线线平行的证明方法

线线平行的证明方法（精选5篇）

线线平行的证明方法 篇1

线与线平行的证明

一。定义：同在一个平面内，不相交的两条直线平行。

二。利用几何图形：三角形中中位线、边成比例，平行四边形等

三。公理四，平行于同一条直线的两条直线。

四。线面平行的性质

五。面面平行的性质。

一例1.设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a//b.求证：a∥b∥c.二例2.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EABF∶FD，求证：EF//平面PBC．

答案：证明：连结AF并延长交

于．连结，BFMFPEBFPEMF，又由已知，∴． FDFAEAFDEAFA

由平面几何知识可得EF//PM，又EFPBC，PM平面PBC，∴EF//平面PBC

． ∵AD//BC，∴

E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求二。例3.如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，证：EF//平面BB1D1D．

答案：证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB，11∵OF平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1，2

2∴OF平行且等于BE，则OFEB为平行四边形，∴EF//BO．

∵EF平面BB1D1D，BO平面BB1D1D，∴EF//平面BB1D1D．

三、四第1题.已知a，m，b，且m//，求证：a//b． 答案：证明：

m



m//m//aa//b．

a同理m//b

第9题.如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由．

答案：解：如图，连接DB交AC于点O，取D1D的中点M，连接MA，MC，则截面MAC即为所求作的截面．

∵MO为△D1DB的中位线，∴D1B//MO．

∵D1B平面MAC，MO平面MAC，∴D1B//平面MAC，则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面．

第20题.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．

求证：MN//平面PAD．

答案：证明：如图，取CD的中点E，连接NE，ME ∵M，N分别是AB，PC的中点，∴NE//PD，ME//AD，可证明NE//平面PAD，ME//平面PAD． 又NEMEE，∴平面MNE//平面PAD，又MN平面MNE，∴MN//平面PAD．

第7题.如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：PD//平面MAC．

答案：证明：连接AC、BD交点为O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，∴PD//MO．

∵PD平面MAC，MO平面MAC，∴PD//

平面MAC．

线线平行的证明方法 篇2

一、利用定义证明

直线与平面平行的定义:直线与平面没有公共点.即只要证明线与面无公共点即可.此类问题通常利用反证法来证明.由于直线与平面的位置关系只有三种: (1) 线在面内, (2) 线面相交, (3) 线面平行, 排除了前两种情况就只有线面平行.

二、利用直线与平面平行的判定定理证明

根据判定定理, 要证明线面平行关键是找到两条平行线 (面外一条, 面内一条) , 而两条直线平行的证明方法主要依据有:

1.平行公理.

2.三角形中位线定理.

3.平行线分线段成比例或相似三角形对应边成比例.

4.平行四边形对边平行.

5.面面平行及线面垂直的性质等.

三、利用面面平行的性质

如果条件允许的情况下能得到两个平面平行, 那么根据面面平行的性质我们就能得到线与线平行.

四、空间向量法

一般首先建坐标系, 求出这个平面的法向量, 证明这个法向量与那条直线的方向向量垂直.

例如图, 在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中, ∠ABC=60°, PA=AC=a, PB=PD=, 点E在PD上且PE∶ED=2∶1, 在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.

解以A为坐标原点, 直线AD, AP分别为y轴, z轴, 过A点垂直平面PAD的直线为x轴, 建立空间直角坐标系 (如图) , 由题设条件, 相关各点的坐标分别为A (0, 0, 0) ,

设平面AEC的法向量为n= (x, y, z) , 则由题意可知,

设点F是棱PC上的点,

以上是证明直线与平面平行的几种方法, 前几种方法主要是线线与线面的相互转化等问题, 而最后一种向量的方法较其他方法应用的较少, 但在能建立空间直角坐标系的情况下, 用向量证明是一种行之有效的好方法.

摘要：高中立体几何教学属数学教学中的重点, 其中直线与平面的关系是高中立体几何的基础, 本文就直线与平面的平行关系进行如下叙述.

证明平行四边形方法 篇3

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形(两组对边平行判定);

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。

平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单(非自相交)四边形。平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。

线线平行的证明方法 篇4

一、选择题

1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确

2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35153．已知a＝1，－，b＝－3，λ，－满足a∥b，则λ等于()． 222

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()．

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是()

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()

A．(1，－1,1)3B.1，3，2



C.1，－3，2

二、填空题



D.－1，3，－

2

8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则

l1与l2的位置关系是_______．

9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．

三、解答题

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．

→

→

→

→

→

10．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：

MN∥平面A1BD.证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1

则M0，1，N，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，22→

1

1于是MN＝，0，2

2设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． x＋z＝0，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得

x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →

11

又MN·n＝，0，·(1，－1，－1)＝0，22→

∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

(2)若点G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面

BCC1B1.→→

证明(1)建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．(2)如图，设M(0,0，z)，→

→→

2

则GM＝0，－，z，而BF＝(0,3,2)，3

→→

由题设得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 22

，0、(0,0,1)．

22→22∴NE＝－，－1.22

2

2又点A、M的坐标分别是2，2，0)、，1

22



→

22∴AM＝－，－1.22

→→

∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22

(2)由(1)知AM＝－，－1，22

→

∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→

线线平行的证明方法 篇5

例1 (2015·常州) 如图1, 在荀ABCD中, ∠BCD=120°, 分别延长DC、BC到点E, F, 使得△BCE和△CDF都是正三角形.

(1) 求证:AE=AF;

(2) 求∠EAF的度数.

【思路讲解】

(1) 由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°, ∠ABC=∠ADC, AB=CD, BC=AD, 由等边三角形的性质得出BE=BC, DF=CD, ∠EBC=∠CDF=60°, 从而证出∠ABE=∠FDA, AB=DF, BE=AD, 根据SAS证明△ABE≌△FDA, 得出对应边相等即可.

(2) 由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD, 求出∠AEB+∠BAE=60°, 得出∠FAD+∠BAE=60°, 即可得出∠EAF的度数.

【规范解答】 (1) 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠BAD=∠BCD=120°, ∠ABC=∠ADC, AB=CD, BC=AD.

∵△BCE和△CDF都是正三角形,

∴BE=BC, DF=CD, ∠EBC=∠CDF=60°.

∴∠ABE=∠FDA, AB=DF, BE=AD.

在△ABE和△FDA中,

∴△ABE≌△FDA (SAS) ,

∴AE=AF.

(2) ∵△ABE≌△FDA,

∴∠AEB=∠FAD.

∵∠ABE=60°+60°=120°,

∴∠AEB+∠BAE=60°,

∴∠FAD+∠BAE=60°,

∴∠EAF=120°-60°=60°.

【反思回顾】这道几何考题主要考查对平行四边形的边角关系 (对边相等、对角相等、邻角互补等性质) 、作图语句的阅读理解, 并在此基础上寻找和证明全等三角形 (△ABE≌△FDA) .由于上述考点都是基础题级别, 所以解答时不能随意跳步骤, 要严谨规范, 做到会而不错.

例2 (2015·南通) 如图2, 在中, 点E, F分别在AB, DC上, 且ED⊥DB, FB⊥BD.

(1) 求证:△AED≌△CFB;

(2) 若∠A=30°, ∠DEB=45°, 求证:DA=DF.

【思路讲解】

(1) 由四边形ABCD为平行四边形, 利用平行四边形的性质得到对边平行且相等, 对角相等, 再由垂直的定义得到直角相等, 利用等式的性质得到角相等, 利用ASA即可得证.

(2) 由特殊角45°的启发, 添加辅助线“如图3, 过点D作DH⊥AB, 垂足为H”, 一方面, 在Rt△ADH中, 利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH, 在Rt△DEB中, 利用等腰直角三角形的性质得到EB=2DH, 从而得到DA=EB.另一方面, 由△AED≌△CFB得到AE=CF, 由四边形ABCD是平行四边形得到AB=DC, 从而证得EB=DF, 再等量代换可证.

【规范解答】

证明: (1) ∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=CB, ∠A=∠C, AD∥CB,

∴∠ADB=∠CBD.

∵ED⊥DB, FB⊥BD,

∴∠EDB=∠FBD=90°,

∴∠ADE=∠CBF.

在△AED和△CFB中,

∴△AED≌△CFB (ASA) .

(2) 如图3, 过点D作DH⊥AB, 垂足为H, 在Rt△ADH中, ∠A=30°, ∴DA=2DH.

在Rt△DEB中, ∠DEB=45°,

∴EB=2DH.∴DA=EB.

∵△AED≌△CFB, ∴AE=CF.

∵AB=DC, ∴EB=DF.

∴DA=DF.