线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质

线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质（通用15篇）

线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质 篇1

1.线线平行

判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。D同时与一平面垂直的两直线平行。E同时平行于一条直线的两直线平行。

性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。

2.线线垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。

3,线面平行

判定：a面外一条线与面内一条线平行。（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）

性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

4.线面垂直

判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行

性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。

5.面面平行

判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）

性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面c两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）

6.面面垂直

判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直

性质：a如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。b如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。C如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。D三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质 篇2

利用向量方法判断空间位置关系, 其难点是线面平行与面面垂直关系问题.应用下面的两个定理, 将可建立一种简单的程序化的解题模式.

定理1 设$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}A}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}B}}$不共线, $\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}Q}}=x\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}A}}+y\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}B}}(x‚y\in \mathbf{R})$, 则

① P∈平面MAB⇔PQ⊂平面MAB;

② P平面MAB⇔PQ//平面MAB.

定理2 设向量$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle AC}}$不共线, $\overrightarrow{{\displaystyle DE}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle DF}}$不共线, 则:平面ABC⊥平面DEF⇔存在实数λ, μ, 使$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\cdot (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle DE}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle DF}})=0$, 且$\overrightarrow{{\displaystyle AC}}\cdot (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle DE}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle DF}})=0.$

例1 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中, O是B1D1的中点, 求证:B1C//平面ODC1.

证明:设$\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}B{}_1}}=\mathit{a}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}D{}_1}}=\mathit{b}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}C}}=\mathit{c}$, 则

$B{}_{1}C=\mathit{c}-\mathit{a}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_1{\rm O}}}=\frac{1}{2}(\mathit{a}+\mathit{b})‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D{}_1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}D{}_1}}=\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D{}_1}}+\overrightarrow{{\displaystyle D{}_{1}D}}=\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})+\mathit{c}.$

若存在实数 x, y, 使$\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}=x\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}+y\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}‚$则

$\begin{array}{l}\mathit{c}-\mathit{a}=x[\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})+\mathit{c}]+y[-\frac{1}{2}(\mathit{a}+\mathit{b})]\\ =-\frac{1}{2}(x+y)\mathit{a}+\frac{1}{2}(x-y)\mathit{b}+x\mathit{c}.\end{array}$

因为 a、b、c 不共面,

所以

得$x=1‚y=1‚\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}.$

又因为B1平面ODC1,

所以B1C//平面ODC1.

例2 在斜三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧面AA1B1B⊥底面ABC1, 侧棱AA1与底面ABC成60°角, AA1=2, △ABC是边长为2的正三角形, 其重心为G, E是线段BC1上一点, 且$BE=\frac{1}{3}BC{}_1$.求证:G1E//侧面AA1B1B.

证明:因为侧面AA1B1B⊥底面ABC,

所以侧棱AA1与底面ABC所成的角就是∠A1AB, ∠A1AB=60°.

由A1A=AB=2, 知△A1AB为正三角形.

取AB中点O, 则A1O⊥底面ABC, OC⊥AB.于是建立如图2的空间直角坐标系, 则$A(0,-1,0),B(0,1,0),C(\sqrt{3},0,0),A{}_1(0,0,\sqrt{3}).$

$\begin{array}{l}\text{由}\overrightarrow{{\displaystyle CC{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle BB{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle AA{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm O}}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A{}_1}}=(0,1,\sqrt{3}),\\ \overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C}}+\overrightarrow{{\displaystyle CC{}_1}}=(\sqrt{3},1,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\overrightarrow{{\displaystyle BB{}_1}}=(0,2,\sqrt{3}),\end{array}$

知$C{}_1(\sqrt{3},1,\sqrt{3}),B{}_1(0,2,\sqrt{3}).$

因为G为△ABC的重心, 所以$G(\frac{\sqrt{3}}{3},0,0).$

因为$\overrightarrow{{\displaystyle BC{}_1}}=(\sqrt{3},0,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}=(0,3,\sqrt{3}),$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}E}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\overrightarrow{{\displaystyle BE}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle BC{}_1}}\\ =(\frac{\sqrt{3}}{3},1,\frac{\sqrt{3}}{3}),\\ \overrightarrow{{\displaystyle GE}}=\overrightarrow{{\displaystyle G{\rm O}}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}E}}=(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}\\ =\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}+0\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\end{array}$

(或$\overrightarrow{{\displaystyle GE}}=(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3})=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A{}_1}}).$

又GE⊄平面AA1B1C,

所以GE//平面AA1B1B.

例3 (2004年湖南) 如图3, 在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, $\angle ABC=60°,{\rm P}A=AC=a,{\rm P}B={\rm P}D=\sqrt{2}a$, 点E在PD上, 且PE ∶ED=2∶1.

在棱PC上是否存在一点F, 使BF//平面AEC?证明你的结论.

解:设$\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}=\mathit{a},\overrightarrow{{\displaystyle AC}}=\mathit{b},\overrightarrow{{\displaystyle AD}}=\mathit{c}$.并设$\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\lambda \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}(0<\lambda <1)$, 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=\overrightarrow{{\displaystyle BC}}+\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\lambda (\overrightarrow{{\displaystyle CA}}+\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}})\\ =\lambda \mathit{a}-\lambda \mathit{b}+\mathit{c},\\ \overrightarrow{{\displaystyle AE}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\overrightarrow{{\displaystyle DE}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{{\displaystyle DA}}+\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}})\\ =\frac{1}{3}\mathit{a}+\frac{2}{3}\mathit{c}.\end{array}$

令$\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=m\overrightarrow{{\displaystyle AC}}+n\overrightarrow{{\displaystyle AE}},$

即$\lambda \mathit{a}-\lambda \mathit{b}+\mathit{c}=\frac{1}{3}n\mathit{a}+m\mathit{b}+\frac{2}{3}n\mathit{c},$

则由 a、b、c不共面, 得

$\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{1}{3}n‚\\ -\lambda =m‚\\ 1=\frac{2}{3}n.\end{array}$

解得$\lambda =\frac{1}{2}‚m=-\frac{1}{2}‚n=\frac{3}{2}.$

所以$\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}‚$且$\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AC}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AE}}.$

又因为B平面AEC,

所以当F为PC中点时, BF//平面AEC.

例4 在四棱锥P—ABCD中, PD⊥平面ABCD, PA与平面ABCD所成的角为60°, 在四边形ABCD中, ∠ADC=∠DAB=90°, AB=4, CD=1, AD=2.若PB的中点为M, 求证:平面AMC⊥平面PBC.

证明:建立如图4所示的坐标系, 易得A (2, 0, 0) , C (0, 1, 0) , B (2, 4, 0) .

由PD⊥面ABCD, 得∠PAD为PA与面ABCD所成的角, 从而, 在Rt△PAD中,

$\angle {\rm P}AD=60°,{\rm P}D=AD\tan 60°=2\sqrt{3},$

得${\rm P}(0,0,2\sqrt{3}),{\rm M}(1,2,\sqrt{3}).$

所以$\overrightarrow{{\displaystyle CA}}=(2,-1,0),\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}}=(1,1,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=(0,-1,2\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle CB}}=(2,3,0).$

设$\mathit{p}=\lambda \overrightarrow{{\displaystyle CA}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}}=(2\lambda +\mu ,-\lambda +\mu ,\sqrt{3}\mu )(\lambda ,\mu \in \mathbf{R})$, 令

$\{\begin{array}{l}\mathit{p}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=(\lambda -\mu )+6\mu =0‚\\ \mathit{p}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CB}}=(4\lambda +2\mu )+(-3\lambda +3\mu )=0‚\end{array}$

得λ+5μ=0.

取λ=5, μ=-1, 得

$\begin{array}{l}(5\overrightarrow{{\displaystyle CA}}-\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=0‚\\ (5\overrightarrow{{\displaystyle CA}}-\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CB}}=0.\end{array}$

所以平面AMC⊥平面PBC.

例5 如图5, 四边形ABCD是边长为2的正方形, PA⊥平面ABCD, DE//PA, PA=2DE=AB, 求证:平面PEC⊥平面PAC.

证明:由DE//PA, PA⊥平面ABCD, 得DE⊥平面ABCD, 于是建立如图的直角坐标系.易知,

$\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}=(0‚0‚2)‚\overrightarrow{{\displaystyle AC}}=(2‚-2‚0)‚\overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=(0‚2‚1)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=(2‚-2‚-2)$.令

$\{\begin{array}{l}(\lambda \overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=0‚\\ (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=0‚\end{array}$

得2μ-λ=0.

取λ=2, μ=1, 得

$\begin{array}{l}(2\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=0‚\\ (2\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=0‚\end{array}$

所以平面PEC⊥平面PAC.

线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质 篇3

【例１】 如图,四面体ABCD中,M、E、F分别为△BAC,△ACD及△ADB的重心．

求证：(1) 平面MEF∥平面BCD；

(2) 求S△MEF∶S△DBC．

分析 本题考查面面平行的判定以及面面平行的性质。

(1) 根据重心的性质易知应该连接AM,AE,AF,再根据相似比可知△MEF的三边分别与△DBC的三边平行,进而可得结论；

(2) 因为两个三角形所在的平面互相平行,因此,求两三角形面积之比,实质求这两个三角形对应边之比。

解 (1) 连接AM,AE及AF,分别延长使之交BC、CD、BD于G、H、P三点,由E、F、M分别为三角形的重心,

所以AMAG=AEAH=AFAP=23,所以连接GH、HP、PG，后有ME∥GH,EF∥PH,

可证ME∥平面BCD,EF∥平面BCD,

故平面EFM∥平面BCD．

(2) 由(1)知AMAG=AEAH=23,

即ME=23GH=13BD，

同理可证MF=13CD,EF=13BC,

所以△MEF∽△DBC,其相似比为1∶3,

所以S△MEF∶S△DBC=1∶9．

点拨 由于M、E、F分别是三个三角形的重心,从而联想到重心将三角形的三条中线三等分,

由于平行线分线段成比例,由此联想到直线ME∥GH,ME=23GH,进一步可以证明直线ME与平面BCD平行,从而使命题得证。

题型二 面面垂直问题

【例2】 (2011年江苏卷第16题)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.

求证：(1) 直线EF∥平面PCD；

(2) 平面BEF⊥平面PAD．

分析 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,

考察空间想象能力和推理论证能力。要证线面平行可在所

求平面内找一条与已知直线平行的直线。要证面面垂直可在其中一个平面内找一条另一平面的垂线。

证明 (1) 在△PAD中,因为E、F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD．

又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF∥平面PCD．

(2) 连接DB,因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形,因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因为BF平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD．

点拨 由于E、F分别是AP、AD的中点,从而可以证明EF∥PD,由此可以证明EF与平面PCD平行。由平面PAD⊥平面ABCD可以得到直线BF⊥平面PAD,进一步可以证明两个平面垂直。

题型三 面面平行与面面垂直的综合问题

【例3】 如右图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间.点A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E．

(1) 求证：ABBC=DEEF；

(2) 设AF交β于M,AC∥＼DF,α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,当h′h的值是多少时,△BEM的面积最大？

分析 本题主要考查面面平行所涉及的综合求解问题,这类问题不仅在平行时存在,同时在垂直时也存在,对同学们综合知识的能力要求比较高。

证明(1) 连接BM、EM、BE.

∵β∥γ,平面ACF分别交β、γ于BM、CF,

∴BM∥CF.∴ABBC=AMMF,

同理,AMMF=DEEF.∴ABBC=DEEF．

(2) 由(1)知BM∥CF,

∴BMCF=ABAC=h′h.同理MEAD=h-h′h.

∴S△BEM=12CF•ADh′h1－h′hsin∠BME.

据题意知,AD与CF是异面直线,只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量,sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值,也是常量,令h′∶h=x.只要考查函数y=x(1-x)的最值即可,显然当x=12,即h′h=12时,y=-x2+x有最大值.∴当h′h=12,即β在α、γ两平面的中间时,S△BEM最大．

点拨 要证明线段之比相等,一般可以转化为平行线问题,而求解面积的最值问题,一般可将面积表示为某一变量的函数,利用函数知识求解最值问题。

牛刀小试

1. 如图,在三棱锥PABC中,PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,

D、E分别是BC、AC的中点,F为PC上的一点,且PF∶FC=3∶1．

(1) 求证：PA⊥BC；

(2) 试在PC上确定一点G,使平面ABG∥平面DEF；

(3) 求三棱锥PABC的体积．

2. 如图,在三棱锥VABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ0<θ<π2．

(1) 求证：平面VAB⊥平面VCD；

(2) 试确定角θ的值,使得直线BC与平面VAB所成的角为π6．

满盈者，不损何为？慎之！慎之！——朱舜水

【参考答案】

1. (1) 在△PAC中,∵PA=3,AC=4,PC=5,

∴PA2+AC2=PC2,

∴PA⊥AC，又AB=4,PB=5,PA=3,

∴在△PAB中,同理可得PA⊥AB，

∵AC∩AB=A,∴PA⊥平面ABC，

∵BC平面ABC,

∴PA⊥BC.

(2) 如图所示，取PC的中点G,连接AG,BG,

∵PF∶FC=3∶1,∴F为GC的中点.

又D、E分别为BC、AC的中点,

∴AG∥EF,BG∥FD,

又AG∩GB=G,EF∩FD=F,

∴面ABG∥面DEF,

即PC上的中点G为所求的点.

(3) VPABC=5394．

2. (1) ∵AC=BC=a,∴△ACB是等腰三角形,又D是AB的中点,∴CD⊥AB,

又VC⊥底面ABC.∴VC⊥AB.

于是AB⊥平面VCD.

又AB平面VAB,∴平面VAB⊥平面VCD．

(2) 过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H,则由(1)知CH⊥平面VAB.

连接BH,于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.依题意∠CBH=π6,所以在Rt△CHD中,CH=22asinθ；

在Rt△BHC中,CH=asinπ6=a2,∴sinθ=22.

∵0<θ<π2,∴θ=π4．

故当θ=π4时,直线BC与平面VAB所成的角为π6．

两条直线平行与垂直的判定练习 篇4

1.l1与l2是两条不同的直线，下列正确命题的个数为（）①若l1//l2，则斜率相等； ②若斜率相等，则l1//l2； ③若l1//l2，则倾斜角相等； ④若倾斜角相等，则l1//l2。

A.0个B.1个C.2个D.3个 2.直线ax2y20与直线3xy20平行，则a()

A.－3B.－6C.32

2D.3

3.若直线axy10和直线2xby10垂直，则a,b满足()A.2ab0B.2ab0C.ab20D.ab20 4.直线l1的倾斜角为30°，直线l1l2，则直线l2的斜率为()A.3B.－3C.3D.－3

5.已知两点A(2,0),B(0,4)，则下列与直线AB垂直的直线为()A.2xym0B.2xym0C.x2ym0D.x2ym0 6.判断下列两条直线的位置关系

（1）l1的方程为y2x1，l2经过点A1,3，B4,9（2）l1的方程为y2x1，l2经过点A(1,2)，B(4,8)

（3）l1的倾斜角为45，l2的方程是xy1（4）l1经过点M(1,0),N(4,5)，l2过点R4,0，S-1,37.两直线x2yk0(kR)和5x10y70的位置关系是.8.求经过点(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程．

9.判断四边形ABCD的形状，其中A(1,1)，B(2,3),C(1,0),D(2,2)．

线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质 篇5

例题解析:

例1.如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证：SA∥平面MDB.例2.正方形ABCD交正方形ABEF于AB，M、N

求证：MN//平面BCE

例3.已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH、例4.如图，在空间四边形ABCD中，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心.求证：PQ∥平面ACD.例5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

巩固练习：

1.若l//，A，则下列说法正确的是（）

A.过A在平面内可作无数条直线与l平行B.过A在平面内仅可作一条直线与l平行 C.过A在平面内可作两条直线与l平行D.与A的位置有关

2.若直线a∥直线b，且a∥平面，则b与a的位置关系是（）

A、一定平行B、不平行C、平行或相交D、平行或在平面内 3.如图在四面体中，若直线EF

和GH

相交，则它们的交点一定（）.A.在直线DB上B.在直线AB上

C.在直线CB上D.都不对

4.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（A．异面B．相交C．平行D．不确定

5.已知平面、β和直线m，给出条件：①m∥；②m⊥；③m⊂；④⊥β；⑤∥β.为使m∥β，应选择下面四个选项中的()

A．①④B．①⑤C．②⑤D．③⑤ 6.若直线l与平面α的一条平行线平行，则l和的位置关系是()

A.lB.l//C.l或l//D.l和相交

7若直线a在平面内，直线a,b是异面直线，则直线b和平面的位置关系是()A．相交B.平行C.相交或平行D.相交且垂直

8.若直线l上有两点P、Q到平面的距离相等，则直线l与平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.平行、相交或在平面内 9.下列命题正确的个数是()

(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥

(2)若直线l与平面α平行，l与平面内的任意一直线平行

(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面内一直线b平行，则a∥ A.0个B.1个C.2个D.3个

10.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N

是AB，PC的中点．求证：MN//平面PAD．

11.如图,S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是SA,BD上的点，且求证：MN//平面SBC

12.如图A、B、C分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.求证：面ABC∥面ABC.AMSM=

BNND,13.如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60o的角，且ADBC2，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．（１）求证：四边形EGFH为平行四边形；

垂直与平行教案 篇6

［教学内容］

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级上册64～65页的内容。［教学设想］

本课教材是在学生学习了直线及角的认识的基础上教学的，是认识平行四边形和梯形的基础。垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，在生活中有着广泛的应用。如何唤起学生的生活经验，感知生活中的垂直与平行的现象？如何进一步发展学生的空间想象能力，让学生发现在同一平面内两条直线的位置关系并得出结论？本课主要通过观察、讨论、操作、交流等活动让学生去感知、理解、发现和认识。感知生活中的垂直与平行的现象，初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系，发现同一平面内两条直线的位置关系的不同情况，初步认识垂线和平行线；并且通过一系列的数学活动使学生的空间想象能力得到进一步的发展，如对“面”的想象、对两条直线位置关系的想象、对看似不相交而实际相交情况的想象等等。围绕这些目标，我们在设计教案时努力体现了以下几个特点。

1．创设纯数学研究的问题情境，用数学自身的魅力感染学生。

本课在设计导入时，并没有从生活中的现象入手，而是直接进入纯数学知识的研究氛围，带领学生先进行空间想象，把两条直线的位置关系画到纸上，然后进行梳理分类。之所以这样设计，原因有两个：一是学生对直线的特点已有了初步认识，有一定的知识基础和空间想象能力，对两条直线的位置关系会有更丰富的想象，而生活中平行、垂直的现象居多，情况较单一，不利于展开研究；二是四年级的学生在各个方面都处在一个转型阶段，它应为高年级较深层次的研究和探索打好基础、做好过渡，逐步培养学生对数学研究产生兴趣，用数学自身的魅力来吸引、感染学生。

2．以分类为主线，通过学生自主探索，体会同一平面内两直线间的位置关系。

新教材从研究同一平面内两条直线的位置关系入手，逐步分析出两条直线的位置关系有相交和不相交之分，相交中还有相交成直角与不成直角的情况，是一种由“面”到“点”的研究，这样设计，不仅符合学生的认知规律，也更有利于学生

展开探索与讨论，研究的意味浓了。所以，在设计教案时我们大胆地让学生以分类为主线，通过小组汇报、班级争论、教师点拨等活动，帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角两种情况。通过两次分类、分层理解，提高学生的空间想象能力，培养学生初步的问题研究意识。

3．在知识探究的过程中完成自主探究意识与空间想象能力的培养。

（1）自主探究意识的培养。整节课自始至终注重对学生自主探究意识的培养。主要表现在以下几个方面。首先，学生画完两种直线的位置关系后，在小组中进行归类整理。其次，对两条直线位置关系的理解，以学生为主体展开讨论进行分类整理。再次，在练习的过程中，创设生活中的情境，让学生主动探索、发现规律。

（2）空间想象能力的培养。主要表现在以下几个方面：①无限大平面的想象以及在同一平面内两条直线位置关系的想象；②对看似两条直线没有相交而实际却相交的情况的想象；③对平行线永不相交的想象；④拓展练习中有无数条直线与已知直线平行或垂直的想象。

［教学目标］

1．引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。

2．帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。

3．培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识。

［教学重点］

正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。［教学难点］

相交现象的正确理解（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解）。［教具、学具准备］

课件，尺子，三角板，量角器。

［教学过程］

一、导入：复习直线的特点

师：前面我们已经学习了直线，那位同学愿意与大家分享一下直线有哪些特点呢？

生：无端点，两端可以无限延伸

二、新知

1、创设情境：

今天咱们继续学习直线的有关知识。但是今天老师给同学们带来的直线是两条

调皮的直线，他们俩活泼好动，在白纸上的位置可不是固定的，同学们请你们开动脑筋，想一想这两条直线会有怎样的位置关系，想好了就在纸上画出来。开始吧。（学生试画，教师巡视）

师：大多数同学已经很好的完成了任务，同学们的想象力可真丰富，请同学到黑板画出来这么多种情况。让画法不同的同学到黑板上补充；

师：把它们分分类吗？同桌之间相互交流交流。（小组讨论、交流）生：汇报分类结果

预案：a．分为两类：交叉的一类，不交叉的一类；

b．分为三类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉的一类；c．分为四类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉一类，交叉成直角的一类。

（1）当学生在汇报过程中出现“交叉”一词时，教师随即解释：也就是说两条线碰一块儿了。在数学上我们有专有名词来形容交叉，称为相交，相交就是相互交叉。（板书：相交）

（2）针对快要交叉的一类进行解释，让学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系

师：同学们，看好了，老师这儿有一张纸上面画着两条直线（二号纸），记住这张纸以及上面的两条直线了么？现在请大家闭上眼睛，跟着老师的话进行思维。我们把脑海中的这张纸朝着上下左右四个方向无限延伸，我们是不是可以得到一个无限大的平面啊？在这个无限大的平面上，还有两条呈八字形的直线。根据我们第二单元所学知识，我们知道直线也是无限延伸的。想一想，这两条直线无限延伸下去。。他们的位置关系是怎样的？谁来告诉我。

生：相交。

师：看起来快要相交的一类实际上也属于相交，只是我们在画直线时，无法把直线全部画出。

（3）给出正确的分类

先使学生明确快要相交的一类也属于两条直线相交的情况。再使学生明确分类时要统一标准。

相交的一类，快要相交的一类，不相交一类，这样分类是以相交与否为分类标准。而相交成直角是根据两条直线相交后所成角度来分类的。二者不是同一标准，所以这种分法是不正确的。从而达成分类的统一，即相交的一类、不相交的一类。

不相交

相交

2、归纳：明确平行与垂直的含义

A、揭示平行的概念

师：以上五幅图中，老师发现相交占了四张，不相交却只有一张，我们先来研究这一张好不好啊。我们来看这张图，这组直线相交了吗？（没有）想象一下，画长点，相交了吗？（没有）再长一点，相交了吗？（没有）无限长，会不会相交？（不会）

师：这种情况你们知道在数学上叫什么吗？数学上我们不是简单地说不相交，而是说这两条直线互相平行。（板书：互相平行）谁能说说什么是互相平行？（生：在一个平面内不相交的两条直线，它们之间的关系叫做互相平行）

师：知道为什么要加“互相”吗？（生：两条直线）强调：要说互相平行或平行线至少需要2条直线。师：能说一条直线是平行线吗？应该怎么说呢？引导学生说出：红线是绿线的平行线，或绿线是红线的平行线，也可以说红先和绿线互相平行。

板书小结：在同一平面内两条直线的位置关系

不相交

=互相平行互相平行的两条线叫做平行线

相交

不相交指的是永不相交；

两条直线：平行线是指两条（或两条以上）的直线，不能孤立的说一条直线叫平行线。

B、提示垂直的概念

师：咱们再来看看两条直线相交的情况。你们发现了什么？

生：都形成了四个角

师：你认为在这些相交的情况中哪种最特殊？

生：相交形成了四个直角

师：两条直线相交成直角，而其他情况相交形成的都不是直角，有的是锐角有的是钝角。

师：你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢？

生：验证用三角板、量角器

板书：在同一平面内两条直线的位置关系 不相交=互相平行 互相平行的两条线叫做平行线

相交 不成直角

=互相垂直

师：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。用自己的语言说说什么是互相垂直。（生：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线相互垂直）说说什么是

垂足，什么是垂线。强调互相。

师：你认为判断两条直线是否垂直最主要的是看什么？

生：相交成直角

师：能不能说红线是垂线。

引导学生说出：红线是绿线的垂线，或绿线是红线的垂线，也可以说红线和绿线互相垂直。

3、生活中的教学

课件出示生活中的例子图片，让同学们更深入的理解平行与垂直的定义。

4、练习拓展

a、生活中我们常常遇到垂直与平行的现象，你能举几个例子吗？（学生举例后教师可适当添加一两个没想到的例子。

b、咱们看看几何图形中有没有垂直和平行的现象？（出示几何图形）

c、下面咱们一起来做个游戏

1．摆出两根红色小棒与绿色小棒平行，想象有多少条直线跟绿色小棒平行。观察发现规律。

“垂直与平行”教学设计 篇7

教学过程:

一、创设情境,激发兴趣

播放《西游记》中“龙宫借宝”片段。

师:孙悟空有一件宝贝,是什么?

生:如意金箍棒。

师:金箍棒可真是件宝贝,可以变得越来越长,在咱们数学中也有一件宝贝,它也可以变得越来越长,是什么?

生:直线。

师:今天我们就来研究和直线有关的知识。

设计意图:从动画情境入手,激发学生的兴趣,自然地引入直线,不但激发学生学习兴趣,而且复习了直线的特征,为探究新知打下铺垫。

二、探究新知

1.认识生活中的相交与垂直。

师:前几天我在郊外看到几个小朋友在栽树,我把他们栽的树拍了下来,你们看!(课件出示图片———地面上有一棵栽斜了的小树)

师:看到这张照片,你们发现了什么?

生:这棵树栽歪了。

师:那你认为怎样栽,树才直呢?你能比画比画吗?

预设:学生有的用手势,有的用直尺,有的用笔,纷纷比画,表示出自己的想法。

师:(走到一个用直尺比画的同学前)你用直尺表示什么?

生:我用直尺表示栽直的树。

师:他栽直了吗?

生(齐):栽直了。

师:同学们真聪明!都能把你心中的想法比画出来,那同学们能用两条直线把你心中的想法画出来吗?

(生动手尝试,师巡视挑选出两名同学上台用实物投影展示。两名同学都画出了“⊥”这样的图形。)

师:你们俩谁来说一说自己的想法?

其中一名同学:我用竖着的直线表示栽直的树,横着的直线表示地面。

设计意图:此环节用简单的生活图片再现了生活情境,有效地调动了学生的生活经验,让学生在动脑思考,动手操作中从具体的生活情境中抽象出两条直线组成的数学图形,为后面的学习做好了充分的铺垫。

师:(课件出示图片形“⊥”)你们看,他们用简单的数学图形就清楚简洁地把自己的想法表示出来了,咦,我在这幅图中又看到了我们的老朋友——角,你看到了吗?

生(齐):看到了。

师:你看到了几个角?

生有的说两个,也有的说三个。

师用电子笔示意“⊥”图中右面的角,凭你们的经验,这个是什么角?

生:直角。

师:的确很像直角。那它到底是不是直角呢?我们该怎么办?

生1:用量角器量。

生2:用三角板比一比。

师:那我们就用三角板来比一比(课件演示)。

师:果然是直角,看来呀,在生活中我们用数学的眼光看,当它形成直角的时候,你们看(播放课件)这棵树就栽直了。

设计意图:在看似漫不经心的过程中,有效地突出了两条直线互相垂直的主要特征———两条直线相交成直角。

师:同学们,如果让你们用两条直线把这幅图也表示出来,行吗?

课件出示栽斜的树

师:你们画得都一样!谁来说一说你的想法?

其中一名同学边指边说:我用斜的直线表示没有栽直的树,用横的直线表示地面。

师:同学们,你们看,我们用简单的图形就表示出了栽树的两种情况!

课件展示两幅图:

师:同学们仔细观察一下,看看这两幅图,有什么相同和不同的地方。

生1:两幅图都是由两条直线组成的。

生2:这两组直线都碰头了。

师:都画了两条直线,而且这两条直线都碰头了,也就是交叉在一起了,这在数学里我们叫作“相交”,它们相交的这个点,我们叫作“交点”。(师课件同步展示“相交”、“交点”后板书“两条直线相交”)

设计意图:在有效激发起学生学习兴趣的基础上,充分调动学生的主观能动性,在学生动手操作、比较辨析的过程中,抓住有利时机,及时介绍了“相交”、“交点”等基本概念,教学活动简洁明了、富有实效。

师:刚才同学们说到了它们相同的地方。那它们有不同的地方吗?

生:它们相交后一个是直角,一个没有直角。

(师板书:成直角、不成直角)

师:像这样两条直线相交成直角,我们就说这两条直线互相垂直。

师:观察刚才所展示的两幅图,你认为哪一幅图是互相垂直的,为什么?

生:我认为第一幅图是互相垂直的,因为它们相交成直角。

师:同学们,在这条规定里有一个词“互相”是什么意思?(课件演示:将“互相”一词变色突出)你是怎么理解的?

生:“互相”就是“相互”的意思。

师:你能举例说说我们生活中“互相”的事例吗?

生1:我俩是好朋友,这时我们就说我和他是好朋友,或者说他是我的好朋友,我们不能说我是好朋友,因为这里是指我俩之间的一个关系,我们不能单独说某一个人。

生2:我帮助小明,小明帮助我,我们互相帮助。

生3:我是小红的同桌,小红是我的同桌,我们是同桌关系。

……

师:同学们真了不起,很快就理解了“互相”的含义。

师:如果我们用字母a表示其中一条直线,用字母b表示另一条直线,这时我们就说直线a和直线b互相垂直。

师:关于这两条直线我们还可以这样描述(课件展示):直线a是直线b的垂线;直线b是直线a的垂线。

师:谁能用刚才的话说一说?

生1:直线a是直线b的垂线。

生2:直线b是直线a的垂线。

师:同学们记忆力真强!那我说“直线a是垂线”对吗?

生(齐):不对。

师:那应该怎么说呢?

生:直线a是直线b的垂线。

师:对了,我们说的互相垂直,是指两条直线的位置关系,不能只说某一条直线是垂线。

师:这两条直线相交的点我们叫作“垂足”。为什么有这么特殊的名字呢?

课件出示图片(解放军立正站队),配合图片介绍:这是因为我们中国人自古以来就讲究做人要顶天立地,当一个人直立于地面的时候,人和地面就互相垂直。我们的脚又称为足,所以脚和地面的交点我们称为垂足。记住了吗?

生:记住了。

设计意图:在这个环节的学习活动中,巧妙地将“两条直线相交成直角,这两条直线互相垂直”这句话直接抛给学生。并灵活地引导学生思考比较,有效启发学生,紧紧抓住概念中的几个核心词进行教学。特别是对“垂足”的介绍,形象生动,不落俗套,给学生留下了深刻的印象。

2.认识平行。

师:同学们,两条直线除了有相交的情况,它们还有不相交的情况呢!大家闭上眼睛想象一下,想象出两条直线,这两条直线不能相交,大家能想象出来吗?

生:能!

师:那好,把你们想到的不相交的两条直线画在纸上。

生独立操作,教师巡视后挑选两名同学上台展示自己的作品。

师:同学们各有各的画法,大家都认为自己画的两条直线不会相交。有的同学是这样画的(课件展示图1),他认为自己画的不会相交,有的是这样画的(课件展示图2),他也认为自己画的不会相交。那你是赞成第一种、还是第二种?或者你两种都赞成?谁来说说自己的看法?

生1:我认为两种画法都不相交。

生2:我不同意,我认为只有第一种不相交,第二种会相交,因为延长以后,它们就相交了。

师:你真厉害,想到了直线的基本特点,我们来看一下,延长后相交了吗?(课件演示第二组图形两条直线延长后相交了)

生(齐):相交了!

师:经过我们研究发现,像这种两条直线的一部分看上去没有相交,但实际延长后,它们怎么样了?

生(齐):相交了!

师:看来这组直线不属于不相交的情况,我们来看一下另外一组。我们说它相不相交不能只看直线的某一部分,根据刚才的经验,可以把它延长后进行判断。(课件演示第一组图形两条直线延长后的画面)

师:相交了吗?

生:没有。

师:同学们,像这种延长后不相交的两条直线,我们就说这两条直线互相平行。(课件出示:像这种不相交的两条直线,叫作互相平行。)

师:同学们,互相平行里也有互相两个字,说明互相平行也是指两条直线,如果我们用字母c表示其中的一条直线,用字母d表示另一条直线,这时我们就说直线c和直线d互相平行。

师:关于这两条直线,我们还可以这样描述(课件展示):直线c是直线d的平行线;直线d是直线c的平行线。

师:(隐藏课件)谁能用刚才的话说一说?

生:直线c是直线d的平行线。

师:还可以怎么描述?

生(齐):直线d是直线c的平行线。

师:如果说“直线c是平行线”,对吗?

生(齐):不对。

师:那应该怎么说呢?

生:直线c是直线d的平行线。

师:对了,我们说的互相平行,也是指两条直线的位置关系,不能只说某一条直线是平行线。

设计意图:在学生掌握了两条直线相交和特殊相交———垂直的知识点后,巧妙引导,利用知识之间的迁移,充分发挥学生的想象能力,鼓励学生大胆探索,有效掌握了平行线的特点,并形成了平行线的概念———不相交的两条直线互相平行。

师:同学们,你们看,刚才我们画的这两组直线,为什么延长后有一组相交,有一组不相交呢?

生1:第二组的两条直线是斜的,所以它们延长后相交。(师提示学生观察两条直线两端的开口大小。)

生2:第一组的两条直线两端的开口一样,第二组的两条直线两端的开口不一样,一头大,一头小。

师:经过大家的分析,我们发现了数学里的一个秘密,平行线间的距离处处相等。

师:同学们,今天我们所研究的内容都是和什么有关?

生:直线。

师:都是和几条直线有关?

生:两条。

师:如果让你在纸上画直线,你觉得有没有难度?

生:没有。

师:那好,我们来完成一个活动,在同一张纸上,看看能不能画出两条既不相交、又不平行的直线。大家试一试,画一画。

(生先独立试画,然后同桌相互交流,师巡视后指名展示。)

师生交流后得出:在一张纸上画两条直线只有两种可能,一种是两条直线相交,另一种是两条直线不相交,不相交就是平行。

师:同学们,你们今天的表现很不错,大家的学习状态都很好,肯动脑、肯思考问题,尤其值得表扬的是你们今天还能用数学的眼光观察物体,能把一棵大树看成一条直线,能把地面也看成一条直线。

师:和同学们交流,我也收获不少,我也会用数学的眼光来观察周围的物体,找到了两条直线。(师在教室找了两条异面直线,并用电子笔示意。)

师:咦,我怎么发现这两条直线既不相交,又不平行呢?刚才你们不是说在一张纸上画不出既不相交又不平行的两条直线吗?我现在怎么找到两条既不相交又不平行的直线呢?这是怎么回事呢?

生1:一条是左右延伸的,一条是上下延伸的。

生2:这两条直线一条在前面,一条在右面。

生3:它们根本就没有在同一个平面上。

师:看来呀,我们说不相交的两条直线就互相平行,必须要有一个前提条件,这两条直线要在同一个平面内。(板书:同一个平面,课件同步补充)

设计意图:通过引导学生对比辨析,进一步加强对平行线的理解。并结合在现场物体上找的线,完善不相交的两条直线互相平行的必要前提———在同一个平面内。使教学活动整体上显得层层深入,丝丝相扣。

三、巩固练习

师:那你们究竟掌握得怎样呢,我想检验一下。

课件出示练习题:

1.判断。

(1)下面各组直线,哪些是互相垂直的?

(2)下面各组线中哪些是互相平行的?

2.让学生在题卡纸上的几组图片中找出垂直和平行的现象,并用彩笔画出来。

学生顺利完成练习后,师生逐题交流,反馈订正。

《垂直与平行》教学设计 篇8

裴星童是今年年初从南关区幸福中心校来我校实行“城乡教师捆绑交流”的年轻教师。这节“垂直与平行”一课是她的一节常规课，但从常规中透视出许多不常规的亮点。

她让学生“做中学”“学中思”把枯燥无味的数学知识变成了学生手中的魔方、玩具、手工作品，使学生在动手操作中感悟到了知识的生成，并在生成中动脑思考知识形成的过程与结果。

她通过数学教学培养学生的创造意识。这是许多教师在教学中十分困惑的，觉得学科教学中无法渗透这气思想。可裴老师却抓住“垂直与平行”这一小小的教学内容，潜心挖掘“创造力”资源。

裴老师的亮点还有很多。这里不一一列举。

从裴老师近一年来的成长看，青年教师的成长与环境与领导的重视程度是有很大联系的。可谓给她一缕阳光她肯定会灿烂。而城乡教师捆绑交流则是一个极好的培养提高途径。

长春市树勋小学副校长：金玉茶

教学目标：

1帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识垂线和平行线。

2培养学生的空间观念及空间想象能力。

3培养学生学习数学的兴趣和树立合作探究的学习意识。

教学重点：

正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。

教学过程：

一、复习导入

师：(黑板上有一条直线)你们看到了什么?

生：直线。

师：对了，这可是我们的老朋友了，谁来给大家介绍介绍它?

生：直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可以测量。

生：看来大家对直线已经很了解了，今天，我们继续研究与直线有关的知识。

二、建立表象

1感知

师：每个同学的桌面上都有这样一张白纸(师手举白纸)，我们把它看成一个平面，想象一下，这个面变大了。(能想象出来吗?)好，闭上眼睛，我们一起想象：这个面变大了，又变大了，变得无限大，在这个无限大的平面上出现一条直线，又出现一条直线。你想的这两条直线的位置关系是什么样呢?

2画图

师：睁开眼睛，就在你那个无限大的平面上，把你刚才的想法画出来。(给学生时间画图)

师：画出来了吗?请你们互相欣赏一下，看看谁的想法与众不同!给我欣赏一下好吗?想展示的同学把作品贴到黑板上。

3观察

师：仔细观察，你画的和这些一样吗?如果不一样，可以进行补充。(让学生到前面补充完善)

同学们的想象力可真丰富，画出这么多种情况，能把它们分分类吗?仔细观察。(给学生思考的时间)有想法了吗?在小组内说说你是怎样分的，分类标准是什么?

4分类

师：谁来汇报你分类的情况，并说清楚自己的想法。

生：我分三类：一类是交叉的，一类是快要交叉的，一类是不交叉的。

师：对于他的分法，你们有不同的想法吗?(提示：这可是两条直线呀!)

生：我觉得快要交叉的那几个可以和交叉的那一类放到一起。

师：为什么?

生：因为这是两条直线可以无限延长，如果把这两条直线继续延长后它们就会交叉。

师：你们也这样认为吗?好，我们共同拿起心里的那支笔，用眼睛做尺来画一画。(学生“画”)结果如何?

师：再请一名同学实际画一画。现在我们应该把这些放在哪一组呢? (指快要相交的一组)

(调整成两种分类标准。)

师：还有调整意见吗?从你们的眼神里，我可以看出现在大家的意见比较统一。

经过大家的共同努力，我们发现在同一平面上，两条直线的位置关系有两类，一类是这样：相互交叉，碰头了，还有一个交点。数学上我们叫相交。(板书)

三、分析比较

(一)揭示平行的概念

1理解互相平行

师：看这一组直线相交了吗?

生：没有

师：想象一下，画长点，会相交吗?

生：不会。

师：在长点相交了吗?无限长，会相交吗?

生：永远不会相交。

师：这种情况你们知道数学上叫什么吗?

生：平行(板书)

师：是这一条叫平行? (指其中一条直线)

生：不是

师：这一条? (指另一条直线)

生：不是，是这两条直线互相平行。(板书)

师：你的发言给了我很大的启发。也就是不能孤立的说某一条直线是平行线。

师：能用自己的话理解一下“互相”这个词吗?

生1：我们在平时学习中你帮助我，我帮助你叫互相学习。

生2：我们在生活中你帮助我，我又帮助你叫互相帮助。

2说一说

师生活中你看到过互相平行的现象吗?

生1：黑板上下的两条边互相平行。

师：很会观察。说话也很完整。

生2：马路上斑马线互相平行。

师：眼界真宽!看到教室外面去了。好。

生3：数学书上的等号是互相平行的。

师：真是有心的孩子。在数学符号里发现了互相平行的现象。

生4：老师如果大臂向前看齐，两条胳膊就是互相平行的。

师：是这样吗?(将两手臂往里扣)

生4：不是，太窄了!

师：是这样吗?(将两手臂向外展)

生4：不是，太宽了。

师：那是怎样的呢?

生4：两个手臂间的宽度要一样，差一点也不行!

师：说的好，要想让两臂之间平行，就必须保持两臂之间距离是一样的。这是我们在生活中对平行的理解。那么通过以上讨论，你对平行线有什么想法呢?

生：我认为两条平行线之间宽度应该是相等的，

师：你们也这样认为吗?(生点头)那我们共同验证一下。(量两条平行线之间的宽度)

师：经过我们的共同努力，不仅认识了平行线，还会验证两条直线是不是互相平行的。

3练习

观察下面几组图形，验证一下它们是平行线吗?

(1)展示不同方向的几组平行线。

(2)师画错误的，理解同一平面内。

通过刚才看和做，请你说一说，怎样的两条直线是互相平行的?

小结：在同一平面内，画两条直线出现两种情况，一种是不相交，也就是互相平行，另一种情况是——相交。

(二)揭示垂直概念

1理解互相垂直

师：(指前面两条直线相交的情况)你认为那种最特殊?特殊在哪?

生：两条直线相交成直角，而其他情况相交后成的不是直角，有的是锐角，有的是钝角。

师：你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢?(学生验证：三角板、量角器)(板书：成直角)

师：像这样的两条直线，在数学上也有他的名字你知道叫什么吗?

生：垂直。

师：还有不同意见吗?

生：互相垂直，

师：为什么要加互相呢?

生：象互相平行一样不能单独说某一条直线是垂线。

师：那应该怎样说?

生：其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

师：不仅听得认真，记住了我们前面讲的互相平行，而且能够举一反三!了不起!

2理解相交与垂直的关系

师：(指互相垂直情况)那它是相交家里的成员吗?

生：是，只不过是有点特殊。

师：也就是垂直只是相交里的特殊情况。

3教学垂足

师：在数学上这个交点还有一个好听的名字呢!知道吗?

生：垂足

师：你是怎样知道的?

生：看书。

师：好孩子，在告诉我们这个交点名字的同时还教给我们一种很好的学习方法：预习。谢谢你。

师：能用自己的语言说说什么是互相垂直吗。(学生试说后指名回答)

4说一说

师：生活中我们常常遇到垂直的现象，你能举几个例子吗?(十字路口、医院的十字标志)

师：这节课我们共同研究的是在同一平面内两条直线的两种特殊位置关系：垂直和平行。(板书课题)

四、运用概念，巩固拓展

1小游戏

摆一摆

(1)把两根小棒都摆成和第三根小棒平行。看一看，这两根小棒有什么关系吗?

(2)、把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直。看一看，这两根小棒有什么关系?

五、学习后的反思

师，这节课你有什么收获?

(作者单位：长春市南关区幸福中心校)

垂直与平行教案 篇9

做一做

1.说一说，生活中还有哪些平行或垂直的例子。

2.摆一摆。

（1）把两根小棒都摆成和第三根小棒平行。看一看这两根小棒互相平行吗？（2）把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直。看一看，这两根小棒有什么关系。

3.下面每个图形中哪两条线段互相平行？哪两条线段互相垂直？

4.画一画。

（1）过A点画直线的垂线。

（2）过A点画直线的平行线。

（3）画一个长5厘米、宽3厘米的长方形。

垂直与平行教案 篇10

师：今天每个人都准备了一些小棒，我们这节课就一起玩一玩。请你用两根小棒摆一摆，看看能摆成哪些图形，选择你喜欢的一种画下来。

学生摆，画。

将画好的贴到黑白上。

师：谁愿意来把同学们画的图形分分类?说说你是怎么想的?

学生提到交叉，就指出交叉的这种情况在数学上称为相交，不交叉的就是不相交。

师：(指出其中一幅)如果把我们画出的线段看成直线，会出现什么情况?

直线可以向两端无限延伸，延伸后，两条直线就相交了。

师：是这样吗?动手试一试

师：你能重新把他们分分类吗?像这样，延长后能相交的，也是相交这一类的。

出示情境图

师：请你在图中找一找相交的直线和不相交的直线。

课件演示留下不相交的`直线。

师：和我们粘在黑板上的那组一样?这几组线有什么共同点?(不相交 两条直线 在同一平面内)

师：在同一片面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。(生齐读概念)

强调：同一平面 举例说说

课件出示：直线A和直线B，我们可以说直线A是直线B的平行线，或者说成直线A和直线B互相平行，或者说直线A平行于直线B。

学生之间互相说一说什么是互相平行。

判断：1.下列几组直线，哪几组是互相平行的?

2.出示长方形和正方形，哪些线的互相平行的?各有几组?

在生活中找一找，找找你在生活中看到的平行线。

回到情境图，观察这些相交的线的角度各是多少度?

师指出：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

课件出示：我们可以说直线A与直线B互相垂直，还可以说直线A是直线B的垂线，或者说直线A垂直于直线B。

找一找黑板上哪组直线是互相垂直的?

课件：在长方形和正方形上指出哪些线是互相垂直的。

在生活中找一找哪些线是互相垂直的?

小结：通过以上的学习，我们知道了在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。

动手操作：摆一摆

1.把两根小棒都摆成和第三根小棒平行。看一看，这两根小棒互相平行吗?

2.把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直。看一看，这两根小棒有什么关系?

小结：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。

指出图中平行和垂直的线

利用手边的材料，创造平行线和垂线

预设：用格尺画，在方格纸或笔记纸、演草纸上画，用小棒摆，用纸折，用身体部位摆。

直线、平行线、垂直线 篇11

这条线就叫做直线。

怎样确定你画的线是一条直线呢？请照下面的说法做做看。

拿一张纸折出一条折痕，把折痕对准原先画的两点。如果你画的线和折痕正好相合的话，它就是直线了。

假如不用折纸的方法，改用书本或尺，也可以检查你画的线直不直。

我们还可以用绳子来检验。先抓住绳子的两端，然后把绳子拉直，绳子就变成直线了。

把拉直的绳子对准纸上的两点，如果绳子正好和你画的线相合的话，那么，这条线就是直线。

所以，想确定一件东西是不是直的，只要有一根绳子就行了。

你家餐桌的边缘是直线吗？你可以拉直绳子，靠在桌边，如果绳子能够紧紧贴在桌边，那么，桌边就是直线。椅子的边缘是不是直线呢？用绳子检查看看。你可以利用绳子把家里的东西检查一下，看看哪些是直的，哪些不是。

我们来玩一个直线游戏。在纸上画三个点，看能不能把三个点都排在一条直线上。

你可以先在纸上画两个点，假想有一条连接两点的直线，然后把第三个点画在想象的线上。接着，用绳子把先画的两点连接起来，看看第三点会不会和绳子碰在一起。

如果只用肉眼看，你能知道三个点是否在一条直线上吗？

准备一个西洋棋盘和20颗棋子。如果没有棋子，可以用圆扣子代替。

把8颗棋子放在棋盘的方格上，排成一排。这一排棋子是直线吗，7我们可以把绳子拉直，对准两端棋子的正中心，检查一下就知道了。请注意，检查时不要动到棋子。

用棋子排成直线的方法有很多。图中的小朋友把4颗棋子斜着排，排出的线是不是一条直线呢？

我们再来玩难一点的游戏。像下图（左）一样，在左下角往上数第二行的第一格，放1颗棋子，在左下角往上数第四行的第五格也放1颗棋子。然后，请你再放2颗棋子，使这4颗棋子的正中心都能排成直线。后放的2颗棋子应该放在哪两个格子里呢，7

下图（右）的小朋友在棋盘上放了2颗棋子，如果再放1颗棋子，应该放在哪一个格子里，才能使3颗棋子排成直线，7假如3颗棋子都放好了，可以用绳子检查，看看是不是排成一条直线。

翻开有横线的笔记本，可以看到每一行的空间都由两条直线构成。这两条直线是不是交叉线呢？

这两条直线再怎么延长都不会相交在一起。像这样永远不会相交的两条线，我们叫它平行线。

把一张长方形的纸对折，注意，边要对齐哦。

把长方形纸打开，看看中间的折痕，是不是和上下两边平行？

只要我们仔细观察，无论在家里、教室还是在马路上……都可以发现很多平行线。在上图中，哪些是平行线呢？你家如果有方形地毯，地毯相对的两边就是平行线。

在教室里，黑板的上下两边是平行线。

在人行道上，方块砖的对边也是平行线。

在许多地方都可以找到平行线，试着去找找看吧。

在棋盘上也可以摆出平行线，左图中通过红棋子中心的直线和通过黑棋子中心的直线就是平行线。

按照左图的样子，把棋子放在棋盘上。通过红棋子中心和通过黑棋子中心的两条直线也是平行线。还有很多方法能摆出平行线，你要不要试试看？

准备一张长方形纸，把斜对面的两个角对折，就会出现一条斜的折痕，这条折痕也是直线。

把纸摊平，认清刚才的折痕。把折痕对折，再摊平，就会出现两条交叉的折痕了。这两条相交的折线形成四个角。

我们来量量这四个角的大小。

拿出一本书，把书角对准纸上的一个角，是不是正好相合？试试另外三个角，是不是也一样？

这两条相交直线形成的四个角，角度都跟书角相同。像这样的角就叫做直角。两条成直角的相交直线就叫做垂直线。

这两条线是不是垂直线呢？用肉眼看得出来吗？

用书角去量一量，才发现这两条线所形成的角和书角不合，所以它们不是垂直线。

在棋盘上也可以摆出垂直线。像右图这样，在最下面一行放一排黑棋子，在左下角往右数的第三格，放一列红棋子。这样，通过黑棋子中心的直线和通过红棋子中心的直线，就形成垂直线了。你可以用书角检查看看。

把棋子像左图一样排列，它们形成的线也是垂直线，用书角检查一下。

你有没有发现，垂直线和平行线经常会同时出现？像地毯正对着的两边是平行线，而相邻的两边则是垂直线。看看相框、桌子、杂志、黑板是不是也都是这样？

垂直与平行练习1 篇12

一、基础训练 l．画一画。

(1)画出已知直线的垂线。

(2)画出已知直线的平行线。

2．选 择。

(1)过直线外一点，画已知直线的垂线，这样的垂线可以画出()条。A．1 B．2 C．3 D．无数

(2)已知直线a与直线c互相平行，直线b与直线c互相平行。那么，直线a与直线b()。

A．互相平行 B．互相垂直 C．无法确定 3．过点A画已知直线的平行线和垂线。

4．画一个长4厘米、宽3厘米的长方形。

二、能力提高

l．过三角形内的一点分别向三条线段作垂线。

《平行与垂直》教学反思 篇13

“平行与垂直”是学生学习支线及角的认识角的认识基础上教学的，是进一步学习习近平行四边形和梯形的基础。本节课的重点是帮助学生理解“平行与垂直”的概念，继而灵活应用概念判断“同一平面内”两条直线的位置关系。主要有以下几点：

一、创设问题情境，引导学生探索

”两个小棒掉在地上，可能会出现什么情形?”放手让学生展开丰富想象，画出可能出现的图形，这样学生在教师设置的问题情境中进入紧张的思维状态，从而使学生积极投入到探索活动中去。

二、动手实践自助探索

由于这是一届概念课，教师不能把现在概念简单的直接给学生，而因通过学生多种感官参与到探索活动中去，所以，我先用两根小棒引出两条直线位置关系，然后画在纸上;再对这些图形进行分类;最后根据“分类”的思想进行抽象概括。同一平面内“两条直线的位置关系”“平行与垂直”的概念建立在学生的感性认识基础上，学生认识深刻，概念清晰。所有一切活动都是依靠学生动手操作，自助探究完成的。

三、环节紧凑，结构严谨

先摆出两根小棒掉在地上可能出现的情形，画在纸上，然后根据两条直线位置关系进行分类，引出平行与垂直的概念。而所有练习都是围绕“同一平面内”两条直线的位置关系来展开的，进一步突出概念本质，加深了学生的理解。

《垂直与平行》评课稿 篇14

这部分教材是在学生学习了直线及角的知识的基础上教学的，是认识平行四边形和梯形的基础。垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，而且在生活中有着广泛的应用。《平行与垂直》这一课的主要教学目标是让学生通过观察，比较，理解和掌握在同一平面内两条直线的位置关系只有两种：平行与垂直。本节课的教学难点是：对看似不相交而实际上是相交现象的理解。荀老师在教学中主要体现了以下特点：

一、注重生活经验，从已有知识入手。

在设计导入时，荀老师先让学生回忆直线的特点，以想象来导入教学，自然引出了存在于同一平面的直线的关系：相交与不相交，继而直接通过让学生在纸上画一画，来进行梳理分类，真正体现了新课标中知识来源于生活，来源于学生的对世界的认识。新课后的练习和欣赏也让学生切实体会到“生活离不开数学”，“生活中处处有数学”，从而认识到数学学习的重要性和必要性，进一步培养孩子学习的兴趣。

二、巧用长方体模型教具，加深同一平面内两条直线间的位置关系。

从教材上来看，本课从研究同一平面内两条直线的位置关系入手，逐步分析出两条直线的位置关系有相交和不相交之分，相交中还有相交成直角与不成直角的情况，是一种由“面”到“点”的研究，这样设计，不仅符合学生的认知规律，也更有利于学生展开探索与讨论，研究的意味浓了。所以，在荀老师执教的课堂里，荀老师大胆地让学生先画一画，再从对学生的提问、回答中提出质疑，理解什么叫做两条直线互相平行。在教授“同一平面”这一知识时，荀老师巧妙地利用了长方体的模型，让学生从观察上面和侧面两条直线是否相交到引出质疑：那么这两条直线平行吗？我们在讲两条直线平行时应该怎么办呢？从而自然过渡到讲两条直线互相平行必须建立在同一平面内。

三、在知识探究的过程中完成自主探究意识的培养。

在荀老师执教的课堂教学中，注重对学生自主探究意识的培养。首先，在学生画完两种直线的位置关系后，选取不同情况贴在黑板上进行分类，并及时询问他们分类的依据是什么。在学生回答的基础上，引导学生继续对于画斜的两条直线进行观察：“难道它们真的不相交吗？”使学生自然而然地从直线的性质上去分析(直线可以两端无限延长）如此一来，学生就会自己找到问题的本质属性，形成清晰的知识，教学难点得以突破。其次，对两条直线互相垂直的理解时，从两条直线相交形成四个角出发，继而从引出直角的过程中来让学生理解：“垂直”是“相交”的一种特殊情况，避免了学生在课后对于垂直是相交还是模糊理解的记忆。真正体现了让学生主动探索，解决问题的教学理念，体现了以学生为主体，教师组织者的教学理念。

四年级垂直与平行反思 篇15

在《垂直与平行》的课堂教学中，没有花架子，没有与课堂无关的语言和行为，没有哗众取宠的调侃和媒体展示，所有的一切教学手段都是为教学服务，为学生服务。在教学中，我紧紧抓住“以分类为主线”展开探究活动，提出“在无限大的平面上同学们想象的两条直线的样子画下来？”“能不能把这几种情况进行分类？”这样有思考价值的问题，学生通过想一想、画一画、分一分、说一说等多种活动进行观察、思考，逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角两种情况。这样的教学不仅符合学生的认知规律，而且通过分类，分层理解，既符合学生的认知规律，又有利于提高学生生活实际，让学生从自己的身边发现数学知识，进一步培养学生观察的能力，发现垂直与平行现象。在处理教学难点“在同一平面内”时，我利用课件出示一个长方体，在长方体的不同面上画两条不相交的直线，提问学生是否平行，帮助学生理解垂直与平行关系 “必须在同一平面内”，直观到位。

新知的训练点和拓展点扎实有效。除了从主题图中找垂直与平行现象，从生活中找，从身边找，还让学生动手摆一摆、拼一拼、画一画……通过这些练习，让学生进一步加深对平行和垂直概念的理解，进一步拓展知识面，使学生克服学习数学的枯燥感。让学生真正参与学习过程中来，在学习过程中提升自己的能力。

在本节课的教学中，也有不少不足之处，如

1、重难点处理解速度较快，后进生没有理解到位，以后的教学中应因材施教，照顾后进生。

2、有一名学生的发言不够准确，我没有及时指正出来。

3、时间把握不够好，后面还有一个小环节没有完成，学生们也失去了一个自我小结、交流的机会，这也算是一个遗憾吧。