平行与垂直的证明

平行与垂直的证明（共9篇）

平行与垂直的证明 篇1

立体几何中平行与垂直的证明

1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点． 求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

ADBC

1D

B

C

2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

3．如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF

A

E

B

C

AD2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

4．如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AB8，AC6，BC10，D是BC边的中点.（Ⅰ）求证：

5．如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比．

6．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE

上确定一点N，使得MN∥平面DAE.7．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中:（1）求异面直线BC1与AA1所成的角的大小；（2）求三棱锥B

1A1C

1B的体积。（3）求证：B1D

平面A1C1B

ABA1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

8． 如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是

SA,BD上的点，且

AMBN

=，求证：MN//平面SBC SMND

P

9． 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．

E

A

B

D C

10．在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，平面CDE是等边三角形，棱EF//BC且EF=

BC．

2（I）证明：FO∥平面CDE；

（II）设BC=CD,证明EO⊥平面CDF．

11． 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD．

12．如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点．

（1）求证：CDAE；（2）求证：PD面ABE．

13.如图在三棱锥PABC中，PA平面ABC，C E

C

P

B

A

DB

_P

ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C

都在球O的球面上。

（1）证明：平面PAB平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

14.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB2，SBSD ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

_A_C

_M

_B

D

C

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD；（II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面 BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

1． 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直 角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.2

（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若 存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.5.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB

2，SBSD底面ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

D

C

【课后记】 1．设计思路（1）两课时；

（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系；（3）掌握探寻几何证明的思路和方法；（4）强调书写的规范性 2．实际效果：

（1）用时两节半课；

（2）平行掌握的比较好，但垂直问题需要继续加强。尤其是面面垂直问题转化为线面垂直后便不知所措。

平行与垂直的证明 篇2

利用向量方法判断空间位置关系, 其难点是线面平行与面面垂直关系问题.应用下面的两个定理, 将可建立一种简单的程序化的解题模式.

定理1 设$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}A}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}B}}$不共线, $\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}Q}}=x\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}A}}+y\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}B}}(x‚y\in \mathbf{R})$, 则

① P∈平面MAB⇔PQ⊂平面MAB;

② P平面MAB⇔PQ//平面MAB.

定理2 设向量$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle AC}}$不共线, $\overrightarrow{{\displaystyle DE}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle DF}}$不共线, 则:平面ABC⊥平面DEF⇔存在实数λ, μ, 使$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\cdot (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle DE}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle DF}})=0$, 且$\overrightarrow{{\displaystyle AC}}\cdot (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle DE}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle DF}})=0.$

例1 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中, O是B1D1的中点, 求证:B1C//平面ODC1.

证明:设$\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}B{}_1}}=\mathit{a}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}D{}_1}}=\mathit{b}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}C}}=\mathit{c}$, 则

$B{}_{1}C=\mathit{c}-\mathit{a}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_1{\rm O}}}=\frac{1}{2}(\mathit{a}+\mathit{b})‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D{}_1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}D{}_1}}=\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D{}_1}}+\overrightarrow{{\displaystyle D{}_{1}D}}=\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})+\mathit{c}.$

若存在实数 x, y, 使$\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}=x\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}+y\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}‚$则

$\begin{array}{l}\mathit{c}-\mathit{a}=x[\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})+\mathit{c}]+y[-\frac{1}{2}(\mathit{a}+\mathit{b})]\\ =-\frac{1}{2}(x+y)\mathit{a}+\frac{1}{2}(x-y)\mathit{b}+x\mathit{c}.\end{array}$

因为 a、b、c 不共面,

所以

得$x=1‚y=1‚\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}.$

又因为B1平面ODC1,

所以B1C//平面ODC1.

例2 在斜三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧面AA1B1B⊥底面ABC1, 侧棱AA1与底面ABC成60°角, AA1=2, △ABC是边长为2的正三角形, 其重心为G, E是线段BC1上一点, 且$BE=\frac{1}{3}BC{}_1$.求证:G1E//侧面AA1B1B.

证明:因为侧面AA1B1B⊥底面ABC,

所以侧棱AA1与底面ABC所成的角就是∠A1AB, ∠A1AB=60°.

由A1A=AB=2, 知△A1AB为正三角形.

取AB中点O, 则A1O⊥底面ABC, OC⊥AB.于是建立如图2的空间直角坐标系, 则$A(0,-1,0),B(0,1,0),C(\sqrt{3},0,0),A{}_1(0,0,\sqrt{3}).$

$\begin{array}{l}\text{由}\overrightarrow{{\displaystyle CC{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle BB{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle AA{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm O}}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A{}_1}}=(0,1,\sqrt{3}),\\ \overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C}}+\overrightarrow{{\displaystyle CC{}_1}}=(\sqrt{3},1,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\overrightarrow{{\displaystyle BB{}_1}}=(0,2,\sqrt{3}),\end{array}$

知$C{}_1(\sqrt{3},1,\sqrt{3}),B{}_1(0,2,\sqrt{3}).$

因为G为△ABC的重心, 所以$G(\frac{\sqrt{3}}{3},0,0).$

因为$\overrightarrow{{\displaystyle BC{}_1}}=(\sqrt{3},0,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}=(0,3,\sqrt{3}),$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}E}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\overrightarrow{{\displaystyle BE}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle BC{}_1}}\\ =(\frac{\sqrt{3}}{3},1,\frac{\sqrt{3}}{3}),\\ \overrightarrow{{\displaystyle GE}}=\overrightarrow{{\displaystyle G{\rm O}}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}E}}=(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}\\ =\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}+0\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\end{array}$

(或$\overrightarrow{{\displaystyle GE}}=(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3})=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A{}_1}}).$

又GE⊄平面AA1B1C,

所以GE//平面AA1B1B.

例3 (2004年湖南) 如图3, 在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, $\angle ABC=60°,{\rm P}A=AC=a,{\rm P}B={\rm P}D=\sqrt{2}a$, 点E在PD上, 且PE ∶ED=2∶1.

在棱PC上是否存在一点F, 使BF//平面AEC?证明你的结论.

解:设$\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}=\mathit{a},\overrightarrow{{\displaystyle AC}}=\mathit{b},\overrightarrow{{\displaystyle AD}}=\mathit{c}$.并设$\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\lambda \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}(0<\lambda <1)$, 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=\overrightarrow{{\displaystyle BC}}+\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\lambda (\overrightarrow{{\displaystyle CA}}+\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}})\\ =\lambda \mathit{a}-\lambda \mathit{b}+\mathit{c},\\ \overrightarrow{{\displaystyle AE}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\overrightarrow{{\displaystyle DE}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{{\displaystyle DA}}+\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}})\\ =\frac{1}{3}\mathit{a}+\frac{2}{3}\mathit{c}.\end{array}$

令$\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=m\overrightarrow{{\displaystyle AC}}+n\overrightarrow{{\displaystyle AE}},$

即$\lambda \mathit{a}-\lambda \mathit{b}+\mathit{c}=\frac{1}{3}n\mathit{a}+m\mathit{b}+\frac{2}{3}n\mathit{c},$

则由 a、b、c不共面, 得

$\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{1}{3}n‚\\ -\lambda =m‚\\ 1=\frac{2}{3}n.\end{array}$

解得$\lambda =\frac{1}{2}‚m=-\frac{1}{2}‚n=\frac{3}{2}.$

所以$\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}‚$且$\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AC}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AE}}.$

又因为B平面AEC,

所以当F为PC中点时, BF//平面AEC.

例4 在四棱锥P—ABCD中, PD⊥平面ABCD, PA与平面ABCD所成的角为60°, 在四边形ABCD中, ∠ADC=∠DAB=90°, AB=4, CD=1, AD=2.若PB的中点为M, 求证:平面AMC⊥平面PBC.

证明:建立如图4所示的坐标系, 易得A (2, 0, 0) , C (0, 1, 0) , B (2, 4, 0) .

由PD⊥面ABCD, 得∠PAD为PA与面ABCD所成的角, 从而, 在Rt△PAD中,

$\angle {\rm P}AD=60°,{\rm P}D=AD\tan 60°=2\sqrt{3},$

得${\rm P}(0,0,2\sqrt{3}),{\rm M}(1,2,\sqrt{3}).$

所以$\overrightarrow{{\displaystyle CA}}=(2,-1,0),\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}}=(1,1,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=(0,-1,2\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle CB}}=(2,3,0).$

设$\mathit{p}=\lambda \overrightarrow{{\displaystyle CA}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}}=(2\lambda +\mu ,-\lambda +\mu ,\sqrt{3}\mu )(\lambda ,\mu \in \mathbf{R})$, 令

$\{\begin{array}{l}\mathit{p}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=(\lambda -\mu )+6\mu =0‚\\ \mathit{p}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CB}}=(4\lambda +2\mu )+(-3\lambda +3\mu )=0‚\end{array}$

得λ+5μ=0.

取λ=5, μ=-1, 得

$\begin{array}{l}(5\overrightarrow{{\displaystyle CA}}-\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=0‚\\ (5\overrightarrow{{\displaystyle CA}}-\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CB}}=0.\end{array}$

所以平面AMC⊥平面PBC.

例5 如图5, 四边形ABCD是边长为2的正方形, PA⊥平面ABCD, DE//PA, PA=2DE=AB, 求证:平面PEC⊥平面PAC.

证明:由DE//PA, PA⊥平面ABCD, 得DE⊥平面ABCD, 于是建立如图的直角坐标系.易知,

$\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}=(0‚0‚2)‚\overrightarrow{{\displaystyle AC}}=(2‚-2‚0)‚\overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=(0‚2‚1)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=(2‚-2‚-2)$.令

$\{\begin{array}{l}(\lambda \overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=0‚\\ (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=0‚\end{array}$

得2μ-λ=0.

取λ=2, μ=1, 得

$\begin{array}{l}(2\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=0‚\\ (2\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=0‚\end{array}$

所以平面PEC⊥平面PAC.

“平行与垂直”说课 篇3

“平行与垂直”是《苏教版小学数学》四年级上册的内容,它是在学生认识了直线的基础上安排的,是深入学习空间与图形的重要基础。考虑到学生已有的认知结构和心理特征,这一课时,我将例1的认识平行线和例3的认识垂直线进行整合教学。

教学目标

1.感知生活中的垂直与平行现象,初步认识平行线和垂直线的本质,理解它们是同一平面内线与线的位置关系。2.引导学生观察、操作、讨论、辨析,培养主动探究的意识,发展空间想象能力。3.创设有序有趣有效的课堂,激发学生的学习热情。

难点:理解看似不相交而实际上相交的现象。

教学过程

一、在生活情境中引入

生活中,我们经常要在墙上贴挂东西,而往往会喊人站在远处帮忙看着正不正,我将这一生活情境再现课堂:“老师要贴一张画在黑板上,同学们帮我看看贴正没有?”接着我抛出一个问题:你是怎么判断这幅画贴“正”了?在学生一番交流后引导他们道出其中的奥秘:原来我们是在参照黑板边线,看画的边线到黑板边线两头的宽窄是不是一样。我将宽窄相同与不同两种情况抽象成图:

“这两组直线到底有什么本质的区别呢?今天我们就来研究同一平面内线与线的位置关系。”在这里我把“同一平面”板书出来并加以直观演示,让学生建立异面直线和平面直线的不同概念。

【设计意图】我这样巧设生活情境,引导学生运用已有的知识和经验进行观察讨论,把生活问题逐步抽象到数学研究的对象上来,唤起学生探究新知的欲望。

二、在自主探究中发现

这一环节是本课的重点,在这里要捋顺两层关系:即同一平面内的直线只有相交和不相交两种情况,关系是对立的;而相交中又有成直角与不成直角两种现象,垂直与相交属于包含关系;并弄清“相交、垂直、平行”三个概念。为此我搭建了三个活动平台:

扔一扔 摆一摆

首先是探究这两组直线的区别,先让学生通过想象延长和操作延长有一个感性认识:一组永不相交,一组会相交。再由学生通过自学去了解平行的定义,解决学生存在的疑问,重点理解互相平行中“互相”的意思。

接着我通过扔一扔,摆一摆的活动,引导学生进行深入探究。

扔一扔:把两根小棒当直线,随意扔在桌面上,判断其可能的位置关系并分析讨论。

经过小组交流,集中汇报以后,形成结论:同一平面内的直线如果不平行就会相交,如果不相交就一定平行。

摆一摆:既然随意扔出平行线的概率很小,那我们就摆一组平行线,在组内介绍摆的好方法,看看别人摆的有什么不同。

总结:直线平行要满足两个条件,即:同一平面,不相交。

【设计意图】这里我抓住重难点和疑点,进行多层次、多方位的设问,把问题引向纵深,启发学生积极思考,有效巩固和深化新知。

画一画 分一分

首先我让学生每人画一组不平行的直线,选择各种有代表性的作品展示出来,组织学生进行分类。最后引导学生观察思考:“到底哪种分法比较合理呢?”由学生自己争辩,达成共识:直线相交时有成直角和不成直角两种情况。

这时我将垂直的基本图形画在黑板上,让学生说说像什么。帮助学生建立表象以后,再让他们自学垂直的定义,了解垂直符号和垂足。

【设计意图】分类活动是开放的,分类结果也是多样的,引导学生在画、分、辩中达成一致,加深了对概念的理解。

说一说 看一看

生活中平行与垂直的现象无处不在,你能说说吗?学生各抒己见以后,我再引领他们进行欣赏。

三、在操作练习中拓展

这一环节,我设计的练习是一折二找三摆。

折,是让学生折出互相平行与垂直的折痕;找:在平面图形中找平行线段与垂直线段;摆:把两根小棒都摆成与第三根小棒互相平行,这两根小棒互相平行吗?把两根小棒都摆成与第三根小棒互相垂直,这两根小棒有什么关系?

【设计意图】这些活动都是学生喜欢的,这样一环接一环,层层深入,使学生进一步巩固了新知,发展了空间观念。

板书:

平行与垂直的证明 篇4

——证明平行与垂直

编者：刘智娟审核：陈彩余 班级_________

学号_________

姓名_________第一部分 预习案

一、学习目标

1.理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用

二、知识回顾

1．直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．

(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ v1∥v

2(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使＝xv1＋yv2

(3)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l∥α或l⊂α⇔⊥.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系

v2＝0.(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·

(2)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α⇔∥

u2＝0.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·

三、基础训练

1．两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则l1与l2的位置关系是__________

→→→→→2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．

b＝(2,0,4)，c＝(－4，3．已知＝(－2，－3,1)，－6,2)，则下列结论正确的序号是________． ①∥c，b∥c;②∥b，⊥c； ③∥，⊥;④以上都不对．

→→4．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为____________．

5．若平面α、β的法向量分别为v1＝(2，－3,5)，v2＝(－3,1，－4)，则α、β的位置关系为____________．

第二部分探究案

探究一 利用空间向量证明平行问题

问题

1、如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．

求证：PB∥平面EFG.探究二利用空间向量证明垂直问题

问题

2、如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．

求证：AB1⊥平面A1BD.探究三 利用空间向量解决探索性问题

问题

3、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

问题

4、如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．

我的收获

教案垂直与平行 篇5

【教学课题】《垂直与平行》

【教案背景】

《垂直与平行》是人教版义务教育课程标准实验教科书小学数学四年级上册第四单元平行四边形和梯形的第一节课，教学内容在教材的64—65页。它是在学生认识了直线、线段、射线以及角、角的度量等知识的基础上学习的。学好“垂直”、“平行”等概念，不仅为学生以后学习习近平行四边形、梯形以及长方体、正方体等几何形体打下良好的基础，也是培养学生空间观念一个很好的载体。

【学生状况分析】

这个知识点既建立在学生已经学过的直线和角的知识的基础上，同时又要为进一步学好平行四边形和梯形等重要知识打下坚实的基础，在小学数学中的平面几何知识体系里具有承上启下的重要地位。但是学生之前没有学过直线的特点和“同一平面”的理解。这无疑又为学生理解这个知识点设下了障碍。

【教学目标】

1、知识目标:帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。

2、能力目标: 发展空间观念,及空间想象能力。结合生活实际找出平行和垂直的现象。

3、情感目标:培养参加数学活动的积极性,通过活动体验,建立自信心。

教学重点：正确理解“相交”，“互相平行”，“互相垂直”等概念。

教学难点：理解平行的特点。

【教学过程】

(一)活动一：认识直线。直线无限延伸。

1、创设情境，教学两端无限的延长。

激发兴趣,师问：同学们看谁来了？(演示课件：孙悟空)孙悟空有个宝贝叫“金箍棒”，“金箍棒”能千变万化，瞧“金箍棒”现在发生什么变化？生回答：变长了。

师问：它从哪边变长的？生：两边。

师问：如果孙悟空不停地说‘长’，“金箍棒”会长到什么位置？师问：你能用手比划出来吗？生：用手比划。师：你比得完吗？生：（体会）比不出来或比不完。

师：那么我们就说“金箍棒”可以向两端无限的延长。

(动画演示)

〖活动目的：让学生观察体验“两端无限延伸”的意思，提高学生学习数学的兴趣。〗

2、认识直线

师问：数学王国里也有这样的宝贝，（横向）看一条直线，（纵向）这也是一条直线，（斜着）这也是一条直线，直线两端可以怎样？

生答：两端无限延伸。

师评价：同学们说得非常好！

师问：你能判断出那些是直线吗？

〖活动目的：让学生带着问题观察体验直线的特点两端可以向两端无限延伸。为研究两条直线相交或不相交的位置关系做铺垫。〗

(二)活动二：认识同一平面。想象一张纸

师问：老师这有一张纸，我们把这同一张纸看作同一平面（板书：同一平面），想象一下，这个平面变大了，能想象出来吗？太好了！我们闭上眼睛一块来想象一下，准备好了吗？ 生：闭眼想象。

师问：这个平面变大了，又变大了，变得无限大，在这个无限大的平面上，任意画两条直线，会有哪几种不同的情况？

〖活动目的：让学生空间想象两条线在同一平面上的位置关系是怎样的？发展学生空间想象能力〗

(三)活动三：画一画、分一分。

（1）引导学生独立在纸画两条直线。给两条直线位置出现的情况进行分类。

师：想好了吗？睁开眼睛，每个同学手中都有这样的纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你想象的两条直线画下来。注意一张纸上只画一种情况。开始吧！（学生试画，老师在黑板标序号，教师巡视。）

师：画完了吗？把你画的举起来，大家互相看看，画的都一样吗？生：不一样。

师：让老师也看看。都不一样，哟画得多好呀！想贴到黑板上吗？生：想。

（2）收集学生各类的作品，展示各种情况。（让学生把自己画的图贴到黑板上）

①②③④师：瞧，同学们的想象力真丰富，在同一平面内，想象两条直线，竟然出现这没多的情况。真不简单。

（3）根据收集后的作品分组讨论，学生合作分类。老师巡视。

师：仔细看看，你们打算怎样研究两条直线的位置关系，能不能给它们分分类？为了使大家

叙述方便，咱们给它编上号。跟我一起来编吧。

师：你想怎样分？ 生1：长短分。

师：直线可以延长，短的可以延长，直线有没有长短呀？按长短分合不合适？

生2：交叉和不交叉。

师：用数学语言，我们可以说是相交和不相交。（板书：相交和不相交）同意用这个标准分

吗？

师：下面咱们就以小组为单位，讨论讨论，哪几号作品能够分成一类，个小组注意做好记录，把分类结果写在练习本上。

①学生合作分类。

〖活动目的：让学生感受到研究数学可以用分类的方法，分为“交叉和不交叉”用数学语言应该说“相交和不相交”。〗

②教师巡视，指导分类。

③☆展示学生讨论的结果。（强调明显相交、和不相交）

师：请1小组同学上讲台进行分类。

师：那个小组愿到前面分给大家看看。生：汇报。相交的①②，不相交③④⑤

师：给大家讲讲你们分的理由。生：说理由。

师：对于这组的分法，你有没有不同的想法。

生1：5号图是相交的。(看似不相交又相交到底属于哪一类。)

生2：5号图的直线是不相交的。〖学生出现思维碰撞〗

师：说说理由。生：我把直线延长了就相交了。

师：这个同学观点，认为5号作品也是相交的。你们认为呢？生：对。

师：为什么？谁能再说说？

师：大家说能再画长一些吧？为什么？画到这不是到边了吗？生：因为直线是无限长的。师：画到这还可以怎样？生：还可以延伸。

师：谁能在说说?也就是说这幅作品把相交的部分没画出来。那它相交了没有呀？

生：相交了。

〖活动目的：心理学研究表明，如果仅有学习的愿望和行动，但行动结果没有满足感，则难以产生兴趣。因此，让学生体验成功与快乐，获得成就感和满足感，就要大胆鼓励学生质疑和发问。通过质疑，让学生互相产生思维碰撞，通过学生的说理，让所有的孩子都明白像5号图是属于相交的，因为直线可以向两端无限延长。〗

师：那它应该放在哪一类。生：因该把它和相交的放一块。

师：谁还有调整的意见。生：3号图也是相交的。

师：说说理由。生：再延长一点就相交了。

师：谁上来画画试试。请学生延长。

师：这样它就相交了，所以也应该把它归到第相交的那一类。

师：(提升)同学们看，我们把这些作品分成两类。这一类是两条直线相交的。

师：那这一类相交了吗？生：（是、不一定）是不是这两条线画得太短了。

师：有什么办法证明吗？生1：用直尺量。生2：延长直线两端。

师：他说用直尺量量（请学生再解释再量一量）生：量一量，两边都是15毫米。

师：两边都是15毫米。画得再长些会不会相交？生：不会师：为什么？

师：偏一毫米，基本上开不出来，行不行？生：

师：如果偏一毫米，把直线延长再延长，还是会相交，也就是说相交的部分永远存在的。师：也就是说它们偏一点点也不行，两边要一样宽窄。像这样在同一平面内的两条直线画得再长再长也不会相交。（用课件演示：延长两条直线，发现直线永不相交）

师：（揭示概念）像在同一平面内永远也不相交的两条直线，在数学里叫什么吗？生：平行。板书：互相平行

师：谁能用自己的话说说？什么叫互相平行。生：距离不会变。

师：说明它们怎样呢？生：互相平行。

师：评价：说得不错。谁能再说说。生：两条直线永远也不相交。

师：就叫做什么？生：互相平行。

师：请同学们看屏幕，自己读一读吧。（课件：平行概念）

师：那么，这两条直线叫什么呀？生：平行线。

师：你们知道为什么要加上“互相”这个词吗？

生1：因为它是两条线。生2：一条直线就不叫互相。

师：一条直线就不行了，必须是两条或两条以上的，对不对呀。好。

师：刚才我们研究了两条直线不相交的情况，现在咱们来看相交的情况。

师：在两条直线相交的这几种情况里，它们都形成了角。

师：那出现那些角呢？生：直角，钝角，锐角。

师：那幅作品相交成直角呀。生：2号。评价：你研究问题真是严谨。师：你的意思是必须给量量，用眼睛看不行。这种研究态度真是一丝不苟。生：你上来量量吧。

师：他的方法只量一个其他3个都是直角。我们给直角标上直角符号。

师：如果有一点点斜，它是不是直角。生：不是。

师：看来只有2号作品两条直线相交成直角。

师：你们知道在同一平面两条直线相交成直角叫什么吗？生：垂直。

师：叫互相垂直

师：谁能用自己的话说说什么叫互相垂直。（评价：说得太好了）

师：请同学们看屏幕，自己读一读吧。（课件演示垂直概念）

师：继续看屏幕，这条直线就叫做这条直线的垂线。（两条）它们的交点叫垂足。有一个特别的名字叫什么呀？生：垂足

(四)活动四：练习。

1、在书64页主题图中找平行、垂直现象。

师:在咱们运动场藏着很多的平行、垂直现象，谁能找一找，说一说？

师:她指得对不对？师：双杠两根杆互相平行。有谁能找到互相垂直吗？生：说

师:还有谁想说，这么多同学都想说，这样吧！同桌两人说一说。

〖活动目的：学习了概念后，让学生用概念判断运动场上的平行、垂直现象。〗

2、①图形判断。下面那些平行和垂直现象?

师：机灵的孙悟空看到同学们学得这么认真，想来考考咱们，看看咱们是不是真正认识垂直与平行。第一个图谁愿意来？

〖活动目的：用图形判断加深学生对平行和垂直的理解〗

(五)活动五：拓展与延伸，发展空间观念

1、做一做1同学们想一想在生活中还有那些垂直和平行的现象？

演示课件：生活中的例子。让学生到讲台上指一指垂直和平行。

小结：只要你细心观察一定能找到这些现象。

〖活动目的：用图形判断加深学生对平行和垂直的理解〗

2、做一做（每人三根小棒）独立思考，同桌交流，全班汇报。（提升）

下面咱们一起来做个游戏，摆一摆

（1）把两根小棒都摆成和第三根小棒平行。看一看，这两根小棒互相平行吗？观察发现什么规律。

（2）把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直。看一看，这两根小棒有什么关系？观察发现什么规律。

(六)活动六：回顾整节课。今天你有什么收获？

我们今天只是初步认识在同一平面内两条直线的位置关系，即垂直与平行现象。在这两种现象中还蕴藏着非常多的知识，让我们在今后的学习中再去研究吧。

【教学反思】

1．在这节课中，我用孩子们非常喜爱的“孙悟空”的形象贯穿整个教学过程，使教学内容更加鲜明、生动、直观，刺激学生多种感官参与学习，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，从而使学生在充满儿童生活气息的教学氛围中，兴趣昂然地体验、探究有趣的数学。

2、我充分让学生体验了直线特点和同一平面的含义，为更好地帮助学生理解同一平面内的两条直线的位置关系，在引导学生对两条直线会出现的情况进行分类，从分类中理解相交与不相交的含义，然后抽象出平行的概念，又让学生理解“互相”一词的含义，在设计练习时，我注意了练习的层次性，不仅让孩子从图中找出平行与垂直的现象。

3、在课堂上，有些同学认为5号图的直线是相交的，有些同学则不这么认为。当时我立

刻感觉到这是一个引导学生质疑、探索、分析、发现的好机会。我首先肯定了学生能够大胆

说出自己观点的勇气，同时也提议让学生先相互讨论，然后再次发表自己的观点，最后使他们在讨论中达成共识。这一偶发环节不仅掀起了课堂教学中一个小小的高潮，也起到了意想不到的教学效果，使学生更加透彻的理解了“相交”的内涵。通过这次经历，让我感受到，学生大胆的质疑有时会引起他们强烈的好奇心和学习兴趣，使其处于一种“心求通而未得，口欲言而不能”的状态，这时老师若能够顺势点拨其求知的心弦，燃起其智慧的火花，便能激起其求知的欲望，使学生在学会分析问题、解决问题的同时，也让学习在不知不觉中变得轻松而有趣。

平行与垂直教案 篇6

【教学背景】

一、教学内容：

人教版四年级上册第四单元《平行四边形和梯形》里的《垂直于平行》

二、教材分析：

本节是本单元的起始课，是在学生学习了直线及角的知识的基础上来学习的，是认识平行四边形和梯形的基础。也是学生必须掌握的最基础的数学知识之一。本节的这些几何图形在日常生活中应用广泛，学生头脑中已经积累了许多表象；另一方面经过三年的数学学习，也具备了一定的知识基础，这些都是影响学生学习新知的最重要的因素。为此，教师必须从学生的实际出发，把握教学的起点和难点，根据学生的实际情况，选择相应的教学方法。

三、教学目标

1、知识和技能：

引导学生通过观察、讨论、感知生活中的垂直与平行的现象。

2、过程和方法：

帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。

3、情感、态度和价值观：

培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生具有合作探

究的学习意识。

重点：

正确理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”的概念，发展学生的空间想象能力。

难点：

相交现象的正确理解。

一、课前师生交流

二、复习

同学们我们在第三单元学习了直线、射线和线段，现在就让我们回想我们的老朋友直线，大家谁知道直线有什么特点？

生：直的、可以相两端无限延长、无限长、没有端点，师：对大家真聪明，首先直线都是直的，无限长，（动画演示）

师：大家想一想如果让你花出一条直线你能不能把这条直线完整的画出来？

生：不能。师：为什么？

生：因为直线是无限长的。

师：我们既然已经认识了直线的特点，大家能不能在闭上眼睛，大脑中想一想两条在线在同一个平面内会是什么样子呢？好，现在请大家利用自己的直尺和彩笔，在老师给你的白纸上任意的画两条直线,我们看看有多少种情况好不好？

生：好！（生画）

师：画好的同学请把你的作品高高的就起来，让大家看看，让老师们也看看自己的作品？同学们的想象力真丰富！画出了那么多种情况。

师：现在就让老师来收集几种，请大家仔细观察一下，两条直线都有什么位置关系？小组合作，进行分类（怎样分的？为什么这样分？）（平行选2到3张，相交选3张期中包括垂直、和延长后相交的情况各一张。）（板书“同一平面内的两条直线”）

生：（积极讨论，分类并记录）

在学生分类过程中，重点引导学生弄清楚看似两条不相交而实际相交的情况（利用直线的无限长再请学生动手画一画从而达成共识）

（借机讲述交点的概念）

（板书“相交、平行”）

三、讲述平行

这一组相交了没有？再长一点呢相交了没有？再长一点呢？（没有）无限长会不会呢？大家再观察一下左右两端的距离是不是一样？

平行线：像这样在同一平面内两条永远不相交的直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行

也可以这样写a//b //读作平行（PPT展示）（请生在练习本上练习书写平行的符号“//”）

师：火眼金睛

看一看下面的图形是不是平行？

四、讲述垂直

大家看看两条直线相交成的角，有那个教的度数是比较特殊的度数？你发现了什么？（如果学生没有反应，师提示我们学过的角有哪些特殊的角？生：90度）

你认为在这些相交的情况中哪种最特殊？（相交成90度的）

你们知道在同一平面内，两条直线相交成90度在数学上叫什么吗？（互相垂直）

也可以说直线a垂直于直线b 记作:a⊥b

(ppt演示)练习

师：同学们我们既然已经学习了平行与垂直，下面让我们共同看看学习和生活中有哪些地方用到了平行和垂直好不好？（ppt展示）（重点在于启发学生认识到平行与垂直在学习生活中的重要作用）

同学们你们在生活中还发现了哪些地方用到了平行与垂直？

生：积极回答（师及时给予表扬）课堂小结：

师：通过这节课大家学到了什么？

五、课后作业：

假如没有了平行和垂直，我们的生活会变得怎么样？ 以“没有平行和垂直的世界”为题，写一篇数学日记。

六、板书设计 ：

同 一平不相交

面

内 的 两

条 直 相交

线

成直角

平行

垂直

//

“垂直与平行”教学设计 篇7

教学过程:

一、创设情境,激发兴趣

播放《西游记》中“龙宫借宝”片段。

师:孙悟空有一件宝贝,是什么?

生:如意金箍棒。

师:金箍棒可真是件宝贝,可以变得越来越长,在咱们数学中也有一件宝贝,它也可以变得越来越长,是什么?

生:直线。

师:今天我们就来研究和直线有关的知识。

设计意图:从动画情境入手,激发学生的兴趣,自然地引入直线,不但激发学生学习兴趣,而且复习了直线的特征,为探究新知打下铺垫。

二、探究新知

1.认识生活中的相交与垂直。

师:前几天我在郊外看到几个小朋友在栽树,我把他们栽的树拍了下来,你们看!(课件出示图片———地面上有一棵栽斜了的小树)

师:看到这张照片,你们发现了什么?

生:这棵树栽歪了。

师:那你认为怎样栽,树才直呢?你能比画比画吗?

预设:学生有的用手势,有的用直尺,有的用笔,纷纷比画,表示出自己的想法。

师:(走到一个用直尺比画的同学前)你用直尺表示什么?

生:我用直尺表示栽直的树。

师:他栽直了吗?

生(齐):栽直了。

师:同学们真聪明!都能把你心中的想法比画出来,那同学们能用两条直线把你心中的想法画出来吗?

(生动手尝试,师巡视挑选出两名同学上台用实物投影展示。两名同学都画出了“⊥”这样的图形。)

师:你们俩谁来说一说自己的想法?

其中一名同学:我用竖着的直线表示栽直的树,横着的直线表示地面。

设计意图:此环节用简单的生活图片再现了生活情境,有效地调动了学生的生活经验,让学生在动脑思考,动手操作中从具体的生活情境中抽象出两条直线组成的数学图形,为后面的学习做好了充分的铺垫。

师:(课件出示图片形“⊥”)你们看,他们用简单的数学图形就清楚简洁地把自己的想法表示出来了,咦,我在这幅图中又看到了我们的老朋友——角,你看到了吗?

生(齐):看到了。

师:你看到了几个角?

生有的说两个,也有的说三个。

师用电子笔示意“⊥”图中右面的角,凭你们的经验,这个是什么角?

生:直角。

师:的确很像直角。那它到底是不是直角呢?我们该怎么办?

生1:用量角器量。

生2:用三角板比一比。

师:那我们就用三角板来比一比(课件演示)。

师:果然是直角,看来呀,在生活中我们用数学的眼光看,当它形成直角的时候,你们看(播放课件)这棵树就栽直了。

设计意图:在看似漫不经心的过程中,有效地突出了两条直线互相垂直的主要特征———两条直线相交成直角。

师:同学们,如果让你们用两条直线把这幅图也表示出来,行吗?

课件出示栽斜的树

师:你们画得都一样!谁来说一说你的想法?

其中一名同学边指边说:我用斜的直线表示没有栽直的树,用横的直线表示地面。

师:同学们,你们看,我们用简单的图形就表示出了栽树的两种情况!

课件展示两幅图:

师:同学们仔细观察一下,看看这两幅图,有什么相同和不同的地方。

生1:两幅图都是由两条直线组成的。

生2:这两组直线都碰头了。

师:都画了两条直线,而且这两条直线都碰头了,也就是交叉在一起了,这在数学里我们叫作“相交”,它们相交的这个点,我们叫作“交点”。(师课件同步展示“相交”、“交点”后板书“两条直线相交”)

设计意图:在有效激发起学生学习兴趣的基础上,充分调动学生的主观能动性,在学生动手操作、比较辨析的过程中,抓住有利时机,及时介绍了“相交”、“交点”等基本概念,教学活动简洁明了、富有实效。

师:刚才同学们说到了它们相同的地方。那它们有不同的地方吗?

生:它们相交后一个是直角,一个没有直角。

(师板书:成直角、不成直角)

师:像这样两条直线相交成直角,我们就说这两条直线互相垂直。

师:观察刚才所展示的两幅图,你认为哪一幅图是互相垂直的,为什么?

生:我认为第一幅图是互相垂直的,因为它们相交成直角。

师:同学们,在这条规定里有一个词“互相”是什么意思?(课件演示:将“互相”一词变色突出)你是怎么理解的?

生:“互相”就是“相互”的意思。

师:你能举例说说我们生活中“互相”的事例吗?

生1:我俩是好朋友,这时我们就说我和他是好朋友,或者说他是我的好朋友,我们不能说我是好朋友,因为这里是指我俩之间的一个关系,我们不能单独说某一个人。

生2:我帮助小明,小明帮助我,我们互相帮助。

生3:我是小红的同桌,小红是我的同桌,我们是同桌关系。

……

师:同学们真了不起,很快就理解了“互相”的含义。

师:如果我们用字母a表示其中一条直线,用字母b表示另一条直线,这时我们就说直线a和直线b互相垂直。

师:关于这两条直线我们还可以这样描述(课件展示):直线a是直线b的垂线;直线b是直线a的垂线。

师:谁能用刚才的话说一说?

生1:直线a是直线b的垂线。

生2:直线b是直线a的垂线。

师:同学们记忆力真强!那我说“直线a是垂线”对吗?

生(齐):不对。

师:那应该怎么说呢?

生:直线a是直线b的垂线。

师:对了,我们说的互相垂直,是指两条直线的位置关系,不能只说某一条直线是垂线。

师:这两条直线相交的点我们叫作“垂足”。为什么有这么特殊的名字呢?

课件出示图片(解放军立正站队),配合图片介绍:这是因为我们中国人自古以来就讲究做人要顶天立地,当一个人直立于地面的时候,人和地面就互相垂直。我们的脚又称为足,所以脚和地面的交点我们称为垂足。记住了吗?

生:记住了。

设计意图:在这个环节的学习活动中,巧妙地将“两条直线相交成直角,这两条直线互相垂直”这句话直接抛给学生。并灵活地引导学生思考比较,有效启发学生,紧紧抓住概念中的几个核心词进行教学。特别是对“垂足”的介绍,形象生动,不落俗套,给学生留下了深刻的印象。

2.认识平行。

师:同学们,两条直线除了有相交的情况,它们还有不相交的情况呢!大家闭上眼睛想象一下,想象出两条直线,这两条直线不能相交,大家能想象出来吗?

生:能!

师:那好,把你们想到的不相交的两条直线画在纸上。

生独立操作,教师巡视后挑选两名同学上台展示自己的作品。

师:同学们各有各的画法,大家都认为自己画的两条直线不会相交。有的同学是这样画的(课件展示图1),他认为自己画的不会相交,有的是这样画的(课件展示图2),他也认为自己画的不会相交。那你是赞成第一种、还是第二种?或者你两种都赞成?谁来说说自己的看法?

生1:我认为两种画法都不相交。

生2:我不同意,我认为只有第一种不相交,第二种会相交,因为延长以后,它们就相交了。

师:你真厉害,想到了直线的基本特点,我们来看一下,延长后相交了吗?(课件演示第二组图形两条直线延长后相交了)

生(齐):相交了!

师:经过我们研究发现,像这种两条直线的一部分看上去没有相交,但实际延长后,它们怎么样了?

生(齐):相交了!

师:看来这组直线不属于不相交的情况,我们来看一下另外一组。我们说它相不相交不能只看直线的某一部分,根据刚才的经验,可以把它延长后进行判断。(课件演示第一组图形两条直线延长后的画面)

师:相交了吗?

生:没有。

师:同学们,像这种延长后不相交的两条直线,我们就说这两条直线互相平行。(课件出示:像这种不相交的两条直线,叫作互相平行。)

师:同学们,互相平行里也有互相两个字,说明互相平行也是指两条直线,如果我们用字母c表示其中的一条直线,用字母d表示另一条直线,这时我们就说直线c和直线d互相平行。

师:关于这两条直线,我们还可以这样描述(课件展示):直线c是直线d的平行线;直线d是直线c的平行线。

师:(隐藏课件)谁能用刚才的话说一说?

生:直线c是直线d的平行线。

师:还可以怎么描述?

生(齐):直线d是直线c的平行线。

师:如果说“直线c是平行线”,对吗?

生(齐):不对。

师:那应该怎么说呢?

生:直线c是直线d的平行线。

师:对了,我们说的互相平行,也是指两条直线的位置关系,不能只说某一条直线是平行线。

设计意图:在学生掌握了两条直线相交和特殊相交———垂直的知识点后,巧妙引导,利用知识之间的迁移,充分发挥学生的想象能力,鼓励学生大胆探索,有效掌握了平行线的特点,并形成了平行线的概念———不相交的两条直线互相平行。

师:同学们,你们看,刚才我们画的这两组直线,为什么延长后有一组相交,有一组不相交呢?

生1:第二组的两条直线是斜的,所以它们延长后相交。(师提示学生观察两条直线两端的开口大小。)

生2:第一组的两条直线两端的开口一样,第二组的两条直线两端的开口不一样,一头大,一头小。

师:经过大家的分析,我们发现了数学里的一个秘密,平行线间的距离处处相等。

师:同学们,今天我们所研究的内容都是和什么有关?

生:直线。

师:都是和几条直线有关?

生:两条。

师:如果让你在纸上画直线,你觉得有没有难度?

生:没有。

师:那好,我们来完成一个活动,在同一张纸上,看看能不能画出两条既不相交、又不平行的直线。大家试一试,画一画。

(生先独立试画,然后同桌相互交流,师巡视后指名展示。)

师生交流后得出:在一张纸上画两条直线只有两种可能,一种是两条直线相交,另一种是两条直线不相交,不相交就是平行。

师:同学们,你们今天的表现很不错,大家的学习状态都很好,肯动脑、肯思考问题,尤其值得表扬的是你们今天还能用数学的眼光观察物体,能把一棵大树看成一条直线,能把地面也看成一条直线。

师:和同学们交流,我也收获不少,我也会用数学的眼光来观察周围的物体,找到了两条直线。(师在教室找了两条异面直线,并用电子笔示意。)

师:咦,我怎么发现这两条直线既不相交,又不平行呢?刚才你们不是说在一张纸上画不出既不相交又不平行的两条直线吗?我现在怎么找到两条既不相交又不平行的直线呢?这是怎么回事呢?

生1:一条是左右延伸的,一条是上下延伸的。

生2:这两条直线一条在前面,一条在右面。

生3:它们根本就没有在同一个平面上。

师:看来呀,我们说不相交的两条直线就互相平行,必须要有一个前提条件,这两条直线要在同一个平面内。(板书:同一个平面,课件同步补充)

设计意图:通过引导学生对比辨析,进一步加强对平行线的理解。并结合在现场物体上找的线,完善不相交的两条直线互相平行的必要前提———在同一个平面内。使教学活动整体上显得层层深入,丝丝相扣。

三、巩固练习

师:那你们究竟掌握得怎样呢,我想检验一下。

课件出示练习题:

1.判断。

(1)下面各组直线,哪些是互相垂直的?

(2)下面各组线中哪些是互相平行的?

2.让学生在题卡纸上的几组图片中找出垂直和平行的现象,并用彩笔画出来。

学生顺利完成练习后,师生逐题交流,反馈订正。

“垂直与平行”教学设计与反思 篇8

教材简析：“垂直与平行”这一教学内容是在学生认识直线与角的基础上安排的，也将是今后学生进一步认识长方形、正方形，学习平行四边形、三角形和梯形的基础。本节课教材的安排是通过主题图唤起学生生活经验，然后通过画同一平面内的两条直线，让学生根据其位置关系来进行分类，在分类中初步认识两条直线的位置关系并揭示概念。对发展学生的空间观念具有重要的作用。

学情分析：学生通过对直线与角的认识的学习，已经有了一定的空间想象能力，并且垂直与平行这些几何图形在我们的日常生活中应用广泛，学生对它们已经有了许多表象认识。但是，由于学生生活的局限性和空间观念及空间想象能力不够丰富，对垂直与平行中所研究的同一个平面内两条直线位置的相互关系，还没有建立表象，不能完全理解“同一平面”与“永不相交”的本质。

教法与学法探究：我在教学中主要设计了“画一画”和“摆小棒”两个操作性学习环节，让学生通过动手操作、动笔描绘、动眼观察、动脑思考、动口阐述5个层面的梯度性学习，系统深入地掌握知识，拉近知识与学生的距离。

教学目标：

1.引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。

2.帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步感知垂线和平行线。

3.培养学生的空间观念及空间想象能力，培养学生合作探究的学习意识。

教学重、难点：正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。

教学过程：

一、画线激趣

师：大家看这是什么？（直线。）直线有什么特点，你还记得吗？如果在这张长方形纸上画2条直线，可能是什么样的呢？请你用2根食指比一比。看来2条直线的位置还真不少，很值得我们研究。（板书两条直线。）

师：老师也想请同学们在纸上用黑色记号笔画2条直线，这两条直线要尽量画得长一些，你想怎么画呢？快把它们画出来吧。

二、放手分类

师：（请学生展示他们的作品。）请同学们观察1号作品，2号作品……哪些作品有共同的特点可以分为一类呢？请同学们把分类的结果写在学习单上（只写序号）。然后，再和小组的同学交流，你是根据什么进行分类的？（生汇报。）

师：在同学的分类中， 使他们产生了争议。（用彩粉笔圈出来。）

师：它到底是什么情况呢？想象一下，这是一个无限大的平面，两条直线也跟着不断延长。你猜，这两条直线会不会相交呢？我们来看一下。看似不相交的2条直线延长后实际上是相交的。有没有一种方法，不用延伸也能判断出这两条直线相交呢？（一端开口大，一端开口小。）

师：这样的 两条直线 ，无限延长后，会不会相交呢？是不是这样呢？

师：所以，这些作品我们可以按照相交和不相交分为两类。（板书：相交和不相交。）

三、观察特点，概括定义

师：观察相交这类，你发现了吗？有一种情况很特殊，请找出来。

生：相交成直角。

师：我们重点就研究这一种情况。（把垂直的图留下。）

师：在数学上，这两种直线的位置关系分别叫平行和垂直。你能试着观察它们的特点，来说一说什么是平行，什么是垂直吗？（学生尝试概括。）

师：同学们，我们来梳理一下。同一平面内2条直线有相交和不相交2种位置关系。相交又分为2种情况，一种是垂直，一种是不垂直。今天，我们要研究平行与垂直这两种位置关系。（板书课题。）

师：同学们，刚才我们用自己的话理解了“平行和垂直”。那课本上是怎么定义的呢？你还能读懂什么呢？请同学们自学课本第65页。重要的内容动笔画一画。养成不动笔墨不读书的好习惯。

四、动手、演示、理解

1.生汇报什么是互相平行，认识平行符号。

2.引导学生用两根小棒在桌面上摆出平行。

3.把其中一根小棒放在桌堂里（方向与桌面上的垂直。），此时2条直线能相交吗？那是平行吗？为什么不是平行？（因为它们不在同一个平面内。）

师：这两条直线在同一平面内吗？互相平行吗？老师把这张长方形纸对折一下，还平行吗？

师：是啊，2条不相交的直线，如果不在同一个平面内，可能会出现不平行的现象。因此，小学阶段我们只研究在同一平面内2条直线的位置关系。（板书：同一平面。）

4.生汇报互相垂直，认识垂直符号。

5.师：我们再来理解垂线和垂足。

五、规律探究

师：同学们，其实我们的身边有许多垂直和平行的现象，你能举几个例子吗？

师：咱们看看几何图形中有没有平行和垂直。

师：下面咱们一起来做一个摆小棒的游戏。谁愿意到黑板上来摆一摆？

（1）先摆出一根粉色的小棒。再摆两根绿色小棒与粉色小棒平行。

师：有没有和这位同学不同的摆法？虽然这两位同学的摆法不同，但是你发现其中相同的地方了吗？

（2）先摆出一根粉色的小棒，再摆2根绿色小棒与粉色小棒平行。

六、总结延伸

师： 我们通过想一想、画一画、分一分、猜一猜，以及自学等方法，研究了同一平面内的2条直线。那么，不在同一平面内的2条直线，又有什么关系呢？（出示立体图形。）面与面之间有没有平行与垂直的关系呢？让我们带着这两个问题继续研究思考。同学们，这节课的学习，你有什么收获呢？

反思：

在教学“垂直与平行”一课时，我本着以学生的发展为本的教育理念，竭力引导学生投入学习的全过程，在过程中经历知识形成。既充分关注学习知识的结果，更关注在学习过程中的思维发展，能力、意识培养。

一、放手分类，自主探索

垂直与平行在日常生活中运用普遍，学生脑子中已经累积了很多表象。教学时，我组织学生以分类为主线，通过小组汇报、班级争论、教师点拨等活动，帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角2种情况。通过分类、分层理解，加深学生掌握重点、突破难点，培养学生初步的问题研究意识。

二、亲身实践，培养学生的应用意识

培养学生应用意识的最有效办法是让学生有机会亲身实践。教学中，我们应该努力创设有价值的数学活动，布置有意义的实践作业，让学生在现实中寻求解决方案。本节课中，为了让学生了解在同一平面内两条直线的位置关系，我请每一个学生在A4纸上画了2条直线。我充分运用了学生画的这两条直线，既让学生对2条直线从“相交”和“不相交”进行了分类，还让每一个学生对自己画的两条直线的位置关系是“相交”还是“不相交”进行判断。在学生初步理解了“平行”和“垂直”之后，又让学生对自己所画的2条直线是“平行”还是“垂直”进行了判断。通过这一系列的活动，学生亲身经历，参与实践，培养了他们的空间观念的同时，也增强了应用意识。

三、重视学生学习的“主观能动性”

在整个教学活动中，我时时处处引导学生去主动探究新知。比如：从课的一开始，我就让学生想一想画条直线可能是什么样的，再用手指比一比。在分类中，我让学生通过观察，独立分类，找到分类的标准，自主探究出2条直线有2种关系“相交”和“不相交”。然后引导学生用自己的话概括“平行”和“垂直”，使学生对“平行”和“垂直”有了初步的认识。之后，又引导学生看书，进一步认识“平行”与“垂直”，采用了“以练代讲”的方法，使学生对重点词进行了理解。

在本课的教学中，让学生自主探究、合作交流，占据了一定的时间，因而后面练习时，练习内容不够充分，需要在进一步的练习课中加以补足。此外，评价语还过于单调，这也是我需要提高的地方。

（作者单位：哈尔滨市公园小学）

《直线平行与垂直的判定》说课稿 篇9

课题：§ 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修（二）第三章第一节第二部分内容

课时：1课时

下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。

一、背景分析：

1、学习任务分析：

直线与方程是平面解析几何初步的第一章，主要内容是用坐标法研究平面上最基本、最简单的几何图形——直线。学习本章，既能为进一步学习解析几何的圆、圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。

本节课是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系。核心内容是两条直线平行与垂直的判定。它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内容学习的重要基础。因此，我认为本节课的教学重点为：根据两条直线斜率判定两条直线平行与垂直。

用斜率判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本节乃至本章内容始终的一种思想方法，它是解析几何研究问题的基本思想，本质还是数形结合。因此体会数形结合的数学思想也是本节课的教学任务之一。

2、学情分析：

在初中数学中，学生已学习过两条直线平行与垂直的判定。对两条直线平行与垂直的几何判断方法并不陌生，并且具备了一些初步推理能力。但用两条直线的斜率判定两条直线平行与垂直，是用代数方法研究几何问题，学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯。按说要学好本节内容，学生还需具备三角函数的有关知识，但此前学生并没有这方面的知识储备。尤其是对诱导公式的认识是有一定困难的。因而要导出两条直线垂直的斜率条件，学生会感到困难。因此，我以为本节课的教学难点为：探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系。

二、教学目标设计：

《课程标准》指出本节课的学习目标是：能根据斜率判定两条直线平行或垂直。根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我把本节课的教学目标确定为：

1、能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

2、体验、经历用斜率研究两条直线的位置关系的过程与方法，通过两条直线斜率之间的.关系解释几何含义即初步体会数形结合思想。

3、感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用。

三、课堂结构设计：

本节课从总体上讲是一节原理及简单的应用教学，诱思探究教学理论认为高中的数学课堂应该是学生在自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动。结合本节课知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：

即先让学生回顾上节课学习的内容创设问题情景，通过学生自主探究，归纳和抽象得出两条直线平行与垂直的判定条件。然后通过例题和练习使学生巩固判定条件，接着通过拓展提升，使学生进一步加深对判定条件的理解，最后通过课堂小结提高学生的认识，形成知识体系。

四、教学媒体设计：

根据本节课的教学任务以及学生学习的需要，教学媒体的设计如下：

1、多媒体辅助教学：

制作高效实用的多媒体课件。其一，在探索两条直线垂直的判定条件时，利用几何画板展示探究的过程，让学生直观感知、操作确认自己的猜想是正确的,加深学生对判定条件的理解。其二，改变相关内容的呈现方式，节约课时，增加课堂容量。

2、设计科学合理的板书：为使学生对本节课所学习的内容有一个整体的认识，教学时将重要内容进行板书，如：

§3.1.2两条直线平行与垂直的判定

结论1： 结论2、例1、例2、变式训练1： 变式训练2：

五、教学过程设计：

下面我就课堂教学的各个环节的设计做简单的说明。

（一）创设情景，引入新课：

活动一：

1、什么叫倾斜角？它的范围是什么？

2、什么叫斜率？如何计算呢？

3、已知直线 经过A（1，3）、B（－1，－1），直线 经过C（2，2）、D（1，0）①计算直线 的斜率； ②在直角坐标系中画出直线。

给学生约30秒的时间思考问题1、2，请学生口述答案，老师强调注意的条件。通过解决问题3，学生发现k1= k2，并观察出 是平行的，学生很自然发现两条直线的斜率与位置有着某种联系，从而引出本节课的课题。

设计意图：一方面通过回顾，巩固上节课的教学内容，并为本节课做好知识方面的准备。另一方面也为引出本节课的课题。同时也是为了培养学生发现问题，提出问题的能力，激发学生运用旧知探求新知的欲望。也是为了体现由特殊到一般的认知规律。

（二）新知的探究与应用：

1、两条直线平行的判定：

说明：为了降低难度，设定两条直线不重合且有斜率存在。

（1）设置问题，归纳结论

设两条直线 与 的斜率分别为 与。

活动二：

1、当 时，与 满足怎样的关系？

给学生约30秒的时间思考、整理，请学生表述推导过程，教师板演。

归纳：。

2、反之，当 时，两条直线 与 有怎样的位置关系？

学生通过思考，很快得出直线，但要明确其中的原理势必受到三角函数基础知识的限制，教师可给予适当的讲解。

归纳：

结论：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

设计意图：（1）培养学生运用已有知识解决新问题的能力；（2）培养学生自主探究问题的习惯；（3）让学生体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程，更好的理解两直线平行的条件。

（2）应用举例：

例1、已知A（2，3），B（－4，0）P（－3，2），Q（－1，3），试判断直线AB与直线PQ的位置关系,并证明你的结论.给学生约1分钟的时间思考，然后老师进行简要的分析，最后由师生共同完成证明过程。

设计意图：直接应用新知解决数学问题，同时也为学生规范表达数学过程做出示范。体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

变式训练1：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（-7，0）、B（2，－3）、C（5，6）、D（-4，9），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。

由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导.在做完此题时，细心的学生会发现它可能还是一个正方形，如何判断呢？引出下一个探究的问题：斜率之间有何关系时两条直线垂直？

设计意图：（1）培养学生应用新知独立解决数学问题的能力。（2）为了发现问题，提出问题。也为下一环节做好铺垫。

2、两条直线垂直的判定：

说明：为了降低难度，设定两条直线的斜率是存在。

（1）设置问题，归纳结论

活动三：

1、当 时，它们的斜率k1与k2有何关系？

探究：(1)直线 且 的倾斜角为300，的倾斜角为1200，k1与k2的关系.(2)直线 且 的倾斜角为600，的倾斜角为1500，k1与k2的关系

由学生自主探究，得出。

猜想：任意两条直线垂直时，此时老师利用几何画板直观演示任意两条相互垂直时直线斜率之积为-1.，验证猜想的可靠性。

提出问题：我们能否证明上述结论呢？

该结论的证明过程涉及到三角函数的相关知识，学生无法完成。教师通过分析、讲解，完成证明过程。

归纳：

2、反之，当 时，直线 与 有怎样的位置关系？

学生思考后得出 与 是垂直的。由于结论的证明涉及三角函数的相关知识，完成证明很困难，老师利用几何画板直观演示，验证两条直线的斜率之积为-1，它们是相互垂直的即可。

归纳：

结论：如果两条直线有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即

设计意图：（1）为了更容易突破本节课的教学难点，更好的理解两直线垂直的条件。（2）为了使学生的认识符合从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。（3）充分渗透了数形结合的数学思想。

（2）应用举例：

例2：已知A（－6，0）、B（3，6）、P（0，3）、Q（6，－6），试判断直线AB与直线PQ的位置关系。

给学生约30秒的时间思考，然后老师进行简要的分析，最后由师生共同完成证明过程。接着与学生一同解决变式训练1提出的判断平行四边形ABCD是否是正方形，前后呼应，给学生留下一个完整的影响。

设计意图：直接应用新知解决数学问题，同时也为学生规范表达数学过程做出示范。体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

变式训练2： 判断下面两条直线的位置关系：

直线 经过两点A（3，1），B（－2，0）,直线 经过点P（1，－4），且斜率为－5，则 __。（学生思考，口答即可）。

变式训练3：已知A（5，－1）、B（1，1）、C（2，3）三点，试判断△ABC的形状。

由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导.设计意图：（1）培养学生应用新知独立解决数学问题的能力。(2)体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

（三）拓展提升：

1、若直线 的斜率不存在，则直线 的斜率为多少时？直线 和 ：

（1）平行；（2）垂直。

给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师在黑板上画出相应结论的图像。

归纳（一般情况）：

2.若直线 与 的斜率相等，则 与 一定平行吗？

给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师出示结果。

（此结论是利用斜率证明三点共线的）

变式训练3：

已知A（1，－1）、B（2，1）、C（0，－3），这三点是否在同一条直线上，为什么？

设计意图：对特殊情况做出补充：即直线的斜率不存在时，两条直线平行与垂直的判定方法。使得学生对平行与垂直的判定有更全面的认识。拓宽学生的知识面，使所学的知识系统化。

（四）课堂小结：

1、本节课我们学习了哪些新知识？新方法？

2、在应用这些新知识时应注意哪些问题？

3、在本节课的学习中运用了哪些数学思想？

学生发言,相互补充,教师点评,然后师生共同概括总结：

知识：

1.两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

2.如果两条直线有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即

方法：代数方法研究几何问题。

思想：数行结合思想。

设计意图：通过对所学内容进行小结，使学生既学习了知识又培养了能力，并对所学内容有一个更全面的认识。

（五）、布置作业：

1、课本p89习题3.1 a组 6、72、思考题：

已知三个点A（2，2），B（－5，1），C（3，－5），试求第四个点d的坐标，使这四个点构成平行四边形。

设计意图：（1）作业1是直接应用，模仿练习。

（2）作业2是供学有余力的学生选做。旨在培养学生创造性的能力。

六、教学评价设计：

评价方式的转变是课程改革的一大亮点。课标指出：相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行：

1、通过学生的自主探究、合作交流、以及与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。

2、在学生讨论、交流、合作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。

3、通过应用来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。

4、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

以上是我对本节课的一些说明，不妥之处，敬请各位老师批评指正。谢谢﹗

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