垂直平面

垂直平面（共5篇）

垂直平面 篇1

一、教学目标

(一) 知识与技能目标

1. 借助对图片、实例的观察, 抽象概括出平面垂直的定义;

2. 通过直观感知, 操作确认, 归纳概括出直线与平面垂直的判定;

3. 会判断一条直线与一个平面是否垂直;

4. 培养学生的空间想象能力和对新知识的探索能力。

(二) 过程与方法目标

1. 让学生感悟体验, 形成空间问题转化为平面问题的转化意识, 注重从“无限”到“有限”的转化, “线线垂直转化为线面垂直”等转化的数学思想;

2. 通过生活实例让学生体验线面垂直问题“源于生活”并服务于生活。

(三) 情感态度与价值观目标

1. 培养学生的探索精神;

2. 培养学生的观察归纳、动手操作能力。

(四) 教学重点、难点

1. 重点:直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直的判定定理的探究。

2. 难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步应用。

二、教学过程

(一) 创设情境———旧知回顾

问题1:空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系?

思考:如何判断直线与平面垂直?

(二) 创设情境———生活实例

日常生活中, 我们对直线与平面垂直有很多感性的认识, 如旗杆与地面垂直、桥柱与桥面垂直等, 你能举出更多的例子吗?

思考:通过这些生活实例, 我们如何定义一条直线与平面垂直?

(三) 合理抽象———归纳定义

问题2:如果一条直线垂直于平面内无数条直线, 那么这条直线与这个平面是否垂直?

定义:如果直线l与平面α内任意一条直线都垂直, 我们就说直线l与平面α互相垂直, 记作l⊥α, 如图5所示。

问题3:我们发现用定义判断直线与平面垂直的情况很多时候不方便操作, 那除了定义外, 我们如何判断一条直线与一个平面垂直呢?

(四) 师生互动———折纸实验

找一块三角形纸片, 我们一起来做一个实验, 如图6、图7所示。AA

以△ABC的定点A翻折纸片, 得到折痕AD, 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 (BD、DC与桌面接触) 。

问题:1.折痕AD与桌面垂直吗?

2. 如何验证折痕AD与桌面垂直呢?

思考: (1) 有人说, 折痕AD所在直线与原桌面所在平面α上的一条直线垂直, 就可以判断AD垂直平面α, 你同意他的说法吗?

(2) 如图8所示:由折痕AD⊥BC, 翻折之后垂直关系不变, 即AD⊥CD, AD⊥BD, 由此你能得到什么结论?

(五) 探究学习———概括定理

判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直, 如图9、图10所示。

作用:判定直线与平面垂直

思想:线线垂直—线面垂直

(六) 定义定理应用

例1:如图11所示, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1) 哪些棱与平面垂直?

(2) 哪些面与棱AB垂直?

(3) 与底面矩形ABCD垂直的直线有怎样的位置关系?

例2如图12所示, 已知a∥b, a⊥α, 求证b⊥α.

(七) 知识小结

1. 直线与平面垂直的概念。

2. 直线与平面垂直的判定。

(1) 利用定义:垂直于平面内任意一条直线。

(2) 利用判定定理:线线垂直 (与两条相交直线垂直) →线面垂直。

(3) 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于同一个平面。

3. 数学思想方法:转化思想

空间问题—平面问题

无限—有限

生活实际—数学模型—生活实际

(八) 设计意图

这节课是一节探究课, 无论是从教学编排, 还是教学要求上较之以往都有很大变化, 教材省略了直线与平面垂直的判定定理的证明, 强调通过直观感知, 操作确认, 思辨论证来认识和理解。笔者遵循直观感知—操作确认—归纳总结的认识规律来设计教学过程, 注重知识产生的过程性, 降低几何证明的难度。

(九) 教学反思

课堂上学生学习的难点在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义, 以及如何从折纸实验中探究出直线与平面的判定定理。课堂的第三个环节是关于定义和定理的应用, 笔者设计了两道例题, 主要考查学生对直线与平面垂直的判定定理的掌握。上课时学生只是直观地看出哪些线与面垂直, 但没能说出理由, 如果能在这个时候点破垂直于一个面内哪两条相交直线就更好了, 加深学生对判定定理的认识。第二道例题主要是考察学生用数学符号表示判定定理及解决问题。这里的难点在于学生还不能准确地运用数学符号, 要么符号书写出错, 要么漏掉两条相交直线这个条件, 所以在这些方面要强化学生的认知。

垂直平面 篇2

【摘 要】通过比较详细地讲解“平面与平面垂直的判定”这一教学内容，对新课标背景下开展的教学活动进行探讨和反思，得出可靠的经验。

【关键词】平面与平面垂直的判定 创设情景 引导探究 自我尝试 运用反馈 教学反思 【中图分类号】 G 【文献标识码】 A 【文章编号】0450-9889（2015）01B-0087-03

一、教材分析

本节内容选自数学必修2（人教A版）第二章中“平面与平面垂直的判定”。立体几何是以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力为主要目标。教材根据“认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力”的新要求。本节在内容的安排和处理方式上，加强了引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程。在平面与平面垂直的判定定理得出的过程中，注重对典型实例的观察、分析，引导学生自主归纳、概括。本节课的设计按照新课标的要求，遵循“直观感知——动手操作——归纳确认”的认识过程，引导学生归纳二面角的定义，探索二面角的度量，发现平面与平面垂直的判定定理。

二、教学过程实录

（一）创设情景，揭示课题

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

以上问题让学生自由发言，教师小结，并抛出问题：在日常生活中，有许多问题涉及两个平面相交所成的角的情形，你能举出一些例子吗？

学生1：我们进出教室把门打开时，门面与门框面所成的角。学生2：我们翻开课本时相应的两页面所成的角。

教师：如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？（几何画板展示上述图片，引导学生观擦、研探）

（二）引导探究，建构概念 1．二面角的有关概念

活动1：师生分别展示一张长方形卡纸，对折后展平。问题：折痕把平面分为几部分？我们把它们叫做什么？

活动2：师生分别沿着折痕把其中一个半平面折起使两个半平面成一个角度。

问题：从平面一点引的两条射线组成的图形是角，那么这个图形又是什么呢？课件展示。（学生阅读课本并填角与二面角对比框图：包括图形、定义、构成、表示）个别提问学生，2．二面角的度量 教师：（1）门面与门框面所成的二面角；（2）两页面所成的二面角；（3）两个半平面成的二面角。以上三个二面角中，当其中一个面绕着棱转动时，所得二面角与原来相比有什么变化？（分三个组进行实验操作：开门、翻书、折纸）

学生集体：二面角的大小变化了，两个平面相交的位置发生了变化。

教师：二面角的大小定量地反映了两个平面相交的位置关系，那我们应如何度量二面角的大小呢？（引导学生类比异面直线，线面所成角的平面化过程）思考：（1）角的顶点取在哪里？（2）角的两边如何作出？（3）所作出的角大小唯一吗？ 活动3：带着思考，每四个学生共同做一个小实验（用活动2中做的二面角的模型）试着在二面角中画出一个角来反映它的大小。（学生画图，交流，辨析，归纳做法）学生3：在棱上取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线。其他学生补充：射线要垂直于棱画出的角才唯一。教师：（1）顶点可以在棱上任意取吗？顶点取不同位置大小有变化吗？（几何画板演示）通过实验操作，学生研探出二面角大小的度量方法——二面角的平面角。学生提炼二面角的平面角（如图1所示）。

（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）平面角是直角的二面角叫直二面角。

练习：教室相邻两个墙面与地面构成几个二面角？ 指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数。（课件展示图2）

个别提问学生，通过学生的回答进一步强化二面角的平面角的寻找。并让学生通过直观感知给平面与平面的垂直下定义。3．平面与平面垂直的定义

引导学生把文字语言转化为图示语言和符号语言，体现数学的简洁美。教师对学生做法进行点评和完善。

教师：你们能说一说身边出现的平面与平面垂直的例子吗？ 学生：把书直立在桌面上，书的封面与桌面垂直。学生：把门打开时，门面始终与地面垂直。学生：教室的墙面肯定与地面垂直。（组织学生实验操作）

教师：数学与生活是息息相关的，我们平时要善于用数学的眼光看待周围的事物。

教师：我们再来想一想：建筑工人在安装门、在切墙时是通过怎样方法来保证与地面的垂直的？

学生：安装门时通过门轴与地面垂直。

学生：我看到砌墙工人砌墙时在墙边吊了一根铅垂线。

教师：生活经验告诉我们这些方法能保证相应的两个平面垂直，你们能从这些方法中找到判断平面垂直的依据吗？（展示图3和图4）

学生：门轴，铅垂线可以抽象为线，由此我们能得出只要平面内有直线与面垂直，那两个平面就是垂直的。（通过学生的结论教师课件展示）4．平面与平面垂直的判定定理

引导学生转化为用图象、符号来表示，认识到线面垂直与面面垂直的论证关系。同时让学生思考、交流：

（1）若证面面垂直，线在哪里找，要满足什么关系？（2）有了线与面垂直，你能找到与这个面垂直的平面吗？（3）现在我们有多少种方法可以证明平面与平面垂直？

教师通过面向全体学生，检查学生的理解程度，对学生做得不到位的地方及时点拨。

（三）自我尝试，初步应用

例．如图示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上不同于A和B的任意一点。求证：平面PAC⊥平面PBC。教师生一起阅读题目，在图像上找出题目中的线、面。学生试着把证明的过程写在草稿纸上。教师巡堂，从学生中收集不同的解法，用实物投影出来，师生一起点评，归纳出：（1）面面垂直可用定义和判定定理去证明，要结合条件选择较优的解法。（2）用判定定理时，要注意分析垂线在哪个面内找容易论证。

（四）运用反馈，深化巩固

深化巩固：课本P73的探究问题，练习1。

做法：学生思考，折纸实验，小组讨论，老师与学生对话完成。

（五）小结归纳，回顾反思 笔者设计了三个问题：

（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）通过本节课的学习，你最大的体验是什么？（3）通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？

（六）课后巩固，拓展思维

课本73页习题第4题，74页B组的第1题。

三、教学反思

通过本节课的教学，笔者对新课标下的课堂有了如下的认识：

（一）注重知识的形成过程教学 新课标强调“直观感知”，在教学中教师要善于引导学生从熟悉的事物、现象出发，引导学生用数学眼光看待周围的事物。组织学生尽可能地进行讨论、研究。通过操作、实践活动等让学生去经历、感受、体会，在获得大量的直接经验的基础上去发现知识，总结方法，提升能力。本课通过引导学生例举开门、翻书动作形成平面所成角的基础上，再由折纸活动让学生感知二面角的概念。使抽象知识直观化，符合学生的认知发展。

（二）注重温故而知新

在学习新知识时，要重视联想、类比有关的旧知识，辩清它们的区别和联系，进而达到知识或方法的同化。本课类比1：“异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”的学习，发现可以用平面角刻画二面角的大小。类比2：由角的结构引出二面角的平面角顶点在哪里，两条射线怎么出现？通过这两个类比，学生很顺利地探究出：（1）二面角大小的度量方法——二面角的平面角；（2）二面角的平面角的作法。从而达到高效地突破教学难点。

（三）注重课堂活动的多样性

新的教学理念希望给学生营造一个民主、和谐的学习氛围，培养学生自主探究、参与合作的学习方式，全面发展学生的实践与创新能力。活动有学生的折纸、摆书、自己动手画图；提问方式有个体、小组、群体提问；合作方式有同桌交流，四人小组实验；教具有多媒体、几何画板、教室的门、学生的书、硬纸板。本课在课堂教学中保证学生参与教学活动的时间和空间，抓住学生的学习兴趣、求知欲、成就感等积极因素，积极培养学生观察、发现、操作、画图、表达等多方面的能力。

（四）注重数学思维的教学

新课标提出高中数学应注重提高学生的数学思维能力。本课在概念的构建过程中，通过观察与实验，比较与归纳培养学生由抽象到具体，一般到特殊的转化能力。在例题的教学中通过教师收集解法，师生评价，学生总结来达到培养思维的广阔性与深刻性的。错解的出现提高了学生思维的批判性与独创性。

（五）注重对教材的开发使用

垂直平面 篇3

例1 正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是对角线AB1，BC1上两点，且

B1MMA=C1NNB，求证：MN∥平面A1B1C1D1.

分析 在图中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件，具体方法如下：

图1

(1) 由“面面平行线面平行”去证.

在面A1B内，作MK∥A1B1，交BB1于K点，连结KN，由平行线截割定理知B1MMA=B1KKB，而已知B1MMA=C1NNB，所以B1KKB=C1NNB，则KN∥B1C1，

因为MK∩KN=N，

所以平面MKN∥平面A1B1C1D1，

而MN平面MKN，

所以MN∥平面A1B1C1D1.

(2) 添加辅助线，由“线线平行线面平行”去证.

图2

连结BM并延长，交A1B1于P点，连接PC1，则可证△B1MP∽△AMB，

所以B1MMA=PMMB，而B1MMA=C1NNB（已知），

所以PMMB=C1NNB，由平行截割定理得MN∥PC1，

而PC1平面A1B1C1D1，

所以

MN∥平面A1B1C1D1.

评析 较低一级的位置关系，决定着较高一级的位置关系，如线线平行线面平行面面平行，反之较高一级的位置关系具有较低一级的性质，如面面平行线面平行线线平行，这种低级到高级、高级到低级的转化构成位置关系证明题中的主要思维指向.辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断.

图3

例2 如图3，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥平面AA1B1B.

分析一 若能证明MN平行于平面AA1B1B中的一条直线，则依线面平行判定定理，MN∥平面AA1B1B.于是有以下两种添辅助线的方法.

证法一 如图4，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F.连结EF，则EF平面AA1B1B.

图4

因为BD=B1C，DN=CM，所以B1M=BN.

因为MEBC=B1MB1C，NFAD=BNBD，

所以MEBC=NFAD，所以ME=NF.

又ME∥BC∥AD∥NF，所以MEFN为平行四边形.

所以MN∥EF.从而MN∥平面AA1B1B.

证法二 如图5，连结并延长CN，交BA延长线于点P，连结B1P，则B1P平面AA1B1B.因为△NDC∽△NBP，所以DNNB=CNNP.

又CM=DN，B1C=BD，

所以CMMB1=DNNB=CNNP.

所以MN∥B1P.

因为B1P平面AA1B1B，所以MN∥平面AA1B1B.

图5

分析二 若过MN能作一个平面与平面AA1B1B平行，则由面面平行的性质定理，可得MN与平面AA1B1B.

证法三 如图6，作MP∥BB1，交BC于点P，连结NP.

图6

因为MP∥BB1，所以CMMB1=CPPB.

因为BD=B1C，DN=CM，所以B1M=BN.

因为CMMB1=DNNB，所以CPPB=DNNB.

所以NP∥CD∥AB，所以面MNP∥面AA1B1B.又MN面MNP，所以MN∥面AA1B1B.

评析 证明直线l与平面α平行，通常有以下两个途径：①

通过线线平行来证明，即证明该直线l平行于平面α内的一条直线；

②通过面面平行来证明，即证明过该直线l的一个平面平行于平面α.

例3 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G分别是棱AB,BC,BB1上的点，且BE=BF=BG，求证：BD1⊥平面EFG.

分析 根据条件，在正方体中易得EF∥AC，而AC⊥BD1，

故BD1⊥EF，同理BD1⊥EG.

图7

证明 如图7，

因为ABCD为正方形，BE=BF，所以EF∥AC.

又因为AC⊥BD，所以EF⊥BD.

因为BD为BD1在面AC上的射影，所以BD1⊥EF.

同理BD1⊥EG.又EF∩EG=E，

所以BD1⊥平面EFG.

评析 证明线面垂直，常常先证线线垂直，而证线线垂直，通常又是借助线面垂直完成的.

图8

例4 如图8，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.

(1) 求证：MN∥平面PAD；

(2) MN⊥CD；

(3) 若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD.

分析 (1) 要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线.注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可.

因为AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN∥平面PAD.

(2) 要证MN⊥CD，可证MN⊥AB.由(1)知，只需证AE⊥AB.

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB.又AD⊥AB，PA∩AD=A,

所以AB⊥平面PAD.又AE平面PAD，所以AB⊥AE，即AB⊥MN，又CD∥AB，所以MN⊥CD.

(3) 由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可.

因为PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PA⊥AD.

又∠PDA=45°，E为PD的中点，

所以AE⊥PD，即MN⊥PD.

又MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD.

评析 本题是涉及线面平行、线线垂直、线面垂直诸知识点的一道综合题.(1)的关键是选取PD的中点E，所做的辅助线使问题处理明朗化.线线垂直←线面垂直←面面垂直是证垂直的转化规律.

图9

例５ 如图9，在空间四面体SABC中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，AN⊥SB，AM⊥SC，证明：SC⊥平面AMN.

分析 由结论联想判定定理，要证明SC⊥平面AMN，须证明SC垂直于平面AMN中的两条相交直线.已知AM⊥SC，尚缺条件SC⊥AN.于是考虑从其它条件所具备的性质中去寻找.

证明 由∠ABC=90°，知BC⊥AB.

又因为SA⊥平面ABC，而AB为SB在平面ABC中的射影，

由三垂线定理，BC⊥SB，所以BC⊥平面SAB.

因为AN平面SAB，所以BC⊥AN.

因为AN⊥SB，所以AN⊥平面SBC，所以SC⊥AN.

因为AM⊥SC，所以SC⊥平面AMN.

评析 本题在运用判定定理证明线面垂直（SC⊥平面AMN）时，将问题化为证明线线垂直（SC⊥AN）；而证明此线线垂直时，又转化为证明线面垂直（AN⊥平面SBC）.

巩 固 练 习

1. 正方体AC1中，E，F分别为CD，B1C1的中点，M、N分别为A1C1，AD1上的点，使A1M=AN.

(1) 求证：EF∥平面B1BDD1；

(2) 求证：MN∥平面C1CDD1.

图10

垂直平面 篇4

关键词：平面四边形,对角线,垂直,面积

当我们学完菱形的相关知识后, 知道菱形由四个全等的直角三角形组成, 所以它的面积 (AC和BD为菱形的对角线长度) , 也就是说, 菱形的面积等于对角线乘积的二分之一.这是因为菱形的对角线是互相垂直的.那么, 任意对角线互相垂直的平面四边形的面积是不是都等于对角线乘积的一半呢?如果这一结论成立, 将会很方便解决任意对角线互相垂直的平面四边形的面积求解问题.笔者经过探究和证明, 发现这个结论是成立的.

一、推理证明

1.对角线互相垂直的凸四边形的面积公式的证明

【例1】已知在凸四边形ABCD中, 对角线AC⊥BD, 如图1所示.求证:S四边形ABCD=1/2·AC·BD.

证明:在四边形ABCD中, AC⊥BD于E,

2.对角线互相垂直的凹四边形的面积公式的证明

【例2】已知在凹四边形ABCD中, 对角线AC⊥BD于E, 如图2所示.求证:S四边形ABCD=1/2·AC·BD.

证明:在四边形ABCD中, AC⊥BD于E,

综上, 可得出命题:任意对角线互相垂直的平面四边形的面积等于对角线乘积的一半.

二、命题应用

【例3】如图3, 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O, △AOB的周长为, ∠ABC=60°, 求菱形ABCD的面积.

解:在菱形ABCD中, AC⊥BD, ∠ABO=∠CBO.

因为∠ABC=60°, 所以∠ABO=∠CBO=30°.

设AO=x, 则AB=2x, , 所以, 解得x=1.

所以, 所以, 所以

【例4】高为a的等腰梯形ABCD的两条对角线互相垂直, 垂足为O, 求梯形ABCD的面积.

解:如图4, 设等腰梯形AB-CD的腰为AB、CD, 则AB=CD, AC⊥BD, 且OB=OC, 所以∠1=∠2=45°.

过点D作DE⊥BC于E, 则△BDE为等腰直角三角形, 可得BE=DE=a, 所以

【例5】如图5, 已知在△ABC中, BD和CE分别是两边上的中线, 并且BD⊥CE, BD=8, CE=12, 求△ABC的面积.

解:连结DE, 则四边形BCDE的面积为

两个平面垂直的判定方法 篇5

⒈定义（证明二面角为直二面角）

⒉判定定理：a,a.※

⒊向量法：※ c,a,b

0⑴.（可0

abA ⑵设n1,n2分别是平面、的一个法向量，则n1n2n1n20.（建系）

1、如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．证明：平面PAC⊥平面PBD；

2.如图所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F.求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)面PAC⊥面PBC；(3)PB⊥EF.3.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．

4.(文)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．

5.(理)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，若过AB1与BC1平行的平面交上底面A1B1C1的边A1C1于点D.(1)确定D的位置，并证明你的结论；

(2)证明：平面AB1D⊥平面AA1D.6．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.7.(理)在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC是边长为2的等边三角形，AB＝2，O是AB中点．

(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；

(2)求证：平面PAB⊥平面ABC；

1．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()

A．充分不必要条件

C．充要条件B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2.设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是()

m⊥na⊥α⇒α⊥β ①⇒m⊥α②n⊂αa⊂β

m⊥α⇒m∥n④③n⊥α

A．①和②

C．③和④m⊂αn⊂β⇒m∥n α∥βB．②和③ D．①和④

3.已知直线l与平面α内的无数条直线垂直，则()

A．l⊥αB．l∥αC．l⊂αD．不能确定

4.用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；

④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()

4.(文)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是

A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β

B．若l∥α，α∥β，则l⊂β

C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β

D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

5．如图所示，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ACB＝90°，连结PB、PC，则图形中互相垂直的平面有（）()

A．一对B．两对C．三对D．四对

6.(理)若平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()

A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直

B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直

D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

7.(理)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则

①棱AB与PD所在的直线垂直；

②平面PBC与平面ABCD垂直；

③△PCD的面积大于△PAB的面积；

④直线AE与直线BF是异面直线．