空间几何体中的旋转体

空间几何体中的旋转体（通用5篇）

空间几何体中的旋转体 篇1

利用旋转变换改变图形的位置, 再借助旋转的性质,可以将复杂的几何计算与证明变得迎刃而解, 它充分发挥了“变分散为集中”的思想 ,使某些数学问题较好地找到解决的思路和方法, 且达到事半功倍的效果. 下面就以几个实例让你体会旋转的妙用,希望你能从中受到启发.

例1正△ABC中,P为其内部 一点 , 且PB∶PA∶PC = 3∶4∶5, 求∠APB的大小.

分析PB∶PA∶PC = 3∶4∶5,则PA,PB,PC三边可构成直角三角形 ,由此可想能否通过旋转, 将PA,PB,PC转换到一个三角形中, 可能此题就找到了切入点, 而△ABC为正三角形,为旋转提供了先决条件,可想将△ABP绕A逆时针旋转60°至△ACP′,则∠APB = ∠AP′C, AP = AP′, CP′ =BP,连接PP′, △APP′为正三角形,PA = P′A = PP′,则CP′∶P′P∶PC = 3∶4∶5, △PCP′为直角三角形,∠PP′C = 90°, 故∠AP′C =60° + 90° = 150° = ∠APB.

例2正方形ABCD中,M,N分别在边BC,CD上运动,∠MAN = 45°.试证:MN = BM + ND.

分析要证MN = BM + ND, 可想BM,ND能否转换到一条直线上 ,若将△ABM绕A点逆时针 旋转90° ,△ABM至△ADM′位置,∠ADM′ = ∠ABM = 90°, 显然D M′在CD延长线上,BM + ND = NM′,现需证MN = M′N即可,连接MN,不难发现△AMN≌△AM′N,此题得解.

例3任意△ABC, 在BC边同侧分别以AB,BC,AC为边作等 边△ABD,△BCE, △ACF,连接DE,EF,试判断四 边形ADEF的形状 , 说明△ABC对四边形ADEF形状的影响.

分析当图形出现有公共点的不同正三角形时,图中一定蕴含有全等三角形且它们一定可以通过旋转重合. 在此题中以△ABC为基本图形将其绕C点顺时针旋转60°即可得到△ECF, 从而EF = BA = DA. 而将△ABC绕B点逆时针旋转60°即得△DBE, 则有DE = AC =AF,进而很易作出判断四边形ADEF是有两组对边分别相等的四边形, 它是平行四边形. 而当△ABC中,AB = AC时,即有AD = AF, 四边形ADEF为菱形 , 若∠BAC = 150°时 ,∠DAF = 90°,四边形ADEF为矩形,两者同时成立则四边形ADEF为正方形. 而当∠BAC = 60°时 ,D, A ,F三点共线 ,四边形ADEF不存在.

例4正三角形ABC内接于⊙O,D是劣弧BC上任意一 点 ,AD = 8, 求四边形ABDC的面积.

分析四边形ABDC的形状随着D点位置的变化而改变 , 且题中条件单一,该如何思考呢? 可想由题中出现的正三角形条件怎么用得上, 由此不难想到旋转. 利用旋转变换将△ADC绕A点顺时针 旋转60°到△AEB的位置 ,则△AED是正三角形, 因为∠ADB = ∠ACB = 60°, 故E,B,D在一条线上, 四边形ABDC的面积即转换为正△AED的面积,求出边长为8的正三角形面积即得四边形ABDC的面积.

以上四例的解答,均借助了旋转,而此四例的共同特点则是题中分别涉及了正三角形、正方形,有些题目中也可能出现的是等腰三角形或等腰直角三角形,它往往为我们提供了图形旋转的基本条件,这也是旋转变换会涉及的一些基本图形. 旋转变换思想在几何中有着广泛的应用, 这种数学思想体现了思维的多向性, 也是学习几何的一个可循的规律.平时多注意培养学生用旋转变换思想解题,也可减少几何计算与证明的一些难点,使学生体会几何添加辅助线的一些可循性规律. 我们需要合理地启发引导学生, 将所学的知识融会贯通,活学巧用,对有些图形巧用旋转变换,不仅可以减少解题的盲目性, 还可以使解题的速度和质量大大提高. 利用旋转变换思想解题是解决图形问题的一个思维亮点,希望本文关于旋转的妙用可以给学生以启迪和借鉴.

空间几何体中的旋转体 篇2

（一）——求空间两条直线、直线与平面所成的角

知识与技能：引导学生探索并掌握利用空间向量求线线角、线面角的基本方法。、过程与方法：通过对例题的研究求解，归纳总结，从中体会使用代数方法研究空间图形带来的方便，激发学生对数学学习的热情，提高数学素养，锻炼数学品质，发展数学思维。情感态度价值观：课堂中进行“师生交流”与“生生交流”，有利于提高学生的表达能力和总结概括的能力，让学生获得成功的体验，树立学好数学的信心 教学重点、难点

重点：利用空间向量解决线线角、线面角问题的基本思路。难点：在解题中的灵活应用。

教学方法：课前预习、独立思考、课堂讨论、当堂训练、课后反思相结合。教学过程：

一、创设情境：

引例：（期中考试卷19题）在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，点E、F、G分别为BC、CD、AD的中点。（1）证明直线AC直线BD；

（2）求异面直线EF与CG所成的角（结果用反三角表示）。二．探索与发现

1、空间两条直线所成的角

设空间直线a与b所成的角为(02)，它们的一个方向向量分别为d1l1,m1,n1和d2l2,m21,n2，d1与d2的夹角为(0).，根据空间两条直线所成角的定义，可知与的关系是

(0)2

()2于是得coscos

当ab时，0,0或，当ab时，0,

2、空间直线与平面所成的角

2。当直线l与平面相交且不垂直时，设它们所成的角为(02)，d是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，d与n的夹角为，那么与有如下关系：

(0)22 ()22当l或l时0,于是有sincos。三．学习应用

例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AB的中点。（1）求异面直线B1E与C1F所成角的大小；（2）求证：异面直线AC1与B1C垂直；（3）求直线BC1与面EFB1D1所成角的大小。例2：讨论完成引例

例3：四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成角的大小为arccos四．创新发展

例4：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点。

（1）在棱BB1上是否存在一点M，使D1M平面B1AE，为什么？

（2）在正方体表面ABB1A1上是否存在点N，使D1N平面B1AE，为什么？ 五．课堂小结：

利用空间向量处理立体几何的问题，可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为向量运算，有利于克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，既直观又容易接受，降低了立体几何学习的难度，有利于丰富我们的思维结构，提高运用数学知识分析和解决问题的能力。

六、课后作业

1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AB的中点。

D1A1B1C12;，当l时，2,0.1010，求直线DE与平面BCD所成角的大小。

（1）求异面直线B1E与C1F所成角的大小；（2）求证：异面直线AC1与B1C垂直；

D EAFBC（3）求直线BC1与面EFB1D1所成角的大小。

2、在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，点E、F、G分别为BC、CD、AD的中点。

（1）证明：直线AC直线BD；（2）求异面直线EF与CG所成的角（结果

反三角表示）。

3、四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成角的大小为arccos

CBEAD1010，求DE与平面BCD所成角的大小。

4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点。

（1）在棱BB1上是否存在一点M，使D1M平面B1AE，为什么？

（2）在正方体表面ABB1A1上是否存在点N，使D1N平面B1AE，为什么？

高考中的立体几何与空间向量 篇3

【例1】（2012年高考（江苏））如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点.

求证：（1） 平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2） 直线A1F∥平面ADE.

【命题分析】本题主要考查面面垂直、线面平行的判定；考查学生空间想象能力、推理论证能力；书写过程是否流畅、准确。

解析证明：（1） ∵ABCA1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.

又∵AD平面ABC，∴CC1⊥AD.

又∵AD⊥DE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE=E，∴AD⊥平面BCC1B1.

又∵AD平面ADE，

∴平面ADE⊥平面BCC1B1.

（2） ∵A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1.

又∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，∴CC1⊥A1F.

又∵CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，∴A1F⊥平面BCC1B1.

由（1）知，AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD.

又∵AD平面ADE，A1F平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE.

点拨（1） 要证平面ADE⊥平面BCC1B1，只要证平面ADE上的AD⊥平面BCC1B1即可。它可由已知ABCA1B1C1是直三棱柱和AD⊥DE证得.

（2） 要证直线A1F∥平面ADE，只要证A1F∥平面ADE上的AD即可.。

【例1】（2012年高考（广东理））如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.

（1） 证明：BD⊥平面PAC；

（2） 若PA=1，AD=2，求二面角BPCA的正切值.

分析本题主要考查运用向量的方法证明空间中的垂直关系及求解二面角的大小。

解（1） 略

（2） 由（1）可知BD⊥平面PAC，而AC平面PAC，所以BD⊥AC，而ABCD为矩形，所以ABCD为正方形，于是AB=AD=2.

以A点为原点，AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则P（0，0，1）、C（2，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），于是BC=（0，2，0），PB=（2，0，-1）.设平面PBC的一个法向量为n1=（x，y，z），则n1·BC=0

n1·PB=0，从而2y=0

2x-z=0，令x=1，得n1=（1，0，2）.而平面PAC的一个法向量为n2=BD=（-2，2

空间向量在立体几何中的应用 篇4

一、证明或判断线与线、线与面及面与面的平行或垂直

由立体几何知识我们知道线、面间的平行或垂直最终都可归结为线与线的平行或垂直, 就是判断两向量的平行或垂直问题, 而这一问题正好是向量知识的基本内容.

二、求空间的角

1.异面直线所成的角

设线段AB, CD所在直线为异面直线, 设, 由于异面直线所成的角不超过90°, 所以AB, CD所成的角θ满足

2.直线与平面所成的角

设平面α的一条斜线段为PA (A为斜足) , n为平面α的法向量, 那么直线PA和平面α所成的角θ与→PA和n所成的角 (不超过90°) 互余, 所以

3.二面角的平面角

如图1, 设二面角α-l-β的大小为θ, m, n分别是平面α, β的法向量, 且m与n的夹角为α, 则θ=α或θ=π-α, 而, 不过对具体问题要看θ为锐角还是钝角以确定θ=α还是θ=π-α.

三、求空间的距离

1.点到直线的距离

如图2, 点A在直线l上, 点P在l外, 则点P到l的距离d就是在直线l的法向量n上的射影的绝对值.

2.点到平面的距离

与点到直线的距离相似, 如图3, A∈α, Pα, 则在平面α的法向量上的射影的绝对值就是P到平面α的距离;或者先求→PA与平面α所成的角θ, 那么P到平面α的距离.

3.异面直线的距离

如图4, AB, CD为异面直线, 在n方向上射影即为AB, CD之间的距离, 即

下面举例加以说明:

例如图5, 在棱长为1的正方体中, 求:

(1) AC1与CD1所成的角;

(2) AC1与CD1的距离;

(3) 点C1到平面B1D1C1的距离.

空间向量在立体几何中的应用 篇5

关键词：立体几何,空间向量,化繁为简

利用空间向量处理立体几何问题的这种处理办法就起到了避开复杂空间想象, 将复杂的逻辑推理转化为简单机械的代数运算,克服了辅助线添加所带来的解题难度等作用,大大简化了思维过程,减轻了思维负担.可见,利用向量可以把几何结构代数化,以数明形,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系,成为研究立体几何的重要工具.

本文举例研究如何用向量方法解决立几中的点、线、面的位置关系问题和求角、距离问题.以此归纳总结各种题型的解法,强化“向量”的应用价值,激发学生学习向量的兴趣.

一、做几点准备

1.明确两个重要概念

两条异面直线的方向向量: 垂直于两条异面直线所在直线的方向向量的向量.平面的法向量:表示向量的有向线段所在直线垂直于平面,则向量叫做平面的法向量.法向量是一个平画的特征向量,它是处理有关平面的轴心骨.

2.本文的两个定义

本文称在两条异面直线上各取一点(当然取特殊点)构成的向量以为两条异面直线的斜向量. 平面的斜线段所在直线的方向向量叫做平面的斜向量. 本文称用旧教材处理几何问题的传统方法为纯几何法, 称用空间向量处理几何问题的方法为纯向量法.

3.利用空间向量处理立体几何问题的两个关键点

(1)利用空间向量处理立体几何问题的关键处在于建立空间直角坐标系,建系应遵循以下两个原则:1寻找墙角模型即三条两两垂直于同一点的直线.2利用直线垂直于面.以这条直线为z轴,以这个面内互相垂直的两条直线为x轴和y轴建立空间直角坐标系.若有面垂直于面,则通过面垂直于面的性质定理即可得到线垂直于面.合理地建立空间直角坐标系,是完成从几何问题向代数问题转化的基础,也是难点.

(2)建立空间直角坐标系后 ,如何确定各点的坐标 ? 常采用化立体为平面的策略即先确定竖坐标, 然后像平面直角坐标系一样确定横坐标和纵坐标.一般有个别的点比较难求,需要结合平面的基本知识(如平行成比例的性质)确定.

二、典例剖析,方法透视

已知四棱 锥P -ABCD的底面为 直角梯形 ,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD, 且,AB=1,M是PB的中点.

(Ⅰ)证明 :面PAD⊥面PCD;

(Ⅱ)求AC与PB所成的角 ;

(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.

证明:以A为坐标原点AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

由题设知AD⊥DC, 且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线, 由此得DC⊥面PAD. 又DC在面PCD上, 故面PAD⊥面PCD.

(Ⅲ ) 解 : 在MC上取一点N (x,y,z), 则存在λ∈R使

由得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.

点评:向量的巧妙之处在于避开作二面角的复杂过程,求点面距离的难点是作出高线,确定垂足,而此法不要求确定垂足的确切位置就可将距离求出,真正做到了避繁就简.