平面与平面垂直

平面与平面垂直（精选12篇）

平面与平面垂直 篇1

一、教学目标

(一) 知识与技能目标

1. 借助对图片、实例的观察, 抽象概括出平面垂直的定义;

2. 通过直观感知, 操作确认, 归纳概括出直线与平面垂直的判定;

3. 会判断一条直线与一个平面是否垂直;

4. 培养学生的空间想象能力和对新知识的探索能力。

(二) 过程与方法目标

1. 让学生感悟体验, 形成空间问题转化为平面问题的转化意识, 注重从“无限”到“有限”的转化, “线线垂直转化为线面垂直”等转化的数学思想;

2. 通过生活实例让学生体验线面垂直问题“源于生活”并服务于生活。

(三) 情感态度与价值观目标

1. 培养学生的探索精神;

2. 培养学生的观察归纳、动手操作能力。

(四) 教学重点、难点

1. 重点:直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直的判定定理的探究。

2. 难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步应用。

二、教学过程

(一) 创设情境———旧知回顾

问题1:空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系?

思考:如何判断直线与平面垂直?

(二) 创设情境———生活实例

日常生活中, 我们对直线与平面垂直有很多感性的认识, 如旗杆与地面垂直、桥柱与桥面垂直等, 你能举出更多的例子吗?

思考:通过这些生活实例, 我们如何定义一条直线与平面垂直?

(三) 合理抽象———归纳定义

问题2:如果一条直线垂直于平面内无数条直线, 那么这条直线与这个平面是否垂直?

定义:如果直线l与平面α内任意一条直线都垂直, 我们就说直线l与平面α互相垂直, 记作l⊥α, 如图5所示。

问题3:我们发现用定义判断直线与平面垂直的情况很多时候不方便操作, 那除了定义外, 我们如何判断一条直线与一个平面垂直呢?

(四) 师生互动———折纸实验

找一块三角形纸片, 我们一起来做一个实验, 如图6、图7所示。AA

以△ABC的定点A翻折纸片, 得到折痕AD, 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 (BD、DC与桌面接触) 。

问题:1.折痕AD与桌面垂直吗?

2. 如何验证折痕AD与桌面垂直呢?

思考: (1) 有人说, 折痕AD所在直线与原桌面所在平面α上的一条直线垂直, 就可以判断AD垂直平面α, 你同意他的说法吗?

(2) 如图8所示:由折痕AD⊥BC, 翻折之后垂直关系不变, 即AD⊥CD, AD⊥BD, 由此你能得到什么结论?

(五) 探究学习———概括定理

判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直, 如图9、图10所示。

作用:判定直线与平面垂直

思想:线线垂直—线面垂直

(六) 定义定理应用

例1:如图11所示, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1) 哪些棱与平面垂直?

(2) 哪些面与棱AB垂直?

(3) 与底面矩形ABCD垂直的直线有怎样的位置关系?

例2如图12所示, 已知a∥b, a⊥α, 求证b⊥α.

(七) 知识小结

1. 直线与平面垂直的概念。

2. 直线与平面垂直的判定。

(1) 利用定义:垂直于平面内任意一条直线。

(2) 利用判定定理:线线垂直 (与两条相交直线垂直) →线面垂直。

(3) 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于同一个平面。

3. 数学思想方法:转化思想

空间问题—平面问题

无限—有限

生活实际—数学模型—生活实际

(八) 设计意图

这节课是一节探究课, 无论是从教学编排, 还是教学要求上较之以往都有很大变化, 教材省略了直线与平面垂直的判定定理的证明, 强调通过直观感知, 操作确认, 思辨论证来认识和理解。笔者遵循直观感知—操作确认—归纳总结的认识规律来设计教学过程, 注重知识产生的过程性, 降低几何证明的难度。

(九) 教学反思

课堂上学生学习的难点在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义, 以及如何从折纸实验中探究出直线与平面的判定定理。课堂的第三个环节是关于定义和定理的应用, 笔者设计了两道例题, 主要考查学生对直线与平面垂直的判定定理的掌握。上课时学生只是直观地看出哪些线与面垂直, 但没能说出理由, 如果能在这个时候点破垂直于一个面内哪两条相交直线就更好了, 加深学生对判定定理的认识。第二道例题主要是考察学生用数学符号表示判定定理及解决问题。这里的难点在于学生还不能准确地运用数学符号, 要么符号书写出错, 要么漏掉两条相交直线这个条件, 所以在这些方面要强化学生的认知。

平面与平面垂直 篇2

【摘 要】通过比较详细地讲解“平面与平面垂直的判定”这一教学内容，对新课标背景下开展的教学活动进行探讨和反思，得出可靠的经验。

【关键词】平面与平面垂直的判定 创设情景 引导探究 自我尝试 运用反馈 教学反思 【中图分类号】 G 【文献标识码】 A 【文章编号】0450-9889（2015）01B-0087-03

一、教材分析

本节内容选自数学必修2（人教A版）第二章中“平面与平面垂直的判定”。立体几何是以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力为主要目标。教材根据“认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力”的新要求。本节在内容的安排和处理方式上，加强了引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程。在平面与平面垂直的判定定理得出的过程中，注重对典型实例的观察、分析，引导学生自主归纳、概括。本节课的设计按照新课标的要求，遵循“直观感知——动手操作——归纳确认”的认识过程，引导学生归纳二面角的定义，探索二面角的度量，发现平面与平面垂直的判定定理。

二、教学过程实录

（一）创设情景，揭示课题

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

以上问题让学生自由发言，教师小结，并抛出问题：在日常生活中，有许多问题涉及两个平面相交所成的角的情形，你能举出一些例子吗？

学生1：我们进出教室把门打开时，门面与门框面所成的角。学生2：我们翻开课本时相应的两页面所成的角。

教师：如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？（几何画板展示上述图片，引导学生观擦、研探）

（二）引导探究，建构概念 1．二面角的有关概念

活动1：师生分别展示一张长方形卡纸，对折后展平。问题：折痕把平面分为几部分？我们把它们叫做什么？

活动2：师生分别沿着折痕把其中一个半平面折起使两个半平面成一个角度。

问题：从平面一点引的两条射线组成的图形是角，那么这个图形又是什么呢？课件展示。（学生阅读课本并填角与二面角对比框图：包括图形、定义、构成、表示）个别提问学生，2．二面角的度量 教师：（1）门面与门框面所成的二面角；（2）两页面所成的二面角；（3）两个半平面成的二面角。以上三个二面角中，当其中一个面绕着棱转动时，所得二面角与原来相比有什么变化？（分三个组进行实验操作：开门、翻书、折纸）

学生集体：二面角的大小变化了，两个平面相交的位置发生了变化。

教师：二面角的大小定量地反映了两个平面相交的位置关系，那我们应如何度量二面角的大小呢？（引导学生类比异面直线，线面所成角的平面化过程）思考：（1）角的顶点取在哪里？（2）角的两边如何作出？（3）所作出的角大小唯一吗？ 活动3：带着思考，每四个学生共同做一个小实验（用活动2中做的二面角的模型）试着在二面角中画出一个角来反映它的大小。（学生画图，交流，辨析，归纳做法）学生3：在棱上取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线。其他学生补充：射线要垂直于棱画出的角才唯一。教师：（1）顶点可以在棱上任意取吗？顶点取不同位置大小有变化吗？（几何画板演示）通过实验操作，学生研探出二面角大小的度量方法——二面角的平面角。学生提炼二面角的平面角（如图1所示）。

（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）平面角是直角的二面角叫直二面角。

练习：教室相邻两个墙面与地面构成几个二面角？ 指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数。（课件展示图2）

个别提问学生，通过学生的回答进一步强化二面角的平面角的寻找。并让学生通过直观感知给平面与平面的垂直下定义。3．平面与平面垂直的定义

引导学生把文字语言转化为图示语言和符号语言，体现数学的简洁美。教师对学生做法进行点评和完善。

教师：你们能说一说身边出现的平面与平面垂直的例子吗？ 学生：把书直立在桌面上，书的封面与桌面垂直。学生：把门打开时，门面始终与地面垂直。学生：教室的墙面肯定与地面垂直。（组织学生实验操作）

教师：数学与生活是息息相关的，我们平时要善于用数学的眼光看待周围的事物。

教师：我们再来想一想：建筑工人在安装门、在切墙时是通过怎样方法来保证与地面的垂直的？

学生：安装门时通过门轴与地面垂直。

学生：我看到砌墙工人砌墙时在墙边吊了一根铅垂线。

教师：生活经验告诉我们这些方法能保证相应的两个平面垂直，你们能从这些方法中找到判断平面垂直的依据吗？（展示图3和图4）

学生：门轴，铅垂线可以抽象为线，由此我们能得出只要平面内有直线与面垂直，那两个平面就是垂直的。（通过学生的结论教师课件展示）4．平面与平面垂直的判定定理

引导学生转化为用图象、符号来表示，认识到线面垂直与面面垂直的论证关系。同时让学生思考、交流：

（1）若证面面垂直，线在哪里找，要满足什么关系？（2）有了线与面垂直，你能找到与这个面垂直的平面吗？（3）现在我们有多少种方法可以证明平面与平面垂直？

教师通过面向全体学生，检查学生的理解程度，对学生做得不到位的地方及时点拨。

（三）自我尝试，初步应用

例．如图示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上不同于A和B的任意一点。求证：平面PAC⊥平面PBC。教师生一起阅读题目，在图像上找出题目中的线、面。学生试着把证明的过程写在草稿纸上。教师巡堂，从学生中收集不同的解法，用实物投影出来，师生一起点评，归纳出：（1）面面垂直可用定义和判定定理去证明，要结合条件选择较优的解法。（2）用判定定理时，要注意分析垂线在哪个面内找容易论证。

（四）运用反馈，深化巩固

深化巩固：课本P73的探究问题，练习1。

做法：学生思考，折纸实验，小组讨论，老师与学生对话完成。

（五）小结归纳，回顾反思 笔者设计了三个问题：

（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）通过本节课的学习，你最大的体验是什么？（3）通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？

（六）课后巩固，拓展思维

课本73页习题第4题，74页B组的第1题。

三、教学反思

通过本节课的教学，笔者对新课标下的课堂有了如下的认识：

（一）注重知识的形成过程教学 新课标强调“直观感知”，在教学中教师要善于引导学生从熟悉的事物、现象出发，引导学生用数学眼光看待周围的事物。组织学生尽可能地进行讨论、研究。通过操作、实践活动等让学生去经历、感受、体会，在获得大量的直接经验的基础上去发现知识，总结方法，提升能力。本课通过引导学生例举开门、翻书动作形成平面所成角的基础上，再由折纸活动让学生感知二面角的概念。使抽象知识直观化，符合学生的认知发展。

（二）注重温故而知新

在学习新知识时，要重视联想、类比有关的旧知识，辩清它们的区别和联系，进而达到知识或方法的同化。本课类比1：“异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”的学习，发现可以用平面角刻画二面角的大小。类比2：由角的结构引出二面角的平面角顶点在哪里，两条射线怎么出现？通过这两个类比，学生很顺利地探究出：（1）二面角大小的度量方法——二面角的平面角；（2）二面角的平面角的作法。从而达到高效地突破教学难点。

（三）注重课堂活动的多样性

新的教学理念希望给学生营造一个民主、和谐的学习氛围，培养学生自主探究、参与合作的学习方式，全面发展学生的实践与创新能力。活动有学生的折纸、摆书、自己动手画图；提问方式有个体、小组、群体提问；合作方式有同桌交流，四人小组实验；教具有多媒体、几何画板、教室的门、学生的书、硬纸板。本课在课堂教学中保证学生参与教学活动的时间和空间，抓住学生的学习兴趣、求知欲、成就感等积极因素，积极培养学生观察、发现、操作、画图、表达等多方面的能力。

（四）注重数学思维的教学

新课标提出高中数学应注重提高学生的数学思维能力。本课在概念的构建过程中，通过观察与实验，比较与归纳培养学生由抽象到具体，一般到特殊的转化能力。在例题的教学中通过教师收集解法，师生评价，学生总结来达到培养思维的广阔性与深刻性的。错解的出现提高了学生思维的批判性与独创性。

（五）注重对教材的开发使用

平面与平面垂直 篇3

1教学内容解析

本节主要内容是直线和平面垂直的概念发现、直线和平面垂直的判定定理的探索过程，是在学习了空间的点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的空间的另一种重要位置关系的学习．垂直是立体几何的核心概念之一．直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是直线与平面位置关系的深化，又是研究面面垂直、线面角、面面角的基础，在教材中起到了承上启下的作用，具有相当重要的地位．

新课标要求立体几何的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．故对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，能进一步培养学生空间想象能力，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，体会“平面化”思想和“降维”思想．同时体验新课程倡导的自主探索、动手实践、合作交流等理念．

教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．

教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．

2教学目标解析

2．1知识与技能

（1） 经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；

（2） 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；

2．2过程与方法

（1） 通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力．

（2） 在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．

（3） 尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．

2．3情感、态度与价值观

经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．

3教学过程设计

3．1类比平行探索空间的垂直关系

问题1：第二章已学习了空间的哪些平行关系?体现了哪些重要的数学思想?其中线面平行的定义是什么?

问题2：对于空间的另一种重要的位置关系(垂直)已学习了什么?还打算学习什么?

设计意图：回顾空间的平行(线线、线面、面面)关系，进一步体会转化的思想方法，类比平行发现研究空间的另两种垂直(线面垂直、面面垂直)的必要性．提高提出问题、分析问题的能力．

师生活动：引导学生从平行的相互关系中体会线面转化为线线，面面转化为线面、线线的思想方法．用文字语言概括线面平行定义的实质是平面外的一条直线与平面内的任一条直线平行或异面．指出线面垂直与面面乖直正是第三节所要研究的内容．

平面与平面垂直 篇4

关键词：平面四边形,对角线,垂直,面积

当我们学完菱形的相关知识后, 知道菱形由四个全等的直角三角形组成, 所以它的面积 (AC和BD为菱形的对角线长度) , 也就是说, 菱形的面积等于对角线乘积的二分之一.这是因为菱形的对角线是互相垂直的.那么, 任意对角线互相垂直的平面四边形的面积是不是都等于对角线乘积的一半呢?如果这一结论成立, 将会很方便解决任意对角线互相垂直的平面四边形的面积求解问题.笔者经过探究和证明, 发现这个结论是成立的.

一、推理证明

1.对角线互相垂直的凸四边形的面积公式的证明

【例1】已知在凸四边形ABCD中, 对角线AC⊥BD, 如图1所示.求证:S四边形ABCD=1/2·AC·BD.

证明:在四边形ABCD中, AC⊥BD于E,

2.对角线互相垂直的凹四边形的面积公式的证明

【例2】已知在凹四边形ABCD中, 对角线AC⊥BD于E, 如图2所示.求证:S四边形ABCD=1/2·AC·BD.

证明:在四边形ABCD中, AC⊥BD于E,

综上, 可得出命题:任意对角线互相垂直的平面四边形的面积等于对角线乘积的一半.

二、命题应用

【例3】如图3, 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O, △AOB的周长为, ∠ABC=60°, 求菱形ABCD的面积.

解:在菱形ABCD中, AC⊥BD, ∠ABO=∠CBO.

因为∠ABC=60°, 所以∠ABO=∠CBO=30°.

设AO=x, 则AB=2x, , 所以, 解得x=1.

所以, 所以, 所以

【例4】高为a的等腰梯形ABCD的两条对角线互相垂直, 垂足为O, 求梯形ABCD的面积.

解:如图4, 设等腰梯形AB-CD的腰为AB、CD, 则AB=CD, AC⊥BD, 且OB=OC, 所以∠1=∠2=45°.

过点D作DE⊥BC于E, 则△BDE为等腰直角三角形, 可得BE=DE=a, 所以

【例5】如图5, 已知在△ABC中, BD和CE分别是两边上的中线, 并且BD⊥CE, BD=8, CE=12, 求△ABC的面积.

解:连结DE, 则四边形BCDE的面积为

直线与平面垂直的判定教案 篇5

选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2第二章第三节

一、教学目标 1.知识与技能目标

(1).掌握直线与平面垂直的定义

(2).理解并掌握直线与平面垂直的判定定理(3).会判断一条直线与一个平面是否垂直

(4).培养学生的空间想象能力和对新知识的探索能力

2.过程与方法目标

(1).加强学生空间与平面之间的转化意识，训练学生的思维灵活性

(2).要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加

3.情感态度价值观目标

(1).培养学生的探索精神(2).加强学生对数学的学习兴趣

二、重点难点

1.教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理 2.教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解

三、课时安排

本课共安排一课时

四、教学用具

多媒体、三角形纸片、三角板或直尺

五、教学过程设计 1.创设情境

问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？

设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。

问题2：列举在日常生活中你见到的可以抽象成直线与平面相交的事例？ 寻找特殊的事例并引入课题。设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。

2.提炼定义

问题3：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?

(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？ 设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。

（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则)

设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念。通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法。

通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验。这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。

3.探究新知

创设情境

猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？

设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理。师生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）

问题4：（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

（组织学生动手操作、探究、确认）

设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直。

问题5：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线 m，n，把桌面抽象为平面件是什么？

(如图3)，那么你认为保证直线与平面

垂直的条

对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线。

问题6：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证

吗？，（如图4）你认为直线还垂直于平面设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。

根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法。

（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

问题7：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?

设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？

如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？

设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出 “为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解。

4.练习提高

如图5，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？

思考：如图6，已知，则吗？请说明理由。

（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）

设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系。

5.小结回授

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述。（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？

三角函数与平面向量 篇6

一、借助平面向量的运算性质，将三角形面积问题转化为三角函数的问题

例1 在[△ABC]中，[O]为坐标原点，[A(1,cosθ)]、[B(sinθ,1)]，[θ∈(0,π2]]，当[△OAB]的面积达到最大值时[θ]的值为（ ）

A. [π6] B. [π9] C. [π4] D. [π2]

解析 ∵ [OA=1+cos2θ,OB=1+sin2θ,] [θ∈(0,π2]]

∴[cos∠AOB=OA⋅OBOAOB]

[=sinθ+cosθ(1+cos2θ)(1+sin2θ)]，

[∴sin∠AOB=2-sin2θ2(1+cos2θ)(1+sin2θ).]

∴ [△OAB]的面积

[S=12OAOBsin∠AOB=2-sin2θ4]，

∵ [θ∈(0,π2]]，[2θ∈(0,π]]，[∴sin2θ∈[0,1]]，

当[△OAB]面积最大时 ，

[sin2θ=0]， 即[θ=π2]. ∴选D.

点评 本题也可以借助余弦定理求[sin∠AOB]或求点[O]到直线[AB]的距离构造三角形的面积进行解题，但计算量都较向量的夹角公式要大些，本例题借助向量数量积的运算结合三角形的面积公式，建立三角形的面积关于角[θ]的三角函数，通过函数思想求最值，思路清晰.

二、以平面向量为纽带，将三角函数图象间的关系和性质联系起来

例2 函数[y=sinx+3cosx]的图象按[a]平移后所得图象的解析式为[y=3sinx][-cosx+2]，那么向量[a]=（ ）

A. [(-π2,2)] B. [(-π2,-2)]

C. [(π2,-2)] D. [(π2,2)]

解析 由函数[y=sinx+3cosx=2(sinx+π3)]的图象平移到[y=3sinx][-cosx][+2][=2sin(x-π6)+2][=2sin(x-π2)+π3+2]的图象，即向右平移[π2]个单位，同时向上平移[2]个单位， ∴[a=(π2,2)]， 故选D.

例3 将函数[y=f(x)]的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[y=cos(x-π6)]的图象. 另一方面函数[f(x)]的图象也可以由函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c]平移得到，则[c]可以是（ ）

A. [(π12,-1)] B. [(π12,1)]

C. [(π6,-1)] D. [(π6,1)]

解析 将函数[y=cos(x-π6)]图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，同时将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[f(x)=2cos(2x-π6)]的图象. 而将函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c=(π12,-1)]平移可得到[f(x)=2cos[2(x-π12)]]的图象. 所以选A.

点评 三角函数图象按向量进行的变换主要是平移变换，要注意平移的方向、平移的大小. 解题时可以选取平移前后的特殊对应点分别作为向量的起点和终点求向量，如例3中，可以选取点 [(0,3)]、[(π12,2)]分别作为向量的起点和终点而得出答案. 一般情况是以平面向量为纽带，根据平移前后图象的特点、性质求向量坐标、向量的模或模的最值等. 同时也要关注三角函数图象按向量平移后的图象特点、性质. 如对称性、对称中心、对称轴、单调性、单调区间、最值等题型.

三、借助平面向量的运算性质，将平面向量的问题转化为三角函数问题

例4 已知[a=cosα，sinα，b=cosβ，sinβ]，其中[0<α<β<π].

（1）求证：[a+b]与[a-b]互相垂直；

（2）若[ka+b]与[ka-b]（[k≠0]）的长度相等，求[β-α.]

解析 （1）因为[(a+b)⋅(a-b)=a2-a⋅b+b⋅a-b2][=a2-b2=|a|2-|b|2][=|cos2α+sin2α|2-|cos2β+sin2β|2]

[=1-1=0]，

所以[a+b]与[a-b]互相垂直.

（2）[ka+b=kcosα+cosβ，ksinα+sinβ]，

[ka-b=kcosα-cosβ，ksinα-sinβ]，

所以 [|ka+b|=k2+2kcosβ-α+1]，

[|ka-b|=k2-2kcosβ-α+1].

因为 [|ka+b|=|ka-b|]，

所以[k2+2kcosβ-α+1=k2-2kcosβ-α+1，]

有[2kcosβ-α=-2kcosβ-α].

因为[k≠0]，故[cosβ-α=0].

又因为[0<α<β<π，0<β-α<π]，

所以[β-α=π2].

点评 借助向量在解决角度、垂直、距离、共线等问题上的运算性质，很方便将向量问题转化为三角函数问题，然后根据三角函数恒等变形公式或利用函数思想等解决问题.

四、运用转化思想将模的取值问题转化为三角函数的值域问题

例5 已知向量[m=(1,1)]，向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，且[m⋅n=-1].

（1）求向量[n]；

（2）若向[n]与向量[q=(1,0)]的夹角为[π2]，向量[p=(cosA,2cos2C2)]，其中[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，求[n+p]的取值范围.

解析 （1）设[n=(x,y),]由[m⋅n=-1]，

可得[x+y=-1]. ①

又向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，

[∴m⋅n=mncos3π4,][∴n=1，]则[x2+y2=1.]②

由①②得， [x=-1,y=0,]或[x=0,y=-1,]

即[n=(-1,0)]或[n=(0,-1)].

（2）由[n]与[q]垂直知，[n=(0,-1)].

[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，

[∴B=π3]，[A+C=2π3,] [0

[∴n+p=(cosA,2cos2C2-1)=(cosA,cosC)]，

[n+p2=cos2A+cos2C]

[=1+12[cos2A+cos(43π-2A)]]

[=1+12cos(2A+π3).]

[∵0

[∴-1≤cos(2A+π3)<12,]

[∴12≤1+12cos(2A+π3)<54]，

[∴n+p2∈[12,54),] [∴n+p∈[22,52)].

点评 利用向量运算性质将向量问题转化三角函数问题或普通函数问题，再利用函数性质或函数图象来解决是常用方法. 本题第一问根据向量的数量积和向量的坐标运算很方便求出[n]的坐标，第二问将向量的模的问题转化为三角函数问题，再利用余弦函数的单调性和有界性，将问题转化为求三角函数的值域.

五、利用三角函数的有界性，解决与平面向量有关的恒成立问题

例6 已知向量[OA=(λcosα,λsinα)(λ≠0),][OB=][(-sinβ,cosβ)]，其中[O]为坐标原点.

（1）若[β=α-π6]，求向量[OA]与[OB]的夹角；

（2）若[AB≥2OB]对任意实数[α]、[β]都成立，求实数[λ]的取值范围.

解析 （1）设向量[OA]与[OB]的夹角为[θ]，则[cosθ=OA⋅OBOA⋅OB=λsin(α-β)λ=λ2λ.]

当[λ>0]时，[cosθ=12,  θ=π3]；

当[λ<0]时，[cosθ=-12,θ=2π3].

故当[λ>0]时，向量[OA]与[OB]的夹角为[π3]；

当[λ<0]时，向量[OA]与[OB]的夹角为[2π3.]

（2）[AB≥2OB]对任意实数[α]、[β]都成立，即[(λcosα+sinβ)2+(λsinα-cosβ)2≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立，则[λ2+1+2λsin(β-α)≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立.

当[λ>0]时，∵[λ2+1+2λsin(β-α)≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立，

∴[3-λ22λ≤sin(β-α)]恒成立，

[∵sin(β-α)≥-1]， ∴[3-λ22λ≤-1]，

[∴λ>0,λ2-2λ-3≥0,] 解得[λ≥3]，

同理有[λ<0,λ2+2λ-3≥0,] 解得[λ≤-3].

综上所述，[λ∈(-∞,-3]⋃[3,+∞)].

点评 利用向量模的运算将向量的不等式恒成立求参数的问题，转化为含参数的三角函数恒成立问题，然后借助正弦函数的有界性，将问题转化为关于参数的不等式，通过解不等式来达到解决问题的目的.

专题训练三

一、选择题

1. 在[△ABC]中，[AB=a,BC=b]，有[a⋅b]<0,则[△ABC]的形状是（ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形

C. 角三角形 D. 不能确定

2. 已知[m=63,n=(cosθ,sinθ),m⋅n=9,]则向量[m]与[n]夹角为（ ）

A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°

3. 已知向量[a=(3,4),b=(sinα,cosα),]且[a]∥[b]，则[tanα]= ( )

A. [34] B. [-34] C. [43] D. [-43]

4. 已知偶函数[f(x)]满足[f(x)=f(x+2)]且当[x∈[0,1]]时[f(x)=sinx]，其图象与直线[y=12]在[y]轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为[P1、P2、⋯]，则[P1P3⋅P2P4]等于（ ）

A. 2B. 4C. 8D. 16

5. 设向量[a=(4,3)]，向量[a]在[b]上的投影为[522]，[b]在[x]轴上的投影为[2]，且[b≤14]，则[b]为（ ）

A. [(2,14)] B. [(2,-27)]

C. [(-2,27)] D. [(2,8)]

6. 函数[y=cos(2x+π6)-2]的图象[F]按向量[a]平移到[F],[F]的函数解析式为[y=f(x),]当[y=f(x)]的图象关于点[(π2,0)]对称时，向量[a]可以等于（ ）

A. [(-π6,-2)] B. [(-π6,2)]

C. [(π6,-2)] D. [(π6,2)]

7. 设向量[a=(cos25°,sin25°)]，[b=(sin20°,cos20°)]若[t]是实数，且[u=a+tb]，则[u]的最小值为（ ）

A. [2] B. [1]

C. [22] D. [12]

8. 已知[△ABC]，[A、B、C]的对边分别为[a、][b、][c]，且[acsinA

A. [△ABC]是钝角三角形

B. [△ABC]是锐角三角形

C. [△ABC]可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形

D. 无法判断

9. 为了得到函数[y=3sin(2x+π5)]的图象，只要把函数[y=3sinx]的图象上所有的点（ ）

A. 横坐标缩短到原来的[12]倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移[π10]个单位长度

B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移[π10]个单位长度

C. 向右平移[π5]个单位长度, 再把所得图象上所有的点横坐标缩短到原来的[12]倍（纵坐标不变）

D. 向左平移[π5]个单位长度, 再把所得图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

10. 如图，两个平行四边形[OP1P2A]和[OP2BA]中，三点[P1]、[P2]、[B]共线，点[P]在[△ABP2]内移动（不包括边界）. 若[OP=x OP1+y OP2]，则实数对[(x,y)]可以是（ ）

A. [(-12,1)] B. [(-32,2)]

C. [(-12,35)] D. [(-35,65)]

二、填空题

11. 已知[a = (sin53°cos23°, cos23°cos53°), ][b=(-cos53°sin23°,sin23°sin53°)]，[c=(1,t)]，[c]∥[(a+b)]，则[t]值为 .

12. 已知向量[a=(cosα,sinα),b=(sin2α,1-cos2α)，][c=(0,1),α∈(0,π)]，则函数[f(α)=b-(a+b)⋅c]的最大值为 .

13. 若将向量[a]＝（2，1）绕坐标原点旋转[π4]得到向量[b]，则向量[b]＝ .

14. 在[△ABC]中，[AB=8,BC=7,AC=3]，以[A]为圆心，[r=2]为半径作一个圆，设[PQ]为圆[A]的任意一条直径，记[T=BP⋅CQ]，则[T]的最大值为 .

15. 已知[OA=(cosα,sinα),OB=(-sin(α+π4),][cos(α+π4)),][O]为原点，实数[λ]满足[λOA-OB≥][3OB,]则实数[λ]的取值范围为 .

三、解答题

16. 设[OA]＝([2sinx],[cos2x]),[OB]=[(-cosx],1), [x∈[0,π2].]

（1）求[f(x)=OA⋅OB]的最大值和最小值；

（2）当[OA⊥OB]时，求[AB2]的值.

17. 若[m=(3sinωx,0),n=(1,-sinωx),ω>0]，在函数[g(x)=m⋅n+t+32]的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为[π2]；若将函数[g(x)]的图象向右平移[π3]个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的[12]倍（纵坐标不变），得到函数[f(x)]的图象，且当[x∈[0,π3]]时，[f(x)]的最大值为1.

（1）求函数[f(x)]的解析式；

（2）若[f(x)=-1+32,x∈[0,π]]，求实数[x]的值.

18. 若[O是△ABC]内一点，证明：[SΔOBC·OA＋][SΔOCA]·[OB]＋[SΔOAB·OC=0].

19. 已知二次函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f(1-x)=f(1+x)]成立，设向量[a=(sinx,2)]，[b=(2sinx,12)]，[c=(cos2x,1)]，[d=(1,2)]，当[x∈[0,π]]时，求不等式[f(a⋅b)>f((c⋅d)]的解集.

20. 已知向量[a=(3sin3x,-y),][b=(m,cos3x-][m)][(m∈R),]且[a+b=0]. 设[y=f(x)].

（1）求[f(x)]的表达式，并求函数[f(x)]在[[π18,2π9]]上图象最低点[M]的坐标.

（2）若对任意[x∈[0,π9],][f(x)>t-9x+1]恒成立，求实数[t]的范围.

21. 在平面直角坐标系中，已知[O]为坐标原点，点[A]的坐标为[(a,b)]，点[B]的坐标为[(cosωx,sinωx),]其中[a2+b2≠0]且[ω>0]. 设[f(x)=OA⋅OB.]

（1）若[a=3,b=1,ω=2]，求方程[f(x)=1]在区间[[0,2π]]内的解集；

（2）若点[A]是过点[(-1,1)]且法向量为[n=(-1,1)]的直线[l]上的动点. 当[x∈R]时，设函数[f(x)]的值域为集合[M]，不等式[x2+mx<0]的解集为集合[P]. 若[P⊆M]恒成立，求实数[m]的最大值；

平面与平面垂直 篇7

LEMs是一种从平面材料中加工成形,且能实现平面外运动的新兴柔顺机构[1],它属于平面正交机构、变胞机构及柔顺机构的范畴,因此也聚集了这三类机构的优势:能以简单的拓扑结构实现复杂的机械运动;加工工艺简单、经济;其平面特性能降低运输及储藏成本。

目前,对LEMs的研究主要集中于柔性机构及其铰链的设计。Wilding等[2]将球面机构和LEMs简洁紧凑的特性相结合,综合出了21种球面LEMs四杆机构;王涛[3]针对已有的LEMs四杆机构,研究了各特征参数对LEMs四杆机构性能的影响;邱丽芳等[4]设计了一种新型平面折展机构柔性铰链并分析了其等效刚度。通过诸多学者的努力,LEMs技术已经发展成为能应用于商业产品并实现特定功能的科学技术,尤其适用于MEMS(micro electro mechanical systems)设计,如投影机、显示镜的驱动系统,光调幅器。此外,LEMs的特性也使其能应用于平面弹簧。

平面弹簧是能在平面中制造或能压缩成平面的弹簧。目前较为常见的平面弹簧包括星架弹簧、涡卷弹簧、碟形弹簧以及S形和C形等平面微弹簧。平面弹簧的主要优点是结构简单,且在初始状态或被压缩状态占用的空间少。但平面弹簧也有不少缺点,如在受力变形过程中会产生周向旋转,使固定于弹簧运动端上的构件伴随弹簧运动端转动,若构件未固定于运动端,则两个部分会发生相对滑动,从而产生磨损、振动及噪声。当前已有不少国内外学者对平面弹簧作了大量研究。王超等[5]设计了一种基于平面矩形螺旋梁结构的平面微弹簧;吴佳俊等[6]以非接触式形状记忆合金平面涡卷弹簧为例,通过研究动作原理,建立了弹簧的力学模型并用实验证明了其正确性;周织建等[7]提出了一种MEMS平面S形锥形弹簧并对其进行了特性分析;李华等[8]建立了MEMS平面微弹簧的力学模型并对其进行了刚度分析;吴志亮等[9]对L形弹簧进行了分析计算,并得到理论计算公式;Kim等[10]将L形弹簧合理运用于抗屈服变形探针上,改善了其受压稳定性。综上所述,目前大部分的平面弹簧只能用于承受平面内的力的场合,而对于能承受面外力的平面弹簧,又存在变形过程中运动端容易产生周向旋转,从而引起摩擦、磨损的问题。

针对上述问题,本文基于LEMs设计了一种结构紧凑、加工方便的平面弹簧,该平面弹簧在变形过程中运动端无周向旋转,能减少弹簧的摩擦、磨损;其次基于悬臂梁模型和伪刚体模型[11]分别推导了LEMs平面弹簧的刚度计算公式,并利用ANSYS验证了两种公式的正确性。最后,通过大量实例分析计算确定了两种公式的适用范围,并验证了其有效性。

1 结构设计

根据LEMs特性设计的LEMs平面弹簧的结构如图1所示。圆环基座与运动平台通过4组片段连接形成整体,其中每组片段由三个柔性片段和两个连接片段组成,它们依次呈90°度交替连接,形成图2所示的“之”字形折返运动关节,4组“之”字形折返运动关节在圆环基座与运动平台间放射式均匀分布,将圆环基座和运动平台连接成整体,且4组片段间形成4块镂空区域。图2中,L、b分别为柔性片段的长度和宽度,B为柔性片段间的间距,D为连接片段厚度,d为柔性片段厚度,它们的单位为mm。

LEMs平面弹簧的工作原理可以描述为:在工作过程中,圆环基座固定,运动平台受垂直平面的均布力作用“浮出”制造平面,此时“之”字形折返运动关节发生变形并产生一个反作用力。由于柔性片段的刚度远小于连接片段刚度,故平面弹簧的变形仅发生于柔性片段。此外,4组“之”字形折返运动关节在圆环基座与运动平台间呈放射式均匀分布,使运动平台所受的合力方向垂直于制造平面,故其动作过程必然为垂直平面的直线运动而无周向旋转。

2 理论分析

2.1 悬臂梁模型

若LEMs平面弹簧的变形在线性范围之内,可运用悬臂梁变形计算模型对弹簧的线性位移进行分析求解,进而根据线性弹性理论得到LEMs平面弹簧的刚度计算公式。

由于4组运动关节均匀分布,故仅对其中一组运动关节进行分析。假设均布载荷P垂直作用于运动平台,则其中一组运动关节所受的力F=0.25P,受力后LEMs平面弹簧的运动关节主要产生弯曲变形及扭转变形,其中弯曲变形量是柔性片段相对固定端的偏移量,可以表示为[12]

式中,δ为垂直方向的变形量;c为比例因子,由末端约束决定,此处固定-导向梁c取12;E为材料的弹性模量;Is为柔性片段的惯性矩[13]。

扭转变形量是柔性片段的扭转角度,可表示为[13]

式中,M为柔性片段所受扭矩;G为切变模量,ν为泊松比;Ip为极惯性矩[13];β为与柔性片段截面边长比b/d相关的系数,可通过查表得到[13]。

LEMs平面弹簧的“之”字形折返运动关节受力模型可简化为图3所示模型。

运动关节中柔性片段AB、CD、EH的长度均相等,且它们的刚度远小于连接片段BC、DE的刚度,因此连接片段可以视为刚体。点H处的总位移δ1由柔性片段的弯曲和扭转倾斜造成,因此:

其中,δAB=δCD=δEH,由柔性片段弯曲形成,计算公式为

δ′为柔性片段扭转导致连接片段倾斜所引起的H点位移,其中扭转变形主要发生在柔性片段AB及EH,故根据式(3)得

总位移δ1为

根据线弹性理论[13],LEMs平面弹簧的刚度为

2.2 伪刚体模型

当LEMs平面弹簧的变形量较大时可以用固定-导向伪刚体模型分析其变形。

末端受载荷作用的固定-导向伪刚体模型如图4所示,梁的一端被固定,而另一端被导向,即使该梁的末端角度保持水平不变。由于末端要保持一个固定角度,因此末端必有相应的力矩(图4中的M0),故所得梁的变形形状关于中心线反对称。

在固定-导向伪刚体模型中,扭簧刚度系数Kfg可采用下式表示[11]:

式(10)中,γ和Kθ通常采用近似值,γ=0.85,Kθ=2.68。

固定-导向梁在垂直力作用下的位移可以表示为

伪刚体角θ与扭簧所受转矩有关,即

将cosθ的泰勒展开公式代入式(12)得

求解式(13)中的θ:

由柔性片段扭转造成的H点位移为

其中,Ki为扭转变形处的截面形状相关参数,可由文献[14]提出的精度较高且不受宽厚比影响的公式求解:

联立式(11)、式(14)和式(15)可得关节H点的总位移δ2:

故根据伪刚体模型推导的LEMs平面弹簧的刚度为

由上式分析可知,LEMs平面弹簧的刚度与受力之间成非线性关系。

3 仿真验证与适用范围

为验证上述悬臂梁理论模型与伪刚体理论模型所推导刚度计算公式的正确性,设计了LEMs平面弹簧实例。由于该LEMs平面弹簧结构对称,为了减小ANSYS软件的分析计算量,取LEMs平面弹簧的其中一个运动关节进行建模分析,然后将有限元分析结果与上述两种理论模型的计算结果进行对比。

所设计实例的结构参数如下:L=10mm,B=1mm,b=1mm,d=0.4mm。本例中选择强度与弹性模量之比较高的ABS工程塑料作为LEMs平面弹簧的材料,其弹性模量E=2.2GPa,泊松比ν=0.34,屈服极限σmax=70MPa。考虑弹簧变形需在弹性范围之内,故施加的力P不超过Pmax=1.5 N,即每个运动关节受力不超过0.375N,其中Pmax可由下式求得

如图5a所示,仿真模型包含2392个六面体单元,其一端添加固定约束,另一端添加“导向”约束,并施加一个垂直平面的力。当加载的力为0.01N,即平面弹簧受力P=0.04 N时,由ANSYS分析所得的LEMs平面弹簧运动关节的受力变形,如图5b所示,由图可知弹簧的变形量δ0=0.291mm,而利用悬臂梁模型推导的式(9)求得的弹簧变形量δ1=0.274mm,基于伪刚体模型推导的式(18)求得弹簧的变形量δ2=0.266mm。选则大小不同的力,可以得到如表1所示的计算分析结果。为了更加直观地表示LEMs平面弹簧受力与变形量之间的关系,用MATLAB软件绘制得到如图6所示的变形曲线及如图7所示的相对误差曲线。

由图6和图7分析发现:伪刚体模型计算值和悬臂梁模型计算值基本与有限元分析结果相吻合;在作用力较小,即变形相对较小的情况下悬臂梁模型的计算值更精确,LEMs平面弹簧的刚度用悬臂梁模型推导的式(9)表示更准确;在作用力较大的情况下,伪刚体模型的计算值精确度要高一些,LEMs平面弹簧的刚度用伪刚体模型推导的式(18)表示更精确。综上所述,为提高LEMs平面弹簧的刚度理论计算精度,需进一步研究两种刚度计算公式的适用范围。

进一步的研究表明,当加载的力P与最大可加载力Pmax之比达到某个值后(如图7所示黑点),伪刚体模型的计算值精度将开始高于悬臂梁模型计算值,而该比值与L/b成正比,与d/b的平方成反比。其中,Pmax可用式(19)计算。

为了推导两种公式的适用范围,设计了32组实例,其结构尺寸比例如下:L/b=7,9,11,13,15,17,19,21;d/b=0.25,0.40,0.50,0.67。选出伪刚体模型计算值精度开始高于悬臂梁模型计算值的力Pa,将Pa/Pmax的比值a记录于表2。

将表2中的数据导入MATLAB,以L/b、d2/b2为自变量,a为因变量得到如图8所示的图形,从图8中可以发现在L/b、d2/b2不同的情况下,a的值都近似在同一个空间平面内。利用OriginPro软件求得上述近似空间平面的多元线性回方程:

其中,多元线性回归方程的R2值为0.9507,F值为299.9279,P值为0。上述分析表明,表2中的数据与多元线性回归方程的拟合度较高,且两种模型推得的刚度计算公式在力为Pa附近通常计算精度都较高,Pa/Pmax可以用式(20)表示。故当施加在弹簧上的力小于Pa时,LEMs平面弹簧的刚度可以用悬臂梁模型推得的式(9)表示;当施加在弹簧上的力大于Pa时,弹簧的刚度可以用伪刚体模型推得的式(18)表示。

将上述结论总结如下:

由于在Pa附近两个模型推得的刚度计算公式精度都较高,故上述公式的区间都取了等号。

为证明上述结论的正确性,以第3节实例为例,此时a=0.4682,Pmax=1.5N,当P≤Pa=0.7N时,k=k1,误差在0与5.84%之间;当P≥Pa=0.7N时,k=k2,误差在0.153%与5.02%之间,总体误差在0到5.84%之间。但只用悬臂梁模型推得的计算公式k=k1,最大误差将达12.15%;而仅用伪刚体模型推得的计算公式k=k2,误差在0.153%到8.59%范围内,如表3所示。显然区分两个公式的适用范围,可以提高LEMs平面弹簧刚度的计算精度。上述分析进一步验证了公式适用范围的正确性。

%

4 结论

(1)本文设计了一种LEMs平面弹簧,解决了传统平面弹簧在变形过程中运动端产生周向旋转从而造成磨损和振动的问题。

(2)基于悬臂梁模型与伪刚体模型,分别推导了LEMs平面弹簧的刚度计算公式。

(3)通过ANSYS有限元分析实例验证了两种刚度计算公式的正确性,然后基于大量分析计算,总结了两种公式的适用范围,并证明了其有效性。

平面与平面垂直 篇8

工程图样是表达和交流技术思想的重要工具, 是工程界的技术语言, 掌握绘制工程图样的基本理论和方法是工科高等学校学生的基本技能。《画法几何》是工程制图与识图的基础, 它研究如何在平面上图示空间物体和图解空间几何问题, 为用平面图样完整表达空间物体提供基础。

《画法几何》主要分析方法可归纳为二方面, 一是“图示法”, 研究在二维平面上表达三维空间形体的方法;二是“图解法”, 研究在平面上利用图形来解决空间几何体的方法。

1 基本问题

画法几何用来培养空间逻辑思维和想象能力, 要求在学习过程中必须将平面上的投影与想象的空间几何元素结合起来, 形成二维与三维的转换。在教学实践中使用机械工业出版社由李俊武主编、2011年1月第2版的《工程制图习题集》, 该习题册第34页题设为“平面与平面立体交线、补画第三视图”, 其中第6题 (如图1) 。本题设计初衷良好, 意在培养空间逻辑思维和想象能力, 但学生在求解过程中理解难度较大。

2 问题辨析

平面立体被截平面切割后所得的截交线, 是由直线段组成的平面多边形。多边形的各边是立体表面与截平面的交线, 而多边形的各顶点是立体各棱线与截平面的交点。截交线具有二条重要的性质, “共有性”是截平面和立体表面的共有线, 截交线上任何一点都是截平面和立体表面的共有点;“封闭性”是封闭的平面图形。因此, 求截交线实际是求截平面与平面立体各棱线的交点, 或求截平面与平面立体各表面的交线。

平面立体的截交线是一个封闭的平面多边形如图2 (a) , 它的顶点是平面体的棱线 (或底边) 与截平面的交点, 它的边是平面立体表面与截平面的交线。因此, 平面立体截交线的求法有两种, 一为求各棱线的交点, 然后依次连接各交点, 并判别可见性;二是求各棱面上的交点, 并判别可见性, 基本分析方法如图2 (c) 所示。

此切割体是由两平面截切产生的。截面P与三棱锥前后棱面的交线为一般位置线;截面Q为水平面, 与三棱锥底面平行, 故由截面Q产生的截交线平行于三棱锥底面的对应边, 其水平投影为真实性, 为三边形, 正面、侧面投影位积聚性, 为一直线段;P面为正垂面, 截交线为三边形, 其截交线的正面投影具有积聚性, 水平和侧面投影为类似形。P、Q面的交线为正垂线。

笔者在教学时对图1分析过程首先根据题设利用图解法, 进行造型。再次运用图示法, 用三视图表达造型, 与题设相互验证。

2.1 依据主视图进行图解

依据主视图进行分析, 其基本形体为四棱台, 后经一面切割形成, 由此运用Solid works建立形体如图3 (a) 所示。运用Solid works工程图工具, 对依据主视图进行切割后得到形体进行三视图表达如图3 (b) 所示, 得到俯视图中三解形与题设俯视图为粗实线不符。

2.2 依据俯视图进行图解

依据俯视图粗实线表达, 主视图进行分析, 其基本形体为四棱台, 后经切割形成, 切割面起点发生变化, 由此运用Solid works建立形体如图3 (a) 所示。运用Solid works工程图工具, 对依据主视图进行切割后得到形体进行三视图表达如图4所示, 得到俯视图中的粗实线, 出现主视图短水平线消失问题。

基于以上二点分析, 学生基本认识为“题设错误”。

2.3 主、俯视图结合进行图解

基于以上二点分析, 可进一步解析, 基本体为四棱台的深化形式, 其底面为四边形, 上表面演化为一直线, 运用Solid works的放样或扫描功能, 建立如图5所示基本形体。

利用Solid works功能构造此基本形体, 极大解决了在教学中语言表达对形体描述的单一性, 令学生直观、快速地掌握构建形态。在此基础上进行切割, 得到如图6所示三视图, 观察俯视图发现, 倾斜切割部分所得并非原题的粗直线, 特别是左侧部分曲线比较明显, 由此, 进一步推进分析, 将四棱台分解为左右二部分进行构建。

2.4 左右分离式图解

针对2.3中分析的结果, 运用Solid works的放样或扫描功能, 建立如图7 (a) 所示基本形体, 其中左侧为三棱锥, 右侧为非规则形体, 近似一端打开的书本放置在桌面, 如图7 (b) 。

此形体在教学中基本无法以语言表达进行精确描述, 利用Solid works功能构造此基本形体, 令学生准确地掌握构建形态。在此基础上进行切割, 得到如图8所示三视图, 观察俯视图发现, 倾斜切割左侧部分曲线变化为粗直线。

3 初步结论

截交线的形状取决于几何体的表面性质及截平面相对几何体的位置, 求截交线的实质上就是求截平面与立体表面的共有点。通过以上分析, 可以明确平面立体截断体上截交线的画法分三步, 一是补画基本体完整的三视图;二是分析截交线平面多边形的边数, 画出各个转折点的投影, 同名投影连线;三是整理、描深截断体的投影。

图1所在页题设为“平面与平面立体的交线”, 其中“平面立体”是表面都是平面多边形, 常见的有棱柱和棱锥两种。仔细分析图7的俯视图, 与题设比较发现倾斜切割右侧部分曲线依然存在, 分析具体原因为右侧形体由底面三角形向上变化为一直线, 此时前、后二面并非平面而是曲面, 因此得到的截交线是曲线。由此初步得出结论为“题设表达不明晰”。

通过Solid works造型功能运用图解法, 极大完善了教学过程的信息传达, 使用学生直观、快速、精确掌握分析过程;利用Solid works的“工程图”功能运用图示法, 将得到信息与原题设比对, 逐步推进辨析过程, 使学生平稳、渐进掌握分析结果。通过以上教学过程既提高了学生的认识水平, 更能提高学生的思辨能力。

摘要：本文结合《画法几何》教学中“平面与平面立体交线”的基本问题, 利用Solid works“工程图”工具, 综合运用“图解法、图示法”, 先根据题设进行三维实体适型, 再由此生成三视图, 帮助学生分析相互关系, 提高学生认识基础和思辨能力。

关键词：Solid works,图解法,图示法,思辨能力

参考文献

[1]霍光青, 郑嫦娥.同步造型技术在工程图学教学中的应用研究[J].图学学报, 2012 (01) .

[2]张瑞, 赵建国.工程制图教学与创新素质培养的研究[J].河南机电高等专科学校学报, 2010 (03) .

[3]童秉枢.图学思维的研究与训练[J].工程图学学报, 2010 (01) .

平面与平面垂直 篇9

1. 平面设计的求真意志

设计是一个时代文化的缩影, 因为人必定是处在一定时间特定文化背景下的人。在这个存在的被遗忘的年代, 人处在一个真正的缩减的旋涡中, 胡塞尔所讲的“生活世界”在旋涡中宿命般的黯淡, 存在坠入遗忘。缩减仿佛是一种宿命, 我们刚刚告别生活一切领域缩减为政治的年代, 一个新的缩减的旋涡又更加有力的罩住了我们。在这个爱情缩减为性, 友谊缩减为公共关系, 读书和思考缩减为看电视, 大自然缩减为豪华宾馆的室内风景, 对土地的依恋缩减为旅游业, 真正的精神冒险缩减为假冒险的游乐设施, 要之, 一切精神的价值都缩减成了实用价值, 永恒的怀念和追求缩减成了当下的官能享受, 设计也处在这个旋涡中, 这就更加需要个体元素的光芒, 个体真实的表达, 给设计注入真实情感。

在设计中, 人格的文化特征在作品中具体体现的是情感的个性色彩, 具有强烈的个性, 也可以说具有强烈的人格力量。人格是独特的是不能重复的, 一切真正的设计是要有感情来源的。当土豆的形象反复出现在冈特.兰堡的设计中时, 这个最微乎平常的土豆吸引了众人的目光, 可是有多少人真正了解兰堡对土豆的一片深情呢, 这是完全个人化的自我的感受。冈特·兰堡出生于二战的发源地德国, 二战结束时他才8岁, 他的童年是在炮声、废墟和饥饿中度过的, 当时处于饥饿时期的德国人发现, 从美国引进的土豆经过二十天的种植就可以使用, 是土豆救活了德意志民族。由于这段特殊的历史, 土豆在德国成为一种文化现象, 它有种植的文化、储存的文化、烹调文化。土豆使兰堡度过了苦难的童年, 土豆救活了兰堡, 没有土豆就没有兰堡和他的艺术。兰堡对土豆有一种特殊的感情, 土豆文化是他本能领悟的民族文化, 是他面向世界的一扇最初的窗口。兰堡的土豆文化令人称道的不是土豆本身, 而是奇特的创意和视觉效应的魅力。其实土豆已在求真意志和趋同意识之间找到了平衡, 这个平衡是所有设计师所孜孜以求的。很有众里寻他千百度, 暮然回首就在生活细微处的意思。如果设计师能够首先把自己作为一个和芸芸众生毫无二致的人的前提, 那么一切都不是问题, 只不过在这里, 设计师必须是一个敏锐的多触角的人, 能够去观察发现生活的细微之处, 越是平常的不能再平常的事物人们在生活中不会投去任何关注目光的

参考文献

[1]原研哉:《设计中的设计[M]》, 朱锷译, 山东, 山东人民出版社, 2006:72, 71.

[2]陈育德:《灵心妙悟——艺术通感论》安徽教育出版社出版, 2005年12月.

[3] (美) 诺曼:《情感化设计[M]》, 付秋芳、程进三译, 北京, 电子出版社, 2005:88.

对象, 当设计者把它从生活中提取出来昭然于众的话, 必将引起围观, 还有一个不能忽略的前提就是这个平常之事物一定是被设计者打上了自己鲜明个性特征的烙印。

2. 平面设计的趋同意识

永恒的视觉传达艺术的存在, 尽管形态不同, 但动机只有一个:向非我的外在世界传达我的理解, 感知, 渴望以谋求事实与抒情之间的平衡, 理解就是去统一。作为对时代截面的同时性关照并予以逼真体现, 我称之为设计师的趋同意识。平面设计不同于艺术表达, 被受众所理解认同是每个设计师的追求。这种趋同并不是内容上的抄袭, 形式上的模仿, 而是建立在求真意志之上的为大众所认同的设计作品。视觉传达中, 人的意念就是通过可识别性渠道与外界沟通, 获得统一而和谐的感觉。诉求与接受的交互设计者希望并无矛盾之处, 这世界是设计师本人所理解的那样, 这就是设计意念的人性根基。否则, 我们何必去传达?正如音乐、哲学、文字、绘画、一样, 要求深刻的真实, 难免个人主观介入的印记。这一循环的艰辛滚动, 逐渐积累着视觉传达的真知。我想这就是艺术设计的进步与成熟。

3. 平面设计的发展平衡于两者之间

什么是高水平的设计?是视觉传达艺术历程中每个设计师的永恒焦虑。是的, 我欲传达什么, 我为何以这种方式而恰恰不是以另一种方式去设计?它是每个设计师设计过程中有意识或无意识的必经之路。作为焦虑的释放, 求真意志于是成为一部分设计师的主导意念, 他们定义真实, 把握世界本质。每一种流派诞生于时代的激发和文化的砥砺之中, 境遇使得人的创造力在不同的维度纷纷探出它敏感的触角, 视觉传达艺术的世界里如其他艺术领域, 求真意志永远是一道亮眼的红线:不断拷问我与世界的本质, 自我与世界的关系实质, 并予以表达。

现而今, 一些盲目趋同的设计作品在我看来已丧失了去追寻真知的激情, 而只是与时代面面相觑, 使时代中的人们在共鸣中认为自己正走在唯一可能的道路上。20世纪后期的先进技术产生了一个同时性的文化混乱:古代和现代文化、东方和西方思想、手工艺和工业生产, 过去, 现在和未来模糊成信息和视觉形态的连续统一体。与这种现象合拍并把它们溶入自己的作品, 如今大部分的平面设计师是走在这条路上。然而, 我们必须在这两种意念之间作出抉择吗?出路是有的, 那就是什么都不拒绝:我们首先要确认我们要传达东西的深刻真实性, 然后我们再要求设计意念在量的方面的丰富。而作为有限的个体, 渴望无限也恰恰正是他的真实欲望。这样看来, 多种意识的并存、发达的媒介亦同时是每个设计师的幸运。

摘要：设计自艺术中脱胎至今关于平面设计两种维度的探讨即求真的自我意志的表达与能够为受众所接受的趋同意识两者之间的问题就一直存在于每个设计师的心中。在设计过程中两者的关系无需刻意操持, 其平衡于整个设计过程之中。

关键词：求真意志,趋同意识,设计

参考文献

[1]冈特·兰堡——国际广告设计大师丛书 (德) 兰堡绘.河北美术出版社2000-5-1.

平面与平面垂直 篇10

在测量工作中可能会遇到各种复杂地形, 例如, 某一地方公路全长十公里, 所处地区为山区。此公路设计在离地面一百多米的半山腰上, 全长十公里就有五十四条平面曲线, 要求采用偏角法施测。一是因为半山腰无法架仪器或是太危险, 二是曲线多, 曲线要素点无法放护桩等, 所以只有把偏角法转变成直角坐标法进行放样。

2 设计思路:

在考虑现场地形条件的影响, 可以用导线法进行放样, 如何将偏角法转变成平面直角坐标系用导线法放样, 需要熟练掌握偏角法计算和放样及导线法的计算和放样。

3 因为偏角法在当前铁路、公路测量中是常用的方法比较简单, 所以只介绍导线法的计算和放样:

导线测量是将地面上所选的控制点, 组成连续的折线或多边形, 构成导线, 测量各导线点间的角度及边长并根据起始边的方向, 求出各导线点间的坐标称为导线测量。施工单位一般分为导线复测阶段和导线放样阶段。导线复测阶段又分为外业和内业计算。

导线复测的内业计算:外业工作做完以后应及时整理和检查外业观测手簿, 检查观测成果是否合乎技术要求, 计算是否正确, 然后进行内业计算, 即根据已知导线点的坐标及边的方位角和外业的导线观测成果, 推算各导线点的坐标并评定精度。内业计算第一步为角度闭合差的计算与调整, 理论内角之和为∑β理= (n-2) ×180°, 角度闭合差fβ=∑β测-∑β理, fβ允=±20″, n为多边形内角和;第二步坐标方位角的推算, α前=α后+180-β左;第三步坐标增量计算, △Xab=D.cos Rab, △Yab=D.sin Rab;第四步为坐标增量闭合的计算和调整;第五步为坐标反算。内业工作主要为以上步骤。因为各种测量书中都有详细说明, 这里就不在举例。

在高等级公路的图纸下来后, 还有一项重要的内业工作就是对线路上的坐标进行计算复核, 并对桥等构造物的桩位及墩、台坐标进行复核。首先复核ZH (ZY) 或HZ (YZ) 点的坐标, 根据已知的交点坐标和交点到ZH (ZY) 或HZ (YZ) 的切线长及两交点的方位角用坐标反算计算曲线起终点坐标, 然后复核线路逐桩坐标 (一般采用CASIO4800计算器编个小程序进行复核, 程序略) 。

以上所有的这些内业外业工作做完后, 才可以更放心的对我们线路进行施工测量。

4 将偏角法转变成平面直角坐标系用导线法放样

将偏角法转变成直角坐标系法的好处和高等级高速公路的导线测量一样。一是精度高、二是速度快。下面作一小例题进行说明:如图1所示为一线路走向图, A、B、C、D、E、F为转点或交点, ID1、ID2、ID3、ID4为加密的导线点。首先进行的外业工作中, 在线路外进行选点并进行联测工作, 以AB和EF边为两条基准边把加密导线点联测进来。

然后内业的计算:①假设A点坐标为 (10000, 10000) , AB的切线方位角为0°00′00″, 根据下面已知条件, 计算出交点B、C、D、E的转向角, 如B点转向角α=180L/πR=180×62.8/π×50=71°57′48.6″依此类推。②计算两交点的方位角, BC的方位角为T=0°00′00″+71°57′48.6″=71°57′48.6″, 依此类推。③计算两交点间的距离。根据已知条件的里程以及切线长计算出两点间距离, 如AB间距离D=217.69+36.3=253.99m依次计算出其它交点之间距离。④计算交点及ZY (YZ) 点坐标, 已知两点间距离及切线方位角用坐标反算就可算出各点坐标。A点坐标 (X=10000, Y=10000) , B点坐标 (X=10253.99, Y=10000) , C点坐标 (X=10361.353, Y=10329.714) , D点坐标 (X=10660.539, Y=10322.532) , E点坐标 (X=10810.885, 10393.802) , F点坐标 (X=11157.507, Y=10674.484) , ZY (YZ) 点坐标的计算, 因知道切线长和切线方向, 用坐标反算业就算出各ZY (YZ) 点的坐标。交点B的ZY (X=10217.69, Y=10000) , YZ (X=10265.229, Y=10034.516) ;交点C的ZY (X=10338.300, Y=10258.919) , YZ (X=10435.786, Y=10327.927) ;交点D的ZY (X=10560.750, Y=10324.927) , YZ (X=10750.736, Y=10365.289) ;交点E的ZY (X=10702.844, Y=10342.586) , YZ (X=10903.805, Y=10469.046) ;F点的坐标 (X=11157.507, Y=10674.484) 。⑤已知A、B、E、F点的坐标, 以AB、EF边为基准边, 对加密点进行平差, 计算加密点的坐标。这里就不再详述。ID1的坐标 (X=10501.023, Y=9993.480) , ID2的坐标 (X=10602.825, Y=10162.873) , ID3的坐标 (X=10796.526, Y=10262.398) , ID4的坐标 (X=11063.143, Y=10404.068) 。⑥利用CA-SIO4800计算器编写的程序计算线路逐桩坐标。至此将偏角法转变成直角坐标系的放样方法就计算完毕, 此时可以把仪器架到任何导线点上对线路进行施测。

平面设计与绘画之异同 篇11

关键词：相似性；依赖性；平面设计；绘画；商业性

在理工科领域里面有这么一种句很出名的话：是物理学家的人他一定就是一个数学家，但是是数学家的人他不一定是物理学家。事实确实如此，不管在曾经还是现在绝大多数的物理学都是数学家，因为物理学是一个极其复杂的学科，没有很好的数学基础，那么研究物理那就好妄想。回过头来想一想会绘画就会懂得设计吗？答案一定是否定的。对绘画与平面设计（以下简称设计）感触最深的莫过于平面设计师了。设计师不但需要具备绘画的基本造型技能与审美意识，更需要具备对形式美法则的特殊理解和艰深快捷的创造意念。出于职业的因素，对其间的异同性，不得不去思考与论及。一种人认为：只要有绘画的造型功夫，设计便不成问题。而另一种人则认为：设计就是设计，有绘画的造型功底不见得就会设计。持前一种观点的人多为美术院校的师生，而持后一种观点的人则为职业设计师。

“诗中有画画中有诗”这是人们对诗圣杜甫的美誉，很多人看他的作品只是单纯的去欣赏他的诗或者画，然而没有把二者有机的结合起来，古往今来好多有好多的名人志士就画论画，见诗论诗。但现在有好多的设计大师就将两者有机的结合了起来看，发现其实杜甫要是在当代一定是一个有名的设计大师，因为他的画中的落款和画的布局好合理，人很有层次感，例如杜甫的这幅作品《马》，上面不光画了一只马而且还在马的左右提上了字使得整个画面不空洞，马不是画在正中间而是画在偏左的地方，使得画面有一种向前冲的感觉，打破了正中间构图使画面死板的形式，而且文字大小相差很大，跳跃率很高给人以大气，高品质，高格调的印象，从这个层面来讲绘画和平面设计是相辅相成的。

但是绘画和平面设计还是有本质上的区别，两者最大的区别在于其对商品的依附性上。设计作为商品在为市场服务时必须具备价值与使用价值，要想赢得客户的信任与满意，最终实现设计的价值，它必须通过市场竞争的检验，设计最后的成功与否在于它能否达到美化产品最终实现促销的目的。现实中几乎每一位设计师在为客户服务时，都尽量去迎合和满足客户对设计的需要。一方面设计师必须站在客户的角度去猜测客户的心理以使得自己的设计方案得以通过。另一方面，客户可能对市场的把握了解远胜过设计师，设计师不得不服从客户对他的要求。也许设计师认为会满意的作品，但不一定会得到客户的认可。设计师只有屈服于他们的“上帝”，这就是市场。设计对商品的依附性还体现代市场是设计的指挥棒，市场的强劲与疲软将直接影响设计行业的起伏。一种情况：与市场处于经济危机形态、商品大量积压、消费者购买力下降时，商家对设计就不很关心。

绘画与设计的区别不仅仅体现任“个性化”与“依附性”上，还体现在对形式美规律追求的差异性上，绘画，尤其是现代绘画，在一幅作品中选择综合材料已到了随心所欲的境地，多种材料的运用旨在加强画面的混沌美效果，通过扑朔迷离不确定的材质肌理因素以达到变化多端的目的。虽然有些手法在设计中也偶尔能见到，但一般来说仅是借用绘画的表现手法，以增强设计的艺术性，但它不是设计最终追求的表现手段和美学思想. 设计不同于绘画还体现在对秩序美的追求上，现代设计对实体的进一步把握是形式法则。形式是实体的具体化、丰富化、精确化。例如福田繁雄《F》海报系列，主画面为福田名字的首字母“F”，對该字母进行变化。该系列又不同于“贝多芬”系列中以发部轮廓为基本形态，在其轮廓内部根据主题内容进行图形元素的置换，而是以“F”为基本型，作者对其以往在众多平面作品中惯用的图形符号或表现方式进行的重现。如矛盾空间、图底反转等错视原理和手法的运用，坐着的女孩和奔跑着的动物形象的运用等。使其作品打上福田的符号，成为其异质同构中的又一代表性作品。这是纯存的商业“个性化”与“依附性”画，根本没有绘画参在里面。

绘画与现代平面设计有着巨大的差异，二者之间的关系属于两个不同性质行业之间的关系，是实用性与观赏性的关系，是多层次、多社会性的理性思考与情感宣泄，表现个性才气的关系，是体现工业化水平与千万艺者技巧的关系。虽然本文在此强调了二者之间的差异性，但并不否认二者之间的联系性，如：早期绘画与设计的起源、艺术规律的相似性、设计必须具有绘画审美意识的基本特征、审美意识的趣同性等一系列重要课题，都不能将之人为地割裂开来。我们只有正确地把握绘画与设计的养异性，掌握适度的分寸关系，运用二者之间共性的基础理论才能对这一问题有着客观深刻的科学认识。

平面构成与服装设计 篇12

关键词：平面构成,点,线,面,服装设计

一、平面构成在服装设计中的应用

平面构成是现代设计学中的基础理论之一, 与色彩构成、立体构成合称为三大构成。起源于俄国构成主义, 之后为包豪斯用于教学, 作为设计核心基础课程延用至今。平面构成主要研究的是点、线、面在二维空间中的组成法则及规律等。平面构成中的三大元素点线面, 在服装的应用中极多且广。

1. 点元素在服装中的应用

点是设计中最活跃的元素, 在服装中的运用也是如此。当我们在设计时, 有时会遇到沉闷呆板的状况, 这时候倘若将点元素灵活运用其中的话, 便能缓解这样的不利情形, 起到画龙“点”睛、万绿丛中一“点”红的作用。对点的应用, 可以是少量的, 也可以占很大比重;在构成方式中也是五花八门。在服装设计中, 应用的点有多种, 例如大点、小点、虚点、实点、黑点、白点、光滑的点、粗糙的点等等。运用到的构成形式也是多种多样, 例如重复构成、对比构成、近视构成、渐变构成、发射构成、肌理构成、特异构成等。其中点元素在服装设计中运用得最多的组成形式有重复构成、渐变构成、肌理构成、对比构成等。

点的重复构成运用的部位很灵活, 也很多变, 有时候整套服装都可以用上同样的点元素, 以达到重复构成的效果。点的重复构成在服装中的应用, 让人感觉简洁大方, 统一和谐。

点的渐变构成在服装中的应用多为上装或裙装, 位置可以在腰上, 也可以在肩上或其它部位, 大致的组成方式为大小渐变, 抑或点的明度渐变等。

点的肌理构成在服装中的应用, 尤其在各种服装赛事中较为常出现。当今很多服装比赛, 其中一个非常重要的衡量标准就是对面料的把握及创新应用。而面料的创新中, 很多都会用到点的肌理构成, 将各种各样的点组成想要的特殊肌理效果。这样的点组成的肌理可以运用在服装的很多部位, 比如腰部、腰部、腿部等, 根据服装的款式设计来分布。

点的对比构成在服装中的应用也是非常常见, 而且是非常重要的一种构成方式。对比构成中又有很多小分类, 其中服装中最常用的是大小对比、聚散对比等。大小对比便是不一样大小的点按照一定原则组合成的构成效果, 在服装应用上位置分布十分广泛。

2. 线元素在服装中的应用

线的品类繁多, 大致可分为直线与曲线。直线有交线、平行线、直线、虚线;曲线有抛物线、旋涡线、曲线、弧线、椭圆线、任意封闭的曲线等。线在描绘过程中, 还有粗线细线之分, 除此外, 根据纹理来分, 又有纱布线、圆滑的线等。

线是设计中最富表现力的元素, 因此线的构成在服装设计中极富表现力, 它可以表达柔和、也可以表达粗犷;它可以表达简洁、也可以表达丰富;它可以表达整齐、也可以表达凌乱等等, 表现力极为强大丰富。线元素的构成形式在服装中主要有肌理构成、重复构成、对比构成、渐变构成、发射构成等。

线的肌理构成在服装设计的应用中很容易得到表达。线的肌理构成可以在服装中的体现可以是服饰中装饰, 也可以是服装结构本身。针织毛衣本身就是由毛线按照服装款式组合成的特殊肌理构成。

线的重复构成在男士衬衫依领带类服饰中特别常用, 通常由同样粗细的线条或是横式排列、或以竖式排列, 运用在男装上, 可给人整洁、整齐、稳重、成熟干练的感觉。

线的对比构成在服装中的应用主要体现在一些特殊的图案效果。例如不同的明度组成的线会出现特殊的空间效果;又如粗细不一的线构成的对比, 会让服装的形式感更为丰富。

线的渐变构成, 尤其是线的疏密渐变会让人产生强烈的空间感, 甚至给人一种从二维上升到三维的特殊感受。根据这一特性, 线的渐变构成主要被应用在前卫服装设计, 或者高科技服装设计中。

线的发射感是十分强烈的。练条以一个中心或者多个中心发射式的排列构成, 给人很强的冲击力。一些条线的国旗图案, 应用在服装中时, 便会呈现发射构成。

3. 面元素在服装中的应用

点的扩大便成了面, 点因为太过细小而不能表达的效果, 面却能做到。面从形状分类, 可以分为几何面和有机面。几何面有三角形、四边形、梯形、圆形等等, 有机面则是更随意性的面, 具有偶然性, 有机性。面元素在服装设计中构成形式主要有重复构成、对比构成、近视构成、特异构成、肌理构成等。

面的重复构成在服装中的应用随处可见。如格子套装, 格子衬衫, 便可以归为几何面的重复构成, 给人稳重、高雅、高品味的感觉;还有一些如扎染工艺制作而成的服饰, 上面也会应用到规整的几何面的重复排列, 给人很强的装饰性感觉。

面的对比构成, 在服装中应用得最多的有黑白对比, 大小对比等。香奈儿的经典黑白双色鞋是对黑白对比构成最好阐释, 简洁高雅大方, 流行至今仍是经典。还有拼接布在流行市场中的应用, 明度与大小的对比构成, 也成就了人们对其的喜爱。

面的近视构成, 在童装服饰中很是盛行, 这些近视构成的面大多以图案组成。通过面的形状上的近视, 基本形的近视, 骨骼的近视, 体现在服饰图案中, 给人丰富而不呆板的感觉。

面的特异构成, 主要应用在一些性比较艺术化的服饰上。在服饰整体有序的图案安排中, 出现一些特异图案的变化。比如在一片整齐排列的黑色拼图里出现一片白色拼图。面的特异构成在服饰中的应用, 主要有形状特异、骨骼特异、大小特异、方向特异、位置特异、色彩特异、肌理特异等。

二、设计大师对平面构成的应用

1. 草间弥生

草间弥生是当代艺术史中不能逃避的一位伟大艺术家。草间弥生的作品最大的特点便是将圆点反复在装置或画板上排列出现。她的这一艺术特点, 使她被世界称为“圆点女王”。她的地位与安迪·活霍尔、村上隆齐名。而成就这样一位伟大的艺术家的, 却仅仅是平面构成中点的元素的成功运用而已。

草间弥生将这些圆点, 按照一定的构成方式 (多为重复构成、对比构成极肌理构成) 布置在任何她想结合的画面或装置上。例如她将南瓜装置的棱全由圆点的肌理构成排列, 看上去给人简洁而又有趣, 甚至荒诞的感觉。另外她还将点的元素按照一定的构成形式, 布置在墙壁、沙发、花朵、蘑菇、黄瓜、蝴蝶等上, 便成了价格高昂的当代艺术作品。

草间弥生与高端时尚品牌LV合作推出圆点服装系列, 备受业界关注及圆点发烧友的追捧。草间弥生让LV从睡衣、珠宝到风衣, 所有产品都印上草间弥生标志性的圆点图案, 通过反复构成以及近视构成等, 让这些产品看上去前卫新潮而别具一格, 深受高端消费者的喜爱, 是艺术与时尚的完美结合, 也是平面构成点的元素在服装中的经典运用。

2. 三宅一生

三宅一生是日本乃至世界级的著名服装设计师。这位热爱创新的服装设计大师, 被某时尚评论家誉为“我们这个时代中最伟大的服装创造家”。而人们对他的服装及品牌最深的印象恐怕便是他的“一生褶”。这些褶子所产生的线条感, 既是线的重复构成和肌理构成, 更是平面构成中线元素在服装设计中的成功典范。

3. 圣·洛朗

圣·洛朗无疑是西方最伟大的服装设计师之一。时尚评论家甚至将其誉为“第一个将艺术融于时装的设计师。”1965年, 因受到荷兰画家蒙德·里安作品集启发, 圣洛朗推出了蒙德里安直筒无袖连衣裙系列, 运用的是几何色块分割原理搭配, 结合现代艺术的简洁剪裁, 广受业界及消费者喜爱, 成为服装史上的经典之作。众所周知, 蒙德理安的作品正是简单的几何面的构成, 圣·洛朗正是将这种简洁的面的构成应用到服装中, 使之在服装设计中大放异彩。其中运用的面的构成形式有对比构成及分割构成等。

三、平面构成在服装设计中的重要性

一切二维设计皆逃不过平面构成的范畴, 点线面是归纳出的三大基本元素, 因此点线面的各种构成形式几乎涵盖了设计的各个方面。平面构成不仅在服装设计中显示出举足重轻的作用, 也在二维设计其它领域发挥着非常重要的作用, 例如广告设计、包装设计、网页设计、标志设计等等。没有平面构成, 设计师就会没有章法, 像只无头苍蝇误打误撞。

在服装设计中, 我们将款式结构设计好, 确定了大的框架后, 便是一些具体的内容添加, 如图案、肌理、花纹等等, 这正是一件服装中的精彩之处, 如果没有这些细节, 便不能体现设计师心中的美好想法, 而这些无不是平面构成的内容。平面构成给了服装师最基本的审美标准, 也为设计师在寻找灵感过程中提供基础参照。当我们有了想法, 找到了素材, 便可以将这些素材简化为最简单的点线面, 然后通过一定的构成方式, 安置在我们的服装中。平面构成正是我们在做设计时的指导方针, 没有他的指导, 做设计时恐怕会走上一些弯路, 有了它的指导则让我更快捷地将我们的灵感素材组装起来。因此, 平面构成在服装设计中不可或缺。

四、结语

无论是名贯东西的当代艺术家草间弥生, 抑或是服装史上留名青史的三宅一生、圣洛朗, 他们的成功设计分析下来都是平面构成的成功典范。因此, 从以上分析来看, 每一个学服装设计的学生都应当对平面构成的学习引起十分的重视。一定程度上, 我们在以后的学习工作中, 与竞争者比的便是我们的基础。只有基础打牢, 使用时才可信手拈来, 得心应手。绝不能染上那种得了芝麻丢了西瓜的坏习气。

参考文献

[1]张笑非, 张锦.二维造型基础, 2011, 2

[2]韩丹.将平面构成解读于服装设计之中, 2012, 10