线线平行的证明方法(精选5篇)
线线平行的证明方法 篇1
线与线平行的证明
一。定义:同在一个平面内,不相交的两条直线平行。
二。利用几何图形:三角形中中位线、边成比例,平行四边形等
三。公理四,平行于同一条直线的两条直线。
四。线面平行的性质
五。面面平行的性质。
一例1.设平面α、β、γ,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,且a//b.求证:a∥b∥c.二例2.如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点且PE∶EABF∶FD,求证:EF//平面PBC.
答案:证明:连结AF并延长交
于.连结,BFMFPEBFPEMF,又由已知,∴. FDFAEAFDEAFA
由平面几何知识可得EF//PM,又EFPBC,PM平面PBC,∴EF//平面PBC
. ∵AD//BC,∴
E,F分别是棱BC,C1D1的中点,求二。例3.如图,在正方体ABCDA1BC11D1中,证:EF//平面BB1D1D.
答案:证明:如图,取D1B1的中点O,连接OF,OB,11∵OF平行且等于B1C1,BE平行且等于B1C1,2
2∴OF平行且等于BE,则OFEB为平行四边形,∴EF//BO.
∵EF平面BB1D1D,BO平面BB1D1D,∴EF//平面BB1D1D.
三、四第1题.已知a,m,b,且m//,求证:a//b. 答案:证明:
m
m//m//aa//b.
a同理m//b
第9题.如图,在正方体ABCDA1BC11D1中,试作出过AC且与直线D1B平行的截面,并说明理由.
答案:解:如图,连接DB交AC于点O,取D1D的中点M,连接MA,MC,则截面MAC即为所求作的截面.
∵MO为△D1DB的中位线,∴D1B//MO.
∵D1B平面MAC,MO平面MAC,∴D1B//平面MAC,则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面.
第20题.如图,在四棱锥PABCD中,ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点.
求证:MN//平面PAD.
答案:证明:如图,取CD的中点E,连接NE,ME ∵M,N分别是AB,PC的中点,∴NE//PD,ME//AD,可证明NE//平面PAD,ME//平面PAD. 又NEMEE,∴平面MNE//平面PAD,又MN平面MNE,∴MN//平面PAD.
第7题.如图,已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点,求证:PD//平面MAC.
答案:证明:连接AC、BD交点为O,连接MO,则MO为△BDP的中位线,∴PD//MO.
∵PD平面MAC,MO平面MAC,∴PD//
平面MAC.
线线平行的证明方法 篇2
一、利用定义证明
直线与平面平行的定义:直线与平面没有公共点.即只要证明线与面无公共点即可.此类问题通常利用反证法来证明.由于直线与平面的位置关系只有三种: (1) 线在面内, (2) 线面相交, (3) 线面平行, 排除了前两种情况就只有线面平行.
二、利用直线与平面平行的判定定理证明
根据判定定理, 要证明线面平行关键是找到两条平行线 (面外一条, 面内一条) , 而两条直线平行的证明方法主要依据有:
1.平行公理.
2.三角形中位线定理.
3.平行线分线段成比例或相似三角形对应边成比例.
4.平行四边形对边平行.
5.面面平行及线面垂直的性质等.
三、利用面面平行的性质
如果条件允许的情况下能得到两个平面平行, 那么根据面面平行的性质我们就能得到线与线平行.
四、空间向量法
一般首先建坐标系, 求出这个平面的法向量, 证明这个法向量与那条直线的方向向量垂直.
例如图, 在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中, ∠ABC=60°, PA=AC=a, PB=PD=, 点E在PD上且PE∶ED=2∶1, 在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.
解以A为坐标原点, 直线AD, AP分别为y轴, z轴, 过A点垂直平面PAD的直线为x轴, 建立空间直角坐标系 (如图) , 由题设条件, 相关各点的坐标分别为A (0, 0, 0) ,
设平面AEC的法向量为n= (x, y, z) , 则由题意可知,
设点F是棱PC上的点,
以上是证明直线与平面平行的几种方法, 前几种方法主要是线线与线面的相互转化等问题, 而最后一种向量的方法较其他方法应用的较少, 但在能建立空间直角坐标系的情况下, 用向量证明是一种行之有效的好方法.
摘要:高中立体几何教学属数学教学中的重点, 其中直线与平面的关系是高中立体几何的基础, 本文就直线与平面的平行关系进行如下叙述.
证明平行四边形方法 篇3
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形(两组对边平行判定);
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
补充:条件3仅在平面四边形时成立,如果不是平面四边形,即使是两组对边分别相等的四边形,也不是平行四边形。
平行四边形,是在同一个二维平面内,由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。注:在用字母表示四边形时,一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。
在欧几里德几何中,平行四边形是具有两对平行边的简单(非自相交)四边形。平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度,并且平行四边形的相反的角度是相等的。
线线平行的证明方法 篇4
一、选择题
1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则().
A.l1∥l2B.l1⊥l
2C.l1与l2相交但不垂直D.以上均不正确
2.直线l1,l2相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()
A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0)
B.s1=(0,1,-1),s2=(2,0,0)
C.s1=(1,1,1),s2=(2,2,-2)
D.s1=(1,-1,1),s2=(-2,2,-2)
35153.已知a=1,-,b=-3,λ,-满足a∥b,则λ等于(). 222
2992A.B.C.-D.- 322
34.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是().
A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
5.若平面α,β平行,则下面可以是这两个平面的法向量的是()
A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)
B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)
D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)
6.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于().
62636065A.B.C.D.7777
7.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是()
A.(1,-1,1)3B.1,3,2
C.1,-3,2
二、填空题
D.-1,3,-
2
8.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则
l1与l2的位置关系是_______.
9.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量是s=________.→
=0的_______.
→
12.已知→AB=(1,5,-2),→BC=(3,1,z),若→AB⊥→BC,→BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为________.
三、解答题
13.已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:
→
11.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是________.
→
→
→
→
→
10.已知点A,B,C∈平面α,点P∉α,则AP·AB=0,且AP·AC=0是AP·BC
a,b,c.14.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点.求证:
MN∥平面A1BD.证明 法一 如图所示,以D为原点,DA、DC、DD1所在直
线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,1
则M0,1,N,1,1,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),22→
1
1于是MN=,0,2
2设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z). x+z=0,则n·DA1=0,且n·DB=0,得
x+y=0.→
→
取x=1,得y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1). →
11
又MN·n=,0,·(1,-1,-1)=0,22→
∴MN⊥n,又MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.15.如图,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=
1.(1)求证:E,B,F,D1四点共面;
(2)若点G在BC上,BG=M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥面
BCC1B1.→→
证明(1)建立如图所示的坐标系,则BE=(3,0,1),BF=(0,3,2),BD1=(3,3,3).
→→
→→→→
所以BD1=BE+BF,故BD1、BE、BF共面. 又它们有公共点B,所以E、B、F、D1四点共面.(2)如图,设M(0,0,z),→
→→
2
则GM=0,-,z,而BF=(0,3,2),3
→→
由题设得GM·BF=-×3+z·2=0,得z=1.→
因为M(0,0,1),E(3,0,1),所以ME=(3,0,0). →
→
又BB1=(0,0,3),BC=(0,3,0),→→→→
所以ME·BB1=0,ME·BC=0,从而ME⊥BB1,ME⊥BC.又BB1∩BC=B,故ME⊥平面BCC1B1.16.如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.
求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE.则点N、E的坐标分别为 22
,0、(0,0,1).
22→22∴NE=-,-1.22
2
2又点A、M的坐标分别是2,2,0)、,1
22
→
22∴AM=-,-1.22
→→
∴NE=AM且NE与AM不共线.∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,∴AM∥平面BDE.22
(2)由(1)知AM=-,-1,22
→
∵D2,0,0),F(2,2,1),∴DF=(0,2,1)→→
线线平行的证明方法 篇5
例1 (2015·常州) 如图1, 在荀ABCD中, ∠BCD=120°, 分别延长DC、BC到点E, F, 使得△BCE和△CDF都是正三角形.
(1) 求证:AE=AF;
(2) 求∠EAF的度数.
【思路讲解】
(1) 由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°, ∠ABC=∠ADC, AB=CD, BC=AD, 由等边三角形的性质得出BE=BC, DF=CD, ∠EBC=∠CDF=60°, 从而证出∠ABE=∠FDA, AB=DF, BE=AD, 根据SAS证明△ABE≌△FDA, 得出对应边相等即可.
(2) 由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD, 求出∠AEB+∠BAE=60°, 得出∠FAD+∠BAE=60°, 即可得出∠EAF的度数.
【规范解答】 (1) 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD=120°, ∠ABC=∠ADC, AB=CD, BC=AD.
∵△BCE和△CDF都是正三角形,
∴BE=BC, DF=CD, ∠EBC=∠CDF=60°.
∴∠ABE=∠FDA, AB=DF, BE=AD.
在△ABE和△FDA中,
∴△ABE≌△FDA (SAS) ,
∴AE=AF.
(2) ∵△ABE≌△FDA,
∴∠AEB=∠FAD.
∵∠ABE=60°+60°=120°,
∴∠AEB+∠BAE=60°,
∴∠FAD+∠BAE=60°,
∴∠EAF=120°-60°=60°.
【反思回顾】这道几何考题主要考查对平行四边形的边角关系 (对边相等、对角相等、邻角互补等性质) 、作图语句的阅读理解, 并在此基础上寻找和证明全等三角形 (△ABE≌△FDA) .由于上述考点都是基础题级别, 所以解答时不能随意跳步骤, 要严谨规范, 做到会而不错.
例2 (2015·南通) 如图2, 在中, 点E, F分别在AB, DC上, 且ED⊥DB, FB⊥BD.
(1) 求证:△AED≌△CFB;
(2) 若∠A=30°, ∠DEB=45°, 求证:DA=DF.
【思路讲解】
(1) 由四边形ABCD为平行四边形, 利用平行四边形的性质得到对边平行且相等, 对角相等, 再由垂直的定义得到直角相等, 利用等式的性质得到角相等, 利用ASA即可得证.
(2) 由特殊角45°的启发, 添加辅助线“如图3, 过点D作DH⊥AB, 垂足为H”, 一方面, 在Rt△ADH中, 利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH, 在Rt△DEB中, 利用等腰直角三角形的性质得到EB=2DH, 从而得到DA=EB.另一方面, 由△AED≌△CFB得到AE=CF, 由四边形ABCD是平行四边形得到AB=DC, 从而证得EB=DF, 再等量代换可证.
【规范解答】
证明: (1) ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB, ∠A=∠C, AD∥CB,
∴∠ADB=∠CBD.
∵ED⊥DB, FB⊥BD,
∴∠EDB=∠FBD=90°,
∴∠ADE=∠CBF.
在△AED和△CFB中,
∴△AED≌△CFB (ASA) .
(2) 如图3, 过点D作DH⊥AB, 垂足为H, 在Rt△ADH中, ∠A=30°, ∴DA=2DH.
在Rt△DEB中, ∠DEB=45°,
∴EB=2DH.∴DA=EB.
∵△AED≌△CFB, ∴AE=CF.
∵AB=DC, ∴EB=DF.
∴DA=DF.
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