误差建模

2024-10-17

误差建模（精选7篇）

误差建模篇1

光电稳定平台是精密机械技术、控制技术、光学技术及图像处理技术的综合系统, 随着科学技术的发展, 稳定平台在各方面的应用越来越广泛。在军事领域, 其广泛的用于机载稳定瞄准平台、导引头等领域。稳定平台是在移动载体条件下, 通过多轴运动补偿载体运动所造成的光轴扰动, 从而保持其指向惯性稳定的装置, 并在光轴稳定指向的基础上实现跟踪目标等其他功能。光轴的准确指向受到各轴以及轴间几何误差的影响, 几何误差主要包括由于机构加工、装配的不准确导致的安装误差以及由轴承跳动等原因造成的运动误差等[1,2]。

光电稳定平台的动态精度性能由稳定精度指标来衡量, 而静态精度性能由指向精度指标来衡量。如该稳定平台用于高精度跟踪, 并需要为火控系统提供目标的精确指向角, 则对指向精度有很高的要求。由于多项误差对总结果的影响效果不一定是累加效果, 在传递过程中, 可能相互抵消, 也有可能被放大[3]。因此, 这里需要对二维平台进行全面分析, 建立误差模型。

1 光电稳定平台几何误差分析

1.1 光电稳定平台

为提高稳定跟踪平台的指向与控制精度, 需要对机械误差造成的视线角误差进行严格的控制, 要求设计轴系在现有加工水平和轴承精度水平的基础上保证高的回转精度。轴承孔的同轴度、轴承跳动、结构挠度等是影响轴系回转精度的主要因素, 对这些因素造成的轴系运动误差进行分析与综合后, 可计算获得由此造成的视轴指向误差。为方便建模分析, 我们在讨论中将各项对运动部件均看成刚性体, 各力变形造成的轴系晃动影响看作是各部件没有变形, 而是存在制造误差。由于各部件加工与装配的不完善性, 不可避免地会使各运动部件的实际位置 (或指向角) 偏离它的名义值, 因此可称为几何误差[4,5]。

根据整个稳定平台的硬件分布, 可将误差源分为三大块:方位轴系和俯仰轴系, 剩余误差主要还有两轴系的正交误差、负载的光电传感器光轴与俯仰轴间的正交误差, 下面便分析影响轴系精度的各几何误差项。

1.2 几何误差分析

稳定平台的基本结构如图2所示, 共有3个相对运动的部件, 即基座、方位框和俯仰框, 为方便建模, 在这3个作相对运动的部件上分别建立直角坐标系O1XYZ、O2XYZ、O3XYZ。稳定平台坐标系OXYZ, OX轴与光轴平行, 指向外目标方向为正。OY轴垂直于OX轴, 在水平面内, OZ轴按右手法则确定[6,7]。

俯仰角θy——OX与水平面的夹角, 向下为正;

方位角θw——OX在XOY平面上投影与指定方位的夹角, 逆时方向为正。

整个坐标系满足右手法则, O1XYZ为机器坐标系, 为基准坐标系。

1.2.1 方位轴系误差

稳定平台方位转动时, 安装在方位轴系上的一对啮合齿轮驱动平行于方位轴的测角编码器转动, 因此方位轴系误差主要包括方位测角误差和轴系晃动误差。方位测角误差主要由方位编码器自身误差、转换误差、齿轮自身误差和齿轮副啮合误差等组成。

测角编码器的驱动齿轮副, 不可避免的会存在啮合齿隙, 该齿隙误差Δd和齿轮直径D有关, 可估算出最大值:

表1中列出了方位轴测角误差θ1的组成项, 由于各项误差相对独立, 通过平方和后开根号的方式进行误差合成, 合成后的误差满足正态分布。

如图3所示, 当方位轴系转动时, 由于加工、装配的不完善性, 轴系还会产生除绕z轴方位角θw以外的晃动, 为方便建模, 我们将其分解为绕x轴的晃动误差θ2和绕y轴的晃动误差θ3。

轴系的晃动误差可由下式近似计算:

(Δ为轴承跳动量, 取均方差0.003mm;k′为负载变化系数, 取0.5~1;L1为两轴承的跨距, 取14mm)

因此, θ2和θ3的均方差约为0.01°, 该误差服从正态分布。

1.2.2 俯仰轴系误差

稳定平台俯仰轴编码器与俯仰轴同轴安装, 因此消除了俯仰传动链的不完善性对俯仰轴测角的影响。同理分析可得, 俯仰轴系误差主要包括俯仰测角误差、轴系晃动误差等, 俯仰测角误差主要由俯仰轴编码器自身误差、转换误差组成, 俯仰轴测角误差θ4约为0.011°, 该误差服从正态分布。

当俯仰轴系转动时, 由于加工、装配的不完善性, 轴系还会产生除绕y轴方位角θy以外的晃动, 将其分解为绕x轴的晃动误差θ5和绕z轴的晃动误差θ6。晃动误差的量值可由式 (2) 近似计算, 轴承跳动量取0.003mm, 俯仰轴两轴承的跨距约150mm。因此, θ5和θ6的均方差约为0.001°, 且误差服从正态分布。

1.2.3 其它误差

以上的误差均为相对运动的部件之间的运动误差, 除运动误差外, 还存在框架间的固有误差, 在加工安装完成后便相对固定不变, 一般为一个固定值, 称为静止误差。如两轴系间的垂直度误差、光电传感器视轴与俯仰轴间的正交误差等。

(1) 方位与俯仰轴系间垂直度误差θ7

稳定平台有两根名义上相互垂直的回转轴线, 由于加工、安装的不完善性, 这两根回转轴线在空间上的夹角会偏离它们的公称值90°, 存在垂直度误差θ7, 约为0.01°。

(2) 视轴误差θ8

视轴是光学传感器系统主点与其CCD靶面十字丝中心的连线, 即为光学传感器光路系统的光轴线。视轴误差是实际视轴与理想视轴不相重合而产生的误差。理想视轴应同时垂直于方位轴线和俯仰轴线, 即两条轴线空间向量叉乘所得向量的方向。由于加工及装配误差, 实际光学系统的光轴与理想视轴并不在一条直线上, 而存在一个夹角θ8, 也就相当于坐标系O3XYZ产生绕z轴θ8的角运动误差, 约为0.01°。

2 误差建模

在建立稳定平台的数学模型时, 为简化计算, 要求模型尽可能简单。比较简单的机器模型是刚体模型, 即将各相对运动的部件都看作刚性体。并将组合刚体的在空间的位姿变化用一系列沿坐标系的平移运动和绕原点的转动组成, 在各刚性体上建立坐标系, 用坐标传递关系唯一确定转动链末端光学传感器视轴的指向。

如图2所示, 在初始位置时, 可认为三个坐标系的方向相互平行, 各坐标系之间初始相对位置明确, 把整个坐标链看成是一个开链的串联坐标系的组合当方位和俯仰角为零时, 也就是转台处在初始位置时, 3个坐标系的各个方向平行, 各坐标系原点在空间上存在相对距离。

这里使用齐次坐标变换理论, 使用坐标变换矩阵求出内框和基座间的相对坐标变换关系, 该理论的具体方法可参照文献[5,6]。为方便表达, 把相对原坐标系v轴 (v=x, y, z) 旋转α角的旋转坐标变换矩阵写成式 (2) 中的形式Rot (v, α) 。由于坐标系的平移不会影响到视轴指向, 因此坐标变换矩阵中不考虑坐标系原点的平移量。

因此可列出O1XYZ到O2XYZ的坐标变换矩阵T1:T1=Rot (z, θw+θ1) Rot (x, θ2) Rot (y, θ3)

O2XYZ到O3XYZ的坐标变换矩阵T2:

式中θw、θy为稳定平台的方位角和俯仰角。

到内框和基座间的相对坐标变换关系T=T1·T2, 视轴最终的空间指向为O3XYZ坐标系的x轴指向, 即取O3XYZ坐标系中 (1, 0, 0) 点在基坐标系O1XYZ下的坐标。将表达式T展开后, 可获得向量P=T· (1, 0, 0, 1) ′= (P1, P2, P3, 1) , 该向量为视轴的实际指向, 其中包含有各误差分项。

如转台不存在上述的各项误差, 也就是理想情况下, 转台视轴的实际指向Q:

理想向量Q (Q1, Q2, Q3)

计算这两个向量的空间夹角 (指向误差) :

3 误差影响分析

各项误差中, 除θ7和θ8为常数误差外, 其他均为与方位和俯仰角值有关的误差函数。这些随机误差项多为编码器误差、轴系晃动误差等。在这里, 我们假设随机误差θ1~θ6均服从均值为0, 均方差为估算值的正态分布, θ7、θ8为常数误差, 且平台转动角范围θw为±180°, θy为-10~110°, 见图4。因此, 假设已知以上一些误差的分布, 可以通过计算模拟的方法, 求得指向误差的分布特征。可使用Monte Carlo方法 (每个误差项取若干次正态分布采样计算) , 得到平台处于不同角度位置时, 指向误差的分布[8,9]。

各随机误差项均取500次采样, 采样样本均值为0, 满足正态分布, 常数误差项取常数值, 编写Matlab程序将各离散数值代入式 (3) 。假设只存在某单项误差, 其它项误差为0, 计算获得平台处在不同方位、俯仰角时的指向误差值, 再计算平均值。图5中直方图显示了各误差项的影响大小, 横轴的标号分别对应θ1~θ8。图中表明, 方位轴系绕y轴的晃动误差、俯仰轴系测角误差和视轴误差对平台的指向误差影响较大。

此外, 当各几何误差同时作用时, 可同样通过Monte Carlo方法计算获得最终总指向误差的分布。由于平台方位角的变化, 并不会影响指向误差的分布规律, 因此取方位角不动, 俯仰角θy在-10°~110°变化, 计算获得不同位置处指向误差值。图6中横轴为俯仰角度, 纵轴为指向误差, 从图中可看出, 当平台俯仰角处于不同位置时, 光电平台指向误差有一定浮动, 变化范围约为0.002°。

4 结论

光电稳定平台在军事设备上应用较多, 当对测量精度要求较高时, 结构上的几何误差是不可忽略的。本文使用齐次坐标变换理论建立了几何误差模型, 通过该模型可准确求得平台处于任意位置时指向误差的大小。并通过取大量离散误差数值, 从概率分布上获得指向误差的分布特点, 并可评估各误差分项的影响权重, 对设计具有实际指导意义。

摘要：光电稳定平台在武器装备中应用广泛, 其光轴的指向误差直接影响着目标位置探测的准确性, 在加工和装配过程中难以避免的机构几何误差是指向误差的重要来源。以两轴式稳定平台为例, 基于齐次坐标变换理论建立了几何误差的指向误差模型。并通过误差模型的仿真分析, 获得单项误差影响量级, 比较了各项几何误差的影响程度。针对影响指向误差的主项采取控制措施, 也适用于几何误差的标定和补偿。

关键词：光电稳定平台,指向误差,误差建模,齐次坐标变换

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电流舵DAC动态误差分析与建模篇2

现代宽带无线通讯领域的发展和SoC(System on Chip)概念的提出要求将所有的数字信号和模拟信号处理模块在同一系统或芯片中加以集成。高性能的ADC或者DAC接口电路逐渐成为无线通讯设备芯片设计中最具挑战性的模块之一。电流舵数据转换器(Digital to Analog Converter,DAC)以其高分辨率和高更新速率的优势在HDTV、GSM、GPRS等通讯系统中得到越来越广泛的应用[1,2,3]。

电流舵DAC虽然具有高速、高精度的优势,但仍然存在着一些亟需应对的挑战。例如,电流舵DAC采样速率的提高将导致输出信号呈现严重的高次谐波失真[4,5],导致其动态性能指标SFDR下降而无法达到无线宽带通信系统对DAC的要求。因此高动态性能的高速电流舵DAC接口逐渐成为无线通讯系统设计中最具挑战性的模块之一。

诸多研究文献指出[6,7],电流舵DAC中非理想的电流开关转换行为所引入的动态非线性误差是导致DAC输出产生大幅度谐波失真的重要因素,而且此类谐波失真幅值与电流舵DAC所采用的编码方式密切相关。

针对该类谐波失真的产生机理,本研究进行理论分析与公式推导确定了电路各参数与谐波幅值间的量化关系,并在Matlab中建立行为级模型以评估实际电流舵DAC中电路各参数及寄生效应以及DAC编码方式对高速电流舵DAC动态性能尤其是SFDR指标的影响,为高动态性能的高速电流舵DAC设计提供了重要的参考依据。

1 电流舵DAC动态误差分析

以往文献指出,电流源的有限输出阻抗是导致高速电流舵DAC谐波失真的重要来源,并且给出了确定的计算公式[8]。然而,在电路设计中,即使电流源输出阻抗足够大,在低频输出时能够得到较好的动态性能,但在高频输出时,输出信号谐波失真依然非常严重。因此必须确定此类高次谐波失真的来源,进而找到抑制该类谐波分量的设计方法。依据电路设计仿真中所观察到的结果,推断由非理想的电流开关转换引入的动态非线性误差是输出信号高次谐波失真的重要来源。本节将对此作出详尽的理论分析与公式推导。

电流舵DAC的基本单元电流元电路如图1(a)所示,小信号计算分析模型如图1(b)所示(图中的M1、M2、M3均工作在饱和区;RS、CX、gm、Rsw分别表示电流源的输出阻抗、内部X节点的寄生电容、开关管的跨导及其输出阻抗)。

为便于分析,本研究不考虑信号之间的耦合并假设电流舵DAC中所有单位电流源的控制开关都具有相同的尺寸。在第n+1个采样周期,电流舵DAC的数字输入信号由x(n)转变为x(n+1)。依据基尔霍夫电压和电流定律,图1中小信号等效模型得到内部节点X的拉普拉斯状态方程:

$\begin{array}{l} Δ V_{X} (s) (s C_{X} + \frac{1}{R_{S}}) - C_{x} Δ V_{x} (n Τ_{s}^{0 -}) = \\ [\frac{Δ V_{Ρ} (s) - V_{x} (s)}{R_{s w}} - g_{m} Δ V_{x} (s)] (1) \end{array}$

式中:ΔVx(s), ΔVP(s)—内部节点X和输出节点P的电压与其理想稳态电压之间的差值;ΔVxi(nTs0-) —该差值在第n+1周期的初始值。

在第n+1周期内,电流元电路内部节点X的电压变化曲线如图2所示,其中A点表示在第n+1周期内发生未开关信号转换的电流元电路内部节点X的电压初始值,B点表示发生开关转换的电流元该点的电压初始值。根据电路分析和仿真结果表明,输出节点P点电位对电流元电路X点电位的调制作用。因此,X点在第n+1周期内的误差电压初始值ΔVxi(nTs0-)存在以下两种不同情况:

$Δ V_{X 1} (n Τ_{S}^{0 -}) = [\frac{x (n + 1) - x (n)}{1 + g_{m} R_{S W}}] R_{L}$ (2)

$Δ V_{X 2} (n Τ_{S}^{0 -}) = [\frac{x (n + 1) + x (n) - 2^{^{Ν}}}{1 + g_{m} R_{_{S W}}^{}}] R_{L}$ (3)

式中:RL—电流舵DAC电流输出差分负载电阻,大小通常为50 Ω。

这两类电流源在x(n+1)周期内输出的误差电流分别为:

$\begin{array}{l} Δ Ι_{1} = (s C_{X i} + \frac{1}{R_{S}}) Δ V_{X} (s) - C_{X} Δ V_{X 1} (n Τ_{S}^{^{-}}) (4) \\ Δ Ι_{2} = (s C_{X} + \frac{1}{R_{S}}) Δ V_{X} (s) - C_{X} Δ V_{X 2} (n Τ_{S}^{^{-}}) (5) \end{array}$

在第n+1个周期,假设有K个数目的单位电流元由N端转向输出P端,K值是由DAC所采用的编码方式决定的。此时,DAC中所有电流元贡献的总的误差电流为:

$Δ Ι^{'}_{t o t} = [X (n + 1) - X (n) - Κ)] Δ Ι_{1} + Κ Δ Ι_{2} (6)$

对于外部输出结点P,流过外部负载的总的误差电流为:

$Δ Ι_{t o t} = (s C_{L} + \frac{1}{R_{L}}) Δ V_{Ρ} (s) - C_{L} Δ V_{Ρ} (n Τ^{0 -})_{S} (7)$

式中:ΔVP(nTs0-),CL—输出节点P在第n+1周期内的误差电压初值和寄生电容值。

为便于分析计算,本研究设:

$\begin{array}{l} Μ_{1} (s) = \frac{C_{X} g_{m} R_{L}}{(1 + g_{_{m}} R_{S W}) (s C_{X} + g_{m}) (s C_{L} + \frac{1}{R_{L}})} \\ Μ_{2} (s) = - \frac{C_{L} R_{L}}{s C_{L} + \frac{1}{R_{L}}} (8) \end{array}$

且设M(t),M(ω)分别代表其对应的时域和频域表达式。

本研究依据基尔霍夫电流定律,令式(6)和式(7)相等,在第n+1周期内DAC输出信号误差电压的时域表达式为:

$\begin{array}{l} Δ V_{Ρ} (t) = Μ_{1} (t - n Τ_{s}) [(x (n + 1) - x (n)) (2 x (n) + \\ x (n + 1) - 2^{Ν}) + k (2 x (n) - 2^{Ν})] + \\ Μ_{2} (t - n Τ_{s}) [x (n + 1) - x (n)], \\ n Τ_{s} ＜ t ＜ (n + 1) Τ_{s} (9) \end{array}$

若电流舵DAC的输入信号为N位单一频率数字正弦信号,忽略其量化误差,则:

x(n) = 2N-1[sin (ω0nTS)+1] (10)

依据文献[9]并引入冲击采样函数,式(9)可重新写为:

$\begin{array}{l} Δ V_{Ρ} (t) = Μ_{1} (t) \otimes [2^{2 (Ν - 1)} \sin^{2} (ω_{0} t + ω_{0} Τ_{S}) - 2^{2 Ν - 1} \sin^{2} (ω_{0} t) + 2^{2 (Ν - 1)} \sin (ω_{0} t + ω_{0} Τ_{S}) \sin (ω_{0} t) + \\ (2^{2 Ν - 1} \sin (ω_{0} t) - 2^{Ν}) φ (2^{Ν - 1} \sin (ω_{0} t), \\ 2^{Ν - 1} \sin (ω_{0} t + ω_{0} Τ_{S})] \sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} δ (t - n Τ_{S}) + \\ Μ_{2} (t) \otimes 2^{Ν - 1} [\sin (ω_{0} t + ω_{0} Τ_{s}) - \sin (ω_{0} t)] \\ \sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} δ (t - n Τ_{S}) Μ_{2} (t) \otimes [x (n + 1) - \\ x (n)] \sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} δ (t - n Τ_{S}) (11) \end{array}$

式中:⨂—卷积。

对式(11)进行傅里叶变换,使用F{}表示傅里叶函数变换,电流舵DAC输出信号误差电压的频域表达式为:

$\begin{array}{l} Δ V_{Ρ} (ω) = Μ_{1} (ω) F {([2^{2 (Ν - 1)} \sin^{2} (ω_{0} t + ω_{0} Τ_{s}) - \\ 2^{2 Ν - 1} \sin^{2} (ω_{0} t) + 2^{2 (Ν - 1)} \sin (ω_{0} t + \\ ω_{0} Τ_{S}) \sin (ω_{0} t) + Κ (2^{2 Ν - 1} \sin (ω_{0} t) - \\ 2^{Ν})] \sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} δ (t - n Τ_{S})} + Μ_{2} (ω) F \\ {2^{Ν - 1} [\sin (ω_{0} t + ω_{0} Τ_{s}) - \\ \sin (ω_{0} t)] \sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} δ (t - n Τ_{S})} (12) \end{array}$

电流舵DAC采用双端差分输出,单端输出的偶次谐波分量相互抵消,基波和奇次谐波幅值倍增。因此输出信号最大谐波失真应该是基波的奇数次谐波[10]。分析式(12)可知,3次及以上奇次谐波主要来源于其中的K[22N-1sin (ω0t)-2N]项,其中K值与电流舵DAC所采用的编码方式紧密相关。因此合理的编码方案也是降低谐波幅值的重要手段之一。更为值得注意的是,该项乘了一个M1(ω)系数,无论电流舵DAC采用何种编码方式,均能通过减小该系数达到改善输出谐波失真的目的,这是一个十分重要的结论。

2 电流舵DAC建模

依据本研究第1节中的理论分析和公式推导的结果,电流舵DAC实际输出电压为:

VP(t)=VP+ΔVP(t) (13)

式中: VP—DAC在第n+1周期内的理想输出电压。

代入式(9),并引入冲击采样函数σ(t),式(13)可变形为:

$\begin{array}{l} V_{Ρ} (t) = x (n + 1) R_{L} \sum_{n = - \infty}^{n = \infty} [σ (t - n Τ_{S}) - σ (t - (n + \\ 1) Τ_{S})] + Μ_{1} (t) \otimes [(x (n + 1) - x (n)) \\ (x (n) + x (n + 1) - 2^{Ν}) + k (2 x (n) - 2^{Ν})] \\ \sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} δ (t - n Τ_{S}) + Μ_{2} (t) \otimes [x (n + 1) - \\ x (n)] \sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} δ (t - n Τ_{S}) (14) \end{array}$

依据时域信号采样理论,为得到DAC实际输出信号的频谱,本研究对式(14)进行快速傅里叶变换可得:

VP(jω)=TSFFT{ x(n+1)}+M1(jω)FFT{(x(n+1)-

x(n))(x(n)+x(n+1)-2N)+k(2x(n)-

2N)}+M2(jω)FFT{x(n+1)-x(n)} (15)

式中:FFT{}—快速傅里叶变换,该变换经常被用来计算某一特定数列的频谱。

式(15)中计算因子M1(ω)中的各参数RS, CX, Rsw, RL, gm, CL 是实际电流舵DAC电路的各参数,是接下来进行的Matlab行为级建模的核心要素。除此之外,电流舵DAC行为级建模的另一关键是找到计算式(16)中编码方式相的K值的方法。由于Matlab本身具有强大的计算与仿真能力,K值的获取通过编写自定义函数代码即可予以解决。

依据式(16),本研究在Matlab中建立如图3所示的电流舵DAC行为级模型框图。利用此行为级模型可以估计实际电路参数对电流舵DAC输出信号频谱谐波失真幅值的影响;也可以方便地更改K值的计算代码来评估某一具体编码方案对DAC动态性能的影响。因此,建立此行为级模型能够给电流舵DAC提供电路参数的设计及编码方案优化提供重要的参考依据。

3 模型的有效性验证及仿真

本研究为验证所建立模型的有效性,使用TSMC 0.18 μm CMOS工艺设计了一个12位采用分段式温度计编码的电流舵DAC电路。首先,在所设计的实际电流舵DAC电路中提取并设置所建立的Matlab仿真模型所需要的各项电路参数值,如电流源输出阻抗、寄生电容等,并使行为级模型采用与电路设计所使用的相同的温度计编码方式。然后本研究对实际DAC电路和所建立模型施加相同频率的正弦数字信号激励和采样时钟,分别在Matlab中对所建立模型进行Simulink仿真和Cadence中对所设计电路进行spectre仿真。最后,本研究将两类仿真所得到的输出信号的频谱予以对比。在输出信号频率为12 MHz,采样速率为1 G Samples/s情况下两种模型仿真所得到的频谱如图4所示。本研究对比其各次谐波幅值与基波分量的比值,两者基本一致,由此可推断此模型能够对电流舵DAC的实际动态性能进行有效评估。

在模型有效性得到验证的情况下,可以通过改变电路参数或者更改DAC的编码方式,评估其对电流舵DAC的动态性能的影响。改变开关参数以及寄生电容值,可以得到电流舵DAC输出信号的动态性能指标SFDR与开关管本征增益gmRsw成正比关系,与单位电流元内部节点X的寄生电容CX的大小成反比关系,如图5(a)所示。改变温度计编码的分段结构,模型仿真结果显示电流舵DAC动态性能指标SFDR和DAC采用的分段式温度计编码的MSB(Most Significant Bit)位数成正比关系,如图5(b)所示。对分析模型的仿真结果分析表明,该模型能够给高速电流舵DAC电路实现高动态性能设计提供极为重要的参考依据。

此外,需要特别指出的是行为级模型的仿真仅耗时10 min,与此相对应的是晶体管级电路仿真的时间大于12 h。而且行为级模型的参数或者编码方式的改动仅需要修改几行代码就可以予以实现。该模型的仿真效率是实际晶体管级电路仿真模型所不能比拟的。显然,使用该模型评估非理想电流开关转换及编码方式对电流舵DAC谐波失真的影响能够极大地提高电流舵DAC的电路设计效率。

4 结束语

根据本研究对电流舵DAC动态误差分析与建模仿真的结果,可以得出以下结论:①非理想的电流开关转换引起的动态非线性误差是由于输出信号对电流元内部节点电位的调制作用的存在而成为高速电流舵DAC输出信号高次谐波失真的主要来源;②该类谐波失真幅值与DAC所采用的编码方式有密切联系;③增大开关管本征增益和减小电流元内部节点寄生电容有利于减小该类谐波失真;④可在Matlab中建立相关的行为级模型用于评估实际电路参数与编码方式对电流舵DAC输出信号谐波失真幅值的影响。

本研究所建立的高效率的电流舵DAC仿真模型为进一步优化其电路结构和编码方式以实现高的动态性能设计指标提供了重要的具有指导意义的结论。

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误差建模篇3

近几年滚珠丝杠副在国内发展比较迅速,得到了广泛的应用。河南工业大学的薛东彬等利用Pro/E提供的Program和零件族表功能实现滚珠丝杠副的参数化设计[1];中北大学的刘君等开发了基于Pro/E面向刀具的参数化设计,实现了刀具的系列化设计[2];南京理工大学的徐光远、陶卫军系统地介绍了面向企业和客户的滚珠丝杠副快速设计平台[3]。以上工作对滚珠丝杠副、机床的设计开发具有借鉴和指导意义。本文根据已有的加工误差对滚珠丝杠副性能影响的分析结论,确定了轴向误差的等效模型。在此基础上,建立了包含加工误差的滚珠丝杠副三维模型参数化快速设计平台,将实际测量的加工误差导入到快速设计平台中来完成设计人员所需要的具有轴向误差的三维模型。

1 滚珠丝杠副参数化设计

1.1 滚珠丝杠副加工误差等效模型

滚珠丝杠副是将回转运动转换为直线运动,或将直线运动转换成回转运动的高精密传动部件,而在加工过程中难免会存在着一些加工误差,如轴向误差、径向误差以及表面粗糙等[4],本文主要是对轴向误差进行研究。图1为滚珠丝杠副在预加载荷时丝杠、螺母和滚珠的相对位置简图。

螺母位移T、接触角α、螺距S和螺母和丝杠错位距离ΔT的关系如下:

其中:θ为丝杠转动角;L为导程;r为滚珠半径。

从图1中可以看出,当丝杠转动到某个角度时螺母移动的距离可以用公式(1)来计算。在式(1)可知导程误差、滚珠半径、丝杠及螺母滚道半径对轴向精度有直接影响,其中导程误差对其精度影响最大。

本实验使用丝杠激光测量仪对滚珠丝杠副螺旋线误差进行测量。主要是对丝杠的角向位移和螺母的直线位移进行实时准确测量,然后通过式(1)~式(3)计算出准确值,并与螺母位移测量的实际值进行比较,最终输出的数值是相对准确值而言的,正值表示大于准确值,负值表示小于准确值。

基于测量仪间歇采点的特点,采集到的数据是一系列带有位置信息的离散数据,将导程误差添加到模型中的过程恰好是一个逆向过程,也就是说在模型中同样的位置段插入同样的导程误差。例如,图2是实测数据中节选出的一部分数据二维分布图,通过公式“实测导程=准确导程+导程误差”得到每一小段上的导程,将对应数据插到模型螺旋线中可以得到图3的效果,此时建立的模型就具有了某一滚珠丝杠副加工时的特征。图3中,X1、X2、X3、…是对应的测量点。

1.2 滚珠丝杠副参数化零件建模

1.2.1 参数映射

实际上建模过程就是将一系列对应的数据添加到几何中的过程。换句话说,数据库中某一行或者某一列的数据与模型几何尺寸是一一对应关系,与数学概念中函数映射关系非常类似。首先,根据数据文件实例化模型,然后通过修改参数值得到所需要的模型[5]。

1.2.2 建立模型尺寸参数

在通常参数化设计中仅仅将模型一般尺寸设置为可驱动的,而加入导程误差无疑又增加了参数化设计的难度和复杂度。对于滚珠丝杠副零件参数化模型,首先分析关键几何尺寸,其中包括理想尺寸和误差尺寸。理想尺寸就是在实际加工中尺寸的精度对产品的精度影响很小或没有影响,即可以直接不考虑加工误差;误差尺寸则是指在加工中产生的误差对滚珠丝杠副的使用精度影响非常大,需要考虑误差[6]。

建立丝杠、螺母、返向器和滚珠的尺寸驱动参数,为丝杠和螺母的螺旋滚道建立误差尺寸参数。根据Pro/E软件为用户提供的Program二次开发工具能够很方便地建立尺寸参数和误差参数,打开Pro/E Wildfire 4.0,选择“编辑设计”选项,点击“从模型”系统自动为用户建立的参数名称及参数模型尺寸关系,其中参数名称用户可以自行定义,本设计建立的参数名称和初始值如图4 所示,各参数涵义可参考表1。其中命名方式主要采用区分符_尺寸名的格式,这样命名简单易懂便于区分。

2 滚珠丝杠副设计系统

2.1 滚珠丝杠副设计原理

在Window 7系统下以VS2005作为程序编译调试平台。滚珠丝杠副设计开发平台采用各零件并行设计模式,设计流程如图5所示。滚珠丝杠副中丝杠和螺母的尺寸都是关联的,所以在设计中可以将参数进行关联,减少了很大一部分工作。当用户将设计数据输入计算机后系统自动完成对模型的校验,确定设计是否可行,最后通过VS2005平台编译后生成dll可执行文件。

2.2 利用MFC建立友好对话框

对话框是软件开发中最友好的人机交互界面,通过对话框,用户可以很方便地实现对参数的设置。MFC已经为设计人员提供了对话框以及众多控件,无需设计员自行编写,只需以拖拽的方式即可建立界面精美的界面。界面中主要是通过编辑框的形式将模型尺寸数值赋予参数,螺母设计对话框采用标签控件可以方便地实现各个零件对话框的相互切换,如图6所示输入编辑框数据即可控制模型尺寸。具体代码如下:

DDX_Control和DDX_Text两个函数是将编辑框输入的内容取出来,然后通过ProParameterValueGet函数将数值传递给参数PM_GZ(滚珠直径),最后ProSolidRegenerate完成模型的更新。

2.3 数据库设计

设计平台主要是以ADO技术访问数据库的形式为模型参数提供数据[7],数据主要是由山东济宁博特精密丝杠制造有限公司提供的。将螺距误差检测仪提供的Excel数据表格汇总导入Access数据库,为ADO数据管理访问数据库做好准备。

数据库中的数据是以一行为单位保存的,保持着严格的顺序性,主要分为标志部分和数据部分,标志部分方便了程序查找和调用。调用数据库主要分为三部分:连接、命令和读取,对应的程序是Connection、Command和Recordset对象。

2.4 滚珠丝杠建模实例

首先将事先编写好的dll文件导入Pro/E中,菜单栏中出现新的菜单项“滚珠丝杠参数映射”,如图7所示。菜单下拉列表分别是丝杠、螺母、滚珠、返向器、挡圈。现以丝杠为例,选择丝杠一项,生成初始化模型并且弹出一个对应的对话框如图8所示,然后通过提示输入相应的参数值,并且选择第几条记录连接到数据库读取相应的测量数据,选择确定完成丝杠的建模,如图9所示。

3结论

通过对滚珠丝杠副的研究分析,确定了螺旋误差为影响其精度的最大因素,并建立了螺旋误差数据库。基于参数化快速设计平台,通过调用数据库的方法方便地建立了具有加工误差的零件模型,为后续的仿真研究奠定了基础。

摘要：建立具有加工误差的滚珠丝杠副参数化模型,对研究滚珠丝杠副的传动精度具有非常重要的意义。首先,分析得出加工误差中导程误差是影响传动精度的最大因素,然后介绍了一种基于Pro/E二次开发的参数化设计方法。通过Pro/Engineer提供的Pro/Program和Pro/ToolKit两种方法开发了具有误差驱动的滚珠丝杠三维模型的快速设计方法,并介绍了实现过程、原理及关键技术。

关键词：滚珠丝杠副,加工误差,参数化,建模

参考文献

[1]薛东彬,陈兴洲,王彦林.基于Pro/E的滚珠丝杠参数化设计[J].机械,2009(9):31-32,42.

[2]刘君,苏铁熊,张艳岗.面向刀具参数化过程的Pro/E二次开发[J].机械工程与自动化,2014(1):50-51.

[3]徐光远.滚珠丝杠副快速设计平台开发及力学特性分析[D].南京:南京理工大学,2014:8-14.

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[6]董黎敏,袁旭,郑清春,等.基于Pro/Toolkit二次开发的机械零件参数化设计[J].组合机床与自动化加工技术,2004(1):48-49,52.

误差建模篇4

数控机床热误差控制是精密和超精密加工的基础技术之一[1]。近年来,热误差补偿技术发展很快,最为常用的热误差建模方法为试验建模法,用最小二乘原理进行拟合建模[2,3]。由于热误差具有非线性变化、非正态不平稳分布和多因素交互作用的特性,采用拟合建模方法来精确建立热误差数学模型具有相当的局限性[4,5]。不确定性理论和人工智能的发展给误差补偿技术注入了新的活力,使复杂综合误差的补偿成为可能。人工神经网络的热误差建模方法可取得较好的建模精度[6],但是,神经网络要使模型收敛并获得较好的精度需要大量的训练时间,在某些数据不完整的情况下甚至可能无法收敛,这使得模型的应用受到限制。

基于概率推理的贝叶斯网络是为解决不确定性、不完整性问题而提出的,相对于拟合建模和神经网络建模方法,它在解决复杂设备不确定性和关联性引起的问题上具有很大的优势。本文提出基于贝叶斯网络的热误差建模方法,综合先验知识和样本数据建立热误差模型,并不断根据输入的新数据修正模型本身,具有良好的自适应性和较高的建模精度。

1 贝叶斯网络推理

贝叶斯网络推理是指已知贝叶斯网络中某些变量的取值,计算另外一些变量的后验概率分布的过程。对于具有确定结构的贝叶斯网络,设样本数据中有C1,C2,…,CN共N个事例,则其推理公式如下[7]:

$\begin{array}{l} Ρ (x_{Ν + 1} | D, S^{h}) = \int Ρ (x_{Ν + 1} | θ_{s}, D, S^{h}) \cdot \\ Ρ (θ_{s} | D, S^{h}) d θ_{s} = \prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{q_{i}} \frac{Ν_{i j k}^{´} + Ν_{i j k}}{Ν_{i j}^{´} + Ν_{i j}} (1) \end{array}$

$θ_{s} = \cup_{i = 1}^{n} \cup_{j = 1}^{q_{i}} \cup_{k = 1}^{r_{i}} {θ_{i j k}}$

式中,Sh为网络结构;D为一个不存在数据缺失的完整数据样本;θijk为变量Xi 取第k个状态,且其父节点集π(Xi) 取第 j 个状态的概率;N′ijk为Dirichlet分布的指系数,它指定了参数向量的先验分布;Nijk为样本数据D中满足变量Xi 取第k个状态,且其父节点集π(Xi) 取第j个状态的记录个数;ri、qi分别为变量Xi及其父节点可能的取值数目。

特别地,当仅需要对一个节点状态进行预测时,得到一个简化的预测公式。假定已知Xi的父节点状态为j0,要对Xi的状态进行预测,则

$\hat{X}_{i} = x_{i}^{k_{0}} (2)$

其中, $\hat{X}$ i为Xi的预测值,k0满足下式:

$θ_{i j_{0} k_{0}} = \max_{k} {θ_{i j k}} = \max_{k} {Ρ (x_{i}^{k} | π (X_{i})^{j}, S^{h})} (3)$

2 热误差分析的贝叶斯网络构建

2.1 基于贝叶斯网络的热误差分析流程

基于贝叶斯网络的热误差建模过程分为三个主要步骤:基于经验知识的先验贝叶斯网络构造;基于样本数据的贝叶斯网络学习与建模;基于贝叶斯网络推理的热误差预测(图1)。先验贝叶斯网络的构造需要先分析产生热误差的因素及各因素间的相互影响关系,以网络结构的形式加以描述,并根据经验知识设定网络的先验概率分布;然后根据贝叶斯网络学习原理处理样本数据,对先验网络参数进行修正,建立适用于具体机床并反映其运行环境随加工进程变化的热误差模型;在此基础上,应用传感器所得的实时测点数据,经贝叶斯网络模型推理计算后得到热误差的预测结果。

2.2 网络结构的构造

机床热误差取决于如加工周期、冷却液的使用以及周围环境等多种因素,全面综合各种因素建立的贝叶斯网络具有很高的建模精度,同时也具有相当的复杂性。为简明起见,考虑到实际数据的采集条件及与热误差之间的相关程度,本文以一个四节点网络为例,选取环境温度变化T0、前轴承测点温度上升量T1、电机测点温度上升量T2三个参数,与主轴轴向热误差D0、径向Y向热误差D1一起,构成网络的节点(变量)集合。根据变量之间的因果依赖关系,构造如图2所示的网络结构。显然,对于给定的父节点集合π(Xi),Xi与该网络中其他变量条件独立,符合假设要求。

2.3 数据预处理及变量域的设定

热误差监测过程中采集到的参数值取值是连续的,要进行贝叶斯网络学习和推理,必须将它们离散化。对于变量Xi,设其值域Vi=[lowi, upi),将其进行等距划分为Vi={[Ci0, Ci1)∪[Ci1, Ci2)∪…∪[Ci(k-1), Cik)},其中 lowi=Ci0<Ci1<Ci2<…<Ci(k-1) <Cik=upi,记[Ci(j-1), Cij)为xij, j=1,2,…,k,则{xij|j=1,2,…,k}即为变量 Xi离散化后的状态域。

设L为xij的区间长度,即L=Cij-Ci(j-1),则L的选取应满足如下两个要求:①精度要求。贝叶斯网络推理根据变量各个状态的概率大小来确定变量的取值,因此状态区间长度直接决定了能够达到的建模精度,在本文中,取状态区间的中值作为推理计算的结果,因此区间长度应与所要求的预测精度具有相同的量级;②性能要求。贝叶斯网络的计算复杂度为nlm,其中,n为节点数量,m为网络中所有节点的平均父节点个数,l为每个变量的平均状态数。在网络结构确定的情况下,n和m均确定,则此时计算复杂度将随l的增大而显著增加。在满足精度要求的前提下,通过增大区间长度来减少变量的状态数目是降低计算复杂度的有效途径。

综合上述两点,从变量状态域的设定关系到建模的精度和计算所需的时间,应根据具体的应用需求来决定。对于精度要求较高的预测,可采用逐步求精的分层计算方法,通过缩小变量的值域范围来实现。

3 实测数据的热误差贝叶斯网络建模

3.1 数控机床热误差建模实验

对一台XHK-714F数控加工中心进行热误差建模实验。机床主轴热变形数据通过激光位移传感器(LK-150H)采集。温度场测量系统由16个智能温度传感器、ARM7嵌入式系统平台(FS44B0XLII)以及液晶显示单元组成,如图3所示。

3.2 数据分析及热误差预测

在相似条件下多次重复测试加工中心连续150min空载运行过程中的温度上升量与主轴热误差情况,共取得30组数据。以t=20min时刻的热误差预测过程为例,表1列举了该时刻的部分实测数据。

对数据中各变量数值进行统计分析,得到它们的数字统计特征值,如表2所示。在此基础上确定变量的状态划分界限表,见表3。根据状态域的设定,统计样本数据落在各状态域中的数量,

进一步由式(2)计算热变形在各区间的概率分布,式中的Dirichlet分布的指系数表明了贝叶斯网络的先验分布,其初始值可由领域专家给出,在本文中对其简化处理,令N′ijk =1。分析结果如表4所示。其中Pk=θijk(k=1, 2,…,6)分别表示热误差各状态域的条件概率。可知在 t=20min时刻,轴向热误差处于区间[0.0110,0.0120)(本文中统一使用左闭右开区间)的概率最大,因此取该区间的中值11.5μm为模型预测值。类似的,径向热误差的模型预测结果为6.4μm。

3.3 结果分析及与其他方法的比较

按照上述方法一次计算各采样周期的测量数据,获得机床连续运行150min的热误差模型,图4、图5所示分别为轴向和径向热误差建模。为进一步验证贝叶斯网络建模方法的有效性,分析建模结果与实测值的平均绝对百分比误差δ,其定义如下:

$δ = 100 \frac{\sum_{i = 1}^{n} | (l_{i} - \hat{l}_{i}) / l_{i} |}{n} n = 150$

式中,li和 $\hat{l}$ i分别为实际值与预测值。

将贝叶斯网络建模(BN)结果与经典最小二乘法(LS)建模结果进行比较。表5给出了两种方法在16个温度测点、150个时刻采用数据输入的比较结果。由表5可以看出,在相同测点数量的情况下,贝叶斯网络模型精度比最小二乘法建模精度有显著提高。

(b)残差比较

4 结论

(1)基于贝叶斯网络的建模方法有别于传统的拟合建模,从数据的概率分布出发,一方面用图论的语言直观表达产生热误差的各种因素间的因果依赖关系,另一方面又按照概率论的原则对各因素间的内在关联进行分析、利用,降低推理预测的计算复杂度,最终根据目标变量的概率分布得到预测结果,方法具有直观性和较高的建模精度。

(2)基于贝叶斯网络的建模兼顾先验知识和样本数据,当样本量较小时,先验知识起主导作用,而随着样本量的增长,预测越来越多地依赖于数据,这符合一般的认知规律,同时随着数据的更新,推理过程可以反映机床加工过程中的工况变化,不断修正建模结果,具有自适应性。

(3)实测数据表明了建模的有效性。基于贝叶斯网络的建模方法在高采样频率时,对网络节点数量多、结构复杂的系统进行建模具有较大的计算量。目前,随着面向时序数据的动态贝叶斯网络[8]的提出,这一问题有望得到改善,这也是本文进一步研究的重点。

摘要：为消除数控机床热误差对加工精度的影响,提出基于贝叶斯网络的数控机床热误差建模方法。贝叶斯网络热误差模型用图论的语言系统地描述产生热误差的各种因素间的因果依赖关系,在此基础上进行概率推理,按照概率论的原则对各因素间的内在关联进行分析、利用,降低推理的计算复杂度,最终根据热误差值的区域概率分布得到建模结果。模型兼顾先验知识和样本数据,随着数据的更新,模型能够反映机床加工过程中的工况变化,不断修正建模结果。对数控加工中心进行建模实验,结果表明,基于贝叶斯网络的建模方法具有表达直观、建模精度高和自适应的特点,能有效描述机床热误差。

关键词：贝叶斯网络,热误差,数控机床,预测,补偿,建模

参考文献

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[7]张连文,郭海鹏.贝叶斯网引论[M].北京:科学出版社,2006.

误差建模篇5

坐标测量机是一种具有高精度、万能性、数字化特点的大型通用检测仪器。随着测量速度的提高,测量机的动态误差相应也会增大。如何减小坐标测量机的动态测量误差,是精密测量中的一个重要问题[1]。Weekers等[2]通过测量机运动机构以及弱刚性连接部件的动态变形建立了动力学数学模型,提供了动态误差源理论分析的依据。Salleh等[3]提出了一种运用有限元建模简化测量机构的方法,从理论上对测量机机构部件和测头的动态变形产生的误差进行了输入模拟。杨洪涛[4]提出了基于贝叶斯原理的测量机系统动态误差模型,并对测量机的综合动态误差进行了补偿。实际上,影响坐标测量机动态误差的因素很多,如何合理地选择影响因素并基于此建立误差补偿模型,是研究的热点之一。笔者基于Global Class 9158型坐标测量机探索与研究了动态误差源,利用神经网络建模方式建立了测量机的动态误差模型,并对测量机的动态误差进行了补偿,避免了复杂数学关系的推导,提高了三坐标测量机的动态测量精度。

1 坐标测量机的主要误差源分析

三坐标测量机的动态误差是由测量机本身的实际动态特性偏离理想动态特性产生的。能够引起动态误差的误差源很多,只有正确分析坐标测量机的各个动态误差来源,才能确定神经网络模型的输入参数。

Global Class 9158型测量机采用移动桥式单边驱动结构,容易在动态测量中产生很大的系统误差,因为X方向标尺设置在工作台的一侧,不符合阿贝原则,在Y方向上存在很大的阿贝误差。加之气浮导轨的弱刚性,当测量速度变化时,会造成各运动部件绕Z轴的偏转,引起爬行现象,因此机体结构为坐标测量机主要动态误差源之一。

坐标测量机各运动部件产生的惯性力和测量机的测量速度有很大的关系,测速越高,所产生的惯性力越大。对于测头本身,测量速度的提高对测头的动态特性会产生很大的影响,扩大了测头的预行程误差、各向异性误差等动态误差。测量机采用的光栅测量系统具有体积小、安装方便等优点。随着测量速度的加大,光栅会产生“丢数”现象,导致测量机的坐标读数产生一定的误差。光栅测量系统的动态测量精度受到定栅、动栅之间相对运动速度和测量位置的影响[5]。因此,测头系统和测量系统也是坐标测量机的动态误差源之一。

上述各个误差因素并不是相互独立的,这些误差源互相作用,共同影响坐标测量机的动态测量精度。由于测量机的结构参数(测杆长度、质量等)和测量参数(测端直径、运动速度、加速度等)与测量机动态误差的产生有着密切的联系,因此,我们将这两类参数进行组合,研究不同组合条件下测量机的动态特性,分析测量机的动态误差。实验中,环境温度((20±0.2)℃)、湿度(55%)、震动(2级)等都为实验室中理想值,所以在对动态误差的研究中,并未将工作环境的影响考虑进去。

从测量机的结构参数和测量参数出发,考虑到坐标测量机的测量特点,逼近速度、测端直径、工作面X方向和Y方向的坐标值以及测杆长度这5个参数最为关键。为获得坐标测量机这5个参数对动态误差的影响,可对标准球做测量实验以获得不同条件下的测量误差。实验中,标准球直径为15.8754mm,测量前的稳定时间为30min。

图1a中,逼近速度分别设置为5.08mm/s和20.32mm/s,可以看出逼近速度为20.32mm/s时的测量误差比5.08mm/s时的测量误差大1.8μm,因此,随着逼近速度的增大,测量误差也会随着增大。图1b中,采用10mm、20mm和50mm的测杆,逼近速度均设置为5.08mm/s,移动速度设置为20.32mm/s。图1b显示,随着测杆长度的增加,测量误差也随之增大。图1c所示为测端直径设置为1mm、2mm、3mm和4mm时的4个测量组的测量误差曲线。图1c显示,随着测端直径的增大,测量误差也逐渐增大。图1d显示了测量空间分布对测量误差的影响,可见靠近测量机边缘时误差大,接近测量机中间时误差小。所以在动态测量模式中,测量空间分布误差因素对测量机精度有很大的影响,是建模考虑的重要因素之一。

2 坐标测量机动态误差模型的建立

2.1 前反馈神经网络模型的确立

根据上述坐标测量机动态误差的分析可知,坐标测量机动态误差影响因素很多,如逼近速度、测量速度、测杆长度、测端直径、测量加速度等,而且这些影响因素与动态误差之间存在复杂的非线性关系。神经网络恰好可以用来描述非线性的输入输出关系。坐标测量机的动态误差模型为一个3层BP神经网络,网络输入层的神经元数为5,分别对应逼近速度、测杆长度、测端直径、工作面X方向和Y方向的坐标值;根据经验确定隐含层的神经元数为30;输出层为测量机的动态误差。网络有5个输入节点、30个隐含节点、1个输出节点,隐含层神经元的传递函数为S形的正切函数,输出层神经元传递函数为纯线性函数。网络的权重值有211个。

2.2 粒子群优化BP神经网络模型

BP神经网络为通过误差反向传递的方法来修正网络连接权值ω前向神经网络,在学习过程中容易产生振荡,从而使收敛速度变慢,且BP神经网络采用梯度下降法调整连接权值,极易陷入局部最小点。粒子群算法具有收敛速度快、全局搜索能力强的特点,采用粒子群算法优化神经网络的连接权值和阈值,可以弥补BP神经网络的缺陷,有效提高神经网络的收敛速度和学习能力[6]。

粒子群算法(particle swarm optimizer,PSO)的基本思想是:将每个个体抽象成在n维空间内一个没有质量、没有体积的粒子,将每个粒子看作是优化问题的一个可行解。每一个粒子飞行的方向和距离都是由速度变量决定的,而速度变量由粒子群的优化函数决定[7]。通常粒子追寻当前的最优粒子,并经逐代搜索得到最优解。每一代中,粒子追随两个极值:一个是粒子本身目前为止找到的最优解,另一个是目前为止整个群体所找到的最优解[8]。

采用粒子群算法对神经网络进行优化,神经网络中所有神经元之间的连接权值编码为实数串。设网络中的连接权值和阈值的个数是N,则粒子群中的每个粒子由N个权值参数所组成的N维向量表示。同时将神经网络训练所得的均方误差作为粒子个体的适应度函数。五输入单输出的BP神经网络应包括180个连接权值和31个阈值,那么它所需要优化的参数为211个。粒子群中的每个粒子可由211维向量表示,即X=(x1,x2,…,x211),个体向量中的每一个元素对应神经网络中的一个连接权值或阈值。

2.3 基于PSO-BP算法模型的实现

基于PSO的BP神经网络的本质就是将BP神经网络的权值和阈值映射为PSO中的粒子[7],通过粒子的速度和位置的更新来优化参数,从而达到训练网络的目的。

PSO-BP网络的训练步骤如下:

(1)确定网络的输入神经元个数为5,输出神经元个数为1;设置粒子群的种群规模为10,速度更新参数为1.494 45;设置个体的最大值和最小值分别为5和-5;设置速度的最大值和最小值分别为1和-1,最大迭代次数设置为10。

(2)建立PSO算法中粒子和优化参数之间的映射关系,粒子群优化算法共需要优化的连接权值N表示为

N=(I+O+1)H+O (1)

式中,I为输入层神经元节点数;H为隐含层神经元节点数;O为输出层神经元节点数[9]。

(3)网络的适应度函数为网络的实际输出y和期望输出值y′之间的均方误差平方和为M。

(4)更新个体的极值和全局极值,将个体粒子的当前适应度值和上一代适应度值作比较,若当前的适应度值优于上一代适应度值,就更新个体极值,反之则个体极值保值不变;比较种群中当前的最优适应度值和上一代的最优适应度值,若种群当前的最优适应度值优于上一代的最优适应度值,就更新全局极值,反之则总种群的最优适应度值保持不变。

(5)根据式(1)更新每个粒子的速度和位置。

(6)当达到最大的迭代次数或者训练误差小于设定值时,则停止迭代,并输出权值最优解。

神经网络训练样本由不同参数组合下的标准球测量数据获得。测量得到的535组样本涵盖了测量机动态误差的5个影响因素。训练参数的输入变化范围如表1所示。

采用粒子群算法对网络的连接权值进行优化,需要优化的权值为211,粒子群的种群规模为10,进化次数为10,学习率为0.01,学习因子c1=c2=1.49445。

图2和图3所示分别为BP神经网络和基于PSO算法的神经网络训练误差随训练次数的变化曲线。它们都是针对于同一批三坐标测量机测量值的训练样本,训练误差设置为2×10-3。采用BP算法,在进行100次迭代后,平均和误差值达到6.2×10-3,此时下降梯度为1.3181×10-3。采用PSO算法,在进行100次迭代后,平均和误差值达到4.5×10-3,此时下降梯度为1.5294×10-4。由此可见:PSO算法的收敛速度和运算速度明显优于BP算法。

3 动态误差模型的补偿效果及实验分析

为验证三坐标测量机动态误差的神经网络模型的效果,分别利用BP神经网络算法和PSO-BP神经网络算法对坐标测量机动态误差的神经网络模型进行训练,并对误差补偿以后的测量结果进行分析。

为了验证模型效果,利用标准环规以不同结构参数、测量参数的组合进行测量,得到67组测试样本值,将测量误差e1与通过模型预测的动态补偿后的误差e2进行比对:

e1=xt-x0 (2)

e2=xt +yt-x0=e1+yt (3)

式中,xt为环规直径测量值;x0为环规直径标称值;yt为模型补偿值。

图4和图5所示分别为使用BP算法和PSO优化神经网络模型后的误差补偿情况(建模的误差都变成绝对误差)。

利用BP神经网络建模补偿后,67组测试值的均值误差减小了1.8μm;利用PSO-BP神经网络建模补偿后,67组测试值均值误差减小了2.3μm。表2所示为其中10组测量数据补偿前后的误差,测量条件选取了不同的逼近速度、测杆长度、测端直径、工作面X方向和Y方向的坐标。

4 结语

本文在基于BP神经网络对坐标测量机动态误差建模的基础上,利用神经网络对坐标测量机的整体进行动态误差的补偿,突破了以往只是针对其各组成系统进行建模的局限,并将粒子群优化算法引入三坐标误差模型中,利用粒子群算法的全局搜索能力来优化BP神经网络的权值,从而提高了建模速度,获得了误差补偿效果。利用粒子群算法优化后的BP神经网络对坐标测量机的动态误差进行预测的模型精度更高,补偿后的效果更好,有利于坐标测量机动态精度的提高。

摘要：针对坐标测量机动态测量误差补偿问题,分析了测量机动态误差的来源,利用BP神经网络对坐标测量机动态误差模型进行建模,突破了以往只是针对其各组成系统进行建模的局限,避免了复杂数学关系的推导。引入粒子群优化算法对坐标测量机BP神经网络误差模型的初始权值进行了优化,提高了网络的全局优化计算能力和运算速度。应用Global Class 9158型测量机在不同输入参数条件下测量了标准球,获得了网络训练数据,建立了误差补偿模型,进行了测量补偿验证,结果证明该模型可使坐标测量机的误差均值减小2.3μm。

关键词：粒子群优化算法,坐标测量机,动态误差,BP神经网络

参考文献

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误差建模篇6

盾构法是地下隧道施工的主要方法, 为确保隧道的贯通精度, 盾构自动导向技术得到普遍应用。由华中科技大学开发的激光法盾构导向测量系统, 利用透镜和CCD红外成像技术测量盾构机的方位角姿态, 利用双轴倾角仪测量盾构机的俯仰角和滚动角姿态, 具有快速、稳定和测量精度高等特点[1]。测量原理以CCD相机的姿态作为输出基准, 要求双轴倾角仪的姿态必须与CCD相机的姿态严格对齐, 但二者间安装装配误差的客观存在, 制约着导向系统的整体测量精度[2]。因此, 必须在导向系统投入使用前, 对这一误差进行标定和补偿, 并测试导向系统的整体性能和精度。三轴转台作为该导向系统的标定和测试设备, 其姿态指向精度需优于待标定系统的测量误差。本文将分析转台的结构和运动特点, 建立指向误差的数学模型, 并通过仿真, 分析比较各项误差对指向精度的影响程度, 从而为转台的精度设计、误差分配和补偿提供理论依据。

1 三轴转台指向误差建模

1.1 拓扑结构

该盾构位姿测量系统标定所使用的立式三轴转台如图1所示, 其有一条明显的结构主线:基座—外框轴系 (方位轴) —中框轴系 (俯仰轴) —内框轴系 (横滚轴) —标靶设备。可以看出, 在拓扑结构上, 三轴转台是一种典型的链式开环多体系统。依据多体系统的建模理论[3], 依次为各部件编号:基座为0号, 外框轴系为1号, 中框轴系为2号, 内框轴系为3号, 安装在内框轴上的设备为4号, 得到三轴转台的多体系统拓扑结构, 如图2所示。

1.2 误差描述

三轴转台作为姿态测量系统的标定设备, 在精度设计时主要考虑其指向误差。指向误差是指固连在转台内框轴系上的单位向量 (即所测设备的参考轴) , 经过三轴转动后, 预期指向与实际指向之间的角度偏差实际上是一种空间角度误差[4]。针对三轴转台进行误差建模时, 主要考虑垂直度误差、倾角回转误差 (Wobble) 和位置误差3个类别的误差[5], 该模型包括的误差参数如表1所示。

1.3 指向误差模型

设转台外框轴转角为α, 中框轴转角为β, 内框轴转角为γ。在转台基座上设立大地坐标系R, 结合上述误差描述和多体系统拓扑结构, 逐步建立转台的指向误差模型。

1.3.1 外框轴坐标系相对于大地坐标系的姿态矩阵

设εx0, εy0为外框轴轴线相对于基座的铅垂度误差, φz1为外框轴回转位置误差, δx1, δy1为外框轴的倾角回转误差, 则外框轴相对于大地的姿态矩阵为:

其中:Rot (n, θ) 表示绕n轴旋转θ角的姿态变换矩阵。

1.3.2 中框轴坐标系相对于外框轴坐标系的姿态矩阵

设εy1为中框轴轴线与外框轴轴线的垂直度误差, φx2为中框轴的回转位置误差, δz2, δy2为中框轴的倾角回转误差, 则中框轴相对于外框轴的姿态矩阵为:

1.3.3 内框轴坐标系相对于中框轴坐标系的姿态矩阵

设εz2为内框轴轴线与中框轴轴线的垂直度误差, φy3为内框轴的回转位置误差, δz3, δx3为内框轴的倾角回转误差, 则内框轴相对于中框轴的姿态矩阵为:

1.3.4 设备坐标系相对于内框轴坐标系的姿态矩阵

待标定的姿态测量系统设备安装于内框轴轴系的轴端端面上, 其参考轴与内框轴轴线间存在安装误差εz3, εx3, 则设备相对于内框轴的姿态矩阵表示为:

1.3.5 三轴转台指向误差模型的建立

设固连在设备坐标系下的单位向量λ0为[1, 0, 0]T, λ0即表征待标定设备的参考轴线, Θ= (α, β, γ) 为三轴转台的旋转空间, Ξ= (ε, δ, φ) 表示三轴转台的误差集合, 根据指向误差的定义, 则λ0在大地坐标系下的理想指向向量为:

而实际指向向量为:

因此, 系统的总体指向误差为两向量的夹角:

2 误差仿真分析

由式 (7) 可知, 指向精度受到各误差项的影响较为复杂, 因此, 本文基于符号计算平台Maple软件分别对各单项误差进行仿真。为统一比较, 各误差项的最大值设为10″, 即取值范围为-10″~10″。三轴的转角范围如下:α为-180°~180°, β为-45°~45°, γ为-30°~30°。

2.1 垂直度误差对指向精度的影响

图3为各轴分别都转动45°, 15°和5°时, 外框轴与中框轴间垂直度误差εy1对指向精度的影响曲线。可以看出, 垂直度误差的影响与转台所处的姿态有关, 初始向量的方向与单个垂直度误差对应的两轴轴线形成的平面之间的夹角越大, 则此项垂直度误差对指向误差的影响越小。

2.2 倾角回转误差对指向精度的影响

图4为三轴转角分别都为45°, 30°和5°时, 中框轴倾角误差分量δz2对指向误差的影响曲线。当δz2越大时, 引起的指向误差反而越小。对比图3, 说明倾角误差与垂直度误差有一定的抵消作用。

2.3 回转位置误差对指向精度的影响

图5为三轴转角分别都为45°, 15°和5°时, 中框轴的定位误差φx2对指向精度的影响曲线。三条曲线重合, 说明这一误差项对指向精度的影响与转台所处姿态无关。当采用绝对值编码器作为位置反馈元件时, 即可认为定位误差这一项就是编码器的位置分辨精度。

3 结论

三轴标定转台作为盾构姿态测量系统的标定设备, 其指向误差直接决定标定精度。本文基于多体系统理论, 建立了主要包括垂直度误差、轴系倾角回转误差和位置误差的三轴转台指向误差的数学模型。通过仿真, 分析比较了各类误差项对总体指向精度的影响程度, 可以看到, 指向精度受到各误差项的影响比较复杂, 且随三轴转台的转动角度而变化。在精度设计、误差分配等设计阶段, 要结合实际使用工况, 对各项因素予以综合考虑, 以提高系统的整体精度。

摘要：为提高盾构导向测量系统的标定精度, 探讨了影响其标定设备三轴转台指向精度的因素。基于多体系统理论, 结合该转台的结构和运动特点, 描述了系统的拓扑结构, 建立了三轴转台指向误差的数学模型。在此基础上, 通过仿真, 详细分析比较了各误差项对转台指向精度的影响, 为三轴转台的精度设计、误差分配以及误差补偿奠定了基础。

关键词：三轴转台,指向误差,误差建模,误差仿真

参考文献

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[4]肖卫国, 郝崇恩, 李高风.三轴飞行模拟转台误差研究[J].系统仿真学报, 2001 (5) :678-680.

误差建模篇7

陀螺仪是一种用来测量运载体角运动的传感器, 是构造惯导系统的核心器件, 具有体积小、重量轻、可靠性高和低成本等优点, 在汽车导航、炮弹制导、各种速率检索系统等领域中广泛应用[1]。由于各种原因, 陀螺仪在工作时, 常常存在各种干扰力矩, 在这种干扰力矩的作用下, 陀螺仪会产生随机漂移的现象, 且随着时间的增加, 随机漂移误差会不断累积, 且随机漂移误差的大小基本上决定了陀螺仪精度的高低和性能的优劣。因此, 针对陀螺仪随机漂移的特点, 本文提出先将陀螺仪漂移数据平稳化, 再进行建模滤波的方法提高其精度[2]。

1 陀螺仪随机漂移数据平稳化检验与处理

1.1 陀螺仪随机漂移数据的采集

本文采用实验室的美国IMU440传感器采集陀螺仪的随机漂移数据, 采集6000个样本数据, 陀螺仪去除均值后的的原始漂移数据如图1所示。

1.2 数据的平稳化检验与处理

对于陀螺仪原始漂移数据的平稳性检验, 主要通过eviews软件对漂移数据的统计特性进行分析, 分别计算出数据的自相关函数 (ACF) 和偏相关函数 (PACF) , 软件分析结果如图2所示。

由图2的分析结果可知, 陀螺仪的原始漂移数据的自相关函数和偏自相关函数没有逐渐变为0, 表明数据是非平稳的。为将原始漂移数据平稳化, 在eviwes软件中对原始漂移数据进行差分处理, 对差分后的漂移数据进行平稳性检验, 检验结果如图3所示。

由图3的分析结果可知, 陀螺仪的漂移数据经一阶差分后自相关函数和偏相关函数逐渐趋于0, 则表明经差分后的陀螺仪的漂移数据为平稳随机时间序列。

2 时间序列分析建模

对于平稳随机序列模型的识别, 主要根据以下两个重要的结论:

1) 根据学者Bartlett (1946年) 的研究, 如果当k>q时:

式中:ρ (k) 为时间序列的自相关函数;N为时间序列的个数。若式 (1) 成立, 则表示自相关系数函数ρ (k) 是q步截尾的, 可判断为MA (q) 模型 (可信度为95%) 。

2) 根据学者Quenouille (1949年) 的研究, 如果当k>p时:

式中:φ为时间序列的偏自相关函数;N为时间序列的个数;

若式 (2) 成立, 则表示偏自相关系数函数;φ是p步截尾的, 可判断为AR (p) 模型 (可信度为95%) [3]。

对于结论1, 可等效为令:

并绘制出ρ (k) 和边界±ζ (k) 的图形。如果只有ρ (k) 的前几个点 (如q个) 位于边界之外, 则判断为MA (q) 模型;同理对于结论2, 亦可绘制出φ和边界的图形, 如果直观上只有φ的前几个点 (如p个) 位于边界之外, 则判断为AR (p) 模型, 为求模型简洁, 还可以将超出边界不多的点适当忽略。

根据上述结论1, 运用软件Matlab编程计算出差分后陀螺仪的平稳随机序列的自相关函数ρ (k) 和边界±ζ (k) , 并绘制图形如图4所示。

据上述结论2, 运用软件Matlab编程计算出差分后陀螺仪的平稳随机序列的偏自相关函数φ和边界, 并绘制图形如图5所示。

从图4和图5可知, 陀螺仪随机平稳序列的自相关函数值和偏相关函数值有很多超过了边界值, 则表明若建立MA模型或AR模型, 模型的阶数会比较高或根本无法建立。因此, 对于该陀螺仪的平稳随机序列, 考虑建立自回归滑动平均模型, 即ARMA (p, q) 模型, 其中p和q是指时间序列模型的阶数。

若建立ARMA (p, q) 模型, 通过赤池信息量 (AIC准则) 来确定模型的阶数, 即p和q的值。其中AIC准则定义为[4]:

式中:σ2为平稳时间序列的残差平方和;N为时间序列的个数;K=p+q, p和q是指模型的阶数。

对陀螺仪的随机平稳时间序列计算AIC值, 计算结果如图6所示。

根据AIC准则:AIC值越小, 则表示模型建立的越准确。由图6知, 当k+1=4时, AIC值最小。根据图3的分析结果且k=p+q, 故建立的时间序列模型为ARMA (2, 1) 。

3 随机误差模型的滤波分析

根据上面的分析知, 建立的时间序列模型为ARMA (2, 1) , 则模型的时域递推形式为

式中:a1和a2为模型的自回归系数;b1为模型的滑动平均系数;w (n) 为输入的白噪声;x (n) 为零均值的随机平稳时间序列。

根据公式[5]:

计算得出:a1=-0.208;a2=-0.023;b1=-0.3095。

根据模型的时域递推形式转化为状态空间模型为:状态方程为

输出方程为

式中:A为n×n阶增益矩阵;C为m×n阶的量测矩阵;v (k) 和w (k) 分别表示过程激励噪声和观测噪声, 且它们相互独立, 符合正态分布的白噪声。

根据建立的ARMA (2, 1) 模型, 设定状态向量为:

设w (k) 为模型的估计误差, 则有

并令输出y (k) =x (k) , 则系统的输出方程为:

其中C=[1, 0], 可写出kalman的滤波递推公式为:

式中:K (k) 为卡尔曼增益矩阵;为状态变量的一步预测估计值, x (k) 为状态变量k时刻的值;Q和R分别为系统的量测噪声方差和过程噪声方差矩阵[8];P (k) 为后验估计误差的协方差, I为单位矩阵。令P的初值为, 状态1 0变量初值为x (0) =[1, 1]T。根据建立的ARMA (2, 1) 模型进行滤波, 将陀螺仪测量到的实际漂移数据作为kalman滤波器的状态输入[8], 滤波结果如图7所示。

图中黑色信号代表滤波前的陀螺仪输出值, 红色信号代表滤波后的陀螺仪输出值。计算出滤波前后陀螺仪随机漂移数据的标准差和协方差, 如表1所示。

4 仿真结果分析

从图7可以看出, 陀螺仪漂移数据的波动性大幅减小, 表明经过对漂移数据建立ARMA (2, 1) 模型且进行kalman滤波后, 系统的噪声大幅降低。从表1可知, 滤波前漂移数据的标准差为0.1027, 滤波后的标准差为0.0267, 滤波后的标准差比滤波前的标准差降低了一个数量级, 表明了通过kalman对建立的ARMA (2, 1) 模型进行滤波, 有效减少了漂移数据的分散程度, 提高了陀螺仪的输出精度。

在实际的工程应用中, 可以先对陀螺仪的随机漂移数据进行平稳性检验, 若漂移数据不平稳, 采用对漂移数据进行差分处理的方法使其平稳, 待数据平稳后, 进行模型的识别和模型的定阶, 模型确定后结合kalman进行滤波处理, 将处理好的陀螺仪数据进行各种测量计算, 来提高整个惯性系统的测量精度。

5 结论

本文主要对陀螺仪的随机漂移误差进行分析研究, 利用eviews软件对漂移数据进行平稳性检验, 若不平稳可采用该软件对数据进行差分处理使其平稳。在数据处理平稳后, 可进行时间序列模型的识别, 并利用最小信息量准则确定模型的阶数, 确定建立的时间序列模型并计算出模型的参数。根据建立的时间序列模型, 结合kalman对模型进行滤波。实验仿真结果表明:利用软件eviews能够准确地对漂移数据平稳性检验与处理;结合建立的时间序列模型, 利用kalman对建立的模型进行滤波, 能够有效地抑制陀螺仪的随机噪声, 提高其输出精度。本文的创新之处在于:提出利用软件eviews对陀螺仪的随机漂移数据进行平稳性检验和处理, 提出对陀螺仪的随机漂移误差时间序列建模与补偿的具体过程, 结合工程的实际应用给出陀螺仪随机误差补偿的具体方法。本文提出的方法在提高惯性系统实际工程应用方面有着十分重要的意义。

摘要：介绍了基于时间序列分析的陀螺仪随机误差模型的建立, 并对误差模型进行滤波补偿的方法。主要是利用e vie w s软件将陀螺仪随机漂移数据进行平稳化处理, 然后对处理后的时间序列进行模型的识别与定阶, 最后结合kalm an滤波方法对建立随机误差模型滤波补偿。实验结果表明, 该方法建立的模型很好地反映了陀螺仪随机漂移的趋势, 并有效地抑制了陀螺仪的随机噪声, 提高了其输出精度。

关键词：时间序列分析,eviews,陀螺仪,随机漂移,误差模型

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