几何作图法（精选5篇）
几何作图法 篇1
在透镜成像作图中, 由于三条特殊光线易于掌握, 便于运用, 因而应用三条特殊光线作图已经成为一种基本模式.然而由于三条特殊光线的过于突出, 使得其他光线的作用相对淡化, 这对正确认识透镜成像原理反而不利.
像是从发光点射到透镜的所有光线 (无数条) 经透镜折射后的出射光线 (或出射光线的反向延长线) 的交点, 也就是说从发光点射向透镜的每一条光线经透镜折射后都经过该发光点的像点 (而不仅仅是三条特殊光线) , 这是透镜成像作图的基本依据.下面通过两例加以说明.
例1如图1所示, S1、S2为发光点, S1'、S2'分别为S1、S2通过透镜 (图中未画出) 成的像, 试作图求出透镜的位置、光心和种类, 并依次写出作图的步骤.
[解与析]:该题由于透镜的种类、位置、焦点均未知, 因而平行于主光轴的光线与经过焦点的光线均无法画出.由于经过光心的光线不改变方向, 故而连接S1、S1'与S2、S2'这两条光线的交点即为该透镜的光心, 求出光心后还不能确定透镜位置, 因为要确定一条直线需要两个点, 那么另一个点的确定就要运用其他光线.该题最容易出现的错误就是求出光心后先入为主的将透镜认为是竖直放置, 然后作成像光路图, 从而确定透镜的种类, 之所以出现这种错误, 其根本原因就在于对透镜成像的本质没有理解.
错误画法 (如图2所示)
(1) 连接S1、S1'和S2、S2', 它们的交点为O, 即为透镜的光心;
(2) 过O作线段PQ, 即为透镜, 过O作PQ的垂线, 即为主光轴MN;
(3) 作过平行于MN的直线交PQ于A, 连接AS1', 即为平行于主光轴入射光线的折射光线;过S2作平行于MN的直线交PQ于B, 连接BS2', 即为平行于主光轴入射光线的折射光线;
(4) 由成像性质看该透镜为凸透镜.
正确画法 (如图3所示)
(1) 连接S1、S1'和S2、S2', 它们的交点为O, 即为透镜的光心;
(2) 连接S1、S2并延长。连接S2'、S1'并延长.两延长线的交点为P, 即为透镜上的点 (S1发出的光线中肯定有一条经过S2, 并到达透镜折射后经过像点S1', S2发出的光线中也肯定有一条与S1P重合经透镜折射后经过像点S2') ;
(3) 过O、P两点作出透镜, 应为凸透镜 (成倒立实像) .
例2如图4所示, 垂直于凸透镜主轴的物AB经透镜成像A1B1。物距、相距分别为U、V, 现在使物AB偏转一个α角成A'B位置, 仍能成完整的实像, 请再不必确定焦点位置的情况下, 作出A'B成像的光路图, 要求叙述作图步骤并求出像A1B1偏转的角度β.
[解与析]:该题要求不必确定焦点位置作图, 故而在作图时需借助三条特殊光线之外的其他光线.
作图如下 (如图5所示)
(1) 沿BA'作射线, 交透镜于P点, 作出其折射线应过B1点 (BA'可视为B点发出的一条光线AB转过a角后因B点未动, 故其像点B1位置不动, 所以BA'折射后必然经过B1点) ;
(2) 沿A'O作射线, 与PB1的延长线交于A1'点.A1'B1即为A'B的像;
(3) 有几何关系可见:
关键词：物理教学,透镜成像,任意光线,作图
几何作图法 篇2
然后, 分别以A、B点为中心, 以AB为半径, 划圆弧得交点C、D。自C、D点与AB线上的偶数 (或奇数) 等分点相连并延长与圆周相交, 再用钢尺一次连接A、E、F、G、H、I、J各点, 即为所需的正多边形 (如图2) 。
最后在相交点和边长上打上样冲眼。
摘要：正多边形类零件在生产过程中应用很广, 正五边型、正七边型教课书上多有介绍, 任意多边形则少有介绍。文中以正七边型为例, 介绍了用几何作图法进行划线的方法。
找圆心画轨迹几何作图定成败 篇3
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动问题一直是高中物理教学的重难点和命题考查的热点, 主要体现在洛伦兹力的应用以及根据圆周运动轨迹中的几何关系进行作图并分析计算.因此, 挖掘题干中的几何信息, 确定圆周运动的圆心, 正确画出圆周运动的轨迹图是解题成败的关键.
如何找圆心、画轨迹?通常有以下几何信息可做参考:
(1) 洛伦兹力F洛的作用线
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动, 洛伦兹力指向圆心, 提供向心力.因此, 圆心在洛伦兹力的作用线上.
(2) 弦的垂直平分线
带电粒子经过的两点即轨迹圆的弦, 据圆的几何特征, 圆心在弦的垂直平分线上.
(3) 两速度矢量夹角的角平分线
速度矢量所在的直线就是轨迹圆在这一点的切线, 据圆的几何特征, 圆心在两切线夹角的平分线上.
(4) 半径的大小
找到圆心所在的直线, 在这一直线上找距离圆周等于半径大小的点, 此点即圆心.
将上述的其中两个几何信息综合, 即可确定圆心从而画出运动轨迹.请看实例:
【例1】如图1所示, 一带电质点, 质量为m, 电荷为q, 以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出, 可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内, 试求这一圆形磁场区域的最小半径. (重力忽略不计)
【解析】在通过M、N两点的不同的圆周中, 最小的一个是以MN连线为直径的圆周.所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为:
所求磁场区域如图3所示中实线圆.
【点评】本题据两速度矢量夹角的角平分线和半径的大小定圆心、画轨迹图.
【例2】如图4所示, 虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线, 在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场, 方向垂直纸面向外, O是MN上的一点, 从O点可以向磁场区域发射电荷为+q、质量为m、速率为v的粒子, 粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇, P到O的距离为L, 不计重力及粒子间的相互作用.求所考察的粒子从O点射入磁场的时间间隔.
如图5所示, 以OP为弦可以画两个半径相同的圆, 分别表示在P点相遇的两个粒子的轨迹.圆心分别为C1、C2, 过O点的直径分别为OC1Q1、OC2Q2, 在O点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向, 用θ表示它们之间的夹角.由几何关系可知, ∠PC1Q1=∠PC2Q2=θ, 从O点射入到相遇, 粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P=Rθ, 粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=Rθ.
【点评】本题根据弦的中垂线和半径的大小定圆心、画轨迹图.
【例3】一匀强磁场, 磁场方向垂直于xOy平面, 在xOy平面上, 磁场分布在以O为圆心的一个圆形区域内.一个质量为m、电荷量为q的带电粒子, 由原点O开始运动, 初速为v, 方向沿x轴正方向.后来, 粒子经过y轴上的P点, 此时速度方向与y轴的夹角为30°, P到O的距离为L, 如图6所示.不计重力的影响.求磁场的磁感强度B的大小和xOy平面上磁场区域的半径R.
【思维导引】据左手定则, 粒子在O点受洛伦兹力F洛沿y轴正方向, 圆心O必在y轴上;又已知两个速度矢量的方向, 作两速度矢量夹角的角平分线, 据几何关系, 圆心必在角平分线上;综上所述, 角平分线MN与y轴的交点即为圆心C.以C为圆心、线段CO为半径画圆弧AO可得粒子的运动轨迹.该圆弧过O点与x轴相切, 并且与PQ相切, 切点A即粒子离开磁场区的地点.
【解析】作粒子做匀速圆周运动的轨迹如图7中圆弧AO所示, 其轨道半径为
由图中几何关系得
由以上两式求得
【点评】本题依据洛伦兹力的方向和两速度矢量的夹角平分线定圆心画圆轨迹.
通常对这类问题的分析, 先是直接给出圆周运动的轨迹, 再依据图形进行计算, 但缺少如何作画运动轨迹的思维导引过程与方法.爱因斯坦说:“学习知识要善于思考、思考、再思考!我就是靠这个学习方法成为科学家的.”由已知条件分析推理得出圆周运动轨迹的思维导引过程才是正确解题的途径, 希望本文能对师生有所启发.
几何作图法 篇4
尺规作图如今在几何教学中是一个正在日益受到重视的教学领域。它的使用对于初中平面几何的影响及意义越来越显著。在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图。虽然尺规也是画图工具，但尺规作图不同于用工具画图，尺规作图只限于用无刻度的直尺和圆规，直尺用于根据两点的位置作直线、射线、线段或作延长线，圆规用于根据圆心位置、半径大小作弧或圆。所以作图题都应用直尺或圆规作图，而不能把用三角尺画直角、画平行线等当作尺规作图。尺规作图需按一定的公法来进行，作图公法能确定三种简单的作图。能有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图，从而最终可以得到给定条件的图形，这一类作图题称为尺规作图可能问题。反之，凡有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图肯定不能得到给定条件的图形，这一类作图题就称尺规作图不能问题。用尺规作图法可以完成的最基本作图有如下五种：(1)画一条线段等于已知线段;(2)画一个角等于已知角;(3)画线段的垂直平分线;(4)过已知点画已知直线的垂线;(5)画角的平分线。而根据这种最基本作图又可以用尺规完成下列关于三角形的图形的基本求作：已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形，已知底边及底边上的高作等腰三角形，已知一直角边及斜边作直角三角形。在些基础上，人们就可以进一步进行尺规作图的扩展。
用尺规法画图十分方便，尺规作图不仅仅工具简单，使用方法也最简便，免去了度量，准确度更高。这种只限于用尺、规，作出符合一定条件的几何图形，无疑是一种很强的约束力，这种约束力要求学习者具有较强的数学思维能力和操作能力。这种约束力在几何理论学习和研究上有一定的科学价值。[1]尺规作图具有的这种约束力，在几何学上可以训练学生严密的逻辑思维能力，激发学生的学习兴趣，培养学生的严谨的工作态度，对学好初等几何具有深远的意义。
2. 尺规作图对学生几何学习的影响
2.1 研究目的
由于一个人的几何学习能反映出一个人的数学思维方面的主要活动。它能反映出一个人的数学学习的观察力，影响他对数学学习的兴趣、动机和动力，决定着他用几何处理实际问题的能力。当前的新课程标准对传统几何能否转到直观的位置上非常注重。未来的几何学习应当重视以下四个步骤：直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算。但在中国的几何教学，把前两个步骤忽略了，变成纯粹的思辨论证，以及论证基础上的计算。缺乏直观，实际上就扼杀了几何。[2]有人曾经说：“几何教学的作用是培养学生的理性思维能力。”是的，但我们在教学中却不能死板、教条，不能只停留在理性思维上，要让学生学会独立思考的意识，要使每一个学生都有探索真理的勇气，敢于实践、敢于创造、敢于发明、不守成规，在创新中发展，在发展中创新。可以说，几何中的尺规作图是让学生从经验提升到理论上来的重要途径，能让学生从中举一反三，同时这也是数学几何教学中难得的实践活动。这项活动开展得好，对学生的几何学习是难得的，是非常有益的，对学习几何会产生深远的影响。为充分认识几何教学中尺规作图的教学对学生几何学习的影响，我进行了为期近一年的对比实验研究，现将研究过程与方法列出如下。
2.2 研究方法
根据研究目的，在2005年9月，我选择了下列两班作为被试的对象：
实验班：2005级药学高职(1)班
控制班：2005级药学高职(2)班
其中：两个班的学习成绩情况基本相当;实验班和控制班是随机选定的;这两个班的数学几何教学由我一人承担。
2.3 实验过程
2.3.1 首先在几何学习开始初期对这两个班的学生的数学成绩进行测试。
统计出二班学生的成绩统计表如下。
2.3.2 对两个班学生在几何学习方面的一些情况进行问卷调查。
设计出如下的调查问卷。
(1) 你对几何学习的兴趣是 ( ) 。
A.非常感兴趣 B.比较感兴趣 C.一般兴趣 D.不感兴趣
(2) 你对自己几何学习方法的自我评价是 ( ) 。
A.很满意 B.比较满意C.不满意 不知道
(3) 你认为学好几何的标准是 ( ) 。
A.会证明几何题 B.不仅学会看而且学会画图
C.有较强的逻辑思维能力 D.其它
(4) 你对尺规作图的感受是 ( ) 。
A.枯燥乏味班级
B.能提高自己的理性思维能力
C.从作图中得到了美的享受
D.平时作图的实践太少
对两个班的学生问卷调查作出如下统计表。
从上面的调查问卷中可以看出，两个班学生在几何学习期初对几何学习的兴趣与认识方面差别不大，数学课程的学习成绩无明显差距。
2.3.3 结合几何教学的内容，有计划地进行几何尺规作图的训练。
一学年来，在数学中关于几何教学的主要内容有：点、线、面、线段、直线、射线、平行与垂直、角、三角形的全等、四边形。在本学年的几何课堂教学(每周四学时)中，在控制班，我以大纲要求掌握的基本作图及一些三角形的作图为主，没有讲解训练其它的关于几何作图的相关知识，而以解题及证明为主的练习代之。而在实验班的几何课程的教学中，我首先将基本作图进行扩展，将以下作图类型也扩展为基本作图：(1)作已知三角形的外接圆、内切圆、旁切圆;(2)以定线段为弦，作一含已知角的弓形弧;(3)从圆上或圆外一点作已知圆的切线;(4) n等分已知线段;(5)内(外)分一已知线段，使得所得线段的比等于两已知线段的比;(6)作三条已知线段的第四比例项;(7)作一线段等于两已知线段平方和(差)的算术平方根;并以这些为基础，增加训练上述基本作图及扩展后的基本作图之外的有关几何作图方面的知识，通过对这些作图的训练，拓展学生的思维的能力。例如，在会作已知锐角α的平分线的基础上，训练实验班学生思维扩展到能迅速作出：(1)作已知直角的平分线;(2)会作22.5°的角;(3)作已知钝角的平分线;(4)将已知角四等分;(5)作15°的角;(6)拓展到一些实际问题。例如已知公路AB和CD，准备在两公路间修一条高速公路，与两公路始终保持等距，试画出高速公路示意图。由上例可以看出，我们在该班尺规作图的试题教学中进引各种变化，但归根结底，却又回归到基本作图，让学生在学习中要抓住基本作图的“精髓”，然后进一步的深化与提班高，级从而把较复杂的作图题转化到基本作图上来，能充分打开学生学习几何的思路。
同时, 在对实验班的几何作图教学中, 我还十分重视对所作的图形的证明和讨论;而在控制班, 这方面重视相对偏弱些。在证明所作的图形为正确的过程中, 让学生充分认识到作图题证明和普通证明的区别所在, 在作图题的证明过程中, 特别要注意运用已知条件和在作图中创设的条件。在讨论部分, 专门研究作图是否有解, 有几个解, 在不同条件下, 各有什么结论, 同时对不同条件下有不同结果的作图让学生详细写出作图的过程, 并画出不同条件下各自的图形。在这样的过程中, 学生的辨别能力得到了训练和提高, 对比分析能力得到了加强, 对几何有了更直观的感受。
学期结束后, 我对两个班级进行的几何部分阶段测试成绩统计表如下。
统计结果显示：(1)尺规作图的教学能显著提高实验班学生的几何学习的直观性，对学生的理性思维能力有很大的提高，能培养学生对几何学习的兴趣，提高学生几何学习的成绩。(2)同时，加强学生尺规作图的训练，能提高学生数学学习的动手操作，在数学平面几何教学中，提供给学生充分的动手操作的空间，真正体现出《新课标》所倡导的“自主、合作、探究”的学习模式。以几何作图为主的动手操作在几何教学中的作用是举足轻重的，教师要能够抓住时机，让学生从动手操作中帮助理解并获得几何学习的启示。
3. 结论与建议
3.1 结论
通过这一年的调查研究发现，尺规作图在一定程度上对学生的几何学习产生了影响，而几何学习又对学生的数学学习产生了影响。通过对尺规作图的扩展，学生对几何的直观认识更加深入，对点、线、面、垂直平行、角、平分、垂直平分、三角形等各种几何基本概念有了进一步的了解，对它们的关系有了更深认识。这样使学生能够感受物质存在的位置关系、构作几何图形、正确地加以描绘，并能体会其中的本质，[3]从而带来学习上的积极影响和主动精神。而相反，认为几何教学中只应注重证明及计算，忽视直观的图形的观点，对几何教学及整个数学的教学是非常不利的。它会影响学生的几何学习及整个数学的学习。
在人类历史上，人们曾经进行过无数的尺规作图问题的尝试，其中甚至有些是不可能用尺规作图的问题。最著名的是几何中的三大不可能尺规作图问题：三等分角、化圆为方、倍立方。多少人耗尽毕生的心血，付出无数的汗水，为之努力、奋斗。尽管他们是徒劳的，但在这尺与规的方圆之间，人们对几何的魅力又有了新的认识，这从另一方面来说对数学的发展也是一种具大的推动。从中人们更深刻地领悟到了什么是真正的尺规作图，尺规作图中应注意什么，人们对数学的认识还存在哪些薄弱环节。
当前，由于应试教育的影响，在相当多的几何教学中，教师仍以传统的思辨论证和论证基础上的计算为主。这是当前几何教学中急待解决的问题，这会将几何的教学引入了传统的误区，这对学生的几何学习是一种误导，它使几何的直观无法得到展现，我们在几何教学中不能忽视使用尺规作图这一难得的直观手段。
3.2 建议
在几何教学中，如何进行尺规作图的教学，这是一个不断创新的主题。我们在教学中对什么是几何作图和几何作图的一般步骤要重点说明，在教学中，要说明几何作图与一般画图不同，它严格规定只准用直尺(没有刻度)和圆规为工具，而且每一步作图都必须有根有据，不能随便画。我们一定要以五种基本作图为基础，在掌握好五种基本作图的基础上，再介绍其应用，然后在此基础上进行扩展。比较复杂的作图，要经过严格分析，才能找到作图的依据和方法。而在每一次的作图中我们首先要仔细分析所要作图的命题，通过对命题的分析，分清已知什么，求作什么，才能化出已知条件，写好已知、求作。在讲解作法时，最好边画图边叙述，然后让学生说明作法的正确性，再写出作法。作图后对作法进行证明(或引导学生写证明)，应引导学生学会对所作的图形进行证明，这样可使学生确信作图的正确性。在讲完后，教师要让学生反复练习，发现错误，及时纠正，防患未然，在练中学，在学中练，以便让学生切实掌握作图方法。在每次的作图中，教师要注意新旧作图知识的交叉，要做到互相渗透，相辅相成，这样才能收到较好的教学效果。
当前，尺规作图在几何教学中的意义越来越显著。只要重视这一几何教学中难得的直观工具，几何教学会更加丰富多彩，学生的几何学习会有更大的提高。
参考文献
[1]孙月光.初中几何教学研究.上海:上海教育出版社, 2000:113-114.
[2]I.V.沙雷金.直观几何.上海:华东师范大学出版社, 1998, 3.
[3]张奠宙, 李士锜, 李俊.数学教育学导论.北京:高等教育出版社, 2003:79.
作图法在高中化学解题中的应用 篇5
【例1】 等物质的量的钠、镁、铝与含等物质的量的HCl的盐酸反应产生氢气, 产生氢气体积会出现下列四种情况:
(1) V (Na) >V (Mg) = V (Al) ;
(2) V (Na) = V (Al) = V (Mg) ;
(3) V (Al) = V (Mg) >V (Na) ;
(4) V (Al) >V (Mg) >V (Na) .
若盐酸中含HCl为1mol, 将满足上述四种情况所需x、y的量填入下表:
解析:钠、镁、铝与含1mol 的盐酸恰好完全反应时的物质的量及质量分别为:Na 1mol是23g;Mg 1/2mol是12g;Al 1/3mol是9g, 此时产生氢气的体积相等.同时, 钠与盐酸反应, 剩余钠还能与水反应.利用上述数据建立坐标轴, 再结合金属与酸反应对应的量的关系, 画出图像如右上图所示.
由图像知:①当V (Na) >V (Mg) = V (Al) 时, 在图像中符合题意的是CD段但不包括C点, 所以有:x>1mol, y>23 g ;②当V (Na) = V (Al) = V (Mg) 时, 在图像中只有C点符合题意, 所以有:x=1mol, y=23 g ;③当V (Al) = V (Mg) >V (Na) 时, 在图像中符合题意的是BC段但包括B点, 不包括C点, 所以有:1/2mol≤x<1mol, 12 g≤y <23 g;④当V (Al) >V (Mg) >V (Na) 时, 图像中符合题意的是OAB段但不包括B点, 所以有:0<x<1/2mol, 0 <y <12 g .
【例2】 在托盘天平的两端各放一只盛有等量稀硫酸 (均含H2SO4n mol) 的烧杯, 此时天平平衡.向一只烧杯中加入ag铁, 向另一只烧杯中加入bg铝, 充分反应后, 一只烧杯中金属有剩余, 此时天平仍保持平衡.则a与b的关系是______.
解析:金属铁、铝与H2SO4反应只能生成氢气, 则将硫酸反应完需金属的质量分别为:56n、18n.利用上述数据建立坐标轴, 再结合金属与酸反应对应的量的关系, 画出图像如右上图所示.
结合图像有:在OA段, 两种金属均剩余, 不合题意;在AB段, 包括B点, 不包括A点, 剩余一种金属, 符合题意, 所以有:18n<m (金属) ≤56n , 即铝反应完, 铁剩余.由质量守恒得:b -2 n = a - 2×a/56 , 27a/28=b-2n ;在BC段, 没有金属剩余, 也不合题意.故答案为:27a/28=b-2n.
【例3】 现有浓度为2mol/L的硫酸溶液和2mol/L的氢氧化钠溶液各150mL, 分别加入等物质的量的铝, 反应后放出的气体在相同状况下的体积比为5∶6.则铝与氢氧化钠溶液反应放出气体______mol.
解析:硫酸和氢氧化钠完全反应需要铝的物质的量分别为:0.2mol、0.3mol, 产生氢气的物质的量分别为:0.3mol、0.45mol.利用上述数据建立坐标轴, 再结合金属与酸反应对应的量的关系, 画出图像如右上图所示.
由得失电子守恒, 再结合图像有:在OA段, 0<n (Al) ≤0.2mol时, 产生氢气一样多, 不合题意;在AB段, 0.2mol<n (Al) ≤0.3mol时, 硫酸反应完, 氢氧化钠过量.设铝与氢氧化钠溶液反应放出nmol气体, 则有:5∶6= (2mol/L×150 mL×10-3L/ mL) ∶n , 解方程得n=0.36 mol;在BD段, n (Al) ≥0.3mol时, 体积比为0.3∶0.5, 显然不合题意.
答案:0.36 .