其应用.科学通报, 1998;43 (17) :1823—1827

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[11]Georgiev A A.Consistent nonparametric multiple regression:the fixed design case.J Multivariate Anal, 1988;25:100—111

误差函数篇2

Pareto分布是意大利经济学家Pareto (1897) 首先提出的, 并被应用到个人收入研究问题中。随着越来越多学者对此分布的关注和研究, Pareto分布已广泛存在于物理学、生物学、人口统计学、社会科学与经济学等众多领域中。随着研究的深入和更多学者的加入, 更多改进和推广的Pareto分布被提出。本文研究的广义Pareto分布 (Generalized Pareto Distribution, 简称GPD) 是Piekands (1975) 首次提出的, 并被广泛应用于金融、保险、自然灾害等领域[1]。针对GPD分布参数的统计推断得到了很多学者的关注和研究。很多估计方法被提出, 如极大似然估计[2]、矩估计法[3]、概率加权矩[4]、L矩估计法[5]和广义有偏概率加权矩法[6] (Generalized Partial Probability Weighted Moments, 简称GPPWM) 等。以上这些方法都是在经典统计下进行研究的。在Bayes统计推断程序下进行研究的还很少。为此, 本文将在平方误差损失函数下研究广义Pareto分布参数的Bayes统计推断问题。

本文所研究的两参数GPD分布函数为[7]:

式 (1) 中, β>0, 且当ξ≥0时, x∈[0, ∞];当ξ<0时, x∈[0, -β/ξ]。

本文接下来的研究中只考虑参数ξ<0的情况, 令, 则此时两参数GPD分布函数变为:

式 (2) 中, θ, σ>0为参数。

本文将在已知σ的情况下, 基于参数θ的先验分布为逆伽玛先验分布条件下, 研究平方误差损失下广义Pareto分布式 (2) 的参数的Bayes估计问题。

1 Bayes估计

在Bayes统计推断中, 先验分布和损失函数的选择是两个最重要的部分。本文设X1, X2, …, Xn的参数θ的先验分布为逆伽玛分布IГ (α, β) , 相应的概率密度函数为:

采用的损失函数为平方误差损失函数:

在平方误差损失函数下, 参数θ的Bayes估计为:

定理设X1, X2, …, Xn为来自总体服从GPD分布 (2) 的容量为n的样本, x1, x2, …, xn为相应的样本观察值, 并记X= (X1, X2, …, Xn) , 。如前假设参数θ的先验分布为逆伽玛分布IГ (α, β) , 则在平方误差损失函数下, 参数θ的Bayes估计为:

证明由 (2) 得到GPD分布的概率密度函数为:

从而在给定X= (X1, X2, …, Xn) 的样本观察值下x= (x1, x2, …, xn) , 参数θ的似然函数为:

式 (8) 中, 的样本观测值。

由Bayes定理得到参数θ的后验概率密度函数为:

故θ的后验分布为逆伽玛分布IГ (n+α, t+β) 。即后验概率密度函数为:

则在平方误差损失函数下, 参数θ的Bayes估计为其后验均值, 即θ的Bayes估计为:

2 数值模拟例子和结论

利用Monte Carlo数值模拟生成容量为n=20的来自广义Pareto分布 (2) 的简单随机样本, 其中σ=1.0, θ=1.0。重复试验N=5000次, 将估计的平均值即作为参数θ的估计值, 利用均方误差来考察估计的优良性:

式 (12) 中, 为第i次试验的参数θ的估计值。参数的MLE、Bayes估计值见表一。

从表一及大量的数值模拟试验我们得到如下结论:

(1) Bayes估计虽受两个超参数的影响, 但影响不太大, 得到的Bayes估计的均方误差较极大似然估计的小, 因此再有先验信息可以利用时, 建议采用Bayes估计值作为参数估计值。

(2) 当样本容量n较大时, 两类估计均较接近真实值且均方误差也基本相等, 此时两类估计值都可以作为参数的估计值。

参考文献

[1]赵旭.广义Pareto分布的统计推断[D].北京:北京工业大学, 2012.

[2]Grimshaw S D.Computing Maximum Likeli-hood Estimates for the Generalized Pareto Distribution[J].Technometrics, 1993, 35 (02) :185-191.

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[4]Greenwood J A, Landwehr J M, Matalas N C, Wallis J R.Probability Weighted Moments:Definition and Relation to Parameters of Several Distributions Expressible in Inverse Form[J].Water Resour.Res.1979, 15 (05) :1049-1054.

[5]Hosking J R M.L—moments:Analysis and Es-timation of Distributions Using Linear Combinations of order Statistics[J].R.Statist Soc.B, 1990, 52 (01) :105-124.

[6]赵旭, 程维虎, 李婧兰.广义Pareto分布的广义有偏概率加权矩估计方法[J].应用数学学报, 2012, 35 (02) :321-329.

误差函数篇3

关键词：泰勒公式,皮亚诺型余项,拉格朗日型余项,积分型余项

泰勒公式是大学数学中的重要知识, 他有三种余项形式, 即皮亚诺型、拉格朗日型、积分型。每一种形式的泰勒公式都有着相应的应用, 因而泰勒公式的应用是广泛的。它在近似计算中的作用尤为突出, 它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式, 从而使问题简单化。因此, 研究泰勒公式的各种余项形式有重要的意义。

1用多项式逼近可微函数产生误差的探讨

这个近似公式具有形式简单、计算方便的优点, 但也存在着精度不高、误差无法估计的缺点。从几何上看, 是由于这个近似公式是用曲线处的切线 (直线) 来代替该曲线得到的。我们自然会想到, 用曲线来代替曲线比用直线代替曲线精度可能更高。在曲线中, 比较简单的是关于的高次多项式所表示的曲线。

为了回答上述问题, 我们先看特殊的情况次多项式, 将它写为形式

这表明, 如果次多项式, 则它必可表为 (1) 的形式。

对于一般的 (非的多项式) , 它肯定不能表为 (1) 的形式。

无穷小量, 这说明这种近似可靠性很高。

2各种余项形式的泰勒公式证明

2.1皮亚诺型余项的泰勒公式

其中满足

证毕。

称 (3) 式为带皮亚诺余项的泰勒公式。

2.2拉格朗日型余项的泰勒公式

此时 (2) 式可表示为

(4) 式称为的带拉格朗日余项的泰勒公式。

2.3积分型余项的泰勒公式

证明:由Newton-Lebniz公式得

…………

从而有

且由L-hospital法则

证毕。

参考文献

[1]鲁翠仙.泰勒公式及其应用[J].西昌学院学报 (自然科学版) , 2013, (01) :143-145.

误差函数篇4

一、代数法

这个实验是用电流表和电压表测出电流和电压, 再用闭合电路欧姆定律求出电池的电动势和内阻, 实验用的电路如a图, 我们知道只要改变R的阻值, 测出I、U的数据。

首先我们构造不考虑电表的影响的测量值函数式

解得E测=U1+I1* (U1-U2) / (I1-I2) (1)

r测= (U1-U2) / (I2-I1) (2)

在构造考虑电表影响测量值的函数式

解得E真=U1+ (U1-U2) * (I1+IV1) / (I2+IV2-I1-IV1) (3)

对比 (1) 、 (3) 和 (2) (4)

E真>E测, r真>r测

通过对比函数式知道这种测量方法出现误差是由电压表分流造成的, 要减小这种测量误差需增大电压表的内阻, 通过对比两个函数式还可以知道这种测量方法适用于测量电源内阻较小的电源。

如果我们用b电路测量, 则不考虑电表影响的测量值的表达式

解得E测=U1+I1* (U1-U2) / (I1-I2) (5)

考虑电表影响时测量值的表达式

解得E真=U1+I1* (U1-U2) / (I1-I2) (7)

对比 (5) 、 (7) 和 (6) 、 (8) 我们可以看到

通过对比 (5) 、 (7) 和 (6) 、 (8) 我们可以看到这种测量方法造成误差的原因是电流表分压而造成的, 要减小这种测量误差就要减小电流表的内阻, 通过函数式的对比还可以看到这种测量方法适合于内阻较大的水果电池。

从上面式子可以看到如果电流表内阻已知, 这种测量方法就是最好的这样电动势和内阻的测量和理论上是一样的这样可以把避免系统误差。

二、等效法

测量原理的等效。我们利用U=E-Ir, 如a图: (设电源电动势为E、内阻为r)

理想电表时有:E=U+Ir

考虑到电表的影响有:

对比 (9) 、 (10) 两式可以知道用这种电路:

通过上面构造的函数的对比很容易看到这种测量方法导致电动势和内阻的测量值都比真实值小, 误差的原因是电压表不是理想电表, 这种方法适合于电源内阻较小的电源或者是电压表已知的电路, 通过E测=RVE/ (RV+r) , r测=RV/ (RV+r) 计算出电源的真实电动势和内阻可以避免系统误差。V误差。

我们用b图 (设电源电动势为E、内阻为r) , 理想电表时有:

考虑到电表的影响有:

对比 (11) 、 (12) 式可以看到用这种电路

E测=E真

测真r=r+r

通过上面构造函数的对比可以看到这种电路测量出现系统误差的原因是电路表的内阻引起的这种电路适合测量内阻较大的水果电池通过

E测=E真

可以看到当电流表内阻已知时用这种电路可以消除系统误差。

摘要：系统误差分析的思想是构造“不考虑系统误差测量值的函数式”和“考虑系统误差测量值函数式”的对比, 通过对比可以看出系统误差的原因和找出减小系统误差的方法。

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系统误差:随机误差10-17

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