等几何分析

等几何分析（共4篇）

等几何分析 篇1

0 引言

等几何分析方法 (Isogeometric Analysis简称IGA) 是2005年由Hughes[1]率先提出的一种新型数值方法。该方法将CAD技术和CAE技术相结合, 解决了传统数值计算中求解域与几何形体设计所存在的非一致性问题。其基本思想是采用CAD技术中的样条基函数如B样条、NURBS、T样条基函数等作为有限元分析的形函数去逼近未知场函数, 然后再进行偏微分方程的求解。由于几何形体设计与有限元分析的场函数采用同样的数学表达式, 分析的过程中可以避免传统有限元的二次建模, 消除了几何模型和计算模型之间存在的误差, 网格的细化过程方便, 并且保持了几何形体的不变性。

目前, 该方法已被应用于固体力学、流体力学、电磁场等相关问题的求解。Reali[2]及Cottrell[3]分别将其应用到结构动力学问题;Bazilevs[4]将其扩展到流固耦合问题;张勇[5,6]将其与边界有限元进行了耦合, 并且对等几何分析过程中的重控制顶点问题进行了研究;王东东[7]和陈涛[8]分别对边界条件的施加方法进行了研究;Benson[9]将其嵌入到扩展有限元 (XFEM) ;Wall[10]等将其应用于结构形状优化问题。

从理论上讲, 只要单元划分得足够细, 用传统三维实体单元对薄板结构进行有限元分析也能够得到具有要求精度的结果, 而且可以避免引入结构力学的简化, 但是这样的代价是计算成本高。由于基于NURBS的等几何实体单元具有高阶连续性 (内部具有C连续性, 单元节点处具有Cp-1连续性, 其中P为基函数阶数) , 能够以较少的单元得到精确的结果。本文采用基于NURBS的等几何实体单元对四边固定薄板和悬臂板在不同载荷作用下的挠度进行了分析, 细分过程分别采用h-方法和p-方法, 结果能很好的收敛于解析解。对于本文提供的四边固定板和悬臂板结构, 高度方向采用二次基函数, 表面采用高次 (如双四次、双五次基函数) 的实体单元时, 即使粗糙的网格 (如8×8×2) 也能得到较精确的解答。根据本文提供的静力学分析结果, 对于类似板的结构优化问题可以根据具体的精度要求选择单元的阶数和疏密程度。

1 等几何结构分析

1.1 非均匀有理B样条 (Non-Uniform Rationa B-Spline, 简称NURBS)

工业产品几何定义标准以及目前市场上的大部分三维CAD/CAM软件所采用的核心数学方法均为NURBS曲线曲面造型方法[11]。等几何分析中同样采用NURBS来描述几何实体, 其定义式为:

1.2基于NURBS的等几何分析

与传统有限元方法[12]类似, 等几何分析中对于弹性问题控制微分方程如下:

其中f是体力, g和h是规定的本质和自然边界条件, n是自然边界 (38) N的外法线方向向量, u即为所求的未知场函数 (即位移函数) , 在等几何分析中, 该位移函数用样条基函数来近似, 即:

由控制微分方程得到的离散平衡方程为:

其中, u为位移向量, K为总体刚度矩阵, 由单元刚度矩阵Ke组成,

式中B为应变矩阵, D为弹性矩阵, J为将参数坐标转换到全局坐标的雅克比矩阵, ˆe为单元的参数域。

F为全局荷载向量, 由单元荷载向量Fe组成。对于三维弹性问题, 单元荷载向量在第i个方向的分量为:

其中fi和hi分别为第i个方向的体力分量和边界上的应力分量, ˆ (38) e为单元的边界上牵引力的作用区域。

2 基于等几何实体单元的薄壁结构分析

2.1四边固支薄板结构

对于四边固定支承的方形薄板, 如图1 (a) 所示, 板的边长l 10, 厚度h 0.1。

四边固支方形薄板分别在中心集中荷载F=20 (如图1 (a) ) 和上表面均布荷载q=10 (如图1 (b) ) 的作用下, 本文采用2×2×2、4×4×2、8×8×2、16×16×2、32×32×2的单元网格对板的最大挠度值max进行计算, x和y方向均采用3次NURBS基函数, 计算结果如表1。其中, D是薄板的弯曲刚度, 即:

再对x、y方向均采用4次和5次NURBS基函数对模型进行分析, 收敛情况如图2所示。由图可知, 当表面采用双三次NURBS实体单元时, 随着表面单元数目的增多, 分析结果显示出很好的收敛性;当表面采用双四次或者双五次的NURBS基函数时, 即使粗糙的网格也能得到较准确的解答。在细分过程中, 分析结果的相对误差达到5%以内的单元数量见表2, 随着单元的细分, 相对误差减小, 结果收敛于解析解。

2.2 悬臂薄板结构

类似地, 仍然在x、y方向分别采用4次和5次NURBS基函数对模型进行分析, 收敛情况如图4所示。可以看出, 在两种荷载作用下, 对于x和y方向采用较高次 (4次或5次) 的基函数, 当单元数较少时, 解答有点波动, 但是随着单元数的增加结果能很好的收敛到精确解。同上例, 在细分过程中, 分析结果的相对误差达到5%以内的单元数量列于表2中。

3 结论

本文采用等几何分析方法对薄板结构进行了挠度分析, 两个数值算例均表明, 当表面采用双三次NURBS实体单元时, 随着单元数目的增多, 结果很好的收敛于解析解, 当采用双四次或双五次NURBS单元时, 即使粗糙的网格 (如8×8×2) 也能得到较精确的解答。表2中的单元数量可使分析结果的相对误差达到5%以内, 随着单元的细分, 结果更加精确。在对类似板进行结构优化时首先也需要进行网格划分, 此时可根据具体的精度要求并结合本文的计算结果选择相应的单元阶次和数量。

等几何分析 篇2

电解工艺加工是对复杂型面 (例如航空发动机叶片) 加工的一种重要方法, 对这类复杂工艺的预测往往采用数值仿真方法。传统的数值分析方法包括有限元法、有限差分法、边界元法等, 南京航空航天大学朱荻院士团队长期从事叶片类电解加工的研究, 采用有限单元法仿真加工间隙区域的加工状态[1,2,3]。Pattavanitch等[4]利用边界元法建立了电解加工过程模型, Marius等[5]利用边界元法分析了阳极工件的腐蚀状态, Bieniasz[6]采用有限差分法建立了电化学动力学仿真模型。而这些方法都存在共同的不足: (1) 分析模型准备时间长, 常出现网格划分质量不好的现象; (2) 仿真结果表现为单元网格节点的位置变化, 需要通过拟合网格节点重构复杂型面; (3) 采用多项式基函数的网格单元逼近表示边界, 从原理上不能精确表达求解区域边界处的约束, 不适于流体分析这类对边界敏感问题的求解。因此本文借用近年来新兴的等几何思想建立统一的几何建模与分析仿真的数学模型, 研究基于NURBS基函数的电解加工间隙几何参数化方法与非插值特性的边界条件施加方法, 形成支持叶片电解加工这类具有复杂敏感边界问题的数值求解方法[7]。

1 电解加工的数学模型

一般认为, 当电解加工过程处于平衡状态时, 加工间隙内的电场属于稳恒电场, 电位分布符合拉普拉斯方程:

工件阳极边界Γa条件为

阴极边界Γc条件为

在边界Γb上边界条件为

式中, φ为电场中各点电势值;U为工件阳极表面电势值;n为工件阳极表面各处的法向坐标[8] (图1) 。

2 等几何法的原理及基函数特点

2.1 基函数统一的几何与分析模型

在叶片电解加工的计算机辅助分析中, 叶片工件与阴极工具之间的加工间隙一般采用CAD系统建立其几何模型。目前商用CAD系统通常采用非均匀有理B样条 (non-uniform rational B-splines, NURBS) 表示叶片这类具有复杂曲面的几何模型。等几何法的基本思想就是采用同一套NURBS基函数统一表达几何模型和数值分析模型。对于加工间隙采用样条体 (NURBS volumes) 表示, 它是使用三个节点矢量定义的张量积样条:

式中, {I, J, K}为节点矢量的索引集;{Ri, p, Rj, q, Rk, r}为各节点矢量对应的单变量B样条基函数;ωijk、ωi′j′k′为权因子;p、q、r为基函数的次数。

2.2 自然划分加工间隙的参数域

NURBS基函数是由节点矢量和样条次数定义的, 而张量积样条的节点矢量正好张成加工间隙参数域上的规则网格。等几何法即采用节点矢量张成的规则网格做自然划分, 无需后续的网格剖分工作。借用经典有限元法中单元和节点的概念, 把等几何法中的单元类比为测度不等于零的节点间隙, 而节点类比为间隙内非零基函数对应的控制顶点。对于三维张量积样条, 单元可用直积表示为

其中, εi、ηj、ζk表示三个参数方向上第i、j、k个参数值。可以发现单元内的非零基函数共有 (p+1) × (q+1) × (r+1) 个。

2.3 NURBS基函数的非插值性

相对于经典有限元的多项式基函数, NURBS基函数具有很多优点, 例如它可以精确表示任意的几何模型, 在单元边界处可以获得更高的连续性, 但它缺少一个重要的性质即在节点处的插值性, 即Ni (εj) ≠δij (εj为节点处的参数值) 。单变量基函数在首末端点处满足插值条件, 但是二维张量积样条基函数除四个角点外, 在其他各节点处都不具有插值性。因此等几何法不能像传统有限元法那样对叶片电解加工间隙的节点处场变量进行插值以表示Dirichlet边界条件[9]。

3 叶片电解加工的常微分方程组形式

采用加权余量法推导式 (1) 的等效积分弱形式。式 (1) 两边同乘以权函数w, 得到:

由于在边界Γb上, 在本质边界Γa和Γc上权函数w=0, 由格林第一公式

可得到

上述等效积分形式可以写成与特定问题无关的一般形式:

其中, a (u, v) 和l (v) 分别为定义在区间Ω上的双线性和线性泛函。

使用NURBS基函数作为电场的形状函数, 只在空间域上进行离散化。其中为电势物理量的控制变量, 即基函数的系数项, 电位场值变量的逼近公式可写为

取权函数w为NURBS基函数族, 再代入到式 (6) 中可以得到方程组形式如下:

整理得到电位场值问题的一阶常微分方程组形式如下:

其中, 为某时刻加工间隙电势值的控制变量, Kij和Fi分别被称为刚度矩阵和载荷向量分量。它们的计算公式为

4 程序实现

4.1 刚度矩阵和载荷向量的装配

假设叶片电解加工加工区间对应U、V、W方向上参数域的节点矢量为 (0, ε1, ε2, …, εi, εi+1, …, 1) 、 (0, η1, η2, …, ηj, ηj+1, …, 1) 和 (0, ζ1, ζ2, …, ζk, ζk+1, …, 1) , 基于这些节点矢量所构建的基函数为Ni、Nj、Nk。由于NURBS基函数的局部支撑性, 即基函数Ni、Nj、Nk只在区间[εi, εi+p+1]、[ηj, ηj+p+1]、[ζk, ζk+p+1]内有非零值, 其中基函数取工程中常见的3次函数, 即p=3, 式 (10) 中的积分运算就不用在整个参数域Ω内进行。考虑参数域中所有测度不为零的间隔:

可以把Ωe看成为电解加工间隙划分的等几何分析单元, 因此显然有结论:

定义单元刚度矩阵Ke和单元载荷向量Fe:

类似于有限元方法, 等几何分析法也可以看成是划分了NURBS样条体单元, 但这种单元在加工间隙建模完成时即已完成。同样, 等几何法也有一个单元刚度矩阵和载荷向量的装配过程, 通过单元刚度矩阵装配得到全局刚度矩阵。等几何单元和经典有限元单元的区别在于: (1) 基函数不具备插值性质, 节点 (控制定点) 有可能不在单元区域上; (2) 等几何单元有更高的单元边界连续性[10]。

4.2 加工间隙建模

叶片电解加工间隙的边界Γa与边界Γc为自由曲面, 边界Γb为平面。为了建立加工间隙的参数化几何模型, 可以对工件表面和阴极工具表面进行采样, 获得边界Γa和Γc上的采样点, 另外依据等参条件给定Γb上的采样点。

建立叶片电解加工间隙参数化模型 (图2) 的步骤如下:

(1) 设加工间隙的a、b、c边上分别存在U、V、W方向上的采样点Oi、Pj和Qk。其中, i=0, 1, …, m;j=0, 1, …, n;k=0, 1, …, l。

(2) 采用累加弦长法建立Oi、Pj和Qk对应的参数域中参数值

(3) 构建三个方向的节点矢量, 即令节点矢量中的首末参数值需要满足:

(4) 三个方向优化后的节点矢量为ui′、vj′和wk′, 其中, i′=0, 1, …, m+p+1;j′=0, 1, …, n+p+1;k′=0, 1, …, l+p+1。以ui′、vj′和wk′作为节点矢量构建边界Γ在U、V、W方向上的NURBS基函数Ni、Nj和Nk。

(5) 分别对Γa、ΓbF、ΓbB、ΓbL、ΓbR、Γb6个边界面反求其控制顶点。若记加工间隙边界上的控制顶点为Cctrl (Γ) , 则可得到:

其中, Pijk为边界上的采样点。

(6) 通过对控制顶点Vij0、Vij1、Vi0k、Vi1k、V0jk、V1jk超限插值可以得到整个加工间隙体的控制顶点:

(7) 最终得到叶片电解加工间隙体的控制顶点为

其中, εi、ηj、ζk∈[0, 1]。因此, 叶片电解加工间隙的几何模型可表示为

本文后续将简写为

(8) 阳极型面的表达式为

任意一点处的法矢可记为

则式 (11) 中的cosθ=a·b/ (|a|·|b|) 。

4.3 Dirichlet边界约束处理

由于采用NURBS基函数表达叶片电解加工间隙的电场分布, 因此不能像传统分段多项式有限元单元一样插值Dirichlet边界上采样点的电场值, 所以采用强施加方法对式 (9) 施加Dirichlet边界条件[11,12]。假设弱解φ∈S可以表示为两部分之和, 即u=e+g, 其中g∈S, e∈V, 代入到式 (6) 中得到:

假设叶片电解加工间隙的所有NURBS基函数的集合为, 其中n为所有基函数的数量。假设边界上非零值的基函数集合为, nB为B集合中的函数个数。边界上只有零值的基函数集合, nI为I集合中的函数个数。则有

式中, 为集合B中对应基函数的控制变量;为集合I中对应基函数的控制变量。

考虑到NURBS基函数的局部支撑性质, 只有少量的基函数在边界上有非零值。不失一般性, 假设集合。由于加工间隙中稳态电场的求解方程组 (式 (9) ) 没有考虑强制边界条件, 刚度矩阵Kij是奇异的。因此, 在边界Γa和Γc上引入采样点χmn0、χmn1处的电场电势值{φij0=U, φij1=0}, 对应参数域坐标为, 其中ζ=0, 1。则弱解中的强制边界条件项可近似表示为

对其中的基函数进行排序后, 可以求出控制变量。并将代入到式 (9) 消元后即可求得未知内部控制变量。令, 最终利用逼近表达了电解加工间隙的电势分布。

5 实验验证

设置电解加工仿真的电势差为15V, 电解加工初始间隙设置为0.5 mm, 阴极进给速度为0.5mm/min。电解液成分为NaNO3, 质量分数为10%, 初始温度为25~30℃, 流速为15m/s, 工件材料为2Cr13钢。

利用三维产品设计平台NX建立叶片电解加工间隙的几何模型, 如图3a所示。反求出加工间隙几何的控制顶点, 并利用超限插值得到加工间隙的参数化模型, 如图3b所示。

利用边界配点法施加阴阳极边界电势约束条件后, 得到等几何方法分析的电势分布、电场矢量分布, 并分别与经典有限元法进行比较, 如图4所示。

采用经典有限元和等几何分析对叶片电解加工间隙的收敛速度进行比较, 经典有限元法采用线性、二次、三次拉格朗日单元 (p=1, 2, 3) , 而等几何分析采用了二次和三次样条函数, 得到曲线如图5所示。图5中, fDOF为自由度, e为分析误差。

虽然样条函数也可理解为定义在参数域内的分段 (有理) 多项式, 但它通常可以获得比经典有限元更高的单元边界连续性。经典有限元在单元边界处通常是C0连续, 而样条函数可以获得Cp-r (r为节点重复次数) 连续。因此, 从理论上讲, 采用NURBS样条基函数能够更精确地表达叶片这类具有复杂自由曲面的边界几何形状, 从而等几何分析方法可以获得更高的分析精度。另一方面, 在相同的网格自由度情况下, FEM和等几何法都能达到收敛, 但由图5中相同自由度情况下的误差比较可发现, 等几何法的误差较传统有限元法精度更高。相对来说等几何法的收敛速度明显要快于FEM, 那么在相同网格单元数量下, 等几何法体现出了更高的分析精度。

6 结语

在传统基于有限元法的叶片电解加工数值分析中, 几何模型与分析模型所采用的数学描述方法不同, 两者之间需要相互转换, 带来分析模型的准备时间长, 转换常出现模型质量不高的缺点。另外由于有限元法采用多项式基函数网格单元逼近表示边界, 所以原理上不能精确表达电极边界与电解液边界的场变量分布。因此本文采用NURBS基函数取代多项式基函数, 实现叶片电解加工间隙几何建模与数值分析共用相同的基函数, 即建模完成同时网格划分完成。同时利用NURBS基函数构建的样条体单元能准确表达加工间隙自由曲面边界的特性, 实现更加精确的加工间隙内电场分析。最终通过实例验证了等几何法对叶片电解加工数值分析这类具有复杂几何边界问题的有效性。

参考文献

[1]李志永, 朱荻, 孙春华, 等.发动机叶片电解加工阴极设计有限元数值解法研究[J].中国机械工程, 2004, 15 (13) :1151-1154.Li Zhiyong, Zhu Di, Sun Chunhua, et al.Study on Finite-element Arithmetic in Electrochemical Machining for Turbine Blades[J].China Mechanical Engineering, 2004, 15 (13) :1151-1154.

[3]朱栋, 朱荻, 徐正扬.航空发动机叶片电解加工阴极数字化修正模型及其试验研究[J].机械工程学报, 2011, 47 (7) :191-198.Zhu Dong, Zhu Di, Xu Zhengyang.Experimental Study on the Catode Digital Modification of Turbine Blade in Electrochemical Machining[J].Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47 (7) :191-198.

[4]Pattavanitch J, Hinduja S, Atkinson J.Modelling of the Electrochemical Machining Process by the Boundary Element Method[J].CIRP Annals-manufacturing Technology, 2010, 59:243-246.

[5]Marius P, Leslie B.3D Electrochemical Machining Computer Simulations[J].Journal of Materials Processing Technology, 2004, 149:472-478.

[6]Bieniasz L K.Finite-difference Electrochemical Kinetic Simulations Using the Rosenbrock Time Integration Scheme[J].Journal of Electroanalytical Chemistry, 1999, 469:97-115.

[7]Xiang Y, Mo R, Wan N, et al.The High Precision Blade Electrochemical Machining Simulation and Cathode Optimization Based on Isogeometric Method[J].Applied Mechanics and Materials, 2013, 339:489-494.

[8]Sun C H, Zhu D, Li Z H, et al.Application of FEM to Tool Design for Electrochemical Machining Freeform Surface[J].Finite Elements in Analysis and Design, 2006, 43:168-172.

[9]Huges T, Cottrell J, Bazilevs Y.Isogeometric Analysis:CAD, Finite Elements, NURBS, Exact Geometry and Mesh Refinement[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2005, 194 (39/41) :4135-4195.

[10]陈涛, 莫蓉, 张欣.固体介质瞬态传热问题的等几何分析[J].计算机集成制造系统, 2011, 17 (9) :1988-1996.Chen Tao, Mo Rong, Zhang Xin.Isogeometric Analysis for Transient Heat Conduction of Solid Medium[J].Computer Integrated Manufacturing Systems, 2011, 17 (9) :1988-1996.

[11]陈涛, 莫蓉, 万能.等几何分析中Dirichlet边界条件的配点施加方法[J].机械工程学报, 2012, 48 (5) :1-8.Chen Tao, Mo Rong, Wan Neng.Imposing Dirichlet Boundary Conditions with Point Collocation Method in Isogeometric Analysis[J].Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48 (5) :1-8.

以高等几何思想指导中学数学教学 篇3

高等几何主要研究的是射影几何、仿射几何的一般理论和方法。初等几何研究的是图形的不变性和不变量, 其基本不变量有距离、角度;不变性有结合性、平行性、正交性。在现今的中学图形认识问题中呈现出:认识图形思想的呆滞, 导致方法单一, 解题步骤的繁杂。如何使中学生更好的认识图形, 关键还在于认识思想、方法的改善。本文立志于从高等几何认识图形的思想和方法入手, 利用图形的仿射变换、射影变换等性质对几何图形进行新的认识。

一、利用平行投射解决初等几何问题

在高等几何中, 把平行光线照射到物体上, 得到的影子叫平行投影。几何图形经过平行投影保留不变的性质称为图形的仿射性质。图形的仿射性质有:平行投影保持点和直线的结合关系, 保持直线的平行关系;保持两平行线段的长度比;保持凸曲线所围成图形的面积之比为常数等。通过平行投影证明图形性质的方法, 在初等几何中是适用的, 适当运用这种方法, 可以在解决问题时带来事半功倍的效果。

平行射影属仿射变换之一, 因平行射影保持平行线段的比不变, 故如果一命题结论涉及平行线段的比, 则可选取一投射方向和一像直线, 将图形中的不共线的点和线段投射成共线的点和线段, 使命题证明简化。

例1:设直线MN过ABC重心G, 分别交AB, AC于M, N, BMC求证:

证明:如图1, 取AB为像直线, MN为投射方向, 作平行投射, 则N→M, C→C', D→D', 从而有:

二、利用仿射变换解决初等几何问题

作为联结射影几何和欧氏几何的纽带的仿射几何, 在初等几何中有着广泛的应用, 是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道。在初等几何中有大量的命题是研究图形的仿射性质, 即并不涉及到距离、角度、面积的具体度量。而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线或平行线段之比、两封闭图形面积之比以及中点等概念。对于这类命题, 可以运用仿射的有关性质, 借助于仿射变换与仿射坐标系, 由特殊到一般, 化繁为简地加以解决, 从而达到事半功倍的效果。

例2, 命题:“正方形ABCD的一组邻边上有E, F两点, 且EF//AC。则AED和CFD面积相等”。

解:我们将此命题作一仿射对应, 若经仿射对应后的记号不变, 使正方形ABCD对应平行四边形ABCD, E对应E, F对应F。在正方形ABCD中, 显然有ΔAED, ΔCFD, 由于两个多边形面积之比为仿射不变量, 所以在平行四边形ABCD中, ΔAED和ΔCFD面积相等。于是可得另一命题“平行四边形ABCD的一组邻边上有E, F两点, 且EF//AC, 则ΔAED和ΔCFD面积相等” (见图2) 。

例3, 求椭圆的面积。

解:设在笛氏直角坐标系下, 椭圆经过仿射变换。

椭圆的仿射图形为x2+y2=a2因为两个封闭图形面积之比为仿射不变量, 所以要想利用仿射变换解题, 必须构造面积之比。所以选定椭圆内的△OAB。如图所示, O (0, 0) , A (a, 0) , B (0, b) 经过仿射变换, ΔOAB对应图形ΔO'A'B', 其中A与A'重合, B (0, a)

所以有:即:

故有:S椭圆=πab, 这种求解方法较利用曲线积分求解简便, 直观得多。

通过上面两个例子, 我们可以看出利用仿射变换中的不变量解题给我们带来的思想动力和工具快捷。应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量解题的步骤可概括如下: (1) 判断求解的问题是否能利用仿射不变性质, 仿射不变量求解, 一般涉及到点共直线, 直线共点, 线段比, 面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题。 (2) 选择合适的仿射变换, 找出所给图形的合适的仿射图形。 (3) 在仿射图形中求证, 写出具体的仿射变换及解题过程。

三、利用射影变换解决初等几何问题

射影几何在初等几何中也有着重要的应用, 除了应用射影几何、仿射几何、欧氏几何三者的关系研究欧氏几何、仿射几何图形等问题。交比是最基本的射影不变量。利用交比可证明初等几何的共点、共线、以及线段比例关系的命题。

例4, 在右图中, 过弦BC的中点A的任何两弦PQ、RS, 设PQ、RS分别交BC于M, N。求证:AM=AN。

证明:连SB, SC, QB, QC, 则S (BP, RS) =Q (B P, RC) , 再由直线BC截这两组等交比的直线, 则有 (BM, AC) = (BA, NC) 。

由此可知:

由已知:BA=AC, 得, 所以

又因为:MC-MA=AC且BN-AN=BA

所以MA=AN

上述论证中, 应用了射影几何的交比方法, 非常简便地解决了问题, 而且计算交比的方法同样也适用于二阶曲线, 这样就自然地将蝴蝶定理推广到椭圆、双曲线、抛物线上。

例5, 如图, ABC为任意三角形, AD为BC边上的高, D为垂足, 过B任做一直线交AC于E、AD于X, CX交AB于F, 证明AD为∠EDF的平分线。

证明:如图5, FC, DE分别截线BA, BK, BE, BC于F, K, X, C和R, K, E, D (R为AB, DE的交点) 于是有 (FK, XC) = (RK, ED) (1)

又DE, FC分别截线束AB, AK, AC, AD于R, K, E, D和F, K, C, X

有 (RK, ED) = (FK, CX) (2)

由 (1) 和 (2) 得

即有: (FK, XC) 2=1

因为交比不等1, 所以 (FK, XC) =-1

即:这里α为DE到DX的有向角, β为XD到DF的有向角, 得tanβ=tanα即α=β

四、结语

等几何分析 篇4

关键词：高中数学,几何画板,教学

在高中数学教学过程中, 现在有一种全新的教学手段, 即几何画板, 这种教学手段主要就是一种计算机软件, 可以实现数学图形的有效展现, 这样软件的推出实现了使高中数学抽象的表达式具有了生机、使得立体几何图形不断运动起来, 使得学生更加容易地理解其中所包含的知识和内容.

一、几何画板的概念

几何画板是上世纪末进入我国的教育领域的, 是当时的教育部在中小学数学教学过程中重点推广的一种教学新软件, 这一软件实现了数学教学平台的有效升级[1]. 在随后的多年推广过程中, 这一教学软件得到了进一步的发展的普及. 这一软件主要由点工具等六种应用工具条组成. 主要的用途就是构建数学图形, 这一软件中的圆规和直尺可以实现高中数学所涉及的几乎所有的解析几何和立体几何中包括的所有图形.

二、几何画板的主要应用

1. 利用图形解决数学问题

高中的数学学习很多时候可能遇到相对抽象的问题, 这些问题使得思维发展相对较弱的高中生很难接受, 在教学过程中不能有效的理解相关问题. 几何画板将一些数学表达式使用图形表示出来, 很多的数学关系应用图形之间的关系进行解答, 这是最为直观形象的教学方式, 将抽象的问题化解为具体形象的问题解决.

例如, x+y-z=0, 7x+5y+3z=0 解的含义相对比较抽象, 有时一个表达式, 即10x+8y=0, 但是使用图形进行解释相对更加容易, 两个三元一次方程可以使用软件表述成两个平面, 这两个平面在三维坐标系中有着自己的位置, 但它们相交的时候, 会出现一条相交直线, 这一直线就是这两个三元一次方程的解所表达的图形, 图形和最终的解是相对应的, 即解是一个二元一次方程, 对应着一条直线. 这种问题使用图形解决相对比较具体形象, 有助于学生的理解.

2. 动画可以演示更多的立体几何问题

在高中阶段的立体几何问题中, 很多的知识点都需要进行动画的演示, 实现更为直观形象的展示. 在几何画板上, 可以实现很多的立体几何的图形, 它们之间的相对关系表示就变得更加容易. 在传统的教学过程中, 如果将一个圆锥从不同角度截开, 得到不同的截面形状, 但是这种演示相对比较困难, 需要教师使用相应的教具进行比划, 学生没有形象的理解. 在几何画板的教学过程中, 可以实现立体几何图形的运动, 一个圆锥图形可以实现与一个平面的相交, 不同角度的相交, 将出现圆形、椭圆形、三角形等多种截面形状. 几何画板可以将这些形状一一展示出来, 有效的帮助学生更好的理解相关的问题.

例如, 在教学解析几何的抛物线的定义和开口方向都是很多学生理解难点. 在教学过程中可以实现其定义和开口方向的动画演示, 实现学生更为直观的认识 ( 如图1) .

三、几何画板的应用建议

几何画板是一种现代化的教学工具, 教学过程中需要进一步加强应用的针对性, 保证教学效果的实现.

1. 服务教学目标的实现

高中数学的知识点学习理解相对比较难, 很多学生认知的过程中存在一定模糊概念. 图形的解释是最直观的教学思路, 教师需要本着帮助学生理解的教学目的, 使用更多的图形解释相关的数学几何问题, 有效的实现抽象问题的形象具体化. 教师所设计的图形和动画需要围绕教学的内容展开, 针对教学过程中可能出现的问题进行有效的设定图形和动画, 实现教学目标的有效实现. 例如, 已知圆x2+ y2= 4, 直线y = x + b, 当b为多少的时候, 圆有三个点到直线的距离为1. 几何画板利用动态的变化, 可以实现学生对于问题的理解, 如图2.

2. 教师加强练习, 熟练掌握几何画板

教师是教学的引导者, 在教学过程中实现整个教学过程的走向, 几何画板软件是一种很好的教学工具, 教师熟悉其使用技巧, 在教学过程中才能灵活使用. 教师要想充分使用好几何画板, 在教学过程中充分使用这一软件, 就需要在平时认真练习, 掌握软件的使用技巧, 这一软件在使用过程中掌握起来相对比较容易, 只要教师加以练习, 就可以有效掌握, 最终保证教师在教学过程中有着更加灵活的使用[2]. 例如, 本地区的教师在几何画板的认识上存在一定的误区, 很多教师使用这样软件的熟练程度都不是很高, 因此教研所针对这一问题进行了软件的集中培训, 手把手的教会教师使用这样软件.

3. 拓展学生对于几何画板的使用

学生是现代高中几何教学的主体, 他们参与教学的主动性是现代教学质量提升的基础和前提, 加强学生对于这一软件的学习. 学生只有掌握这一软件的使用, 在教学过程中才能更好地参与教学之中, 几何问题不同于其他的教学过程, 需要学生更加主动参与其中, 才能更好的理解相关问题, 只有学生学会使用这一软件, 才可以在课后使用这一软件进行几何问题的解决, 为他们更加积极主动的参与几何教学提供保证. 同时这一软件也需要加强学生使用的人性化考虑, 更多的实现一些动画功能, 保证学生在自己演示的过程中, 更加容易的操作过程. 例如, 开设专门的上机实验课, 对学生进行集中软件培训, 软件使用过程中需要工具条进行重点讲解, 同时列举椭圆、圆柱等解析和立体几何图形进行案例教学, 实现学生更好地掌握软件的使用.

高中几何问题相对比较抽象, 主要目的在于构建学生的空间想象能力. 这一素养的实现需要教师使用更多的教学手段实现. 几何画板实现几何图形的有效展示, 同时可以实现图形的运动, 保证学生更加形象的理解相关问题, 构建学生的空间想象能力.

参考文献

[1]郭衎, 曹一鸣, 等.数学课程中信息技术运用的国际比较研究[A].全国数学教育研究会2014年国际学术会议, 2014 (6) :123-124.