高中数学2空间几何体

高中数学2空间几何体（精选8篇）

高中数学2空间几何体 篇1

高中数学必修2知识点总结

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1.2空间几何体的三视图和直观图三视图：

正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：斜二测画法

4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；

（3）.画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积

（一）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和圆柱的表面积Srl2  r23 圆锥的表面积S2 圆台的表面积Srlr2 rlr2RlR25 球的表面积S4R2

（二）空间几何体的体积

1VS底h2锥体的体积VS底h 3

1433台体的体积VS上S上S下S下)h4球体的体积VR 331柱体的体积

高中数学2空间几何体 篇2

关键词：高中数学,空间几何体,角与距离,学习支撑工具

数学学科在基础教育知识体系占有很重要的地位, 为了满足教学的需要, 国内外开发的此类软件的种类很多, 但真正适合教师和学生用来学习空间几何的软件少之又少, 难以满足教学需要。事实上, 几何是中学教学中的重点, 空间几何则是其中的难点[1], 在空间几何的学习过程中, 空间几何体角与距离的学习是其中的重、难点, 主要原因是空间几何体习题的解决需要学生建立空间想象能力, 在空间几何体角与距离问题的学习中主要内容包括:线线角、线面角、二面角、点线距、点面距、异面直线的距离。其中, 线面角、二面角、异面直线的距离都需要学生在立体空间中来解决, 脱离了平面, 在找角或找距离的时候非常的困难, 不好理解, 学生在学习这部分知识的时候只能借助自己的空间想象能力再加上教师的解释来强行理解, 因此学习的效果不是很好, 而这部分知识又是高考中的重点知识, 因此, 需要相关的学习支撑工具来解决此类问题, 提高教学质量, 从而提高教学效率。

●高中数学空间几何体教学软件的分类及简介

国内外针对数学学科的教学需求开发的软件颇多, 比较突出的有几何画板、GeoGebra、Geometry Expressions、Z+Z智能教育平台系列中面向平面几何的超级画板、Cabri3D、玲珑3D, 下面就针对这几款软件进行简单介绍。

1.几何画板

几何画板是适用于数学、平面几何、物理的矢量分析、作图, 函数作图的动态几何工具。几何画板软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教育软件, 1996年该公司授权人民教育出版社在中国发行该软件的中文版。几何画板能够构建数学模型、揭示数学规律、直观反映数学变化、动态保持形数关系, 它以点、线、圆为基本元素, 通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等, 显示或构造出千变万化的图形。为教师和学生提供了直观、方便、快捷、准确的图形表现工具, 使学生在图形的运动和变化的过程中, 观察、归纳出图形的数量关系和图形性质。几何画板适用于几何 (平面几何、解析几何、射影几何等) 的教学。

2.GeoGebra

GeoGebra是一款结合“几何”、“代数”与“微积分”的动态数学软件, 它是由美国罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的。一方面来说, Geo Gebra是一个动态的几何软件, 您可以在上面画点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线, 甚至是函数, 事后还可以改变它们的属性;另一方面来说, 可以直接输入方程和点坐标。所以, Geo Gebra也有处理变数的能力 (这些变数可以是一个数字、角度、向量或点坐标) , 它也可以对函数作微分与积分, 找出方程的根或计算函数的极大极小值。所以Geo Gebra同时具有处理代数与几何的功能。但正是由于Geo Gebra具有了多种功能, 所以, 在每一部分的功能上并不是十分的完善, 并且在打开软件时默认的界面含有坐标系, 这样会影响图形的构建, 默认状态下应该是空白状态, 方便教师和学生使用。

3.Geometry Expressions

Geometry Expressions是一款世界领先的交互式符号几何系统。这就意味着:几何图形可以按照符号几何或者数字领域进行定义。绘图因为有了参数和符号动画而显得生动起来;有了新的符号约束, 所有的一般建筑结构都可以很好地展现。Geometry Expressions的功能界面略显复杂, 包含的功能十分多, 特色的地方就是能够将图形与参数相对应, 但是由于参数的复杂性, 它虽然能够很容易地计算出相应的面积和周长等所需要的答案, 但是不利于学生的理解。

4.Z+Z智能教育平台——超级画板

“Z+Z智能教育平台”是由我国著名数学家、计算机科学家、著名科普作家、中国科学院院士张景中教授主持策划和开发的。超级画板兼顾几何与代数的教学, 并具有自动推理、编程与宏工具的制作等高级功能, 可选择空间比较大, 但是需要教师掌握的功能也很多。“Z+Z智能教育平台”是为我国的基础教育量身定做的[2], Z+Z智能教育平台系列中的立体几何其自动推理功能非常强大, 不仅能让机器自动推理, 还能让用户进行交互式推理, 并且还能对用户的解答给出评价和修改。但由于其几何图形的显示和交互方面存在一定的缺陷, 因此并不适用于当前的立体几何教学。

5.Cabri3D

法国的Cabri3D于2004年推出, 是世界第一款专门针对立体几何学习的辅助教学软件, 基于Cabri3D的计算机辅助教学法有助于培养学生的立体感, 提高学生的空间想象能力, 大大改善立体几何的教学质量, 对提高学生数学成绩具有正面影响力, 但其只是一款动态几何绘制软件, 并没有自动推理及其相关的功能, 因此学生不能方便地去探究图中几何元素之间的关系, 也无法让计算机去辅助其学习定理的证明等。Cabri3D软件中所以提供的空间几何图形需要手动操作, 比较麻烦, 绘图时很费时间, 所提供的图形不够全面, 比如说球体。

6.玲珑3D

玲珑3D是一款好用、实用、灵活、方便的动态数学教学软件。能动态展示几何、函数等图形, 具有创新性、实用性, 适用于高中、初中、小学数学教师及学生, 是一款不错的教学辅助软件。可以真实地体现三维空间, 进行教学动画演示, 但是玲珑3D不能提供现成的棱锥、棱台、球体、圆柱的立体图形, 因此为空间几何体角与距离的学习带来不便, 因为这些图形是比较难画的, 教师和学生创作这些图形将会浪费太多时间。

●六种学习支撑工具在问题解决上的对比分析

通过对六种学习支撑工具的研究与分析, 我们得出了其在解决空间几何体角与距离问题上的对比分析表 (如下表) , 空间几何体角与距离问题主要可以归类为线线角、线面角、二面角、点线距、点面距、异面直线的距离这六大方面, 下表也主要从这六个方面进行对比分析。

从分析表中我们可以清楚地看到, 这六种空间几何体学习支撑工具在解决角与距离六大问题上的局限性, 目前并没有一款软件可以同时解决空间几何体角与距离中的六大知识点, 因此需要开发新的学习支撑工具来满足现阶段高中数学空间几何体的学习, 培养学生的空间想象能力, 进一步将教学重难点易化, 保证教学质量, 提高教学效率。

●研究结论

目前, 缺乏高质量的高中数学空间几何体角与距离学习支撑工具, 己经制约了信息技术和空间几何体角与距离学习的有效整合。由于各类学习支撑工具中角与距离学习的功能不是十分完善, 因此在空间几何角与距离问题的解决上更是缺乏针对性。在数字化学习环境下高中数学空间几何体角与距离学习存在的主要问题包括以下几点:

注: (√代表能够解决此类问题, ×代表不能解决此类问题)

(1) 现有软件大都只具备平面几何功能而缺少立体几何相关的功能。

(2) 现有教学缺乏针对性, 缺少典型案例库。

(3) 现有学习缺少具有针对性的学习支撑工具。

针对这些问题需要开发和设计相关的高中数学空间几何体学习支撑工具来解决在学习此类问题时遇到的困难。

●结束语

笔者希望能够研究设计一款学习支撑工具来解决空间几何体角与距离问题, 空间几何体角与距离可以划分为线线角、线面角、二面角、点线距、点面距, 异面直线距离这六大类, 能够利用三维解决空间几何前所未有的难题, 所设计的学习支撑工具包含所有典型空间几何角与距离问题, 通过对各种题型的分析理解, 能够让学生掌握两种方法求解空间几何角与距离问题, 总结此类问题的各种题型和解题思路, 从而建立学生的空间想象能力, 提高运算能力。我们期待着这一问题的提出能为新课程改革中的高中数学空间几何体成角与距离的教学带来应用创新。

参考文献

[1]刘郑, 陈矛.中学立体几何智能教育软件的设计与实现[J].中国电化教育, 2011 (01) .

论高中数学的空间几何教学 篇3

【关键词】高中数学 课堂教学 空间几何

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.08.174

高中阶段的学生在经过了小学和初中阶段的知识学习，已经形成了基本的空间几何学习思路，因此，相比较于代数中的多类新概念，空间几何知识对高中生来说是熟悉的。而不同于代数新概念的教学，高中空间几何的教学内容往往表现为对空间几何体的分析和运算，学生们需要在数学教师的教学指导下，学习和了解每种空间几何的特征和相应几何体的运算公式，从而以数值的形式深入挖掘空间几何体的各个形态。就高中人教版的空间几何内容而言，学生们需要掌握不同空间几何体的三视图和直观图；熟练运算表面积与体积；空间点、直线、平面之间的位置关系；直线方程的运算；圆与方程的运算等，并在此基础上拓展学习空间几何体，探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积；阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法、笛卡儿与解析几何、坐标法与机器证明、能用《几何画板》探究点的轨迹。根据人教版的空间几何教学内容，笔者认为，针对高中生的空间几何教学的重点主要表现在以下几个方面。

一、空间几何基本公式教学

高中阶段的空间几何体，在二维几何的基础上往往更加偏重于对三维空间的教学，学生们需要在数学教师的教学解析下，清晰了解每种空间几何体不同角度的图形，继而熟练掌握他们的运算公式，从空间几何的外在形态上整体掌握他们的体积和表面积。

首先，高中数学教师在进行空间几何基本概念的教学过程中，为了方便学生对空间几何的直观理解和记忆，通常可以以实物的形式为学生们呈现出多种空间几何体。学生们可以在数学教师的课堂解析中清晰明白每种空间几何体的长，宽，高等数值，继而在脑海中建构起不同几何体的相应变体，为日后空间几何的练习做好实物形态的准备。例如，高中数学教师可以在教授长方体的公式时，在课堂上为同学们呈现长方体的纸壳实物，通过不断的变形让学生们直观地观察长方体的三视图和直观图，从而在几何外在形态上实现准确判断。

其次，高中数学教师在教授学生们相应的几何体运算公式时，为了进一步提升教学的难度，往往可以变换几何运算题型的问题，或者通过将几种空间几何体加以组合或变形，增加空间几何体运算的难度，来考查高中生对空间几何体的运算效率。学生们在数学教师的教学引导下，一方面会改变单一的运算学习思路，拓展学习思维，另一方面也能够不断丰富自身的知识积累，在实践练习或方法借鉴中体会数学空间几何学习的乐趣，感受空间几何要素之间的交流与转换。

二、空间几何方程教学

高中学生对空间几何的学习，不只是局限在对空间几何体的外在形态和相应的数值的运算上，往往还需要了解和掌握直线与方程、圆与方程的运算，从而更好地以立体几何的学习思路探究生活中的各类图形应用。因此，高中数学教师需要在上述教学的基础上，引导学生们熟练掌握直线的方程和圆的方程相关知识。

首先，高中数学教师需要向学生们讲授直线与方程的关系，让学生们明白并会计算出直线的倾斜角和斜率，熟练掌握直线的交点坐标与距离公式，并在数学教师的教学指导下以小组的形式对笛卡尔和解析几何的故事进行探究性的学习，以对空间几何的直线方程有一个清晰而全面的认识。学生们在数学教师的课堂教学中，一方面可以全面了解直线在空间几何中的位置和方程关系，另一方面也培养了学生多面思考的学习习惯，为今后的空间几何的深入探究打下坚实的基础。

其次，高中数学教师还需要向学生们教授圆与方程的关系，在课堂教学中引导学生们阅读与思考教材中关于坐标法与机器证明的深刻含义，并在思考与探究学习中明确直线、圆的位置关系，对空间直角坐标系有一个循序渐进而全面深刻的理解和运用。对空间几何的学习，是高中生多维空间思维的建构学习。高中数学教师作为专业的教学指导者，一方面要明确自身的教学引导者身份，另一方面也要注重学生的自主学习和合作探究，在不断的计算和实验中提升对空间几何方程的认识，继而提高高中生的数学成绩，提升数学整体修养的水平。

三、空间几何探究性教学

新世纪的高中数学教学，教师除了不断完善课堂教学的内容和形式，在很大程度上也开始有意识地注重对学生自主学习和探究能力的开发与拓展，以培养高中生在数学学习的阶段发现自己的所长和兴趣点，为今后更高水平的空间几何的学习积累丰富的经验。

首先，高中数学教师可以在每个章节内容教授完成之后，要求学生们以小组或个人的形式进行相应的学习探究。这种形式的空间几何探究，既是对学生课堂数学学习成果的监督与检验，同时也是对学生探究能力的训练与考察。高中数学教师在这种探究性教学中往往需要发挥好引导者的角色，同时也要做好探究学习客观评价的教学工作，从而让参与的学生准确明白探究成果的成功与否或问题所在。例如，高中数学教师在教授空间几何体的表面积和体积内容后，可以要求学生们在规定的时间内探究计算出相应的柱体、椎体、球体的体积，学生们根据课堂中所学的基本几何体体积的运算法则，对上述几何体的体积加以整合拆分的运算，最后得出正确的体积答案。

其次，高中数学教师还可以鼓励学生们多多参与校内或全国性的空间几何探究性活动，在熟练掌握数学几何知识的前提下，运用所学的物理等知识，将所学的几何类知识相互穿插，融会贯通，在数学教师的教学指导下，得出小组学习的探究性成果。对高中生而言探究性学习是对课本知识的深入巩固与发现，需要高中数学教师在教学过程中注意方式和方法，加强与学生之间的交流与互动，并借助现代多媒体的教学技术和生活实践经验，提升空间几何探究性教学的质量。

高中数学2空间几何体 篇4

一、学习目标：

知识与技能：（1）掌握画三视图的基本技能;（2）丰富空间想象力

过程与方法：主要通过亲身实践，动手作图，体会三视图的作用

情感态度与价值观：（1）提高空间想象力（2）体会三视图的作用

二、学习重点、难点：

学习重点：画出简单组合体的三视图

学习难点：识别三视图所表示的空间几何体

三、使用说明及学法指导:

1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。

3、A类是自主探究，B类是合作交流。

四、知识链接:

圆柱：

圆锥：

圆台：

五、学习过程：

A问题１:什么是投影、投影线、投影面？

投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影

A问题2:什么是中心投影、平行投影？

物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．

A问题3.(1).光线叫做几何体的正视图.(2).光线叫做几何体侧视图.(3).光线叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

A例１.根据长方体的模型，请您画出它们的三视图，并观察三种图形之间的关系．

三视图的画法规则:、、。

A例２.请您画出圆柱、圆锥、圆台、球的三视图

六、达标测试

A1、两条相交直线的平行投影是（）

A．两条相交直线B．一条直线

C．两条平行线D．两条相交直线或一条直线

A2、如果一个几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（）

A．棱柱B．棱锥C．圆锥D．圆柱

B3、课本15页1.、2、3、4题

答案

空间几何体的三视图 问题1：由于光的照射，在不透明的物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面。

问题2：光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影；在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影。

问题3：光线从几何体的前面向后面的正投影等到的投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面的正投影等到的投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面的正投影等到的投影图叫做几何体的俯视图。

例1：见教材12页

长对正，高平齐，宽相等。

例2：见教材13页

达标训练：

高中数学2空间几何体 篇5

教学目标：

使学生掌握两个平面的位置关系，两个平面平行的判定方法及性质，并利用性质证明问题；注意等价转化思想在解决问题中的运用，通过问题解决、提高空间想象能力；通过问题的证明，寻求事物的统一性，了解事物之间可以相互转化，通过证明问题、树立创新意识。

教学重点：

两个平面的位置关系，两个平面平行的判定和性质。

教学难点：

判定定理、例题的证明，性质定理的正确运用。

教学过程：

1．复习回顾：

师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理.性质定理归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题.立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题，二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会.下面继续研究面面位置关系.2．讲授新课：

1.两个平面的位置关系

除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系.［师］观察教室前后两个面，左、右两个面及上下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的.［师］打开教材一个是竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线.观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线.结合生观察教室的结论、引导其寻找平面公共点，然后给出定义.定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行.如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线.两个平面的位置关系只有两种：

（1）两个平面平行——没有公共点；

（2）两个平面相交——有一条公共直线.［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β

2.两个平面平行的判定

判定两个平面平行可依定义，看它们的公共点如何.［师］由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两

个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平

行，才能判定两个平面平行呢？

下面我们共同学习定理.两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两

个平面平行.［师］以上是两个平面平行的文字语言，另外定理的符号语言为：

若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β.利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：

①有两条直线平行于另一个平面，②这两条直线必须相交.［师］再从转化的角度认识该定理就是：线线相交、线面平行面面平行.［生］在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行，实质上正是利用了面面平行的判定定理.例1：求证：垂直于同一直线的两个平面平行

已知：α⊥AA′,β⊥AA′

求证：α∥β.分析：要证两个平面平行，需设法证明一面内有两相交线

与另一面平行，那么由题如何找出这两条线成为关键.如果这样的线能找到问题也就解决啦.诱导学生思考怎样找线.［生］通过作图完成找线，利用转化解决问题、证明如下：

证明：设经过AA′的两个平面γ、θ分别与平面α、β相交于直线a、a′和b、b′

∵AA′⊥α，AA′⊥β

∴AA′⊥a,AA′⊥a′

又aγ,a′γ∴a∥a′,于是a′∥a

同理可证b′∥a又a′∩b′=A′∴α∥β.［师］这是一个重要的结论，主要用来判断空间的直线与平面具备条件：两个平面垂直于同一直线，则应有：这两个平面平行.用符号语言就可以表示为：

l⊥α，l⊥βα∥β.此题也告诉我们，空间的两个平面平行，其判定方法：1°定义.2°判定定理.3°例1结论

.［师］请同学思考：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一面具有什么关系？

［生］通过作图可以发现，若平面α和平面β平行，则两面无公共点，那么也就意味着平面α内任一直线a和平面β也无公共点，即直线a和平面β平行.用式子可表示为：α∥β，aαa∥β

用语言表述就是：

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.［师］归纳总结.此结论在以后的解决问题过程中可直接运用，既是面面平行的性质定理，又是线面平行的判定定理.［师］如图，设α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b，我们研究两条交线a、b的位置关系.［生］观察、分析可发现

因为α∥β，所以a、b没有公共点，而a、b又同在平面γ内，于是有a∥b

［师］下面给出两个平面平行的性质定理.两个平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.已知：α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b

求证：a∥b.分析：师生共同活动

通过前面的学习，我们知道判定两线平行的途径有：

（1）利用定义：在同一平面内没有公共点的两条直线平行.（2）运用公理：证明这两直线平行于同一直线.（3）依据性质定理：线面平行的性质定理，如果一条直线平行于一个平面、经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线和交线平行，线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行.而题目中证明a∥b，a、b又同在平面γ内，且分别在两个平行平面内，因此本题的证明可利用方法（1）.证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又aα，bβ

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ＝a，β∩γ＝b

∴aγ，bγ

∴a∥b.［师］同学们接下来研究两个平行平面内的所有直线是否都平

行.已知两个平面平行，依据性质定理：

一个平面内的任何直线都平行另一平面

.依据性质定理：若有第三个平面和两个平行平面相交，那么它们的交线平行，但是，能不能说两个平行平面内的所有直线都是互相平行的呢？如上图，α∥β，aα，bβ，可以看出：只有当a、b确定平面时，依据性质定理，a与b才平行，否则就不平行，直线a与b能相交吗？

［生］不能.这是因为，若a∩b=A∵aα,∴A∈α

又bβ，∴A∈β∴α与β必相交

因此a、b不可能相交.由此在两个平行平面内的直线，它们可能是平行直线，也可能是异面直线.师引导学生得出结论：两个平行平面的判定定理与性质定理的作用，要害都集中在“平行”二字上，判定定理解决的问题是；在什么样的条件下两个平面平行，性质定理说明的问题是；在什么样的条件下两条直线平行，前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法.［师］下面以例题说明性质定理在解决问题时作用.例2：求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.已知:α∥β，l⊥α，l∩α＝A

求证：l⊥β.［设法创造条件，找到平面γ，使之与平面α和平面β相交，使

之可利用性质定理解决问题.］

证明：在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面，设γ∩α＝a

因为b是平面α内任意一条直线，所以根据直线与平面垂直的定义，可知l⊥β.［师］上述例2所证明的命题用符号表示就是α∥β,l⊥αl⊥β.用转化的思想可解释为

面面平行、线面垂直线面垂直

这是一个关于两个平面平行的性质的一个命题，可以用来判断直线与平面垂直.4.两个平行平面的距离

［师］由线面距离，进一步研究面面距离，请同学归纳表述.［生］（1）两个平行平面的公垂线、公垂线段的定义：

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.α∥β

如果AA′,BB′都是它们的公垂线段

那么AA′∥ΒΒ′

依两个平面平行的性质定理

有A′B′∥AB

那么四边形ABB′A′是平行四边形，AA′＝BB′

由此我们得到，两个平面平行，这两个平面的公垂线段都相等.（2）两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.3．课堂练习：

课本P41练习1，2，3，44．课时小结：

本节课主要研究如何证明两个平面平行？其途径可以选择从公共点的角度考虑.但要说明两面没有公共点，是比较困难的，而要用定理判定的话，关键是线应具备“相交”“平行”要求.例1也可作为结论直接运用；两个平面平行，即面面平行，可得，其中一面内的线平行于另一个平面，即线面平行；两个平面平行，即面面平行，可得，两个平面与第三平面相交，交线平行，即线线平行；求面与面距离可转化为线面距离，进而转化为点面距离。

5．课后作业：

高中数学2空间几何体 篇6

东北师范大学孔凡哲 东北师范大学第二附属小学王延萍

几何直观作为核心名词，2011年底首次出现在小学阶段（尽管2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》早就明确提出了针对“几何直观”的要求“培养和发展学生的„几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”）；同时，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（《标准（2011年版）》）以下简称首次将几何直观与空间观念、推理能力并列，成为“图形与几何”领域的核心目标的三大组成要素。

几何直观与推理能力差异是显而易见的。但是，几何直观与空间观念究竟是什么关系？在教学中，如何有针对性地培养学生的几何直观与空间观念？这些问题都是小学数学领域亟待理清的问题。本文就此阐述。

一、几何直观与空间观念的含义差异分析

正如《标准（2011年版）》指出的，“直观与推理是图形与几何领域的核心目标”，其中，“空间观念”是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等”，“几何直观”是指“利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。特别地，空间观念的培养要贯穿整个数学学习过程中”。

我们认为，“严格意义上讲，这是针对几何直观的作用的解释性说明，而不是针对几何直观的含义的诠释”，即不是针对“几何直观”的明确定义。对此，我们可以这样定义几何直观：

几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。

几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，因而，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一。

作为“图形与几何”的核心名词，几何直观与空间观念分别从不同的角度涵盖了几何学习的重要目标，二者有局部的差异，但是，各有侧重。

（一）二者的侧重点非常明显 几何直观通常是在有背景的条件下进行的，而借助几何直观“看”出来的结果，往往需要经过逻辑推理的验证。而空间观念侧重于“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”，“描述图形的运动和变化”，“依据语言描述画出图形”等等，这些活动未必必须凭借看得见、摸得着的真实图形，而可以凭借语言、头脑的想象物等等。

不仅如此，几何直观侧重利用图形整体把握问题，而空间观念侧重于刻画学习者对于空间的感知和把握程度，前者更接近应用层面，可以归为运用图形的能力，后者侧重于几何学习对学习者带来的变化和发展。

（二）二者触及的领域各有侧重

几何直观侧重于利用图形整体分析和把握数学问题，而这里的问题几乎涉及数学的各个领域，而空间观念大多局限在“图形与几何”领域——虽然有时触及几何与数学的其他分支学科的交叉领域。

（三）二者在若干局部领域具有交叉性、重叠性

即，对于凭借图形分析其对应的实际物体，二者具有重叠部分，几何直观侧重于整体把握问题、分析解决相关的问题（虽然问题未必都是几何问题），而空间观念侧重于看到图形想到事物，能够进行图形与其相关事物之间的转换等。

（四）对于学生的形象思维的发展，二者共同发挥作用

在日常教学中，我们应该帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。帮助学生逐步形成初步的几何直观，感受几何直观的作用。

特别地，就整个义务教育阶段而言，推理能力的培养必须以学生已有的几何活动经验、几何直观为先导，但必须强调概念或观念的明确定义，以及几何量的代数运算。而学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而逐步形成几何推理。当然，在小学阶段，推理能力属于渗透，而不是重点培养，但是，这是整个九年发展推理能力的必不可少的阶段，属于奠基性工作。

二、几何直观与空间观念的作用、价值的差异分析

几何直观属于直观感知基础之上所形成的理性思考所致，是学习者对于数学对象的几何属性（或与几何属性密切相关的一些属性）的整体把握和直接判断的能力；

同时，几何直观是学习者、研究者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，既有相对丰富的经验积淀，更有经验基础之上的理性的概括和升华。

（一）二者都是图形与几何领域长期学习的积淀所形成的结果，具有连续性

1．几何直观需要长期的积淀，即利用图形、采取整体思维的方式把握问题的本质，逐渐形成针对几何图形（及其等价量）的数学直观。

例如，看到a2+b2，完全下意识地（自觉地）想到直角三角形的两条直角边的平方和，它等于斜边的平方。

2．长期从事图形与几何的操作活动，并善于分析几何活动要素之间的关系，可以逐步形成空间观念。同时，空间观念的发展具有（儿童发展的）时节性，已有的研究表明，义务教育阶段是发展儿童空间观念的最佳期，一旦错过，几乎无法修复或者重新发展。

其实，几何的启蒙活动应该借助探索、研究、分析、讨论生活中的真实形体，充分使用学生原有的、处在生活经验状态的几何认知，熟练地描述与表征周围的环境。这些实验、观察、探索的活动需要不断地安排在不同的学习层次中，探索形体的要素、发现性质、找出形体间的关系，让学生透过有趣的操作实践活动更多地了解几何世界，促进他们几何思维的发展。

（二）二者都具有一定的逻辑性

几何直观属于从整体的视角直接把握问题的本质，其间需要摒弃大量无关的次要信息，而把握核心要素之间的内在关联，其逻辑的成分显而易见；

与此相对，空间观念的各个成分几乎都涉及逻辑成分，无论是实物与其相应的图形之间的逻辑关系，还是图形之中的各个要素之间的关系，无论是二维、三维图形之间的转换，还是将复杂的图形与其基本图形之间的关系，无论是根据物体特征抽象出几何图形，还是想象出物体的方位及其相互的位置关系，无论是描述图形的运动和变化，还是依据语言的描述画出图形，都或多或少地涉及逻辑因素。

（三）二者具有密切的关联性

作为几何学习的重要目的，无论是几何直观，还是空间观念，都深深融入学生的几何学习活动之中，而这些学习与学生亲身参与的几何活动交织在一起，在许多情况下几乎无法严格区分。虽然空间观念、几何直观都有先天的成分，但是，其实质性的发展都是在后天完成的，同时，二者的发展相互制约、相互促进。

1．空间观念的发展对于几何直观的发展具有重要的促进作用，并构成几何直观形成的重要基础（虽然不是唯一基础，几何直观发展的另一个重要基础，就是整体思维方式的形成，这需要适度的抽象水平，能够撇开无关要素、单刀直入把握要害。

2．几何直观的发展对于空间观念具有重要的强化作用。中小学数学中的几何直观具体表现为四种基本形式“实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观”。这些不同层面的几何直观其实与空间观念的发展密切联系在一起：

在实物直观（即实物层面的几何直观）阶段，学生借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，以此作为参照物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断（的一种能力），与其同时，学生也在渐渐地经历图形抽象的过程，空间观念的“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”“依据语言的描述画出图形等”等成分不断发展。

在简约符号直观（即简约符号层面的几何直观）阶段，学生在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象而形成半符号化的直观，诸如行程问题中的线路图等等，运用这种直观形式，学生可以很好地“描述物体的方位及其相互之间的位置关系”“描述物体的运动和变化”。

在运用图形直观的阶段，学生可以采以明确的几何图形为载体分析处理相关的问题，既可以涉及代数问题，也可以触及几何问题。其中，分析图形的基本要素之间的相关关系，是准确运用图形直观的关键，这恰恰是空间观念的重要成分之一。

作为实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物，替代物直观是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，也可能依托用语言或数学学科表征物所代表的直观形式，对于“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”等等成分的培养具有显著作用。

（四）二者彼此具有不可替代性

作为“图形与几何”领域学习的重要目标，几何直观和空间观念彼此无法替代，几何直观侧重于应用，而空间观念侧重于学习者对于几何对象的把握程度。从而，具有良好的几何直观（能力）就构成检验空间观念的重要指标之一（虽然不是唯一指标）。

三、几何直观与空间观念的培养侧重点及其典型案例分析

1.空间观念需要渗透在“图形与几何”学习的方方面面，而几何直观需要渗透在数学学习的各个领域，特别是，在“数与代数”“统计与概率”“实践与综合”领域。

例如，通过观察、操作等活动，进一步认识三角形、平行四边形、梯形、长方体、正方体等几何形体，利用学生周围常见的事物，引导学生感受和探索图形的特征，丰富图形与几何的活动经验，建立初步的空间观念和几何直观。因而，积累几何活动经验就成为几何教育的一个更加直接的目标和追求。拥有丰富的几何活动经验并且善于反思的人，他的几何直观更有可能达到更高的水平。

与此相对应，借助于恰当的图形、几何模型进行解释，能够启迪思路，帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，而抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个主动思考的机会和揭示经验的策略，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程。

2.几何直观更多地体现在问题解决之中、新知建构的过程之中，而空间观念需要全方位地体现在学生亲身参与几何活动之中。例如，借鉴俄罗斯L.V.沙雷金和L.N.叶尔冈日耶娃合著的《直观几何》中的做法，通过折纸、摆火柴、走迷宫、镶嵌等操作活动，接触反射与对称、拓扑经验、“七桥问题”、单向曲面、六面体的展开、多边形铺设、坐标与方位、密码通讯等课题，让小学生用直观的方法接触大量的、生动的几何世界，既可以在问题解决之中体会几何直观带来的美妙，又可以在活动之中发展空间观念，开阔学生的数学视野，体验了数学的魅力和情趣。

3.随着年级的升高，几何直观的层次需要逐级提升，从最初侧重于实物直观，逐步过渡到符号直观、图形直观。而空间观念的发展需要从涵盖“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”“描述图形的运动和变化”“依据语言描述画出图形”等各个方面，而不可局限在某些方面，比如，从实物到图形的转换。

（编者注：限于篇幅，例子从略）

4.几何直观需要更较高的思维水平，从而，更需要教师在日常教学中不断主动地运用几何直观帮助学生建构自己的数学理解，有意识地培养学生的整体思维方式和数形结合的意识，并帮助学生把握往往起核心的那些基本图形（诸如三角形、正方形等等）。

比如，在统计问题中，可以借助一个圆片代表样本数据1，由此可以很好地理解“移多补少”，进而掌握平均数的概念。这里的“圆片”就是样本数据1的替代物，直观而形象。而如下的代数案例也可以很好地体现几何直观的作用：

【案例】 新世纪版3年级上册 第30～31页 “去游乐场——两位数乘一位数进位乘法”

生1：

生2：我是竖式计算。

（教师在黑板用小棒卡片配合生2讲解竖式计算的方法。）

用小棒直观图让孩子理解，4×6=24中的2，要加在十位上，这个2在图里就代表24中的那两捆小棒，因为这两捆小棒要先跟上面那四捆小棒相加，整捆加整捆，所以算十位4×1=4还要加上个位进来的2。结合小棒图，给孩子一个直观的感受，孩子更容易理解竖式的算理。

但是，随着学龄的增加，我们要有意识地提高学生几何直观的层次和水平，逐步过渡到图形直观、符号直观的层次。

高中数学2空间几何体 篇7

尽管高等数学对培养相关专业学生的综合素质能起到举足轻重的作用, 但因它的抽象性、逻辑性和严密性, 让很多学生望而却步. 加之, 现在很多高等院校在向“实用型, 应用型”进行转型尝试, 我们的社会又存在些浮躁和急功近利的思想, 这促使了更多的学生不注重高数理论的学习, 而只关注知识的应用. 无形之中, 这些主客观因素给我们本就难以开展的高数课堂, 带来了新的困难和挑战. 作为讲授高等数学课程的教师, 如何在最大限度地保持高数的知识和逻辑体系的基础上, 减少理论的教学, 有针对性地增加应用的内容, 并有机地融入到高数课堂, 这是一个值得我们长期思索的问题.

考虑到高等数学的内容比较多, 我们将内容限制在空间解析几何部分. 通常, 我们将高等数学课程划分成五大板块: 一元微积分, 空间解析几何, 多元微积分, 级数, 常微分方程. 空间解析几何这部分内容在整个高等数学课程中所占的篇幅应该是最少的, 但它是学习多元微积分的基础. 这部分内容看似比较直观, 但如果缺乏空间想象力的话, 还是比较抽象的. 另外, 尽管这部分内容与我们生活的客观世界息息相关, 但是学生缺乏观察、发现和思考. 这就要求教师在课堂内外通过不同的方式方法来培养学生的空间想象力和思维能力, 启发他们去观察和分析客观世界, 进而更好地解决本专业涉及的这方面知识的数学问题. 故下面笔者结合自身的教学情况, 仅针对空间解析几何这部分知识, 从三个大的方面肤浅地谈谈如何搞好高等数学教学, 以期达到抛砖引玉的目的.

一、知识的选择与处理

1. 精简课本内容, 使其具有逻辑系和系统性

在这章内容的处理上, 我们的考虑如下: 为研究空间几何图形, 我们采用代数的方法. 首先引入空间直角坐标系, 故空间中的点与一个三元数组形成一一对应, 进而空间几何图形与一个数集相对应. 为后续研究的简便性, 引入向量的概念及其相关运算. 基于空间直线和平面的几何特征, 结合向量的相关性质, 给出空间直线和平面的方程及其位置关系. 最后由空间图形与代数方程的关系, 给出一些常见的空间曲线和曲面的方程. 在具体的教学过程中, 我们将该章分为以下四讲: ( 1) 空间直角坐标系; ( 2) 向量及其相关运算; ( 3) 直线和平面的方程及其位置关系的判定; ( 4) 常见的空间曲线和曲面.

2. 以数学史为导入, 蕴含的数学思想与方法贯穿始终

每个人都是从听故事中长大的, 故而数学故事最能激起学生学习数学的兴趣. 然而, 数学故事不同于文学作品, 数学典故和数学知识的来龙去脉的讲演固然重要, 重点却应该是了解蕴含其中的数学思想和方法. 空间解析几何始于笛卡尔和费马研究, 但笛卡尔侧重从轨迹出发后寻找它的方程, 而费马却是从方程出发研究它的轨迹. 可谓是异途同归, 两者都沟通了图形和方程的联系, 体现了数形结合的思想. 故在教学中, 不仅要求学生能将空间几何图形与对应的方程互相转换, 还要能将空间几何图形之间的关系与对应的方程之间的关系进行互相转换.

3. 课堂内容丰富多彩, 讲授方式灵活多变

教师课堂讲授内容的来源大致可归结为如下四个方面: 课本的知识, 相关的历史, 生活实际的问题, 专业上的应用. 虽然课堂上主要讲授的是课本的知识, 但是为让学习更具趣味性、思考性和应用性, 教师通常需要将上述的内容进行有机的融合. 从相关的历史中, 学生可了解知识的来龙去脉, 感受思想和方法上的变化; 从生活中的问题里, 学生可感受到高数就在身边, 它真实地存在于我们的生活之中; 从专业上的应用上, 学生能领悟到高数在专业学习中的作用, 进而激发他们学习数学的热情. 在选择好的内容后, 教师还需要充分发挥自己的能动性, 通过自己对这些内容的理解并进行恰当地编排, 以不同的方式方法进行讲授.

例如: 在讲授空间直角坐标系时, 我们是这样考虑的:

( 1) 先用多媒体呈现一个场景: 有一个6 层的大型商场, 外型像一个超大的长方体, 内部呈“回”字型, 中间是有顶的大厅. 你现在要去该商场不同楼层且不同方位的6 个商铺采购, 请问你根据商场一楼的各楼层的商铺分布平面图, 如何对这些商铺的空间位置定位?

( 2) 让学生互相讨论, 抽几个同学来回答. 然后启发他们怎么从数学的角度去解决.

( 3) 引入直角坐标系的相关概念. 通过教师笔直站在墙角, 左右手呈90 度, 以身体所在的直线为z轴, 以左、右手所在的直线分别为x、y轴, 头、左手、右手所指的方向为相应轴的正方向, 从而将大楼一分为八, 对前面的相关概念给出一个直观的认识. 进而为提出的问题提供一种解决方法.

( 4) 让学生体会这里面蕴含的思想和方法, 再让他们自己举出生活和专业上应用这些思想和方法的实例.

二、综合运用现代化教育技术及资源

1. 合理使用多媒体教学

对于点、线、面等简单的图形, 教师在黑板上容易实现, 与此同时学生也可在稿纸上进行练习. 但对于稍微复杂的二次曲面, 在黑板上绘图就费时费力, 涉及图形的翻转、旋转, 曲线生成曲面的动态演示, 曲面和曲面的交线等问题时, 就只能靠个人的空间想象能力了. 很多学生就会在想象的空间里迷失, 因而课堂上就难以达到预期的教学效果. 这时, 就要借助于多媒体进行静态与动态的展示, 从各个角度演示空间几何图形, 最好能以动画的形式演示这些图形的形成过程. 另外, 结合现实生活中一些应用曲面的实物和图片, 来进一步说明图形的形状与特征, 以此加强学生对图形的认识和空间想象力的培养.

2. 引入数学软件的教学

尽管计算机技术是每位大学生必修的课程, 但是对于绝大部分同学而言, 解决数学问题仍然停留在纸笔的阶段, 几乎很少借助于计算机. 但可以预见, 信息化快速发展的未来, 越来越多的人将会借助于计算机来完成自己的工作, 从而某些数学计算、数据和图形处理与加工等问题只需人们利用相应的数学软件来解决. 为此, 数学软件的教学是未来的一种必然趋势.

目前, 非数学专业使用得最多的数学软件是Matlab ( Matrix Laboratory) . 空间曲线、柱面、旋转曲面、二次曲面等的绘图动能通过该软件实现, 还能通过动画的形式演示曲线、曲面的形成和变化过程, 以及完成对图形的翻转和旋转等. 引入数学软件的教学, 不仅将他们从一些复杂的计算和图形处理等问题中解脱出来, 而且能让学生更好地理解所学知识, 提高用计算机处理数学问题的能力, 进而激发他们的学习兴趣.

3. 适当使用手机和电脑进行高数学习与讨论

随着经济水平的提高和科技的快速发展, 很多大学生都购买了电脑; 至于手机, 几乎所有的在校大学生人手一台, 而且大部分都是智能手机. 可是有很大一部分同学使用电脑和手机的主要目的是玩游戏, 或看连续剧, 或聊天. 大把的时间都这么浪费了, 很是让人痛心. 让我们的学生尽可能地利用手机和电脑来进行学习, 这显然是不太现实的. 但我们的教师在课堂上可利用一些手段和方法引导学生, 将他们在手机和电脑上的关注的内容适当地进行转移. 比如有针对性地提供高数教学课件和视频的网址 ( “国家精品课程资源网”值得推荐) , 让他们课后观看和讨论预留的相关问题; 利用QQ或微信或公共邮箱建立高数交流圈, 让学生及时地提交好的高数资料或网络资源链接, 以及遇到的高数难题并相互讨论; 适当地推荐一些寓教于乐的关于高数的文章和益智游戏. 在空间解析几何这章中, 我们向学生介绍了《平衡球》、《3d迷宫》两款益智游戏, 产生了比较好的效果. 学生在玩的过程中, 不仅收获了快乐, 无形中也培养了他们的空间想象能力.

三、以学生为主体

1. 穿插自学环节, 诱导学生思考并解决问题

高等数学作为一门基础课程, 教师不仅要让学生掌握相关的数学概念、定理、公式和计算方法, 还要培养学生的自学能力、独立思考和解决问题的能力, 这也是高等教育培养目标之一. 但因高等数学的教学任务重, 课时少, 如何在完成教学任务的同时, 培养学生这方面的能力呢?

对于一些和高中数学有衔接的内容或难度不大的新内容, 可以考虑让学生在课堂上花一些时间来自学, 然后通过一些问题让他们积极思考并解答, 最后让他们提出还没搞懂的问题. 下面以空间的直线方程这部分内容为例. 在学生自学这部分内容之前, 我们将一些问题在黑板上或借助于多媒体进行展示, 让他们带着这些问题边看边思考. 问题设计如下:

( 1) 直线的几何特征是什么? 在给定的直角坐标系下, 如何利用直线的几何特征, 转化为相应的代数方程? 反过来, 什么样的代数方程表示一条空间直线?

( 2) 空间直线的方程有几种不同的表达形式? 相互之间如何进行转化? 从几何上, 怎样更好地理解这些表达式?

( 3) 对于直角坐标系x Oy平面的直线, 在空间直角坐标系中如何写出它的方程, 两个方程有什么异同?

2. 独立思考为主, 互相讨论、协调合作为辅

培养学生的独立思考和分析能力, 是高等数学教育培养的一个重要目标. 确实, 不管在教学的过程中, 还是作业的布置, 或者考核的方式上, 教师在这方面做了很多努力, 但是对于团队学习和协调合作却很少触及. 自己的独立思考有利于自身思维的发展和知识的认知, 但即使对于同样的内容, 每个人的学习的方式方法、思维、表达等有所不同, 而通过团队的学习、探讨和合作, 不仅可学习别人好的思维模式、处理方式等, 也可发现自身在学习上的问题, 还可培养同学之间的合作意识与协同完成任务的能力.

因教学的时间有限, 我们主要在以下三个地方实施团队讨论学习模式: ( 1) 自学后, 回答教师设计的问题; ( 2) 有多种解法的习题; ( 3) 每章学完后, 该章的具有逻辑结构的知识脉络图. 课堂内, 我们以邻近的3 - 5 人为一个学习小组; 课堂外, 我们以同一个宿舍的所有成员为一个学习小组 ( 一般是4 名同学, 因我院的学生是四个人一个宿舍) . 对于学习小组在课堂讨论的结果, 我们会抽查几组在黑板上进行黑板秀或口头陈述, 最后给予点评, 从而让他们比较自己组和别组同学的结果, 吸收别人好的想法和方法. 对于课后讨论的结果, 我们对做的好的小组予以表扬, 利用多媒体对他们的结果进行展示, 另外进一步完善他们的结果, 补充一些他们没有想到的方法.

3. 理论联系实际, 培养动手能力

通过将理论联系实际, 借此来培养学生的动手能力, 进而提高学生的综合素质. 因高等数学里的数学思想和方法有其普性, 这门课程又是众多专业专业课学习的基础, 所以教师有必要将动手能力的培养提高到一个新的高度, 从而为专业的学习与应用奠定坚实的数学基础. 然而, 对于现在的大学生而言, 让他们从“看一看、摸一摸、摆一摆、做一做”中去摸索和探讨数学的相关概念, 似乎显得有些难为情, 认为这是小学生才干的事. 如果给一个实际的问题, 让他们用所学的数学知识来解答 ( 通常要建立数学模型) , 他们中的部分人又难以解决. 可以说, 现在的很多学生都是“眼高手低”.

为培养学生的动手能力, 教师可通过具体的例子来进行操作. 在讲到柱面和旋转曲面时, 可让学生观察教室的相关物品, 找出具有柱面和旋转曲面特征的物体, 分析相应曲面的母线、准线、旋转轴等, 反过来利用这些曲线来生成柱面和旋转曲面, 最后在稿纸上画出这些图形. 在讲二次曲面时, 教师可事先让空间想象能力不好的同学准备几块橡皮泥, 在课堂上讲完相关的概念并通过多媒体展示后, 让他们用橡皮泥来捏一些二次曲面的图形, 多角度地进行观察, 以此来加强图形的认识和理解. 与此同时, 让空间想象能力好的同学在脑海中生成这些曲面的图形, 让这些图形在脑海中产生旋转、翻转甚至扭曲, 以此进一步提高空间想象能力. 课后, 我们让学生四人为一组, 利用所学习的空间曲面和曲线, 设计一个具有美感和实用性的生活用品, 例如水杯、饭盒、脸盆等, 可提交实际的作品也可以画一些设计示意图, 以此计入学生的平时成绩.

以上只是结合教学实践概括的一些教学想法. 我们深知我们在高等数学教学之路上, 仍然任重而道远.

参考文献

[1]杨金远.发展学生动手能力的一种有效方法——高等数学综合作业[J].吉林化工学院学报, 1991, 8 (6) :39-41.

[2]巩子坤.论数学思想方法视域下的解析几何课程改革[J].曲阜师范大学学报, 2006, 32 (1) :125-128.

[3]同济大学数学系.高等数学 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[4]赵志新, 费忠华, 吴建成, 李博.大学数学实践性教学模式的构建与实践[J].中国高教研究, 2008, (3) :92-93.

高中数学2空间几何体 篇8

关键词：高中 立体几何 数学

立体几何是高中数学教学的重点与难点之一，而学生对立体几何抵触情绪较大，认为立体几何抽象难懂，枯燥深奥，而失去了学习的动机与热情。其根本原因就在于学生并没有形成较好的空间想象能力。空间想象能力是学好立体几何的关键所在。

一、引导学生认真观察

“观察是思维的窗口，没有它，智慧的阳光就照不进脑海。”精辟地指出了观察在科学探究与发现中的重要性。学生只有认真观察、学会观察，才能打开通往几何空间的大门，这正是培养学生空间想象能力的重要条件。因此在教学中教师要引导学生认真观察，让学生在观察中积累丰富的思维表象。

1.观察数学模型，即教学中所使用的立体几何教具，如最基本的立方体、长方体、棱柱、棱锥等。模型更为直观形象，学生通过认真观察可以建立最为直观而形象的感性认知，积累丰富的表象材料，从而利于学生将这些基本的模型存储于头脑之中。

2.观察生活实物。数学模型毕竟有限，并不能全面地反映数学世界。而生活则不同，数学本身就是一门植根于生活世界的自然学科，可以说现实生活中处处都有数学的影子。在立体几何的教学中我们同样不能割裂数学与生活的关系，而是要引导学生将数学的视野引向宽广的现实生活，让学生来观察生活实物。这样既可以拉近学生与教学的距离，激起学生更大的学习热情，同时也可以让学生认识到数学与生活的关系，更加利于学生对原本抽象而深奥的知识的深刻理解。如教室就是一个长方体，教室的墙角就是相交于一点的三条两两垂直的直线或是三个两两垂直的平面。

3.观察白板演示。电子白板具有很强的动态演示功能，具有传统教学手段所不具备的直观感、立体感与动态感，可以将空间形象的展示与运动观念的形成结合起来，构筑动态的空间图形，这样更能拓展学生的想象空间，增强空间观念，培养学生的空间想象能力。如立体图形的侧面展开，教师就可以充分利用电子白板的动态演示功能，将整个过程动态而直观地呈现在学生面前，从立体图形到平面图形，再由平面图形到立体图形，这样更能增强学生的空间想象能力。

二、鼓励学生动手操作

学生空间想象能力差，觉得立体几何难学的一个重要原因就在于受平面几何的影响，总是习惯于从平面的角度来思考。引导学生动手操作，手脑并用，在直观的操作中获取第一手直观而形象的认知，化抽象为形象，这是解决这一问题的根本。这也正是培养学生空间想象能力的重要方法。

1.动手做模型。尤其对于是高一新生来说，让学生对基本的立体图形有一个直观而深刻的认知是学习立体几何的基础与关键。为此，在教学中教师可以让学生来亲自动手利用身边一切可以利用的材料来制作一些基本的数学模型。让学生在做的过程中动手动脑，通过操作来将这些基本的图形存入学生的头脑，这样才能增强学生的空间立体感，为学生更好地学习立体几何打下坚实的基础。

2.动手做演示。对于一些不能直接在模型中展现的内容，我们可以让学生利用身边的材料动手来进行演示。如让学生利用教材、课桌等来演示异面直线、二面角，直观地演示两个面分别垂直的两个二面角没有任何关系。这样通过学生的动态演示，在学生眼中这些基本的概念不再只是简单的记忆，而是深入本质的理解，是动态而立体地存储于学生的头脑中，学生可以自行地进行图形的转换。

3.动手中求知。如对于不规则几何体体积的求解这是一个难点，为了让学生更加透彻地理解与掌握通过拼凑与切割成规则几何体这两种方法，教师就可以让学生亲自动手，让学生在做中求知。这样学生通过亲自操作，将不规则几何体转化成规则几何体，这样不仅可以帮助学生突破这一重难点，让学生真正地理解、掌握学习方法，同时也可以让学生在操作中来增强空间立体感，培养学生的空间想象能力。

三、指导学生学会画图

具备一定的识图、画图与作图能力是新课改下高中数学教学的重要目标，是学生所必备的一项数学素质，也是培养学生空间想象能力的一个重要方面。因此，在教学中教师要重视学生识图与作图技能的培养。这样学生才能实现图与形之间的转换，建立图形、文字与符号的直接联系。其中最为重要的一点就是要改变学生以往平面几何式的视觉习惯，认识到图形与实物之间的差别，能够掌握图形对照，以图思形，以形绘图等基本的方法。只有当学生认识到立体图形与平面图形与实物之间的差异，学生才能准确地读图、识图，进而能够正确绘图，能够在图与形之间实现转换，进而更好地学习立体几何，培养学生的空间想象能力。当然还要发挥教师的示范作用，教师只有绘得一手好图，才能更好地传授学生方法，让学生以此为榜样更好地识图与绘图。

总之，空间想象能力是学好立体几何的关键，同时也是立体几何教学的重要目标。这是一个从无到有，从有到好的发展过程，并不是一蹴而就的，而是需要一个长期的过程。这就需要教师要用耐心、细心与恒心，要着眼于整个高中阶段的教学，真正做到以学生为出发点，有阶段，有计划、有步骤地展开，贯穿于教学的始末，这样才能激起学生更大的学习热情，引导学生主动参与其中，以不断增强学好的信心，找到正确的学习方法，这样才能促进学生空间想象能力的提高，实现课堂教学效益的整体提高。