抽象函数的解题策略论文

抽象函数的解题策略论文（共6篇）

抽象函数的解题策略论文 篇1

高中数学课程中有很多问题都具有一定的抽象性, 我们在解题的过程中也常常会遇到一些抽象函数的问题, 每当学生遇见此类问题时都有望而生畏的感觉, 其原因主要是抽象函数本身就是高中数学教学的难点, 它没有明确的函数解析式作为条件, 只给出了一些能体现函数特征的代数式, 而这些代数式往往又是隐藏较深的条件, 学生对于这些条件很难找到合适的突破口, 为了解决这一难题, 本文就抽象函数问题中的几种常见题型作一简单剖析, 以供大家参考。

一、一次型抽象函数

f (x+y) =f (x) +f (y) (x, y∈R) 对应具体函数模型f (x) =kx (k为常数)

f (x+y) =f (x) +f (y) +b (x, y∈R) 对应具体函数模型f (x) =kx-b (k, b为常数)

例1:f (x) 是定义在R上的奇函数, 且满足如下两个条件。

1) 对于任意的x, y∈R, 有f (x+y) =f (x) +f (y)

2) 当x>0时f (x) <0且f (1) =-2

求函数f (x) 在[-3, 3]上的最大值和最小值。

分析:由关系式f (x+y) =f (x) +f (y) , 可知此函数为f (x) =kx型, 而由x>0时f (x) <0知f (x) 必为减函数, 所以本题应先考虑利用已知条件确定f (x) 在[-3, 3]上的单调性, 从而再由已知条件f (1) =-2求解最值。

解:设x1

∴f (x2) -f (x1) =f (x2-x1) 。

又∵x10而x>0时f (x) <0。

∴f (x2-x1) <0即f (x2) -f (x1) <0, ∴f (x2)

∴f (x) 在x∈R上是减函数

∴fmin (x) =f (3) =f (1+2) =f (1) +f (2) =f (1) +f (1+1) =3f (1) =-6。

fmax (x) =f (-3) =-f (3) =6。

例2:函数f (x) 对任意的a, b∈R都有f (a+b) =f (a) +f (b) -1, 并且当x>0时f (x) >1。

1) 求证:f (x) 是R上的增函数;

2) 若f (4) =5解不等式f (3m2-m-2) <3。

分析:由关系式f (x+y) =f (x) +f (y) +b, 可联想一次函数f (x) =kx+b, 由x>0时f (x) >0可知该函数必为增函数, 再由f (4) =5可分析f (2) =3。

解:1) 设x1

由f (a+b) =f (a) +f (b) -1可知f (a+b) -f (a) =f (b) -1,

∴f (x2) -f (x1) =f (x2-x1) -1∵x>0时f (x) >1

而x2>x1∴x2-x1>0∴f (x2-x1) >1∴f (x2-x1) -1>0

即f (x2) >f (x1) , ∴f (x) 是R上的增函数。

2) 由f (4) =5可得f (4) =f (2) +f (2) -1

∴f (2) =3。

∴f (3m2-m-2) <3=f (2) , ∵f (x) 为增函数。

∴3m2-m-2<2, 得-1

评注:对于抽象函数, 往往是通过研究函数单调性确定其最值的。

二、指数型抽象函数

f (x+y) =f (x) ·f (y)

其中f (y) ≠0 (x, y∈R) 对应具体函数模型f (x) =ax (a>0且a≠1) 。

例3:已知函数f (x) 定义域为R, 且对任意x, y总有f (x+y) =f (x) ·f (y) , 且当x>0时, 0

1) 求证f (0) =1且当x<0时f (x) >1;

2) 求证f (x) 是R上的减函数。

分析:由关系式f (x+y) =f (x) ·f (y) , 可知此函数为指函数而由x>0时0

证明:1) 由f (x+y) =f (x) ·f (y) ,

令x=1, y=0得f (1) =f (1) ·f (0) ∵x>0时0

∴f (0) =1。

令x<0则-x>0, ∴0

∴f (x) =1f (-x) >1, 即x<0时f (x) >1。

2) 设x10且0

由f (x+y) =f (x) ·f (y) 得f (fx (+x) y) =f (y) ,

∴f (x2)

∴f (x) 是R上减函数。

评注:本题解题中应注意整体思想的应用。

三、对数型抽象函数

f (x) +f (y) =f (xy)

f (x) -f (y) =f (x/y) (其中x, y∈R+) 对应的具体函数模型f (x) =logax (a>0且a≠1)

例4:已知函数f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数且满足对于任意正实数x, y都有f (xy) =f (x) +f (y) , 且f (2) =1:

1) 求f (8) 的值;

2) 解不等式f (x) -f (x-2) >3。

解:1) 令x=2, y=2则f (4) =2f (2) ∵f (2) =1,

∴f (4) =2。

再令x=4, y=2, 则f (8) =f (4) +f (2) =3。

2) 由f (x) -f (x-2) >3=f (8) , 可知x>0, x-2>0,

f (x) >f (8) +f (x-2) ,

f (x) >f[8 (x-2) ],

∵f (x) 为增函数∴x>0, x-2>0, x>8 (x-2) , 得到2

评注:解对数型的抽象函数是一定要注意定义域的范围。

四、三角函数型抽象函数

) ) 中:1±f (x) f (y) ≠0)

对应具体函数模型f (x) =tanx (x≠π/2+kπ, k∈z)

f (x) f (y) =1/2[f (x+y) +f (x-y) ], 对应具体函数模型y=cosx。

例5:已知函数f (x) 满足f (x+y) +f (x-y) =2f (x) f (y) (x, y∈R且f (0) ≠0) 。

求证:f (x) 为偶函数。

证明:令x=y=0, 有f (0) +f (0) =2f (0) ·f (0) ,

又∵f (0) ≠0∴f (0) =1,

令x=0得f (y) +f (-y) =2f (0) ·f (y) ,

∴f (-y) =f (y) , ∴f (x) 为偶函数。

例6:设函数f (x) 定义域关于原点对称, 且满足

(2) 存在正常数a, 使f (a) =1。

求证:1) f (x) 是奇函数;

2) f (x) 是周期函数, 并且有一个周期为4a。

分析:由关系式可知, 此函数可类比f (x) =tanx,

1) 利用赋值法, 构造出式子f (-x) =±f (x) ;

2) 证明周期性, 一般通过两次代换。

证明:1) 令x=x1-x2得

∴f (x) 是奇函数

2) 由f (a) =1可知

∴f (x) 是以4a为周期的周期函数。

抽象函数问题对培养学生的逻辑推理能力, 抽象思维能力都是极好的题材, 但抽象函数问题的求解用常规方法一般很难奏效, 我们如果能通过对题目的信息分析与研究, 采用特殊的方法和手段求解, 往往会收到事半功倍之功效, 真有些“山重水复疑无路, 柳暗花明又一村”的感觉。

函数值域应用的几种解题策略 篇2

一、 给定函数解析式

对于函数解析式确定,已知值域求参数的问题,可以先求出这个函数的值域A,观察所给值域B与A的关系: BA,有时可以避免讨论.

例1已知函数f(x)=34x2-3x+4,若f(x)的定义域和值域均是［a,b］,求实数a和b的值.

解析:∵ f(x)=34(x-2)2+1对称轴是:x=2

当 x∈R时,f(x)的值域为［1, +∞)

∴ ［a,b］［1，+∞）∴ a≥1此时对称轴与区间的位置关系不确定

下面抓住对称轴与区间的位置关系讨论

① 当 a≥2时，函数f(x)在区间［a,b］上是单调递增函数

f(a)=a

f(b)=b解得a=43

b=4（舍去）

② 当a＜2＜b时,

f(x)min=f(2)=1=a

又f(1)=74＜2∴ f(x)max=f(b)=b解得b=4

∴ a=1,b=4

③当b≤2时函数f(x)在区间［a,b］上是单调递减函数

∴ f(a)=b

f(b)=a解得a=0

b=4（舍）或a=4

b=0（舍）

综上所述: a=1,b=4

例2已知函数f(x)=34x2-3x+5,若f(x)的定义域和值域均是［a,b］,求实数a和b的值.

解析: ∵ f(x)=34(x-2)2+2

对称轴是: x=2

当x∈R时,f(x)的值域为［2, +∞)

∴ ［a，b］［2，+∞）

此时对称轴与区间的位置关系确定,就无须讨论了函数f(x)在区间［a,b］上是单调递增函数

∴ f(a)=a

f(b)=b解得a=2

b=103

例2中就巧妙的运用了值域A与B的关系.

二、 函数解析式中含有参数,可转化为恒成立问题的.

例3已知函数f(x)=asinxcos2x+（a-6）sinx的最小值是-6,求实数a的值.

分析:这道题如果按照常规方法:化同名,换元,然后利用导数求最值.就很麻烦.我们注意到它有一个特殊性f(0)=-6,所以这题可转化为恒成立的问题来解决就简单方便了.

解析: f(x)=asinx（1-2sin2x）+(a-6)sinx=-2asin3x+（2a-6）sinx

换元令t=sinxt∈［-1，1］

则有 y=-2at3+(2a-6)tt∈［-1，1］

下面常规方法是先求函数y的最小值,但这样处理的过程中比较繁.

我们注意到当t=1时,y=-6

所以我们把该题等价转换为

当 t∈［-1，1］时, -2at3+（2a-6）t≥-6恒成立.

当t=-1或0或1时,上述不等式成立

当t∈（0，1）时

分离参数a得: a≥-3t2+t恒成立

∵ -3t2+t＜-32 ∴ a≤-32

当t∈（-1，0）时分离参数a得: a≤-3t2+t恒成立

∵ -3t2+t=-3t+122-14∴ 当t=-12时，-3t2+tmin=12.

∴ a≤12

综上所述: -32≤a≤12

三、 灵活运用函数求值域的方法

例4函数若f(x)=ax+1x2+c的值域为［-1,5］,求实数a,c的值.

分析:根据解析式的特点,先用判别式法.但化简整理后利用判别式得到一个关于的一个含参数的不等式,这时如果去解不等式就麻烦了,可结合条件利用一元二次不等式的解与对应一元二次方程的解之间的关系,进行等价转化.

解:令y=ax+1x2+c整理得到:yx2-ax+yc-1=0

∴ y≠0

Δ=a2-4y(yc-1)≥0得4cy2-4y-a2≤0

由题意可知: 4cy2-4y-a2≤0的解集是［-1,5］

∴ -1和5是方程 4cy2-4y-a2=0的两个实数根

∴ -1+5=1c

-1×5=-a24c解得 c=14

a=±5

数学的学习不是死记硬背,我们要善于归纳和总结,对于同一类题型,要善于发现它们的共性和个性,从而选择适当的方法,达到优化解题.“一个人到学校上学，不仅是为了取得一份知识的行囊，而主要是获得聪明，因此我们主要的智慧努力就不应用在记忆上，而应用在思考上去，所以真正的学校应是一个积极思考的王国，必须让学生生活在思考的世界里.”这是苏霍姆林斯基说过的话，是提高学生思维能力的重要途径，也应是我们每一个人民教师所奋斗的目标.

例说一类抽象函数的解题策略 篇3

一、利用函数图象,将抽象函数具体化

例1 (2009年高考山东卷理16)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=______.

解析:根据已知条件f(x-4)=-f(x)可得函数f(x)是以8为周期的周期函数,联立奇函数的性质f(-x)=-f(x)可得函数f(x)的图象关于直线x=-2对称.作出函数f(x)的图象如图1所示:

方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1

例2 (2010年高考福建卷理15)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出结论如下:

①对任意m∈Z,有f(2n)=0;②函数f(x)的值域为[0,+∞);③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k+1)”.其中所有正确结论的序号是

解析:令:y=f(x),y'=f(x')=2f(x)=f(2x),则有即函数f(x)图象是由其部分图象/(x)=2-x,x∈(1,2],按其横、纵坐标均变为原来的2倍变换而成的.作出图象如下:根据图2可直观地得到正确选项①②④.

点评:以上两题均利用函数的图象,数形结合,将抽象的函数具体化,降低了思维的难度,使问题的解决显得简洁有效.例2则巧用f(ax)=af(x)性质,从函数图象变换的角度,来探索函数的图形特征.

二、利用函数的解析式,将抽象函数特殊化

例3 (2010年高考重庆卷理15)已知函数f(x)满足:,(x,y∈R),则f(2010)=______.

解析:由4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)联想到两角和与差的余弦公式,故构造函数f(x)=Acosωx,则4f(x)f(y)=4A2cosωxcosωy且f (x+y)+f (x-y)=2Acosωxcosωy,则有4A2cosωxcosωy=2Acosωxcosωy,解得,结合,可得,所以有,故.

例4设函数f(x)是定义在R上的增函数,且对任意的x都有f(1+x)+f(1-x)=0恒成立,如果实数m,n满足不等式组,则m2+n2的取值范围是______.

解析:由函数f(x)对任意的x都有f(1+x)+f(1-x)=0恒成立,可得函数的图象关于点(1,0)对称,又因为f(x)在R上是增函数,则可令f(x)=x-1,不等式组可化为

其表示的平面区域如图3所示.

由图可得线段最小,线段OB=7最大,故m2+n2∈(13,49).

浅谈酸碱盐函数图像题的解题策略 篇4

关键词： 酸碱盐 图像题 要点

近几年来有关酸碱盐的图像题一直是中考热点，将酸碱盐的知识点和其他知识综合起来，通过函数图像方式呈现变化过程中的定性或定量关系。由于此类图像题往往没有具体文字叙述，学生在读题、审题和解题的过程中会遇到很多问题。因此，重视对图像题的全面分析和理解，挖掘函数图像中的隐性内容获取有用信息，再依据物质的性质和变化规律进行解题。

一、函数图像题解题技巧的分析

虽然酸碱盐函数图像的题目变化形式较多，但还是有规律可循的。解答这类题目时，要具体分析图像，准确理解题意，弄清其中定性、定量的关系。明确横、纵坐标的意义，抓住函数图像重要的三个点——起点、拐点和终点，将图像的变化趋势与酸碱盐相关知识联系起来，找出解题规律，形成解题技巧总结。

二、酸碱盐知识点在图像题中的具体应用

1.反应前后溶液pH值变化的函数图像。

例题1：图1是氢氧化钠和盐酸反应的pH变化曲线，图中能获取哪些信息？

解析：要读懂该图像传达的信息，首先要弄清坐标表示的含义和曲线变化的化学意义。根据起点（pH>7）和终点（pH<7）位置及曲线的变化趋势可知是往氢氧化钠溶液中逐滴滴加盐酸溶液直至过量，最终溶液中溶质为氯化钠和氯化氢。B点是该图像的拐点，说明此时氢氧化钠和盐酸恰好反应，溶液呈中性，溶质为氯化钠；A点表示氢氧化钠过量，溶质有氢氧化钠和氯化钠；C点表示盐酸过量，溶质有氯化氢和氯化钠。结合酸碱盐的知识点整理，对于可能出现的溶质氢氧化钠可用可溶性铁盐、可溶性镁盐或可溶性铜盐进行检验；氯化氢可用活泼金属、难溶性碱性氧化物、难溶性碱或某些盐进行检验。这里要注意的是，虽然氯化氢和硝酸银、碳酸盐都能反应且有明显现象，但由于溶液中已有氯化钠，故不能选择硝酸银检验氯化氢的存在。

2.金属与酸溶液反应的函数图像。

例题2：下图中不能正确反映对应变化关系的是（？摇 ？摇）

A.向足量的镁粉和铁粉中，分别加入少量等质量等溶质质量分数的稀盐酸

B.向等质量的锌粉和铁粉中，分别加入相同质量分数的稀盐酸

C.向两份完全相同的稀盐酸中分别加入锌粉、镁粉

D.将等质量的镁片和铝片分别加入过量的等溶质质量分数的稀盐酸中

解析：A和D是金属与酸溶液反应图像题的常见题型。首先根据横纵坐标的意义可知曲线的斜率（单位时间生成氢气的质量）与反应速率有关，金属活动性越强，反应速率越快，斜率越大。因此镁的斜率大于铝和铁。其次曲线的高度与生成氢气的量有关，根据化学计算可知等质量的盐酸和足量的金属反应，生成的氢气质量相等；等质量的金属与足量的盐酸反应，铝生成的氢气比镁多。B和C由于横坐标不再是反应的时间，故曲线斜率代表的意义随之改变。B图像反应的是生成氢气的质量与所加盐酸溶液质量的关系，拐点之前表示金属过量盐酸反应完全，因此生成气体的质量相等；拐点之后表示盐酸溶液过量金属反应完全，铁产生的氢气更多。C图像反应的是生成氢气的质量与所加金属质量的关系，同理可知镁的斜率更大，生成气体最终相等。故C错。

总之，在酸碱盐函数图像题的解题过程中，一定要注重分析题目和图像蕴含的意义，与酸碱盐知识联系起来寻找其中定性、定量的关系。只有这样才能适应图像题的解题需要，即使遇到创新题目，也能游刃有余。

参考文献：

[1]包海燕.酸、碱、盐的应用中图像题解法指导[J].理科考试研究，2012，18：60-61.

[2]阚和明.浅谈初中化学图像图表题解题策略[J].新课程·上旬，2013（12）.

[3]柏如意.初中化学“数形结合”题型的解题策略[J].数理化学习（初中版），2014（9）.

抽象函数解题举例 篇5

一、定义域

例1已知函数f (2x) 的定义域为[-1, 2], 求函数的定义域。

解析:先求f (x) 的定义域

即f (x) 的定义域为

解得:

的定义域是

二、值域

一般从定义域出发, 借助函数的单调性和最值求值域

例2已知f (x) 的值域是[-1, 2], 试求的值域。

解析:利用不等式性质, 逐步变换求解

即, 则t∈[1, 2]

故函数y=g (x) 的值域为[1, 3]。

三、奇偶性

例3若函数y=f (x) , (x∈R, x≠0) 对任意非零实数x1, x2恒有f (x1x2) =f (x1) +f (x2) , 试判断f (x) 的单调性。

解析:取x1=-1, x2=x, 得f (-x) =f (-1) + (x) …… (1)

令x1=1, x2=-1得f (-1) =f (1) +f (-1) ∴f (1) =0…… (2)

由 (1) (2) 得f (-x) =f (x) , 故f (x) 是偶函数。

四、周期性

例4已知函数y=f (x) (x∈R) 满足:f (2+x) =f (2-x) , 且f (7+x) =f (7-x) , 设f (x) =0的一个根为0, 记f (x) 在[-1000, 1000]中根的个数为M, 求M的最小值。

解析:由已知条件得:y=f (x) 的图像关于直线x=2和x=7对称

由 (1) (2) 得:f (x+4) =f (x+14) , ∴f (x) =f (x+1 0)

抽象函数的解题策略论文 篇6

一、抽象函数具体化

1. 变量取值具体化

例1若函数f(x)的图象过点(0,1),则f(x+4)的反函数的图象必过定点______,

解析:f(x)的图象过点(0,1),即f(0)=1,取x=-4可知f(x+4)的图象过点(-4,1),由原函数与其反函数图象间的关系易知,f(x+4)的反函数的图象必过定点(1,-4).

2. 函数图象具体化

例2定义均在(-∞,0)U(0,+∞)的奇函数f(x)和偶函数g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x),其中f(3)=0且在x>0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)>0,则不等式f(x)·g(x)>0的解集为______.

解析:因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(x).g(x)为奇函数,图象关于原点对称,x>0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)>0说明f (x).g(x)在x>0时为增函数,又f(3)=0,综合以上条件,虽然f (x)和g(x)都没有表达式,但我们可以具体化函数f(x).g(x)的草图(如图),易得不等式的解集是(-3,0)U(3,+∞).

3. 函数解析式具体化

例3设f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(1-x)=f(1+x),证明f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.

解析:f(x)是偶函数,说明f(x)关于y轴对称,f(1-x)=f(1+x)说明f(x)关于直线x=1对称,其实本题反映了函数对称性与周期性的关系.本题具体证明如下:因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)=f(2-x),x∈R.又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),所以f(-x)=f(2-x),x∈R.将上式中以x代换-x,得f(x)=f(2+x),x∈R.所以f(x)是R上的周期函数且2是它的一个周期.

由抽象函数的对称性得到函数的周期性有如下结论:定义在R上的函数f(x),若x=a与x=b是f(x)的两条对称轴,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若x=a是f(x)的一条对称轴,(b,0)是f(x)的一个对称中心,则4|a-b|是f(x)的一个周期.这两个结论都比较抽象,学生掌握起来有一定的难度.但如果把抽象函数具体化,f(x)具体化为f(x)=sin x或f(x)=cosx,那么这两个结论就显而易见了.

例4函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(4)=2,则.

解析:一般做法是对x,y取特殊值得到,事实上符合定义域为(0,+∞),对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)的函数我们可以具体化为f(x)=logax,因为f(4)=2,则a=2,所以.常见的抽象函数与具体函数的对照如下表:

把抽象函数具体化为特殊函数在解决选择题和填空题时非常有效,但在解决解答题时只能作为一个参考,通过具体函数的性质来推测抽象函数是否同样具有这样的性质,但不能用具体函数来代替抽象函数解题.

二、具体函数抽象化

例5求定积分.

解析:若要利用微积分定理来解决此题,高中阶段是解决不了的.因为y=x2·sinx是奇函数,由微积分的几何意义我们知道.事实上函数y=x2·sin xx的解析式对此题来说只不过是个载体,因为对任何一个奇函数f(x),都有.

例6已知函数f(x)=5x3+tanx,x∈(-1,1)且具有,f(1-a)+f(1-a2)<0,求a的取值范围

解析:本题中f(x)的解析式在这里实质上只起到了帮助我们分析问题的一个切入口的作用,因为本题的实质是利用函数的单调性去脱去f,得到关于a的不等式组.易得f(x)在x∈(-1,1)是奇函数和单调增函数,所以-1<1-a

例7函数的最大值为M,最小值为m,则M+m=____.

解析:本题虽然f(x)有具体的函数解析式,但函数形式比较复杂,若直接求得最大值和最小值难度非常大.实际上通过整体变形,设,则g (x)为奇函数,所以M=1+g (x)max,m=1+g(x)min,因为g(x)为奇函数,所以g(x)min+g(x)max=0,则M+m=0.