几何最值（精选10篇）
几何最值 篇1
文1和文2对以下基本问题作了探究.文1通过一个实例进行了分析, 没有得到一般情形下的任何结果;文2通过构造费马点求解基本问题, 但没有给出解法成立的理由, 不够严谨.本文用初中学生能够理解的初等数学方法对基本问题作了研究, 得到了两个有用的命题, 彻底解决了该问题.
基本问题:如图1, AC⊥直线L, BD⊥直线L, AC=a, BD=b (b≥a>0) , CD=c (c>0) , S是平面上的动点, SE⊥直线L.试确定S点, 使SA+SB+SE最小.
这是一个典型的几何最值问题.用分步求最值法求解:第一步:作直线L的任意一条平行直线L′, 直线L′与直线L之间的距离d (L′, L) =x, 假定S点在直线L′上, 确定S点, 使SA+SB+SE最小, 最小值记为S (x) .第二步:求函数S (x) 的最小值.
若x>a, 如图2, S是直线L′上的任意一点, SA+SB+SE=SA+SB+x>AB+a=S (a) , S (x) >S (a) .
若x<0, 如图3, 直线L′在直线L的下方, 线段AS交直线L于S′点, SA+SB+SE=SA+SB+|x|>S′A+ (S′S+SB) >S′A+S′B≥S (0) .
由上述分析, 可设0≤x≤a.
问题转换为求函数S (x) (0≤x≤a) 的最小值.利用微积分学知识, 通过求解S (x) 的导函数的零点, 可以分析解得S (x) 的最小值.注:对于方案E→S→A→B (S是L′上任一点) , 有SE+SA+AB≥C′C+C′A+AB=AB+a=S (a) , 故此方案被包括在内.
笔者用初等方法得到以下命题:
命题一:在基本问题中, 如图4, 0≤x≤a, 有:
当x=0时, SA+SB+SE取最小值,
即S (x) 的最小值为
当x=a时, SA+SB+SE取最小值,
即S (x) 的最小值为,
命题二:在基本问题中, 有:
则S (0) =S (a) .
则S (0)
则S (0) >S (a) .
现证明命题一和命题二.先证明下述引理:
引理:△ABC中, ∠C=90°, 以下结论成立.
证明: (1) 如图5, 过点C作直线L交AB于D点, 使∠DCB=30°, 作AE⊥L交L于E点, BF⊥L交L于F点, ∠ACE=∠C-∠DCB=90°-30°=60°, .
(3) 证明:同 (2) .
推论:对应命题一中情形 (1) , S点为△ABE的费马点.
证明:如图4,
(1) 若S (0) =S (a) , u=a+v, uv=a, (1)
(1) 式两边同乘u+v得,
(2) - (1) 得,
两边平方得,
(2) 若S (0) >S (a) , 有u>v+a, uv>a. (1)
(1) 式两边同乘u+v得,
a (u+v) < (u-v) (u+v) =4ab.
u+v<4b, (2)
(2) - (1) 得,
两边平方得,
(3) 若S (0)
(1) 式两边同乘u+v得,
(2) - (1) 得,
两边平方得,
证毕.
命题二解决了当S点在直线L上的运动时, 方案SA+SB和方案S→A→B的最小值的比较问题, 前者最小值为S (0) , 后者最小值为S (a) .命题二具有几何意义:如图7, 以D为原点、直线L为x轴、DB所在直线为y轴建立坐标系xOy, 以点B (0, b) 、 (0, -b) 为焦点, 长轴长度为4b作椭圆, 椭圆方程为:, 点A的坐标为A (c, a) , 若A点在椭圆上, S (0) =S (a) ;A点在椭圆内, S (0) >S (a) ;A点在椭圆外, S (0)
几何最值 篇2
学习目标：
1.复习回顾解决几何最值问题常用的知识源:
“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“
三角形的三边关系”、“圆外一点与圆的最近点、最远点“、“二次函数最值”等;
2.借助中考真题的探究,掌握处理最值问题的基本知识源，明确解决图形几何最值问题的思考方向、思路方法,感受体验其解题策略；
3.体验变化中寻找不变性的数学思想方法,能将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破.学习重难点：
1.结合题意，借助相关概念、图形性质、定理,探寻几何图形最值问题中化归与转化的关键.2.知识溯源，借助中考真题的研究，从知识转化角度，掌握处理最值问题的基本知识源，归纳总结其解题策略.教学过程
一、问题导入:
1.乌龟与兔子从点A到点B，走那条路线最短？
.根据是
.2.如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最省？试画出铺设管道的路线？并说明理由。
3.已知一个三角形玩具的三边长分别为6㎝，8㎝，a㎝，则a的最值范围是
.A
Q
P
4.已知圆外一点P到圆⊙O上最近点的距离是5㎝，⊙O的半径是2㎝，则这点到圆上最远点的距离是
.①
②
③
A
B
④
二、真题探究
真题示例1（2016•福建龙岩）如图1，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）
(图2)
A．1
B．2
C.3
D．4
(图1)
真题示例2（2016•四川内江）如图2所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．
【解题策略】
(图4)
(原创题)如图3，在周长为16的菱形ABCD中，∠A=120°，E、F为边AB、CD上的动点，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为
.(图3)
真题（组）示例3
（2012•浙江宁波）如图4，△ABC中，，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为
.【解题策略】
真题（组）示例4
（2013•江苏宿迁）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是
．
变式:
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，-1），B（1，2），点P在x轴上运动，当|PA﹣PB|最大时，点P的坐标是
．
真题（组）示例5
(2016•四川眉山)已知如图5，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(图5)
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．
【解题策略】
真题（组）示例6
(图6)
(2016•四川泸州)如图6，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是
.【解题策略】
真题（组）示例7
1．（2016•江苏常州）如图7，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
(图7)
（1）求二次函数的表达式；
（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；
【解题策略】
三、专题总结
1.收获哪些解题方法?
2.体验哪些解题策略?
几何最值中考题的求解策略 篇3
一、利用几何性质求最值
利用几何性质，如两点之间线段最短、垂线段最短、直径是圆中最大的弦等来求解最值.
例1 如图1，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 .
图1 图2
解：如图2，过点O作OC垂直AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB.
∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴OA=2，AB=2，
而S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∵当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点时，四边形MANB的面积最大.
∴四边形MANB面积的最大值：
S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB·CD+AB·CE=AB·（CD+CE）=AB·DE=×2×4=4
点评：本题将圆与三角形的知识综合在一起，解题时需要深刻理解垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，通过两动点运动，找到组成四边形的两三角形面积最值情景，从而使问题得以解决.
二、利用轴对称求最值
求解两条线段之和最短的问题，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，得出答案.
例2 如图3矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使MB+MN的值最小，求这个最小值.
图3 图4
解：如图4，作B关于AC的对称点B′，连结，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，这时BM +MN的最小值，即为BM+MN′的最小值，显然BM+MN′的最小值等于点B到AB′的距离BH.
要求BH的长，设AB′与DC交于P点，连结BP，则S△ABP=AP·BH=S矩形ABCD=×20×10=100（cm2）
B′与B关于AC对称？圯∠1=∠2矩形ABCD中，DC∥AB？圯∠2=∠3？圯
∠1 =∠3？圯PA=PC
设AP=PC=x，则DP=20-x
在Rt△APD中，由勾股定理，
得PA2=DP2+DA2即x2=（20-x）2+102，
解得x=12.5（cm），即AP=12.5（cm），
∴BH=100×=16（cm），
即BM+MN的最小值是16cm.
三、利用展开图求最值
当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段.
例3 如图5，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12cm，B点沿母线到桶口D点的距离是8cm，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15cm.如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？
图5 图6
解：如图6，延长BD，在延长线上取点B′，使BD=B′D=8cm，连接AB′，交CD于点E，连接BE，则最短的路线应该是沿AE、EB爬行即可.因为两点之间线段最短.
在△AB′F中，∠F= 90°，
AF=15cm，B′F=12+8=20cm，
由勾股定理，得AB′=25cm.
∵AC∥B′D，∴△ACE∽△B′DE，
∴AC∶B′D=AE∶B′E=12∶8=3∶2，
∴AE=25×=15cm，
BE=B′E=25×=10cm，
∴AE+BE=25cm.
即蚂蚁爬行的最短路程是25cm.
点评：本题主要考查平面展开最短路径问题，解题的关键是根据题意确定最短路线.最后根据两点之间线段最短，运用勾股定理即可求解.
四、利用不等式求最值
在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案.
例4 不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________.
解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h，
∵2S△ABC=4a=12b=ch，∴a=3b，
又∵c 得12b<4bh，所以h>3， 又∵c>a-b=2b，代入12b=ch， 得12b>2bh，所以h<6， ∴3 五、利用一次函数求最值 构造函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，在求解这类问题时，我们要充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识来寻求等量关系，从而构造出函数关系式求解. 例5 如图7，⊙O上的定点C和动点P在直径AB的两侧，已知AB=5，AC=3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q.当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，最大值是多少？ nlc202309012237 图7 解：∵PC⊥CQ，∴∠PCQ=90°， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∴∠PCQ=∠ACB=90°， ∵∠A=∠P，∴△ABC∽△PQC 设CP=x，CQ=y， ∴=，CQ=，即y=. 可见，y随x的增大而增大. 所以当PC为直径，x取得最大值，即当x=5时，y的值最大，最大值是. 六、利用二次函数求最值 例6 王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm、下底为120cm、高为60cm的直角梯形板子（如图8），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域（如图9），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点. （1）求FC的长； （2）利用如图9求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？ （3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长. 图8 图9 解：（1）由题意，得△DEF∽△CGF， ∴=， 又∵DE=AD-AE=60-30=30， DF=DC- FC=60-FC，CG=120-60=60， ∴=， ∴FC=40（cm）； （2）如图10，设矩形顶点B所对的顶点为P，则①当顶点P在AE上时，x=60，y的最大值为60×30=1800（cm2） ②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N、PM⊥AB于点M. 根据题意，得△GFC∽△GPN. ∴=，∴NG=x， ∴BN=120-x， ∴y=x（120-x）=-（x-40）2+2400， ∴当x=40时，y的最大值为2400（cm2）； ③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2400（cm2）， 综合①②③，得x=40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2400 cm2； （3）根据题意，正方形的面积y（cm2）与边长x（cm）满足的函数表达式为：y=-x2+120x， 当y=x2时，正方形的面积最大， ∴x2=-x2+120x. 解之，得x1=0（舍去），x2=48（cm）， ∴面积最大的正方形的边长为48 cm. 点评：本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视用分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（3）小题只需根据题意列出方程就能解决. 七、利用一元二次方程求最值 用数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值. 例7 已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（∠Z=90°），它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC（∠C=90°）的三条边上，求△ABC直角边长的最大可能值. 分析：顶点Z在斜边上或直角边CA（或CB）上，当顶点Z在斜边AB上时，取XY的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在（AC或CB）上时，设CX=x，CZ=y，建立x、y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值. 解：（1）如图11，顶点Z在斜边上，取XY的中点M，连接CM、ZM、CZ，并作AB边上的高CN，则CZ≤CM+MZ=+=， 又∵CN≤CZ， ∴CN≤，CA=CN≤2； （2）如图12，顶点Z在直角边CA（或CB）上，由对称性，不妨设CX=x，CZ=y，并过Y作YH⊥CA于H，易得△ZYH≌△XZC，得HZ=CX=x，HY=CZ=y， ∵△AHY为等腰直角三角形，则AH=y，设AC=b，则2y+x=b，即x=b-2y， 在Rt△CXZ中，y2+（b-2y）2=12， 即5y2-4by+b2-1=0， ∵y为实数， 则Δ=16b2-20（b2-1）=20-4b2 ≥0，b≤， 当b=时，y=，x=， 综合（1）、（2）知，b的最大值为. 图11 图12 一、配方法 例1在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1B与B1D1的距离. 分析:求异面直线间的距离,本身就是一种最值问题,它是指两条异面直线各取一点的连线中最短的一条,所以可用代数中求最值的方法求解.常建立二次函数用配方法求最值. 解:如图1,在A1B上取点E,作EF⊥A1B1于F,过F作FG⊥B1D1于G,连EG,根据三垂线定理,得EG⊥D1B1. 设A1F=x,则EF=x,FB1=a-x,. 在Rt△EFG中,EG2=EF2+FG2=x2+,当时,EG2有最小值,,所以,即A1B与B1D1的最短距离为.此时EG为两条异面直线A1B与B1D,的公垂线段,即为所求距离. 例2一个圆锥的全面积为π,试求它的体积的最大值. 解:设圆锥底面半径为r,高为h,则其体积,母线,它的全面积为.因为,所以,化简得 由得② 把②代入①并化简,得. 当时,V2有最大值.因而时,V有最大值. 点评:双二次函数也可用配方法. 二、三角法 这种方法是选角为自变量,建立三角函数,用正、余弦函数有界性求最值. 例3有公共底的两个圆锥PO与QO,过底面上任意一点的两条母线都垂直,其轴截面面积为定值k,这个几何体何时面积最大?最大值是多少? 解:如图2,依题意知∠PAQ=∠PBQ=90°,且S四边形PAQB=k. 设∠APO=α,则S全=πAO·PA+πAO·QA=πAO(PA+QA).而PA=PQcosα,QA=PQsinα,AO. 当α+45°=90°,即α=45°时,几何体有最大全面积. 例4如图3,把一块长为a,宽为b(a>b)的木板的两条对边紧靠着屋内两堵互相垂直的墙,使地面、木板两堵墙围成一个直三棱柱,怎样围能使其体积最大? 解:若使木板的长边a在地面上,底面直角三角形的一个锐角为α,则围成的直三棱柱的体积.当sin2α=1,2α=90°,α=45°时,. 同理,若使木板的短边b在地面上,可求得. 所以,且a>b,所以,. 因此,使木板的a边在地面上,直三棱柱的底面为等腰直角三角形时,体积最大. 点评:想一想,此题还可以怎样做,不妨一试,并加以比较. 三、不等式法 不等式法是求最值的重要方法,求最值时,要做技巧性的变形. 例5要建造一个体积为50m3有盖圆柱形氨水池,则这个氨水池的高、底面半径各取多少时用料最省. 解:设圆柱的高为h,底面半径为r,依据圆柱的体积公式V=πr2·h,得. 而圆柱的全面积公式为S=2πr2+2πrh. 所以. 当且仅当,此时,即时,S有最小值.即当氨水池的高取m,底面半径取时,用料最省. 点评:本题是求和的最小值,为使变元积为定值,进行了拆分式变形. 例6如图4,在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中,E、F分别是AB、BC上的动点,且AE=BF.当三棱锥B'-BEF的体积最大时,求二面角B'-EF-B的大小. 解:先求VB'-BEF取最大值时EB、BF的长,设BF=x,则EB=a-x,于是. 当且仅当x=a-x,即时,上式取等号. 所以时,VB'-BEF取最大值,此时. 过B作BD⊥EF,垂足为D,连结B'D,因为B'B⊥平面OABC,BD是B'D在平面BEF上的射影,则B'D⊥EF,所以∠BDB'是二面角B'-EF-B的平面角. 在Rt△BEF中,因为,所以. 在RtB'BD中,,所以.所以二面角B'-EF-B的大小为. 四、降维法 在求空间几何体表面上两点间的最短距离问题时,常用它的表面展开图,转化为平面上两点间距离来处理,这种方法叫降维法. 例7如图5,设正三棱锥P-ABC的底面边长为a,侧棱长为2a,E、F分别是PB、PC上的点,求△AEF的周长的最小值. 解:沿侧棱PA把正三棱锥的侧面展开,则△AEF的周长等于AE+EF+FA',显然AA'在侧面展开图上是直线时,如图6所示,△AEF的周长为最小,它等于线段AA'的长.设∠BPC=θ,则. 过P作PG⊥AA'于G,则G是AA'的中点. 所以,即△AEF周长的最小值为. 点评:解题过程中用了正弦三倍角公式,及直角三角形的一些性质. 例8如图7,已知一圆锥的底面直径AB=2a,母线SA=3a,若点C为母线SB上的一定点,已知SC=b,在圆锥侧面上从点A到点C的最短距离. 解:将圆锥的侧面展开,其一半为扇形SAB,连AC,则线段AC的长就是要求的最短距离. 由圆锥底面半径为a,得扇形弧.圆心角 在△SAC中,由余弦定理得,AC2=(3a)2. 所以.即为所求最短距离. 而且学生只要掌握了柯西不等式的形式和应用条件，解决一般的求最值是没有问题的，可对于2014年的湖北省第9题，这题是解析几何题，本身就是一道难题，它与柯西不等式结合就更显得高深莫测，学生更是束手无策。那么它们是怎样结合的呢？下面我们一探其真面目。 点评：解析几何与不等式是高考中的难题，难点一是解析几何复杂的符号运算。难点二是用不等式求最值，此题若能写出两个定义式，经过化简得到两离心率的表达式，然后结合柯西不等式就水到渠成了。要求学生能把握这两点之间的联系，而且对柯西不等式的结构掌握得又很牢固，两者的结合简直就是珠联璧合。我们在平时的训练中应多有这方面的结合，解析几何的求最值就不仅只有其他的常规方法，又多了一个帮手——柯西不等式。下面再看几例它们的组合。 例2：等腰直角三角形AOB的直角边长为1，在三角形中任取一点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形，求这三个三角形的面积的最小值，以及此时点P的位置。 点评：利用柯西不等式的关键构建两个数组的平方和的积式。且只有当不等式的一边取定值时，另一边才有相应的最值，同时要保证等号成立。对于解析几何，需要挖掘隐含条件找到或创造几项的平方和或和的平方为定值，才能用柯西不等式求最值，对学生的能力要求更高。 在立体几何中有关求距离最值问题时, 通过转化, 可以利用异面直线之间的距离、利用光线所走的路程最短、利用向量不等式、利用函数来求其最值. 一、空间两点之间的距离转化为异面直线间的距离 例1 正四面体ABCD的棱长为 a, 动点P在线段AB上, 动点Q在线段CD上, 则P与Q的最短距离为 ( ) 解析:动点P在线段AB上, 动点Q在线段CD上, P与Q之间的最短距离即为异面直线AB与CD的距离.如图1, 在正四面体A—BCD中, 分别取AB、CD的中点E、F, 则 所以 EF⊥AB. 同理EF⊥CD.则EF为异面直线AB与CD的公垂线, 因此EF为异面直线AB与CD的距离. 所以P与Q的最短距离为 小结:求空间两点之间的距离最小值时, 如果两点在两条异面直线上, 则可以转化为异面直线的距离来求解. 二、利用光线所走的路程最短 例2 在棱长为3的正方体AC1中, E是棱AA1上一点, 且A1E=1, F是截面A1BD内的一个动点, 则AF+EF的最小值是__. 解:如图2, 利用镜面反射, 点A关于面A1BD的像点为AC1的三等分点 (靠近C1的) 设为M, 连结ME, 则ME就是AF+EF的最小值. 由 所以AF+EF的最小值是 小结:求平面内一动点, 到平面同侧两个定点距离之和的最小值时, 则可以利用光线所走的路线最短来求解. 二、利用向量不等式 例3 (2008年江西高考试题) 连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB, CD的长度分别等于 ①弦AB, CD可能相交于点M; ②弦AB, CD可能相交于点N; ③MN的最大值为5; ④MN的最小值为1. 其中真命题的个数为 ( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解:本题可转化为球大圆中动弦AB、CD的位置关系的问题. 设球心为O, 则由圆的性质可知 由不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|, 知 所以MN的最大值为5, MN的最小值为1. 又若两弦交于M, 则ON⊥MN, Rt△OMN中, 有OM>ON, 成立; 若两弦交于N, 则ON⊥MN, Rt△OMN中, 有OM<ON, 矛盾. 所以①③④正确, ②错误.故选 (C) . 四、空间距离转化为平面两点之间的距离 例4 (2006年江西高考理科试题) 如图3, 在直三棱柱ABC—A1B1C1中, 底面为直角三角形, 解析:A1、C、P三个点可以转化到同一个平面内, 如图4, 利用平面内两点之间线段最短来求解. 把△BCC1沿BC1翻起, 使面A1BC1与面BCC1共面, 连结A1C交BC于P, 则A1P+PC=A1C即为所求最小值 在直三棱柱ABC—A1B1C1中, 可知∠BCC1=90°, 又 又∠ACB=90°, 可得A1C1⊥BC1. 作CM⊥A1C1延长线于M, 易得CM=C1M=1.从而所求最小值 例5 如图5, 在直三棱柱ABC—A1B1C1中, 解析:沿几何体表面两点距离, 一般采用展开图的方法.沿棱柱表面, 从E到F, 有三种不同的路径: (1) E→BB1→F, (二) E→A1B1→F, (三) E→A1C1→F. 先来考察路径 (一) E→BB1→F, 如图6. 使两矩形ABB1A1与BCC1B1展在同一平面内, 连结EF, 则EF可能为要求的最短路径. 在Rt△EA1F中, 则 考察路径 (二) E→A1B1→F, 如图7. 同理可得, 考察路径 (三) E→A1C1→F, 如图8. 同理可得, 综上所述, 沿棱柱表面从E到F的最短路径的长度为 小结:求空间两点之间沿表面的距离最小值时, 通常把两点放在展开面上, 利用平面内两点之间的距离最短来求解, 但要注意有时有不同的展开方式, 要考虑不同情况. 五、建立函数解析式求空间距离最值 例6 (2002年全国高考试题) 如图9, 正方形ABCD、ABEF的边长都是1, 而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动, 点N在BF上移动.若 (1) 求MN的长; (2) 求 a 为何值时, MN的长最小. 解: (1) 作MP//AB交BC于点P, NQ//AB交BE于点Q, 连结MN, PQ. 依题意得MP//NQ, 且MP=NQ, 即四边形MNPQ是平行四边形.由已知, 又 (2) 由 (1) 知 即M、N分别移到AC、BF的中点时, MN的长最小, 最小值为 小结:求空间变动图形的最值问题, 可以引入变量, 利用函数方法来求最值. 关键词：数学,解析几何,求线段最值,曲化直 解析几何中的最值问题是高考中的热点问题, 既有选择题又有填空题、解答题, 难度中等偏高.考查上述问题时, 通常考查函数与方程、转化与化归及分类讨论等思想方法.这就要求同学们对最值问题要做到心中有数, 运算准确, 争取在此类问题上能够脱颖而出.下面, 就常常出现的几类题型介绍一下自己的看法. 例1已知点A (-3, 8) , B (2, 2) , 点P是x轴上的点, 求当|AP|+|PB|最小时点P的坐标. 【解析】设点B关于x轴的对称点为B1, 连AB1交x轴于点P, 则易知点P满足|AP|+|PB|最小.可求得直线AB1的方程2x+y-2=0.令y=0, 则x=1.故所求点P的坐标为 (1, 0) . 点评:此题考查直线上一点到直线同侧的两点距离和的最小值, 往往转化为对称问题, 用直线方程的方法求解.很好地把直线问题与几何问题结合到了一起, 难度不大, 属于易得分题. 例2若实数x, y满足x2+y2+8x-6y+16=0, 则x+y+1的最大值为________. 点评:此题考查直线与圆位置关系问题.解法一考虑用圆心到直线距离与半径比较大小, 同学们容易想到但要注意计算准确.解法二则巧妙地运用了三角代换方法, 简化了运算步骤, 是较好的选择. 例3如图, 已知B, C为椭圆的两个焦点, 为定点, M是椭圆上一动点, 求的最小值. 【解析】根据椭圆定义, 有|MA|+|MC|=|MA|+ (8-|MB|) =8- (|MB|-|MA|) .为使|MA|+|MC|取得最小值, 只需|MB|-|MA|取得最大值, A、B、M三点共线时才可以取得, 此时, 故所求最小值为. 点评:此题考查椭圆第一定义的灵活运用, 要熟练掌握转化变形, 同时应用了三点共线原理, 难度稍大, 属于拉分题. 例4 P为双曲线的右支上一点, M、N分别是圆 (x+5) 2+y2=4和 (x-5) 2+y2=4上的点, 求|PM|-|PN|的最大值. 【解析】根据题意, 作出右图.显然, O1, O2为双曲线的两个焦点.要使|PM|-|PN|最大, 即要使|PM|最大, |PN|最小, 以此作出M, N具体位置如右图, 则容易得出|PM|-|PN|最大值为:|PM|-|PN|= (|PO1|+2) - (|PO2|-1) =3+|PO1|-|PO2=3+6=9. 点评:此题属于综合性较强的题型, 既考查了圆的方程, 又考查了双曲线的性质.但最终还是回归到双曲线的定义上, 充分体现了回归课本的指导思想. 例5点A (3, 2) 为定点, 点F是抛物线y2=4x的焦点, 点P在抛物线y2=4x上移动, 则当|PA|+|PF|取得最小值时, 点P的坐标是____. 【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1, 设P到准线的距离为d, 则|PA|+|PF|=|PA|+d.要使|PA|+|PF|取得最小值, 由右图可知过A点的直线与准线垂直时, |PA|+|PF|取得最小值, 把y=2代入y2=4x, 得P (1, 2) . 点评:此题求取最值时, 没有上来后先设点, 而是首先观察点的位置, 看能否借助概念, 巧妙进行转化, 于是考虑抛物线的定义, 顺利解决了此题. 通过几年的教学实践发现, 学生对解决此问题颇感困难, 有时竞无从下手。下面就介绍一种用定位思想解决最值问题的方法。所谓“定位思想”就是从问题的最终要求来选择合理的解题途径, 有意识地绕开不适当的思维方式的一种思维定势。在立体几何中, 就是通过对图形的观察分析, 确定取得最值的位置, 然后再求出最值。 例1如图1, 正三棱锥底面边长为a, 则棱长为2 a, 过底面一边作与相对侧棱相交的截面, 求截面周长的最小值。 [分析]将侧面展开, A、B两点连线为AM+BM的最小值, 从而可求截面周长的最小值。 解:如图2, 由已知, 在ΔAPC中 则截面周长最小值为 例二二面角a-a-β的平面角为120o在α内AB⊥a于B, AB=2, 在β内CD⊥a, CD=3, BD=1, M是棱a上的动点, 求AM+CM的最小值。 [分析]将二面角的两半平面展开成一平面, A, C两点的连线长为AM+CM的最小值。 解:AH//BD交CD延长线于H。AH=BD=1, AH=AB+CD=5, 则故的最小值为 例3, 如图3, △ABC在平面内a内, ∠A=6cm, PC⊥平面a, PC=4cm, K是AB边上的动点, 求面积最小值。 [分析]由已知, 无论K在何处为直角三角形, 面积为1/2, PC·PK, 而PC为定值, 面积最值取决于CK的最值。 解:作CK⊥AB, 连接PK, 此时CK为最小。 例4如图4, 点求A到平面PBC距离的最大值。 [分析]作PM⊥BC连AM, 且为定值, 当。 解:作PM⊥BC, 连AM, ∴BC⊥面PAM, 则面PAM⊥PBC, 作AH⊥PM, AH为所求。 在RiΔPBM中, 可知, 当PA=AM时, AH取最大值, 此时, AH=PM/2, 则 例5AB=2R为圆周的直径, , 二面角A-PB-C为何值时, 三棱锥P-AEF的体积V最大?值为? [分析]如图7, 由已知得, AE⊥PB, EF⊥PB, ∠AEF=A, PE⊥面AEF, 而且VP-AEF=1/3⋅PE⋅SΔAEF, 而AE为定值, ΔAEF为RiΔ, 且斜边AE为定值, 可知ΔAEF为等腰三角形时面积最大。 由已知 综上数例所述, 不难看出, 立体几何中的最值问题, 主要是通过对具体图形的观察分析, 准确确定取得最值的位置, 而其解题判定的准确与否, 取决于学生对基础知识, 基本技能的掌握熟练程度。这些恰是中学数学素质教育的标志。用抽象的理论知识服务于实践, 则是数学教学的目的。提倡用定位思想解决问题, 就是要避免走弯路, 从而使复杂的问题简单化、直观化、最终使问题快捷、稳妥地获得解决。 摘要：用数学的观点和方法来解决以最少的耗费来创造最佳的经济效益问题, 就不可避免地涉及到最值问题, 在立体几何数学中的一种用定位思想解决最值问题的方法, 所谓“定位思想”就是从问题的最终要求来选择合理的解题途径, 有意识地绕开不适当的思维方式的一种思维定势。在立体几何中, 就是通过对图形的观察分析, 确定取得最值的位置, 然后再求出最值。 一、利用对称性求最值 利用对称性求最值的依据是:两边之和或差当且仅当三点共线时分别取得最大值或最小值.因此对三点组成的线段的和与差, 常运用对称性探求三点共线求解. 例1.在直线l:x-y+9=0上任取一点P, 作一过点P的椭圆, 此椭圆的焦点为F1 (-3, 0) 和F2 (3, 0) , 问P在何处时, 所作的椭圆的长轴最短?并求出有最短长轴的椭圆方程. 解析:如图所示, 设F1 (3, 0) 关于直线l:x-y+9=0的对称点为F1' (m, n) 则m=0-9, n=-3+9=6∴F1' (-9, 6) , 直线F2'F1'的方程为:, 即x+2y-3=0, 有 ∴当P点坐标为 (-5, 4) 时, |PF1|=|PF2|最小, 即长轴最短, 此时长轴为 椭圆方程为: 二、利用圆锥曲线定义求最值 利用圆锥曲线的定义求最值, 主要是将相关的量转化到定义或者定直线的距离, 从而借助已知的圆锥曲线方程求解. 例2.抛物线y2=4x上一点A到一点B (3, 2) 和焦点的距离之和最小, 则点A的坐标是 ( ) A. (0, 0) %% B. (1, 2) C. (2, 2) D. (3, 2 31/2 ) 解:设P为抛物线y2=4x上任一点, 过P作抛物线准线l的垂线, 垂足为D, 连结PF (F为抛物线的焦点) , 由抛物线的定义可知|PF|=|PD| ∴|PB|+|PF|=|PB|+|PD| 过B点作准线l的垂线, 交抛物线于A, 垂点为C, 显然直线BC之长小于折线BPD之长, 因而所求的A点即为BC与抛物线的交点. ∵直线BC平行于X轴, 且过B (3, 2) , 所以把y=2, 代入y2=4x得x=1 ∴A (1, 2) ∴应选B 三、利用函数求最值 用函数法求解析几何中的最值问题, 主要是应用代数思想, 将解析几何的问题转化为函数问题, 然后通过函数分析寻求最大、最小值, 常用方法有二次函数法、三角函数法、均值不等式法等. 例3已知椭圆 (1) 写出椭圆的参数方程; (2) 求椭圆的内接矩形的最大面积. 解 : (1) 椭圆的参数方程为 (2) 设椭圆的内接矩形面积为S. 解法一: (三角函数法) 由对称性知矩形的两邻边分别平行于x轴和y轴, 设P (3cosθ, 2sinθ) 为矩形在第一象限的顶点 (0< θ<π/2) , 则S=4×3cosθ×2sinθ芨12.故椭圆内接矩形的最大面积为12. 解法二: (二次函数法) 建立如图所示坐标系, 设A (x1, y1) , 根据对称性, 则B (x1, -y1) , C (-x1, -y1) , 且有|AB|=2y1, |CB|=2x1 ∵A (x1, y1) 在椭圆上∴ , 当x21=9/2, 即x1=3/2时, S2有最大值为144, ∴Smax=12 四、利用均值不等式求最值 根据相关数量关系, 利用均值不等式求最值, 也是常用的方法之一.再看例3: 解法三: (均值不等式法) 同解法二, 由 ∴Smax=12 五、利用距离公式求最值 用距离公式法求最值, 是将解析几何中的问题, 转化为距离问题, 再根据平面几何中的特殊定理、性质求解. 例4. 求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值, 并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标。 分析:本题可应用点到直线的距离公式转化为求二次函数的最小值;也可以转化为与已知直线平行且与抛物线只有一个公共点 (相切) 的直线与已知直线的距离. 解法一: 设P (x0, y0) 是抛物线上的点, 则, 则P到直线的距离 ∴当y0=-24, x0=9时, d有最小值2. ∴抛物线上的点到直线4x+3y+46=0的最小距离是2, 这时抛物线上的点的坐标为 (9, -24) . 解法二: ∵无实数根, ∴直线4x+3y+46=0与抛物线y2=64x没有公共点.设与直线4x+3y+46=0平行且与抛物线y2=64x相切的直线为y=-4 x+b, 则由 (1) 消去x得y2+48y-48b=0 , 因为直线与抛物线相切, 所以二者只有一个公共点. ∴b=-12 代入 (1) 得y=-24, x=9, 即P (9, -24) 到直线4x+3y+46=0的距离最小.最小距离为: 1线段和与差的最值 1.1线段差的最大值问题 例1 (2011年兰州卷第28题) 如图1, 在平面直角坐标系中, 正方形OABC的边长为2cm, 点A, C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A, B和D (4, -2/3) . (1) 求抛物线的表达式. (2) 如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动, 同时点Q从点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动, 当其中一点到达终点时, 另一点也随之停止运动, 设s=PQ2 (cm2) : ①试求出s与运动时间t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围; ②当s取5/4时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以点P, B, Q, R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标;如果不存在, 请说明理由. (3) 在抛物线的对称轴上求点M, 使得M到D, A的距离之差最大, 求出点M的坐标. 剖析本题第 (1) 问求函数关系式, 属常见题型, 先依据平面直角坐标系中正方形边长求出A, B的坐标, 再根据待定系数法可得抛物线解析式为 第 (2) 问①中借助“动点类”问题中的“桥梁”公式:路程=速度×时间, 用t表示出PB和BQ的长, 即PB=2-2t, BQ=t, 再根据勾股定理易得 s=5t2-8t+4 (0≤t≤1) ; ②中是压轴题中常见的“存在类”问题, 先假设存在这样的点R, 再根据点R的位置 (PQ, PB, BQ都可作平行四边形的对角线) 分为3种情况讨论, 最后依据平行四边形的性质分别求每种情况中点R的坐标且经过验证符合 题意的点R存在一个, 坐标为 (3, -3/2) . 第 (3) 问是初中阶段不太常见的线段差的最大值问题, 是本题的难点, 为了看清本质, 说明清楚, 先看两个递进式的简单问题: 问题1如图2, 已知平面上有两个已知的定点A和B, 另有一条已知直线l, 点A和B在直线l的一侧, 求在已知直线l上找一点P, 使得|PA|-|PB|的值最大, 这就是线段差的最大值问题. 分析可以应用三角形三边的关系, 两边之差小于第三边.在△APB中, 无论P点怎样移动, 只要A, B, P三点不共线, 就构成三角形, 就必然满足 |PA|-|PB|<|AB|, 当P运动到O点时, 三点共线, 可以取到等号, 此时有 |PA|-|PB|=|AB|, 由此可知, |PA|-|PB|≤|AB|, 最大值为|AB|, 此时P运动到射线AB与直线l的交点O处. 问题2如图3, 若A, B两个定点在直线l的两侧, 如何在已知直线l上找一点P, 使得|PA| -|PB|的值最大呢? 有了问题1的经验, 问题2中A和B分布在直线两侧, 作B点关于直线l的对称点B1, 由轴对称的性质 (即直线l上的P点到B和B1点的距离相等) , 可知 |PA|-|PB|=|PA|-|PB1|, 所以问题2转化成了问题1的模型, 可以知道|PA|-|PB1|的最大值为|AB1|的长, 当P运动到直线l与射线AB1的交点O时取得. 显然, 第 (3) 问的本质属于上面“问题2”中的模式, 依题点A (0, -2) 关于对称轴直线x=1的对称点为点B (2, -2) , 则直线x=1与直线BD的交点即为所求的点M, 利用待定系数法易得直线BD解析式为 y=2/3x-10/3 , 联立解析式 得满足题 意的M点坐标为 (1, -8/3) . 1.2线段和的最小值问题 (图形周长最小值 问题) 例2 (2012年兰州卷第28题 ) 如图4, Rt△ABO的两直角 边OA, OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上, O为坐标原点, A, B两点的坐标分别为 (-3, 0) , (0, 4) , 抛物线y=2/3x2+bx+c经过点B, 且顶点在直线x=5/2上. (1) 求抛物线对应的函数关系式; (2) 若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE, 点A, B, O的对应点分别是D, C, E, 当四边形ABCD是菱形时, 试判断点C和点D是否在该抛物线上, 并说明理由; (3) 在 (2) 的条件下, 连接BD, 已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小, 求出P点的坐标; (4) 在 (2) , (3) 的条件下, 若点M是线段OB上的一个动点 (点M与点O, B不重合) , 过点M作MN∥BD交x轴于点N, 连接PM, PN, 设OM的长为t, △PMN的面积为S, 求S和t的函数关系式, 并写出自变量t的取值范围, S是否存在最大值?若存在, 求出最大值和此时M点的坐标;若不存在, 说明理由. 剖析第 (1) 问利用抛物线的对称轴及其与y轴的交点B可得其对应的函数关系式为 y=2/3x2-10/3x+4; 第 (2) 问根据平移及菱形的性质可得C, D两点的坐标分别是 (5, 4) , (2, 0) , 再利用抛物线解析式判断即可. 第 (3) 问承接第 (2) 问, B (0, 4) , D (2, 0) 是两定点, P是对称轴 上一动点, 要使得△PBD的周长最小, PB+PD就应最小, 这就将其转化为了“将军饮马”的问题模型: 如图5, 已知平面上有两个已知的定点A和B, 另有一条已知直线l, A和B在直线l的一侧, 求在已知直线l上找一点P, 使得|PA|+|PB|的值最小, 这就是线段和的最小值问题. 分析根据“两点之间线段最短”, 作点A关于直线l的轴对称点A1, 连接A1B交直线l于点P即为所求, 则利用三角形三边关系易证: 显然, 第 (3) 问中B, C两点关于对称轴对称, 则直线CD与对称轴直线x=5/2的交点即为所求的点P, 利用待定系数法易得直线CD解析式为y=4/3x-8/3 , 联立解析式得满足题意的P点坐标为 (5/2, 2/3) . 第 (4) 问是图形面积的最值问题, 在下个例子中将详细剖析此类问题, 这里给出答案: 其中0<t<4, 当t=17/6时, S取最大值是289/144 , 此时, 点M的坐标为 (0, 17/6) . “轴对称最值问题”是几何最值问题中最为活跃的一类题型, 其一般表现为“大”同“小”异的形式:“大”同指的是要求最大值一定是指求差的最大值, 这两个点就应该是在直线同侧, 不在同侧的通过轴对称转化为同侧;“小”异指的是要求最小值一定是指求和的最小值, 这两个点就应该是在直线的异侧, 不在异侧的要通过轴对称转化为异侧.总之, 这类问题的处理策略为通过轴对称变换 (有时还需要结合平移变换) 把几个路径转化到同一条直线上. 2图形面积的最值问题 例3 (2013年兰州卷第28题) 如图6所示, 在平面直角 坐标系中, A, B为x轴上两点, C, D为y轴上的两点, 经过点A, C, B的抛物线的一部分C1与经过点A, D, B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线, 我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为 (0, -3/2) , 点M是抛物线C2:y=mx2-2mx-3m (m<0) 的顶点. (1) 求A, B两点的坐标; (2) 请问“蛋线”在第四象限上是否存在一点P, 使得△PBC的面积最大?若存在, 求出△PBC面积的最大值;若不存在, 说明理由; (3) 当△BMD为直角三角形时, 求m的值. 剖析第 (1) 问中求图像与x轴交点, 令y=0, 则 第 (2) 问是“存在类”问题, 先假设存在, 进而求点P坐标: 先结合点C的坐标, 利用交点式得第四象限“蛋线”的解析式为 y=1/2x2-x-3/2 , 由于△PBC的面积随着“蛋线”上点P的位置变化而变化, 故设P点坐标为 (x, 1/2x2-x-3/2) , 再观察图形发现△PBC三边都未落在坐标轴上, 则利用“割补法”可得 这时三角形的面积最值问题就顺理成章地转化为了二次函数的最值问题, 一般利用二次函数顶点式 (或用配方法) 求解, 即 由于-3/4<0且-1<x<3, 故S△PBC有最大值为27/16 , 此时, P点坐标为 (3/2 , -15/8) , 所以存在. 这一问的解决反映出不少代数与几何的综合题需运用代数知识来解决几何最值问题时, 常要处理好两个环节:一是依据几何性质建立关系式;二是选用完全平方式、一元二次方程根的判别式、二次函数顶点式 (实质是配方法的具体应用) 等知识对式子进行变形以确定最值, 有时需要注意取值范围的限制. 第 (3) 问先根据勾股定理用m表示出DM2, BD2, MB2, 再分3种情况: 讨论计算验证即可得m的值为. 通过以上3例的剖析, 我们发现抛物线中常见的几何最值问题大致可分为两类, 一类是应用几何知识加以解决, 关键是把若干线段利用轴对称变换集中到同一条直线上; 另一类是借助代数知识处理, 核心是配方法的灵活运用.而不少最值问题具有非常规的背景和情景, 在具体解决时, 需要仔细分析, 将其巧妙转化或分解为相关常规模式, 以便顺利解决. 参考文献 [1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2011年版) [M].北京:北京师范大学出版社, 2012:58-59. [2]教育部基础教育课程教材发展中心.初中数学教师专业能力必修[M].重庆:西南师范大学出版社, 2012:71-72. [3]王金战.中考抢分36计 (数学) [M].长春:吉林教育出版社, 2011:89-91. [4]李承勇.例谈平面几何中几种最值问题[J].中学数学教学参考 (中旬) , 2013, (6) :49-51.立体几何中最值的求法 篇4
几何最值 篇5
立体几何中距离最值问题 篇6
解析几何中的最值距离探析 篇7
几何最值 篇8
几何最值 篇9
几何最值 篇10