几何习题（精选7篇）
几何习题 篇1
在处理人教版高中教材第二册复习题九B组第7题时, 我发现大多数学生在独立完成时比较困难, 没有完整地分析出此题的解题思路, 即存在的所有可能性。而此题的分析思路可以联系到此类问题, 本文试就这个问题作一些简略的探讨。
一、讲解习题, 引导学生领会解决问题的思想
例1:P、A、B、C是球面上四个点, PA、PB、PC两两垂直, 且PA=PB=PC=1, 求球的体积与表面积。解析:确定球心的位置。如图1, 球0的球心0点根据题意可知在PP′所在的直线上, (P′是P在底面ABC中的射影点) 。分类讨论: (1) 0正好与P′重合, (2) O在直线PP′上, (3) O在直线P′P1上。解得:。此题可有利于培养学生的空间概念、空间想象能力和逻辑思维能力。
二、课后练习, 引导学生全面分析问题, 最终解决问题
例2: (2007年甘肃省高考测试卷) 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为4, 侧棱长为1, 过BC的截面与底面成30°的二面角, 则截面的面积等于 () 。解析:如图2所示, 设截面与侧棱AA1所在直线交于D点, 取BC中点E, 联结AE、DE。∵△ABC是等边三角形, ∴AE⊥BC。∵A1A⊥平面ABC, ∴DE⊥BC。∴∠DEA为截面与底面所成二面角的平面角, ∴∠DEA=30°, ∵等边△ABC边长为4, ∴。在Rt△DAE中, DA=AEtan DAE=2, 所以D在AA1的延长线上, 如图所示, 截面为梯形BCMN。∵AD=2, AA1=1, ∴MN是DBC的中位线, ∴S梯形BCMN=3/4S△DBC=3/4×8=6。例3:已知ABC—A1B1C1是正棱柱, 过底面一边BC与侧棱AA1上的一点所做的三棱柱的截面中, 面积的最大值是, 与底面所成的二面角的最大值是π/3, 则该三棱柱的体积等于 () :。解析:如图3, 设正三棱柱的底面边长为a, 侧棱长为b, 由于过底面一边BC与侧棱AA1上一点所作的三棱柱的截面都是等腰三角形, 若取BC的中点为D, 联结A1D, 则A1D⊥BC。因此, 当截面面积最大时, 截面应为A1BC, 截面与底面所成的二面角最大值, 截面也是A1BC, 于是:。以上两例体现了解立体几何问题时, 要有空间想象能力、分析问题能力。
三、分析练习, 引导学生灵活运用解题思想解决问题
下面, 运用传统方法和向量方法分别介绍此类题目的解法, 以期提高同学们的解题技巧与思维品质。
例4:如图4, 在多面体ABCDE中, △ABC为正三角形, 四边形ACED为梯形, AD∥CE, AD⊥AC, AD=AC=2CE=2, 。求证:平面ACED⊥平面ABC, 求平面DBE与平面ABC所成的二面角 (锐角) 的大小。解析: (1) 如图4, △ABD中AB=AD=2, , ∴AD⊥AB。∵AD⊥AC, 又AC∩AB=A, ∴AD⊥平面ABC, 又∵AD奂平面ACED, ∴平面ACED⊥平面ABC。 (2) 方法1:延长DE、AC交于P, 联结BP, 则BP是平面ABC与平面BDE的交线 (如图5) 。∵CE∥AD, CE=1/2AD, ∴C为AC中点, 且PC=AC=BC, ∴△ABP为直角三角形, ∠PBA=90°, 且AB⊥BP, 又∵AD⊥平面ABC, ∴BD⊥BP。∴∠DBA是平面DBE与平面ABC所成的二面角的平面角, 故平面DBE与平面ABC所成角为45°。方法2:令AC的中点为O, 以AC所在的边为x轴, OB所在的直线为Z轴, 建立如图6的空间直角坐标系。平面BED中, B (0, 0, ) 、E (1, 1, 0) 、D (-1, 2, 0) , 得。
例5: (甘肃省2007年第一次高考诊断试题) 四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形, SD⊥底面ABCD, 。 (1) 求证:BC⊥SC, (2) 求面ASD与面BSC所成二面角的大小。解法: (1) 方法1:∵SD⊥底面ABCD, ∴CD是CS在平面ABCD内的射影, 又∵BC⊥CD, ∴BC⊥SC。方法2:建立空间直角坐标系D—ACS, 则B (1, 1, 0) , C (0, 1, 0) , 。方法2:由 (1) 知, ∠SCD为平面SCB与平面ABCD所成的角且为45°, 将平面ASD平移得到平面S′BC, 显然平面S′BC与平面SBC所成的角为45°, 从而所求角为45°。方法3:过S作SA′∥DA, 则SA′在平面SAD中, 由 (1) 知, ∠CSD为平面SCB与平面SDA所成的角。
以上例题体现了用向量解决立体任何问题时, 解法思路清晰, 巧妙简捷。评析:课本上每道习题都是编者精选的, 作为教师应深挖每道题, 从知识上、思想上、方法上, 多角度、多层次地深挖。学生的学习层次的提高, 思维的发展离不开做题, 但“题海战术”是低效的, 深挖一道题, 注意多角度演绎, 可以高效地巩固基础知识和方法, 沟通不同知识之间纵向横向联系, 开拓思想和视野, 起到事半功倍的效果。对面临高考在有限时间内进行复习的高三学生, 这样的学习更有意义。
几何习题 篇2
两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见图4）。如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：
（1）L的最大值是多少？
（2）当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？
几何夹角答案：
（1）固定平面上一条直线,其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线。否则，必有两条直线平行。
几何习题 篇3
关键词：高考；理科数学试题；课本；巧妙对接；复习建议
G633.6
正文：
由于采用全国卷命题省份越来越多，全国1卷的省份更是越来越多，这也崭露了全国统一命题的趋势，故对今年全国1卷试题的研究尤为重要。下面以今年全国1卷数学理科试题第20题解析几何题与课本习题的巧妙对接，巧探暗藏高考命题的趋势。让我们更好地进行高三复习。在这里，我仅起到抛砖引玉的作用，希望它对我们高三老师教学有些许帮助。
一、2016年全国1卷理科试题的第20题（1）问
二、探与课本习题的巧妙对接
三、与课本习题的对接------求曲线（轨迹）方程
四、巧探高考命题趋势及高三复习的建议
從以上理科解析几何的高考题与课本的巧妙对接研究可知，其暗藏高考命题趋势。是以课本中的知识为基础，以课本中一些重要例题和习题为高考命题的背景和源头，并进行不断地翻新、改装、创新。据此对高三复习教学提出了一点建议。
1.在高三复习时，一定要夯实基础，抓住课本，落实基础知识，研究课本中的重要例题和习题，找到高考命题的切入点，这也就是我们教学复习的切入点和重点。尤其在教材中反复出现的一类或几类重要的典型例题和习题。例如课本高中数学选修2-1第41页例3（椭圆）及第55页的探究问题（双曲线）；第47页例6（椭圆）及59页的例5（双曲线）是圆锥曲线的第二定义；等等。
2.切忌放弃课本，只用课外复习资料和其他资料复习。因我们的命题专家不会用我们手中的复习资料进行命题，而且复习资料成百上千，也没法用呀。他们会用我们手中的课本是完全可以，故我们教师和备课组长要花大力气研究教材，捕捉、探测高考命题方向、趋势，准确地把握高考命题动向，更有效地进行高三教学复习。若有不当之处，还请同行批评指正。谢谢。
参考文献：
[1]《2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题》
[2]《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》（ 人民教育出版社A版）
作者简介：
一道几何习题的解析与拓广 篇4
真题:如图, 在△ABC中, AD是高, 矩形PQMN的顶点P, N分别在AB, AC上, QM在边BC上.若BC=a, AD=h, 且PN=2PQ, 求矩形PQMN的长和宽 (用a, h的代数式表示) .
点评本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题.解决这类问题主要是灵活运用好相似三角形找出线段间的比例关系, 正确列方程求解.
拓广如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=3, BC=4.
如图 (1) 四边形DEFG为△ABC的内接正方形, 求正方形的边长;
如图 (2) △ABC内有并排的两个相等的正方形, 它们组成的矩形内接于△ABC, 求正方形的边长;
如图 (3) △ABC内有并排的三个相等的正方形, 它们组成的矩形内接于△ABC, 求正方形的边长;
如图 (4) △ABC内有并排的n个相等的正方形, 它们组成的矩形内接于△ABC, 请直接写出正方形的边长;
解析 (1) 如图 (1) 过点C作CN⊥AB于点N, 交GF于点M, 设GD为x, 由题意得GF=x, MN=x, 在Rt△ABC中, AC=3, BC=4, 则AB=5, CN=2.4.
∵四边形GDEF是正方形, ∴△CGF∽△CAB,
∴正方形的边长为
(2) 如图 (2) , 设小正方形边长为x, 则GF=2x, 同 (1) 得∴小正方形的边长为
(3) 如图 (3) , 同 (1) (2) 得△CGF∽△CAB,
∴小正方形的边长为60/61.
(4) 小正方形的边长为
数学几何问题的练习题 篇5
三大几何问题是:
1.三等分任意角;
2.化圆为方——求作一正方形使其面积等於一已知圆;
3.倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。
条件要求:仅用没有刻度直尺、用画弧圆规(有限次.)
破解难题决巧:
1.三等分任意角——运用数论中的筛法新素数产生数理和圆物体位移轨迹去寻找新素数元素3,才能变“不可能”为可能.
2.化圆为方——是求作一正方形使其面积等於一已知圆.等於去求一正方形面积为π.1882年林得曼证明了π的超越性，确立了化圆为方的不可能性.运用相对性原理:圆规直尺不动纸转动求圆周长,把圆周率π的超越数的`问题,转化为直线可度量;再将所得圆周长2πR乘以R/2的圆面积:πR转换为正方形面积.
关于上好初中几何习题课的思考 篇6
习题课应有一定的宗旨, 如果离开了宗旨, 就会流于形式.要想上好几何习题课, 除了要搞清楚教材的理论体系和纵横关系外, 还需要抓好习题的编制工作和讲解工作.通过教育实习的切身实践和翻阅相关书籍, 我对如何上好初中平面几何习题课有如下思考.
一、习题的选择
习题的选择是教师上课前要重点考虑的问题.一节习题课中应讲什么样的题, 讲什么类型的题, 能否突出所讲知识的重点, 是非常重要的.如选择恰如其分, 那么就会事倍功半, 否则就可能适得其反.选择习题, 我认为应该注意以下几个问题.
1.代表性
代表性的例题是所有老师上习题课主要选择的, 解题后得到的结论通常可以作为公式 (或定理) 来使用.这种习题能够使学生触类旁通, 与课堂讲解相呼应, 有助于学生对知识的进一步理解.
从该题得出结论:直角三角形中, 斜边的中线等于斜边的一半.
这个结论虽没有以定理的形式给出, 但是通过证明, 在任何直角三角形中都适用.所以在以后做题中可以将这个结论当成定理应用.
2.趣味性
教师在选择习题时要注意趣味性.婉转悠扬的乐曲可以使人心旷神怡, 美味的佳肴可以使人垂涎欲滴, 而带有浓厚趣味性的习题则可起到唤起注意力和活跃课堂气氛的作用.
例2:不论怎样拨动, 细木条总将平行四边形的面积两等分, 且两边形状相同.
例3:工人师傅要用木条做一个梯子, 要求下底长为1.5m, 两底角均为65°, 腰长为3m, 且每0.5m加一根木条, 问可以加几根木条, 能做几级梯子?
这组习题无论是表达形式还是实际内容都是比较有趣的.对于某些陈述比较呆板的习题, 也可以进行修改加工, 使其更有趣味性.
3.技巧性
习题的技巧性是非常重要的, 它能够培养学生灵活运用知识的能力.习题中的技巧多种多样, 但是归纳起来不外乎两种:其一是运算上的技巧, 其二是方法上的技巧.运算上的技巧是指习题在推证过程中, 为了有意识地应用某一公式, 根据所推出的式子的特征, 将它们作巧妙的等价变形.如果使用恰当的技巧做某类题, 运算是非常简单的.我认为在初中平面几何中, 最重要的也是最难的技巧就是作辅助线.
4.多解性
多解性是数学的特点, 在几何中也同样.一题多解可以开拓学生的思维, 提高学生的解题兴趣.
例4:已知如图, E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点, AE=CF, 求证四边形BFDE是平行四边形.
证明 (一) :连接BD交AC于O,
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AO=CO, BO=DO.又因为AE=CF, EO=FO,
所以四边形BFDE是平行四边形.
证明 (二) :在平行四边形ABCD中, AD=∥BC,
所以∠ACD=∠ACB.
又因为AE=CF, 所以△AED≌△CFB, 所以DE=BF, 同理可证BE=DF.
四边形BFDE是平行四边形.
因为判定四边形是平行四边形的条件很多, 所以此题可以多解.
二、习题的编制
在习题课中, 有时必须针对所要讨论的问题编制出一些新习题, 这也是对教师能力的一种检验.
1.变换原题的条件和结论
这种变换是考察和锻炼学生逆向思维的一种方法.这种变换在数学中经常用到, 在几何里也经常有.
例如勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.与其相对的就是勾股定理的逆定理:三角形中, 如果有两边的平方和等于第三边的平方, 则三角形为直角三角形.
如等腰梯形的两底角相等, 变换条件和结论后得到新题:两底角相等的梯形是等腰梯形.
其实这种命题的转换思想, 在做题时也经常用到, 学生可以先从结论开始往回推条件.
2.对原题继续推证 (或演算)
对原题的继续推证 (或演算) 是对学生思维能力的进一步锻炼, 这种题型在考试时经常用到.例如一道大题中分为几个小问题, 每一问都有联系, 一般是层层递进的.
例5:已知如图所示, E为菱形ABCD边BC上的一点, AB=AE, AE交BD于点O, 且∠DAE=2∠BAE,
求证: (1) EB=OA; (2) ∠ABC的度数是多少?
这道题第一问是比较简单的, 与前面的题一样, 要求两边相等, 首先要考虑证明全等, 由此题所给条件可证出△AOD≌△BEA.第二问是对第一问的进一步深化, 在求出第一问的基础上, 利用所得求出第二问.下面只证明第二问.
证明:由 (1) 知OA=OB=BE, 则∠OAB=∠OBA, ∠BOE=∠BEO.
又因为∠BOE=∠OAB+∠OBA=2∠OAB, 设∠OAB=x, 则∠ABE=∠AEB=2x.
根据三角形内角和定理有2x+x+2x=180°, 则2x=72°, x=36°.
所以, ∠ABC=72°.
3.变换条件
这种习题的编制比2更高一层, 对学生来说也是难点.其实这种题变换条件后往往成为另一道题, 和原题无关.在考试中, 这是一种拉开分数的题型.
例6:如图, 已知在正方形ABCD中, M为AB的中点, MN⊥MD, BN平分∠CBE并交MN于N.
求证: (1) MD=MN;
(2) 若把M为的AB中点改为M为AB上任一点 (不与A、B重合) , 其他条件不变, 原结论是否成立呢?
(3) 若M为AB延长线上的一点时, 其他条件不变, 原结论是否成立呢?
第一问要证明MD=MN, 可以证明它们所在的三角形全等, 而它们所在的△AMD与△MBN不可能全等.但由M为AB的中点, 想到如取AD的中点H, 则有DH=MB, 再连接HM, 这时可以证明△DHM与△MBN全等.
第二问与第一问是有联系的, 通过第一问的证明, 可知若要求第二问的条件, 此时做的辅助线应为在AD上取H, 使得DH=BM.
第三问将条件变了, 自然图形也发生了变化.它成为一道新题, 但由第一问, 对第三问的解法、思路和做辅助线有帮助, 思想方法一致.
编制习题应考虑所编制习题的目的性、正确性、繁简性和实际性.若编制的习题太过繁琐, 一道题占去大部分的时间, 应摒弃不用.特别是在几何中若有运算, 应尽量减少计算量, 重点考察方法, 出一些较为好算的数据.
三、习题的讲解
数学是科学性、逻辑性较强的一门学科, 所以数学课较为枯燥.习题课上, 学生大部分时间都用于做练习, 老师讲解时应注意有声有色并配合布局合理的板书.除了这两点以外, 还应注意下面几个问题.
1.先易后难
习题有难度较小的, 也有难度较大的.在讲解习题时, 我认为应遵循“由浅入深, 先易后难, 循序渐进, 逐步引申”原则.否则, 将不能保证习题课的教学质量.
例7:四边形中ABCD, AB∥CD, ∠B=∠D, 求证四边形是平行四边形.
例8:平行四边形ABCD中, AP=CQ, 求证四边形PBQD是平行四边形.
例9:已知如图所示, 在四边形ABCD中, E、F是对角线AC上的点, AE=CF, M、N分别是AB、CD上的点, 且BM=DN, 求证四边形MENF是平行四边形.
PAQDMAEOND BCBFC
例7较为简单, 直接应用平行四边形的判定定理2即可求出.例8也是应用平行四边形的判定定理, 可是需要应用平行四边形ABCD的条件.例9比例7和例8都难一些, 它虽然也应用判定定理, 但不像例7那样直接给出, 也不像例8那样较为简单, 它是通过应用三角形的全等得出平行四边形中边相等的条件.
2.适当作图
作图在几何中是非常重要的.特别在初中阶段, 作较为准确的基本三角形和四边形是必须要求学生掌握的.所以老师不仅要出作图题, 而且在出题时, 有些题不作出图形, 在做题的时候由学生自己根据已知条件画出.这样学生通过审题, 并结合对图形的观察, 经过分析、联想和比较, 解题思路有可能得到启发.此时教师再进行讲解, 效果会更好.
3.抓住主要矛盾
讲解习题时, 不要单纯地为讲解而讲解, 应当时刻想到习题课所在单元教材内容中的重点和难点.
例如在平行四边形这章的习题课中, 讲解时重点应放在如何判定平行四边形上, 而证明三角形全等在前一章已经熟练用到, 此时应一带而过, 不再重点讲怎样证明三角形全等.
4.善于启发诱导
现在学校和专家一直倡导启发式教学, 在这种教学形式下, 老师在讲习题时也应避免“满堂灌”, 采用多种形式对学生启发诱导, 给学生一定的思考权力和锻炼机会, 尽量让学生多动脑、动手和动口.特别在初中阶段, 学生正处于青春发育期, 叛逆和自尊心理非常强, 我认为在上习题课时, 应当让学生回答问题, 说出自己的思路, 并让有特殊方法的同学上台讲解.这样会增加学生的自信心, 也能让学生增加对该课程的兴趣.
初中的几何课是非常重要的.在没有学习几何之前, 学生的成绩大部分不会相差很多.开设几何课后, 由于学生的空间感和立体感差异很大, 所以几何成为拉开学生数学成绩的原因.特别是到了高中立体几何阶段, 差异会更大.所以在初中打好基础是非常重要的, 而要实现这个目标, 上好几何习题课是一个前提.
摘要：平面几何是初中数学中非常重要的一门课程.初中生刚接触几何, 所以上好几何课, 特别是几何的习题课是非常重要的.本文就如何上好初中的平面几何习题课提出了自己的看法.
关键词：初中,平面几何,习题课
参考文献
[1]赵振威.中学数学教材教法[M].高等教育出版社 (第一版) , 2006.
[2]黄甫全.课程与教学论[M].高等教育出版社 (第一版) , 2003.
[3]任杰.点津王——中学数学[M].人民教育出版社 (第一版) , 2008.
几何习题 篇7
一、习题变式简析
在我国初中数学教学过程中,几何知识的学习与应用需要概念理解和实际问题应用的有效配合,因此在这一过程中习题变式的进行将会促进初中学生的几何问题解决能力的有效提升. 在实际的数学教学中由于几何知识的图像较多并且灵活性较大,因此仅仅对于习题和例题有着不错的了解是较难在许多条件的影响下解决其他的几何问题的,因此在这一前提下习题变式的进行能促进初中学生头脑中本来就具有的图形经验和知识概念得到进一步的深化,同时也能够促进初中学生对于习题的内涵意义有着更加深刻的理解.
除此之外,在对图形变式进行应用的过程中,初中数学教师和初中学生都应当注重保持图形自身的本质属性,并且注重将变异其非本质属性所得的图形称为原图的图形变式.例如可以使图形变式单独出现,或者是仅仅将某个例题中图形的位置或形状作变式处理,与此相对应的另一种习题变式应用情况则是图形出现间隔、缺损、重叠、交错等干扰,几何对象的本质成分有时会被次要的复合成分掩盖,从而能够有效提升初中数学学生对于几何教学内容理解的灵活性.
二、初中几何教学中习题变式应用
在初中几何教学中习题变式的应用需要许多工作的有效支持,其主要内容包括了认识基本概念、合理举例说明、提高例题习题质量等内容. 以下从几个方面出发, 对初中几何教学中习题变式应用进行了分析.
1. 认 识基本概念
认识基本概念是初中几何教学中习题变式应用的基础和前提. 在初中数学的教学过程中数学教师应当注重坚持打好基础的教学方式,即在几何概念的教学过程中让初中学生对于图形变式的内涵有着更加完整的认识与理解. 例如初中数学教师可以通过选择一定的图形变式来组织新的感性经验,从而能够在此基础上克服原有的图形经验不足. 例如,讲述三角形高的概念,教师必须考虑作三角形高的各种变式.如果只画锐角三角形一种图形, 当学生遇到钝角三角形时,便不会由两锐角顶点向对边作高. 除此之外, 在帮助初中学生学习概念时,初中数学教师应当注重配以较完整的图形变式系统, 从而能够让初中学生通过比较各种变式图形的异同点,抽象出概念的本质属性,从而在此基础上促进初中几何教学中习题变式应用水平的有效提高.
2. 合 理举例说明
合理举例说明对于初中几何教学中习题变式应用的重要性是不言而喻的. 在合理举例说明的过程中, 初中数学教师为了能够使学生更深刻的认识概念,可以通过举措例或者是反例的变式来促进学生对于几何知识有更清晰的了解. 例如在邻补角的概念讲解过程中,可以通过将∠1 + ∠2 = 180°与∠1和∠2是邻补角之间关系通过反例和正例来进行说明.又或者是在圆周角概念的讲解过程中,初中数学教师可以根据圆周角的内涵特征来对于圆周角概念外延所包含的各种变式图形进行更加有效的讲解,从而能够在此基础上促进初中几何教学中习题变式应用效率的不断提升.
3. 提高例题习题质量
提高例题习题质量是初中几何教学中习题变式应用的核心内容之一. 众所周知数学教学始终都离不开例题与习题的有效支持. 因此在变式图几何教学的进行过程中初中数学教师应当注重提高例题和习题的质量,并且将其合理地进行变式改组,从而能够更加充分发挥这些题目在训练思维能力和几何知识上的作用. 例如在平行四边形的教学过程中,初中数学教师可以将直角平行四边形的例题进行习题变式,将其应用于非直角的平行四边形内容教学中,来更好地做到一题多解,一法多用、一题多变,从而最终能够在此基础上促进初中几何教学中习题变式应用可靠性和合理性的不断进步.
三、结束语
随着我国教学改革的持续深化和初中数学教学发展速度的持续提升,在初中几何教学中习题变式的应用得到了越来越多的关注. 因此初中数学教师应当对于习题变式有着清晰的了解,从而能够在此基础上通过教学实践的有效进行来促进我国初中数学整体教学水平的有效提升.
摘要：随着我国教学水平的不断进步和初中数学教学水平的持续提升,在初中几何教学中习题变式得到了越来越广泛的应用.本文从对习题变式进行简析入手,对初中几何教学中习题变式应用进行了分析.