平面解析几何（共12篇）
平面解析几何 篇1
圆锥曲线是解析几何中的重要部分, 是高考中必考的难点内容, 其特点是在坐标系的基础上, 用坐标表示点, 用方程表示曲线, 通过代数运算处理几何问题. 在进行计算的同时综合考虑几何因素, 则能够简化运算, 起到事半功倍的效果. 下面谈谈应用平面几何解决圆锥曲线问题的几种情况.
一、求斜率
例1已知直线与抛物线C:相交于A、B两点, F为C的焦点, 若| FA | = 2 | FB | , 则k= .
解: 过A、B分别作抛物线的准线l的垂线, 垂足为M, N, 由已知, | AM | = 2 | BN | , 点B为AP中点. 则| OB | =1/2| AF | , 所以| OB | = | BF | , 故B点, 所以
二、求离心率
例2已知双曲线C的右焦点为F且斜率为31/2的直线交C于A、B两点, 若, 则 C的离心率为 .
解: 设双曲线的右准线为l, 过A、B分别作l垂线, 垂足M, N, 作BD⊥AM于D, 则∠BAD = 60°, , 由双曲线定义得
三、证明恒等式
例3已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, 抛物线C以坐标原点为顶点, 以F2为焦点, 自F1引直线l交曲线C于P, Q两个不同的交点, 点P关于x轴的对称点为M,
( 1) 求曲线C的方程
( 2) 证明:
解: ( 1)
四、定点问题
例4已知定点A ( - 1, 0) , F ( 2, 0) , 定直线l, 不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍. 设点P的轨迹为E, 过点F的直线交E于B、C两点, 直线AB、AC分别交l于点M、N
( Ⅰ) 求E的方程;
( Ⅱ) 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F, 并说明理由.
故以线段MN为直径的圆经过点F.
平面解析几何 篇2
平面解析几何是高中数学的基础内容之一，它是一门锻炼学生解析能力、计算能力和作图能力的综合性学习内容，同时也是体现数形结合解题思想的思维锻炼性学科.本文通过图例结合的方式，联系实际教学，详细地阐述了高中平面解析几何的教学策略和教学方式.高中解析几何是高中数学学习中的重点和难点，由于它的题目思维锻炼量大，题型灵活，所以部分同学难以完全理解平面解析几何的解题方式，这也给老师的教学带来了较大的困难.想要做到有效的教学，就应该做到数图结合，总结归纳简洁明了的教学策略.这样才能促进教学进程的推进.一、灵活利用平面几何中的定义进行解答
定义是数学的基础，根据长时间的教学经验，能够灵活利用定义并严谨遵循定义进行解题的学生，往往在碰见变化多样的难度较高的题型时，同样可以做出漂亮的答案.就以下面的平面解析几何中的最值问题为例.已知直线a满足4x-3y+11=0，直线b满足x=-1，同时，一个动点P在曲线C：y2=4x上运动，求动点P到直线a、b距离之和的最小值.根据定义，我们可以迅速画出曲线图.从P点向直线b作垂线段PQ，连结PF，动点P到直线b的距离可以转化为线段PF，这样便可看出距离和的最小值为F到直线a的距离d=3.所以，定义法是平面解析几何中的金钥匙，因为在定义法中明确的标明了定直线与定点以及定点与顶点间距离不变的关系，想要用最简洁方便的方法解出这道题的答案，就应该熟练掌握定义，并巧妙地加以运用，迅速找到最值问题中的突破口.而突破口一旦找到，问题也就迎刃而解.定义在数学中是最严谨的存在，一切问题的延伸都依靠着定义的支撑.而定义有时却是最绕口难懂，让学生们最容易忽略的存在.部分老师有时甚至会在课堂上说“要是定义不懂就算了，能解题就行”之类的话，这样不仅是给学生们一个错误的导向，更是大大降低了学生们的探知欲望.由此可见，定义的了解是多么重要，老师们在平时的教学中同样也需要加以重视.[HJ]
三、不忽略备课的过程
新题展（平面解析几何初步） 篇3
做一做
1. 已知集合A={（x,y）|x2+y2＜8,x,y∈Z}.
（1） 用列举法表示集合A；
（2） 记集合A={A1,A2,…,An}，n∈N* ，求直线OAi(i=1,…,n)的方程；
（3） 记集合A={A1,A2,…,An}，n∈N*，且直线AiAj(其中i,j=1,…,n且i≠j)与y轴恰有一个公共点，求所有这样的直线在y轴上的截距之和.
2. 已知曲线C：x2+ny2+2x+4y=4n表示圆,直线l:(m+1)x+my+t=0（其中t为常数），且不论m取何实数，直线l都过圆C内部的一个定点.
（1） 求n的值和t的取值范围；
（2） 若直线l被曲线C截得的最短弦长为4，求t的值.
看一看
1. （1） 可画出圆x2+y2=8，找出圆内符合要求的点；也可按x分类，x=-2,-1,0,1,2，找出相应的y的值.如果再借助对称性会更简便些.
（2） 注意对称性，再结合（1）,分别找出第一象限内、x轴正半轴上和y轴正半轴上的符合条件的点就行了.
（3） 抓住“所有符合条件的点关于x轴对称”这一性质.
2. （1） 注意到m是变化的，t是常数，因此可将直线l的方程按m来整理，即得(x+y)m+x+t=0，进而求出在m变化时直线l所过的定点.
(2) 过圆内定点的最短弦即为与定点和圆心的连线垂直且过定点的弦.
对一对
1. （1） A={(-2,-1)，(-2,0)，(-2,1)，(-1,-2)，(-1,-1)，(-1,0)，(-1,1)，(-1,2)，(0,-2)，(0,-1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,-2)，(1,-1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,-1)，(2,0)，(2,1)}.
（2） y=0,y=12x,y=x,y=2x,x=0,y=-2x,y=-x,y=-12x.
（3） 设直线AiAj(其中i,j=1,…,n且i≠j)是任意一条与y轴恰有一个公共点的直线.
由（1）知，集合A中所有的点所组成的图形关于x轴对称，所以在集合A中存在点Am,An,分别与点Ai，Aj关于x轴对称，故直线AiAj与直线AmAn关于x轴对称，这样它们在y轴上的截距和便为0，
因此，所有满足题意的直线在y轴上的截距之和为0.
2. （1）因为曲线C表示圆，所以n=1，
所以圆C：(x+1)2+(y+2)2=9，
而直线l的方程可化为：(x+y)m+x+t=0，
由x+y=0，x+t=0，得直线l恒过定点(-t,t)，
再由(-t+1)2+(t+2)2＜9，得-2＜t＜1，
所以n=1,-2＜t＜1.
（2） 由（1）知直线l恒过定点T(-t,t)，而圆C的圆心O为（-1，-2），所以OT=(-t+1)2+(t+2)2，
所以最短的弦长为29-（1-t）2-(2+t)2=24-2t2-2t，
所以24-2t2-2t=4，所以t=0或-1.
想一想
1. （1） 写出集合A中的元素时，要注意按一定的顺序.给出的答案是先按点的横坐标从小到大排，当横坐标相同时，再按纵坐标从小到大排；当然本题还有很多其他有规律的写法，如：按到原点的距离从小到大排，距离相同时，再从x轴正半轴上的点出发逆时针找出所有的点，可写成{(0,0),(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1),(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1),(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2),(2,1),(1,2),(-1,2),(-2,1),(-2,-1),(-1,-2),(1,-2),(2,-1)}.故平时要注意合理地分类，并有规律地枚举，这样才不至于重复与遗漏.
（2） 集合A中所有的点所组成的图形关于x轴，y轴及原点都是对称的，因此，在解决问题的过程中，应充分利用这一特点.
（3） 要学会整体地看问题，对于本小问，很多同学会有一种直觉：“答案为0”，但就是难以说出其道理.而说理时，应抓住本质，本题正是抓住所有符合条件的点关于x轴对称这一本质，用两两配对的方式来处理的.
平面向量与解析几何的交汇 篇4
例1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A,B两点，则cos∠AFB=
审题视点：首先联立直线与抛物线方程，求得交点A、B的坐标，再由向量的数量积公式求解。
例2.已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一条直径，求P∠E·P∠F的最值。
审题视点：第(1)问直接设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解。
解：(1)设P(x,y)，则Q(8,y)
方法总结：平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法———坐标法。
例3.已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A,B两点，点C的坐标是(1,0)。
审题视点：本题可以采用设而不求的方法，设出A(x1,y1),B(x2,y2)，对于第（1）问，先由直线与双曲线关系确定两点坐标之间的关系，再确定C∠A·C∠B的解析式，进而证明为常数即可，但不要漏掉AB与x轴垂直的情况；对于第（2）问，先设动点M的坐标，再结合条件建立有关动点M的方程即可。
解：由条件知F(2,0)，设A(x1,y1),B(x2,y2)
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k(x-2)(k≠±1)
代入x2-y2=2，有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0。
当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M(2,0)，也满足上述方程。
所以点M的轨迹方程是x2-y2=4。
平面解析几何 篇5
一、教师要强化学生知识的贯穿整合能力，提高学生的数学文化素养
在高中数学教学中教师要深刻地认识到一点，即学生学习的目标不仅仅是为了应对高考，要多对学生进行知识的前后贯穿融合，注重培养学生的数学文化素养。尤其是数学平面解析几何教学，牵扯的知识是比较多的，内容比较多，比较复杂，例如，在高中的数学平面解析几何中，学生不仅仅要对“直线与方程”足够熟悉，而且还要掌握“圆与方程”“平面直角坐标系”等等其他的一些内容，这个难度是比较大的。因此，教师在教学的过程中，要注意知识前后的贯穿，将前后的知识进行整合，在学生头脑中形成一个知识网络，不让学生把知识混淆了，不定期地对学生进行知识的检查，这对学生数学文化素养的培养有很大的帮助。
二、实现课堂的生活化，培养学生的实践能力
数学平面几何与我们的生活息息相关，在生活中的许多地方都被运用，正所谓“知识源于生活又实践于生活”。因此在高中数学教学中，教师要改变目前的教学状况，以实现课堂的生活化作为教学的目标，让学生在课堂上进行实践，在短时间内让学生掌握知识，而且还能激发学生的学习乐趣，学习的兴趣也会高涨。但是从目前的高中教学状况来看，并没有取得满意的教学效果，教学的方式受传统教学模式的影响，教学模式比较死板，课堂氛围很差，很多教师重视的并不是教学的过程，只在乎自己的教学成就，以达到教学目标为教学目的，根本不考虑教学的效率，学生的接受能力，这样就失去了课堂的本身意义，尤其是在平面解析几何的教学中，教学的重点、难点比较多，如果教师还是一味地往前冲，学生学习就会变得吃力，消化不了，复杂繁琐的解题过程可能会使学生产生厌恶的心理。因此，在教学中教师要重视教学的过程，实现课堂的生活化，找到解析几何和生活的衔接点，让学生在实践中感受解析几何的魅力，增强学生的学习动力，培养学生的学习兴趣。
三、平面解析几何的基本步骤
首先在平面解析几何过程中，教师要引导学生，让学生发现一道题中隐藏的条件，培养学生的洞察能力。现在高中数学题是比较灵活的，题目不可能告诉学生全部条件，这就要求教师引导学生发现隐藏条件，然后再熟悉已知条件，这是解题所必备的功课。
教师要引导学生明确解题的目的，让学生明白这道题主要是考查什么知识，需要用到哪些知识点，这时学生就不必再去分析题目，对题目的已知条件以及题中的隐藏条件熟练地掌握，鼓励学生运用数形结合的思想，让学生换位思考，从不同的角度去考虑问题，这是解题的一个关键环节。
在学生掌握了题中的已知条件、隐藏条件、明白此题的目的之后，教师要引导学生从题目的问题出发，重在进行条件的分析，数形结合思想的运用，换位思考，将问题分解成多个小问题，降低问题的难度，这更便于学生的解题。
总的来说，高中数学的平面解析几何教学是高中数学教学的重点难点所在，本文着重分析高中数学平面几何解析教学中面临的一些问题，以及以后教学的策略，重在降低平面解析几何的难点，培养学生的数形结合思想，提高高中数学教学的质量。
参考文献：
[1]赵玉城。关于数学课堂“有效教学”的认识与实践[J]。天津师范大学学报：基础教育版，2012(01)。
[2]张双库。数学有效教学的实践与思考[J]。数学教学研究， 2011(07)。
平面解析几何 篇6
1. （必修2P95习题2.1（3）21）已知点M（-1，3），N（6，2），在x轴上取一点P，使得PM+PN最小，求点P的坐标.
1-1. （改编）已知点M（-1，3），N（6，2），在x轴上取一点P，使得PM2+PN2最小，求点P的坐标.
1-2. （改编）已知点N（6，2），Q是圆M：（x+1）2+（x-3）2=1上任意一点，在x轴上取一点P，使得PQ+PN最小，求点P的坐标.
1-3. （改编）已知圆M：（x+1）2+（x-3）2=1，圆N：（x-6）2+（x-2）2=1，S，T分别是两圆上动点，在x轴上取一点P，使得PS+PT最小，求点P的坐标.
1-4. （改编）已知点M（1，3），N（6，2），在y，x轴上分别取点P，Q，使得PM+PQ+QN最小，求点P，Q的坐标.
2. （必修2P92例1）求点P（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.
2-1. （改编）已知点A（-1，2），P是直线2x+y-10=0上任意一点，求AP的最小值.
2-2. （改编）已知圆M：（x+1）2+（y-2）2=4，P为圆M上任意一点，求点P到直线2x+y-10=0距离的最大值与最小值.
3. （必修2P100习题2.2（1）10）已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所形成的曲线.
3-1. （改编）已知两个定点O（0，0），A（3，0）和定直线l∶y=x+2，那么直线l上是否存在点M，使=？若存在，有几个满足条件的点？
3-2. （改编）已知定点O（0，0），圆C∶（x+1）2+y2=4，M是圆C上任意一点，问x轴上是否存在定点P，使=恒成立？若存在，求出点P的坐标.
4. （必修2P103例3）求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.
4-1. （改编）已知直线l∶ax+y+-a
=0及圆C∶x2+y2=4，判断直线l与圆C的位置关系，并求出相交时弦长的最小值.
4-2. （改编）已知直线ax-by+2=0与圆x2+y2=4相交，则实数a，b满足的关系式为.
4-3. （改编）已知a2+b2＜3（a，b∈R），判断直线ax+by+2=0与圆x2+y2=4的位置关系为.（填“相交”、“相离”或“相切”）
4-4. （改编）已知两条直线l1∶a1x-b1y+2=0，l2∶a2x-b2y+2=0都过点A（1，），求过点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线被圆x2+y2=4截得的弦长.
第Ⅱ部分（人教版教材）
□ 彭世金
1. （A版必修2P90习题3.1B第6题）经过点P（0，-1）作直线l，若直线l与连接A（1，-2），B（2，1）的线段总有公共点，找出直线l的倾斜角α与斜率k的取值范围，并说明理由.
1-1. （改编）已知实数x，y满足2x+y=8，当2≤x≤3时，求的最大值和最小值.
1-2. （改编）已知直线y=kx+2与线段PQ的延长线或线段QP的延长线相交，其中P（-3，-4），Q（3，1），求直线斜率k的取值范围.
2. （A版必修2P110习题3.3A第9题）求点P（-5，7）到直线12x+5y-3=0的距离.
2-1. （改编）已知3x+4y-12=0，求的最小值.
2-2. （改编）已知一直线经过点（1，2），并且与点（2，3）和（0，-5）的距离相等，求此直线的方程.
3. （A版必修2P110习题3.3A第10题）求两条平行直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0的距离.
3-1. （改编）已知P，Q分别为直线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0上的任意一点，则PQ的最小值为.
3-2. （改编）已知直线l1∶mx+8y+n=0与直线l2∶2x+my-1=0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程.
4. （B版必修2P92习题2-2B第12题）已知直线l∶x+y-3=0，求点A（-1，1）关于直线l的对称点A′的坐标.
4-1. （改编）已知△ABC中，顶点A（2，1），B（-1，-1），∠C的平分线l所在直线方程是x+2y-1=0，求顶点C的坐标.
4-2. （改编）已知点A（1，3），B（5，2），在直线y=x上求一点P，使|PA-PB|最大，并求最大值.
5. （A版必修2P101习题3.2A第11题）一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线方程.
5-1. （改编）一条光线从点A（-3，4）射出，到达x轴上的B点后被x轴反射，到y轴上的C点后又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D（-1，6），求光线BC所在直线方程.
6. （A版必修2P107例题6）已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积.
6-1. （改编）已知△ABC中，点A（1，1），B（4，2），C（m，）（1＜m＜4），当△ABC的面积S最大时，求m的值.
7. （A版必修2P124习题4.1A第3题）圆C的圆心在直线l∶x-2y-1=0上，并且经过原点和点A（2，1），求圆C的标准方程.
7-1. （改编）已知圆C的圆心在直线l∶2x+y+1=0上，且经过原点和点P（1，1），若点Q（x，y）在圆C上，求2x+y的最大值.
8. （A版必修2P132习题4.2A第5题）求直线l：3x-y-6=0被圆C∶x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长.
8-1. （改编）设直线x-ay+3=0与圆（x-1）2+（y-2）2
=0相交于A，B两点，且弦AB的长为4，求a的值.
9. （B版必修2P103练习B第1题）两圆x2+y2=1和（x+4）2+（y-a）2=25相切，试确定常数a的值.
9-1. （ 改编）已知⊙C1∶x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，⊙C2∶x2+y2+2x-2my+m2-3=0，则m为何值时，两圆相切？
10. （B版必修2P103练习B第2题）求圆心坐标为（3，4）并与圆x2+y2=1相外切的圆的方程.
10-1. （改编）求圆心坐标为（2，1）且与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点（5，-2）的圆的方程.
第Ⅰ部分
1. 点M关于x轴的对称点M′（-1，-3），直线M′N的方程5x-7y-16=0，M′N交x轴于点P，0即为所求.
1-1. 设点P（x，0），PM2+PN2=2x-2+，所以P，0即为所求.
说明 把原题中的PM+PN改为PM2+PN2后，破坏了距离的几何意义，但可以转化为二次函数问题，通过严密的计算得到结果，体现了“解析”两字的意义.
1-2. 如图1，因为Q是圆M上任意一点，所以PQ+PN≥PM+PN-1，由原题得点P，0即为所求.
说明 把原题中的一个定点改为圆上的动点后，问题看似复杂了，其实由圆的对称性把P看成相对定点后，PQ的最小为PM-1，从而转化为PM+PN的最小.
1-3. 如图2，因为S，T分别是两圆上动点，所以PS+PT≥PM+PN-2，同上得点P，0即为所求.
说明 此题进一步把两定点都改为两圆上的动点，从而P，S，T都不确定了，但同理可以由圆的对称性转化为PM+PN的最小问题.
1-4. 如图3，点M关于y轴的对称点M′（-1，3），点N关于x轴的对称点N′（6，
-2），直线M′N′的方程5x+7y-16=0，M′N′交y，x轴分别于点P0，，Q，0.
说明 虽然增加了y轴上的一个动点，但是问题的本质仍然是应用两点之间距离线段最短这一几何性质.
2. 2. 2-1. 2. 2-2. 最大值为2+2，最小值为2-2.
3. 由题意得=，化简得（x+1）2+y2=4，点M在以（-1，0）为圆心，2为半径的圆上，如图4.
3-1. 由题意满足=的动点M在圆（x+1）2+y2=4上，而直线l∶y=x+2与该圆相交，所以满足条件的点有2个.
说明 改编的目的是考查直线与圆的位置关系.
3-2. 假设存在，设P（a，0），M（x0，y0），则
= 3（x2 0+y2 0）=-2ax0+a2，因为（x0+1）2+y2 0=4，所以-6x0+9=-2ax0+a2对x0∈［-3，1］恒成立，所以a=3，即P（3，0）.
说明 把问题的题设与结论换一下就可以成为一个逆向问题，这是培养探究能力和钻研精神的一个好途径.
4-1. 因为直线l恒过定点A，-，且点A在圆C的内部，所以直线l与圆C恒相交，且当直线l与圆C过点A的直径垂直时，弦长有最小值为2.
说明 在直线l方程上添加参数a，直线l就不确定了，但所有的直线l都过定点A，-，所以确定点A与圆的关系即可得到结果.
4-2. 由＜2，化简得a2+b2＞3.
4-3. 因为＞2，所以相离.
说明 增加参数使问题的不确定因素变多，但问题的本质没有改变.
4-4. 由a1x-b1y+2=0，a2x-b2y+2=0，可得直线P1P2：x-y+2=0，所以弦长为2.
第Ⅱ部分
1-1. 设k=，则k表示线段2x+y=8（2≤x≤3）上的点P（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，线段的两个端点为A（2，4），B（3，2），由kOA=2，kOB=并结合图形，知的最大值为2，最小值为.
1-2. 直线y=kx+2恒过定点M（0，2），结合图形可知kMQ＜k＜kPQ或kPQ＜k＜kMP，注意到kMQ=-，kMP=2，kPQ=，所以k的取值范围为-，∪，2.
2-1. 2.
2-2. 若所求直线斜率存在，可设直线方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0.由题设得=，解得k=4.此时直线方程为4x-y-2=0.
若所求直线斜率不存在，则方程为x=1，满足题设条件.
3-1. 3.
3-2. 由l1∥l2可得m=4，n≠-2或m=-4，n≠2.
当m=4，n≠-2时，直线l1和l2距离为=，解得n=-22或n=18.故l1的方程为2x+4y-11=0或2x+4y-9=0.
当m=-4，n≠-2时，直线l1和l2距离为=，解得n=-18或n=22.故l1的方程为2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.
4-1. 由对称性可求得点A关于直线l的对称点A′，-，于是BA′的方程为2x+9y+11=0.因为l平分∠ACB，所以点A′必在直线BC上，将BA′的方程与直线l的方程联立，可求得顶点的坐标为C，-.
4-2. 由对称性可求得点A关于直线y=x的对称点A′（3，1），于是直线A′B方程为x-2y-1=0，与方程y=x联立，可求得点P（-1，-1），于是|A′B|=为所求最大值.
5-1. 由入射光线与反射光线的对称性，可知点A关于x轴的对称点A′（-3，-4）在BC的反向延长线上，点D关于y轴的对称点D′（1，6）在BC的延长线上，于是kBC=kA′D′=，光线BC所在直线方程为y-6=（x-1），即5x-2y+7=0.
6-1. 由A（1，1），B（4，2），得|AB|=，直线AB的方程为x-3y+2=0，则C（m，）到直线AB的距离即为AB边上的高h，h=，则S=|AB|•h=|m-3+2|.
令=t，则1＜t＜2，且S=|t2-3t+2|=•t-2-.由图像可知当t=时，S有最大值，此时=，所以m=.
7-1. 易知线段OP的中垂线方程为x+y=1，与方程2x+y+1=0联立，可得圆心C的坐标（-2，3），所以半径r=|OC|=，圆C的方程为（x+2）2+（y-3）2=13.令2x+y=t，则直线2x+y=t与圆C有公共点，于是≤，解得-1-≤t≤-1+，故所求最大值为
-1+.
8-1. 圆的圆心为（1，2），半径r=2，又弦长为4，于是弦心距为=2，于是圆心（1，2）到直线x-ay+3=0的距离=2，解得a=.
9-1. 两圆的方程可分别化为（x-m）2+（y+2）2=9，（x+1）2+（y-m）2=4，于是C1（m，-2），r1=3，C2（-1，m），r2=2，圆心距|C1C2|=.由两圆相切，有=3±2，解得m=-5或m=2或m=-1或m=-2.
10-1. 设所求圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=r2，即x2+y2-4x-2y+5-r2=0，将其与已知圆的方程x2+y2-3x=0相减，得公共弦所在直线方程为x+2y-5+r2=0，又此直线过点（5，-2），代入即得r2=4.故所求圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=4.
平面几何知识在解析几何中的妙用 篇7
一、对比说明优劣
【例1】已知直线l:y=x+b和圆C:x2+y2+2y=0相交于不同两点A、B, 点P在直线l上, 且满足|PA|·|PB|=2, 当b变化时, 求P的轨迹.
解法一:圆C:x2+y2+2y=0的圆心C (0, -1) , r=1.
由切割线定理, 如图1所示, |PT|2=|PA|·|PB|=2>1, 故点P在圆C外,
∴点P的轨迹方程为x2+ (y+1) 2=3.
点评:显然直线AB是圆的割线, 解法一运用平面几何知识中的切割线定理求轨迹简单明了, 而且运算量得到极大地减少, 时间成本得到控制.
解法二:设点P (m, n) , 则e:y=x+b的参数方程为
将 (1) 代入x2+y2+2y=0得
显然Δ>0, 设方程 (2) 的两根为t1, t2, 由|PA|·|PB|=2, 依题意点P在AB或BA的延长线上,
即x2+y2+2y=0为P的轨迹方程, 表示以 (0, -1) 为圆心, 为半径的圆.
点评:解法二是由|PA|·|PB|=2联想到直线的参数方程中t的几何意义, 但运算量还是比较大的, 时间成本的控制不如解法一.
二、举例应用说明
【例2】已知A, B分别为曲线C: (y≥0, a>0) 与x轴的左、右两个交点, 直线l过点B, 且与x轴垂直, S为l上异于点B的一点, 连结AS交曲线C于点T.如图2, 点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点, 试问:是否存在a, 使得O, M, S三点共线?若存在, 求出a的值;若不存在, 请说明理由.
解:假设存在a (a>0) , 使得O, M, S三点共线.
设S (a, t) , 显然直线SO、BT、SA的斜率都存在, kSO=t/a,
由于点M在以SB为直径的圆上, 故BT⊥OS, 即,
两直线的交点T满足方程 (3) , 又因为点T在曲线C:上,
经检验, 当时, O, M, S三点共线,
故存在, 使得O, M, S三点共线.
点评:该解法的可取之处在于巧妙地运用“直径所对的圆周角是直角”将本题一举成功拿下.
平面几何知识在解析几何中的应用 篇8
由直线AB过点F1(-c,0),设其方程为y=k(x+c),代入椭圆方程,得(k2+b2)x2+2ck2x+k2c2-b2=0,
例3如图3,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,P在底面ABCD内运动,且满足∠DPD1=∠CPE,则点P的轨迹为()
(A)圆的一部分
(B)椭圆的一部分
(C)双曲线的一部分
(D)抛物线的一部分
思路:如图4,设MN的中点为D,则|DF1|+|DF2|=2a=6.
在△MAN,△MBN中,由三角形中位线性质,得|AN|=2|DF1|,|BN|=2|DF2|,所以,|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=4a=12.
二、特殊三角形与四边形性质
例5 如图5,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)向准线l作垂线,垂足为B,若△ABF为等边三角形,求抛物线的标准方程.
例7已知直线4x-3y+m=0与圆x2+y2=16交于不同两点A、B,O为坐标原点,C为圆外一点.若四边形OACB是平行四边形,求实数m的取值范围.
三、圆的弦与切线性质及两圆相切问题
例8△ABC的顶点A(-5,0)、B(5,0),△ABC的内切圆圆心P在直线x=3上,求点C的轨迹方程.思路:如图8,设圆P与△ABC三边的切点为D、E、F,则直线x=3过点D,由圆的切线长定理,得|AE|=|AD|=8,|BF|=|BD|=2,|CE|=|CF|,所以,|CA|-|CB|=(|CE|+|AE|)-(|CF|+|BF|)=|AD|-|BD|=6.由双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支(顶点除外),方程为.
例10已知圆M:(x+2)2+y2=4,圆N:(x-2)2+y2=16,动圆P与圆M、圆N均外切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程.
思路:由已知得圆M的圆心为M(-2,0),半径r1=2,圆N的圆心为N(2,0),半径r2=4.设圆P的圆心为P(x,y),半径为r(图略).
四、对称性
例11点P是以F1、F2为焦点,长轴长为2a的椭圆上一点,过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹是＿.
思路:如图10,设F2Q的延长线与F1P的延长线交于R,则由∠F2PQ=∠RPQ,PQ⊥F2R,知Rt△PRQ≌Rt△PF2Q,即点R与F2关于直线PQ对称,所以,|PR|=|PF2|,则|F1R|=|PF1|+|PF2|=2a.
连接OQ,则OQ为△RF1F2的中位线,|OQ|=12|F1R|=a.所以,点Q的轨迹是以原点O为圆心,半径为a的圆.
例12如图11,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=3,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,求AP的长度.
思路:由光的几何性质,易知∠PQB=∠RQC.延长RQ至P1,使QP1=PQ,则∠P1QB=∠RQC=∠PQB,且△PQP1为等腰三角形,于是,BC为PP1的垂直平分线,即点P1、P关于直线BC对称,所以,点P关于直线BC的对称点P1在直线QR上.同样,点P关于直线AC的对称点P2也在直线QR上,从而,P1、P2与△ABC的重心G共线.
参考文献
平面解析几何 篇9
关键词：平面向量,平面几何,长度,夹角
平面向量是一种既有大小, 又有方向的量。它是重要的数学工具, 在数学、物理等学科及工程技术中有着非常广泛的应用。而且, 平面向量具有代数形和几何形的双重身份和内涵, 在高中数学中, 特别是几何方面起着桥梁和工具的作用。众所周知, 平面向量最难之处在于添辅助线。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景, 使得平面几何的很多性质, 如全等、相似、平移、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示, 而不必添加辅助线。
一、平面向量在几何证明方面的应用
以三角形的中位线定理为例,
例1.如图1所示, △ABC的两边AB和AC的中点分别是E、F, 则EF∥BC, EF=BC
用向量方法证明如下:
证:∵E、F分别是AB、AC两边的中点
又在△AEF中, EBBF=ABBF-ABBE, 从而
不用辅助线, 直接用向量方法证明是比较容易的。再如:
例2.证明菱形的两条对角线互相垂直。
分析:可以通过求菱形的两条对角线对应的向量的内积, 由其内积等于零得到垂直的关系。
证:在菱形ABCD中, 设ABBB=DBBC=a軆, ABBD=BBBC=b軋,
∴菱形的两条对角线互相垂直。
小结:很多情况下, 我们都可以通过证明两个向量的内积为零而得到两条直线 (或线段) 互相垂直。
当然, 更多情况下, 直线 (或线段) 是不垂直的, 这时候, 我们也可以通过向量的内积公式而求出夹角。
二、平面向量在求直线 (或线段) 的夹角方面的应用
例3.已知三点坐标:A (-1, 3) , B (1, 1) , C (3, 5) , 求∠CAB的大小。
分析:由点的坐标可以求出向量的坐标, 而题目所求∠CAB即为所成的夹角, 这样, 我们可以通过向量的内积公式而求出夹角大小。
小结:这道题利用了向量的内积求两边所成的夹角。首先需要分别求出两个向量的内积及各自的长度, 特别要注意的是得弄清楚所求的夹角对应的是哪两个向量的夹角。
其实, 除了夹角, 长度也是线段的一个重要性质, 而求线段的长度, 当然也可以巧用向量来求解。
三、平面向量在求线段长度方面的应用
例4.如图4, 在平行四边形ABCD中, 已知AB=8, AD=10, ∠BAD=60°, 求对角线AC的长度。
分析:显然, 在这个平行四边形中, 涉及了一组邻边及对角线, 而向量加法的平行四边形法则刚好可以用这些元素来表示。这样, 我们就可以把已知条件和问题进行转化, 即在平行四边形ABCD中,
已知.从而通过向量求解AC的长度。
小结:在向量问题中, 求线段的长度问题, 通常用到两向量的夹角公式
上面这个例子涉及了平行四边形的性质, 而平面向量在平行四边形方面的应用, 还有一个典型的例子, 就是求平行四边形中某个顶点的坐标。
例5.如图5, 已知平行四边形ABCD的三个顶点A (-2, 1) , B (-1, 3) , C (3, 4) , 求顶点D的坐标。
分析:设点D的坐标为 (x, y) , 由平行四边形的性质可知, AD∥BC且AD=BC,
即则两向量坐标也相等。
所以, 从向量坐标的角度, 通过建立x, y的方程组而求出点D的坐标。
解:设点D的坐标为 (x, y) , 由平行四边形的性质可知
即 (x, y) - (-2, 1) = (3, 4) - (-1, 3) ,
则 (x+2, y-1) = (4, 1)
∴点D的坐标为 (2, 2)
我们不妨想一想, 这道题如果不用平面向量的话, 如何求解呢?
分析:可以利用平行四边形的两组对边分别相等, 再由两点间的距离公式, 联立方程组, 从而得到点D的坐标。
另解:设点D的坐标为 (x, y) , 由平行四边形的性质可知,
∴点D的坐标为 (2, 2)
比较之下, 显然是第一种解法即运用向量求解比较简单。而同样通过向量来求解, 也有多种不同的解法。比如, 可以通过求O∥∥D的坐标而得到点D的坐标。
另外, 在平面解析几何中, 有许多问题也涉及了向量的运算, 比如平移问题、直线的方程等。
四、平面向量在平移方面的应用
例6. (1) 把点A (2, 1) 按向量a軆= (3, 2) 平移, 求对应点A′的坐标;
(2) 函数y+sin () 的图象F平移向量得到图象F′, 求图象F′的函数表达式。
分析: (1) 可利用点的平移公式, 即, 该公式中涉及三个坐标:点在平移前后的坐标 (x, y) 和 (x′, y′) , 以及点的平移向量的坐标 (a1, a2) , 这三个坐标在应用时要弄清楚。
(2) 可利用图象的平移公式, 即y-a2=f (x-a1) , 其中 (a1, a2) 是平移向量a軆的坐标, 利用这个公式可以求平移后图象的函数表达式。
解: (1) 由点的平移公式, 得
∴对应点A′的坐标为 (5, 3)
(2) 由函数图象的平移公式, 得图象F′的函数表达式为
化简得图象F′的函数表达式为y=sin
小结:无论是点的平移还是图象的平移, 平移公式都涉及了三个量:平移前的、平移后的和平移向量。从方程的角度, 三个量可以知二求一, 解题时要分析清楚, 已知什么量, 求的是什么量。
接下来, 我们来看看如何利用平面向量来求解直线的方程。
五、平面向量在求直线方程方面的应用
例7.已知△ABC的三个顶点A (0, -4) , B (4, 0) , C (-6, 2) , 点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点,
(1) 求直线DE、EF、FD的方程;
(2) 求AB边上的高CH所在的直线方程。
分析:利用共线及垂直等关系进行处理。
本题第一个问题是求直线方程, 只要求出其上任一点的坐标即可, 而直线DE、EF、FD分别与相应的边平行, 所以可以考虑通过对应向量的共线来处理;第二个问题是求高所在的直线方程, 可以通过对应向量的内积为零来求得。
解:由已知, 得点D (-1, 1) , E (-3, -1) , F (2, -2) ,
设点M (x, y) 是直线DE上任一点, 则
(-2) × (x+1) - (-2) × (y-1) =0,
即x-y+2=0为直线DE的方程。
同理可求得, 直线EF、FD的方程分别为x+5y+8=0和x+y=0 (2) 设点N (x, y) 是CH所在直线上的任一点,
∴4 (x+6) +4 (y-2) =0,
即x+y+4=0为高CH所在的直线方程。
小结:对于平面解析几何中的有关直线平行与垂直的问题, 常常转化成为考虑与直线相关的向量的平行与垂直, 从而将形的问题转化成为数的问题。
向量运算在日常生活中也有着广泛的应用。
六、平面向量在实际生活方面的应用
例8.如图7所示, 一块垂直于水平地面的广告牌, 已知上端A距离地面a米, 下端B距离地面b米。问某人P距离广告牌多远时, 看广告牌最清楚?
解:设人眼P距地面h米, 以水平线OP为x轴,
广告牌所在的铅直线BA为y轴,
以1米作长度单位, 建立平面直角坐标系。
设c=a-h, d=b-h人离广告牌的垂直距离为x米, 则有A (0, c) , B (0, d) , P (x, 0) ,
设∠APB=θ, 于是该问题等价于:当x取何值时, 视角θ最大。
要使视角θ最大, 则要使cos2θ最小, 亦即要使 (1) 式中分母最小, 由均值定理可知:当且仅当时, cos2θ最小,
归纳起来, 用向量方法解决平面几何有如下的三步曲:
1.建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题;
2.通过向量运算, 研究几何元素之间的关系, 如距离、夹角等问题;
3.把运算结果“翻译”成几何元素。
即[形到向量]→[向量的运算]→[向量和数到形]。
平面解析几何 篇10
一、对中职院校学生现状的分析
随着我国高校事业的发展, 近几年高校都在不断扩招, 使得很多的学生都能够完成自己的大学梦. 对于中职院校来说影响比较大, 高校的扩招使得中职院校在招收学生的时候生源质量变差, 但是为了学院的发展和生存, 中职院校也只有不断地扩大招生规模. 在现在的中职院校, 学生的文化素质以及学习习惯都有着明显的降低, 他们在学习过程当中主动性和自觉性都比较差, 大部分学生认为数学是不得不学的一门课程, 学生对于数学没有什么兴趣. 而平面几何作为数学当中非常重要的一个组成部分, 对于如何来找到平面解析几何当中的突破点, 提高教学的效率和效果, 在中职的数学教学当中是非常重要的.
二、在平面解析几何当中点和线之间的问题
中职的数学教学中, 在讲解直线和圆锥曲线的关系时, 点在曲线上是一个不可能避免的问题. 首先应该先将点的坐标设定好, 然后代入到曲线的方程式当中再进行一定的分析, 也可以是通过曲线的方程式解算出点的相应坐标然后再进行分析. 在处理点在曲线上时, 上述这两种方法是最常见的.
例如, 在一个以O为原点的平面直角坐标系当中, 在三角形OAB当中, 直角的定点A的坐标是已知的, 同时还知道| AB | = 2 | OA | , 而且知道B点的纵坐标是大于零的.那么需要学生去进行计算的问题就是: 是不是存在着一个实数a, 可以使得相应的抛物线y = ax2- 1上总有两个关于直线OB对称的点? 如果是有的话, 需要计算出实数a的范围; 如果没有的话, 也需要说明理由.
那么中职的数学教师在向学生进行讲解的时候, 也可以采用上述所说的两种方式———代入法和解出法来进行讲解. 在这个实际例子当中, 因为点P和点Q的坐标在进行计算的时候是假设出来的, 那么就可以直接利用点在曲线上, 将点P和点Q的坐标代入到已知的曲线当中建立相应的方程式组, 然后再对这个方程式组进行简化计算, 就可以得到最终的一个方程式组, 最后利用判别式来进行解算, 那么这样的一种方法就是代入法. 但是如果是先利用相应的关系式建立方程组, 然后对点P和点Q的坐标进行解算, 最后结合题目当中的一些其他条件, 利用判别式来解算出题目的最后答案, 那么这一种方法就是解出法.
这两种方法虽然在得到点的坐标时方法不一样, 但是它们都是利用了点在曲线上这样一个已知的条件, 同时在解决其他问题的时候, 这两种算法也都有自己的长处和不足.
三、在研究曲线方程的时候采用渐近线方程
在研究双曲线的几何性质时, 如果是从平面解析几何方面开始的话, 就可以先对双曲线的方程进行分析, 然后再利用不等式表示的平面区域这方面的知识, 从而来引入渐近线的方程.
在一般情况之下, 都是可以假设曲线C的方程为f ( x, y) = 0, 那么要对这个曲线的几何性质进行相关研究的话, 一般都可以采用下面的一些方法来进行. 首先就是对曲线C的范围进行研究, 在这个曲线的方程f ( x, y) = 0中, 如果确定了x和y的一个取值范围的话, 有些时候也可以转化成求函数的相关值域和定义域, 那么就可以确定出曲线C的图形大小, 也就是说常说的曲线C所占据的一个平面区域的大小. 其次就是对曲线C的对称性的研究, 如果在方程f ( x, y) = 0当中, 当用 - x代替x或者是 - y代替y时, 如果最终的方程没有变化的话, 那么就表示曲线C是关于y轴或者是关于x轴对称的, 有的时候也可以转化成是函数的对称性或者是奇偶性. 关于曲线C的特殊点的研究, 在方程f ( x, y) = 0当中, 一般可以通过方程组的解算, 最终来算出曲线C和两个坐标轴之间的交点. 关于曲线C的特殊参数的研究, 在方程f ( x, y) = 0当中, 通过对x和y系数之间的关系进行研究, 就可以最终确定出曲线C的一些特殊的性质.
结束语
平面解析几何主要就是一门采用代数的方法来对几何问题进行研究的一门数学学科. 它主要的方法就是利用数和形的对应关系, 首先就是把形的问题转化成数的问题来进行研究, 然后再把数的研究转化成形的问题来进行讨论.但是在曲线当中, 很多的因素都会对几何的量产生一定的影响, 从而就会使得线或者是点按照不同的方式来运动. 而且方程和曲线之间的对应关系也是比较抽象的, 中职学生在学习的过程当中不是很好理解, 所以这就要求相关的数学教师应该要在教学的过程当中有所突破才能够让更多的学生真正地理解和掌握平面解析几何的知识.
摘要：本文主要就是针对中职数学教材当中的一些问题, 来对如何利用曲线的方程研究它的性质进行了分析和阐述, 在中职的数学教学当中平面解析几何的一些突破进行讲解, 例如怎么利用坐标和方程组以及点在曲线上的一些内在的关系解决一些比较难的问题.
关键词：中职数学,平面解析几何,突破
参考文献
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[3]罗天琦.数学软件在解析几何教学中的应用研究[D].西南大学, 2009.
[4]曾磊.中职数学课堂有效教学探究[D].湖南师范大学, 2011.
平面解析几何 篇11
数学史是一门交叉学科，它研究的领域是数学与史学相重叠的那个部分。数学这一学科是如此的古老而富有活力，致使对其历史的研究也成为了学者们努力探求的一个公认的学术领域，使学习数学的学生们去了解这一学科的历史是很自然的事情，数学史可以看成数学的重要组成部分。学习数学史的目的，一是了解和熟悉数学发展的历史事实；二是在数学历史发展的过程中，探索前人的数学思想。探索前人的数学思想，可以对现在的数学教育工作起到指导性的作用。我国的教育行政管理部门对于数学史的教育是十分重视的，数学史已成为中学数学教材中的重要组成部分，以习题、注释等多种形式出现在教材中。把数学史融入日常的教学中，不仅有助于学生加深对数学概念、方法、思想、作用的理解与掌握，是利教、利学的好方法，高中数学教师应善于运用。平面解析几何是高中数学的重要模块，在高中数学中的位置举足轻重，是高考重点考查的内容之一，所以，了解解析几何的创立过程，同时揭示平面解析几何背后蕴含的思想，就显得十分必要了。
二、解析几何的创立
1.解析几何创立的背景
几何学的发展经历了漫长的历史，最早的开端可以追溯到古埃及、古印度及古巴比伦，时间大约在公元前3000年，直到公元前3世纪，希腊大数学家欧几里得把古埃及和古希腊人的几何学知识加以系统地整理和总结，用公理化的方法建立起了一个严密的逻辑体系，这标志着几何学成为一个独立的分支。在解析几何建立之前，代数和几何是两个独立的分支，代数学可以用来对抽象的未知量进行推测，几何学可帮助人们认识真实世界的知识和真理。然而，欧式几何过多地依赖于图形，抽象程度高，代数又过多地受到法则和公式的约束，缺乏直观。两者的局限性限制了数学的发展，如何能够取两者的精华，把代数学和几何学有机地进行结合，去认识真实世界的知识与真理？一门新的学科便呼之欲出了，这样的背景之下，两个法国人笛卡尔和费马站在了时代的前列。
2.笛卡尔与费马的解析几何
笛卡尔有一个近乎疯狂的想法——把一切问题变为数学问题，再把一切数学问题变为代数问题进行解决，这个想法促使笛卡尔最终建立了解析几何。笛卡尔认为希腊人留给后人的几何方法过于抽象和特殊，欧式几何的每一个证明，都需要一个新的特殊方法才能够解决，这是“笨拙和不必要的”，笛卡尔透彻地看到代数方法的力量，出于一种对方法论的强烈兴趣，笛卡尔着手把代数应用于几何中。他引入了“坐标”的概念，利用“坐标法”，提出方程表示曲线的思想，最终以“坐标”这一媒介，实现了几何问题的代数化。通常把笛卡尔作为解析几何的创立者，因为他不仅使用了使人容易理解的记忆方法，以及远比他人优越的技巧，而且他还把不同次数的几条曲线同时表示在了同一个坐标系内，使得解析几何所研究的空间形式大大地扩展了，笛卡尔的工作证明了这样一个事实：几何问题不仅可以归结为代数形式，而且还可以利用代数语言通过代数变换去发现几何性质。而费马也是解析几何的创立者，那么费马与笛卡尔两者有什么不同呢？费马与笛卡尔研究的角度和方法不同，各有侧重。笛卡尔的研究角度是由轨迹出发去探究它的方程；而费马则是由方程出发去探求它的轨
迹，前者由几何到代数，后者由代数到几何，一正一反，正好是解析几何的两个方面，所以，费马与笛卡尔同享解析几何创立者这一殊荣。但是从历史的发展来看的话，笛卡尔的工作更加具有突破性。
三、平面解析几何背后的思想
1.化归思想
化归思想是一种重要的数学思维模式，在数学中几乎无处不在。化归实际上是一种用来转化问题的策略，将一个难度较大的问题，通过某种途径，转化为相对简单的问题，并通过已有的经验和知识进行解决，简单化、直观化和熟悉化是化归的基本原则，其关键是要实现问题的模式化、规范化；将未知化为已知、化难为易、化抽象为具体、化一般为特殊等是化归的方向。化归思想是解析几何的最基本思想，这点毋庸置疑，解析几何的产生，实际上就来自于化归思想，即把几何问题化归为代数问题进行解决。
2.方程思想
利用平面直角坐标系，可以建立起一系列的对应关系，比如平面的点与有序数对的对应。这样一来，几何图形便能够看成一些点的集合，于是，这些点的坐标便会满足某些关系或者条件，这些关系或条件一般可以表示为等式，也就是方程；然后用代数的运算去求解所得到的方程，最后，再将所得到的代数结论“翻译”为几何结论，以上便是方程思想的基本体现。方程思想在平面解析几何的应用，最明显的例子，便是在求解曲线方程时常用的“待定系数法”了。而事实上，无论点、直线、曲线，都可以用方程的形式表示出来，也就是所谓的轨迹方程，而方程的表现形式也是多样的，例如，直线方程就有参数方程、两点式方程、一般方程等等。这样当研究空间中点、直线或者曲线之间的关系时，便可根据具体情况而去选择不同形式的直线方程，能够帮助我们大大的简化计算，而且有时对于不同形式的直线方程存在着不同的几何意义。
3.向量思想
向量源出于物理当中的矢量，自从向量被引入到数学当中，
一些代数运算被向量运算极大地化简。向量法的基本思想是根据问题的特征引进向量，利用向量的性质及其运算规律实现几何的证明。我们都知道平面解析几何的基本思想是用代数的方法去研究解决平面几何问题，为了能够把几何问题从对于形的研究转化为能够定量去计算的层面，我们就需要把几何结构代数化。正因为如此，我们引入了向量及向量的坐标运算，可以说它们是将几何结构代数化的基础。而且向量与坐标也贯穿了整个解析几何的学习，同时也为后继课程的学习奠定了重要的基础。事实上，我们可以把各种角的计算看成是两向量夹角的计算；而各种距离的计算也可以通过求解向量的模长而得以实现。用向量方法来求解一些较为复杂的平面几何问题，可以避免一些繁杂的代数与三角运算，更加方便而快捷地得到答案。可以说向量法为平面几何问题的研究提供了一种新的途径，也是在高中平面解析几何教学当中必须要掌握的思想方法之一。
4.数形结合思想
解析几何的实质就是用代数的方法来研究并解决几何问题，就是寻求方法去把空间或平面的几何结构系统进行数量化和代数化，即建立坐标系，使得有序的实数组或实数对与空间或平面的点一一对应，这样，几何问题便可以转化为代数形式。因此在研究解析几何问题时，就可用我们所熟悉的代数方法来进行研究。既然是研究几何问题，自然避免不了数与形的碰撞，所以数形结合也是极其重要的思想方法。数形结合思想是指：在研究问题时， 注意数与形的结合，即根据问题的具体情形，把问题的数量关系转化为图形性质，使复杂问题简单化，从而使问题得到正确而有效的解决。在高中的平面解析几何中，当题目中出现了“圆”或者“角平分线”时，几乎无一例外的要用到数形结合。解析几何堪称是数形结合的典范。由向量及其运算所建立的坐标系是数形相互转化的桥梁，实现了由数到形的转化。
对于高中教师而言，不仅仅在平面解析几何的教学过程中，
在高中的整个教学过程中，都应该尽可能地利用数学史激发学生的兴趣，并在教学过程中挖掘隐含在其背后的深刻思想，这样才会让学生觉得，原来，“数学”并非是印刷着成串定理及公式的“冷冰冰”的一本教材。
参考文献：
[1]张奠宙.数学教育学导论.北京：高等教育出版社，2003.
[2]沈文选，杨清桃.数学史话览胜.哈尔滨工业大学出版社，2008.
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[4]沈文选，杨清桃.数学思想方法领悟.哈尔滨工业大学出版社，2008.
[5]朱成杰.关于数学思想方法教学的几点思考.数学通讯，2004（9）.
平面解析几何 篇12
近年来, 相关教师和科研人员, 对平面体系的几何组成分析进行了系统研究[2,3,4,5,6].本文重点研究解析法在平面体系几何组成分析中的应用.根据几何组成分析时杆单元为刚性单元的特点, 确定杆端位移在平面内满足的约束方程, 应用解析法判断体系的几何组成性质.根据体系的约束特点, 采用先处理法形成结点和单元定位向量, 可以有效减少体系的总结点位移个数, 便于教学时算例分析.
1 单元分析
平面体系几何组成分析时, 不考虑杆件的弹性变形, 即各杆件视为刚性杆, 位移为微小的刚体位移.根据杆单元的受力特点, 将平面杆单元分为梁单元和链杆单元两种, 分别给出各自的约束方程.
1.1 梁单元
建立梁单元模型和建立整体坐标系, 如图1所示.在整体坐标系下, 梁单元的杆端位移向量为∆e, 即
其中, ui, vi, θi分别为单元e始端点的x方向, y方向, 转角位移, uj, vj, θj为单元e对应的终端位移.
由于梁单元为刚体单元, 杆端位移受到3个约束方程的约束.对于微小位移, 各杆端位移间有如下关系
其中, α为梁单元与x轴的夹角, L为单元杆长.
式 (2) 中第1个方程表示杆单元的轴向约束, 即不考虑杆单元的轴向变形;第2, 3个方程表示杆单元发生刚性转角位移.平面体系几何组成分析时不考虑梁单元的轴向变形, 且单元两端转角相等.根据这个特点采用先处理法可以有效减少体系的总结点位移数, 从而减少计算量.
1.2 链杆单元
若体系是由链杆在端点铰接形成的, 则体系为铰接体系在整体坐标系下链杆单元的杆端位移向量为
其中, ui, vi为单元e始端点的x方向, y方向位移, uj, vj为单元e对应的终端位移, 如图2所示.
同样的, 链杆单元假定为刚体单元, 其杆端位移受到1个约束方程的约束.对于微小位移, 各位移间有如下关系
即
式 (4) 为链杆单元的几何约束方程.
2 整体分析
每个单元都要满足各自的几何约束方程, 将所有的约束方程 (假定有M个) 联立起来形成整体几何约束方程.每个单元的杆端位移并非相互独立, 其对应关系通过单元定位向量给定.杆端位移数等于整体结点位移总数 (假定有N个) , 亦即整体几何约束方程中共有N个未知量.因此, 若将整体几何约束方程写成矩阵形式
则G是一个M×N的矩阵, 称为整体几何约束矩阵.Gij为与杆单元结点坐标有关的约束方程的系数, ∆i为杆端结点在整体坐标系下的位移.
结点对各连接单元端点之间的约束, 可以通过取相同的结点位移来实现.对于支座约束, 矩阵位移法中的先处理法或后处理法均可适用, 本文采用先处理法.
3 几何可变性分析
假设式 (5) 为考虑支座约束后的整体几何约束方程.经计算, 系数矩阵G的秩为
从物理意义上看, N为结点位移的个数, M为约束方程的个数, r为有效约束方程的个数.体系共有M个约束, 但只有r个有效约束, 因此多余约束数为n=M-r.体系有N个结点位移, 有r个有效约束, 因此体系的自由度为m=N-r.若m>0, 则体系几何可变.此时, 式 (5) 存在m个线性无关的基础解, 对应体系的m个独立运动模态.
当m=1时, 需判断结构是否瞬变.为确定模态的瞬变常变性质, 令体系按相应运动模态发生微小位移, 在新的位置重新计算并确定系数矩阵G, 若微小位移后体系自由度m=0, 则该模态为瞬变模态, 否则为常变模态.
4 算例
分析图3所示平面体系的几何组成性质.
根据平面体系的约束特点, 应用先处理法对其进行结点、单元和结点位移编号, 如图3所示.结点位移中的3个元素依次表示该结点的水平、竖直和转角位移.单元 (2) 的3结点和单元 (3) 的4结点角位移不同, 故结点编号不同.结点2和结点5为组合结点.单元 (1) , (2) , (3) , (4) 为梁单元, 单元 (5) , (6) , (7) 为链杆单元.
单元定位向量
在先处理法形成单元定位向量的过程中, 所有的支座约束均已考虑, 且4个梁单元均已考虑几何约束方程 (2) 中的第1个和第3个方程, 链杆单元 (7) 已考虑链杆约束方程 (4) .其它约束方程如下:
梁单元 (1) , 单元 (2) , 单元 (3) , 单元 (4) 的约束方程
其中, ∆1为单元 (1) 结点1的转角位移, 在整体坐标系下编号为1, 结构体系的第2个位移编号为2, 依此类推.
链杆单元 (5) , 单元 (6) 的约束方程
将式 (7) , 式 (8) 共6个方程联立, 其矩阵形式为
则整体几何约束矩阵
由高斯消元法, 易求得矩阵G的秩
设N为结点位移的个数, M为几何约束的个数, r为独立约束的个数, 则
体系自由度数
多余约束数
故该平面体系为无多余约束的几何不变体系.
5 结论
对于一些特殊的体系, 几何法不能分析其几何组成性质, 由于存在非二力杆, 零载法也不便于使用, 而应用解析法可以最终确定体系的几何构成.采用先处理法形成定位向量可以有效减少体系的总结点位移个数, 便于教学时算例演示.解析法简单易行, 行之有效, 可作为结构力学课程的补充内容, 应用在结构力学教学中.
参考文献
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