中考尺规作图

中考尺规作图（精选3篇）

中考尺规作图 篇1

一、通过五点寻找椭圆圆心

原理: 通过已知的五点, 作椭圆的切线, 获得椭圆割线的极点, 将割线中点和割线极点和连接, 其延伸线必定通过椭圆的圆心.

椭圆切线做法: 帕斯卡定理 ( 五点+ 切点二次) 做切线, 或如图1 作椭圆切线.

如图1, 已知椭圆上P, H, G, Q, A五点, 利用椭圆内接四边形PQGH确定对角线PQ和GH交叉点T, 可绘制极点T的极线E F, 利用椭圆内接四边形PQAB ( H) 确定对角线PQ和AB ( H) 交叉S点 ( 利用帕斯卡定理, 新构造椭圆第六点B点, 替换H点) , 绘制极点S的极线MN, 极线MN和极线EF交于C点, C点即为PQ割线的极点.

证明: 依据极点极线的对偶定理, 由于S, T为PQ极线上的二点, 可知S、T极点的极线MN和极线EF相交点C, 就是割线PQ的极点.

依靠极点C, 利用三割线定理及阿波罗尼斯圆的调和分割性质, 构造更多的椭圆临时点.

二、确定椭圆坐标主轴方向

原理: 通过已知的椭圆圆心和椭圆A、B、C三点, 可构造二条共轭直径, 然后确定椭圆坐标主轴方向.

1. 构造椭圆的共轭直径

如图2, 通过A点和椭圆圆心可构造D点, 连线AD为椭圆直径, 过C点作NA切线的平行线CL, 割线CL即为直径AD的共轭弦.

作直径为AD的圆, 垂直于AD过Q点作PQ, 形成三角形 ΔPQL. 垂直于AD过圆心O点作KO线段, 过K点作P L的平行线, KE和OE延伸交于E点. 依据仿射原理, 可知, OE即为椭圆的共轭半径, AD和EF为二条共轭直径.

2. 构筑椭圆坐标主轴方向

如图3, 共轭半径OE旋转90 度, 获得N点, 连接NA连线, 获得NA中点K, 以K点为圆心作一个任意半径的圆, 与KO交于W点, 与NA交于H, G二点. 则WG为椭圆长轴方向, HW为椭圆短轴方向, 完成椭圆坐标主轴方向确定.

三、确定椭圆长轴a和短轴b

原理: 已知椭圆圆心和椭圆坐标主轴方向, 已知椭圆上二点, 利用极点极线关系公式, 确定椭圆长轴a和短轴位置.

如图4, 作B点获得轴对称C点, 连线AC延伸与椭圆长轴交于N点, 则N点与C点对偶关系. 连线QN, K为QN中点, 以K圆心半径为KN画圆, 过O点作圆K的切线OH, 以OH为半径原点O为圆心作一个圆, 与x轴交于F点, F点即为长轴a位置. 同理可以完成椭圆短轴b位置.

摘要：已知椭圆上五点, 确定椭圆圆心、主轴方向和长轴短轴等三个步骤, 尺规作图椭圆.

参考文献

[1]李建华.射影几何入门[M].北京:科学出版社, 2011.6.

[2]徐文平.圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理[J].数学学习与研究2014.13.

[3]徐文平.圆锥曲线切线的尺规作图简明方法[J].数学学习与研究2014.7.

[4]格拉祖诺夫. (徐良佐译) .轴测投影学[M].北京:人民教育出版社, 1956.

中考尺规作图 篇2

【学习目标】

1．了解什么是尺规作图．

2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．

3．了解五种基本作图的理由．

4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程． 5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形． 6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．

【基础知识精讲】 1．尺规作图：

定义：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．

注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．

步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图；(4)写出作法步骤，即作法。（根据题目要求来定是否需要写出作法）

2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种.3．基本作图共有五种：

(1)画一条线段等于已知线段． 如图24-4-1，已知线段DE．

求作：一条线段等于已知线段． 作法：①先画射线AB．

②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN． 线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角． 如图24-4-2，已知∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射线O′A′；

②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D． ③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′． ④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′． ⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线． 如图24-4-3，已知线段AB．

求作：线段AB的垂直平分线．

作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．

②作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线．

a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．

已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：作平角ACB的平分线CF．

直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4． b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．

如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．

②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．

③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．

④作直线CF．

直线CF就是所求的垂线． 注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．

如图24-4-6，已知∠AOB．

求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．

②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．

③作射线OC．

OC就是所求的射线．

注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．

通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．(2)在射线××上截取××＝××．(3)以点×为圆心，××为半径画弧．

(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．

(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．(6)在射线××上依次截取××＝××＝××．

(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××． 注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．

如：(1)画线段××＝××．(2)画∠×××＝∠×××．

(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．(5)作线段××的垂直平分线××，等等． 但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．

【经典例题精讲】

例1 已知两边及其夹角，求作三角形． 如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．

作法：①作∠MAN＝∠α．

②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b． ③连结BC．

如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．

注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．

例2 如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．

已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．

分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．

作法：(1)作线段BC＝a．

(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC．

如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．

例3 已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形． 如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．

求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．

分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由可得到． 的关系可作出点B和点C，于是△ABC即

作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．

(2)延长ED到B，使．

(3)在DE或BE的延长线上取．

(4)连结AB、AC．

则△ABC即为所求作的三角形．

注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．

例4 如图24-4-13，已知线段a．

求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．

分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．

作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a．

(2)作线段AC，使．

(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．

(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．

注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．

例5 如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．

求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．

分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．

作法：(1)连结CD．

(2)作线段CD的中垂线l．

(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．

注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．

【中考考点】

例6(2000·安徽省)如图24-4-16，直线

表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 分析：到直线

距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．

解：分别作

相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．

答案：D．

注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．

例7(2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上．

(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得AC＝80 cm，BC＝120cm，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．

解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE线段的中垂线HK与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．

(2)设这个正方形零件的边长为x cm，∵DE∥AC，∴，∴．

∴x＝48．

答：这个正方形零件的边长为48cm．

注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．

例8(2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．

分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径． 解：如图24-4-18②③所示．

【常见错误分析】

例9 如图24-4-19，已知线段a、b、h．

求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．

并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？ 错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直线CD上截取CB＝a．

如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．

(2)作出的三角形唯一．

(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．

误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部． 正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)． 则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．

(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等． 注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．

【学习方法指导】

学习基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．

【规律总结】

画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．

拓展： 1．利用基本作图作三角形：(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．

2．与圆有关的尺规作图 ：

(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．（3）作圆的内接正方形和正六边形 ．

附件：尺规作图简史：

尺规作图的三大难题 篇3

相传德利安人为了摆脱某种瘟疫，遵照神谕，必须把阿波罗的立方体祭坛的体积扩大一倍.后来，这个问题提到柏拉图那里，柏拉图又把它交给了几何学家.这就是著名的倍立方问题.除倍立方问题外，还有三等分任意角、化圆为方（作一正方形，使其面积等于给定的圆面积）等问题.

在数学史中，很难找到像这样长期被人关注的问题.两千多年以来，无数人的聪明才智倾注于这三个问题而毫无结果.但对这三个问题的深入探索，促进了希腊几何学的发展，引出了大量的发现.如圆锥曲线、许多二次和三次曲线以及几种超越曲线的发现等；后来又有关于有理数域、代数数、超越数、群论和方程论若干部分的发展.直到19世纪，即距第一次提出这三个问题两千年之后，这三个问题才被证实在所给的条件下是不可能解决的.

现在还有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决这些尺规作图无法解决的问题.下面的工具就可以用来解决三等分任意角的问题（这样的作图就相当于用量角器三等分任意角，已不属于尺规作图范畴）.你能说出其中的道理吗？