平面几何性质（精选11篇）
平面几何性质 篇1
一、三角形中线将原三角形面积分半.
【例1】如图1, 在三角形ABC中, BD是中线, AD=CD= 1 2AC, BE⊥AC于E, 即BE是△ABC的边AC上的高, 同时BE也是△ABD高, 也是钝角三角形BCD的高.
本题由中线可得D是AC的中点, 由性质就有底AD、DC相等, 而高BE是同一条的, 故面积相等.可以简记:等底同高积相等.
【例2】如图2, AD是△ABC的中线, BE是△ABD的中线. (1) 在△BED中作BD边上的高; (2) 若△ABC的面积为20, BD=5, 则点E到BC边的距离为多少?
这题考查的知识点并不是很多, 一是要会做三角形的高, 另外就是理解点E到BC边的距离就是△BED底边上的高EF;二是掌握中线能把三角形分成两个面积相等的小三角形的性质, 本题就是两次运用这一性质很快求出结果.
二、证明或计算三角形中线的问题, 常作的辅助线是延长中线使延长的线段比原中线长一倍, 或过中点作第三边的平行线, 构造成全等三角形或平行四边形.
【例3】如图3, 已知:AD为△ABC的中线, 求证:AB+AC> 2AD.
解:延长AD到点E, 使DE =AD, 即DE是AE的一半.
∵D是CB的中点,
∴CD=BD.
∵△ADC≌△EDB (SAS) , ∴AC=BE..
在△ABE中, AB+BE>AE, ∴AB+AC>AE, 即AB+AC>2AD.
本题如果直接证明就会很困难, 但是考虑到AD是中线, 通过延长线段的方法, 使得AD=DE, 再连结BE, 构成三角形, 就能将原来分散的条件集中在一起, 结合三角形两边之和大于第三边的性质, 问题得以解决.
三、由三角形中位线定义可知, 同一条件下有两层关系:位置和数量.在运用这个定义时, 根据问题的求解进行选择, 是平行关系还是数量关系.若遇到三角形两条中线 (或两边的中点) 同时出现时, 可以考虑加辅助线, 构造成中位线, 再利用三角形中位线的性质来解题.
【例4】如图4, 已知△ADC是锐角三角形, 分别以AD、AC为边向外侧作两个等边△ABC和△AED, H、G、F分别是CD、BC、DE的中点, 连结GH, HF, 求证: HF=GH.
解:连结CE、BD.
∵△ABC、△ADE都是等边三角形,
∴∠CAB=∠DAE=60°, CA=BA, DA=EA.
又∵∠CAD是公共角, ∴∠CAE=∠DAB.
∴△CAE≌△BAD (ASA) , ∴CE=BD.
又∴G、H、F都是中点, ∴2HF=CE, 2GH=BD.
∴HF=GH.
本来GH、HF看似与三角形的边没有关系, 但想到了点G、H、F都是点, 就联想到三角形中位线, 由此连结BD、CE, 则GH、HF就成了△BDC、△CED的中位线, 故此题得以解决.
由三角形中位线可想到梯形的中位线, 它也有类似的性质.在考试中常见的有 (1) 顺次连结对角线相等的四边形 (常见有等腰梯形) 的中点四边形是菱形; (2) 顺次连结对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形.
从以上一些例题看出, 由中点到中线再到中位线的过程中都渗透了归纳、类比等数学思想, 学生只要在探究学习中学会了分析, 懂得了应用性质, 就能快速找到解题的突破口.
平面几何性质 篇2
B、C
C、AB
D、2）判断
①若直线a与平面有公共点，则称a.（）
②两个平面可能只有一个公共点.（）
③四条边都相等的四边形是菱形.（）④若A、B、C，A、B、C，则,重合.（）⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线.（）
⑥两两相交的三条直线必定共面.（）3）下列命题正确的是（）
A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.C、三条互相平行的直线一定共面.D、梯形是平面图形.4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（）A、8个
B、9个
C、10个
D、12个 5）两个平面可把空间分成部分 ；
三个平面可把空间分成 部分.（二）证明
1、共面问题
l3CAl1Bl2ABC 例1 已知直线l1,l2,l3两两相交，且三线不共点.l1,l2和l3在同一平面上.求证：直线
【说明】证明共面问题的基本方法是归一法
归一法：先根据公理3或其推论确定一个平面，然后再利用公理1证明其他的点或直线在这个平面内.2、三点共线
例3在正方体ABCDA1B1C1D1中P、Q、R分别在棱AB,BB1,CC1上，且DP,QR相交于O。求证：O、B、C三点共线
【说明】要证明空间三点共线的方法：将线看做两平面的交线，只需证明这三点都是两个平面的公共点，则公共点必定在两平面的交线上，因此三点共线.例4 已知ABC在平面外，ABP,ACQ,BCR.A
ADPBQCA1D1B1C1RO图（例3）
求证：P、Q、R三点共线
B C
Q
P
借助圆的几何性质巧解题 篇3
一、 巧用垂径定理
例1 (2008年重庆卷)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0, 1),则直线l的方程为.
分析 若直接设出直线l的方程,再和圆的方程联立,利用韦达定理并结合中点坐标公式求解,则过程繁琐.如果注意到圆的几何性质“垂径定理”,那么可知圆心C与弦中点D的连线与直线l垂直,便可迅速解决问题.
解 由圆x2+y2+2x-4y+a=0的圆心为C(-1, 2),弦AB的中点为D(0, 1),可知kCD=1-20-(-1)=-1.
由垂径定理,得CD⊥AB,则kAB=1,故直线l的方程为y-1=x,即x-y+1=0.
点评 利用垂径定理,从几何的角度也可推导出弦长公式:在圆中,半径r、弦心距d、半弦长12|AB|组成勾股数,即AB=2r2-d2.它在解题中有着广泛的应用.
二、 巧用“直径所对圆周角是直角”
例2 已知直线l1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0,求证:对任意实数m,l1与l2的交点P在一个定圆上.
分析 若联立l1,l2的方程,求出点P的坐标,即点P的轨迹的参数方程,然后再消去参数m,得到点P的轨迹的普通方程,则往往会因计算量大而得不到最后的结果.而仔细审题,便能发现这两条直线相互垂直且分别过定点,利用直径所对的圆周角是直角,解题思路便豁然开朗.
证明 因为l1:mx-y=0恒过定点O(0,0),l2:x+my-m-2=0恒过定点Q(2, 1),
且l1,l2相互垂直,所以l1与l2的交点P在以线段OQ为直径的圆上,即在定圆(x-1)2+y-122=54上.
点评 利用直径所对的圆周角是直角,可推导出以两定点A(x1,y1),B(x2,y2)为端点的线段为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.另外,若AB是圆O的直径,则要判断点P与圆O的位置关系,只需看∠APB与90°的大小关系,即等于90°表示点在圆上,小于90°表示点在圆外,大于90°表示点在圆内.
三、 巧用相交弦定理
例3 如下图,已知圆O的方程为x2+y2=1,设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A(3,0)且与x轴垂直的直线为l,直线PM交直线l于点P′,直线QM交直线l于点Q′.求证:以P′Q′为直径的圆C总过定点,并求出该定点的坐标.
分析 通常可以求出点P′,Q′的坐标,然后求出以P′Q′为直径的圆C的方程,最后再探索圆C过哪个定点;但这样求解,运算量将很大.若另辟蹊径,根据题目特征,适时运用相交弦定理,则思路将很清晰.
解 因为PQ是圆O的直径,则∠PMQ=90°.
设直线PM的斜率为k,则直线QM的斜率为-1k,于是
lPM:y=k(x+1);lQM:y=-1k(x-1).
令x=3,分别得P′(3,4k),Q′3,-2k.
于是AP′•AQ′=4k-2k=8.
因为圆C与x轴相交,设交点为E,F,又P′Q′是圆C的直径,P′Q′⊥EF(即l⊥x轴)于A,
所以利用相交弦定理,有AE•AF=AP′•AQ′=8,则AE=AF=22.
又A(3, 0),故圆C过定点E(3-22,0),F(3+22,0).
点评 一般而言,相交弦定理在平面几何问题中常被用到;而在解析几何问题中,许多同学常忽视之,想不起来运用它.其实,知识是相通的,若条件具备,使用合理,则往往能化繁为简,使问题直观简捷地获解.又如2008年江苏卷第18题第(3)问中的圆过定点问题,当点O在圆内时,用相交弦定理也很容易解释之.
四、 巧用切割线定理
例4 一圆过两点A(2,1),B(10,5),且与x轴切于点C,求点C到原点O的距离OC.
分析 若求出该圆的方程后,再利用勾股定理求OC,则思路直接,但运算量大.而注意到隐含条件A,B,O三点共线,则结合切割线定理,问题便可迎刃而解.
解 因为kOA=12,kOB=510=12,所以kOA=kOB,所以A,B,O三点共线.
又OC是圆的切线,根据切割线定理,得OC2=OA•OB=25,则OC=5.
点评 解决本题的关键是挖掘出了隐含条件A,B,O三点共线,为使用切割线定理创造了条件,从而大大缩短了思维过程,精简了解题步骤.
五、 巧用两圆公切线的性质
例5 (2004年全国卷)在直角坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有条.
分析 乍看本题,好象无从下手;有的同学想直接设出直线的方程,利用点到直线的距离公式求解,但因所设的参数较多,而使思维受阻,一时很难展开.实际上,若记着两圆公切线的定义与性质,联想题设特征,将问题转化为确定两圆的位置关系,则便有“柳暗花明”的感觉.
解 记以A(1,2)为圆心,1为半径的圆为圆A,以B(3,1)为圆心,2为半径的圆为圆B,
因为AB=(3-1)2+(1-2)2=5,且1<5<3,故两圆相交,故它们有两条外公切线,即满足题意的直线有2条.
点评 解本题的关键是运用转化与化归的思想,但前提是熟悉两圆公切线的性质.
实际上,(平面)解析几何是用代数方法进行研究的几何学.因此,在学习这部分知识时,不能偏重于应用代数(函数、方程、不等式)的思想方法来解题,而忽视(平面)几何思想方法的应用.其实,若能恰当地应用(平面)几何的性质来解题,则对拓广解题思路,打破思维定势,减少解题运算量,都将起到非常重要的作用.
巩固练习
1. 已知圆C的圆心在直线x+2y=0上,圆C过点A2, -3,且被直线x-y-1=0截得的弦长为22,求圆C的方程.
2. 已知直线2x+y-6=0,x-2y+8=0及x-y=0,求它们所围成的三角形的外接圆方程.
3. 设函数f(x)=(x-2008)(x+2009)的图像与坐标轴有三个交点,求过这三点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标.
4. 已知直线y=mx与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于P,Q两点,试求OP•OQ(其中O为坐标原点)的值.
5.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为.
6. 已知P是圆x2+y2=1上的任一点,Q是直线x+2y-5=0上的任一点,则PQ的最小值为.
一道圆几何性质的变题 篇4
变题思路: 原题的目标角转化最大角之后, 即相切的情况, 那么过圆外一点作圆的切线, 可以作两条切线, 故也可以从这个角度命题.
分析: 目标式是向量数量积的运算, 数量积的运算可以用坐标或用定义. 由题意用坐标要建系而定义容易得多, 而切线长一定是转化到, 利用三角形, 结合基本不等式即可.
变题思路: 椭圆离心率一向是高考热点, 学生也比较害怕, 这种模型也可以和椭圆相结合, 考查学生综合思维品质.
14.1平面及其基本性质 篇5
一、教学目标
1、掌握三个公理及其推论
2、会运用三个公理及其推论判断与证明共线、共面
3、通过实例让学生把实际问题抽象成数学模型
二、教学重点难点
重点：三个公理及推论 难点：应用三个公理与推论证明
三、教学过程
（一）复习引入
平面概念、平面表示、平面画法、几何语言、图形语言、集合语言转化
（二）新授
公理
1、如果直线l上有两点在平面上，那么直线l在平面上。
集合语言：若Al,Bl，且A,B，则l。
公理1是判断直线在平面内的依据。即如何证明直线在平面内。例、已知A,B，M是线段AB的中点，求证：M
引例：将一张纸折起来，使点A在折痕上，观察两个平面公共点情况。
公理2：如果不同的两个平面,有一个公共点，那么,的交集是过点A的直线l。集合语言：对于不同的两个平面,，若存在A,则l，且Al。
公理2是判断平面相交的依据 两个平面相交、两个平面平行的定义：
如何画两个相交平面？（被遮住的部分画虚线或不画）请同学举生活中的例子。
引例：停放自行车
数学高二（下）
公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面（确定：有且仅有）推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面 证明(略)推论2：两条相交直线确定一个平面 推论3：两条平行直线确定一个平面 公理3及其推论是确定平面的依据
（三）巩固练习
例1：判断下例各命题的真假：
1、若点A,B,C平面，且A,B,C平面，则与重合。
2、过一条直线和一点可以确定一个平面。
3、如果两个平面有A,B两个公共点，那么直线AB上所有点都是这两个平面的公共点。
4、四边形是平面图形。
5、若 四个点共面，则它们中任何三点都不在一直线上。
6、所有梯形是平面图形。
例2：已知直线l1,l2和l3两两相交，且三线不共点，求证：直线l1,l2和l3在同一平面上。证明（略）
注：证明共面思路：先根据公理3或其推论确定一个平面，再证明其他点、线在平面内。例
3、已知a、b、c是空间三条直线，且a//b，c与a、b平面上。
都
a、b、c在同一
例4：已知A、B、C、D是空间四点，且点A、B、C在同一直线L上，点D不在直线L上，求证：直线AD、BD、CD在同一平面上。
例5：空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？
6、判断题：答案正确的在括号内打“√”不正确的在括号内打“×”（1）两条直线确定一个平面（）
（2）经过一点的三条直线可以确定一个平面（）；
（3）点A在平面内，也在直线a上，则直线a在平面内（）；（4）平面和平面相交于不同在一条直线上的三个点A、B、C、（）；
数学高二（下）（5）三条直线两两相交则不共面（）；
7、在空间四点中，无三点共线是四点不共面的（）
（A）充要条件（B）充分但不必要（C）必要但不充分条件（D）既不充分又不必要条件
平面几何性质 篇6
（一）地位和作用
本课为湘教版八年级上册第二章第五节《全等三角形》第一课时所教授的内容，在三角形的相关知识中具有重要的地位和作用：它是探究三角形全等条件的基础，是证明线段相等、角相等的重要依据，也是渗透对应思想的重要一课，同时为学生之后学习三角形相似奠定基础，而学生之前已经学习了三角形和图形平移、旋转、翻折的基础知识，因此，该课在有关三角形的知识结构中具有承上启下的作用.
（二）教学目标
1.知识与技能：（1）理解全等图形、全等三角形的概念及全等三角形的表示方法；（2）能熟练找出全等三角形的对应顶点、对应边和对应角；（3）掌握全等三角形的对应边、对应角相等的性质，并能运用该性质进行简单的几何推理.
2.过程与方法：（1）让学生经历观察、猜想、合情说理、归纳总结的过程，获取全等三角形的基础知识；（2）让学生观察、分析图形变换的规律，寻找全等三角形经过图形变换后的对应关系，提高学生的识图能力和简单的几何推理能力，积累数学活动经验.
3.情感态度与价值观：（1）通过引导学生观察图形的平移、旋转、翻折过程，培养其运动观点；（2）通过引导学生观察图形变换及亲自动手操作，发展其空间观念，培养其几何直观；（3）通过组织学生经历观察、分析、交流、讨论的过程，培养其独立思考和团队合作的意识与能力.
（三）教学重难点
1.重点：探究全等三角形的性质，准确辨认全等三角形的对应元素.
2.难点：运用全等三角形的性质进行简单的推理和计算.
二、教学设计
（一）教法选择
本课属于几何类新知课，教法上我们拟采用新知课的四环节教学模式进行设计：第一环节“问题导入”，旨在设疑激趣；第二环节“新知探究”，重点是合情归纳；第三环节“变式应用”，重点是图形变换；第四环节“总结升华”，重点是应用思维导图沟通新旧知识间的联系.
（二）教学内容的考量因素
1.基础性.学习三角形全等，是之后学习三角形相似的基础，因此，在课中渗透对应思想至关重要.
2.关联性.全等三角形与图形变换息息相关，图形变换就是一种全等变换，所以在运用全等三角形解决问题时，常常可以通过图形变换来寻找或构造全等三角形.
3.拓展性.全等三角形是几何图形由线、角的开放图形到封闭图形的过渡，研究范围可拓展到对图形形状、周长、面积的多元探究，因此在教学素材的选取上，我们拟选择平移、旋转、翻折三种图形变换作为变式教学的载体，将全等三角形的概念和性质融合在具体的问题中，通过问题解决培养学生的识图能力和计算说理能力，进而突破教学的重、难点.当然，对于本文所呈现的教学设计，我们还可以根据学情的不同做适当的删减.若学生基础好，整体水平高，可选择梯度大的问题进行教学；若学生基础薄弱，整体水平较低，可选择坡度缓的问题进行教学.变式教学的宗旨是更精确地因材施教，让不同层次的学生都能得到相应的发展.
（三）教学过程
1.问题导入：设疑激趣，操作导入
在“问题导入”环节，让学生观察、猜测老师手中的纸片有几张（看似只有一张，但又似乎不止一张；图片形状如图1所示），使学生的直觉与教师的提问暗示产生冲突，在这似是而非的情境中，学生的探究兴趣被激发，而全等图形“完全重合”的概念已巧妙地隐含在这个猜测游戏中.
问题1：猜猜老师手中的纸片有几张？
2.新知探究：合情说理探究法
在“新知探究”环节设计两个小问.第一小问引导学生从整体角度观察全等图形与全等三角形的特点，使之从中发现两组图形“完全重合”的共性；第二小问引导学生从微观元素观察全等三角形的对应点、对应边、对应角的关系，进而运用“合情说理”进行新知归纳.
问题2：（1）观察老师手中的两组图形（见图2、图3），说说它们有什么共同特点？（2）若老师将图3中的两张图片重叠在一起，请观察这两个三角形，说说它们有哪些对应关系？
★引导学生归纳全等三角形的概念及性质.
（1）全等图形定义.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
（2）全等三角形的概念及性质.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.表示：用符号“”连结，如△ABC△DEF，读作“△ABC全等于△DEF”.点的对应与线的对应分别如图4、图5.全等三角形的性质如图6.
3.变式应用：几何变式中的“图形变换”变式
在这个环节，共设计四个问题，从问题3到问题6.
问题3安排一组根据图形变换设计的变式图，由平移（沿BC边平移，点B的对应点E分别在BC边上、在BC的顶点C处、在BC的延长线上，见图7、图8、图9）→旋转（绕△ABC的顶点A旋转，旋转角分别小于∠BAC、等于∠BAC、大于∠BAC，见图10、图11、图12）→翻折（沿BC边翻折，沿过点B的任意一条直线如BF、BD翻折，分别见图13、图14、图15）；
问题4选取平移变换所得的图7进行问题设计，设计思路是由找对应边、对应角→已知一个角求对应角→已知两个角求其余角→已知一条边求对应边→用字母变式线段的长度（由特殊到一般）→找与BE（平移距离）相等的线段（问题由封闭到开放）；
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问题5选取旋转变换所得的图10进行问题设计，设计思路是由找对应边、对应角→已知一个角求角→已知两个角求角→找与∠1（旋转角）相等的角；
问题6选取轴对称变换所得的图13进行问题设计，设计思路是由找对应相等的线段→找等腰三角形→判定线的位置关系→已知垂线段求面积问题，问题设计由浅入深、层次推进.
设计以上4个问题，旨在引导学生通过观察图形变换，培养识图能力，进一步探究图形在变换过程中蕴含的变化规律和数量关系.
问题3：请同学们运用图形的平移、旋转、翻折规律，分析下列图形分别是经过了怎样的变换得到的.
问题4：如图7，将与△重合的△沿边向右平移至如图所示的位置，指出图中的对应边、对应角.
变式1：若∠A=100°，则∠D=________.
变式2：若∠A=100°，∠B=40°，你能求出图中哪些角？
变式3：若AB=5cm，则DE=_______.
变式4：若BC=acm，将△DEF由点B出发，沿BC平移bcm，你能用a、b的代数式表示哪些线段长度？
变式5：连接AD，图中与BE相等的线段有_______.
问题5：如图10，将与△重合的△绕点旋转至如图所示的位置，指出图中的对应边、对应角.
变式1：若∠B=50°，你能求出哪个角，它的值是多少？_______.
变式2：若∠B=50°，∠C=30°，你能求出图中的哪些角？
变式3：图中与∠1相等的角是_______.
问题6：将与△重合的△沿翻折至如图13所示的位置，并连结，请找出图中对应相等的线段.
变式1：请写出图中所有的等腰三角形.
变式2：试判定AD与BC的位置关系，并说明理由.
变式3：若OA=2cm，BC=5cm，你能求出哪些量？
★经过以上变式应用教学，可引导学生归纳全等三角形性质的以下应用.
（1）全等变换.平移、旋转、轴对称都是全等变换.
（2）对应关系.图形位置：通过图形形状确定对应关系；符号位置：通过字母位置确定对应关系.
（3）数量和位置.平移：对应点的连线相等且平行（或共线）；对应边相等且平行（或共线）；对应角相等.旋转：对应边相等；对应角相等；对应边的夹角等于旋转角.翻折：对应点的连线被对称轴垂直平分；对应边相等；对应角相等.
4.总结升华：思维导图归纳法
在这个环节，用三个小问引导学生回顾本节课的学习内容，沟通新旧知识间的联系，强化图形变换在全等三角形中的应用，在图形变换变式应用中掌握平移、旋转、翻折的特征.
问题7：通过本节课的学习，你掌握了哪些新的知识？这些新知与哪些旧知之间有紧密联系？通过问题解决，你从中收获了什么？
在本环节，我们主要想运用思维导图归纳法（见图16），帮助学生整理整节课的内容框架，归纳出有关线段中隐含的数量与位置关系以及有关角中隐含的数量关系，再以此为基础去研究图形形状和图形面积等问题.
（责编 白聪敏）
平面几何性质 篇7
著名的美国数学家、数学教育家波利亚指出:“对于学习数学的学生和从事数学工作的教师来说, 猜想是一个重要的方面, 因为:在证明一个数学定理之前, 你先得猜测这个定理的内容;在你完全做出详细的证明之前, 你先得猜测证明的思路;你既要把观察到的结果进行综合, 然后加以类比;又要一次一次地进行尝试……我们通常得到的那个证明 (或解答) , 就是这样通过合情推理、通过猜想发现的.”由此可见, 数学是伴随着猜想而发展的, 从这个意义上来说“怎么强调猜想的重要性都不为过!”立体几何教学所倡导的“直观感知、思辨论证、度量计算”的教学理念, 从某种意义上来说可以理解为让学生经历操作、实验、观察, 通过分析、综合, 提出猜想, 再对猜想进行计算验证和证明, 最终形成结构优良的知识体系.基于上述理解, 我校高二数学备课组在2011学年上学期的集体备课、教研活动中以“用行动阐释课程理念, 向课堂要效益”为主题, 在立体几何教学中进行了一些有益的尝试, 其中不乏精彩的案例, 现择其一例“人教A版必修2‘平面与平面平行的性质’”实录如下, 并附上个人的一些思考.
1 课例实录
1.1 引入新课——教学生猜想策略
教师打开PPT, 依次展示牛顿和波利亚的图片 (如图1) , 并简单介绍:牛顿Isaac newton (1643—1727) 英国科学家, 人类历史上最伟大的科学家之一, 其名言:没有大胆的猜想, 就不可能有伟大的发明和发现!
波利亚George Polya (1887—1985) 美籍匈牙利数学家, 当代最著名的数学家之一, 法国科学院、美国科学院、匈牙利科学院院士, 其名言:数学既要证明, 又要猜想!
师:由此可见猜想的重要性, 这节课让我们一起来进行一次猜想之旅!我们猜想的主题是:两个平面平行有哪些性质?如何猜想呢?猜想的常见策略之一是:适当增加条件.
1.2 操作感知——运用猜想策略
师:如图2, 两个平面放在这儿能发现什么吗?
生:发现不了什么.
师:那怎么办呢?
生1:可以增加一条直线.
师:你比划给大家看看.
生1: (在黑板上边比划边说) 当直线l与平面α相交时, 也必定与平面β相交, 当l在α内时, 必与平面β平行, 当l与α平行时, l与平面β平行或在β内. (教师板书记录)
生2:可以添加两条直线, (以两只笔代替直线摆弄了一小会儿, 在教师的提示下发现) 如果两条直线平行, 那么夹在两平行平面间的线段长度相等.
师:上面两位同学通过添加直线, 发现了4个结论, 其他同学还有想法吗?
生3:还可以添加平面, 如果一个平面和两平行平面中的一个平行, 也必定平行于另一个平面;如果一个平面和两平行平面中的一个相交也必定和另一个相交.
(此时, 有学生在小声议论, 认为学生3发现的第二个结论没什么意义)
师:大家在议论什么?认为第二个结论没什么意义是吗?可别忘了平面相交有交线哦!……
生4:这两条交线是平行的, 比如这两本书平行摆放, 第三本书与这两本书无论怎么样相交, 上下两条边总是平行的.
师:你能用语言表述出来吗?
生4:如果一个平面和两个平行平面相交, 那么两条交线平行.
1.3 思辨论证——在证明中学会推理
师:通过增加直线或者是平面, 同学们发现了7个结论, 严格来讲, 这7个结论只能算7个猜想, 猜想是否正确还需要严格的证明, 要证明这7个猜想, 我们先要做哪些工作?哪位同学说说看.
生5:先要画出图形, 再根据猜想写出已知、求证, 然后才是证明.
师:对, 我们先要根据猜想的条件、结论画出图形, 再用符号语言写出已知、求证, 这就是我们常说的文字语言、图形语言、符号语言三者之间的转换, 下面请第一组同学证明结论1, 2, 3, 第二组同学证明结论5, 第三组同学证明结论7.
学生独立完成证明后, 教师每组挑选一个同学的证明, 通过投影引导大家一起分析图形画的是否正确、符号语言表示是否准确、推理过程是否合乎逻辑, 订正错误, 并对照检查自己的证明过程.
1.4 整理结论——在反思中建构
师:数学在其发展过程中发现的结论不计其数, 但是能够作为定理、性质的却不多, 同学们想想, 要是从上面7个命题中选择一个作为“平面与平面平行的性质”, 你会选择哪一个?理由是什么?
生6:我会选择第2个, 即:“若两平面平行, 那么一个平面内的任何一条直线必定与另一个平面平行.”因为由线面平行可以判定面面平行, 反过来由面面平行可以得到线面平行, 前后呼应.
生7:我会选择第7个, 即:“如果两个平行平面都和第三个平面相交, 那么所得的两条交线互相平行.”理由是:线线平行是所有平行的基础, 能够由最复杂的面面平行得到最基本的线线平行是一种回归, 揭示了知识间的关联, 应用更加广泛.
……
师:同学们说得很有道理, 受大家刚才的启发, 我个人认为作为定理、性质必须具备这样几个条件: (1) 表述简洁、明了; (2) 应用广泛; (3) 能贯通前后知识间的联系.以上仅是我个人的一点看法, 就我所知还没有看到有关这方面的一些论述, 有兴趣的同学不妨就这个问题做些研究, 我期待将来有一天能看到在座某位同学的研究结果, 课本上是把第7个结论作为性质, 第2个结论也可以作为性质, 到今天为止, 我们研究了线线平行、线面平行、面面平行的判定与性质, 请大家画一个知识框图揭示三种平行间的关系.
引导学生得到图3的知识结构框图, 教师小结:由左至右, 研究的问题越来越复杂, 复杂的问题都是转化为简单问题进行研究, 这体现了数学中的“化归与转化”的思想, 由右至左是性质, 可以看出, 复杂的问题中蕴含着简单性质.
1.5 习题训练——实战中提炼方法
问题:如图4, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别为AB1, BD的中点, 求证:EF∥平面BB1C1C.
师:请大家结合知识结构框图从方法的角度分析:证EF∥平面BB1C1C有哪些思路? (思考了大约一分钟)
学生8:有两个思路, 从判定的角度看只需证明直线EF与平面BB1C1C内的一条直线平行即可, 从性质的角度来看, 只需要证明经过直线EF的某个平面与平面BB1C1C平行就好了.
师:分析得很对, 做题先要分析思路, 再动手寻找方法, 这叫“宏观上把握方向, 微观上探寻路径”, 下面请大家沿着刚才的思路写出具体的证明过程.
两个学生板演, 其他学生在草稿本上完成, 再集体批改学生的板演, 交流不同的证明方法.
2 几点思考
平面与平面平行的性质是中学阶段从形的角度研究平行关系的最后一节内容, 学生由线线平行到线面平行, 再到面面平行, 图形渐次复杂, 但是研究的问题是不变的:如何判定?有何性质?研究的方法一以贯之的转化与化归, 既然是平行关系的收官课, 教学不能仅仅定位在性质定理的教学上, 还要凸显研究的思想方法, 构建平行关系的知识网络, 如何把这三者有机的融合是上好这一节课的关键.
2.1 性质教学——起于猜想, 提升于选择
命题教学是数学教学的重要内容之一, 命题的获得有两种形式:呈现式和发生式两种, 前者是教师直接给出命题, 后者是在揭示命题发生、发展的过程中使学生感悟命题发现的方法.平面与平面平行的性质, 图形简洁、直观, 具有较强的操作性, 易于学生探究, 利于采用发生式引导学生获得命题, 能较好的践行新课程理念, 在新课引入就阐明:这节课我们要进行猜想之旅;猜想的常见策略是增加条件, 以确保后续的猜想得以顺利进行.学生在动手操作过程中提出了7个猜想, 教师没有一一证明, 而是在7个猜想之后, 明确提出要求:画出图形、写出已知求证, 分组完成证明.很好的做到了自然语言、图像语言、符号语言之间的转换, 7个命题的证明对学生来说并不困难, 而作为性质不可能面面俱到, 选哪个命题作为性质呢?把选择权教给学生, 让学生在选择的过程中阐明理由, 深化对知识体系的认识, 这种取舍不是简单、随意的选择, 而是通过对知识前后关联的思考、比较中, 选取联系最紧密、应用最广泛的命题作为性质.
2.2 在梳理过程中建构知识网络, 凸显思想方法
平面与平面平行的性质是几何意义上研究平行关系的收官课, 关于平行的梳理学生可以自主完成, 用框图形式勾勒出知识发生发展的逻辑结构、研究的问题、研究的方法, 聚三者于一图, 易于学生从整体上构建知识网络, 感悟数学研究的方法.在例题教学中, 教师不急于给出证明, 而是要求学生结合问题条件、结论和知识框图, 宏观上分析证明的思路, 在应用中深化对数学思想方法的理解.
参考文献
[1]陈继理, 江建国.“生”动的课堂才是高效的课堂[J].中国数学教育 (高中版) , 2012 (1-2) :43-45.
[2]喻平.数学教育心理学[M].南宁:广西教育出版社, 2004.
从椭圆的简单几何性质谈教学创新 篇8
一、以问题为中心, 注重过程教学
首先, 设计如下情境, 提出反常规的问题.
设M (x, y) 是椭圆上任意一点, 焦点F1和F2的坐标分别是 (-c, 0) , (c, 0) (如图1) .由椭圆的定义可得 :
问题1:为什么将 (3) 式作为椭圆的标准方程?
对于这一问题的提出, 学生首先会感到奇怪, 似乎 (3) 式作为标准方程是顺理成章的, 预先规定的, 进而师生共同展开热烈讨论, 然后教师总结.我总结大致有以下几点理由:
1. (3) 式简捷 , 具有对称的美感.
2. (3) 式为我们提供了求椭圆轨迹的标准方程 , 方便用待定系数法求解轨迹的方程.
3.根据解析几何用曲线的方程研究曲线的几何性质这一特点, (3) 式方便研究椭圆的几何性质.
针对上述理由3, 教师可以组织学生就如何利用 (3) 式从整体上把握椭圆的曲线的形状, 展开讨论.这样便自然引出:范围、对称性、顶点、离心率等教材中要求的内容.若要进一步研究椭圆的曲线, 就需要列表、描点、连线等常用手段, 于是课文中的例3便自然出来了.
二、以探究为热点, 培养创新意识
由于有了第一节课的基础, 本节课教师的问题设计显然很自然了.
老师:上节课我们讨论了 (3) 式作为椭圆标准方程的诸多优点, 自然我们会有:
问题2:将 (3) 式作为椭圆的标准方程有什么缺点?
对于这一问题学生感到有些困难, 教师和学生一起比较圆的标准方程的优点后, 发现 (3) 式无法揭示椭圆上的动点到定点的距离之和等于定长2a这一本质属性, 相比之下 (1) 式恰好具有这一优点.于是师生一起可以讨论 (1) 式的优缺点, 具体可得:
1. (1) 式充分揭示了椭圆的定义.
2. (1) 式难以讨论椭圆的其他几何性质 , 如范围、对称性、顶点, 等等.
通过以上讨论, 自然产生问题3:是否存在一个方程, 同时体现椭圆的第一定义和椭圆的几何性质? 自然将目光转向 (2) 式, 将 (2) 式变形, 得
(5) (6) 两式将椭圆上点到焦点的距离转化为只和焦点的横坐标有关的一维算式, 充分体现了数学降维思想.而 (7) 式正好揭示了椭圆的第二定义, 如图2所示.
如此处理教材, 自然流畅, 既能完成教学任务, 又能充分揭示知识的发生过程, 通过被人们所遗弃的 (2) 式, 挖掘出如此宝贵的教学成果, 这会让学生兴奋不已.在品尝创新果实的同时也培养了学生的创新能力.
三、以反思为主调, 奏响创新旋律
务必指出, 反思是创新的源泉.通过前二节课的探索, 特别是第二课时获得一系列创新成果以后, 教师更要引导学生养成良好的反思习惯, 打破思维定势, 争取更大的突破.
总结上二节课的讨论, 我们发现对 (1) 式的每一次变形, 都会取得一系列令人激动的科学成果, 那么自然会问:
问题4: (1) 式还有其他变形吗? 如果有又能得到什么收获呢?
此时, 学生的思维已被激活, 讨论积极, 热情高涨, 通过讨论可获得一系列成果如下。
成果一:将 (1) 两边平方, 整理可得:
(8) 式揭示了椭圆的又一本质属性 :
即, 椭圆上动点到两焦点的距离之积, 和它到椭圆中心距离的平方之和等于常数 (如图3) .
成果二:将 (5) (6) 代入 (8) 式可得:
若将动点到中心的长度称为椭圆的半径, 那么 (9) 式给出了椭圆半径的计算方法, 它只和该点的横坐标有关, 同样起到降维作用.
(10) 式给出了椭圆的又一本质属性 :即椭圆上动点到两焦点的距离之差与该点到椭圆的一条对称轴 (垂直于焦点所在直线) 的距离之比是一个常数.
.成果四:在△F1MF2中 (图1) , 设∠F1MF2=α, 则由余弦定理可得:
(12) 式给出了椭圆半径与动点到两焦点连线所成角的关系.
应该指出:本节课的创新讨论是无止境的, 关键在于培养学生的创新意识, 当然由于学生的程度不同, 得到的成果也不同, 无论如何, 教师都应给予学生充分肯定.
从对 (1) 式做变形看, 自然也可考虑将其他式子变形, 如将 (3) 式变形成
y2/ (x-a) (x+a) =b2/a2, 于是可得 , 椭圆上动点到两焦点A (-a, 0) , B (a, 0) 的连线的斜率之积等于常数.
参考文献
[1]李佰春.数学教育学[M].合肥:安徽大学出版社, 2004.
[2]顾沅.教学任务与案例分析.上城教育信息港.
[3]顾沅.追求卓越—教师专业发展案例研究[M].人民教育出版社.
[4]罗增儒.中学数学课例分析[M].陕西师范大学出版社.
平面几何性质 篇9
一、用几何画板画出指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 的图像.
1. 建立画板文件
( 1) 新建一个画板, 选择“文件”菜单中的“保存”命令, 输入文件名“指数函数及其性质”, 保存其文件;
( 2) 打开几何画板, 选择“绘图”菜单中的“定义坐标系”命令, 绘图区出现带网格的直角坐标系, 选择绘图中菜单中的“隐藏网格”命令, 将网格隐藏掉.
2. 建立参数a的动态系统
( 1) 用点工具在y轴上绘制1 个点A;
( 2) 同时选中点A和x轴, 选择“构造”菜单中的“平行线”命令, 构造出过点A且与x轴平行的直线;
( 3) 用“点工具”在平行线上绘制一个点B, 改其标签名为a, 选中平行线, 选择“显示”菜单中的“隐藏平行线”命令, 隐藏平行线;
( 4) 选中点A、a, 选择“构造”菜单中的“线段”命令, 构造连接A、a两点的线段;
( 5) 选中线段Aa, 选择“显示”菜单中的“线型”命令, 将线段的线型设置为粗线. 保持线段的选中状态, 选择“显示”菜单中的“颜色”命令, 将线段的颜色设置为红色, 隐藏点A;
( 6) 选中点a, 选择“度量”菜单中的“横坐标”命令, 度量a点的横坐标, 然后把其标签改为a, 如图1 所示.
3. 建立并绘制函数图像
( 1) 选择“绘图”菜单中的“绘制新函数”命令, 打开新建函数对话框;
( 2) 单击度量值“a = …”, 在顺次点击对话框中的按钮* , x, ^, 2, 完成构造函数f ( x) = ax, 单击“确定”关掉对话框, 如图2 所示.
说明: 拖动a点, 可以看见函数的图像随a值的变化而产生相应的变化.
4. 建立自变量与函数的对应关系
( 1) 用“点工具”在x轴上构造一点, 度量出该点横坐标的值, 将坐标的标签改为x;
( 2) 选择“数据”菜单中的“计算”命令, 打开“新建计算”对话框, 单击函数式f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) , 再单击x横坐标的值, 计算自变量x的函数值f ( x) ;
( 3) 顺次选中文本x, f ( x) , 选择“绘图”菜单中的绘制 ( x, y) 命令, 绘制点 ( x, f ( x) ) , 将它与自变量x对应的点用虚线连接起来;
( 4) 选中点 ( x, f ( x) ) , 选择“度量”菜单中的“坐标”命令, 度量该点的坐标, 如图所示;
( 5) 同时选中点 ( x, f ( x) ) 和它的坐标, 按住[shift]键, 选择“编辑”菜单中“合并文本到点”命令, 将这个坐标动态地显示到点 ( x, f ( x) ) 的位置, 如图3 所示.
说明: 拖动x轴上自变量对应的点, 可以看见函数图像上对应点的坐标在不停地变化, 非常形象地反映了函数的动态对应关系.
例1利用f (x) =的图像, 作出下列各函数的图像.
(1) f (x+1) ; (2) f (x-1) ; (3) f (x) +1; (5) f (x) -1.
解先画出函数f (x) =的简图.
(1) 把函数f (x) =的图像向左平移一个单位, 可得到函数f (x+1) 的图像;
(2) 把函数f (x) =的图像向右平移一个单位, 可得到函数f (x-1) 的图像;
(3) 把函数f (x) =的图像向上平移一个单位, 可得到函数f (x) +1的图像;
(4) 把函数f (x) =的图像向左平移一个单位, 可得到函数f (x) -1的图像;如图4.
二、利用几何画板探究指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 的性质.
1. 在同一平面直角坐标系中作出指数函数f ( x) = 2x和g ( x) = (1/3) x的图像, 如图5.
通过图 ( 五) , 我们发现指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 有下面几个性质:
( 1) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的图像位于一、二象限;
( 2) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的定义域都是R;
( 3) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的值域都是 ( 0, + ∞ ) ;
( 4) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的图像都过定点 (0, 1) , 即x = 0 时, y = 1
( 5) 当a > 1 时, 函数在R上为增函数; 当0 < a < 1 时, 函数在R上为减函数.
( 6) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数无奇偶性.
2. 在同一坐标系中作出指数函数f ( x) = 3x和g ( x) =4x的图像, 再作出函数
通过图6, 我们发现, 指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 还具有下列一些性质:
( 1) 在y轴的右侧, 图像从上到下相应的底数由大变小;
( 2) 在y轴的左侧, 图像从上到下相应的底数由小变大;
(3) 当底数a互为倒数时 (例如:y=3x与, 这两个指数函数的图像是关于y轴对称.
例2 比较下列数的大小.
解 ( 1) 在同一平面直角坐标系下画出函数y = 1. 3x的图像, 由于此函数在R上为增函数, 而2. 4 < 3, 故1. 32. 4<1.33;
( 2) 在同一平面直角坐标系下画出函数y = 0. 8x的图像, 由于此函数在R上为减函数, 而- 0. 8 < - 0. 6, 故0.8-0.8>0.8-0.6;
(3) 在同一平面直角坐标系下画出函数, y=4x, y = 3x, y =的图像 ( 如图六) , 由于在y轴的右侧, 图像从上到下相应的底数由大变小, 故当自变量都取1. 7时, 有41. 7> 31. 7>
三、结束语
指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数, 所以在这部分的教学安排上, 我更注意学生思维习惯的养成. 通过研究几个特殊的底数的指数函数得到一般指数函数的规律, 这符合学生由特殊到一般的, 由具体到抽象的学习认知规律. 另外, 通过多媒体教学手段, 用计算机作出底数a变换的图像, 让学生更直观、深刻的感受指数函数的图像及性质. 学生真思考, 学生的真探究, 才是保障教学目标得以实现的前提, 在教学中, 教师通过教学设计要以给学生充分的思维空间、推理运算空间和交流学习空间, 努力创设一个“活动化的课堂”才可能真正唤起学生的生命主体意识, 引领他们走上自主构建知识意义的发展路径.
总之, 用几何画板来研究函数, 它所产生的作用是巨大的, 他不但可以模拟知识发生的过程, 更能让学生自己探索出公式和定理, 让学生体验了当数学家、发明家的滋味, 这也真正实现了从“学数学”到“做数学”, 再到“玩数学”, 更能激发学生学习数学的兴趣, 使数学课堂成为充满探索性、趣味性和挑战性的精彩世界.
摘要：通过人教A版教材高中数学必修一第37页用几何画板画出函数图像y=bx2的启发, 本文借助几何画板这个教学软件, 以指数函数为例, 引导学生快速作出指数函数f (x) =ax (a>0, a≠1) 的图像, 并且在同一坐标系下作出多个指数函数的图像, 然后观察指数函数f (x) =ax (a>0, a≠1) 的图像随a的变化而发生怎样的变化, 比较各指数函数图像的形状和位置, 从而得到指数函数f (x) =ax (a>0, a≠1) 的性质, 然后再利用指数函数的性质来解决关于指数函数所涉及的问题.
关键词：几何画板,指数函数,指数函数图像
参考文献
[1]罗永健.利用几何画板研究函数的性质例谈[J].基础教育论坛, 2011 (6) .
平面几何性质 篇10
文章通过运用几何画板动态解析二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k是如何产生的,动态解析一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c的改变后二次函数的图象是如何变化的,从中梳理二次函数的图象和性质。
一、二次函数y=ax2的图象与性质
在二次函数的图象和性质的教学中,我们是从简单的二次函数y=ax2入手学习二次函数的图象和性质的。二次函数y=ax2中只含有一个系数a,我们利用几何画板改变a的取值观看y=ax2的图象的变化。
从图1、图2发现:a>0时,二次函数y=ax2的图象开口向上;a<0时,二次函数y=ax2的图象开口向下。
利用几何画板,把二次函数y=ax2的左侧抛物线翻折到右侧(如图3、图4所示),可以发现:二次函数y=ax2不管a的正负,其对称轴都是y轴(即直线x=0);顶点坐标是(0,0)。当a>0时,图象有最低点,即有最小值0;当a<0时,图象有最高点,即有最大值0。
在二次函数y=ax2上取一点Q,通过移动点Q。如图5所示:当a>0时,在y轴左侧(即x<0),y随x的增大而变小;在y轴右侧(即x>0),y随x的增大而增大。如图6所示:当a<0时,在y轴左侧(即x<0),y随x的增大而增大;在y轴右侧(即x>0),y随x的增大而变小。
二、二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的动态形成
在函数的学习中,先学习最简单函数。从简单到复杂,从特殊到一般。二次函数顶点式的形成可以看作由二次函数y=ax2的图形移动得到。
1. 二次函数y=a(x-+h)2可以看作y=ax2左右移动得到
如图7所示:y=0.4(x+4.7)2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向左移动4.7个单位长度得到。y=0.4(x-4.7)2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向右移动4.7个单位长度得到。
归纳规律:函数图象向左移动时,在表达式y=ax2中x后加上移动的单位长度;函数图象向右移动时,在表达式y=ax2中x后减去移动的单位长度(即“左加右减”)。
2. 二次函数y=ax2-+k可以看作y=ax2上下移动得到
图8所示:y=0.4x2+4.4的图象可以看作是y=0.4x2的函数图象向上移动4.4个单位长度得到。y=0.4x2-3.6的图象可以看作是y=0.4x2的函数图象向下移动3.6个单位长度得到。
归纳规律:函数图象向上移动时,在表达式y=ax2后加上移动的单位长度;函数图象向右移动时,在表达式y=ax2后减去移动的单位长度(即“上加下减”)。
3. 二次函数顶点式y=a(x-+h)-2+k是由y=ax2左右上下移动得到
例如:图9所示,y=0.4(x-4.8)2+3.1可以看作y=0.4x2的函数图象向右移动4.8个单位长度,再向上移动3.1个单位长度得到。
通过动态解析二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的图象,从图象就可以直观得出二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的性质。如开口、对称轴、最大值、最小值、单调性等可以直接通过图象观察得到。
三、二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c与二次函数的图象的关系
1. 二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a与函数图象的关系
当b、c的值不变时,a的值发生改变,二次函数图象变化情况如图10所示,图示所表示的是二次函数y=ax2+4.3x+3.3的图象变化。
从图像中可以得到:a的改变会影响到二次函数的开口变化和对称轴的变化,然而,二次函数与y轴的交点是不会改变的。
2. 二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数b与函数图象的关系
当a、c的值不变时,b的值发生改变,二次函数图象变化情况如图11所示,图示所表示的是二次函数y=2.7x2+bx+3.3的图象变化。
从动画中可以得到:b的改变会影响到二次函数对称轴的变化,然而,二次函数的开口与y轴的交点都是不会改变的。另外,顶点运动的轨迹也是一条抛物线,该抛物线与原抛物线开口方向相反,开口大小一样,对称轴是y轴,由此可以猜想顶点运动的轨迹是y=2.7x2+3.3。
3. 二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数c与函数图象的关系
当a、b的值不变时,c的值发生改变,二次函数图象变化情况如图12所示,图示所表示的是二次函数y=1.7x2+6.6x+c的图象变化。
从动画中可以得到:c的改变会影响到二次函数与y轴的交点的改变,而图象的开口、对称轴都是不会改变的。c的值和二次函数与y轴交点的纵坐标值一样。顶点运动的轨迹是一条直线,就是y=1.7x2+6.6x+c的对称轴。
4. 二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b与函数图象的关系
有上述可知,a、b影响二次函数的对称轴位置。那a、b具体是如何决定对称轴的具体位置的呢?
综上所述,二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c与二次函数图象的关系为:a影响二次函数的开口与对称轴的位置,b影响二次函数对称轴的位置,c决定了二次函数与y轴交点坐标。
平面几何性质 篇11
例1. (苏、锡、常、镇四市2011届高三联考调研测试二)
平面内两个非零向量α, β, 满足|β|=1, 且α与β-α的夹角为135°, 求|α|的取值范围。
点评:如果这道题目只是单纯地利用代数的方法进行运算, 问题的解决将会比较困难。如果我们利用减法的三角形法则来表示α, β, β-α, 三者之间的关系。那么题中的代数量就全部可以通过三角形的边、角等几何量来表示, 这样就可以把问题转换解三角形的问题。
例2. (2013年高考湖南文科卷) 已知a, b是单位向量, a-b=0, 若c满足|c-a-b|=1, 求|c|的最大值。
∴弧AMB所对的圆心角为270°
∴弧AMB所对的圆周角∠C=135°
点评:这道题目的难点在于 (1) O为ΔABC的外心这一个条件怎么用? (2) 以5, 12, 13为长度的三条边所构成的三角形是一个直角三角形, 那么怎么样可以用好这个隐藏的几何条件?这两个难点都与“几何性质”相关。在这个时候如果可以运用向量加法的平行四边形法则, 将三个向量的代数关系用平行四边形法则来进行几何描述, 就可以很好地将“外心”以及直角三角形的几何性质性质用好, 从而顺利地将问题解决。