几何概率

2024-09-20

几何概率（精选3篇）

几何概率篇1

摘要：本文对几何概型中常见的两类典型问题进行了研究, 在以往结果的基础上, 通过设定参数, 得到参数的取值范围与结果之间的关系, 将此类问题的研究更一般化, 并深化了几何概型的求解技巧, 创新了实际问题中应用几何概型的灵活性和方便性.

关键词：几何概率,数学模型,平面区域,几何方法

一、引言

古典概型的样本空间只有有限个样本点, 每个样本点的出现都是等可能的. 但是人们逐渐认识到, 只考虑有限个等可能样本点对于实际应用是不够的, 现实生活中还存在大量的“无限等可能”问题. 为解决这类问题, 后来引入了几何概型, 由此也产生了概率的一种计算方法———几何方法.

本文给出了几个比较典型的几何概型问题, 通过设定合适的参数, 利用几何分析方法, 结合平面和立体图形的直观性, 找到参数的取值范围, 使得此类概率问题的求解更加一般化, 对比以往的结果和方法得到此文的优势和创新.

二、预备知识

几何概型是一种最基本的数学模型, 也是一种特殊的数学模型, 在概率论中有着相当重要的地位.

1. 几何概型的特点

( 1) 每次实验的结果 ( 基本事件) 有无限多个;

( 2) 每次实验的各种结果是等可能的.

2.“等可能”的意义

设有限测度为L ( Ω) 的区域Ω中有任意一个小区域A, 如果它的测度为L ( A) , 则点落入A中的可能性大小与它的测度成正比, 而与A的位置及形状无关.

3. 利用几何方法确定几何概型中概率的计算的基本思想

( 1) 如果一个随机现象的样本空间Ω充满某个区域, 其测度 ( 长度、面积、体积等) 大小可以用L ( Ω) 表示;

( 2) 任意一点落在测度相同的子区域内是等可能的;

( 3) 若事件A为Ω中的某个子区域, 其测度大小可以用L ( A) 表示, 则事件A发生的概率为P ( A) =L ( A) /L ( Ω) .

三、主要问题及结论

问题1在线段[0, 1]上随机地投入三个点, 由点O至三点形成三条线段, 试分析三点的排布与三条线段构成三角形的概率之间的关系.

解令A =“三线段能构成一个三角形”.

设任意放入一点的线段长度为a, 其他两点所形成线段分别为x, y, 因此三条线段能构成三角形的条件是: x + y >a, x + a > y, y + a > x, 如图所示: 当点落入图示阴影部分时, 三线段能构成三角形, 此时应用几何概型计算公式可得概率为

从结果中可以看到, 三线段构成三角形的概率与其中一条线段的长度有着紧密的联系, 即点的放法决定了概率的大小, 分析如下:

( 1) 当a =2/3时, 即其中一条线段在2/3点处, 构成三角形的概率达到最大值2/3;

( 2) 当a =1/3或a = 1时, 构成三角形的概率是1/2;

( 3) 当a =1/2或a =5/6时, 构成三角形的概率是5/8;

现实意义:

( 1) 要增加构成三角形的概率, 只需将其中一点放到总长的2/3处即可, 这时无论如何放置另外两个点, 构成三角形的几率都是最大的, 此方法可以适用于中小学三角形部分的学习;

( 2) 文献[3, 4]的计算方法是一种特殊情况, 此文将以往的结果一般化, 更有实用价值;

( 3) 若要使构成三角形的概率大于1/2, 只需将其中一点放置于线段的[1/3, 1] 之间即可.

引例 ( Buffon投针问题) 平面上画有等距离的平行线, 平行线间的距离为d, 向平面任意投掷一枚长为l ( l < d) 的针, 则针与平行线相交的概率为 (2l) / (πd) .

利用引例一般化可以得到如下我们所要研究的问题.

问题2平面上画有等距离的平行线, 平行线间的距离为d, 向平面任意投掷一个凸n边形, 该n边形的边长分别为x1, x2, …, xnxi (< d) , 试求此n边形与平行线相交的概率.

解略.

四、结束语

几何概型是一类在可测集中均匀投点, 计算这些点落在某一区域的概率问题, 好多实际问题我们又都可以将它用几何图形表示出来, 而这些几何图形的长度、面积等又能计算, 我们就可以用几何概率模型进行计算. 因此, 几何概率是一种简单、直观的数学模型.

几何概率篇2

高考二轮数学考点突破复习：解析几何

解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用等内容.高考常设置三个客观题和一个解答题，对解析几何知识和数学思想方法的应用进行考查，其分值约为27分，约占总分的16%.近年高考解析几何试题的考查特点，一是设置客观题，考查直线、两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用;考查圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简单应用等基础知识;二是以直线与圆位置关系、直线与圆锥曲线位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查解决轨迹、不等式、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理能力.1.2011年高考试题预测纵观近年高考解析几何试题的课程特点和高考命题的发展趋势，下列内容仍是今后高考的重点内容.(1)直线斜率的概念及其计算，直线方程的五种形式;两条直线平行与垂直的条件及其判断，两条直线所成的角和点到直线的距离公式;线性规划的意义及其简单应用.(2)圆的标准方程、一般方程、参数方程的概念、性质及其应用.(3)椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质和椭圆的参数方程.(4)圆锥曲线的初步应用，即以直线与圆锥曲线位置关系为载体，考查轨迹问题，圆锥曲线与平面向量、不等式、参数范围、探索型等综合问题.(5)函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想在解析几何中的应用.高考二轮数学考点突破复习：概率与统计

1.高考对两个原理的考查主要集中在排列、组合及其综合题方面，题目灵活多样.2.二项式定理重点考查二项展开式中的指定项及二项式的展开式系数问题.3.概率统计内容是中学数学的重要知识，与高等数学联系非常密切，是进一步学习高等数学的基础，也是高考数学命题的热点内容，纵观全国及各自主命题省市近几年的高考试题，概率与统计知识在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值在17分到20分之间.主要考查以下三点：

(1)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;

(2)理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率;

(3)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些相应的实际问题.1.2011年高考试题预测

几何概率篇3

在概率发展的早期, 人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的, 还必须考虑无限多个试验结果的情况.例如:一个人到单位的时间可能是8∶00到9∶00间的任意一个时刻;往一个方格中投一块石子, 石子可能落在方格中的任何一个点……这些问题不像掷硬币、摸球那样, 基本事件显而易见, 而是以“隐性点”的方式分布在某一区域内, 把构成所求事件的结果和全部基本事件的结果, 抽象成数学中的“点”, 这些“点”分布在某一区域内 (某一线段、某一平面或某一立体的区域) , 分布在这些区域可能出现的结果都是无限多个, 而每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例, 这样就产生了几何概率模型.

一、几何概型的特点与性质

几何型随机试验, 就是向一个有度量的区域 (如一维空间中的某线段, 二维空间中的某一有面积区域, 三维空间中的某一立体区域等) G上投“点”.基本事件 (就是“点”落在G的某一点上) 有无穷多个.几何试验也有某种“等可能性”, 就是“点”落在G中某一有度量区域g中的可能性大小和g的度量成比例, 与g的形状、位置无关.记A={“点”落在g上}, 则P (A) =K· (g的度量) .

若g就是G时, 上式左端是必然事件的概率, 所以 $Κ = \frac{1}{G 的度量}$ , 所以 $Ρ (A) = \frac{g 的度量}{G 的度量}$ ;

若g是G中空的区域, 即不可能事件, 则其度量大小为0, 故其概率为0.

这样定义的概率为几何概率.其特点是:

1.试验中所有可能出现的结果 (基本事件) 有无限多个;

2.每个基本事件出现的可能性相同;

3.有一个可以度量 (长度、面积或体积) 的几何图形;

4.每一次试验可以看成在图形中随机投掷一点.

几何概型的概率计算公式:

$Ρ (A) = \frac{构成事件 A 的区域长度 (面积或体积)}{试验的全部结果所构成的区域长度 (面积或体积)} .$

几何概率有性质:

1.0≤P (a) ≤1;

2.P (U) =1;

3.若A1, A2, …, An两两互斥, 则

$Ρ (\sum_{i = 1}^{m} A_{i}) =$ $\sum_{i = 1}^{m}$ P (Ai) ;

4.几何概率还具有完全可加性, 这是古典概率和统计概率所没有的, 则 $Ρ (\sum_{i = 1}^{\infty} A_{i}) =$ $\sum_{i = 1}^{\infty}$ P (Ai) .

二、几何概型与古典概型的联系与区别

几何概型与古典概型的共同点是:

1.都具有等可能性, 非负性 (对任意事件A, 有0≤P (A) ≤1) ;

2.规范性 (必然事件概率为1, 不可能事件概率为0) ;

3.和有限可加性, 即当事件A1, A2, …, An彼此互斥时, P (A1∪A2∪…∪An) =P (A1) +P (A2) +…+P (An) .

几何概型与古典概型的区别:

几何概型问题不仅指与几何图形有关的概率问题, 还包括可以抽象成几何概型的概率问题, 如关于时间、实数等的随机问题.那么如何计算几何概型中事件的概率呢?

1.选择适当的观察角度 (从等可能性的角度观察) ;

2.找出所有基本事件对应的区域D;

3.找出随机事件A对应的区域d;

4.利用公式 $Ρ (A) = \frac{d 的测度}{D 的测度}$ , 计算几何概型的概率.

这里要求d的测度不为0, 当d分别为线段、平面图形、立体图形时, 相应的测度分别是长度、面积、体积, 由P (A) 的计算公式知概率P (A) 仅与D和d的测度有关, 而与D和d的形状、位置等无关.

三、用几何概型解决隐性点分布概率问题

1.与长度有关的几何概型问题

问题1 某人午觉醒来, 发现表停了, 他打开收音机, 想听电台报时, 求其等待的时间短于10分钟的概率.

这是我们生活中经常遇到的问题, 如何解决这样的问题呢?

分析因为电台每小时报时一次, 我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间, 例如 (13∶00, 14∶00) , 把打开收音机的时间看成是落在区域G (13∶00, 14∶00) 的“点”, 显然“点”落在这个区域的任意位置的可能性是相等的, 也就是说打开收音机的时间在G中取各点的可能性一样, 要遇到等待时间正好处于13∶50至14∶00之间 (区域g) 才有可能, 因此所求概率是 $\frac{10}{60} = \frac{1}{6} .$

问题2 设一质点随机地落于I=[0, 1]线段内, 把I分为 $A_{1} = [\frac{1}{2} ‚ 1) ‚ A_{2} = [\frac{1}{4} ‚ \frac{1}{2}) ‚ \dots ‚ A_{n} = [\frac{1}{2^{n}} ‚ \frac{1}{2^{n - 1}}) ‚ \dots \dots$

规定质点落于这些区间的概率为线段的长度, 即

$Ρ (A_{n}) = \frac{1}{2^{n}} ‚ n = 1 ‚ 2 ‚ \dots \dots$

这时I= $\sum_{i = 1}^{\infty}$ Ai, 显然有

$Ρ (Ι) = Ρ (\sum_{i = 1}^{\infty} A_{i}) =$ $\sum_{i = 1}^{\infty}$ P (Ai) = $\sum_{i = 1}^{\infty}$ $\frac{1}{2^{i}} = 1 .$

2.与面积有关的几何概型问题

有些复杂的实际问题, 解决的关键是建立模型, 找出随机事件与基本事件所对应的几何区域, 把所要求解的问题转化为几何概率问题.

问题3 (约会问题) 两人约定于12点至13点在某地会合, 先到者等20分钟后离去, 试求两人能会面的概率.

分析用x, y分别表示二人到达的时间 (12点和13点之间) , 要两人能相遇, 则其充分必要条件是|x-y|≤20, 用 (x, y) 表示平面上对应某直角坐标系 (已分为度量单位) 的点.所有可能结果都被一个边长60的正方形里的点所表示出:代表能够会面的点都布列在用细线表示出的阴影区域内.所以事件A={二人能会面}的概率是阴影图形的面积与全正方形面积之比: $Ρ (A) = \frac{60^{2} - 40^{2}}{60^{2}} = \frac{5}{9} .$

问题4 (蒲丰问题) 平面上有距离为a (a>0) 的一些平行线, 向平面任意投一长为l (l<a) 的针, 试求针与平行线之一相交的概率.

蒲丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子, 他首次使用随机实验处理确定性数学问题, 为概率论的发展起到了一定的推动作用.试验步骤是:

(1) 取一张白纸, 在上面画上许多条间距为a的平行线.

(2) 取一根长度为l (l<a) 的针, 随机地向画有平行直线的纸上掷n次, 观察针与直线相交的次数, 记为m.

(3) 计算针与直线相交的概率.

分析设M表示针的中点, x表示针的中点M与最近的平行线的距离, φ表示此线与针的交角.由右图容易看出 $0 \leq x \leq \frac{a}{2} ‚ 0 \leq φ \leq π .$

针与平行线之一相交的充分必要条件是 $\frac{x}{\sin φ} \leq \frac{l}{2}$ 或 $x \leq \frac{l}{2} \sin φ .$

设 (φ, x) 为平面上某一直角坐标系下的一个点, 向平面上任意投一个针相当于向矩形区域 $G = {(φ, x) | 0 \leq φ \leq π ‚ 0 \leq x \leq \frac{a}{2}}$ 上投一个点, 针与平行线之一相交, 就是点投在区域 $g = {(φ, x) | 0 \leq φ \leq π ‚ 0 \leq x \leq \frac{l}{2} \sin φ}$ 上, 所求事件A={针与平行线之一相交}的概率为g与G的面积之比:P (A) = $\frac{\int_{0}^{π} \frac{l}{2} \sin φ d φ}{\frac{a}{2} \cdot π}$ $= \frac{2 l}{π a} .$

本例提供了一个求π值的方法:如果能求出P (A) , 那么由上式可求得π.

3.与体积有关的几何概型问题

问题5 在[0, 1]上分别取三个数, 求使得任意两数之和大于第三个数的概率.

分析在[0, 1]上分别取三个数等价于空间直角坐标系的一点 (x, y, z) , 使得任意两数之和大于第三个数, 即 ${\begin{cases} x + y > z ‚ \\ x + z > y ‚ \\ y + z > x ‚ \end{cases}$ 分析可得, 如图, 区域D为边长为1的正方体AG, 区域d为多面体DBEGF, 故 $p = \frac{1 - 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times 1}{1 \times 1 \times 1} = \frac{1}{2} .$