平面解析

平面解析（精选12篇）

平面解析 篇1

由于向量有代数与几何形式的双重身份，因此，平面向量与解析几何的交汇问题就自然地联系在一起，平面向量与解析几何的交汇备受新课程高考命题的青睐，其涉及的问题是以解析几何中的坐标为背景的一种，包括向量描述求曲线方程、求参数的取值（范围）、探究圆锥曲线的性质等方面，而解决的关键仍是以坐标法为主，利用向量数量积的运算及消元法等知识、方法进行转化处理。

例1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A,B两点，则cos∠AFB=

审题视点：首先联立直线与抛物线方程，求得交点A、B的坐标，再由向量的数量积公式求解。

例2.已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一条直径，求P∠E·P∠F的最值。

审题视点：第(1)问直接设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解。

解：(1)设P(x,y)，则Q(8,y)

方法总结：平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法———坐标法。

例3.已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A,B两点，点C的坐标是(1,0)。

审题视点：本题可以采用设而不求的方法，设出A(x1,y1),B(x2,y2)，对于第（1）问，先由直线与双曲线关系确定两点坐标之间的关系，再确定C∠A·C∠B的解析式，进而证明为常数即可，但不要漏掉AB与x轴垂直的情况；对于第（2）问，先设动点M的坐标，再结合条件建立有关动点M的方程即可。

解：由条件知F(2,0)，设A(x1,y1),B(x2,y2)

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k(x-2)(k≠±1)

代入x2-y2=2，有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0。

当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M(2,0)，也满足上述方程。

所以点M的轨迹方程是x2-y2=4。

点评：本题是平面向量与解析几何交汇的综合问题，涉及垂直、共线、轨迹等相关内容，解决难点的方法在于如何借助条件把几何问题坐标化、数量化，从而推理转化为运算。

平面解析 篇2

平面解析几何基本理论

坐标

在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。这些常写为有序对(x,y)。这种系统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组呈现(x,y,z)。坐标系也以其它形式出现。在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系，其中每个点都以从原点出发的半径r和角度θ表示。在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系。

曲线方程

在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集。例如，方程y=x在平面上对应的是所有x-坐标等于y-坐标的解集。这些点汇集成为一条直线，y=x被称为这道方程的直线。总而言之，线性方程中x和y定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更复杂的方程则阐述更复杂的形象。通常，一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此：方程x=x对应整个平面，方程x2+y2=0只对应(0,0)一点。在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线常常代表两个曲面的交集，或一条参数方程。方程x2+y2=r代表了是半径为r且圆心在(0,0)上的所性病

距离和角度

在解析几何当中，距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如，使用平面笛卡儿坐标系时，两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离d(又写作|AB|被定义为

上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地，直线与水平线所成的角可以定义为

其中m是线的斜率。

变化

变化可以使母方程变为新方程，但保持原有的特性。

交集

主题问题编辑解析几何中的重要问题：

向量空间

平面的定义

距离问题

点积求两个向量的角度

外积求一向量垂直于两个已知向量(以及它们的空间体积)

平面解析几何初步综合检测

一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.直线3ax-y-1=0与直线(a-23)x+y+1=0垂直，则a的值是

A.-1或13 B.1或13

C.-13或-1 D.-13或1

解析：选D.由3a(a-23)+(-1)1=0，得a=-13或a=1.

2.直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y+a=0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是图中的()

解析：选C.直线l1：ax-y+b=0，斜率为a，在y轴上的截距为b，

设k1=a，m1=b.直线l2：bx-y+a=0，斜率为b，在y轴上的截距为a，

设k2=b，m2=a.

由A知：因为l1∥l2，k1=k20，m10，即a=b0，b0，矛盾.

由B知：k1k2，m10，即ab，b0，矛盾.

由C知：k10，m20，即a0，可以成立.

由D知：k10，m2m1，即a0，ab，矛盾.

3.已知点A(-1,1)和圆C：(x-5)2+(y-7)2=4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()

A.62-2 B.8

C.46 D.10

解析：选B.点A关于x轴对称点A(-1，-1)，A与圆心(5,7)的距离为5+12+7+12=10.所求最短路程为10-2=8.

4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是()

A.相离 B.相切

C.相交 D.内含

解析：选D.圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距02-1=1，所以两圆内含.

5.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a的值等于()

A.2 B.2-1

C.2-2 D.2+1

解析：选B.圆心(a,2)到直线l：x-y+3=0的距离d=|a-2+3|2=|a+1|2，依题意|a+1|22+2322=4，解得a=2-1.

6.与直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线是()

A.3x-2y-6=0

B.2x+3y+7=0

C.3x-2y-12=0

D.2x+3y+8=0

解析：选D.∵所求直线平行于直线2x+3y-6=0，

设所求直线方程为2x+3y+c=0，

由|2-3+c|22+32=|2-3-6|22+32，

c=8，或c=-6(舍去)，

所求直线方程为2x+3y+8=0.

7.若直线y-2=k(x-1)与圆x2+y2=1相切，则切线方程为()

A.y-2=34(1-x)

B.y-2=34(x-1)

C.x=1或y-2=34(1-x)

D.x=1或y-2=34(x-1)

解析：选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分.

8.圆x2+y2-2x=3与直线y=ax+1的公共点有()

A.0个 B.1个

C.2个 D.随a值变化而变化

解析：选C.直线y=ax+1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部.

9.过P(5,4)作圆C：x2+y2-2x-2y-3=0的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是()

A.5 B.10

C.15 D.20

解析：选B.∵圆C的圆心为(1,1)，半径为5.

|PC|=5-12+4-12=5，

|PA|=|PB|=52-52=25，

S=122552=10.

10.若直线mx+2ny-4=0(m、nR，nm)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长，则mn的取值范围是()

A.(0,1) B.(0，-1)

C.(-，1) D.(-，-1)

解析：选C.圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9，直线mx+2ny-4=0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m+2n-4=0，即m+n=2，mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+11，当m=1时等号成立，此时n=1，与“mn”矛盾，所以mn<1.

11.已知直线l：y=x+m与曲线y=1-x2有两个公共点，则实数m的取值范围是()

A.(-2,2) B.(-1,1)

C.[1，2) D.(-2，2)

解析：选C. 曲线y=1-x2表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点(-1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点.

当直线l过点(-1,0)时，m=1;

当直线l为圆的上切线时，m=2(注：m=-2，直线l为下切线).

12.过点P(-2,4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为()

A.4 B.2

C.85 D.125

解析：选A.∵点P在圆上，

切线l的斜率k=-1kOP=-11-42+2=43.

直线l的方程为y-4=43(x+2)，

即4x-3y+20=0.

又直线m与l平行，

直线m的方程为4x-3y=0.

故两平行直线的距离为d=|0-20|42+-32=4.

二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)

13.过点A(1，-1)，B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是________.

解析：易求得AB的中点为(0,0)，斜率为-1，从而其垂直平分线为直线y=x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x+y-2=0联立得到圆心O(1,1)，半径r=|OA|=2.

答案：(x-1)2+(y-1)2=4

14.过点P(-2,0)作直线l交圆x2+y2=1于A、B两点，则|PA||PB|=________.

解析：过P作圆的切线PC，切点为C，在Rt△POC中，易求|PC|=3，由切割线定理，|PA||PB|=|PC|2=3.

答案：3

15.若垂直于直线2x+y=0，且与圆x2+y2=5相切的切线方程为ax+2y+c=0，则ac的值为________.

解析：已知直线斜率k1=-2，直线ax+2y+c=0的斜率为-a2.∵两直线垂直，(-2)(-a2)=-1，得a=-1.圆心到切线的距离为5，即|c|5=5，c=5，故ac=5.

答案：5

16.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是__________.

解析：将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程，

得(x-1)2+(y+2)2=1，圆心为(1，-2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d=|31+4-2+m|32+42=|m-5|5>1，

m<0或m>10.

答案：(-，0)(10，+)

三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0，x+y=0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程.

解：AC边上的高线2x-3y+1=0，

所以kAC=-32.

所以AC的方程为y-2=-32(x-1)，

即3x+2y-7=0，

同理可求直线AB的方程为x-y+1=0.

下面求直线BC的方程，

由3x+2y-7=0，x+y=0，得顶点C(7，-7)，

由x-y+1=0，2x-3y+1=0，得顶点B(-2，-1).

所以kBC=-23，直线BC：y+1=-23(x+2)，

即2x+3y+7=0.

18.一束光线l自A(-3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.

(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程;

(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围.

解：圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1.

(1)圆心C关于x轴的对称点为C(2，-2)，过点A，C的直线的方程x+y=0即为光线l所在直线的方程.

(2)A关于x轴的对称点为A(-3，-3)，

设过点A的直线为y+3=k(x+3).

当该直线与圆C相切时，有|2k-2+3k-3|1+k2=1，解得k=43或k=34，

所以过点A的圆C的两条切线分别为y+3=43(x+3)，y+3=34(x+3).

令y=0，得x1=-34，x2=1，

所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[-34，1].

19.已知圆x2+y2-2x-4y+m=0.

(1)此方程表示圆，求m的取值范围;

(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值;

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

解：(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0，可化为

(x-1)2+(y-2)2=5-m，

∵此方程表示圆，

5-m>0，即m<5.

(2)x2+y2-2x-4y+m=0，x+2y-4=0，

消去x得(4-2y)2+y2-2(4-2y)-4y+m=0，

化简得5y2-16y+m+8=0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

y1+y2=165， ①y1y2=m+85. ②

由OMON得y1y2+x1x2=0

即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0，

16-8(y1+y2)+5y1y2=0.

将①②两式代入上式得

16-8165+5m+85=0，

解之得m=85.

(3)由m=85，代入5y2-16y+m+8=0，

化简整理得25y2-80y+48=0，解得y1=125，y2=45.

x1=4-2y1=-45，x2=4-2y2=125.

M-45，125，N125，45，

MN的中点C的坐标为45，85.

又|MN|= 125+452+45-1252=855，

所求圆的半径为455.

所求圆的方程为x-452+y-852=165.

20. 已知圆O：x2+y2=1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|=|PA|成立，如图.

(1)求a、b间关系;

(2)求|PQ|的最小值;

(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.

解：(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，

又|PQ|=|PA|，

所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2

=1+|PA|2，

所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2，

故2a+b-3=0.

(2)由(1)知，P在直线l：2x+y-3=0上，

所以|PQ|min=|PA|min，为A到直线l的距离，

所以|PQ|min=|22+1-3|22+12=255.

(或由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8，得|PQ|min=255.)

(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l与l的交点P0，所以r=322+12-1=355-1，

又l：x-2y=0，

联立l：2x+y-3=0得P0(65，35).

所以所求圆的方程为(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2.

21.有一圆与直线l：4x-3y+6=0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程.

解：法一：由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+(4x-3y+6)=0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得=-1，所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.

法二：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，

则圆心为C(a，b)，由|CA|=|CB|，CAl，得

3-a2+6-b2=r2，5-a2+2-b2=r2，b-6a-343=-1，解得a=5，b=92，r2=254.所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.

法三：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由CAl，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得

32+62+3D+6E+F=0，52+22+5D+2E+F=0，-E2-6-D2-343=-1，解得D=-10，E=-9，F=39.

所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.

法四：设圆心为C，则CAl，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y-6=-34(x-3)，

即3x+4y-33=0.

又因为kAB=6-23-5=-2，

所以kBP=12，所以直线BP的方程为x-2y-1=0.

解方程组3x+4y-33=0，x-2y-1=0，得x=7，y=3.所以P(7,3).

所以圆心为AP的中点(5，92)，半径为|AC|=52.

所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.

22.如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2：(x-4)2+(y-5)2=4.

(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程;

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.

解：(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为23，所以d=22-32=1.

由点到直线的距离公式得d=|1-k-3-4|1+k2，

从而k(24k+7)=0，即k=0或k=-724，

所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.

(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a)，k0，则直线l2的方程为y-b=-1k(x-a).因为圆C1和C2的半径相等，且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即

|1-k-3-a-b|1+k2=|5+1k4-a-b|1+1k2，

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|，从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk，即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5，因为k的取值有无穷多个，所以

a+b-2=0，b-a+3=0，或a-b+8=0，a+b-5=0，

解得a=52，b=-12，或a=-32，b=132.

这样点P只可能是点P152，-12或点P2-32，132.

新题展（平面解析几何初步） 篇3

做一做

1. 已知集合A={（x,y）|x2+y2＜8,x,y∈Z}.

（1） 用列举法表示集合A；

（2） 记集合A={A1,A2,…,An}，n∈N* ，求直线OAi(i=1,…,n)的方程；

（3） 记集合A={A1,A2,…,An}，n∈N*，且直线AiAj(其中i,j=1,…,n且i≠j)与y轴恰有一个公共点，求所有这样的直线在y轴上的截距之和.

2. 已知曲线C：x2+ny2+2x+4y=4n表示圆,直线l:(m+1)x+my+t=0（其中t为常数），且不论m取何实数，直线l都过圆C内部的一个定点.

（1） 求n的值和t的取值范围；

（2） 若直线l被曲线C截得的最短弦长为4，求t的值.

看一看

1. （1） 可画出圆x2+y2=8，找出圆内符合要求的点；也可按x分类，x=-2,-1,0,1,2，找出相应的y的值.如果再借助对称性会更简便些.

（2） 注意对称性，再结合（1）,分别找出第一象限内、x轴正半轴上和y轴正半轴上的符合条件的点就行了.

（3） 抓住“所有符合条件的点关于x轴对称”这一性质.

2. （1） 注意到m是变化的，t是常数，因此可将直线l的方程按m来整理，即得(x+y)m+x+t=0，进而求出在m变化时直线l所过的定点.

(2) 过圆内定点的最短弦即为与定点和圆心的连线垂直且过定点的弦.

对一对

1. （1） A={(-2,-1)，(-2,0)，(-2,1)，(-1,-2)，(-1,-1)，(-1,0)，(-1,1)，(-1,2)，(0,-2)，(0,-1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,-2)，(1,-1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,-1)，(2,0)，(2,1)}.

（2） y=0,y=12x,y=x,y=2x,x=0,y=-2x,y=-x,y=-12x.

（3） 设直线AiAj(其中i,j=1,…,n且i≠j)是任意一条与y轴恰有一个公共点的直线.

由（1）知，集合A中所有的点所组成的图形关于x轴对称，所以在集合A中存在点Am,An,分别与点Ai，Aj关于x轴对称，故直线AiAj与直线AmAn关于x轴对称，这样它们在y轴上的截距和便为0，

因此，所有满足题意的直线在y轴上的截距之和为0.

2. （1）因为曲线C表示圆，所以n=1，

所以圆C：(x+1)2+(y+2)2=9，

而直线l的方程可化为：(x+y)m+x+t=0，

由x+y=0，x+t=0，得直线l恒过定点(-t,t)，

再由(-t+1)2+(t+2)2＜9，得-2＜t＜1，

所以n=1,-2＜t＜1.

（2） 由（1）知直线l恒过定点T(-t,t)，而圆C的圆心O为（-1，-2），所以OT=(-t+1)2+(t+2)2，

所以最短的弦长为29-（1-t）2-(2+t)2=24-2t2-2t，

所以24-2t2-2t=4，所以t=0或-1.

想一想

1. （1） 写出集合A中的元素时，要注意按一定的顺序.给出的答案是先按点的横坐标从小到大排，当横坐标相同时，再按纵坐标从小到大排；当然本题还有很多其他有规律的写法，如：按到原点的距离从小到大排，距离相同时，再从x轴正半轴上的点出发逆时针找出所有的点，可写成{(0,0),(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1),(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1),(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2),(2,1),(1,2),(-1,2),(-2,1),(-2,-1),(-1,-2),(1,-2),(2,-1)}.故平时要注意合理地分类，并有规律地枚举，这样才不至于重复与遗漏.

（2） 集合A中所有的点所组成的图形关于x轴，y轴及原点都是对称的，因此，在解决问题的过程中，应充分利用这一特点.

（3） 要学会整体地看问题，对于本小问，很多同学会有一种直觉：“答案为0”，但就是难以说出其道理.而说理时，应抓住本质，本题正是抓住所有符合条件的点关于x轴对称这一本质，用两两配对的方式来处理的.

利用平面几何解决解析几何问题 篇4

一、求斜率

例1已知直线与抛物线C:相交于A、B两点, F为C的焦点, 若| FA | = 2 | FB | , 则k= .

解: 过A、B分别作抛物线的准线l的垂线, 垂足为M, N, 由已知, | AM | = 2 | BN | , 点B为AP中点. 则| OB | =1/2| AF | , 所以| OB | = | BF | , 故B点, 所以

二、求离心率

例2已知双曲线C的右焦点为F且斜率为31/2的直线交C于A、B两点, 若, 则 C的离心率为 .

解: 设双曲线的右准线为l, 过A、B分别作l垂线, 垂足M, N, 作BD⊥AM于D, 则∠BAD = 60°, , 由双曲线定义得

三、证明恒等式

例3已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, 抛物线C以坐标原点为顶点, 以F2为焦点, 自F1引直线l交曲线C于P, Q两个不同的交点, 点P关于x轴的对称点为M,

( 1) 求曲线C的方程

( 2) 证明:

解: ( 1)

四、定点问题

例4已知定点A ( - 1, 0) , F ( 2, 0) , 定直线l, 不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍. 设点P的轨迹为E, 过点F的直线交E于B、C两点, 直线AB、AC分别交l于点M、N

( Ⅰ) 求E的方程;

( Ⅱ) 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F, 并说明理由.

平面解析 篇5

解析法证明平面几何

解析法，就是用解析几何的方法来解题，将几何问题代数化后求解，但代数问题未必容易，采用解析法就必须有面对代数困难的准备，书写必须非常规范．

解析法的主要技巧：

1．尽量化为简单的代数问题，尽量利用对称性建系，选择恰当的坐标系与便于使用的方程形式；

2．运用各种代数技巧（巧妙消元，利用行列式等）不能一味死算．

例

1、证明：任意四边形四条边的平方和，等于两条对角线的平方和，在加上对角线中点连线的平方的4倍．

例

2、给定任一锐角三角形ABC及高AH，在AH上任取一点D,连结BD并延长交AC 与E,又连CD且延长交AB于F.证明：∠AHE=∠AHF．

AB1AC1，u．再在B1C1上ABAC

BDBDm取点D1,使11（，u，m，n都是实数）．延长A1D交BC于D，求． DCD1C1n例

3、在ABC的边AB上取点B1,AC取点C1,使

例

4、如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证： MQ∥NP．

例

5、[29届IMO]在RtABC中，AD是斜边上的高，M、N分别是ABD与ACD与的内心，连接MN并延长分别交AB与AC于K及L．求证明、：SABC2SAKL．

课后拓展训练与指导

钻研《教程》293~302例

1、例

2、例

3、例

7、例8

思考并完成《高二教程》303练习题

补充几道题目，请尝试用解析法研究

1、（2005全国联赛二试）在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．

C

D

GH

K

B AF2、（全国高中联赛二试）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求P 证直线PA与BC垂直．

O1。O

平面解析 篇6

一、 化繁就简，事半功倍

例1已知直线l：y=k(x+22)与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S，求S的最大值.

解析本题一般的解法是,用k这个参变量去表示△ABO的面积S(k)，然后再求函数S(k)的最大值.图1但这样计算量比较大，而且求解S（k）这个函数最大值也不容易.遇到了困难，首先应该想到画出它们的几何图形.

如图1，作OC⊥AB于C，则S=12AB•OC=AC•OC.

由AC2+OC2=OA2=4，可知AC=4-OC2.

令OC=x，则S=x4-x2=4x2-x4=-(x2-2)2+4，

所以当x2=2时，Smax=2.

评注在学过基本不等式和三角函数以后，本题还会有更简单的处理方法.在处理圆的弦的问题时，经常会用到半径、弦心距、半弦构成的直角三角形.

例2已知圆O：x2+y2=R2(R＞0),点M(x0,y0)是圆O外一点，过点M作圆O的切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程.

解析本题若运用求直线方程的一般方法，去求切点A，B的坐标及直线AB的斜率，是很困难的，但结合平面几何知识可知，OAMB四点共圆，故直线AB即为圆O和四边形OAMB的外接圆的交线，这样可先求出该外接圆的方程，再去求公共弦所在直线的方程.

图2

如图2，以OM为直径的圆的方程为x-x022+y-y022=x204+y204①，

又圆O的方程为x2+y2=R2②,

①-②，得x0x+y0y=R2,即为直线AB的方程.

评注本题的结果从形式上看，与过圆O上一点的圆的切线的方程是一致的.

例3已知圆C：x2+y2-7x+6=0,若过原点O的直线与圆C交于A，B两点，且OA=3，求直线AB的方程.

解析本题若从条件入手，求点A的坐标，再求直线OA的方程，则需解二元二次方程组，但若运用圆的切割线定理，则快捷方便.

图3

如图3，设圆C与x轴交于M，N两点，则有OA•OB=OM•ON，即3OB=1×6,

所以OB=2，则AB=1，则弦心距d=254-14=6.

设直线AB的方程为y=kx，于是72k1+k2=6,

解之得k=±265，即直线AB的方程为y=±265x.

例4在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定了两点A(0,a),B(0,b)，求x轴的正半轴上的点C，使∠ACB最大.

解析求∠ACB的最大值，一种途径是用点C的坐标表示∠ACB的三角函数值，研究三角函数的最值；但若采用平面几何知识：“圆的外角小于同弧上的圆周角”，则求解更为方便.图4

如图4，过A，B作圆，当该圆与x轴相切时，切点即为所求的点C，

此时，OC2=OB•OA,所以点C为（ab，0）.

评注采用本题的解题方法可以快速地解答2005年高考天津卷第20题：某人在山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图5所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖直线OC，塔高BC=80（m），山高OB=220(m)，OA=200(m)，图中所示山

坡可视为直线l且点P在l上，l与水平地面的夹角为α，tanα=12，图5

试问：此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大？

同学们不妨自己动手试一试.

二、 拾遗补缺、查错纠误

例5已知圆(x-3)2+y2=1，过圆外一点P(4,1)作圆的切线，求切线方程.

错解设切线的方程为y=k(x-4)+1，则有|-k+1|k2+1=1,所以k=0.故切线的方程为y=1.

评注事实上，过圆外一点作圆的切线，应有两条.为什么这里（代数法）只解出一条？问题出在哪儿？结合图形，你就能发现，问题就在于设切线方程时，切线的斜率（k）已默认为存在了.因而漏掉了k不存在的情况，也就少了一条切线x=4.

例6直线y=x+b与曲线y=1-x2恰有一个公共点，求b的取值范围.

解析解本题最容易犯的错误是：把半圆y=1-x2当作圆，或漏掉直线与半圆相切的情况.

图6

如图6，作出半圆y=1-x2，易知直线与半圆有一个公共点有两种情况：（1） 直线与AB（不包括端点A）相交，此时-1≤b＜1；

（2） 直线与半圆相切，此时b=2.

综上,b的取值范围为［-1，1）∪{2}.

变题直线y=kx+2与曲线y=1-x2恰有一个公共点，求k的取值范围.

答案是（-∞,-2）∪{-3,3}∪(2,+∞).

三、 拓展思维，开阔视野

例7直线l过点M(2,1)，且分别与x轴,y轴正半轴交于A,B两点，O为原点，当△OAB面积最小时，求直线l的方程.

解析本题是求直线与坐标轴围成的三角形的面积的问题，在解析几何中,容易想到用直线的截距式或点斜式方程解决；但还可以另辟蹊径，运用平面几何知识，巧妙地解决.

设直线l′过点M且分别与x轴,y轴正半轴交于A′,B′两点，使得M是线段A′B′的中点,则可知l′的方程为x+2y-4=0.

此时有:S△A′OB′≤S△AOB.证明如下：

图7

如图7，不妨设A在A′左侧,过A′作y轴的平行线,交l于点C.

则△B′MB≌△A′MC,

所以S△A′MA≤S△B′MB,

所以S△A′OB′≤S△AOB,当且仅当l与l′重合时取等号.

故l′即为所求.

例8已知圆O：x2+y2=16和圆O内一定点A(-1,3)，当点P在圆O上运动时，求∠APO的最大值和此时点P的坐标.

解析本题若考虑建立∠APO的目标函数，难度

较大；若从平面几何的方图8法切入，结合初中学过的直角三角形中的三角函数知识，问题便迎刃而解.

如图8，过O作OB⊥AP，垂足为B，则OB≤OA（当且仅当OA⊥AP时取等号，此时点A，B重合）.

则sin∠APO=OBOP≤OAOP=24=12,

所以当AP⊥OA时，∠APO最大为30°.（由平面几何知识，可知∠APO为锐角.）

易解出此时直线AP的方程为x-3y+4=0,从而求出点P坐标为（-4，0）或（2，23）.

巩 固 练 习

1. 已知P是直线3x+4y+8=0上动点，PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形CAPB的面积的最小值为.

2. 一束光线通过点M(25,18)，射到x轴上，经x轴反射，照到圆C:x2+y2-14y+24=0上.

(1) 求通过圆心C的反射光线所在直线的方程；

(2) 求在x轴上的反射点A的活动范围.

3. 已知圆x2+y2=25上一点A（-3，4）,PQ是圆的弦，若直线AP与AQ的倾斜角互补，证明：直线PQ的方向一定.

参 考 答 案

1. 222. (1) y=-x+7；(2)xA∈1,232.

3. 提示证明直线PQ的斜率为定值.参考图9.

平面解析 篇7

一、对中职院校学生现状的分析

随着我国高校事业的发展, 近几年高校都在不断扩招, 使得很多的学生都能够完成自己的大学梦. 对于中职院校来说影响比较大, 高校的扩招使得中职院校在招收学生的时候生源质量变差, 但是为了学院的发展和生存, 中职院校也只有不断地扩大招生规模. 在现在的中职院校, 学生的文化素质以及学习习惯都有着明显的降低, 他们在学习过程当中主动性和自觉性都比较差, 大部分学生认为数学是不得不学的一门课程, 学生对于数学没有什么兴趣. 而平面几何作为数学当中非常重要的一个组成部分, 对于如何来找到平面解析几何当中的突破点, 提高教学的效率和效果, 在中职的数学教学当中是非常重要的.

二、在平面解析几何当中点和线之间的问题

中职的数学教学中, 在讲解直线和圆锥曲线的关系时, 点在曲线上是一个不可能避免的问题. 首先应该先将点的坐标设定好, 然后代入到曲线的方程式当中再进行一定的分析, 也可以是通过曲线的方程式解算出点的相应坐标然后再进行分析. 在处理点在曲线上时, 上述这两种方法是最常见的.

例如, 在一个以O为原点的平面直角坐标系当中, 在三角形OAB当中, 直角的定点A的坐标是已知的, 同时还知道| AB | = 2 | OA | , 而且知道B点的纵坐标是大于零的.那么需要学生去进行计算的问题就是: 是不是存在着一个实数a, 可以使得相应的抛物线y = ax2- 1上总有两个关于直线OB对称的点? 如果是有的话, 需要计算出实数a的范围; 如果没有的话, 也需要说明理由.

那么中职的数学教师在向学生进行讲解的时候, 也可以采用上述所说的两种方式———代入法和解出法来进行讲解. 在这个实际例子当中, 因为点P和点Q的坐标在进行计算的时候是假设出来的, 那么就可以直接利用点在曲线上, 将点P和点Q的坐标代入到已知的曲线当中建立相应的方程式组, 然后再对这个方程式组进行简化计算, 就可以得到最终的一个方程式组, 最后利用判别式来进行解算, 那么这样的一种方法就是代入法. 但是如果是先利用相应的关系式建立方程组, 然后对点P和点Q的坐标进行解算, 最后结合题目当中的一些其他条件, 利用判别式来解算出题目的最后答案, 那么这一种方法就是解出法.

这两种方法虽然在得到点的坐标时方法不一样, 但是它们都是利用了点在曲线上这样一个已知的条件, 同时在解决其他问题的时候, 这两种算法也都有自己的长处和不足.

三、在研究曲线方程的时候采用渐近线方程

在研究双曲线的几何性质时, 如果是从平面解析几何方面开始的话, 就可以先对双曲线的方程进行分析, 然后再利用不等式表示的平面区域这方面的知识, 从而来引入渐近线的方程.

在一般情况之下, 都是可以假设曲线C的方程为f ( x, y) = 0, 那么要对这个曲线的几何性质进行相关研究的话, 一般都可以采用下面的一些方法来进行. 首先就是对曲线C的范围进行研究, 在这个曲线的方程f ( x, y) = 0中, 如果确定了x和y的一个取值范围的话, 有些时候也可以转化成求函数的相关值域和定义域, 那么就可以确定出曲线C的图形大小, 也就是说常说的曲线C所占据的一个平面区域的大小. 其次就是对曲线C的对称性的研究, 如果在方程f ( x, y) = 0当中, 当用 - x代替x或者是 - y代替y时, 如果最终的方程没有变化的话, 那么就表示曲线C是关于y轴或者是关于x轴对称的, 有的时候也可以转化成是函数的对称性或者是奇偶性. 关于曲线C的特殊点的研究, 在方程f ( x, y) = 0当中, 一般可以通过方程组的解算, 最终来算出曲线C和两个坐标轴之间的交点. 关于曲线C的特殊参数的研究, 在方程f ( x, y) = 0当中, 通过对x和y系数之间的关系进行研究, 就可以最终确定出曲线C的一些特殊的性质.

结束语

平面解析几何主要就是一门采用代数的方法来对几何问题进行研究的一门数学学科. 它主要的方法就是利用数和形的对应关系, 首先就是把形的问题转化成数的问题来进行研究, 然后再把数的研究转化成形的问题来进行讨论.但是在曲线当中, 很多的因素都会对几何的量产生一定的影响, 从而就会使得线或者是点按照不同的方式来运动. 而且方程和曲线之间的对应关系也是比较抽象的, 中职学生在学习的过程当中不是很好理解, 所以这就要求相关的数学教师应该要在教学的过程当中有所突破才能够让更多的学生真正地理解和掌握平面解析几何的知识.

摘要：本文主要就是针对中职数学教材当中的一些问题, 来对如何利用曲线的方程研究它的性质进行了分析和阐述, 在中职的数学教学当中平面解析几何的一些突破进行讲解, 例如怎么利用坐标和方程组以及点在曲线上的一些内在的关系解决一些比较难的问题.

关键词：中职数学,平面解析几何,突破

参考文献

[1]黄展荣.培养中职生数学应用能力的探索与实践[D].广州大学, 2012.

[2]邓学宏.浅谈平面解析几何教学的思想方法[J].中小学教学研究, 2007 (6) :35-36.

[3]罗天琦.数学软件在解析几何教学中的应用研究[D].西南大学, 2009.

[4]曾磊.中职数学课堂有效教学探究[D].湖南师范大学, 2011.

平面解析 篇8

Adobe Photoshop CS作为一种专业的平面设计处理软件,它不仅提供了灵活的图层、路径和绘画功能,还提供了一种十分专业的图像处理技术——通道。它的应用十分广泛,尤其是在建立和保存特殊选区方面更能显示出其强大的功能和灵活性。但是对于初学者而言,通道是一个比较难懂的概念,虽然可以模仿教材中的实例做出一些效果,但是对其还是没有一个清楚的理解。下面就结合自己在教学、实践中的经验,介绍有关通道方面的知识。

2. Phot os hop通道

通道最主要的功能就是保存图像的颜色信息,在Photoshop CS中系统默认采用特殊灰度通道存储图像的颜色。另外,通道还能够存储图像中的选区信息。通道可分为复合通道、颜色通道、Alpha通道与专色通道等。

2.1 复合通道

复合通道不包含任何信息,实际上它只是同时预览并编辑所有原色通道的一个快捷方式。它通常被用来在单独编辑完一个或多个原色通道后使通道面板返回到它的默认状态[1]。一般情况下,人们对图像所进行的操作处理就是对复合通道进行的操作处理。

2.2 颜色通道

颜色通道是在打开新图像时自动创建的通道。用photoshop编辑图像,实际上就是在编辑颜色通道。这些颜色通道把图像分解成一个或多个色彩成分。图像的模式决定了颜色通道的数量,对于不同模式的图像,其通道的数量是不一样的[2]。例如,对于一个RGB模式的图像,含有一个RGB(复合通道)、R(红色通道)、G(绿色通道)、B(蓝色通道)四个通道。一个CMYK图像有CMYK、C、M、Y、K五个通道。位图,双色调,索引模式只有一个通道。

颜色通道之所以呈现灰度,是因为每种颜色通道中的像素颜色是由单一色光的不同亮度值构成。亮度值被分为256个灰度色阶。亮度值为0,像素颜色最暗,表示这种光线在该区域不存在;亮度值为255,像素颜色最亮,表示这种光线最饱和。亮度值在0～255之间,表示这种光线存在但不为饱和。由于灰度的明暗表明了光线的强弱,故当调整某一灰度就等于调整了基色的浓淡,从而改变了复合通道的合成结果。同时,三个颜色通道的灰度图在同一区域内其亮度不同,表明该区域内所含红、绿、蓝三种光线的量值不同,正是三个通道相同或不同区域中红、绿、蓝量值的差异才构成了五彩斑斓的图像[3]。例如,如果要在图像中增加绿色,可将绿色通道调亮,要减少绿色,可将绿色通道调暗。这也是校正图像色偏的有效方法。如图1,对于RGB模式的图像来说红、绿、蓝三个通道同样重要,缺一不可,隐藏其中任一通道,复合通道(即正常图像)都是不可见的,删除任一通道,图像的模式必定改变。

2.3 Alpha通道

Alpha通道是计算机图形学中的术语,指的是特别的通道。在Photoshop中制作出的特殊效果都离不开Alpha通道,它最基本的用处在于保存选取范围,可以随意地增减。Alpha通道的建立有很多种方法,可以直接由颜色通道转换而来或者对颜色通道副本进行编辑之后得到,再或者先由其它选择工具得到选区,然后把这个选区保存成Alpha通道。当然,更高级一点的可以通过计算命令来获得。在保存一个文件的时候,有不少格式可以支持同时保存Alpha通道,以便下次打开文件后随时载入Alpha通道中的选区信息。即使在不同的色彩模式下,Alpha通道都是一样的,即白色区域表示选择区域,黑色区域表示没有选中的区域,而灰色区域则是部分选择。Alpha通道还可以存储和编辑蒙版,便于进行高级图像编辑,产生不同的图像效果。

对Alpha通道可以运用各种常规的编辑操作,如绘图、滤镜操作、通道的交、并、差等(实质是选区的交、并、差等)操作,得到的最终结果将作为选区用于图像的处理、特效字的制作等[4]。

2.4 专色通道

专色通道是一种特殊的原色通道,它可以使用除了青色、品红、黄色、黑色以外的颜色来绘制图像[1]。

3. 通道的应用

分析图像单个通道,查找建立选区。由于选区是直接从通道蒙版数据得到的,所以用这种方法得到的选区通道远比用其它方法(如魔棒工具、颜色范围或是提取命令)得到的选区精确得多,它包含了细节和精确性的色阶。

调节图像的层次,纠正色偏。在复合通道中,利用曲线工具或色阶工具可调节图像的层次,纠正图像的整体色偏;也可以对各原色通道分别进行调节;利用各通道的直方图,也可了解各通道图像的灰度信息。

颜色通道的转换。在灰度、RGB或CMYK模式下,16位通道和8位通道可以相互转换。16位通道的图像能够提供更为精细的色彩细节,但其文件大小比8位通道的图像大得多,且Photoshop对这种图像限制很多,如只允许有一个层,大部分滤镜不能使用,不能被印刷等。为了减小文件可以转换文件的通道。

分离图像与合并图像。由于有的图像数据量太大,使用“分离通道”命令,可以将通道分离为单独的灰度图像文件,在将图像文件保存为不支持通道的文件格式时,可以用这种方法保留单个的通道信息,可以将分离后的Alpha通道对应的图像文件单独保存,并在需要时重新载入。只有拼合的图像才能被分离通道。使用“合并通道”命令,可以合并分离后的通道,也可以将多个灰度图像合并成一个图像。有些情况下,为了让合并出的图像能够产生比较奇特的色彩效果,在进行合并时可以调乱通道位置,以达到理想的效果。

合成图像。利用通道“运算”命令,可以将同一幅图像或具有相同尺寸和分辨率的两个图像中的两个通道进行合并,并将结果保存到一个新图像或当前图像的新通道中。此外,还可以直接将结果转换为选区。

根据图像本身的其它通道信息对输出通道信息进行增减。通道混合器是以通道为作用对象,根据源通道的信息进行增减。对某一像素的颜色信息而言,可以以本身通道网点信息为基础进行计算,也可以利用其它通道的信息进行计算。利用它可以加上图像中原本根本不存在的颜色信息,或按比例改变图像某些颜色。利用通道混合器,还可以在颜色中增加或减少黑色来改变图像的饱和度[5]。

有时候图像中有噪声,可以根据CMYK各通道的噪声情况,分别进行处理。这样没有噪声的通道就保持了原图的清晰度。

4. 用通道制作选区实例

Photoshop是用来进行图像处理的。在图像处理过程中,最重要的一步是确定选区范围。只有准确地确定选区范围,才能够进行精确的合成。针对通道的特性,可以利用通道来制作精确的选区以及对选区进行各种处理。尤其对许多虚化、半透明的内容,如云、烟、火以及毛发等利用一般工具难以选择的区域,就可以发挥灰度的特长,制作具有相应透明、虚化的选区。

以图2为例,打开通道面板选择不同的通道进行比较,结果发现蓝色通道,黑白层次分明,所以选择此通道。把蓝色通道复制一层,新增加了一个“蓝副本”的通道。它和蓝通道一模一样,但是它的类型却是Alpha通道,是专门用于制作选择区的。选中蓝色通道副本,使用“图像-调整-色阶”命令,拖动滑块,尽可能将所选内容调节为白色,将不需要的部分调节为黑色,虚化或半透明的区域则调节为灰色。色阶的调整也应充分利用各种工具,包括毛笔、橡皮擦、选择和填充等。对于完全不需要的内容可用各种工具将其涂抹为纯黑色;对于完全需要的区域可直接将其涂抹为纯白色。当然,为确保调整的准确,经常要使用“图像-调整-反相”的命令,使肉眼难以查觉的暗灰色呈现出来,以便修改。当色阶调整完毕,“Ctrl+点击该通道”获取选区,打开复合通道,进入图层面板,利用移动工具拖拉选区到一新图像中进行合成,或“Ctrl+J”在当前图像中复制选区内容。至此,树叶图像就从背影中抠出来了。

5. 结论

通道的本质就是灰度。灰度不仅代表了图像颜色的存在范围,基色的浓度,还表明了其透明程度。因此,可通过灰度了解图像的各种信息,还可利用灰度有目的地选择图像内容以及对图像进行修改和加工处理。

摘要：在平面设计软件Photoshop中,通道的主要功能是保存颜色信息,存储图像中选区信息。本文介绍了通道的各种类型,以及通道的应用,并举例说明如何利用通道来制作精确的选区。

关键词：通道,Alpha,灰度,选区

参考文献

[1]刘小伟.Photoshop cs中文版平面设计师标准案例教程[M].北京:机械工业出版社,2005.

[2]董加敏.Photoshop飞翔的翅膀———通道[J].广东技术师范学院学报,2008,(3):36-38.

[3]简洁,潘丽萍.Photoshop通道解惑[J].梧州学院学报,2007,(6):19-23.

[4]吕一昌.Photoshop通道实例研究[J].北京工商大学学报:自然科学版,2005,(5):63-65.

平面几何知识在解析几何中的妙用 篇9

一、对比说明优劣

【例1】已知直线l:y=x+b和圆C:x2+y2+2y=0相交于不同两点A、B, 点P在直线l上, 且满足|PA|·|PB|=2, 当b变化时, 求P的轨迹.

解法一:圆C:x2+y2+2y=0的圆心C (0, -1) , r=1.

由切割线定理, 如图1所示, |PT|2=|PA|·|PB|=2>1, 故点P在圆C外,

∴点P的轨迹方程为x2+ (y+1) 2=3.

点评:显然直线AB是圆的割线, 解法一运用平面几何知识中的切割线定理求轨迹简单明了, 而且运算量得到极大地减少, 时间成本得到控制.

解法二:设点P (m, n) , 则e:y=x+b的参数方程为

将 (1) 代入x2+y2+2y=0得

显然Δ>0, 设方程 (2) 的两根为t1, t2, 由|PA|·|PB|=2, 依题意点P在AB或BA的延长线上,

即x2+y2+2y=0为P的轨迹方程, 表示以 (0, -1) 为圆心, 为半径的圆.

点评:解法二是由|PA|·|PB|=2联想到直线的参数方程中t的几何意义, 但运算量还是比较大的, 时间成本的控制不如解法一.

二、举例应用说明

【例2】已知A, B分别为曲线C: (y≥0, a>0) 与x轴的左、右两个交点, 直线l过点B, 且与x轴垂直, S为l上异于点B的一点, 连结AS交曲线C于点T.如图2, 点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点, 试问:是否存在a, 使得O, M, S三点共线?若存在, 求出a的值;若不存在, 请说明理由.

解:假设存在a (a>0) , 使得O, M, S三点共线.

设S (a, t) , 显然直线SO、BT、SA的斜率都存在, kSO=t/a,

由于点M在以SB为直径的圆上, 故BT⊥OS, 即,

两直线的交点T满足方程 (3) , 又因为点T在曲线C:上,

经检验, 当时, O, M, S三点共线,

故存在, 使得O, M, S三点共线.

点评:该解法的可取之处在于巧妙地运用“直径所对的圆周角是直角”将本题一举成功拿下.

平面解析 篇10

一、把握解析几何的教学内容, 依据直线与圆的教学要求

高中数学教师应该对高中课程中有关解析几何的内容全面了解. 在高中数学选修1, 2中, 都延续了解析几何的内容, 设计了“圆锥曲线与方程”, 这一块对文科学生和理科学生的要求不同. 而在选修4的“几何论证选讲”中仍涉及了圆锥曲线的知识和学习. 在这一块的教学中, 教师要引导并教会学生研究圆锥曲线有两种方法———综合几何、解析几何的方法. 教师在授课过程中应该引导学生用代数方法解决几何问题, 让学生知道除了解析几何之外还有向量几何等, 让学生了解和重视解析几何在整个高中数学课程的地位和作用, 实现解析几何、“直线和圆”学习的高效性.

进一步强化对直角坐标系的理解是解析几何的主要内容. 直角坐标系是构架代数和几何的基本桥梁之一, 依托直角坐标系会用代数的方法表示一些集合的基本图形 ( 直线和圆) , 依托直角坐标系会用代数的方法表示和解决一些集合问题 ( 直线与直线的位置关系, 直线与直线的度量关系, 圆与圆的位置关系, 直线与圆的位置关系) .

依托直线与圆, 帮助学生理解解析几何的基本思想是“解析几何初步”的重要的教育功能. 解析几何的研究对象是一些特殊的图形, 解析几何的思想方法包括两个方面: 几何图形的性质和问题所蕴含的代数意义和用代数方法来讨论和解决几何问题. 用解析几何的思想方法来研究几何问题, 思维过程可以大致表现为以下步骤: 第一, 用代数的语言来描述几何图形, 例如“点”可以用“数对”表示, “曲线”可以用“方程”表示等; 第二, 把几何问题转化为代数问题, 例如, “两直线平行”可以转化为“两直线的方程组无解”等; 第三, 求解代数问题; 第四, 理解求代数结果的几何含义, 解决几何问题. 如在“直线与圆”这一章节的教学中, 要突出坐标法的核心地位, 强调数形结合思想, 可以从三个方面着手:

( 1) 强调坐标法的基本思想, 明确表述坐标法的基本步骤, 我们将其概括为“三部曲”:

第一步: 建立适当的平面直角坐标系, 用坐标和方程表示问题中涉及的几何要素, 将平面集合问题转化为代数问题;

第二步: 通过代数运算与变换, 解决代数问题;

第三步: 分析代数结果的几何含义, 并“翻译”成几何结论.

( 2) 用坐标法解决典型的平面几何问题, 引导学生理解坐标法的基本思想, 体会坐标法的力量. 例如, 用坐标法证明三角形、平行四边形的性质, 证明与圆相关的一些命题等. 这些问题在平面几何中有一定困难, 但用坐标法解决却“轻而易举”.

( 3) 在解析几何学习的入门阶段, 应通过各种机会渗透和概括坐标法思想, 强调经历用坐标法解决问题的完整过程, 使学生集中经历于坐标法的学习, 强调用坐标法研究问题的规范, 给出利用方程完整地讨论几何性质的示范.

二、创设问题情境, 提升学习效果

高一学生刚接触新的数学思想, 较难理解和接受, 教师要发挥主导作用, 夯实学生的基础. 在解析几何学习的入门阶段, 教师不要安排涉及复杂代数运算的题目, 减少代数变换的困难, 但可以通过各种机会渗透和概括坐标法思想, 强调经历用坐标法解决问题的完整过程, 让学生集中精力进行坐标法的学习. 在后续阶段, 逐步加强和探索“先用平面几何观察, 再用坐标法解决”的思路. 例如, 在每一章前的引言中, 教师可以阐述解析几何的基本思想; 加强“如何在坐标系下解决问题的几何要素”的引导, 体现“从平面几何到解析几何”的过渡.

为了更好地引导学生把握解析几何的基本思想, 在日常教学中, 教师要注意控制代数变换的难度和技巧, 这样才能逐步培养学生的综合能力. 对于有些问题, 学生也具备了相应的基础知识, 但由于综合与联系所带来的思想方法的要求的提高, 所以, 这样的问题也不能过早出现. 例如, 圆的方程为x2+ y2= r2, 直线的方程为y = kx, 这是最简单、常见的; 平面几何中, 关于直线、圆的一些简单性质也是学生了解的; 在这样的知识背景下可以变化出非常复杂的问题来, 如以圆的方程x2+ y2= d2, 直线方程ax + by =0和“圆上的点到直径的距离不大于半径”为基础, 可以构造如下命题:已知a, b, c, d是实数, |c|≤|d|, 求证:显然, 如果在学习了直线与方程、圆与方程后, 就让学生解答上述几道题目, 那么对于大部分学生来说难以实现, 因为他们自觉应用知识的能力还达不到一定的水平.

结论

总之, 为了让学生达到2014年考试说明的要求, 在解析几何初步的教学中, 高中数学教师要着力培养学生理解解析几何的基本思想, 提升这一块教学的效率和效果.

参考文献

[1]石小丽.高中数学圆锥曲线教学现状分析及其研究[D].杭州师范大学, 2011.

[2]杨松.基于合情推理思想的教学研究[D].上海师范大学, 2010.

平面解析 篇11

1-1. (改编)已知点P(2,3),点Q在y轴上,若直线PQ的斜率为1,则点Q的坐标为_____.

1-2. (改编)斜率为2的直线经过点(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a,b的值为_____.

1-3. (改编)已知直线l倾斜角为锐角,并且与坐标轴围成的三角形的面积为6,周长为12,求直线l的方程.

2. (苏教版必修2第二章习题2.2(2)第7题)已知直线l:(3+m)x+4y=5-3m,l:2x+(5a+m)y=8.当m为何值时,l与l:(1) 相交?(2) 平行?(3) 垂直?

2-1. (改编)若直线mx+4y-1=0与直线x+my-3=0不平行,求实数m的取值范围.

2-2. (改编)已知直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,求a的值.

3. (苏教版必修2第二章习题2.2(2)第8题)已知三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0和ax+3y-5=0共有三个不同的交点,求实数a满足的条件.

3-1. (改编)若直线l过原点且与两直线l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0的交点的横坐标分别为xA,xB,且xA+xB=0,求直线l的方程.

3-2. (改编)已知直线(a+1)x+y+2-a=0不经过第二象限,求实数a的取值范围.

4. (苏教版必修2第二章1.3例4)已知三角形的顶点为A(2,4),B(1,-2),C(-2,3),求BC边上的高所在的直线的方程.

4-1. (改编)已知△ABC的三条边AB,BC,CA的中点坐标分别为D(1,2),E(3,1),F(-1,-3),求该三角形的三条边所在的直线的方程.

4-2. (改编)求证:三角形的三条边上的三条高交于一点.

4-3. (改编)已知△ABC的顶点A(2,8),AB边上的中线CD所在直线的方程为4x+7y-24=0,∠B的平分线BE所在直线的方程为x-2y+4=0,求点B,C的坐标.

5. (苏教版必修2第二章1.3例1)求证:顺次连结A(2,-3),B5,-,C(2,3),D(-4,4)四点所得的四边形是梯形.

5-1. (改编)已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0)若四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列),求点D的坐标.

6. (苏教版必修2第二章2.1(3)第16题)已知光线通过点A(2,3),经直线x+y+1=0反射,其反射光线通过点(1,1),求入射光线与反射光线所在直线的方程.

6-1. (改编)已知直线l:x-y+3=0,一光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B,又从B点反射到直线l一点C,最后又从C点反射回点.

(1) 试判断由此得到的△ABC是有限个还是无限个?

(2) 依你的判断,认为是无限个时,求出所有这样的△ABC的面积中的最小值;认为是有限个时,求出这样的线段BC的方程.

7. (苏教版必修2第二章2.2(1)第3题)已知半径为5的圆过点P(-4,3),且圆心在直线2x-y+1=0上,求这个圆的方程.

7-1. (改编)已知圆C的半径为2,圆心在x轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,求圆C的方程.

7-2. (改编)过点A(0,1),B(4,m)且与x轴相切的圆有且仅有一个,求实数m的值和这个圆的方程.

8. (苏教版必修2第二章2.2(2)第2题)已知过点A(1,1)的直线l与圆x2+y2-2x+6y+6=0相交,求直线l斜率的取值范围.

8-1. (改编)已知两点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,求直线l的斜率的取值范围.

8-2. (改编)已知点P(-2,-2),圆C:(x-1)2+(y+1)2=1,直线l过点P,当斜率为何值时,直线l与圆C有公共点?

1-1. 由点Q在y轴上可设Q(0,y),因为直线PQ的斜率为1,所以kPQ==1,y=1,故点Q的坐标为(0,1).

1-2. 设经过点(3,5),(a,7),(-1,b)三点的直线为l,则依题意,==2,解得a=4,b=-3.

1-3. 设所求直线l的方程为+=1,

则|ab|=12,|a|+|b|+=12,解得a=±3,b=±4或a=±4,b=±3,因为直线l倾斜角为锐角,所以直线l在两坐标轴上的截距符号相反,故a=±3,b=4或a=±4,b=3,所以所求直线l的方程为-=1或+-1或-=1或+=1,即4x-3y-12=0或4x-3y+12=0或3x-4y-12=0或3x-4y+12=0.

2-1. ① 若两直线相交,则m2-4≠0,m≠±2;

② 若两直线重合,则==,m不存在.

由①,②,可知m≠±2.

2-2. 若两直线平行,则a2(a-2)=3a,2a3-18a≠a,

a=0,a=-1,a=3,a≠0,a≠±3,则a=-1.

若截距不存在,则a2(a-2)-3a=0且a2=0,3a=0,故a=0.

3-1. 若k不存在,显然x=0满足要求,若k存在,可设所求直线为y=kx,

由方程组得4x+y+6=0,y=kx,得xA=-,由方程组

3x-5y-6=0,y=kx,得xB=,

依题意,-+=0,解得k=-,所以y=

-x,即x+6y=0,

所以所求直线为x=0或x+6y=0.

3-2(考虑直线的斜率)a≤-1.

4-1. 由平面几何知识知,直线AB经过点D且与EF平行,由于kEF=1,所以直线AB的方程为y=(x-1)+2,即x-y+1=0,同理,直线BC,CA的方程分别为5x-2y-13=0,x+2y+7=0.

4-2. 以边BC所在直线为x轴,过点A且与x轴垂直的直线为y建立直角坐标系(如图1).

设A(0,a),B(b,0),C(c,0),则BC边上的高所在的直线的方程为x=0,AB边上的高所在的直线的方程为y=(x-b),AC边上的高所在的直线的方程为y=

(x-c),

由方程组y=(x-b),x=0,解得x=0,y=-,代入方程y=(x-c),左边=-,右边y=(0-c)=-,

所以点0,-在直线y=(x-c)上,

所以三角形的三条边上的三条高交于一点.

4-3. 由点B在∠B的平分线BE上,可设点B的坐标为(2y-4,y),则点D的坐标为y-1,,由点D在CD上可知,4(y-1)+7•-24=0,得y=0,故B(-4,0).

由平面几何知识可知,点A(2,8)关于∠B的平分线BE的对称点在BC上,A(2,8)关于∠B的平分线BE的对称点为(6,0),则边BC所在直线的方程为y=0.

由方程组y=0,4x+7y-24=0,得x=6,y=0,即点C的坐标就是(6,0).

5-1. 因为A(0,3),B(-1,0),C(3,0),所以kAB=3,kBC=0,故AB与BC不垂直,即AB与BC不可能为梯形的直角边.

设D(x,y).① 若BC⊥CD,AD⊥CD,则AD,CD的方程分别为y=3,x=3,所以D(3,3).

② 若AB⊥AD,CD⊥AD,则AD,CD的方程分别为y=-x+3,y=3(x-3),由方程组y=-x+3,y=3(x-3),解得x=,y=,所以D,.

由①,②可知,点D的坐标为(3,3)或,.

6-1. (1) 设B(m,0),点A(1,2)关于x轴的对称点为A′(1,-2),点B关于直线l:x-y+3=0的对称点为B′(-3,m+3).

所以直线A′B的方程为y=(x-m),直线AB′的方程为y=-(x-1)+2,因为点C既在直线A′B上,又在直线AB′上,且在直线l:x-y+3=0上.

则由方程组y=(x-m),x-y+3=0,解得x=,由方程组x-y+3=0,y=-(x-1)+2,解得x=,

所以=,解得m=或m=-3,

当m=-3时,点B在直线l上,此时,不存在三角形,故m=,且△ABC只有一个.

(2) 当m=时,B,0,C-,,

所以线段BC的方程为3x+y-1=0-≤x≤.

7-1. 设圆心为(a,0)(a>0),则依题意圆C的方程为(x-a)2+y2=4.因为直线3x+4y+4=0与圆C相切,所以=2,a=-(舍去)或a=2,

所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.

7-2. 因为圆与x轴相切,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2.

因为圆过点A(0.1),B(4,m),

所以2b=1+a2,(4-a)2+m2-2bm=0,(4-a)2+m2-(1+a2)m=0,即(1-m)a2-8a+16+m2-m=0.(*)

因为圆有且仅有一个,

所以关于a的方程(*)有且仅有一个解,① 若1-m=0,则a=2,b=,故圆的方程为(x-2)2+y-2=;

② 若Δ=64-4(1-m)(16+m2-m)=0,即m(m2-2m+17)=0,m=0,则a=4,b=,故圆的方程为(x-4)2+y-2=.

由①,②,可知所求圆的方程为(x-2)2+y-2=或(x-4)2+y-2=.

8-1. 因为A(2,-3),B(-3,-2),P(1,1),

所以直线PA的斜率为kPA=-4,直线PB的斜率为kPA=,所以过点P(1,1)且与线段AB相交的直线l的斜率的取值范围为k≤-4或k≥.

8-2. 由题设可知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x+2)-2,即kx-y+2k-2=0.

例谈平面向量在解析几何中的应用 篇12

例1:已知向量, 向量, 向量, 求向量与向量的夹角范围.

解析:本题考查平面向量在解析几何中的作用.

解:如图1所示, 以O为原点建立平面直角坐标系, 则由题意可知, O (0, 0) , B (2, 0) , C (2, 2) .

由题意可知

因而A在以C为圆心, 为半径的圆上, 若直线OA与圆相切, 由图可知, ,

所以∠COA=π/6而,

即与夹角的最小值为,

同理可得与夹角的最大值为,

因而, 与夹角的取值范围为[].

例2:在平行四边形ABCD中, A (1, 1) , , 点M是线段AB的中点, 线段CM与BD交于点P.

(1) 若, 求点C的坐标;

(2) 当时, 求点P的轨迹.

解: (1) 设点C的坐标为 (x, y)

在平行四边形ABCD中,

由题意可得,

所以

即 (x-1, y-1) = (9, 5)

因而x=10, y=6

即点C的坐标为 (10, 6)

(2) 设P点坐标为 (x1, y1)

在四边形ABCD中,

则

由题可得,

又因为

由题意可得, 点M是线段AB的中点

因为

所以平行四边形ABCD为菱形

因而

所以 (x1-7, y1-1) · (3x1-9, 3y1-3) =0

即 (x1-7) (3x1-9) + (y1-1) (3y1-3) =0

所以x12+y12-10x1-2y1+22=0 (y1≠1)

故点P的轨迹是以 (5, 1) 为圆心, 以2为半径的圆去掉与直线y1=1的两个交点.

摘要：新课改之后, 向量成为高中数学中必不可少的一部分, 尤其最近几年其在高考数学中的比重逐年增加, 更是对不少题目的解题提供了捷径.本文主要对平面向量进行深入分析理解, 并且研究其在高中数学解析几何中的应用.

关键词：平面向量,解析几何,应用

参考文献

[1]齐民友·中学数学教学中的向量[J]数学通报, 2007, 46 (4) .

[2]曹一鸣·现代数学与中学数学[M]北京师范大学出版社, 2010.