空间几何分析

2024-10-16

空间几何分析（精选9篇）

空间几何分析篇1

摘要：高中数学空间几何体角与距离的学习一直是高中数学教学的重、难点, 由于开发的难度大, 国内外现有的空间几何体学习支撑工具的功能并不是十分完善, 尤其是在角与距离问题的解决上缺乏针对性。本文针对国内外现有的高中数学空间几何体学习支撑工具进行比较, 分析其针对角与距离问题解决上的优缺点, 为更好地设计与开发空间几何体角与距离学习支撑工具提供一定的参考价值。

关键词：高中数学,空间几何体,角与距离,学习支撑工具

数学学科在基础教育知识体系占有很重要的地位, 为了满足教学的需要, 国内外开发的此类软件的种类很多, 但真正适合教师和学生用来学习空间几何的软件少之又少, 难以满足教学需要。事实上, 几何是中学教学中的重点, 空间几何则是其中的难点[1], 在空间几何的学习过程中, 空间几何体角与距离的学习是其中的重、难点, 主要原因是空间几何体习题的解决需要学生建立空间想象能力, 在空间几何体角与距离问题的学习中主要内容包括:线线角、线面角、二面角、点线距、点面距、异面直线的距离。其中, 线面角、二面角、异面直线的距离都需要学生在立体空间中来解决, 脱离了平面, 在找角或找距离的时候非常的困难, 不好理解, 学生在学习这部分知识的时候只能借助自己的空间想象能力再加上教师的解释来强行理解, 因此学习的效果不是很好, 而这部分知识又是高考中的重点知识, 因此, 需要相关的学习支撑工具来解决此类问题, 提高教学质量, 从而提高教学效率。

●高中数学空间几何体教学软件的分类及简介

国内外针对数学学科的教学需求开发的软件颇多, 比较突出的有几何画板、GeoGebra、Geometry Expressions、Z+Z智能教育平台系列中面向平面几何的超级画板、Cabri3D、玲珑3D, 下面就针对这几款软件进行简单介绍。

1.几何画板

几何画板是适用于数学、平面几何、物理的矢量分析、作图, 函数作图的动态几何工具。几何画板软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教育软件, 1996年该公司授权人民教育出版社在中国发行该软件的中文版。几何画板能够构建数学模型、揭示数学规律、直观反映数学变化、动态保持形数关系, 它以点、线、圆为基本元素, 通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等, 显示或构造出千变万化的图形。为教师和学生提供了直观、方便、快捷、准确的图形表现工具, 使学生在图形的运动和变化的过程中, 观察、归纳出图形的数量关系和图形性质。几何画板适用于几何 (平面几何、解析几何、射影几何等) 的教学。

2.GeoGebra

GeoGebra是一款结合“几何”、“代数”与“微积分”的动态数学软件, 它是由美国罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的。一方面来说, Geo Gebra是一个动态的几何软件, 您可以在上面画点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线, 甚至是函数, 事后还可以改变它们的属性;另一方面来说, 可以直接输入方程和点坐标。所以, Geo Gebra也有处理变数的能力 (这些变数可以是一个数字、角度、向量或点坐标) , 它也可以对函数作微分与积分, 找出方程的根或计算函数的极大极小值。所以Geo Gebra同时具有处理代数与几何的功能。但正是由于Geo Gebra具有了多种功能, 所以, 在每一部分的功能上并不是十分的完善, 并且在打开软件时默认的界面含有坐标系, 这样会影响图形的构建, 默认状态下应该是空白状态, 方便教师和学生使用。

3.Geometry Expressions

Geometry Expressions是一款世界领先的交互式符号几何系统。这就意味着:几何图形可以按照符号几何或者数字领域进行定义。绘图因为有了参数和符号动画而显得生动起来;有了新的符号约束, 所有的一般建筑结构都可以很好地展现。Geometry Expressions的功能界面略显复杂, 包含的功能十分多, 特色的地方就是能够将图形与参数相对应, 但是由于参数的复杂性, 它虽然能够很容易地计算出相应的面积和周长等所需要的答案, 但是不利于学生的理解。

4.Z+Z智能教育平台——超级画板

“Z+Z智能教育平台”是由我国著名数学家、计算机科学家、著名科普作家、中国科学院院士张景中教授主持策划和开发的。超级画板兼顾几何与代数的教学, 并具有自动推理、编程与宏工具的制作等高级功能, 可选择空间比较大, 但是需要教师掌握的功能也很多。“Z+Z智能教育平台”是为我国的基础教育量身定做的[2], Z+Z智能教育平台系列中的立体几何其自动推理功能非常强大, 不仅能让机器自动推理, 还能让用户进行交互式推理, 并且还能对用户的解答给出评价和修改。但由于其几何图形的显示和交互方面存在一定的缺陷, 因此并不适用于当前的立体几何教学。

5.Cabri3D

法国的Cabri3D于2004年推出, 是世界第一款专门针对立体几何学习的辅助教学软件, 基于Cabri3D的计算机辅助教学法有助于培养学生的立体感, 提高学生的空间想象能力, 大大改善立体几何的教学质量, 对提高学生数学成绩具有正面影响力, 但其只是一款动态几何绘制软件, 并没有自动推理及其相关的功能, 因此学生不能方便地去探究图中几何元素之间的关系, 也无法让计算机去辅助其学习定理的证明等。Cabri3D软件中所以提供的空间几何图形需要手动操作, 比较麻烦, 绘图时很费时间, 所提供的图形不够全面, 比如说球体。

6.玲珑3D

玲珑3D是一款好用、实用、灵活、方便的动态数学教学软件。能动态展示几何、函数等图形, 具有创新性、实用性, 适用于高中、初中、小学数学教师及学生, 是一款不错的教学辅助软件。可以真实地体现三维空间, 进行教学动画演示, 但是玲珑3D不能提供现成的棱锥、棱台、球体、圆柱的立体图形, 因此为空间几何体角与距离的学习带来不便, 因为这些图形是比较难画的, 教师和学生创作这些图形将会浪费太多时间。

●六种学习支撑工具在问题解决上的对比分析

通过对六种学习支撑工具的研究与分析, 我们得出了其在解决空间几何体角与距离问题上的对比分析表 (如下表) , 空间几何体角与距离问题主要可以归类为线线角、线面角、二面角、点线距、点面距、异面直线的距离这六大方面, 下表也主要从这六个方面进行对比分析。

从分析表中我们可以清楚地看到, 这六种空间几何体学习支撑工具在解决角与距离六大问题上的局限性, 目前并没有一款软件可以同时解决空间几何体角与距离中的六大知识点, 因此需要开发新的学习支撑工具来满足现阶段高中数学空间几何体的学习, 培养学生的空间想象能力, 进一步将教学重难点易化, 保证教学质量, 提高教学效率。

●研究结论

目前, 缺乏高质量的高中数学空间几何体角与距离学习支撑工具, 己经制约了信息技术和空间几何体角与距离学习的有效整合。由于各类学习支撑工具中角与距离学习的功能不是十分完善, 因此在空间几何角与距离问题的解决上更是缺乏针对性。在数字化学习环境下高中数学空间几何体角与距离学习存在的主要问题包括以下几点:

注: (√代表能够解决此类问题, ×代表不能解决此类问题)

(1) 现有软件大都只具备平面几何功能而缺少立体几何相关的功能。

(2) 现有教学缺乏针对性, 缺少典型案例库。

(3) 现有学习缺少具有针对性的学习支撑工具。

针对这些问题需要开发和设计相关的高中数学空间几何体学习支撑工具来解决在学习此类问题时遇到的困难。

●结束语

笔者希望能够研究设计一款学习支撑工具来解决空间几何体角与距离问题, 空间几何体角与距离可以划分为线线角、线面角、二面角、点线距、点面距, 异面直线距离这六大类, 能够利用三维解决空间几何前所未有的难题, 所设计的学习支撑工具包含所有典型空间几何角与距离问题, 通过对各种题型的分析理解, 能够让学生掌握两种方法求解空间几何角与距离问题, 总结此类问题的各种题型和解题思路, 从而建立学生的空间想象能力, 提高运算能力。我们期待着这一问题的提出能为新课程改革中的高中数学空间几何体成角与距离的教学带来应用创新。

参考文献

[1]刘郑, 陈矛.中学立体几何智能教育软件的设计与实现[J].中国电化教育, 2011 (01) .

[2]张景中.我们为什么要做“Z+Z”[N].中国教育报, 2004-1-13.

空间几何分析篇2

1、空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系

立体几何体的教学，侧重空间想象能力的培养，它是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志。

根据这一要求，北师大版教材在编排上，考虑到了对空间几何体的认识。我设想：在学习知识前，①先让学生以小组的形式，分工用纸板做长方体、圆柱、椎体、棱台，用十二支吸管做一个正方体模型（这要求每两人可共用一个，这些都成为今后教学的模型），通过动手做模型，()搭建思维的空间框架，同时通过做模型，学生了解这些模型的结构特征，为学习第一章《立体几何初步》做了良好的铺垫（如结构、三视图，表面积）；②要求从书中找出二十个图，让学生画图形，学生自己先感觉，在平面上怎么去画出空间的立体图形，使学生在学空间几何体之前，自己先感受空间图形，希望他们尽快从二维走向三维，有利于第二章的教学，帮助学生完成了具体模型到抽象直观图的认识过程。北师大版高中数学编排上，很大篇幅都是采用长方体来解读空间中的直线与直线、直线与面、面与面之间的位置关系，让学生使用自己的作品，帮助自己建立空间想象，使学生养成动手习惯，当遇到无图的题目时，把教室当成模型，利用手中的笔（线）、本（面），能摆出题设的模型，如需要，还要能画出图；当遇到有图的题目时，如分不清，能动手摆出大概的模式，帮助自己分清。

2、直线与方程、圆与方程

解析几何是17世纪数学发展的重要成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。

数形结合是本模块重要的数学思想，这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性和“数”的严谨性。例如：直线和圆是学生非常熟悉的两种图形，学生已经知道如何从“形”的角度分析直线和圆的位置关系，那么，如何从“数”的角度刻画它们之间的位置关系呢？北师大版高中数学的教材编的很好，教材中采用了方程组求直线与圆的交点的方法，也采用通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断的方法。这样，在将学生所学知识加以整合和升华的同时，也为后续内容（直线和圆锥曲线的位置关系）的学习奠定了基础。

我设想，教学过程应“接头续尾，注重过程”。通过引导，使学生经历下列过程：首先建立坐标系，将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其相互关系；进而，将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结论的几何含义，最终解决几何问题。通过上述活动，使学生感受到解析几何研究问题的一般程序。由“形”问题转化为“数”问题研究，同时数形结合的思想，还应包含构造“形”来体会问题本质，开拓思路，进而解决“数”的问题。

《空间几何体》教学感悟篇3

相对于以往的教材, 课标教材对于《空间几何体》的教材内容的设置缺乏系统性, 教师在教学中应加强教材的研究, 适时地进行教材重组, 使教学能够更具有实效性, 更能发挥学生学习的主动性。笔者就教学中的一点感悟总结如下。

空间几何体的结构教学定位:

“1.1空间几何体的结构”这一节, 主要学习了柱、锥、台、球的结构特征。相比较于旧教材, 课标教材对于柱、锥、台、球的概念、分类显得过于简单, 没有正棱柱、正棱锥、正棱台等概念。这是由于学生没有点、线、面的位置关系知识作铺垫。

1.在教学中应该补充棱柱体对角线的概念, 特别是长方体的体对角线的概念, 以便来区分面对角线, 学生也易于接受这个概念。并且强调, 在立体几何中, 长方体的对角线这个概念特指体对角线。这对于解答球内接长方体的相关题目有帮助。

在教学中, 应该让学生明确球内接长方体的体对角线即是球的直径, 这类比于平面几何中圆内接长方形的对角线是圆的直径。

2.在“1.2空间几何体的三视图和直观图”“1.3空间几何体的表面积与体积”“第二章点、直线、平面之间的位置关系”的教材内容中, 都穿插着常见的空间几何体的概念。

案例1课标教材P22练习4, 用斜二测画法画出五棱锥P-ABCDE的直观图, 其中底面ABCDE是正五边形, 点P在底面的投影是正五边形的中心O。

案例2课标教材P41B组4, 一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下, 然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥 (底面是正方形, 从顶点向底面作垂线, 垂足是底面中心的四棱锥) 形容器, 试把容器的容积V表示为x的函数。

通过这两个题目的解答, 即便学生不学习点、线、面的位置关系, 也会理解正棱锥的概念。此时补充正棱锥的概念, 学生也会易于接受。再如课标教材P73则定义了直四棱柱的概念。

3.关于组合体、截面问题。

(1) 课标教材关于组合体的构成给出了两种基本形式:拼接和截去或挖去。在教学中应该明确研究组合体的两种思想:合理的组合与合理的分解。

案例3如下图, 长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=4, BC=2, , 点E是AB的中点, 过点C1、D、E的平面交BB1于F。

(1) 求证:EF∥DC1;

(2) 求几何体BEF-CDC1体积。

在解答第 (2) 问时, 合理地把几何体BEF-CDC1分解为三棱锥C1-DEC和四棱锥E-BFC1C来求体积, 要比先证明几何体BEF-CDC1是台体, 然后利用台体体积公式来求要简单得多。

(2) 在教学中注重对于以下几何体的组合问题的教学:

球内接长方体;正方体的内切球;圆柱与棱柱的组合;圆锥与圆柱的组合;等等。

(2006山东卷) 正方体的内切球和外接球的半径之比为 ()

此类问题主要考查几个组合体之间的度量之间的关系。

(3) 截面问题。轴截面。

(1) 特殊的截面:旋转体的轴截面, 球的截面圆:大圆、小圆。应该在教学中适当的补充。这对于学生画一些空间几何体三视图和解答有关组合体体积、面积问题的基础。

案例5 (如右图) 在底半径为2, 母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱, 求圆柱的表面积。

此类问题主要考察旋转体的轴截面。

(2) 一般的截面问题:在教材第二章学习过程中经常会遇到一般的截面问题。截面的作图要依据第二章相关的知识。

案例6 (2006湖南卷) 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如右图, 则图中三角形 (正四面体的截面) 的面积是 ()

向量代数与空间解析几何篇4

向量代数：向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量积，两向量平行与垂直的条件。平面与直线：会利用已知条件求平面的方程、直线的方程。

曲面与空间曲线：了解曲面的概念，如坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在坐标面上的投影。

2．多元函数微分学

多元函数：会求简单的二元函数的极限与判断二元函数的连续性。

偏导数与全微分：偏导数的计算，复合函数二阶偏导数的求法、隐函数的求偏导；会求全微分；偏导数的应用：方向导数和梯度；空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；最大值、最小值问题，条件极值，拉格朗日乘数法。

3．多元函数积分学

二重积分：化二重积分为二次积分、交换二次积分的次序；二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；利用二重积分求曲面面积、立体体积。

三重积分：三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；

曲线积分：两类曲线积分的计算方法；格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

曲面积分：两类曲面积分的计算方法；高斯公式。

4．无穷级数

常数项级数：级数收敛的判定，几何级数和P—级数的敛散性；正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。

幂级数：较简单的幂级数的收敛半径和收敛域的求法，幂级数求和函数；函数展开成幂级数。傅里叶级数：函数展开为傅里叶级数，函数与和函数的关系，函数展开为正弦或余弦级数。

5．常微分方程

可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程。利用切线斜率建立简单的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的数量积、向量积计算公式；

2、全微分公式；

3、方向导数公式；

4、拉格朗日乘数法；

5、格林公式、高斯公式；

6、函数的麦克劳林展开公式。

巧用法向量解决空间几何问题篇5

1.斜线与平面所成的角

先将斜线和平面所成的角转化为两直线所成的角, 再转化为向量的夹角.设直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m軖和n軋, 若m軖与n軋的夹角不大于90°时, 直线a与平面α所成的角等于m軖与n軋的夹角的余角;若m軖与n軋的夹角大于90°时, 直线a与平面α所成的角等于m軖与n軋的夹角的补角的余角, 所以直线a与平面α所成的角

例1如图1所示, 四边形ABCD是直角梯形, AD//BC, ∠ABC=90°, SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=1, , 求SC与平面ABCD所成的角.

解:是平面ABCD的法向量, 设的夹角为φ, 选作为空间向量的一组基底.

2.二面角

将二面角的问题转化为求法向量的夹角的问题.设平面α与平面β的法向量分别为m軖和n軋, 则所求的二面角θ与的夹角相等或互补.

当二面α-l-β大于90°时, 则二面角当二面角a-l-β小于90°时, 则二面角

例2在例1中已知条件不变的情况下, 求平面SCD与平面SBA所成的二面角的大小.

解:以A点为坐标原点, BA, AD, AS所在直线分别为x, y, z轴建立如图2所示的空间直角坐标系, 则S (0, 0, 1) , C (-1, 1, 0) , D (0, , 0) ,

设平面SCD的法向量为= (x, y, z) ,

二、求空间距离

1.点到平面的距离

先确定平面的法向量, 再求点与平面上任意一点的连线段在平面的法向量上的射影长.设= (A, B, C) 是平面α的法向量, p0 (x0, y0, z0) 为平面α外的任意一点, p (x, y, z) 是平面α内任意一点, 则p0到平面α的距离为

例3如图3所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的, 其中AB=4, BC=2, CC1=3, BE=1, 求点C到平面AEC1F的距离.

解:建立如图所示的空间直角坐标系, 则D (0, 0, 0) , B (2, 4, 0) , A (2, 0, 0) , C (0, 4, 0) , E (2, 4, 1) , C1 (0, 4, 3) , 设F (0, 0, k) , ∵AEC1F为平行四边形,

2.直线到与它平行的平面的距离

先确定平面的法向量, 再求直线上一点到平面上一点的连线段在法向量上的射影长.设n軋为平面α的法向量, A、B分别为直线和平面上的任意两点, 则直线AB到平面α的距离为

例4如图4所示, 已知边长为4姨2的正三角形ABC中, E、F分别为BC和AC的中点, PA⊥平面ABC, 且PA=2, 设平面α过PF且与AE平行, 求AE与平面α间的距离.

解:设的单位向量分别为作为空间向量的一组基底.易知, ,

3.两平行平面间的距离

类似于直线与它平行的平面间的距离, 设n軋为两平行平面的一个法向量, A、B分别为平行平面上的任意两点, 则两平行平面间的距离为

例5正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N, E, F分别是棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点.

(1) 求证:平面AMN//平面EFDB;

(2) 求平面AMN与平面EFDB的距离.

证明: (1) 建立如图5所示的以D点为坐标原点的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1, 则D (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , A1 (1, 0, 1) , B (1, 1, 0) , B1 (1, 1, 1) , C (0, 1, 0) , C1 (0, 1, 1) , D1 (0, 0, 1) ,

∴MN//EF//BD, AN//EB,

∴平面AMN//平面EFDB.

(2) 略.

复射影空间上的几何篇6

关键词：复射影空间,Fubini-study度量,全纯截面曲率,流形

一、复射影空间的构造

设Cn+1中的点表示为z= (z1, …, zn+1) , Cn+1-{0}= $\cup_{i = 1}^{n + 1}$ Ui, 其中Ui={z∈Cn+1-{0}|zi≠0}.设～为Cn+1-{0}上的一个等价关系z～w⇔∃λ∈C, λ≠0, 使得z=λw.用[z]={w∈Cn+1-{0}|w～z}表示z的等价类.对于任一个子集A⊂Cn+1-{0}, 用[A]= $\underset{z \in A}{\cup}$ [z]表示A中元素等价类的集合.以Cn+1-{0}/～表示等价类的集合.自然射影π (z) =[z]是连续映射.称拓扑空间Cn+1-{0}/～是Cn+1-{0}关于等价类～的商拓扑空间.此商空间即为n维复射影空间CPn.因此, CPn=Cn+1-{0}/～={[z]|z∈Cn+1-{0}}, 其中[z]={w∈Cn+1-{0}|w=λz, λ∈C, λ≠0}可看作为Cn+1中过原点的复直线.可见, 复射影空间CPn为复空间Cn+1中过原点的复直线的集合, 而且CPn是一个n维复流形.确定CPn的坐标图{ (Uα, ϕα) }.令 $\bar{U}_{α} = {z \in C^{n + 1} - {0} | z^{α} \neq 0} ‚ α = 1, \dots, n + 1$ , 则 $(ⅰ) \bar{U}_{α} \subset C^{n + 1} - {0}$ 且为开集; (ⅱ) $\cup_{α = 1}^{n + 1}$ $\bar{U}_{α} = C^{n + 1} - {0}$ .令 $U_{α} = π (\bar{U}_{α}) = {[z] | z \in C^{n + 1} - {0}, z^{α} \neq 0} ‚ α = 1, \dots, n + 1$ , 则根据商拓扑定义知,

(ⅰ) Uα⊂CPn且为开集; (ⅱ) $\cup_{α = 1}^{n + 1}$ Uα=CPn.

对于∀[z]∈Uα, zα≠0, α=1, …, n+1有ϕα ([z]) = $\frac{z^{1}}{z^{α}} ‚ \dots ‚ \frac{z^{α - 1}}{z^{α}}, \frac{z^{α + 1}}{z^{α}}, \dots, \frac{z^{n + 1}}{z^{α}}$ .可以证明映射ϕα:Uα→Cn是完全确定的、连续的、单的和满的, 即为双射.置 $_{α} ζ^{k} = \frac{z^{k}}{z^{α}} ‚ 1 \leq k \leq n + 1 ‚ k \neq α$ , 则 $ϕ_{α} ([z^{1}, \dots, z^{n + 1}]) = (_{α} ζ^{k})_{k \neq α}, \forall α = 1, \dots ‚ n + 1$ , 由同胚的定义知映射ϕα:Uα→Cn是同胚映射.在Uα∩Uβ≠∅, α≠β上, 映射ϕα:Uα∩Uβ→ϕα (Uα∩Uβ) ⊂Cn, ϕβ:Uα∩Uβ→ϕβ (Uα∩Uβ) ⊂Cn均为同胚映射.

∀[z]∈Uα∩Uβ, zα≠0, zβ≠0, 有ϕα ([z]) = (αζk) k≠α, ϕβ ([z]) = (βζγ) γ≠β, 于是转移函数为

于是, 复射影空间CPn是一个n维复流形. (z1, …, zn+1) 称为CPn的齐次坐标, (αζγ) γ≠α称为CPn的非齐次坐标.

二、复射影空间的度量

利用CPn的齐次坐标zα, 经过计算得到g整体上的表达式:

$g = \frac{(z, z) (d z, d z) - (d z, z) (z, d z)}{(z, z)^{2}} .$

其中 (, ) 表示酉积.g为CPn上的一个黎曼度量, 而且为Hermite度量, 通常称该度量为Fubini-study度量.

取CPn的非齐次坐标为z1, …, zn, 那么CPn的Fubini-study度量可记为 $g = 2 g_{i \bar{j}} d z^{i} d \bar{z}^{j}$ , 其中

gij= $\frac{(1 + \sum_{k = 1}^{n} z^{k} \bar{z}^{k}) δ_{j}^{i} - \bar{z}^{i} z^{j}}{2 (1 + \sum_{k = 1}^{n} z^{k} \bar{z}^{k})^{2}}, g_{i \bar{j}} = \bar{g}_{\bar{i} j} .$

由于 $\frac{\partial g_{i \bar{j}}}{\partial z^{l}} = \frac{\partial g_{l \bar{j}}}{\partial z^{i}}, C Ρ^{n}$ 的Fubini-study度量g是Kahler度量, 此度量下的CPn是Kahler流形.

三、复射影空间关于Fubini-study度量的全纯截面曲率

对于任意一点p∈M, 若平截面π⊂TpM关于J是不变的, 即Jπ=π, 则π称为全纯截面.此时, 截面曲率K (π) 称为π的全纯截面曲率, 记为H (π) .

CPn的Fubini-study度量记为g=2gijdzidzj, 由于g是Kahler度量, 根据Kahler度量的定义有:对于CPn切空间上的任意切向量X, Y满足XJY=JXY.

①取 $X = \frac{\partial}{\partial z^{j}} ‚ Y = \frac{\partial}{\partial z^{l}}$ , 代入上式可得:Γ $_{j l}^{\bar{k}}$ =Γ $_{l j}^{\bar{k}}$ =0.

②取 $X = \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{j}} ‚ Y = \frac{\partial}{\partial z^{l}}$ , 代入上式可得: $Γ_{\bar{j} l}^{\bar{k}} = Γ_{l \bar{j}}^{\bar{k}} = 0 .$

③取 $X = \frac{\partial}{\partial z^{j}} ‚ Y = \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{l}}$ , 代入上式可得:Γ $_{j \bar{l}}^{k}$ =Γ $_{\bar{l} j}^{k}$ =0.

④取 $X = \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{j}} ‚ Y = \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{l}}$ , 代入上式可得: $Γ_{\bar{j} \bar{l}}^{k} = Τ_{\bar{l} \bar{j}}^{k} = 0 .$

⑤由黎曼联络定义中条件Xg (Y, Z) =g (XY, Z) +g (Y, XZ) ,

取 $X = \frac{\partial}{\partial z^{j}} ‚ Y = \frac{\partial}{\partial z^{l}}, Ζ = \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{k}}$ , 代入上式得到:

$g_{m \bar{k}} Γ_{j l}^{m} = \frac{\partial g_{l \bar{k}}}{\partial z^{j}} = \frac{\partial g_{j \bar{k}}}{\partial z^{l}} .$

⑥取 $X = \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{j}}, Y = \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{l}} ‚ Ζ = \frac{\partial}{\partial z^{k}}$ , 代入上式得到:

$g_{\bar{m} k} Γ_{\bar{j} \bar{l}}^{\bar{m}} = \frac{\partial g_{\bar{l} k}}{\partial \bar{z}^{j}} = \frac{\partial g_{\bar{j} k}}{\partial \bar{z}^{l}} .$

以上六种情况分别计算出了黎曼联络系数.

根据求出的联络系数, 不为零的曲率张量分量只有四种: $R_{j k \bar{l}}^{h}, R_{j \bar{k} l}^{h}, R_{\bar{j} k \bar{l}}^{\bar{h}}, R_{\bar{j} \bar{k} l}^{\bar{h}} .$

它们的结果分别为:

$R_{j k \bar{l}}^{h} = - \frac{\partial Γ_{k j}^{h}}{\partial \bar{z}^{l}} ‚ R_{j \bar{k} l}^{h} = \frac{\partial Γ_{l j}^{h}}{\partial \bar{z}^{k}}, R_{\bar{j} k \bar{l}}^{\bar{h}} = \frac{\partial Γ_{\bar{l} \bar{j}}^{\bar{h}}}{\partial z^{k}}, R_{\bar{j} \bar{k} l}^{\bar{h}} = - \frac{\partial Γ_{\bar{k} \bar{j}}^{\bar{h}}}{\partial z^{l}} .$

对于CPn切空间上的任意单位切向量X, 以{X, JX}为幺正交基的截面, π为全纯截面, 且H (π) =H (X) =R (X, JX, X, JX) , 取 $X = \frac{1}{4} g^{j \bar{j}} (\frac{\partial}{\partial z^{j}} + \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{j}}) ‚ j$ 取1到n的任意整数, 不是求和, 则有g (X, X) =1, g (X, JX) =0, 那么, 以{X, JX}为幺正交基的全纯截面π的界面曲率为:

$\begin{array}{l} Η (π) = R (X, J X, X, J X) \\ = g (X, R (X, J X) J X) \\ = \frac{1}{4} g^{j \bar{j}} g \end{array}$

$\frac{\partial}{\partial z^{j}} + \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{j}}, R$ $\frac{\partial}{\partial z^{j}} + \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{j}}, i \frac{\partial}{\partial z^{j}} - i \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{j}}$ · $(i \frac{\partial}{\partial z^{j}} - i \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{j}}$

$= \frac{1}{4} g^{j \bar{j}} g$ $\frac{\partial}{\partial z^{j}} + \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{j}}, (R_{j j \bar{j}}^{h} - R_{j \bar{j} j}^{h}) \frac{\partial}{\partial z^{h}} + (- R_{\bar{j} j \bar{j}}^{\bar{h}} + R_{\bar{j} \bar{j} j}^{\bar{h}}) \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{h}}$

$= \frac{1}{4} g^{j \bar{j}} g$ $\frac{\partial}{\partial z^{j}} + \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{j}}, - 2 \frac{\partial Γ_{j j}^{h}}{\partial \bar{z}^{j}} \frac{\partial}{\partial z^{h}} - 2 \frac{\partial Γ_{\bar{j} \bar{j}}^{\bar{h}}}{\partial z^{j}} \frac{\partial}{\partial \bar{z}^{h}}$

$= - \frac{1}{2} g^{j \bar{j}}$ $\frac{\partial Γ_{j j}^{h}}{\partial \bar{z}^{j}} g_{\bar{j} h} + \frac{\partial Γ_{\bar{j} \bar{j}}^{\bar{h}}}{\partial z^{j}} g_{j \bar{h}}$

=4.

于是, 复射影空间CPn在Fubini-study度量g下的全纯截面曲率为4.

像常曲率黎曼空间CPn这类黎曼流形结构简单, 具有最大的对称性 (即容有最大参数的运动群) , 通过与它进行诸如曲率等几何量的比较, 从而可得到对一般黎曼流形的一系列几何和拓扑的性质.

参考文献

[1]彭家贵, 陈卿.微分几何.北京:高等教育出版社, 2002:序言.

[2]白正国.黎曼几何初步.北京:高等教育出版社, 2006:14-25.

[3]周景新, 彭翠英.关于黎曼流形的曲率张量.北华大学学报:自然科学版, 2003-4 (6) .

[4]郭瑞芝.复射影空间的黎曼结构及其体积元.湖南师范大学自然科学学报.1997, 12.

关于空间解析几何教学的探讨篇7

一、注重与中学数学知识的衔接，做好课程宏观上的引领

空间解析几何作为数学专业必开的三大专业基础课程之一，在大学一年级开设，对刚步入大学的学生来说，具有承前启后的意义.从知识内容上看，它是中学数学知识的延伸和拓展;从思想方法方面看，它是中学数学的因袭和扩张;从观念上看，它是中学数学的深化和发展.同时它为进一步学习几何后续课程和其他专业课程奠定必要的基础.由于学生熟悉中学数学的内容与方法，对于高等数学的内容体系及学习方法还比较陌生，因此，在开设这门课程时，让学生理清所学内容与中学数学知识的衔接关系，为学生学习新课程做好铺垫，对于学生学好这门课程非常重要.

教师作为一门课程的引领者，如何带学生走进课程呢?教师首先要对课程的知识体系、思想方法与背景做宏观上的引导，介绍解析几何产生的背景，了解创始人笛卡儿的生平等.空间解析几何是建立在中学平面解析几何与立体几何的基础上，引进向量代数这个工具，在立体空间建立起空间坐标系，从而建立代数与空间几何的内在联系，达到用代数方法解决几何问题的目的.它的研究对象是空间几何问题;它的基本思想是用代数方法来研究几何问题;它的基本方法是向量法与坐标法.这些语言的概括与叙述对于教师来说是容易的，但要让学生能够真正理解就是难点.在教学中，我采取了首先呈现以下知识衔接图给学生，然后再通过简单举例说明每一种关系的方式，效果很好.结合下图指出:平面几何与平面解析几何研究的对象都是平面图形，立体几何与空间解析几何研究的对象都是空间图形 (平面图形看作是空间图形特例) ，但研究问题的方法不同，空间解析几何与平面解析几何是运用解析法，即首先使空间的几何结构数量化、代数化，然后通过代数方法来讨论图形的性质.

通过举例说明解析几何与欧氏几何研究方法的不同之处，让学生初步了解解析几何研究的主要内容，理解和体会用代数方法来研究几何问题这一解析几何的基本思想，认识到解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科.

二、运用类比法，提高教学效果

数学家波利亚说:“类比是一个伟大的引路人.”所谓类比法，就是将两个研究对象具有的类似方面进行对比，根据它们在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其他方面也可能相似或相同的推理方法.类比法作为一种重要的思维方法和推理方法，是数学研究中最基本的创新思维形式，历史上的很多数学结论都是应用这种方法建立的.

空间解析几何是平面解析几何的延伸，空间解析几何与平面解析几何的基本概念和基本方法有很多相似之处，在空间解析几何的教学中合理运用类比法，有利于提高教学效果.

(一) 通过类比，了解知识的形成过程，有利于学生构建知识体系

空间解析几何中很多新的知识是在学生已有的平面解析几何知识基础上发展而来的，在知识与方法之间有着必然的联系，教师要善于引导学生发现这些联系之间存在的相似性和可比较性，为学生的学习架设类比的桥梁，使学生利用原有的认知结构有效地学习新知识，将新旧知识组成一个完整的体系.例如，在学习空间直角坐标系时，可与学过的平面直角坐标系类比，空间直角坐标系是由过空间一点两两互相垂直的三条数轴所构成，每两个坐标轴确定了一个坐标平面，可看作是一个平面直角坐标系.通过类比可以看到，坐标系由一维到二维再到三维的发展过程，由数轴的正负半轴到平面直角坐标系的四个象限，再到空间直角坐标系的八个卦限的变化历程，有利于学生掌握空间直角坐标系的有关概念，建立坐标系的知识体系.

(二) 通过类比，促进知识的迁移，有利于学生快捷理解新知识

为了使学生理解新概念，通过与旧知识进行类比，给学生以启示，使学生快捷理解新知识，巩固原来的旧知识，达到了对所学知识的正向迁移.

例如，在学习曲面与方程的概念时，首先复习曲线的方程和方程的曲线的定义，然后引导学生进一步猜想，曲面与方程之间具有怎样的对应关系，二者之间才能互称为曲面的方程和方程的图形，从而得出曲面的方程和方程的曲面的定义.再将曲面与方程和曲线与方程做如下对比:

1. 曲线与方程

在平面直角坐标系下，如果曲线C上的点与二元方程f (x, y) =0有如下对应关系:

(1) 曲线C上的任何一点的坐标 (x, y) 都是这个方程的解.

(2) 以方程f (x, y) =0的解 (x, y) 为坐标的点都在曲线C上.那么，这个方程f (x, y) =0称为曲线C的方程，曲线C称为方程的曲线 (图形) .

2. 曲面与方程

在空间直角坐标系下，如果曲面S与三元方程f (x, y, z) =0有如下对应关系:

(1) 曲面S上的任何一点的坐标都是方程f (x, y, z) =0的解.

(2) 以方程f (x, y, z) =0的解 (x, y, z) 为坐标的点都在曲面S上.那么，这个方程f (x, y, z) =0叫做曲面S的方程，而曲面S称为方程f (x, y, z) =0的图形.

通过类比发现，两个概念描述的都是图形上点的坐标与方程的解之间的紧密关系，只有这两种关系同时存在时，才能互称为曲面的方程和方程的曲面，学生在理解了曲线与方程的关系的基础上，对曲面与方程的概念的理解会更容易一些.

(三) 通过类比，克服思维定式的困扰，提高思维的创造性

学生在学习的过程中，思维受生理、客观环境等各方面因素的影响，容易产生思维定式.在空间解析几何的学习中，学生习惯了在平面上考虑问题，由平面到空间的拓展，需要克服思维定式的困扰，运用类比法是一种行之有效的方法.例如，在解题训练中，经常运用类比法做如下训练:

思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形?

引导学生将答案做如下对比:

通过运用列表类比，帮助学生辨别、记忆，逐渐使学生突破思维定式的消极影响，有助于建立空间观念，提高学生的理解能力和推理能力，提高思维的创造性，从而实现认识上的飞跃.

三、突出解析几何基本思想的教学，体现解析几何学科的特殊价值

用代数方法来研究几何问题是解析几何的基本思想，解析几何的基本思想方法是解析几何课程的灵魂，对解析几何基本思想方法的教学将贯穿于整个解析几何课程教学的始终.学生已学过平面解析几何，对解析几何的基本思想有了初步的认识，但由于受应试教育的影响，教师教学的重点是教会学生解题，对基本思想方法的教学重视不够，学生的理解还不够深刻.因此，教学中要突出基本思想方法教学这条主线，结合教学内容，教师适时点拨，不断提升学生的理解和认识水平，体现解析几何这门学科在培养学生的思维素质方面的特殊价值.

1.课程引入时，注重基本思想方法的引领

对在课程的导入时，结合图1通过举例，使学生对解析几何的基本思想有一个总体认识.例如，对于几何图形中最基本的元素点、直线、平面，通过向量法和坐标法首先实现用“数”表示“形”，即用一个有序的三元数组表示一个点，用代数方程表示一条直线或一个平面.然后通过“数”研究“形”，即通过数的运算来研究点、直线和平面的几何性质.

2.结合每一知识点的教学，教师适时点拨

在每一知识点的教学中，教师要注意适时点拨，使学生不断提高对基本思想方法的理解，提高对所学知识的认识层次.例如，在平面与直线、空间的曲线、球面、柱面、锥面及旋转曲面的教学中，要及时提醒学生建立方程的过程就是用“数”来表示“形”，为了后面通过“数”来研究“形”，即为用代数方法研究几何问题奠定基础;在椭球面、双曲面、抛物面及二次曲面的直纹性等问题的研究过程，就是通过“数”来研究“形”的过程，所体现的基本思想方法就是用代数方法来研究几何问题.

3.在习题的解答中，逐步体会基本思想

例如，判断平面x+y-z-1=0与2x+2y-z-1=0的相关位置，学生很容易就能根据方程之间的关系解出，但一定要提示学生通过方程的关系判断图形的位置关系，这是解析几何基本思想的一个体现，以此加深学生的认识.

参考文献

[1]吕林根, 许子道.解析几何 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

[2]韩瑞珠.线性代数与空间解析几何教学中的一点体会[J].工科数学, 2007 (6) .

空间几何分析篇8

一、立体几何学习的思维特征

数学科学说起来主要是抽象思维和理论思维，这是事实;但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。很难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。立体几何对空间的抽象思维和理论思维具有更高要求，打破学生十几年的思维习惯，是学生学习的主要障碍。

二、学生学习立体几何的思维障碍的因素

首先是思维惯性的因素造成的，究其原因不外乎沿袭平面几何的思维习惯，缺乏空间想象力，造成思维受阻。

其次在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难以综观全局，其空间形式具有很大的抽象性和视觉差异，造成对空间几何关系认识不正确。

再次是不能对立体几何中动态过程展开想象，很难抽象出数学本质。

三、学生空间思维障碍突破的解决的方法

对造成学生的思维特征和思维障碍的原因分析可知，只要有可能，立体教学总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化，举实例认知，但是更多的是要把几何关系反映在平面上。作为数学教学工具的21世纪动态几何《几何画板》教学软件，具有强大的动态变化功能，一流的交互功能，能以浓缩的形态给学生提供数学背景，通过学生的参与和亲手操作，枯燥抽象的内容变成生动形象的图形，原本不明白或不甚明白的概念等变得一目了然，所以是突破学生空间思维障碍的良好工具。

平面上绘出的立体图形受其视角的影响，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线;正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真相的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。

下面的几个实例说明其作用：

例1：在讲二面角的定义时(如图1)，当拖动点A时，点A所在的半平面也随之转动，即改变二面角的大小，图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观。

例2：在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程(如图2)，更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣。

例3：在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程(如图3)，既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力。

关于几何中图形与空间观念的探讨篇9

一、图形与空间的三条主线及其包含的主要内容

三条主线分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标。其主要内容有:

1. 图形的性质。图形的概念、性质, 图形与证明, 命题的证明, 发展学生的空间观念和推理能力。

2. 图形的变化。

合同变换——图形的轴对称、平移、旋转, 图形的相似 (包括位似) , 直角三角形的边角关系, 仿射变换 (投影) 。从运动的观点和变化的角度来研究图形。

3. 图形与坐标。坐标与图形的位置, 坐标与图形的运动, 用坐标的方法刻画在图形的变换 (轴对称, 平移, 位似等) 。

二、三条主线与图形教学的关系

三条主线从不同的角度对几何图形进行了研究, 可以看作图形研究不同的三个途径。

比如对一个三角形或一个平行四边形, 可以用欧式的综合几何的角度去认识它, 也可以用变换的角度去认识, 还可以从坐标的角度去认识它, 可以根据学习进度灵活掌握。三条主线丰富了对图形的理解, 使学生更深刻地体会到几何课程的教育意义。

我们可以从静态与动态的角度去研究图形, 从独立的一个图形与几个图形之间的关系来研究图形。

例如, 一个三角形, 从静态可以看成三条线段首尾依次连接而成的图形, 从动态可以看成, 一个点作直线运动, 拐弯再作直线运动, 再拐弯作直线运动并与起点重合。

再例如, 七年级学习数轴, 从静态看, 有理数与数轴上的点一一对应。也可以从动态看, 一个点从原点沿直线向右移动若干个长度单位, 新位置的这个点表示什么数?

这样, 我们就能自学地超越教材地去研究图形, 指导平时的教学, 指导与设计学生的活动。我们要学习课标思想、理念, 自觉地感受, 自觉地运用到日常教学中。

三、教学中如何把握图形的性质中有变化的内容

图形的性质共分七个部分。第一部分是点、线、面;第二部分是相交线与平行线的概念、定义、性质和判别;第三部分是三角形的概念、边角的性质、三角形全等的性质和判定、特殊的三角形 (等腰三角形和直角三角形) 的性质;第四部分是四边形, 主要是平行四边形、矩形、菱形和正方形的判别和性质;第五部分是圆的概念、圆的中心对称性和轴对称性、与圆有关的性质、圆与直线, 圆与四边形, 圆与多边形的关系。第六、七部分是尺规作图和定义、公理、证明的相关知识。

新教材删去了梯形。因为平行四边形和三角形已经作为基本图形研究得比较充分, 且梯形基本知识在小学学过, 有关梯形的其他知识, 只要把它分割成平行四边形和三角形来研究就行了, 所以梯形问题基本上都解决了, 课标修订稿没有再单独把它列入教学内容当中。

我个人认为:如果学生基础较差, 可以用一、两节课帮助学生回忆小学中的梯形知识, 并引导学生将梯形转化为三角形和平行四边形。教学与考查中可以将梯形作为活动的平台 (例如动点在等腰梯形的边上运动) , 让学生利用图形转化 (转化成三角形与平行四边形) , 探索梯形的一些问题。但不要过于复杂, 也不要将原来有关梯形的所有内容又重新拾起来。

新教材总结了并强调了尺规作图。除了介绍作图方法外, 更重要的是运用了图形判定方法, 实际上是对图形判定的一个具体应用。同时运用尺规作图, 也能探索图形的一些性质。

基本事实扩充为9条。对于一些定理, 都应该是通过观察、操作、实验等手段先探索, 再逻辑证明。相似的问题放到图形的变化中再讲, 合情推理与逻辑推理的问题放到几何的三个核心概念中再讲。

研究图形, 一是研究图形自身元素之间的关系, 比如三角形的内角和等于180度;二是研究不同图形之间的关系, 研究两个图形 (多个图形) 之间的关系, 如全等、相似, 还有图形之间所具有的旋转、平移等关系。

四、对空间观念的认识及如何在教学中培养学生的空间观念

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形, 根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。

空间观念的核心要素是想象。从能力方面看, 就是学生的空间想象能力。如何培养学生的空间观念呢?这是一个观察、想象、比较、综合、抽象分析、认识客观事物的过程。

首先是观察, 包括观察实物与观察抽象的图形。观察时要抓住实物的特征, 图形的特殊元素, 突出物体之间、图形的元素之间、图形与图形之间的空间联系 (相同与异同、位置与数量等) 。对图形的观察能力是指对概括化、形式化的空间结构和逻辑模式的识别能力。

二是活动, 仅靠观察是不够的, 还要让学生通过动手操作去感受。通过看一看、比一比、量一量、想一想、画一画、折一折、剪一剪、拼一拼等活动, 把知识内容与空间形成统一起来, 建立几何概念, 促使学生形成空间表象。

三是联系生活, 引导学生将已有的空间感与现实生活密切联系起来。学生的生活实际是理解和发展空间观念的重要资源。培养空间观念要将学生视野拓宽到生活空间, 充分利用学生身边的事物, 引导学生探索图形的特征, 丰富空间与图形的经验。例如, 切胡萝卜, 形成各种断面。

教学中要注意:第一, 空间观念的培养贯穿于整个几何教学过程中。无论是一维的, 还是二维、三维的空间, 即使是对直线两端无限延伸的这种想象, 对角的想象, 都能培养空间观念。当然二维与三维之间的转化是很主要的途径, 但不是唯一的。

第二, 观察、活动实践、联系生活、抽象地想象是相互联系、相互渗透的, 不能动手、不动脑。要在观察与活动中思考, 在思考中动手实践。有时也可以先想象、再操作, 在操作中修正原来的想象。例如, 四边形的两条对角线具有什么关系时, 这个四边形是特殊的四边形, 可以用两根木棒代替对角线, 用橡皮筋代替四边形的边, 通过想象、操作、观察、验证, 得到结论, 再给予逻辑上的证明。

【空间几何分析】推荐阅读：

空间几何教学09-21

教学中如何培养学生的空间观念和几何直观10-12

几何构造分析06-23

等几何分析06-29

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