平面平行

平面平行（精选7篇）

平面平行 篇1

摘要：平行射流输运特性研究具有较重要的理论意义和工程价值, 对水平浓淡煤粉燃烧也有较重要的意义。本文实验研究了双平行平面射流动量、能量和质量输运, 结果表明:速度分布表现为双射流相互吸引并最终汇合成单一射流;温度分布反映了冷射流为加热射流所卷吸;浓度分布反映了惯性力的占优作用。三种变量分布反映了动量、能量和质量输运性质的根本性区别。

关键词：平面射流,输运特性,平行射流

0 引言

双平行平面射流在航天、化工、冶金、能源等领域具有不同战略意义的应用[1,2,3,4], 通过实验和数值模拟研究双平行平面射流的输运特性具有应用基础理论研究和工程应用价值, 特别对于水平浓淡煤粉燃烧技术的研究具有较重要的意义。尽管这方面的研究工作开展较多[1,2,3,4,5,6,7], 但关于喷口间距较小的双平行平面射流的输运特性研究尚无可直接利用信息, 本文在这方面介绍部分基础实验研究工作。

1 实验系统和测试

实验系统[8]中, 速度、温度和颗粒浓度测试采用经标定和可靠性实验测试论证过的皮托管、铜-康铜热电偶和等动量取样管, 分别测量了速度、温度、浓度分布。喷口结构尺寸示意图如图1所示。

射流喷口采用有机玻璃制作, 长度为900 mm, 两喷口中心间距S与喷口宽度Tp之比分别为S/Tp=2、3和4。实验中分别测试了射流流动方向X的无因次截面S/Tp=0、0.5、1、2、4、7、10的速度、温度和浓度分布, 本文仅介绍典型实验结果。

2 实验结果与分析

如图2所示, 分别表示S/Tp=2和S/Tp=4时单相的速度、温度和气固两相颗粒浓度在X/S=1、2、7三个截面的无因次变量分布, 相应的变量以射流出口的速度U0、剩余温度ΔT0及浓度C0无因次化, X/S=1、2对应射流汇合区, 对煤粉燃烧而言, 对应着火区, X/S=7对应射流充分汇合区或合并区。

由图2可见, 速度分布表现出两股气流相互吸引逐渐合并为一股气流, 最大速度轨迹最终交于喷口中心轴线。温度分布虽也表现出两股气流相互合并的趋势即最大温度轨迹逐渐趋于中心轴线, 但由于加热射流与冷射流的动量之比Rm=1.45, 因此表现出冷射流被加热射流所卷引, 最终的温度分布不像速度那样具有对称性:这在S/Tp=4时尤其明显。在两股气流未汇合之前, 温度分布的内混合层比外混合层混合强烈, 这说明涡的明显作用;在两股气流合于一股气流后, 外混合层比内混合层混合强烈。对于浓度分布而言, 混合缓慢, 在X/S=7截面, 表现出内混合层浓度比外层混合浓度稍高, 这可能是大涡对颗粒未完全卷吸而在离心力作用下将颗粒抛向内混合层区域的结果。由图2还可以看出, 尽管温度分布在Rm=1.45下测出的, 但仍比速度分布要宽, 这说明标量混合的速率较快, 按Prt数等于0.9估计, 要快10%左右。但对于浓度分布而言, 其混合宽度要比速度、温度分布窄, 尤其在X/S=7截面表现明显。从最大值衰减来看, 最大速度与最大温度逐渐衰减明显, 而最大温度的衰减在X/S<2的区域内比最大速度衰减要慢, 这是由于温度分布是在Rm=1.45时给出的, 尽管如此, 在X/S=7时, 最大温度仍比最大速度低。说明在离开喷口一定距离以后, 温度衰减要快, 仍表现出其固有的输运特性。无论是最大速度还是最大温度, 无因次值均小于1.0。但对于颗粒浓度而言, 由于气固分离作用, 其最大相对浓度在X/S=1时仍表出C/C0≈1的特性, 由图2仍可看出, 其喷口中心轴线上的最大速度、最大温度和最大浓度变化也各有不同特点。

定性上, 图2已预示出:无论从衰减、扩展、横向弥散或混合特性以及射流中心轴线上的变化规律哪方面来看, 由于输运机理的本质区别, 导致输出特性的明显区别。

3 结论

对于双平行平面射流, 速度分布表现为双射流相互吸引并最终汇合成单一射流;由于动量比的影响, 温度分布客观地反映了冷射流为加热射流所卷吸;浓度分布反映了惯性力的占优作用。三种变量分布及发展的不同反映了动量、能量和质量输运具有本质区别, 这将是继后论文的重要内容。

参考文献

(1) Miller, D.R.and Commings, E.W.:Force-MomentumFields in A Dual-Jet Flow, J.Fluid Mech., Vol.7, No.2, (1960-2) , 237-256.

(2) Tanaka, E.:The Interference of Two-Dimensional Paral-lel Jets, (Ist Report, Experiments on Dual Jet) , Bulletin of theJSME, Vol.13, No.56, 1970.172-280.

(3) Elbanna, H., Gahin, S.and Rashed, M.I.;Investigationof two plane Parallel Jets, AIAA J., Vol.21, No.7, (1990) , 17-22.

(4) Raghunathan, S.and Reid, I.M.:A Study of MultipleJets, AIAA J., Vol.19, No.1 (1981) , 124-126.

(5) Milizer, J.Dual Plane Parallel turbulent Jets:The Mea-surement And Prediction of The Mean Velocity Field, Ph.D.Thesis, University, of Waterloo, Canada, 1977.

(6) Marsters, G.F.:Interaction of Two Plane Parallel Jets, A-IAA J., Vol.15, No.12, (1977) , 1756-1762.

(7) Tanaka, E.:The Interference of Two-Dimensional Paral-lel Jets (2nd Report, Experiments on the Combined Flow of DualJet) , Bulletin of The JSME, Vol.17, No.109, July, (1974) , 920-927.

(8) 邢春礼.水平浓缩煤粉燃烧流动问题研究 (D) .哈尔滨:哈尔滨工业大学, 1995, 6.

平面平行 篇2

主题：§1.2.2空间中的平行关系——平面与平面平行

____课时 课型：发现生成课和问题解决课 主备人：

一、教学目标 知识与技能：

（1）理解并掌握平面与平面平行的判定和性质定理。(2)能把平面与平面平行的关系转化为线面或线线平行关系进行问题解决，进一步体会数学化归的思想方法。

过程与方法：

培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。

情感、态度与价值观：

（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；

（2）了解空间与平面互相转化的数学思想，培养学生主动探究知识、合作交流的意识；（3）在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣，使学生的学习不断由感性认识上升到理性认识；

（4）体会获得知识的愉悦，提高了学习数学的信心。

教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理。

教学难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用。

二、教学过程

第二课时

1创设情境，回顾知识：

回顾上节内容，导入下一环节。2自主学习，解决问题： 教师：⑴发放《问题生成单》。⑵关注学生情况。⑶指导解决问题。学生：⑴浏览《问题生成单》。⑵走进文本读、划、写、记、练、思。⑶组织语言，准备交流。3合作交流，解决问题：

教师：⑴走进小组倾听交流。⑵有效指导，解决问题。⑶组织全班交流。⑷科学引导，使问题条理化。

4展示疑难，合作交流：

教师：指导学生分组交流并加以总结提炼，并提出新问题加以解决。学生：⑴展示问题。⑵讲解交流问题。5问题训练，提升能力： 教师：⑴发《问题训练单》。⑵巡视，批阅，搜集做题信息。⑷纠正共性问题。学生：⑴自主完成《问题训练单》。⑵全班展示交流。⑶针对问题反思。6全面总结，反思提高。

教师：⑴引导学生从知识、方法、情感等方面总结、反思。⑵总结规律提炼数学思想。⑶巡视、获取信息。

学生;⑴结合自身体会反思。⑵展示反思，全班交流。

拓展设计

教学反思

本节课的成功之处：

本节课最遗憾的地方：

本节课存在的问题：

直线与平面平行的证明方法小结 篇3

一、利用定义证明

直线与平面平行的定义:直线与平面没有公共点.即只要证明线与面无公共点即可.此类问题通常利用反证法来证明.由于直线与平面的位置关系只有三种: (1) 线在面内, (2) 线面相交, (3) 线面平行, 排除了前两种情况就只有线面平行.

二、利用直线与平面平行的判定定理证明

根据判定定理, 要证明线面平行关键是找到两条平行线 (面外一条, 面内一条) , 而两条直线平行的证明方法主要依据有:

1.平行公理.

2.三角形中位线定理.

3.平行线分线段成比例或相似三角形对应边成比例.

4.平行四边形对边平行.

5.面面平行及线面垂直的性质等.

三、利用面面平行的性质

如果条件允许的情况下能得到两个平面平行, 那么根据面面平行的性质我们就能得到线与线平行.

四、空间向量法

一般首先建坐标系, 求出这个平面的法向量, 证明这个法向量与那条直线的方向向量垂直.

例如图, 在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中, ∠ABC=60°, PA=AC=a, PB=PD=, 点E在PD上且PE∶ED=2∶1, 在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.

解以A为坐标原点, 直线AD, AP分别为y轴, z轴, 过A点垂直平面PAD的直线为x轴, 建立空间直角坐标系 (如图) , 由题设条件, 相关各点的坐标分别为A (0, 0, 0) ,

设平面AEC的法向量为n= (x, y, z) , 则由题意可知,

设点F是棱PC上的点,

以上是证明直线与平面平行的几种方法, 前几种方法主要是线线与线面的相互转化等问题, 而最后一种向量的方法较其他方法应用的较少, 但在能建立空间直角坐标系的情况下, 用向量证明是一种行之有效的好方法.

摘要：高中立体几何教学属数学教学中的重点, 其中直线与平面的关系是高中立体几何的基础, 本文就直线与平面的平行关系进行如下叙述.

平面平行 篇4

2.2.4平面与平面平行的性质

整体设计

教学分析

空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的应用.三维目标

1.通过图形探究平面与平面平行的判定定理及其性质定理.2.熟练掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.重点难点

教学重点:平面与平面平行的判定与性质.教学难点:平面与平面平行的判定.课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情境导入)

大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔，蜻蜓的翅膀可以看作两条平行直线，当蜻蜓的翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面是否与地面平行？直升飞机的所有螺旋桨与地面平行时，能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行？由此请大家探究两平面平行的条件.思路2.(事例导入)

三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？下面讨论平面与平面平行的判定问题.提出问题

①回忆空间两平面的位置关系.②欲证线面平行可转化为线线平行，欲判定面面平行可如何转化？

③找出恰当空间模型加以说明.④用三种语言描述平面与平面平行的判定定理.⑤应用面面平行的判定定理应注意什么？

⑥利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？

⑦回忆线面平行的性质定理，结合模型探究面面平行的性质定理.⑧用三种语言描述平面与平面平行的性质定理.⑨应用面面平行的性质定理的难点在哪里？

⑩应用面面平行的性质定理口诀是什么？

活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.问题①引导学生回忆两平面的位置关系.问题②面面平行可转化为线面平行.问题③借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题④引导学生进行语言转换.问题⑤引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件.问题⑥引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性.问题⑦注意平行与异面的区别.问题⑧引导学生进行语言转换.问题⑨作辅助面.问题⑩引导学生自己总结，把握面面平行的性质.讨论结果：①如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图

1.图

1②由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？ ③如图2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不一定平行

.图2 例如：AA′平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.如图3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行

.图

3例如：AA′平面AA′D′D,EF平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.如图4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面一定平行

.图

4例如：A′C′平面A′B′C′D′,B′D′平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直线A′C′与直线B′D′相交.可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD.④两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为： 若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β.图形语言为：如图

5,图

5⑤利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：(Ⅰ)有两条直线平行于另一个平面;(Ⅱ)这两条直线必须相交.尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调.⑥如图6,借助长方体模型，我们看到，B′D′所在的平面A′C′与平面AC平行，所以B′D′与平面AC没有公共点.也就是说，B′D′与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线

.图6

⑦直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.因为，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线，只要过B′D′作平面BDD′B′与平面AC相交于直线BD，那么直线B′D′与直线BD平行.如图

7.图7

⑧两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.//



两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：aa∥b.b

两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图

8.图8

⑨应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.⑩应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.” 应用示例

例1已知正方体ABCD—A1B1C1D1，如图9,求证：平面AB1D1∥平面BDC1

.图9

活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.证明：∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1.又∵AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB.∴四边形ABC1D1为平行四边形.∴AD1∥BC1.又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.同理，BD∥平面AB1D1.又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.变式训练

如图10,在正方体ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，求证：平面MNA∥平面PQG

.图10 证明：∵M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF, ∴MN∥PQ.∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行

四边形.∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG.∵MN∥PQ,MN平面PQG,PQ平面PQG,∴MN∥平面PQG.同理可证，AM∥平面PQG.又直线AM与直线MN相交，∴平面MNA∥平面PQG.点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行.例2证明两个平面平行的性质定理.解：如图11,已知平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求证:a∥

b.图1

1证明：∵平面α∥平面β, ∴平面α和平面β没有公共点.又aα，bβ, ∴直线a、b没有公共点.又∵α∩γ=a，β∩γ=b, ∴aγ，bγ.∴a∥b.变式训练

如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.解：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.证明：如图12，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f,图1

2//

a//c

b//da//ea//

//.c//eb//fb//

//

d//f

点评：欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面.知能训练

已知：a、b是异面直线，a平面α,b平面β，a∥β，b∥α.求证：α∥β.证明：如图13,在b上任取点P，显然Pa.于是a和点P确定平面γ，且γ与β有公共点P.图1

3设γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α.这样β内相交直线a′和b都平行于α，∴α∥β.拓展提升

1.如图14，两条异面直线AB、CD与三个平行平面α、β、γ分别相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC与平面的交点为H、G.图1

4求证：EHFG为平行四边形.平面ABCAC



证明：平面ABCEGAC∥EG.同理,AC∥HF.//

AC//EG

HF.同理,EH∥FG.故EHFG是平行四边形.EG∥

AC//HF

课堂小结

知识总结：利用面面平行的判定定理和面面平行的性质证明线面平行.方法总结：见到面面平行,利用面面平行的性质定理转化为线线平行,本节是“转化思想”的典型素材.作业

课本习题2.2A组7、8.设计感想

直线与平面平行的几种常见模型 篇5

立体几何中的直线和平面的平行关系, 作为平行关系的核心, 是学习立体几何推理论证的开始, 也是研究空间特殊位置关系的一个重要方面, 学生在学习过程中感到比较困难的是如何构造图形 ( 作辅助线) , 寻求“线线平行”与“线面平行”的相互转化. 为了使学生能够尽快学会“用图形语言进行交流”, 我们可以在学生有了一定的感官认识的基础上, 给学生总结出几种常见的模型, 要求学生连同“直线与平面平行的判定定理和性质定理”一起记住, 在处理相关问题时, 最初可以先学会对号入座, 符合哪一种模型就模拟哪一种进行构图、推理. 经过训练, 学生就能更快地学会、理解、掌握空间几何中的推理论证方法.

总结平行关系中的构图方法和证明方法, 我们会发现, 最有代表性的是以下四种模型:

模型一如图1 ( 为便于区别, 图1、图2、图3把新作出或寻找到的线画成虚线) , 已知: 线段EA交平面α于点B, B为EA的中点, 要证EF∥平面α, 只需连接AF交平面α于点C, 考查BC与EF是否平行. 显然, 证明点C是线段AF的中点, 则BC就是三角形AEF的中位线, 就有BC∥EF, 利用直线与平面平行的判定定理即可得到结论.

例1如图1 - 1, 已知: 在底面是平行四边形的四棱锥P - ABCD中, 点E是PD的中点. 求证: PB∥平面EAC.

分析观察图形, 结合已知条件, 可以看到, 在线段PB与平面EAC之间的诸多联系中, 最为特殊、与已知条件联系比较紧密的是线段PED, 注意到PD交平面EAC于点E且点E是PD的中点, 联系PB, PD与平面EAC的位置关系, 不难发现: 只要找出线段BD的中点即可, 符合模型一. 故连接BD交AC于点O, 连接EO ( 如图1 - 2) , 只要证明EO∥PB问题就迎刃而解. ( 证明略)

评析观察图形时, 尤其要关注一些特殊的部位, 平行问题中, 找 ( 作) 平面内的直线与平面外的直线平行的依据是直线与平面平行的判定定理, 找线段中点, 构造三角形中位线来解决是个好途径好方法, 同时如果在分析问题过程中把考察的对象从空间图形中“抽取”出来 ( 所要考察的直线和平面, 本例如图1 - 3) , 注意它们之间的联系, 局部分析, 整体考虑, 那么更容易对号入座, 寻求方法.

模型二如图2, 已知: 平面α外一点A及平面α内一点B, E为线段AB的中点, 要证EF∥平面α, 只需连接AF并延长交平面α于点C, 考查EF与BC是否平行. 显然, 证明点F是线段AC的中点, 则EF就是三角形ABC的中位线, 就有BC∥EF, 利用直线与平面平行的判定定理即可得到结论.

例2如图2 - 1, 已知有公共边AB的两个平行四边形ABCD和ABEF不在同一平面上, P, Q分别是对角线AE和BD的中点. 求证: PQ∥平面EBC.

分析观察图形, 在经过点P或点Q的所有线段中, 线段APE与平面EBC的关系恰好符合模型二的特征, 结合平行四边形的性质, 连接AC ( 如图2 - 2) , 因为点Q是平行四边形ABCD的对角线BD的中点, 所以点Q在AC上且为AC的中点, 故PQ是三角形AEC的中位线, 问题得以解决. ( 证明略)

评析和模型一相比, 模型二也利用了寻找中点构造三角形中位线的方法解决问题, 但二者之间还是有着微妙的差异的. 例2在分析过程中如果把所考察的直线和平面从复杂的原图形中“抽”出来 ( 如图2 - 3) , 就能很清楚地看出如何添加辅助线, 从而使问题迎刃而解. 从复杂图形中“抽”出我们的研究对象, 使问题的特征更凸显更直观, 是分析空间问题的一个有效的技巧和方法.

模型三如图3, 已知: 平面α外的一条线段EF, A为平面α内一点, 要证EF∥平面α, 只需过点F作FB∥EA交平面α于点B, 判断四边形ABFE是否是平行四边形. 事实上, 在四边形ABFE中, 已经有FB∥EA, 只需证明FB = EA就可以了.

例3如图3 - 1, 已知: 在正方体ABCD - A'B'C'D'中, M, N分别是DD', BC'的中点, 求证: MN∥平面ABCD.

分析观察图形, 结合正方体的特征, 注意线段MN与平面ABCD的关系, 可以发现MD是它们之间比较好的一个联系, 线段的中点又是一个非常有效的分析问题的着手点, 显然符合模型三的特征, 所以只需取BC的中点E, 连接NE, DE ( 如图3 - 2) , 只要能证明MD∥NE且MD = NE, 则四边形MNED是平行四边形. ( 证明略)

评析有些图形中可能不涉及线段的中点, 无法像前两个模型那样利用三角形的中位线解决, 但我们可以体会到, 只要有相同的比例关系, 总可以构造出平行线来, 方法可以类比, 可以迁移. 本例虽然有中点出现, 也可以利用模型二解决问题: 取BC中点为E, 连接D'N并延长, 交DE延长线于点F, 证明MN是三角形D'DF的中位线即可 ( 图形略) . 但是这种方法的图形扩展到了形外, 图形构造比较复杂, 而且证明过程也相对烦琐. 对照模型三, 只要“抽”出主要元素 ( 如图3 - 3) , 构图、证明思路就一目了然.

模型四如图4, 已知: 平面α外的一条线段EF, 要证EF∥平面α, 寻找过EF的平面β, 如果平面α与平面β 平行, 那么利用“两个平面互相平行, 则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面”就可以证明直线EF∥平面α.

例4 ( 同例2, 如图2 - 1)

分析再次观察图2 - 1, 联系平面与平面平行的特征, 可以看到, 只要过PQ构造一个平面与平面EBC平行, 利用两个平面平行的定义就可解决问题, 考虑到点P, Q分别是线段AE, BD的中点, 所以可以取AB的中点R, 连接PR, QR ( 如图4 - 1) , 很容易能够证明平面PQR∥平面BEC. ( 证明略)

评析1. 观察图形时, 尤其要关注一些特殊的部位, 平行问题中, 找 ( 作) 面内的线与面外的线平行的途径是取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等, 找中点解决是个好途径好方法, 这是立体几何论证平行问题, 培养逻辑思维能力的重要思想方法, 同时要在分析问题过程中把考察的对象从空间图形中“抽取”出来 ( 所要考察的直线和平面) , 注意它们之间的联系, 局部分析, 整体考虑.

2. 一般来说, 一组线面平行关系的证明可以用上述若干种模型来证明 ( 比如例2和例4, 还可以用模型三的方法解决) , 具体使用哪一种模型, 要考虑证明过程是否简洁, 同时也要考虑是否有利于后续问题的解决. 一题多解的变式训练, 多角度考虑问题, 变换方法解决问题, 有利于培养学生思维的广阔性和深刻性, 有利于提高学生的学习效率.

3. 如果已知条件中给出直线和平面平行, 一般要利用直线和平面平行的性质定理寻求直线与直线平行, 关于线面平行的性质的应用, 同样也可以利用上述四种模型来分析构图, 从而找出“线线平行”. 这里限于篇幅, 不再举例说明.

平面平行 篇6

机器学习在人工智能的研究中具有非常重要的地位。支持向量机是Vapnik等在统计学习理论基础上发展起来的针对小样本的机器学习方法[1]。该方法由于具有较强的泛化能力、方便对高维的数据进行操作而得到了日益广泛的研究和应用。传统的有监督的分类方法,虽然能够有效地解决各种实际问题,但是需要事先对大量样本进行标记以获取足够的训练样本,代价高,效率低。因此,根据实际需要研究人员提出了一些半监督支持向量机分类方法。Bennett, K.,& Demiriz,A.于1999年提出了半监督支持向量机(S3VM[2]), 它基于聚类假设,试图通过探索未标记数据来规范调整决策边界, 从而提高运算的准确度。21世纪以来,Melacci,S.,&Belkin,M提出了拉普拉斯(Laplacian)支持向量机[3],主要是通过图的拉普拉斯矩阵来探索数据的流形结构,通过对无标记的数据找到合适的类别, 以使它们与已标记的数据和潜在的图的结构的不一致性最小化,从而提高了预测精确度。

本文将拉普拉斯(Laplacian)正则项引入到不平行超平面分类机[4]之中,建立了拉普拉斯正则项的半监督不平行超平面分类机。同时,在数值试验中,从精度和速度上,和经典的拉普拉斯正则项支持向量机和拉普拉斯正则项双支持向量机做了对比,表明了提出的算法的优良性。

2背景知识

半监督分类问题的数学描述如下:

给定有标签数据集

和无标签的数据集

所有负类样本点的输入构成的矩阵为

并记所有正类点的输入和无标签的数据集构成的矩阵记为M,即M[XT,UT]T,所有负类点的输入和无标签的数据集构成的矩阵记为N , 即N[XT,UT]T,所有数据集构成的矩阵记为X [M, N].

2.1拉普拉斯正则项

1998年,Miller D J和Uyar H.从数据分布的角度对半监督学习进行了直观的分析,认为通过使用大量未标记样本可以提高分类精度。在此基础上,2006年Belkinetal提出了样本点的内在联系[5], 具体的表达式为

其中f(x) 表示决策函数, L D W,这里W中的元素Wij代表数据点之间的相似度,采用k近邻方法来定义Wij。

2.2不平行超平面支持向量机

2014年,不平行超平面支持向量机[4]被提出,它通过寻找两个非平行的超平面构造最终的决策函数,对于新输入的点,离那个超平面距离近就属于那一类。

对于给定的数据集(1),在线性模型中,为了得到如下两个分类函数

不平行超平面支持向量机的原始问题为

构造如下拉格朗日函数,根据KKT条件可求解出原始问题的对偶问题为

其中

通过求解对偶问题,可构造出决策函数

3基于拉普拉斯正则项的半监督不平行超平面分类机

在本节中,针对半监督分类问题,我们提出了一个新的分类算法,称它为基于拉普拉斯正则项的半监督不平行超平面分类机。我们首先分别给出基于拉普拉斯正则项的半监督不平行超平面分类机的线性情形和非线性情形。

3.1线性情形

对于给定的数据集(1)和(2),在线性模型中,为了得到如下两个分类函数

构造如下的原始问题为

为了求解问题(12),我们考虑如下的拉格朗日函数

显然,由(10)-(13)推出

将(19)-(22)代入拉格朗日函数,结合(17)-(18)整理得到原问题的对偶问题为

根据原始问题的解和对偶问题的解关系,即式(19)-(22),可构造出决策函数

3.2非线性情形

构造如下的原始问题为

为了求解问题(25),我们考虑如下的拉格朗日函数

根据KKT条件有

显然,由(26)-(29)推出

将(32)-(35)带入拉格朗日函数,结合(30)-(31)整理得到原始问题的对偶问题为

根据原始问题的解和对偶问题的解的关系,即式(32)-(35),可构造出决策函数

4数值实验

图1表示Lap-SVM,Lap-TSVM和Lap-NPSVM的分类比较, 小正方形代表有标签正类样本点,大正方形代表无标签正类样本点,小圆代表有标签负类样本点,大圆代表无标签负类样本点。

图1的数据集来自噪音数据集[8,9],属于交叉型数据,Lap-SVM, Lap-TSVM和Lap-NHSVM做对比,从图1可以看出Lap-NHSVM具有明显比较好的分类精度,能够更好的利用未标签的数据,从而使分类效果更好。

在下面表1和表2的实验中,我们利用UCI数据中的六个数据来做数值实验,包括Diabetes,German,Ionosphere,Sonar,Australian, Heart。在机器学习中,这些数据经常会被用来检测算法的优劣,在实验中,取每个数据集的40%作为有标签的样本集,30%作为无标签的样本集,进行十次试验,取十次实验结果的平均值加减方差构成。 对于CPU时间,同样取十次实验结果的平均值。如图所示,黑体表示最高精确度对应的数据,表1表示线性情形时,Lap-SVM,Lap- TSVM和Lap-NHSVM的比较,表2表示非线性情形时,Lap-SVM, Lap-TSVM和Lap-NHSVM的比较,从实验结果可以明显的看出, 对于大部分数据集,拉普拉斯不平行超平面分类机具有更高的分类精确度,例如,对于Lonosphere数据集,Lap-NHSVM对应的精确度为88.32%,而Lap-SVM,Lap-TSVM对应的精确度远小于它,另一方面,从下表可以看出,Lap-NHSVM对应的CPU时间要比Lap- SVM的快速,却比Lap-SVM和Lap-TSVM的精确度高。

5结语

在本文中,提出了基于拉普拉斯正则项的半监督不平行超平面分类机,从数值实验可以看出,提出的分类方法具有较高的分类精确度,尤其对于某些数据集,例如交叉数据集,我们的算法可以得到更精准的结果,因此我们可以看出,本文提出的半监督不平行超平面分类方法值得肯定。

参考文献

[1]V.Vapnik.The Nature of Statistical Learning Theory.SpringerVerlag,2nd edition,1998.

[2]Bennett,K.,&Demiriz,A.(1999).Semi-supervised support vector machines.In Advances in Neural Information Processing Systems 11,368-374.

[3]Melacci,S.,&Belkin,M(2011).Laplacian support vector machines trained in the primal.Journal of Machine Learning Research,12.

[4]Shao Y H,Chen W J,Deng N Y.Nonparallel hyperplane support vector machine for binary classification problems[J].Information Sciences263(2014)22-35.

[5]Belkin et al.,(2006).Manifold regularization;a geometric framework for learning from labeled and unlabeled examples.Journal of Machine Research,7,2399-2434.

[6]O.L.Mangasarian,E.W.Wild,Multisurface proximal support vector classification via generalize deigenvalues,IEEE Transactions on Pattern Analysisand Machine Intelligence28(1)(2006)69-74.

[7]邓乃扬,田英杰.数据挖掘中的新方法-支持向量机[M].2版.北京:科学出版社,2009:356-357.

[8]O.L.Mangasarian,E.W.Wild,Multisurface proximal support vector classification via generalize deigenvalues,IEEE Transactions on Pattern Analysisand Machine Intelligence 28(1)(2006)69-74.

平面平行 篇7

2014 年12 月底, 笔者有幸到北京参加了与数学有关的微课程的模式研讨, 尝试设计了一个微课程视频———如何在平面内找一条直线与已知直线平行, 现记录下教学过程, 谈谈不成熟的想法, 旨在抛砖引玉。

一、 目标解析

这堂微课目的让学生学会在平面内找一条直线与已知直线平行的方法, 体会解决立体几何问题的重要思想方法———化归思想, 培养、 提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、 条件分析

( 1) 学生的知识储备: 学生已经学习了线面平行的概念、 判定定理和性质定理, 对于数学的三种语言即文字语言、 图形语言、 符号语言相互转化已能够平稳过渡。

( 2) 教学素材的准备: 若是平时教学, 可结合教室中的实物, 利用投影知识, 让学生去感受, 逐步体会。 考虑到是微课视频, 怎样将生活现象提炼出来让学生感受和发现呢? 故设计了一段约50 秒的摄像插入视频, 让学生去感受、 发现, 暴露学生的自然思维过程。

( 3) 教学理念的准备: 证明线面平行, 根据判定定理, 关键是要在平面内找到一条线与它平行? 通过观察生活现象, 借鉴传统的解决线面平行的方法, 只要证出直线和它在平面内的投影平行, 通过方法类教学, “ 授之以渔”。

三、 问题预诊

线面平行判定中, 证线面平行, 在利用直线与平面平行的判定定理时, 学生可能会暴露出不太会在平面内找到一条线与它平行? 根据传统的思路是: 反过来运用线面平行的性质讨论解决———“ 有线用线, 无线作线”。 但这样的线具有一定的隐蔽性, 学生不易操作, 怎么找成为一个难点? 能不能改进一下方法, 让学生即使在复杂的图形中寻求时依然有章可循、 有法可依? 故笔者以性质定理为理论依据, 设计从平行投影和中心投影两个角度讲解投影知识, 通过一道例题来加强理解, 让学生掌握寻求的通法, 注意展现思路形成过程。

四、 教学过程

1. 提出问题

要证明线面平行, 关键是“ 在平面内找一条直线与这条直线平行”, 怎样在平面内找一条线与已知直线平行呢?

目的: 开门见山, 迅速切题, 主题突出。

2. 例题讲解

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N分别为A1B和AC上的点, 且A1M = AN, 求证: MN∥ 平面BB1C1C。

问题: 如何判定直线与平面平行呢?

目的: 让学生亲身经历对问题的研究, 要证MN∥平面BB1C1C, 根据判定定理, 关键是要在平面BB1C1C内找到一条线与MN平行? 怎么找?

问题解决: ( 1) 方法探究。

摄像引入: 我们先来观察一个生活中的小现象, 在阳光下, 取一根木棒, 使它与地面平行, 观察一下, 我们能否快速、 准确地在地面上找到一条线和木棒平行呢? 容易发现木棒和它在地面上的影子平行, 而且不管木棒怎么水平放置, 它在地面上的影子总是与它平行的。 这个影子在数学上叫什么?

【 设计意图】 结合生活中的实物, 让学生去感受, 逐步体会, 通过不停演示, 导出投影角度, 突出证明思路的探索过程。 相对于传统的教学, “ 忠于教材而不囿于教材”, 突出了现代的取舍, 视角新颖。

( 2) 实验观察, 得出投影找平行线的第一种方法。

要证MN∥ 平面BB1C1C, 只要找到MN在平面BB1C1C的投影, 投影有几种投影方式?

投影有两种: 一种是平行投影, 一种是中心投影。我们先来看一下平行投影: 画一个垂直放置的投影面和一条竖直放置的线段, 对于一组平行光线, 观察线段投影, 发现只要两端点投影位置确定, 则整个线段的投影确定, 不管投影方向怎么变化, 它都将线段等长度地投影在了投影面上, 均得到平行四边形模型。

小结: 借助于平行投影, 利用平行四边形进行“ 等大平移” 是找平行线的重要思路之一。

3. 解决问题

此题要证MN∥平面BB1C1C, 故将平面BB1C1C作为投影面, 怎样将MN投影到左侧上? 也就是沿着什么样的方向投影呢?

目的: 使学生初步留下平行投影与投影方向有关的印象。

因为投影方向很多, 考虑到要易作易证, 我们选择AB方向。

作MM1∥A1B1交BB1于M1, 作NN1∥AB交BC于N1, 连接M1N1, 这样MN就沿着AB方向等大平移到M1N1处。

因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中, A1M = AN, AC =A1B, 所以CN = BM,

又A1B = CA, 所以,

因为AB = A1B1, 所以MM1= NN1,

又MM1∥A1B1∥AB∥NN1, 所以四边形MM1N1N是平行四边, 所以MN∥M1N1, 又M1N1平面BB1C1C, MN⊄平面BB1C1C, 所以MN∥平面BB1C1C。

沿AB方向的投影, 实际上是一个正投影。

追问:若沿AC方向投影, 投影是什么呢?

目的: 让有兴趣的同学课后试一试, 并和沿AC方向的投影进行一下优劣比较, 能在具体解题时做到择优选取。

小结: 平行投影, 关键是要确定合适的投影方向。

4. 动手实验, 得出投影找平行线的第二种方法

投影除平行投影外, 还有中心投影。 若选定一点作为投影中心, 线段MN投影在哪里?

尝试1: 以A为投影中心, A将N投影到C, 那么A将M投影到何处呢? 连接AM, 观察其与平面BB1C1C的位置关系, 不难发现线段MN的投影就是图中的CE, 它将MN进行了放大投影。

过程如下:

连接AM交BB1的延长线于E, 连接CE。

因为AA1∥BB1,

因为在正方体ABCD - A1B1C1D1中, A1M = AN, AC = A1B,

所以CN = BM, 所以,

所以NM∥CE, 又CE平面BB1C1C, MN⊄平面BB1C1C。

尝试2: 若将投影中心放在A1, A1将M投影到B, A1将N投影到哪呢?

观察图形, 不难发现, 它将MN投影为BF。

问题:若将投影中心放在D或D1处呢?

总结: 中心投影, 关键是选择合适的投影中心。

借助于中心投影, 利用三角形进行“ 放缩平移”也是找平行线的重要思路之一。 最后, 师生共同总结提炼在平面内找一条直线与这条直线平行的方法。

五、 笔者感受

微课时间虽然微不足道, 但其内容, 可以说是“ 麻雀虽小, 五脏俱全”。 它要求教师授课时截取最精彩片段, 抓住学生注意力的最佳黄金时段, 在最短的时间最大限度地锁定学生, 简明扼要地概述知识点, 点拨难点, 突出注意点, 预防易错点。 这既关乎形式, 又关乎内容, 对教育者知识的积淀要求, 可确实不是一般, 实在能说“ 微也足道”。

由于微课程只讲述一个教学知识点, 这个知识点是供学生学习时, 必须要教师讲述才能理解的内容, 是学习的重点、 难点或易错点, 所以选题很重要。 首先, 教师要能根据学生的学习程度和容易出现的问题入手, 通过典型例题和深入浅出的讲解使学生迅速掌握知识点, 让重点变得突出、 难点得到释疑、 考点得到夯实。

其次, 微课是为学生“ 解惑” 的微型课。 它针对学生学习中的疑难问题设计, 短小精悍, 讲时要做到“ 切题迅速、 主题明确、 收尾快捷、 语言干练”。 这样才能做到既满足5 ~ 8 分钟的时长要求, 也能对有疑惑的学生进行局部点拨和夯实。

尽管我们追求“ 5 分钟完成一次学习, 300 秒经历一次思考” 这样的境界, 微课有着传统课堂不可比拟的优势, 而且微课是浓缩的精华, 它可以使平时反应慢又羞于发问的学生能够从容地反复观看, 不受学习的时间和地点限制, 有很大的自主空间。 一个微课程视频的制作却是经验和智慧的积累, 也许有限个微课所带来的作用不起眼, 但如果更多的教育者参与到微课程的思考与制作中来, 集腋成裘, 聚沙成塔, 一定会浸润、 滋养、 培育出更多的优秀学生来, 同时也能让更多的年轻教师学到更多更丰富的教学经验。 让我们一起努力探索吧!

参考文献

[1]王政.微课设计在课程中的应用[J].成人教育, 2014 (9) .

[2]胡铁生.“微课”:区域教育信息资源发展的新趋势[J].电化教育研究, 2011 (10) .