几何作图（共5篇）
几何作图 篇1
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动问题一直是高中物理教学的重难点和命题考查的热点, 主要体现在洛伦兹力的应用以及根据圆周运动轨迹中的几何关系进行作图并分析计算.因此, 挖掘题干中的几何信息, 确定圆周运动的圆心, 正确画出圆周运动的轨迹图是解题成败的关键.
如何找圆心、画轨迹?通常有以下几何信息可做参考:
(1) 洛伦兹力F洛的作用线
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动, 洛伦兹力指向圆心, 提供向心力.因此, 圆心在洛伦兹力的作用线上.
(2) 弦的垂直平分线
带电粒子经过的两点即轨迹圆的弦, 据圆的几何特征, 圆心在弦的垂直平分线上.
(3) 两速度矢量夹角的角平分线
速度矢量所在的直线就是轨迹圆在这一点的切线, 据圆的几何特征, 圆心在两切线夹角的平分线上.
(4) 半径的大小
找到圆心所在的直线, 在这一直线上找距离圆周等于半径大小的点, 此点即圆心.
将上述的其中两个几何信息综合, 即可确定圆心从而画出运动轨迹.请看实例:
【例1】如图1所示, 一带电质点, 质量为m, 电荷为q, 以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出, 可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内, 试求这一圆形磁场区域的最小半径. (重力忽略不计)
【解析】在通过M、N两点的不同的圆周中, 最小的一个是以MN连线为直径的圆周.所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为:
所求磁场区域如图3所示中实线圆.
【点评】本题据两速度矢量夹角的角平分线和半径的大小定圆心、画轨迹图.
【例2】如图4所示, 虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线, 在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场, 方向垂直纸面向外, O是MN上的一点, 从O点可以向磁场区域发射电荷为+q、质量为m、速率为v的粒子, 粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇, P到O的距离为L, 不计重力及粒子间的相互作用.求所考察的粒子从O点射入磁场的时间间隔.
如图5所示, 以OP为弦可以画两个半径相同的圆, 分别表示在P点相遇的两个粒子的轨迹.圆心分别为C1、C2, 过O点的直径分别为OC1Q1、OC2Q2, 在O点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向, 用θ表示它们之间的夹角.由几何关系可知, ∠PC1Q1=∠PC2Q2=θ, 从O点射入到相遇, 粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P=Rθ, 粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=Rθ.
【点评】本题根据弦的中垂线和半径的大小定圆心、画轨迹图.
【例3】一匀强磁场, 磁场方向垂直于xOy平面, 在xOy平面上, 磁场分布在以O为圆心的一个圆形区域内.一个质量为m、电荷量为q的带电粒子, 由原点O开始运动, 初速为v, 方向沿x轴正方向.后来, 粒子经过y轴上的P点, 此时速度方向与y轴的夹角为30°, P到O的距离为L, 如图6所示.不计重力的影响.求磁场的磁感强度B的大小和xOy平面上磁场区域的半径R.
【思维导引】据左手定则, 粒子在O点受洛伦兹力F洛沿y轴正方向, 圆心O必在y轴上;又已知两个速度矢量的方向, 作两速度矢量夹角的角平分线, 据几何关系, 圆心必在角平分线上;综上所述, 角平分线MN与y轴的交点即为圆心C.以C为圆心、线段CO为半径画圆弧AO可得粒子的运动轨迹.该圆弧过O点与x轴相切, 并且与PQ相切, 切点A即粒子离开磁场区的地点.
【解析】作粒子做匀速圆周运动的轨迹如图7中圆弧AO所示, 其轨道半径为
由图中几何关系得
由以上两式求得
【点评】本题依据洛伦兹力的方向和两速度矢量的夹角平分线定圆心画圆轨迹.
通常对这类问题的分析, 先是直接给出圆周运动的轨迹, 再依据图形进行计算, 但缺少如何作画运动轨迹的思维导引过程与方法.爱因斯坦说:“学习知识要善于思考、思考、再思考!我就是靠这个学习方法成为科学家的.”由已知条件分析推理得出圆周运动轨迹的思维导引过程才是正确解题的途径, 希望本文能对师生有所启发.
几何作图 篇2
表达物体形状的图样是由各种不同的几何图形组成的，几何图形的作图方法是制图的基本技能。下面介绍几种常用的几何图形的作图方法。
一、正多边形
若已知它们的外接圆直径d，利用圆规，丁字尺，三角板即可作出。
1.正三边形，如图2-10所示。
图2-10 内接正三边形的画法
a) 用三角板和丁字尺画正三边形 b) 用圆规画正三边形
2. 正六边形，如图2-11所示。
图2-11 内接正六边形的画法
a) 用三角板和丁字尺画正六边形 b) 用圆规画正六边形
3.正多边形
下面以正七边形为例，说明圆内正多边形的近似作法，如图2-12所示。
（1）根据已知直径d画圆，将直径AL分成与圆周要等分的份数，例如七等份。等分线段的方法是：过A点作任意直线AL′,并过点 A在AL′上任意截取七个等份,然后过第七分点7′与7连一直线,过1′ 、2′…….6′各点作直线与77′平行,即得1、2、3、4、5、6,等分点。
（2）以L为圆心,LA为半径作圆弧与MN的延长线相交于H。
（3）连接H点和2点（作任何多边形都是通过第二分点），其延长线交圆周于G，AG即为正七边形的边长。
图2-12 内接正七边形的画法
（4）以AG之长在圆周上依次截取B、C、D、E、F，等分点，圆周就被七等分了。顺次连接各分点就得到圆的内接正七边形ABCDEFG。
二、斜度和锥度作图及标注
1. 斜度斜度是指直线(或平面)对另一直线(或平面)的倾斜度 ,其大小用该两直线夹角(或两个平面夹角)的正切来表示(图2-13),其中BC的斜度=tgα=H/L。在图样中用∠1:n来标注。斜度符号的画法见图2-14A(H为字体高度)。
图2-15A为斜度1:5的画法与标注,作图时先取AD作为一个单位长度,再取AB等于5个单位长度,连接BD即得到斜度为1:5的斜度线. 图2-15B为斜度标注示例。
注意:斜度符号的方向应与斜度方向一致。
图2-13 斜度
图 2-14 斜度和锥度符号的画法
a) 斜度符
第二节 几何作图
表达物体形状的图样是由各种不同的几何图形组成的。几何图形的作图方法是制图的基本技能。下面介绍几种常用的几何图形的作图方法。
一、正多边形
若已知它们的外接圆直径d，利用圆规，丁字尺，三角板即可作出。
1.正三边形，如图2-10所示。
图2-10 内接正三边形的画法
a) 用三角板和丁字尺画正三边形 b) 用圆规画正三边形
2. 正六边形，如图2-11所示。
图2-11 内接正六边形的画法
a) 用三角板和丁字尺画正六边形 b) 用圆规画正六边形
3.正多边形
下面以正七边形为例，说明圆内正多边形的近似作法，如图2-12所示，
（1）根据已知直径d画圆，将直径AL分成与圆周要等分的份数，例如七等份。等分线段的方法是：过A点作任意直线AL′,并过点 A在AL′上任意截取七个等份,然后过第七分点7′与7连一直线,过1′ 、2′…….6′各点作直线与77′平行,即得1、2、3、4、5、6,等分点。
（2）以L为圆心,LA为半径作圆弧与MN的延长线相交于H。
（3）连接H点和2点（作任何多边形都是通过第二分点），其延长线交圆周于G，AG即为正七边形的边长。
图2-12 内接正七边形的画法
（4）以AG之长在圆周上依次截取B、C、D、E、F，等分点，圆周就被七等分了。顺次连接各分点就得到圆的内接正七边形ABCDEFG。
二、斜度和锥度作图及标注
1. 斜度斜度是指直线(或平面)对另一直线(或平面)的倾斜度 ,其大小用该两直线夹角(或两个平面夹角)的正切来表示(图2-13),其中BC的斜度=tgα=H/L。在图样中用∠1:n来标注。斜度符号的画法见图2-14A(H为字体高度)。
图2-15A为斜度1:5的画法与标注,作图时先取AD作为一个单位长度,再取AB等于5个单位长度,连接BD即得到斜度为1:5的斜度线. 图2-15B为斜度标注示例。
注意:斜度符号的方向应与斜度方向一致。
图2-13 斜度
图 2-14 斜度和锥度符号的画法
a) 斜度符
号 b) 锥度符号
图2-15 斜度的画法及标注
a) 斜度画法 b) 斜度标注示例
2. 锥度
正圆锥体的锥度指锥体底圆直径与其高度之比。截头正圆锥(圆台)的锥度为其上、下底圆直径之差与圆台高之比(图2-16),即截头正圆锥的锥度=（D-D）/L=2tgα/2,其中α为锥度。锥度在图样上用锥度1:n形式符注。锥度符号的画法见图10-16b(h为字体高度)。
图2-17a是锥度1：5的画法，图10-25b为锥度标注示例。锥度符号的方向应与圆锥方向一致。
图 2-16 锥度
图2-17 锥度的画法及标注
a) 锥度的画法 b) 锥度标注示例
三、圆弧连接
圆弧连接，就是用圆弧光滑连接已知直线或圆弧，即光滑连接。因此,在连接处必须是相切的.线段的连接有3种基本形式:
(1)用圆弧连接两条已知直线;
(2)用圆弧连接一已知直线和一已知圆弧。
(3)用圆弧连接两已知圆弧。
圆弧连接作图的关键在于，找出连接圆弧的圆心位置及与两被连接线段连接处的切点位置。图2-18示出已知圆弧半径为R的三种连接形式的作图方法。
几何作图 篇3
像是从发光点射到透镜的所有光线 (无数条) 经透镜折射后的出射光线 (或出射光线的反向延长线) 的交点, 也就是说从发光点射向透镜的每一条光线经透镜折射后都经过该发光点的像点 (而不仅仅是三条特殊光线) , 这是透镜成像作图的基本依据.下面通过两例加以说明.
例1如图1所示, S1、S2为发光点, S1'、S2'分别为S1、S2通过透镜 (图中未画出) 成的像, 试作图求出透镜的位置、光心和种类, 并依次写出作图的步骤.
[解与析]:该题由于透镜的种类、位置、焦点均未知, 因而平行于主光轴的光线与经过焦点的光线均无法画出.由于经过光心的光线不改变方向, 故而连接S1、S1'与S2、S2'这两条光线的交点即为该透镜的光心, 求出光心后还不能确定透镜位置, 因为要确定一条直线需要两个点, 那么另一个点的确定就要运用其他光线.该题最容易出现的错误就是求出光心后先入为主的将透镜认为是竖直放置, 然后作成像光路图, 从而确定透镜的种类, 之所以出现这种错误, 其根本原因就在于对透镜成像的本质没有理解.
错误画法 (如图2所示)
(1) 连接S1、S1'和S2、S2', 它们的交点为O, 即为透镜的光心;
(2) 过O作线段PQ, 即为透镜, 过O作PQ的垂线, 即为主光轴MN;
(3) 作过平行于MN的直线交PQ于A, 连接AS1', 即为平行于主光轴入射光线的折射光线;过S2作平行于MN的直线交PQ于B, 连接BS2', 即为平行于主光轴入射光线的折射光线;
(4) 由成像性质看该透镜为凸透镜.
正确画法 (如图3所示)
(1) 连接S1、S1'和S2、S2', 它们的交点为O, 即为透镜的光心;
(2) 连接S1、S2并延长。连接S2'、S1'并延长.两延长线的交点为P, 即为透镜上的点 (S1发出的光线中肯定有一条经过S2, 并到达透镜折射后经过像点S1', S2发出的光线中也肯定有一条与S1P重合经透镜折射后经过像点S2') ;
(3) 过O、P两点作出透镜, 应为凸透镜 (成倒立实像) .
例2如图4所示, 垂直于凸透镜主轴的物AB经透镜成像A1B1。物距、相距分别为U、V, 现在使物AB偏转一个α角成A'B位置, 仍能成完整的实像, 请再不必确定焦点位置的情况下, 作出A'B成像的光路图, 要求叙述作图步骤并求出像A1B1偏转的角度β.
[解与析]:该题要求不必确定焦点位置作图, 故而在作图时需借助三条特殊光线之外的其他光线.
作图如下 (如图5所示)
(1) 沿BA'作射线, 交透镜于P点, 作出其折射线应过B1点 (BA'可视为B点发出的一条光线AB转过a角后因B点未动, 故其像点B1位置不动, 所以BA'折射后必然经过B1点) ;
(2) 沿A'O作射线, 与PB1的延长线交于A1'点.A1'B1即为A'B的像;
(3) 有几何关系可见:
几何作图 篇4
然后, 分别以A、B点为中心, 以AB为半径, 划圆弧得交点C、D。自C、D点与AB线上的偶数 (或奇数) 等分点相连并延长与圆周相交, 再用钢尺一次连接A、E、F、G、H、I、J各点, 即为所需的正多边形 (如图2) 。
最后在相交点和边长上打上样冲眼。
摘要：正多边形类零件在生产过程中应用很广, 正五边型、正七边型教课书上多有介绍, 任意多边形则少有介绍。文中以正七边型为例, 介绍了用几何作图法进行划线的方法。
几何作图 篇5
一线面分析法要点理解
线面分析法一般是在形体分析法的基础上, 进一步对一些较复杂的组合体的组成形体的点、线、面进行分析, 集中解决读图难点, 想象出物体的空间几何形状。根据线面的投影规律可知:“平1垂2一般3”, 即凡三视图中出现“一框对两线”, 则表面投影面平行面;“两框对一线”, 则表示投影面垂直面;“三框相对应”, 则表示一般位置平面, 也就是“没有类似性线框, 必有积聚性投影”。投影面垂直面和一般位置平面的三个投影中都具有类似性的对应线框, 其对应的线框呈类似形。所谓类似形, 即对应的两线框的边数相等, 满足点的投影规律。熟记这一特点, 可以很快地判断视图中相对应的线框, 从而弄清每一线框的空间形状和空间位置。
二“母体子体复印切割法”介绍
在实际教学中, 有些看似简单的切割类柱状体, 运用线面分析法是不便于找到对应关系的, 也很难想象出物体上的点、线、面的空间含义。“母体子体复印切割法”就是先想象出组合体的基本几何体 (母体) , 然后将切割类组合体的三视图或二面视图按照原有的图线复印在基本几何体上, 从中切割“子体”, 最后想象与三视图完全相符的组合体。下面利用一些具体实例进行分析, 按照“复印——试切母子体——核对——补画视图”步骤对组合体进行分析, 提高学生的空间想象力, 达到举一反三的目的。
三实例应用分析
图1所示, 已知二面投影, 求第三面视图。从主视图中可知a′、b′、c′是相邻的三角形线框, 代表了组合体上相交或前后或上下错开面的投影, 利用“长对正、高平齐、宽相等”的作图规律, 在俯视图中无法找到类似形的线框, 很难分析出每个线面的对应关系, 点、线、面的一一对应关系难以确定。在这种情况下, 必须借助基本几何体的轴测图, 辅助画出各视图中的轮廓线, 帮助想象出物体的结构形状。具体方法是:先画出组成组合体的基本几何体——母体 (图2) , 再将主视图、俯视图原样复印在图2上, 形成图3, 分析空间三角形两顶点的位置, 如果将两顶点经切割子体后重合到一点, 就得到与图1相符的立体图 (如图4所示) , 这样, 补画左视图就迎刃而解了。
图5所示, 已知主视图、俯视图, 要求补画左视图。现将其空间立体想象过程分析如下, 见图6、图7、图8所示。
还有许多类似的图形, 如图9～图14所示, 都可以采用“母体子体复印切割法”来完成, 这里就不再赘述。
总之, 提高机械制图空间想象能力要多想、多画、多练、多制作模型、多用CAD/CAM软件建立轴测图模型, 不断归纳总结, 探索适合学生特点的教学方法。“母体子体复印切割法”是切割类组合体的一种简单适用的方法, 是笔者多年教学经验的总结, 文中使用的术语只是形象的概括或总结, 有不妥的地方还请同仁们帮助斧正。
摘要：本文主要介绍了《机械制图》中切割类组合体的柱状几何体, 运用“母体子体复印切割法”作图的方法和规律, 以便更好地利用线面分析法作图, 提高机械制图的空间想象力。
关键词：机械制图,柱状几何体,切割法,应用
参考文献
[1]王幼龙.机械制图[M].北京:高等教育出版社, 2010