概率潮流计算（共8篇）
概率潮流计算 篇1
0引言
风能作为绿色清洁能源,不但有利于减少化石燃料的消耗,而且可以降低碳排放水平,故其近年来得到快速发展。但因风能具有间歇性和随机性的特点,使其接入电力系统以后的潮流计算变得复杂。 近年来,我国风电发展迅速,装机容量迅速增加, 消纳出现困难,在电力系统规划设计和实际运行中更全面地考虑风电场的出力特性[1,2,3],掌握其波动规律,对提高电力系统的安全性和经济性有重要意义。
由于风电出力具有不确定性,概率潮流计算变得更为复杂。目前,考虑随机性影响的潮流计算方法主要包括蒙特卡洛法(Monte Carlo, 后文简称MC)、点估计法[4,5]、累积量法[6]等。MC方法可以很好地研究随机性因素对系统潮流的影响,但该方法需要成千甚至上万次模拟系统不同运行状态才能得到合理的结果,计算时间长且占用内存大。在输入随机 变量相互 独立的前 提下 , 累积量法 用Gram-Charlier或Cornish-Fisher展开级数等进行拟合,得到输出随机变量的概率分布函数,从而提高了计算效率。点估计法具有相对较快的计算速度, 但其输出随机变量的高阶矩误差较大,影响计算精度。文献[7]提出了用基于拉丁超立方采样(Latin hypercube sampling,LHS)和Gram-Schmidt序列正交化的概率潮流计算方法,改善了采样值对输入随机变量分布空间的覆盖程度从而提高了计算效率。 文献[8-9]提出一种基于拉丁超立方采样并计及新能源随机出力的概率潮流计算方法,该方法具有精度高和速度快等优点。虽然LHS方法在概率潮流计算中得到了一定的应用,但其采样值的均匀性仍有待提高。
Faure序列采样属于拟蒙特卡洛法(quasi-Monte Carlo)的一种,该方法抽样值具有等分布性[10],因而在数学领域得到广泛的应用[11,12]。本文提出一种基于Faure序列的概率潮流计算方法,由于Faure序列采样值具有较好的均匀分布特性,较少的采样规模就可以得到较精确的结果。和传统的MC方法相比,可以在保证计算精度的同时减少计算时间, 更准确高效地分析风电场出力不确定性对电力系统产生的影响。
1Faure序列简介
Faure序列由Faure在1992年提出,属于拟蒙特卡洛法,该方法形成的点列具有良好的均匀分布性质。在相同采样规模下,比传统的蒙特卡洛法具有更好的仿真精度。
Faure序列本身为一个s维序列,运用大于等于其维数s的最小素数作为数基b ( b ≥s )。一维的Faure序列即为Van der Corput序列,下面首先对Van der Corput序列进行介绍。
对于任意整数b≥2 ,令Zb={0,1,···,b 1,则每个非负整数n都可以唯一的用b进制数表示为
如下定义函数Фb为
式中, n由式(1)得到。
若序列x0, x1,··· 对于所有 的n ≥0都满足xn=Фb( n) ,则称x0, x1,··· 为Van der Corput序列。
表1给出了样本数为8的2进制Van der Corput序列。第一列为8个非负整数0,1,,7 ,将第一列的10进制数转换为2进制数,便得到第二列数;将第二列数据分别逆序排列,得到第三列的2进制逆序数据;将第三列2进制数根据式(2)转化为10进制数,便得到第四列所示的Van der Corput序列。
由表1可以看出,对于任意的br个连续点,每个点分 别落在长 度为1/br的区间 [a ·b-r,(a+1 )·b-r)中。 r为非负整数且br≤N , N为样本数,a =0,1,···,br 1。例如,对于表1中任意4个连续的点,每个点分别落在区间[a/ 4,(a 1) / 4) 中, 其中a 0,1,2,3。上述连续点的分布规律体现了Van der Corput序列的均匀性。
一维的Faure序列就是Van der Corput序列,二维的Faure序列的数基为2,且二维的Faure序列是由一维的Faure序列重新排序得到,依次类推,其构建方法如下:
(1) 对于任何一个十进制整数n ,可以唯一表示成与数基b的形式,b为大于等于8的最小质数, 同式(1)。
(2) 得到新的序列,计算公式如下:
(3) 把由步骤(2)得到的序列d转化为区间[0,1) 上服从均匀分布的数列,便可得到Faure序列随机数。 例如对于n 8 ,维数s 2 ,可知数基b 2 ,则由式(3)计算可得:即二进制数1000经过转化,变为0.0001,最后将二进制数转化为十进制数,有从而得到服从[0,1)上均匀分布的数列。
图1所示为一个2维样本数为500的采样点分布图。图1(a)为采用Faure序列法生成的采样点, 图1(b)为采用传统的蒙特卡洛法生成的采样点,通过两种采样方法的对比可以得出,Faure序列法生成的采样点具有更好的均匀分布特性。
显然,由Faure序列得到的点服从0,1 上的均匀分布,如果所研究的随机输入变量服从其他分布, 则需要根据相应的累积分布函数的逆函数将这些点转换成如威布尔分布等其他分布。
2风电场出力随机模型
本文主要研究采用Faure序列进行含有风电场的电力系统概率潮流计算,故不考虑输电线路的停运和负荷波动,并假设风电场之间的风速不具有相关性。
某一地区风速可认为服从威布尔分布,风电场有功功率Pw的概率密度函数[13]可表示为
式中:k、c分别为威布尔分布的形状参数和尺度参数;Pr为风力机额定功率,vr、vci分别为额定风速和切入风速。风力机简化处理为PQ节点,假定潮流计算中风力机功率因数恒定不变。
3基于Faure序列的概率潮流计算
采用Faure序列求解含风电场的概率潮流步骤如下:
1) 读取系统初始数据,确定采样次数N及输入随机变量的维数s 。
2) 根据第1节所述方法形成Faure序列采样点矩阵。
3) 对第i个采样点样本,采用威布尔分布函数的逆函数将服从均匀分布的样本变换到服从威布尔分布空间的采样样本。
4) 建立风电场的随机出力模型,并作为负的负荷接入PQ节点。
5) 进行潮流计算并记录相应的输出变量。
6) 当N个采样点样本全部计算完毕后,得到相应输出变量的概率统计信息。
计算流程如图2所示。
4算例分析
算例假设30 000次蒙特卡洛计算得到的结果为准确值,输出变量的期望值和标准差分别用b和b表示。类似地,较少采样次数的MC法、LHS法和Faure序列法得到的输出随机变量的期望值和标准差用s和s表示。通过对比输出随机变量期望值和标准差与准确值的相对误差来衡量本文所提方法的准确程度[14]:
由于在概率潮流计算中每一类输出随机变量的数量不止一个,故本文采用每一类输出随机变量相对误差εμ和εσ的平均值来表示每一类随机变量的误差收敛情况。
由于计算过程具有随机性,为准确评估两种不同采样方法进行概率潮流计算的收敛特性,对每种方法在确定的采样规模下均进行100次仿真,将100次计算结果的平均值以及最大值作为衡量算法收敛特性的依据。
4.1算例1
算例1采用改进的IEEE30节点测试系统,详细参数见文献[15]。在节点4、7接入两个装机容量均为30 MW的风电场,切入风速、额定风速和切出风速分别取4 m/s、13 m/s、25 m/s,威布尔参数由历史风速通过矩估计法计算得出。分别用MC法、LHS法和Faure序列三种方法在相同采样规模下进行概率潮流计算,得到支路功率和节点电压的误差结果分别如表2和表3所示(每种方法均进行100次计算)。
以风电场节点7为例,运用三种采样方法得到节点电压相角的期望和标准差比较,分别如图3和图4所示。
4.2算例
算例2采用改进的IEEE118节点测试系统,详细参数见文献[15]。本算例直接运用采样规模为500次的Faure序列法进行概率潮流计算,得到系统接入风电场后的潮流概率统计特性,如表4和表5所示,其中V表示节点电压幅值。
采用MC法和Faure序列法都可以得到相应输出变量的概率分布。图5给出了用采样规模为500次的Faure序列法和采样30 000次的MC法得到的支路4~11有功潮流概率分布。显然,运用500次Faure序列法可以较准确地得到支路功率概率密度分布。
表6对比分析了本算例中采用30 000次MC法和500次Faure序列法的仿真计算时间。可以看出, 在计算结果精确度接近的情况下,30 000次MC法仿真计算时间远高于500次Faure序列法的时间, 体现了Faure序列法计算的快速性。
4.3计算结果分析
由两个算例的仿真结果分析可知,在采样规模相同的情况下,Faure序列法在计算精度和误差收敛稳定性方面均比MC方法有明显的优势,且优于LHS法。图5的支路功率概率分布图表明,较少仿真次数的Faure序列法便可以得到较准确的相关输出变量的概率统计信息。
5结论
本文提出一种基于Faure序列的拟蒙特卡洛法,并将其用于含有风电场的概率潮流计算中。 Faure序列采样值具有良好的均匀分布特性,较小的采样规模便可以得到精确的仿真结果。IEEE30节点和IEEE118节点仿真结果表明:采用Faure序列法进行概率潮流计算,准确性高、仿真次数少, 得到的概率统计信息能全面地反应电力系统的运行状况,能有效地处理间歇性能源接入系统后的不确定性问题,具有较好的工程实用价值。
摘要：风电场的大规模接入使得在进行电力系统概率潮流计算时需要考虑风电场出力的随机性。传统的蒙特卡洛法计算时间长、占用内存大。提出一种基于Faure序列的含风电场电力系统概率潮流计算方法。IEEE30节点和IEEE118节点系统对所提方法的准确性与有效性进行了仿真验证。仿真结果表明:Faure序列法可以较好地估计输出随机变量的概率分布,能有效地处理间歇性能源接入系统后的不确定性问题。
关键词：Faure序列,拟蒙特卡洛法,概率潮流,风电场
概率潮流计算 篇2
关键词：电力系统；潮流计算；Matpower软件
引言：电力系统分析中，最基本的计算就是潮流计算，它是在电网正常或故障情况下的稳定运行状态的计算。电力系统潮流计算的目的是计算系统在给定状态下的节点电压及功率分布，来检查系统中各电压是否满足要求，系统中各元件是否过负荷以及功率分配的合理性等。潮流计算的结果还能应用于电力系统的稳态分析、最优潮流和安全估计等。本设计主要运用Matpower软件来进行潮流计算。Matpower多用于小型电力系统的潮流计算分析，它运行较为稳定，计算速度快，运行结果全面、直观易懂，且准确度高。从建模上来说，Matpower不需要像Simulink仿真找出所需元件再输入数据等等较繁琐的工序；从编程上来说，Matpower的程序编写没有直接运用Matlab编程复杂。
一、潮流计算的过程
（一）潮流计算的基本要求。根据系统图及发电厂、变电所、输电线路等参数，按照设计内容对系统进行潮流计算，并分析计算结果。对于潮流计算结果，各母线电压均要满足变电所低压母线10KV在9.5—10.5KV之间，变电所低压母线35KV在
35—36KV之间。如计算结果不在该范围内，则需进行电压的调整。
（二）系统图。（1）发电厂资料：母线1和2为发电厂高压母线，发电厂一总装机容量为（400MW），母线3为机压母线，机压母线上装机容量为（100MW），最大负荷和最小负荷分别为
50MW和30MW；发电厂二总装机容量为（200MW）。（2）变电所资料：①变电所1、2、3、4低压母线的电压等级分别为：10KV 35KV 10KV 35KV。②变电所的负荷如表1所示：
③每个变电所的功率因数均为cosΦ=0.9；④变电所2和变电所4分别配有两台容量为75MVA的变压器，短路损耗
414KW，短路电压（Uk%）=16.7；变电所1和变电所3分别配有两台容量为63MVA的变压器，短路损耗为245KW，短路电压（Uk%）=10.5；（3）输电线路资料：发电厂和变电所之间的输电线路的电压等级及长度标于图中，单位长度的电阻为0.17Ω，单位长度的电抗为0.402Ω，单位长度的电纳为2.17*10-6S。（4）系统图：两个发电厂分别通过变压器和输电线路与四个变电所相连。
（三）电网的节点设置与分类。从题目给定的系统图中，可了解该系统为两端供电网络，本课题设母线1、2为节点1、10，设变电所1、2、3、4的高压侧为节点2、4、6、8，低压侧为节点3、5、7、9。并设平衡节点为节点1，PV节点为节点10，剩余节点为PQ节点。
变压器共有5个抽头，当变压器高压侧输入电压不稳定时来调整抽头以保持变压器二次侧输出电压的稳定。电压调节范围为， 对应的分接头开始时设变压器高压侧接主接头，降压变压器5个分接头时的非标准变比以备调压时选用。对于变电所低压母线为35K变压器，非标准变比的算法与10KV的相同。
（五）Matpower的M文件的编写。M文件的3个矩阵分别设置系统母线参数、接入系统的发电机（变电所）参数和系统中各支路参数，如图2、图3、图4所示。
二、潮流计算结果分析
通过运行M文件，可得系统潮流计算的部分结果如图2所示。
（1）根据图5可知，负荷消耗的有功功率228.8MW与系统的有功损耗11.82MW之和为240.62MW，与两个发电厂输出的有功功率近似相等，这与理论结果一致，说明此潮流计算是正确的。（2）根据图6可知，PV节点10的有功功率和电压幅值在潮流计算过程中保持不变，而平衡节点1的有功功率变为40.62MW，是因为它的作用是平衡系统功率。（3）平衡节点1的有功功率40.62MW在初始设置的功率范围内，说明选择1号节点为平衡节点是正确的。（4）图6中平衡节点的电压幅值和相角、发电机节点的电压幅值和有功功率以及负荷节点的有功无功功率与初始设置的数据是一致的，表明了在潮流计算中，这些量为定解条件。（5）系统节点电压如表4所示，根据系统给定条件低压母线10KV在9.5—10.5KV之间，变电所低压母线35KV在35—36KV之间，经过折算发现节点3、5、7、9不在指定范围内，需要进行电压调整，电压调整后折算发现3、5、7、9节点已满足要求，且相角随电压幅值而变化。线路的有功损耗逐渐增加，四个变电所低压侧电压均在允许范围内，符合课题要求，具体支路损耗见表5。
三、Matpower、Matlab编程和Simulink仿真三种方法的比较
（1）随机抽取5个节点的调节后的电压标幺值进行对比，如表7所示。
（2）随机抽取5条电压调整后的支路功率进行对比，如表8、9所示。
由上述比较可知，从运算结果的各节点的电压、支路损耗及支路功率进行对比发现三种方法的数据差别很小，可以说对同一个电力系统，运用这三种方法进行潮流计算，其结果是相同的。
四、结语
对给定系统通过Matpower进行潮流计算后，其运算结果从节点、支路等方面与Matlab编程与Simulink仿真的结果进行了对比，得出系统运行稳定，且在符合系统要求的情况下，三种方法的潮流计算结果基本一致。
参考文献：
[1] 于群.曹娜.MATLAB/Simulink电力系统建模与仿真[M].北京：机械工业出版社，2011.5
[2] 胡健.杨宣访.陈帆.HU Jian.YANG Xuan-fang.CHEN Fan 基于牛顿—拉夫逊电力系统潮流计算的改进算法[J] - 计算技术与自动化 2013（4）
概率潮流计算 篇3
随着风电大量接入电力系统,由于风电的不确定性和波动性,电力系统运行的不确定性大大增加。传统的确定性潮流计算方法已不能很好适应电力系统新的运行特点。概率潮流可计及不确定性因素的影响,并获得节点电压和支路潮流的统计矩或者概率分布函数,为电力系统运行、规划等提供了更有效的参考信息[1]。
当输入随机变量不独立时,必须考虑随机变量间的相关性对概率潮流计算的影响。研究表明,相距较近的风电场风速间的相关性对概率潮流计算结果有较大的影响[2,3,4]。目前,考虑输入变量相关性的概率潮流计算方法主要分为解析法、点估计法和蒙特卡洛模拟法。在处理考虑相关随机变量的概率潮流问题时,解析法计算过程较复杂,且不能准确表示随机变量间的相关性[5,6,7]。点估计法计算时间短,能计算得到输出随机变量的均值和标准差,但原始的点估计法没有考虑随机变量间存在相关性的情况[8]。文献[3]提出改进点估计法来计算考虑风电相关性的概率潮流。文献[9]采用三阶多项式正态变换方法来处理含非正态相关随机变量的概率潮流问题。采用改进点估计法只能近似考虑随机变量间的相关性,不能得到输出随机变量的概率分布,计算得到的高阶矩误差较大。
与随机采样相结合的蒙特卡洛模拟方法计算结果准确,但是计算时间较长,通常作为准确结果验证其他方法的正确性。文献[10]采用高斯混合模型表示非正态分布的相关输入变量,并采用蒙特卡洛模拟计算概率潮流。基于拉丁超立方(LH)抽样的蒙特卡洛模拟方法可以提高采样效率,目前已经有学者将LH抽样用于电力系统概率潮流计算中[11,12,13,14]。但是已有的研究中都假设输入随机变量相互独立,或者仅仅用线性相关系数描述输入随机变量间的相关性。
考虑输入变量相关性的概率潮流方法,主要关注以下两方面内容:(1)在建模上准确表示输入随机变量间的相关性;(2)在计算方法上提高概率潮流计算精度和计算效率。已有的研究主要集中在概率潮流的计算方法上,输入变量间的相关性一般用线性相关系数来表示,当随机变量不服从多元正态分布时,线性相关系数不能准确表示变量间的相关性。
本文采用Spearman秩相关系数描述输入随机变量间的相关性;采用结合遗传算法的改进LH抽样方法进行抽样,以进行概率潮流计算。研究结果表明本文提出的方法实现简单,不受随机变量边缘分布的限制,能处理相关系数矩阵正定和非正定的情况,在电力系统概率潮流计算中具有较好的应用前景。
1 随机变量间相关性描述
1.1 线性相关系数描述
两个随机变量X和Y间的线性相关系数ρ(X,Y)为:
式中:Cov(X,Y)为变量X和Y的协方差;Var(X)和Var(Y)分别为变量X和Y的方差。
线性相关系数是随机变量间线性相关性的量度,是应用最为广泛却常被混淆的相关性的量度。线性相关系数容易计算,当随机变量符合椭圆分布时可准确表示变量间的相关性。但线性相关系数存在如下缺点:当随机变量一阶和二阶矩不存在时其不存在;当随机变量边缘分布函数变化时其值也会随之改变;经过非线性严格增变换后新变量间的线性相关系数会改变[15];最重要的是当随机变量不服从椭圆分布时,线性相关系数不能准确描述变量间的相关性。详情参考附录A。
1.2 秩相关系数描述
本文中的秩相关系数,也称Spearman秩相关系数,是一个非参数性质(与分布无关)的秩统计参数。两个随机变量X和Y的秩相关系数r(X,Y)[15]为:
式中:FX和FY分别为X和Y的累积概率分布函数;ρ为线性相关系数。
两个随机变量的秩相关系数为对应累积概率分布函数的线性相关系数。设随机变量X的累积概率分数函数为FX(x)=P(X≤x),并且其逆累积概率分布函数存在,则随机变量FX(X)在区间[0,1]上服从均匀分布。证明如下[16]。
所以秩相关系数实际上是将原始变量转换为服从均匀分布的变量后变量间的线性相关系数。当随机变量服从均匀分布时,其秩相关系数等于线性相关系数,一般情况下则不相等。相比于线性相关系数,秩相关系数具有以下优点:(1)总是存在;(2)不随边缘分布的变化而改变;(3)随机变量经过非线性严格增变换后秩相关系数保持不变。当数据分布使得线性相关系数不能用来描述或者用来描述会导致错误结论时,秩相关系数可以用来作为变量间的单调联系强弱的量度。
如果有随机变量X和Y的N组样本(xi,yi),Ri和Si分别为xi和yi在所有样本中的秩次,为其相应秩次的平均值,则X和Y的秩相关系数r(X,Y)[15]为:
如果秩相关系数为正,则Y随着X的增加而增加;如果秩相关系数为负,则Y随着X的增加而减小;如果秩相关系数为0,则表示随着X的增加,Y没有增大或减小的趋势。当X和Y越来越接近严格单调的函数关系时,秩相关系数在数值上就越来越大。当秩相关系数为1或者-1时,就表明X和Y之间严格单调增加或者严格单调减小。
2 基于秩相关系数的LH抽样
LH抽样是一种分层采样的方法,由2个步骤组成[14]。
1)采样。假设X1,X2,…,Xm是随机问题中的m个输入随机变量,设Xk为其中任意一个随机变量(k=1,2,…,m),其累积概率分布函数为Fk(Xk)。将Fk的取值空间平均分为N个区间,从每个区间中任意选取一个数(或者区间中点)Yk作为Fk的采样值,则Xk的采样值为Xk=Fk-1(Yk)。将每个随机变量的采样值排成一行,形成m×N阶的采样矩阵。
2)排列。在输入随机变量独立时,输入随机变量采样值之间的相关性对计算结果有一定影响,排序能够降低采样值之间的相关性。有很多种排序方法,如Cholesky分解[17]、Columnwise-pairwise算法[18]、Single-switch优化方法[19]等,但这些方法只能处理输入随机变量独立时候的情况。
假设随机变量的累积概率分布函数和逆累积概率分布函数都存在。因为LH抽样方法不重复采样,Fk的采样值Yk的排列对应于1,2,…,N的某一个排列,又Fk(Xk)是单调递增函数,所以得到的采样值Xk的排列和Yk的排列相同,即样本的秩相关系数矩阵等于其对应排列的秩相关系数矩阵,也等于对应排列的线性相关系数矩阵,由此可以得到推论1。
推论1:在LH抽样中,假设随机变量的累积概率分布函数和逆累积概率分布函数都存在,设随机变量个数为m,每个变量的样本个数为N;则m个1,2,…,N的排列所组成的m×N阶矩阵的m×m阶线性相关系数矩阵等于对应m×N维样本的m×m阶秩相关系数矩阵。
文献[14]研究了输入变量相关时的处理方法,但该方法基于输入随机变量间的线性相关系数,且不能处理相关系数矩阵非正定的情形。虽然根据定义相关系数矩阵为正定矩阵,但是实际工程应用中,通常先估计随机变量两两间的相关系数,然后将所有的相关系数组成相关系数矩阵,该方法容易造成相关系数矩阵非正定的情形。表1中,相关系数矩阵是主对角元为1,非对角元为(-1,1)上均匀分布随机数的对阵矩阵。通过随机生成该类矩阵,发现随着矩阵阶数的增加,该类矩阵非正定的可能性大大增加。文献[20]研究了修改非正定矩阵为正定矩阵的方法,但是改变了初始相关系数矩阵中的元素。
根据推论1和文献[21]提出了基于秩相关系数和遗传算法的LH抽样方法(rank based Latin hypercube sampling combined with genetic algorithm,RLHS-GA),能够处理秩相关系数矩阵正定和非正定的情况。该方法的处理流程如下。
步骤1:初始化。随机生成Npop个m×N阶LH矩阵,每个矩阵每一行为1,2,…,N的随机排列,每一个LH矩阵的秩相关系数矩阵等于其线性相关系数矩阵。设置目标函数为:
式中:roij为目标秩相关系数矩阵的第i行第j列元素;Lk为第k个LH矩阵;为第k个LH矩阵的秩相关系数矩阵中第i行第j列元素。
目标函数式(5)使得在遗传算法中,通过改变LH矩阵元素,使其秩相关系数矩阵逐渐逼近目标秩相关系数矩阵。
步骤2:选取Npop/2个最优(使得目标函数值最小)的LH矩阵作为父母矩阵。
步骤3:遗传。用Npop/2个父母LH矩阵生成Npop个子女LH矩阵。父母矩阵中最优矩阵(使得目标函数最小)作为子女矩阵中的第1个和第Npop/2+1个矩阵。最优的父母矩阵与第k个父母矩阵(k=2,3,…,Npop/2)按照如下方式结合生成子女矩阵。最优父母矩阵和第k个父母矩阵生成2个子女矩阵,将最优父母矩阵中的任意一行置换为第k个父母矩阵中对应行,生成第k个子女矩阵;将第k个矩阵中的任意一行置换为最优父母矩阵中的对应行,生成第Npop/2+k个子女矩阵,如图1所示。
步骤4:变异。除了第1个子女矩阵,在步骤3中生成的所有子女矩阵都要发生变异。对于子女矩阵的每一行,产生一个在区间[0,1]上均匀分布的随机数p。如果p大于阈值pmust,则任意交换该行的2个数。
步骤5:判断收敛性。假设Lt为第t代LH矩阵中最优的LH矩阵。记录前l(l=50或者l=100)代LH矩阵进化所带来的改进为ΔGl,ΔGl=G(Ll)-G(L0)。在第t代,当t是l的整数倍时,如满足G(Lt)-G(Lt-l)<εΔGl,则计算停止,保存矩阵Lt,其中ε为一小正数;否则转到步骤2。
步骤6:将Lt的第k行(k=1,2,…,m)的所有元素减去0.5后再除以N,得到Yk,计算Xk=Fk-1(Yk)得到第k个输入变量的样本。
3 基于RLHS-GA的概率潮流计算
设概率潮流计算方程为:
式中:F(·)为节点功率平衡方程;为确定的输入量;U为输入变量;Z为输出变量。
考虑输入变量相关性的概率潮流计算流程如下。
步骤1:获得电网参数,如确定的输入量,输入变量U的累积概率分布函数和秩相关系数矩阵。设U的个数为m,RLHS-GA采样规模为N,T=1。
步骤2:采用RLHS-GA方法对U抽样,得到m×N阶样本矩阵。
步骤3:将样本矩阵的第T列UT代入式(6)得
采用牛顿法等方法计算确定性的潮流方程式(7),求得节点电压幅值和相角、线路上的有功功率和无功功率。
步骤4:令T=T+1,如果T=N,则转到步骤5,否则转到步骤3。
步骤5:计算节点电压幅值和相角、线路上的有功和无功功率的概率分布和数字特征。
4 算例分析
本文引入2个参数来衡量RLHS-GA方法对输入随机变量间相关系数的获取能力。设参数εmax为样本的线性相关系数矩阵(或者秩相关系数矩阵)的元素与目标线性相关系数矩阵(或者目标秩相关系数矩阵)中对应元素的最大误差与最大相关系数(即为1)的比值:
式中:m为随机变量总数;rij为样本线性相关系数矩阵(或者秩相关系数矩阵)中第i行第j列元素;rijobj为目标线性相关系数矩阵(或者秩相关系数矩阵)中第i行第j列元素。
因为采用抽样方法计算概率潮流,计算结果是随机波动的,所以每种方法重复计算100次。引入参数ε-max为计算100次εmax的平均值;引入参数σcorr为计算100次εmax的标准差。在RLHS-GA方法中,参数Npop和pmust的最优选择受到随机变量数和样本数的影响,作为一般性的选择,本文参考文献[21],选取Npop=50,pmust=0.1。
4.1 输入变量相关系数矩阵
4.1.1 相关系数矩阵正定
取荷兰IJmuiden,Texelhors,De Kooy,Schiphol这4个风速测量站2011年1月1日到2012年10月10日的实测风速数据,测量间隔为60min,共15 576组数据[22]。假设风速服从威布尔分布,采用极大似然法估计分布参数[23],得到4个测量站风速数据威布尔分布的参数如表2所示。
四个风电场间的线性相关系数矩阵为:
四个风电场间的秩相关系数矩阵为:
采用RLHS-GA方法进行采样,不同风电场风速间的相关性用秩相关系数来表示,得到的结果与文献[14]中的基于LH采样的蒙特卡洛概率潮流计算(CLMCS)方法结果作比较。在CLMCS方法中,不同风电场风速间的相关性用线性相关系数表示。设置采样规模分别为100,400,700,1 000,得到风速样本的相关系数矩阵误差如表3所示。
由表3可知,当目标相关系数矩阵正定时,采用RLHS-GA方法得到样本的秩相关系数矩阵和目标矩阵完全相同;采用CLMCS方法得到的样本的线性相关系数矩阵相比目标矩阵有一定误差,误差随着采样规模的增加而减小。
用线性相关系数表示随机变量间的相关性,当随机变量的边缘分布不是正态分布时,通常基于Nataf变换将随机变量的边缘分布转化为正态分布,对应的相关系数也需要进行变换[24],计算过程复杂,其简化的经验公式存在一定的误差[3]。而采用秩相关系数表示随机变量间的相关性,由于秩相关系数不随边缘分布的变化而改变,因此即使随机变量的边缘分布不是正态分布函数,甚至多个随机变量分别服从不同类型的参数分布,在采样过程中秩相关系数也不需要进行变换,计算过程简单。所以基于秩相关系数的RLHS-GA抽样方法不受不同边缘分布的影响,具有较好的实用性。
4.1.2 相关系数矩阵非正定
假设4个风电场风速间秩相关系数矩阵为:
四个风电场分别服从不同的参数分布,如表4所示。α为威布尔分布和伽马分布的尺度参数,对数正态分布对应正态分布的期望;β为威布尔分布和伽马分布的形状参数,对数正态分布对应正态分布的标准差。
常用的方法一般基于Cholesky分解,只能处理相关系数矩阵正定的情况,不能处理式(11)。RLHS-GA抽样方法能处理秩相关系数矩阵非正定的情况,样本的秩相关系数矩阵误差如图2所示。
随着采样规模的增大,样本的秩相关系数矩阵误差的平均值和标准差都减小,但其值都大于0。当相关系数矩阵非正定时,采用RLHS-GA方法得到样本的秩相关系数矩阵近似等于目标矩阵。
4.2 IEEE 30节点系统
4.2.1 算例介绍
在IEEE 30节点系统中,4个风电场全部连在25号节点上,2号节点上发电机有功出力设置为0。四个风电场风速间的秩相关系数矩阵如式(11)所示,风速的概率分布如表4所示。风电场输出有功功率与风速关系为:
式中:vin=3.5m/s,为切入风速;vR=13m/s,为额定风速;vout=23 m/s,为切出风速;PR=20 MW,为额定功率。
假定风电场采用恒功率因数控制方式,设功率因数为1.0。设区域1由节点1至节点15构成,区域2由节点16至节点30构成;负荷服从期望为其原始值、变异系数为0.1的正态分布。区域1中负荷两两之间的秩相关系数为0.8;区域2中负荷两两之间的秩相关系数为0.5。区域1中负荷和区域2中负荷相互独立,负荷与风电场风速相互独立。因为式(11)是非正定矩阵,所以此问题中输入变量间的相关系数矩阵非正定。
用输出随机变量的期望值和标准差的相对误差来衡量计算结果准确性,计算公式为:
式中:μ和σ分别为采用RLHS-GA方法计算概率潮流得到的输出随机变量的期望值和标准差:μs和σs分别为输出随机变量的期望值和标准差的基准值。
4.2.2 概率潮流计算结果分析
因为风电场连接在节点25上,所以分析节点25的电压幅值和电压相角,线路24-25上的有功和无功功率。计算结果如表5—表8所示。表中εμ-和εσ-分别为计算100次εμ和εσ的平均值,stdεμ和stdεσ分别为计算100次εμ和εσ的标准差。以采样规模为15 000的基于简单随机采样的蒙特卡洛模拟法(simple random sampling Monte Carlo simulation,SRS-MCS)的计算结果作为基准值。
表5—表8中,计算结果保留到小数点后两位。采用RLHS-GA方法计算概率潮流,输出变量期望值的相对估计误差小于其标准差的相对估计误差;误差随着采样规模的增大而减小,计算结果波动性随着采样规模的增大而减小。
图3和图4为采样规模分别为100,500,1 000时,节点25电压幅值和电压相角概率密度。图5和图6为采样规模分别为100,500,1 000时,线路24-25有功功率和无功功率的概率密度。由图可知,RLHS-GA计算结果和基准结果近似相同,在大大减少计算量的同时保证了计算精度。表9为计算时间比较分析,其中RLHS-GA方法的计算时间是100次计算结果的平均值。
相比于SRS-MCS,RLHS-GA能以较小的采样规模计算得到较准确的结果,计算时间较短,有较好的实用性。
5 结语
本文分析了线性相关系数与秩相关系数的联系和区别,针对电力系统输入随机变量不服从正态分布的情况,提出采用秩相关系数表示电力系统随机变量间的相关性。同时,分析了LH抽样方法与秩相关系数的内在关联,提出了基于秩相关系数的LH抽样方法,研究了基于该方法的概率潮流计算方法。
本文提出的方法有如下优点:(1)能较准确分析输入随机变量相关性并获取服从特定秩相关系数矩阵的样本;(2)不受不同边缘分布的影响,计算简单,不需要复杂的变换;(3)能处理相关系数矩阵正定和非正定的情况。
采用模拟法进行概率潮流计算时,抽样得到的特殊运行点可能会导致潮流计算难以收敛,下一步的工作将引入Levenberg-Marquardt方法[25,26]以提高概率潮流计算的收敛性。
附录见本刊网络版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。
摘要：随着大量新能源接入,电力系统运行必须考虑其随机性带来的影响。概率潮流是有效工具之一。针对考虑输入变量相关性的概率潮流计算,文中采用Spearman秩相关系数表示输入随机变量间的相关性,分析了拉丁超立方抽样方法与秩相关系数的内在关联,提出结合遗传算法的改进拉丁超立方抽样方法进行概率潮流计算。算例结果表明,所提出的方法能较好地刻画风速间的相关性,不受输入随机变量边缘分布的影响,并且能处理秩相关系数矩阵正定和非正定的情况。
概率潮流计算 篇4
概率潮流反映了电力系统中各种因素的随机变化对系统运行的影响,它能综合考虑电力系统网络拓扑结构、元件的参数、节点负荷、发电机出力等变量变化的不确定情况,并通过一些概率性指标来衡量这些随机因素对系统的影响大小,如线路潮流大于其热稳定的概率,节点电压超出稳定运行约束范围的概率等。这些指标对系统的运行和规划[1]具有重要的作用。
为了简化计算,很多概率潮流模型都假设网络结构保持不变[2,3],它忽略了网络元件停运的概率。然而在实际运行中,网络元件经常会出现故障,从而导致网络结构发生变化。因此,这种假设就限制了概率潮流方法的应用。
目前,文献[4-5]对相应问题进行了研究。文献[4]考虑了网络结构的不确定性对潮流结果的影响。但它采用了直流模型,不能分析系统运行时的电压信息。文献[5]用补偿法求得虚拟注入功率,用Von Mises提出的方法由各阶矩求离散分布,并与连续分布卷积得到电压和支路功率的分布函数,计算较为复杂。
本文采用结合累积量和Gram-charlier级数展开的概率潮流方法[2],并考虑了支路随机停运的影响,较于文献[5]而言,避免了复杂的卷积运算。其中采用潮流计算中的灵敏度矩阵进行快速断线分析,同时为了减少工作量,采用故障排序方法,避免对所有线路进行随机开断校验。
本文对IEEE30节点系统和IEEE118节点系统进行仿真分析,得到了各节点电压和各支路潮流的概率分布,用以分析节点的过电压指标和支路的过负荷指标,并应用于分析系统的静态安全[6,7,8]。另外,通过与蒙特卡罗法的结果比较,验证了本文方法的快速性与准确性。
1 数学模型
1.1 线性化的交流潮流模型
概率潮流计算模型的功率方程矩阵形式:
式中:W为节点有功、无功注入功率变量;f为功率方程;X为节点电压、相角组成的状态变量;Y为网络参数;Z为支路潮流随机变量;g表示支路潮流方程。
将式(1)在基准运行点处利用泰勒级数展开并忽略二次以上的高次项,可得到:
式中:ΔX为对应于随机扰动ΔW的随机响应;J0为潮流计算最后一次迭代的雅可比矩阵;S0为灵敏度矩阵,
1.2 基于灵敏度分析的随机补偿功率的计算
为了快速地进行断线分析计算,本文采用潮流计算中的灵敏度矩阵,在网络的相应节点上引入随机补偿功率来模拟支路的随机开断。
当系统的网络发生变化ΔY,则状态变量也会出现变化ΔX,将式(1)在基准运行点处利用泰勒级数展开,得到:
忽略(ΔX)2项及高次项,又由于f(X,Y)是Y的线性函数,故f″yy(X0,Y 0)⋅(ΔY)2=0,当不考虑节点注入功率变化时,ΔW=0,化简可得到:
式中:I为单位矩阵;ΔWy是由于断线而引起的节点注入功率的扰动。
本文仅考虑单条线路开断的情况。假设开断的支路两端的节点为i和j,通过推导并最终写成矩阵的形式:
式中:Sii(1),S(ii2),S(ii3),S(ii4)…为灵敏度矩阵中行和列都与断线端点相关的元素;Hij,Nij,Jij,Lij…为雅克比矩阵中的相应元素;ΔPi,ΔQi,ΔPj,ΔQj分别为断开线路i,j时形成的补偿功率。
当支路发生随机断线时,可将其看成支路两端节点的随机补偿功率的0-1分布。这样,支路的随机断线就可转化成为节点注入功率的扰动来处理。
1.3 半不变量和Gram-charlier级数展开
本文的概率潮流计算采用结合半不变量和Gram-charlier级数展开的方法[2,3],可将求取几个随机变量和的概率密度函数时的卷积和反卷积的计算简化为几个半不变量的代数运算,从而减少计算量。同时,利用Gram-charlier级数展开,经过一次计算就可以得到所求状态变量的概率密度函数(Probabilistic Density Function,PDF)和累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF),与传统的蒙特卡罗法相比,它缩短了计算时间。
2 电力系统静态安全问题的概率分析
2.1 概述
传统的静态安全分析方法能给出具体运行方式下的静态安全指标。但由于电力系统的运行方式总是受到负荷的频繁变化和发电机停运等随机因素的干扰,系统在不同时刻的运行点往往不同。而对所有运行方式下的系统做静态安全分析,工作量将会很大。本文以概率潮流方法为工具,综合考虑发电机随机停运和负荷的不确定性,对电力系统在预想故障下的状态做概率性评估,得到系统支路潮流的过负荷和节点电压越限的概率指标。
2.2 预想事故自动选择
由于电力网络中有一些线路在开断后并不引起系统过负荷,则我们可以根据各线路开断后引起系统过负荷的可能性进行故障排序,然后按照顺序依次对过负荷可能性较大的线路进行随机开断分析,当校验到某条线路的开断所引起的过负荷概率为零时,则排在后面的线路就可以不再进行校验分析,从而减少计算量。
为了表征各种开断情况下支路潮流违限的严重程度,可采用有功功率行为指标来衡量,即:
式中:Pl为线路l的有功潮流;Pllim为线路l的传输容量;al为支路l中的并联线路数;ωl为线路l的权系数,反映该线路故障对系统的影响;L为网络支路数。
2.3 计算过程
本文计算的假设条件为:有功负荷服从正态分布,而无功负荷可由有功负荷结合相应的功率因数得到,也服从正态分布,且忽略不同节点间注入功率的相关性;发电机的出力服从(0-1)分布。在此基础上采用交流概率潮流方法对电力系统在预想随机事故下的状态做概率性评估。计算步骤如下:
(1)输入原始数据(包括常规潮流计算的相关数据,正态和离散负荷的分布情况,发电机出力及强迫停运率,以及支路的故障信息)。
(2)在基准运行点下用牛顿拉夫逊法进行确定性潮流计算,求出节点电压和支路潮流的期望值、以及矩阵S0和T0。
(3)结合步骤(2)中的潮流计算结果,由式(7)计算得出过负荷行为指标,并进行排序,得到预想事故一览表。
(4)根据发电机输出功率及负荷功率的概率分布分别求出它们的各阶半不变量。
(5)根据事故一览表,依次对各线路进行随机开断,由式(5)计算断线支路两端的随机补偿功率。按照(0-1)分布的特点计算其各阶半不变量。
(6)将各节点负荷功率半不变量、发电机功率半不变量以及随机补偿功率的半不变量相加,得到注入功率的各阶半不变量。由式(2)求出节点电压和支路潮流的各阶半不变量。
(7)用Gram-charlier级数展开得到节点电压和支路潮流的概率密度函数f(x)和累积分布函数F(x)。
式中:ϕ(x)和φ(x)分别为标准正态分布随机变量的PDF和CDF;系数cr可由中心矩求出。
(8)检验系统的过载概率及过电压概率是否为零,若是,则计算结束(为避免预想事故选择算法中的遮蔽现象,可连续校验其下两条线路,若都未引起系统过负荷的情况才终止分析);否则转入步骤(5)对预想事故一览表中的下一条支路进行随机开断分析。
3 算例分析
本文分别以IEEE30节点系统和IEEE118节点系统为例,通过Matlab7.1编制程序进行分析。文中考虑了单条支路的随机故障(不考虑导致系统解裂的支路故障)。假设所有支路的故障率都为0.2%。
3.1 IEEE30节点系统
3.1.1 故障排序结果
根据式(7)计算PI值,并从大到小进行排序,得到表1。表中仅给出排在前面的部分支路。
3.1.2 支路的随机故障对系统的影响
如表1所示,支路27-28在开断时,出现过负荷或电压违限的程度最严重,现对其做随机开断分析,并将其结果与网络结构保持不变情形下的结果做比较。
图1给出了考虑支路随机故障和网络结构不变时的电压幅值CDF曲线。在这两种不同的假设条件下,节点27的电压分布曲线发生较大变化,其电压越下限概率由表2给出。
图2为考虑支路随机故障前后的支路有功CDF曲线。结果显示,支路的随机故障会导致其他支路的过载概率增加,具体情况如表3所示。
3.1.3 与蒙特卡罗法的比较结果
为了显示本文方法的准确性,将其结果与蒙特卡罗法(Monte Carlo Simulation,MCS)进行比较(蒙特卡罗的抽样次数为5 000次),并采用方差和的根均值(Average Root Mean Square,ARMS)[2]来衡量本文方法与蒙特卡罗法的偏差。
图3和图4分别为考虑支路随机故障前后的节点电压幅值CDF曲线和支路有功的CDF曲线。图中给出了本文方法和蒙特卡罗法的比较结果。
由于本文采用Gram-charlier级数对状态变量进行展开,Gram-charlier级数的阶数对结果也有一定影响。图5显示了不同阶数的Gram-charlier级数对概率潮流结果的影响。表4为计算时间和偏差的比较。
从表4可以看出,采用的Gram-charlier级数的展开项越多,偏差值越小。当采用8阶展开项时,就可将偏差降低到工程问题可接受的范围内,且其计算时间远小于MCS。图3~5以及表4都显示了本文方法与蒙特卡罗方法的结果几乎吻合,说明本文将支路的随机故障等效成为支路两端节点的随机补偿功率的0-1分布,并采用结合累积量和Gram-charlier级数展开的方法是快速有效的。
另外,根据预想事故一览表,依次接着对支路进行随机开断分析,比较节点电压和支路有功功率的变化,发现当支路29-30随机开断时,系统未出现节点过电压或者支路过载的情况,且未出现遮蔽现象。因此,排在其后面的12条支路就无需进行随机开断分析,这样,减少了29.27%的工作量,提高了工作效率。
3.2 IEEE 118节点系统
该系统有节点118个,支路179条。通过故障排序,并按照预想事故一览表依次对各支路进行随机开断,以概率潮流为工具对系统进行分析并发现潜在的问题,并进一步校验本文方法的快速性和准确性。
假设节点电压的合格范围为(0.95~1.05)pu,则当引起线路过负荷和过电压现象最严重的37-38支路随机开断时,节点38有17.8%的概率大于1.05pu,而节点53,76以及118分别有40.5%,38.1%和35.3%的概率小于0.95 pu。它们的越限概率较大,可考虑采用适当的补偿措施以保证系统维持在正常的电压水平下。
图6和图7分别为考虑37-38支路的随机开断时,35节点的电压幅值CDF曲线以及38-65支路的有功功率CDF曲线,两图均给出了本文方法和MCS的比较结果。另外,计算结果表明,MCS(抽样次数为5 000次)的耗时是本文方法的上百倍,大大体现出本文方法的速度优势。
由于本文计算是基于灵敏度算法的,其优点是H矩阵中的所有元素都可由正常潮流得到,无需重新计算,计算速度快,但当注入功率扰动过大时,会增大计算误差。为证实算法的有效性,本文分别采用灵敏度算法和线路开断情况下的牛顿-拉夫逊法进行计算,对最大运行方式下的系统做N-1及N-2开断分析,得到最大线路功率和节点电压误差。如表5所示。
通过对出现扰动情况最为明显的支路做单线开断和双线开断分析,从比较结果来看,对于大系统而言,本文的方法是合理的。
同时,对其他一些小系统进行仿真,结果显示:当线路N-2开断后,特别是当系统规模较小、开断后电网结构不完整(解列或者负荷孤立)、机组无功裕度有限、受电网结构影响较大时,用灵敏度算法得到的误差较修改导纳阵后的常规潮流有所降低,这时可由补偿法进行求解。
4 结论
本文考虑支路随机断线的交流概率潮流,采用了灵敏度算法来计算随机补偿功率,同时运用半不变量法对连续变量以及离散变量进行计算,提高了计算速度,避免了复杂的卷积计算。
IEEE30节点系统和IEEE118节点系统的仿真结果表明,支路的随机断线对系统运行工况有显著的影响,它可导致系统的节点过电压和支路过负荷的概率大大增加。本文以考虑支路随机故障的交流概率潮流方法为工具,同时结合故障排序方法,对系统的静态安全问题进行分析,得到量化的概率性指标,从而能更好地发现系统的潜在问题。
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概率潮流计算 篇5
关键词：Nataf变换,光伏,点估计方法,概率潮流,配电网
0 引言
光伏发电接入配电网的影响主要体现在：一方面，光伏发电的出力具有很大的随机性和难以预测的特点；另一方面，同一地区的光照强度存在着强相关性。因此，如何考虑具有相关性的随机功率注入对配电网的影响，成为一个值得关注的课题[1]。
概率潮流是评估电网运行不确定性的有效工具，最早由Borkowska于1974年提出[2]。目前概率潮流的计算方法主要分为两类：蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo simulation,MCS）和解析法。MCS计算结果最为准确，但是需要大量的抽样样本和确定性潮流计算，因此，经常用来作为判断解析方法准确度的依据。解析法中使用比较广泛的方法有基于半不变量的方法[3]、点估计方法[4,5](point estimate method,PEM）、一次二阶矩方法[6,7]和卷积方法[8]等。但是，半不变量方法、PEM以及卷积方法不能直接处理输入随机变量的相关性问题。
目前，正交变换已经广泛地应用于含有相关输入随机变量的概率潮流计算中，如文献[9,10,11]。但是，正交变换能够较好地进行相关正态随机变量的抽样，却不能反映相关系数在不同空间中的变换关系。文献[12]提出了基于Nataf变换的实用化方法，可以实现相关非正态的多维随机变量的抽样，文献[13]将基于Nataf变换的拉丁超立方抽样方法应用于电力系统概率潮流计算。
在配电网的确定性潮流计算中，较常采用的方法是前推回代法。前推回代法不存在显式的灵敏度矩阵，由于PEM不需要进行确定性潮流方程的线性化处理，因此在配电网概率潮流计算中得到了广泛的应用。目前，采用PEM处理相关非正态输入随机变量的概率潮流的研究有文献[14,15]。文献[14]将随机变量的前四阶中心矩，通过正交变换的方法转换到相互独立的正态空间，在独立的正态空间中计算估计点和权重系数，并通过正交变换的逆变换转换到原始的变量空间。文献[15]采用三阶多项式正交变换的方法，实现相关非正态随机变量的抽样。
本文主要贡献是提出一种基于Nataf变换的PEM，用来处理含有相关非正态输入随机变量的概率潮流计算。本文采用文献[16]提出的PEM。这种PEM基于Rosenblatt变换，能够从算法本身考虑输入随机变量之间的相关性问题，近年来在电力系统的概率潮流中得到了应用[17]。然而，在实际工程应用中，Rosenblatt变换所需要的输入随机变量的联合概率密度函数难以获取[16,17,18]，与Rosenblatt变换相比，Nataf变换只需要获得单个随机变量的边缘概率密度函数以及随机变量之间的相关系数矩阵[19]，因此，基于Nataf变换的PEM计算更为简单。
1 随机变量的概率模型
在概率潮流计算中，随机变量有负荷和光伏的输出功率。对于负荷，假设其有功功率服从正态分布，均值为负荷预测值，标准差为均值的某一个百分比，无功功率按照定功率因数跟随有功功率变化。对于光伏的输出功率，有研究表明，光照强度在短时间尺度（几个小时或者一天）或者长时间尺度内，都服从Beta分布[20]。Beta分布的概率密度函数可以表示为：
式中：r为实际的光照强度；rmax为研究时间内的最大光照强度；α和β为Beta分布的形状参数；Γ（·）表示Gamma函数。
若s块光伏电池板，每块的面积为Ai，转换效率为ηi，则光伏电站总的有功功率可以表示为：
式中：A为光伏电池总面积；η为光伏电站总转换效率。
根据式（1）至式（4），可以得到光伏输出的有功功率的概率密度函数为：
式中：Pmax为光伏电站有功功率的最大输出。
根据光照强度的历史数据，通过极大似然拟合得到Beta分布的参数α和β。为了简化计算，在确定性潮流计算时，将光伏机组设为定功率因数的PQ节点。
2 Nataf变换
设n维输入随机变量为X(x1,x2，…，xn），其相关系数矩阵CX表示为：
式中：ρij为随机变量xi和xj的相关系数；σxi，σxj分别为相应随机变量xi,xj的标准差；Cov(xi,xj）表示xi和xj的协方差。
引入标准正态随机向量Y(y1,y2，…，yn），其相关系数矩阵记为CY，则CY可以表示为：
根据等概率原则，yi与xi的关系可以表示为：
式中：Φ表示标准正态随机变量的累积概率分布；F表示输入变量的累积概率分布。
对于ρij和ρij′之间的关系，文献[12]给出了经验公式ρij′=Hρij，并针对几种常见的概率分布给出了H的表达式，对于正态分布，H=1。然而，对于服从Beta分布的光伏输出功率来说，并没有经验公式可供参考。本文采用文献[12]的二重积分来获得随机向量Y的相关系数矩阵。得到：
即
式中：μxi，μxj分别为随机变量xi,xj的均值；fxixj(xi,xj）表示变量xi和xj的联合概率密度函数；φ2(yi,yj，ρij′）表示具有相关系数ρij′的标准正态随机变量yi和yj的联合概率密度函数。
以上步骤实现了随机变量从输入变量空间到相关标准正态空间的转换。接下来，需要完成到独立标准正态空间的转换。
将CY进行Cholesky因子分解，得到CY=BBT，其中B为下三角矩阵。则有随机向量：
式中：Z为独立标准正态空间的随机向量。
为了更容易从式（9）计算得到ρij′，文献[13]的附录中给出了另外一种ρij′的计算公式，即
式中：φ（·）表示标准正态随机变量的概率密度函数；zi为第i个随机变量。
3 基于Nataf变换的PEM
设潮流方程为U=G(X）。概率潮流是计算当输入为随机变量时输出变量的概率信息。本文采用文献[16]提出的PEM进行概率潮流计算，并和Nataf变换相结合，其计算步骤如下。
步骤1：建立负荷和光伏输出功率的概率模型。
步骤2：在独立标准正态空间，获得随机向量Z的样本矩阵SZ。
根据文献[21]中Gaussian-Hermite积分的结果，在独立标准正态空间，对于每一个随机变量zi，采用M个估计点zi1,zi2，…，zim，…，ziM以及相应的权重系数p1,p2，…，pm，…，pM来表示。因此，第i个随机变量取第m个估计点时，在样本矩阵所对应的行向量可以表示为
步骤3：在相关标准正态空间，获得随机向量Y的样本矩阵SY。
在此步骤中，首先获得多维输入随机变量的相关系数矩阵CX，并根据第2节的内容，获得相关系数矩阵CY。随后，对CY进行Cholesky因子分解，获得下三角矩阵B。
基于步骤2获得的样本矩阵SZ，根据式（13），相关标准正态空间的样本矩阵SY可以表示为：
步骤4：在输入变量空间，获得随机向量X的样本矩阵SX。
对于样本矩阵SY中的每一个元素，采用式（10），将其转换到输入变量空间，并获得最终的样本矩阵SX。
经过以上4个步骤，获得了可以用于概率潮流计算的样本矩阵。不考虑输入随机变量相关性的PEM，直接计算得到输入随机变量的估计点及其权重系数，当考虑输入随机变量相关性时，需要完成将随机变量的样本矩阵从独立标准正态空间、相关标准正态空间到输入变量空间的转换。
步骤5：确定性潮流计算。
获得输入随机变量的样本矩阵SX之后，将SX的每一个行向量代入潮流方程，获得在这种输入向量情况下的输出随机变量。
步骤6：统计输出随机变量的概率信息。
首先，含有多维随机变量输入的概率潮流方程，可以近似表示为：
式中：Zi为仅当第i个变量为随机变量，其他变量取均值时，输入随机向量在独立标准正态空间中的映射量；gi=G(N-1(Zi））仅是变量zi的函数；gμ为所有随机变量取均值时潮流方程的值；N-1（·）表示Nataf变换的逆变换。
基于潮流方程的近似表达式，输出随机变量的均值和前三阶矩可以表示为：
并且
式中：分别表示第i个变量为随机变量时，计算得到的单变量响应函数的均值、二阶和三阶中心矩。本文计算的输出随机变量为配电网节点电压的幅值。
在实际应用中，由于光照强度的概率密度函数以及相关系数可以通过历史数据获取，因此，本文提出的方法可以在实际配电网概率潮流中得到应用。
4 算例分析
本文采用的算例系统为IEEE 33节点的算例系统。IEEE 33节点系统的接线图如图1所示。
IEEE 33节点系统的基准电压为12.66kV，基准功率为100 MVA。线路和负荷的数据见文献[22]。
为了比较本文所提算法的计算误差，本文以5 000次的MCS结果作为基准，并定义了两个误差指标：节点电压均值的平均相对误差ε-Vμ和节点电压标准差的平均相对误差ε-Vσ。即
式中：nPQ为配电网中PQ节点的个数；分别为第i个PQ节点电压的均值和标准差的相对误差，其计算公式为
式中：分别为采用MCS,PEM得到的第i个节点电压的均值和标准差。
4.1 算例1：不考虑光伏接入
此时，由于概率潮流的输入随机变量为负荷有功功率，且服从正态分布，因此，Nataf变换和正交变换具有相同的计算效果。在算例1中，考虑两种情况：(1)改变负荷有功功率的相关系数；(2)改变负荷有功功率的波动大小，观察本文所提算法的计算性能。
1）负荷有功功率的相关系数从0逐次变化到0.9，计算得到了节点电压均值和标准差的平均相对误差，如表1所示。
从表1可以看出，节点电压标准差的平均相对误差大于均值的平均相对误差。在概率潮流计算中，标准差的计算精度更能反映一个算法的有效性。此外，当负荷的功率不相关（相关系数为0）、弱相关（相关系数小于0.3）、中度相关（相关系数在区间[0.3,0.6]内）和强相关（相关系数大于0.6）四种情况下时，节点电压标准差的平均相对误差可以控制在1.5%之内，由此可见，对于相关正态输入随机变量，本文方法具有很高的计算精度。
2）为了研究算法对负荷不同波动大小的适应性，现设负荷有功功率之间的相关系数为0.2，标准差分别取均值的10%,15%和20%，观察这三种情况下本文方法的计算精度，如表2所示。
从表2可以看出，随着负荷波动的增加，无论是节点电压均值还是标准差，其平均相对误差会增加，但是增加的幅度并不大。这说明，本文提出的方法对于较大的功率波动的情况同样适用。
4.2 算例2：考虑光伏接入
在IEEE 33节点系统的节点8,9,27,28上各加入一个分布式光伏发电机组。对于每一个光伏机组，设其最大输出功率为0.8 MW，功率因数为0.85。用HOMER(hybrid optimization model for electric renewable）软件[23]产生一年各个小时的光照强度的时间序列，如图2所示。
利用极大似然拟合方法，得到Beta分布的形状参数为α=0.700 3，β=2.158 0。拟合之后的光照强度概率密度函数曲线如图3所示。在图3中，直方图根据实际光照强度数据绘制，蓝色曲线表示拟合得到的概率密度函数曲线。
设负荷有功功率之间的相关系数为0.2，并假定4个分布式光伏发电其光照强度相关系数矩阵为：
将相关系数矩阵从输入变量空间转换到相关标准正态空间，有
由于负荷的有功功率服从正态分布，因此，相关系数矩阵中关于负荷功率的部分数值保持不变。
本文以5 000次的MCS的计算结果作为基准，分别采用本文算法和基于正交变换的PEM进行计算，得到的结果如表3所示。
由表3可知，当输入随机变量含有相关非正态（如Beta分布）变量时，采用基于Nataf变换的PEM的节点电压标准差的平均相对误差大大减小。这说明，本文提出的方法对于相关非正态输入的随机变量具有较高的计算精度。
为了分析本文所提算法的计算性能，分别从以下三个方面进行验证：(1)改变光照强度的相关系数；(2)改变负荷功率波动的大小；(3)改变估计点的个数。
1）改变光照强度的相关系数
设负荷功率波动为10%，负荷有功功率的相关系数为0.2，改变光照强度的相关系数，观察节点电压的平均相对误差的变化规律，如表4所示。
由于采用的算例系统为同一馈线的配电网络，因此，光伏机组出力具有强相关的特点。由表4可知，当改变光照强度的相关系数时，与正交变换相比，Nataf变换具有更高的节点电压标准差计算精度。此外，随着相关系数的增加，节点电压均值和标准差的相对误差基本保持不变。因此，本文所提算法可以用来计算输入随机变量强相关的情况。
2）改变负荷功率的波动
设负荷有功功率的相关系数为0.2，负荷波动的标准差分别取均值的10%,15%和20%时，观察节点电压的平均相对误差的变化规律，如表5所示。
由表5可知，在不同的负荷功率波动下，本文所提算法的节点电压标准差的相对误差小于采用正交变换时的计算结果。此外，随着负荷功率波动的增加，节点电压标准差的相对误差也会缓慢增加。
3）改变估计点的个数
以上算例分析都是基于三点估计方法（3PEM），实际上，3PEM可以很容易地扩充到五点估计方法（5PEM）和七点估计方法（7PEM）。基于算例2的结果，分别采用3PEM,5PEM和7PEM进行计算，得到节点电压均值和标准差的平均相对误差如表6所示。
由表6可知，当提高估计点的个数时，节点电压的均值和标准差的计算精度没有很大的提升。
本文算法在CPU为Inteli5-2410、内存为4GB的微机上进行计算，采用的软件包为课题组自主研发的配电网仿真和分析软件DMS(distribution management system software)[24]。概率潮流的计算时间主要包括四部分：输入变量的初始化、随机变量抽样点的获取、确定性潮流计算以及计算结果的统计分析。对于第三部分，3PEM,5PEM和7PEM其确定性潮流计算的次数分别为3n,5n和7n次。表7列出了整个概率潮流的计算时间对比。
从表7可以看出，与MCS方法相比，本文提出的方法可以有效地提高概率潮流的计算效率。通过对比表6和表7可知，当采用5PEM或者7PEM进行概率潮流计算时，计算精度提高不大。因此，在工程应用中，可以采用3PEM进行计算。
本文提出的方法的误差来源主要有以下两方面。
1)PEM本身的误差。由于PEM采用若干个估计点及其权重系数来代表随机变量，因此，PEM算法本身存在计算误差。这是本文算法主要的误差来源。
2)Nataf变换的误差。当输入随机变量含有相关非正态变量时，根据式（14）计算相关系数在不同的变量空间之间的转换，存在计算误差。
5 结语
概率潮流计算 篇6
长期以来,世界能源消费总量持续增长,以化石能源为主的能源供应有力支撑了经济社会的快速发展。随着化石能源的大规模开发利用,世界范围正面临资源枯竭、污染排放严重等问题,改善能源结构已势在必行[1]。天然气作为化石能源向新能源过渡的桥梁,其优势在于[2]资源丰富、清洁高效、经济性好,同时调节速度快,可用于应急调峰,与可再生能源的随机性、间歇性相协调。随着世界范围内非常规天然气的大规模开发,可以预见未来天然气在电力系统中巨大的应用前景,未来能源互联网将是电力系统与天然气网络高度耦合的产物[3]。
最优潮流(OPF)是电力系统运行和规划的重要工具[4],因中国现阶段燃气轮机在电力系统中比重较小,传统OPF一般不考虑天然气网络的运行情况,即假定燃气轮机天然气供应充足;而实际上,天然气网络会受到储气量、管道容量、压力等约束,因此天然气网络的运行状态在一定程度上将影响电力系统的稳定运行[5,6]。
目前,国内外已有学者对电—气互联系统的最优潮流(GEOPF)进行研究。文献[7-8]在天然气网潮流计算的基础上建立了电—气互联系统联合OPF计算数学模型,其物理模型简明清晰;文献[9]通过燃气轮机将电力网与天然气网建立了耦合关系,并采用智能算法求解;文献[10]考虑了多时间断面GEOPF。然而,上述研究均基于确定性的模型,并没有考虑新能源接入背景下电力系统以及天然气网的不确定性。
新能源具有总量丰富,低碳环保、可再生,开发潜力大[1]等优点,但新能源的大规模接入增加了电力系统的不确定性,考虑随机因素影响的概率最优潮流(POPF)[11]受到了学术界的重视。文献[12]以能源网为背景,考虑了煤炭、天然气、水电和风电的联合运行,考虑了间歇式能源的不确定性,但并未计及负荷的不确定性。针对POPF的求解方法,主要分为模拟法和近似法。点估计法是近似法的一种, 因其操作简单、计算量小、精度高,被广泛用于概率潮流[13,14,15]及POPF计算[16,17]。另外,天然气网与电力网还具有一定的相关性,忽略其相关性会导致优化结果不准确,同时考虑输入变量随机性和相关性的GEOPF未见有文献提出。
本文提出一种电—气互联系统概率最优潮流(GEPOPF)模型。首先对天然气网进行稳态建模, 通过燃气轮机建立电力网与天然气网的耦合关系, 并且针对风电场出力、电力负荷以及气负荷具有不确定性和相关性,最终建立GEOPF数学模型。采用基于Nataf变换的三点估计法进行GEPOPF计算。最后通过实际算例验证了本文所提算法的有效性和可行性。
1 GEOPF
1.1天然气网稳态模型
电—气互联系统由天然气网络和电力网组成。 天然气网络主要包括天然气井、管道、加压站、储气罐、调压阀和阀门[18]。天然气由气井进入管道,通过管网被输送至用户。通过控制管网中不同节点的压力和调压阀或者阀门阀芯位置来调节天然气的流量。加压站通常由发动机、燃气轮机和压缩机组成。
对于绝热输气管道p,其首末节点分别为i和j,其稳态流量fp可表示为[7,8,9]:
式中:cij为与管道效率、温度、长度、内径、压缩因子等有关的常数;πi和πj分别为节点i和j的压力。
由于摩擦的存在,天然气在输气管道中会产生压力损失从而导致能量损失,为了补偿这部分损失, 天然气网中配置一定数量的加压站。压力的调节需要消耗额外的功率,其与流过加压站的流量和加压比成比例。通常由燃气轮机来提供这部分能量,可将其等效为天然气网中额外的负荷。图1为燃气轮机驱动的压缩机示意图。
对于首末端分别为m和n的加压站k,其耗能等效流量可表示为:
式中:πm和πn分别为首末端m和n的压力;Hcom,k为压缩机消耗的电能;Bk为与压缩机效率、温度、天然气热值有关的常数;fcom,k为流过加压站的流量; Zk为与压缩机压缩因子和天然气热值有关的常数; τcom,k为加压站消耗的等效流量;αk,βk,γk为能量转换效率常数。
由式(1)和式(3)可以看出,普通管道天然气流向取决于管道两端压力,且总是由高压处流向低压处,而加压站的流向总是固定的。
对于天然气网的每个节点,需满足流量守恒定律,以矩阵的形式表示为:
式中:A为管道—节点关联矩阵;U为加压站—节点关联矩阵;T为表示加压站能量消耗与节点的关联矩阵;f为管道以及加压站流量向量;τ为加压站消耗流量向量;w为节点净天然气流量;wg为天然气气源注入向量;wl为天然气负荷汲取向量;φ(PG)为电力网燃气轮机消耗天然气向量。
1.2 GEOPF数学模型
燃气轮机是使电力网与天然气网产生耦合的主要元件,燃气轮机是电力网的源,同时也是天然气网的负荷。以电—气互联系统联合运行总成本最低为目标函数的GEOPF模型如下[7]。
1)目标函数
式中:Ωe为燃气轮机集合;Ns为气源点集合;ai,bi, ci为发电机成本系数;PG,i为发电机有功出力;gi为天然气成本系数;wg,i为天然气供应量。
2)电力系统约束
电力系统静态约束包括功率平衡约束、发电机出力约束、节点电压约束、线路功率约束,表达如下:
式中:PW,i为节点i风电机组出力;PL,i和QL,i分别为节点i有功、无功负荷;Ui和Uj分别为节点i,j电压幅值;θij为两节点相角差;Gij和Bij分别为节点i,j之间的电导和电纳;PGmax,i,PGmin,i,QGmax,i,QGmin,i分别为节点i发电机有功出力上下限和无功出力上下限;Umax,i和Umin,i分别为节点i电压幅值上下限; Pl为线路功率;Plmax和Plmin分别为线路功率上下限;NB为电力系统节点集合;NG为发电机节点集合;Nl为电力线路集合。
3)天然气系统约束
天然气系统约束包括节点流量平衡方程、气源注入量约束、节点压力约束以及加压站加压比约束, 其表达如下:
式中:φi(PG,i)为电力网燃气轮机消耗天然气量; K2i,K1i,K0i为燃气轮机耗量系数;wgmax,i和wgmin,i分别为节点i气源注入量上下限;πmax,i和πmin,i分别为节点i压力上下限;Rmax,i和Rmin,i分别为加压站加压比上下限;NN为天然气网络节点集合;Nc为加压站集合。
上述GEOPF模型的控制变量包括发电机有功、无功出力,气源供应量;状态变量包括电力网节点电压相角和幅值、天然气网节点压力和加压站流量。该非线性规划问题可以采用原对偶内点法进行求解[7]。
2考虑相关性的含风电场的GEPOPF模型
2.1不确定性模型
2.1.1风速随机性
风能作为一种清洁可再生能源,其天然具有随机性、间歇性和波动性,现有文献多数采用威布尔分布描述风速,其概率密度函数表示为:
式中:f(·)为概率密度函数;v为风速;k为形状系数;c为尺度系数。
在稳定性分析中,对于多台风力机并列运行的大型风电场往往采用一台或多台等值机加以考虑。 本文假定风电场功率因数恒为1,将风电场看作负的负荷来处理。对于单台风力机,风速决定其有功出力,其对应关系为:
式中:vci为风电机组的切入风速;vr为风电机组的额定风速;vco为风电机组的切出风速;Pr为风电机组的额定输出功率。
2.1.2电、气负荷随机性
负荷预测存在误差,现有文献多将负荷预测误差看作服从正态分布。事实上,不仅电力网负荷预测存在误差,天然气网负荷亦会波动,也应对其进行随机性分析,假定天然气网负荷波动亦服从正态分布[19],可表示为:
式中分别为电力有功负荷PL的期望和标准差分别为天然气负荷wl的期望和标准差。
2.2 Nataf变换
在POPF计算中,一般假设负荷之间、风速之间相互独立,实际上,负荷之间存在相关性,可再生能源的时空分布也具有相关性。更重要的是,在能源互联网背景下,用户对于供热、制冷、用电的需求可由多种能源形式满足,需求响应政策的不断深入加强了电、气之间的相互关联。因此,天然气网与电力网具有相关性,一旦忽视其相关性,将会影响POPF计算结果。
现有处理相关性随机变量的方法主要有正交变换、Rosenblatt变换和Nataf变换方法。正交变换适用于处理正态分布随机变量,Rosenblatt变换要求获得随机变量的联合概率密度,而Nataf变换不受随机变量类型制约,也不需要提前得到随机变量联合概率密度,因此本文采用Nataf变换。
令X=(x1,x2,…,xN),Y=(y1,y2,…,yN)均为N维随机变量,其中任意xi的概率分布函数和累积分布函数分别为fi(xi)和Fi(xi)。根据等概率原则,可得标准正态分布随机变量:
式中:Φ-1(·)为标准正态累计分布函数逆函数。
假定X和Y的线性相关系数分别为ρ和ρ0,ρ 和ρ0的元素之间存在如下关系:
式中:μi,μj,σi,σj分别为随机变量xi和xj的期望和标准差;ρij为随机变量xi和xj之间的相关系数; 2(yi,yj,ρ0ij)dyidyj为相关系数为ρ0ij的二维正态分布随机变量的概率分布函数;ρ0ij为随机变量yi和yj之间的相关系数;fij(xi,xj)为xi和xj的联合概率分布函数。
文献[15]给出了几种常用分布ρ0ij和ρij的经验转化公式,其中对于威布尔分布,有如下转换关系:
式中:h为转化系数。
ρ0为对称正定矩阵,利用Cholesky分解可得:
由正交变换,可得不相关的标准正态分布随机向量Z:
将具有相关的非正态分布随机变量转化为不相关的标准正态分布随机变量的过程即Nataf变换, 即式(14)和式(18),逆Nataf变化可表示为:
2.3含相关性随机变量的POPF三点估计法
基于Nataf变换的三点估计法,其基本思想在于首先在独立标准正态分布空间产生采样点,包括其位置系数和权重系数。然后,利用Nataf变换将采样点转换到实际变量空间,最终进行2n+1次确定性计算,根据其权重系数可以得到输出变量的各阶原点矩。受篇幅限制,此处不再赘述三点估计法的计算原理。基于Nataf变换的三点估计法计算流程如图2所示。
3算例分析
3.1算例说明
本文采用修改的IEEE 39节点系统和比利时20节点天然气系统进行算例分析。Matpower4.1提供的IEEE 39节点系统共有3个分区,10台发电机组,总装机容量为7 367 MW,总有功负荷为6 254.23 MW,输电线路34条,变压器12台。假定区域1的节点9和节点13分别接有容量300 MW的风电场。 两个风电场的风速均服从尺度系数10.7、形状系数3.97的双参数威布尔分布。风电场切入风速为3.5m/s,额定风速为15m/s,切出风速为25m/s。
比利时20节点天然气网包括20个节点,21条输气管道,2个加压站,6个气源点,假定加压站均为电力驱动,气负荷为46.298 Mm3/d。该系统结构如图3所示,具体参数见文献[14]。
假定IEEE 39节点系统有4台燃气轮机接入天然气网,非燃气轮机的成本系数以及出力约束见附录A表A1,燃气轮机与天然气网的互联参数见附录A表A2[14,15],天然气网的气源点参数见附录A表A3。因电力网与天然气网的负荷量较大,而天然气网气源供应量裕度不大,因此将天然气网气源供气量上限提高50%,并假定加压站加压比上限为1.3,下限为1。
3.2 GEOPF算例分析
当负荷、风电为期望值时的电力网OPF结果见表1,天然气网节点以及管道流量的优化运行结果见表2和表3。此处暂不考虑负荷、风速的随机性以及相关性。
该系统有功负荷6 254.23 MW,风电场出力期望值326.42 MW,发电总费用15.862万美元/h;天然气网气负荷为46.298 0Mm3/d,供燃气轮机消耗的天然气量为10.426 8Mm3/d,天然气网运行费用16.787万美元/h,电—气互联系统运行总费用32.649万美元/h。
由表1可以看出,4台燃气轮机中有3台处于满发状态,这是由天然气的经济性所决定,其余非燃气轮机出力距离上限裕度较大,因该算例中非燃气轮机费用昂贵。注意到母线号为34的燃气轮机接入天然气网节点20,该发电机最大出力508 MW, 但其实际出力很小,并未达到满发状态。这是由于天然气网节点20压力对流量的灵敏度较高,此处接入天然气负荷使得该节点压力迅速下降,在表2中, 节点20的压力已达到其下限值。天然气网的压力约束限制了电力网发电机的优化运行,若此处只进行电力网的优化运行分析,优化结果必然是燃气轮机均处于满发状态,而该运行状态事实上违反了天然气网的安全约束。
该算例说明对电力网和天然气网的独立优化有失经济性,更重要的是,无法考虑电力网与天然气网的相互制约,从而使优化结果过于乐观,甚至违反安全约束。电—气互联优化运行在一定程度上保证了电力网与天然气网的安全性,又能实现整体最优。
3.3计及电、气相关性的GEPOPF
现有文献针对电力系统负荷、风速的随机性进行了一定的研究。事实上,天然气网的气负荷也具有随机性。另外,电力系统的负荷之间还存在相关性,同一区域极有可能在相似时段经历负荷高峰期或低谷期;相同区域的风电场风速接近,不同风电场的出力必然存在相关性;气负荷与电负荷在某些程度上也具有相关性。因此,有必要在考虑电—气互联系统随机性时计及其相关性。
假定电力网同一区域负荷之间相关系数为0. 9,不同区域为0.5,同一区域风电场风速相关系数为0.85,天然气网负荷相关系数为0.9。且假定电力负荷标准差为其期望的5%[14],气负荷预测标准差为其期望的3%。利用基于Nataf变换的三点估计法,进行计及相关性的GEPOPF计算,重点分析电负荷与气负荷之间不同相关系数对GEPOPF的影响。
应当说明,本文对基于Nataf变换的点估计法进行准确性检验,以电、气相关系数r=0为例,将本文所提算法与5 000次蒙特卡洛模拟进行比较,得到电力网节点电压期望最大相对误差0.013 3%,标准差最大误差7.52%;天然气网节点压力期望最大相对误差0.062 1%,标准差最大误差2.39%。因此,可认为本文算法具有一定的准确性,下文不再对此说明。
表4给出了在不同电、气相关系数下该互联系统总成本的期望μcost和标准差σcost。
可以看出,考虑负荷、风速的随机性及相关性后系统运行成本的期望高于确定性下系统总运行成本,并且电、气负荷之间的相关性也会对结果产生影响。在电、气正相关的情况下,相关性越强,成本的期望值越高,标准差也越大;而在电、气负相关的情况下,相关性越强,成本期望值越低,标准差越小。 这是因为在正相关时,电、气负荷同时增加,导致成本增加,而在负相关时,电负荷增加的同时气负荷减少,电力网与天然气网之间相互协调互补,减小了成本的波动。
图4为电力网部分节点在不同电、气相关系数下的标准差对比。对于节点电压,有与成本类似的结论,即:在电、气正相关情况下,相关性越强,电压幅值标准差越大;而在电、气幅值负相关情况下,相关性越强,电压幅值标准差越小。
可见天然气网的不确定性会在一定程度上加剧电力系统的不确定性,电、气互联系统之间的相关性会对优化结果造成影响。若在传统POPF计算中忽略随机变量之间的相关性,有可能使得优化结果过于乐观,或低估了系统的安全约束,甚至有可能丧失最优性。因此,有必要在POPF计算中计及天然气网的随机性以及与电力网之间的相关关系。
4结论
本文提出了一种考虑相关性的GEPOPF计算模型,通过算例给出了联合运行优化控制策略,分析比较了不同电、气相关系数的影响,并采用基于Nataf变换的三点估计方法进行该POPF求解,结论如下。
1)仿真结果验证了本文所提方法的有效性和实用性,通过求解GEOPF模型得到电力网与天然气网联合优化调度方案。算例表明,电力网与天然气网存在相互制约关系,对电力网与天然气网的独立优化将导致优化结果过于乐观,联合优化能为电力系统调度人员以及天然气网调度人员的正确决策提供依据,确保系统安全运行。
概率潮流计算 篇7
配电网无功优化配置是一个复杂的非线性优化问题; 传统的无功优化配置,或采用多典型代表日负荷时序曲线[1,2,3]或多典型负荷持续曲线[4]来描述规划年的负荷特性。多代表日负荷曲线,仍难以描述负荷的随机特性,因此,采用概率描述方法成为另一种选择[5],但文献[5]并没有完全展开研究。笔者研究采用负荷概率描述无功优化的配置问题,并与传统的多典型负荷持续曲线描述方案进行对比。
负荷采用概率描述后所计算的潮流,称为概率潮流[6]( probabilistic load flow,PLF) ,此时所有节点或支路所计算的电气量均表现为随机量; 蒙特卡罗模拟[7,8]可精确地获得状态电压和支路潮流的概率描述,但需要成千上万次地模拟,耗费大量计算时间。采用卷积方法[9]可以获得节点电压和支路潮流概率密度函数,通过应用线性化方法,状态量和支路的潮流被转换成输入变量的组合量,进而获得待求量的概率分布,但计算量也很大。半不变量法或累积量法[10,11]结合GramCharlier级数得到状态量的概率分布,它难以处理具有相关性的非正态分布变量的概率潮流问题。一次二阶矩法[12]和点估计法[13,14,15]则能够计及系统输入随机变量之间的互相关性进行概率潮流分析,因而被广泛的用来拟合概率潮流解的分布。
点估计法中应用最多是两点估计法和三点估计法,其中两点估计法[16,17]更为广泛,因此本研究在此采用两点估计法计算概率潮流。
1两点估计法的概率潮流
1. 1 电力系统概率潮流
对一有n个节点、b条支路的电力系统,设有l个PQ节点,采用直角坐标时,其系统潮流方程可以简单的用下式表示为:
式中: X—节点注入向量,X =[P1,Q1,…,Pl,Ql,Pl + 1,V2l + 1,…,Pn - 1,V2n - 1]T,由节点注入有功功率Pi,节点注入无功功率Qi和节点电压平方i构成; Y—支路有功及无功功率向量; g,h—节点功率和支路功率表达式。
考虑负荷变化对潮流的影响时,负荷变化的不确定性致使其它系统参数也是不确定的,如节点电压等,因此式( 1) 中节点注入量X为随机列向量。概率潮流计算中,输出量的概率特性由其数字特征( 均值和标准差等) 描述,若己知随机负荷的分布类型,则可相应确定输出参数的概率分布。
1. 2 两点估计法
两点估计法( 2PEM) 由点估计法发展而来,通过在每个不确定变量均值两侧确定两个值,将概率潮流方程( 1 ~ 2) 分解成若干个子问题,对每个不确定变量取均值两侧的值代替它,同时其他不确定量在均值处取值,各运行一次确定性潮流计算。若系统有m个不确定变量,则需运行2m次确定性潮流计算。两点估计法不需对确定性潮流计算程序进行较大改动即可运行,具有高效、准确的优点。
假设有m个随机输 入变量,,本研究中随机变量包括负荷的有功功率和无功功率。在概率潮流计算中,节点注入量确定后,可获得节点电压的统计特性,进一步可得到支路潮流的概率参数,则支路潮流可表示为节点注入量的函数,即:
设Xi( i =1,2,…,m) 的概率密度函数为fXi,两点估计法通过使用两个变量Xi,1和Xi,2来匹配随机量Xi的前三阶矩( 均值、方差和偏度) 。Xi,1和Xi,2的取值方法如下:
式中: μXi,σXi—随机变量Xi的均值和标准差; ξi,k—位置度量系数。
式中: λi,3—随机变量Xi偏度系数; λi,4—随机变量Xi的峰度系数,k = 1,2。
式中—随机变量Xi的三阶中心矩与四阶中心矩。
这里简单介绍原点矩与中心矩的求法: 对任意连续型随机变量X,存在任意正整数j = l,2,3,…,n都存在E[Xj],亦即函数xj在( - ∞ ,+ ∞ ) 上关于随机变量X的概率分布函数f( x) 为可积,那么j阶原点矩可以表示为:
当j = l时,就是通常所求的随机变量X的期望值μ。各阶中心距可以由期望值μ求出,即:
通过上式可得,其一阶原点距为变量的均值,二阶中心距为其方差。用Matlab的moment函数可以求得随机变量的j( j = 1,2,…,n) 阶中心距,或者直接利用Skewness函数和kurtosis函数分别求得偏度系数i和峰度系数λi,4。
求得位置度量系数ξi,k以后,对于每一个随机变量i用式( 4) 确定的两个点分别代替,其他随机变量取均值,进行两次确定性的潮流计算可以得到待求解的某变量n两个估计值Y( i,1) 和Y( i,2) 。设m个随机变量值中的每个变量的权重为1 /m,即这些变量的重要性是相同的( 如果随机变量的重要性不同,可以根据需要给定每个随机变量不同的权重) 。假设某一随机变量i所取点Xi,k的权重为ωi,k,ωi,k的计算方法如下:
求得每个估计点权重ωi,k后利用下式求Yi的j阶原点矩:
得到输出变量Yi的各阶矩后,就可以求出其均值μYi和标准差σYi:
研究者可用节点电压和支路潮流的统计矩来估计其概率密度函数。
以上分析假定随机输入量之间相互独立,如果随机输入量之间具有相关性,可采用矩阵变换方法,即先确定随机输入量协方差矩阵的特征值和特征向量,用正交变换将其转换为一组统计上相互独立的随机变量进行概率分析计算,然后通过逆变换求取待求随机量的协方差矩阵。
2 概率潮流在无功优化配置中的应用
2. 1 负荷概率模型
本研究做了如下两方面假设: 1假设各个节点负荷功率之间相互独立; 2假设网络状态确定,即不考虑线路随机故障,只考虑节点负荷功率的随机扰动。本研究在该前提下采用牛顿拉夫逊潮流计算方法进行计算,潮流方程为:
其中: i = 1,2,…,n。对于每一个输出的状态量都可以近似地用节点负荷注入量的函数来表示,即设Y = f( X1,X2,…,Xm) ,其中: x—系统潮流计算中的随机量。
负荷功率往往是伴随着时间的改变而上下浮动的,普通意义上的负荷值表示的是其平均值,其概率特性是以负荷状态为基础并结合计算要求得到的。之前较为普及的观点认为负荷的预测结果属于正态分布形式,并逐渐获得了一定程度的接受。因此,本研究同样将负荷随机变化按照正态分布形式考虑。分别用μP和σP表示有功功率的均值与方差,用μQ和i表示无功功率的均值与方差,二者的概率密度函数表达如下:
2. 2 配电网无功优化配置的数学模型
2. 2. 1 目标函数
( 1) 配电网系统无功补偿投资费用最小,计算公式如下:
式中: Pc—无功补偿投资费用,Nc—补偿节点集,Cv—电容单价,Qci—补偿节点i处的补偿容量。
( 2) 配电网系统总网损费用最小,计算公式如下:
式中: PL—系统总网损费用,KS—单位电价,T—负荷利用小时数,PS—各支路网损,n—节点个数。
( 3) 满足系统安全要求,计算公式如下:
式中: Pv—电压越限惩罚费用,Vi—节点i的电压; n—系统节点数; Kv—电压越界惩罚因子; Viset—节点i的设定电压; Vimin,Vimax—节点电压的上、下限。
为了满足热、动稳定性的要求。一般所有设计导线,均有其最大电流限制。
式中: Pi—电流越限 惩罚费用,Ij—支路j的电流,Ijmax—第j条支路允许通过的电流上限,KI—导线电流越限惩罚因子。
综上所述,总目标函数为综合费用最小,计算公式如下:
式中: F—综合费用。
2. 2. 2 约束条件
要对配电网实施无功优化,首先要保障配电系统能够安全、稳定、经济的运行,就必须要满足相应的约束条件,如下:
( 1) 节点功率约束条件
以上为配电网的潮流方程。
式中: i—PV或PQ节点数; PGi,QGi—注入节点i的有功功率、无功功率; Pdi,Qdi—节点i的负荷有功功率、负荷无功功率; n—系统节点总数; Vi—节点i的电压;Qci—电容器( 电抗器) 每组无功补偿容量,Nci—电容器( 电抗器) 的补偿组数; 所有参数上标S为系统各种负荷水平参数。
( 2) 相关变量的约束条件
控制变量约束:
式中: nt—可调变压器数量; Ti,Timax,Timin—可调变压器的变比及其上、下限; nc—电容器( 电抗器) 补偿节点总数; Qci,Qcimax,Qcmin—节点i补偿容量及其上、下限。
2. 3 配电网无功优化的潮流计算和网损计算
2. 3. 1 配电网无功优化的潮流计算
本研究采用广泛采用的配电网前推回代潮流算法,具体算法详见相关文献。
2. 3. 2 基于遗传算法的无功优化选址和定容
本研究采用遗传算法对配电网无功优化进行选址和定容,其具体的步骤如下:
( 1) 开始;
( 2) 确定实际问题的参数集合,输入原始数据并进行初始化,主要是完成网络参数及有关变量的读入并按程序要求新建数据存放单元来保存数据,包括配电网络节点参数和支路参数;
( 3) 进行初始潮流计算,即进行配电网无功优化前的潮流计算,包括网络损耗与节点电压等的计算;
( 4) 使用十进制编码方式对个体进行基因编码,从而产生初始种群;
( 5) 初始化种群后就修正原来的无功变量值,同时计算此时对应参数下的网络潮流;
( 6) 计算种群中个体的适应度值( 包括适应度值、平均适应度值等) ,初始化染色体—适应度值查询表,同时初始化最优个体库,初始化交叉、变异率;
( 7) 种群按轮盘赌选择法执行选择操作,并对经过选择操作后的种群中的个体染色体进行交叉、变异操作,从而产生新的种群;
( 8) 判断是否满足停止准则,若满足则输出最优解,程序结束; 若不满足,则对新产生的种群执行查询染色体—适应度值查询表操作,如果存在此染色体,则直接返回其适应度值,如果不存在,则进行潮流计算并求得其适应度值,同时更新染色体—适应度值查询表,接下来替换掉种群中的不良个体,更新最佳个体库,并更新交叉、变异率,继续执行步骤( 7) 。
3算例与分析
3. 1 配电网络结构
本研究采用文献[4]的相同线路作为算例。
3. 2 参数的选择
取基准电压为10 k V,电价取1元/k Wh,电容取100元 / kvar,年负荷利用小时数为3 000 h,节点电压惩罚因子取3 000,导线电流惩罚因子取3 000。
3. 3 计算结果与分析
由节点负荷的概率利用两点估计法的概率潮流计算,可以得到节点电压的概率分布曲线。例如节点26的负荷概率曲线如图1所示。补偿前、后的电压概率曲线如图2所示。
节点26的有功负荷均值为0. 161 3 MW,均方差为0. 063 4。补偿前的节点电压均值为9. 81 k V,均方差为0. 004 1。补偿后经过率潮流计算得到的节点电压均值为9. 82 k V,均方差为0. 004,节点26的补偿前后的电压概率曲线如图2所示。补偿后的电压有所提高,方差也减小,说明电压质量比补偿前更高、更稳定。同样也可以得到其他节点的负荷概率曲线和电压概率曲线。无功补偿后的各节点电压明显比补偿前各节点电压高,这说明电压的质量较补偿前有所提高。无功补偿后的各支路电流比补偿前各支路电流要小,线路电流的减少就表明线路网损的降低。
针对同一线路,文献[4]和本研究选取的无功补偿点的位置与容量如表1所示。
可以看出,两个方案总安装补偿容量相近,本研究的总容量小一些,但本研究基于负荷概率模型,应比文献[4]的确定性描述更为精确,而其计算结果均具有概率特性,更为接近实际。文献[4]的计算时间为8. 7 min,而本研究计算时间为5. 7 min,表明其计算效率可以接受。
4结束语
本研究考虑负荷的随机波动性对电网无功优化配置带来的影响,假设各个节点负荷功率之间相互独立。假设网络状态确定,即不考虑线路随机故障,只考虑节点负荷功率的随机扰动。笔者对比概率潮流方法,选择了两点估计的概率潮进行潮流计算,得到相应输出量的概率结果。
本研究建立了无功优化配置的数学模型,利用遗传算法得到无功优化配置目标函数的最优结果,采集了实际的负荷数据进行计算,分析结果表明,两点估计的概率潮流计算对无功优化配置有很好的借鉴价值,适合工程应用。
摘要：针对电力系统运行中存在的大量的不确定因素,例如负荷的随机波动性、功率或发电出力的随机变化、电力设备因随机故障退出运行等问题,将两点估计法的概率潮流技术应用到网损计算中。从降低损耗、改善电能质量的角度出发,建立了无功补偿优化模型。根据实际电网负荷的历史数据,利用遗传算法,得到了配电网无功优化配置的最优方案。最后通过实际的案例进行了计算与分析。研究结果表明,两点估计法的概率潮流在配电网无功优化配置的应用中具有准确性和有效性。
概率潮流计算 篇8
负荷随机波动、设备故障导致的网络结构变化等不确定因素使配电网的潮流分布具有一定的随机性。随着风力发电、太阳能发电等不可控的间歇式分布式电源( Distributed Generation,DG) 大量并网,系统运行的不确定性进一步增加。概率潮流计算可以根据输入随机变量确定节点电压和支路潮流的概率分布,是分析有 源配电网 运行状态 的重要工具[1]。
配电网运行中存在大量相关因素,概率潮流计算中输入随机变量具有较强的相关性。配电网是为城市、农村、矿区等局部地区供电的电网,网络地理尺度远小于输电网,相邻支路距离仅为几公里至十几公里[2],不同节点之间的风速、光照强度等气候条件具有较强的相似性,因此配电网中同种DG出力具有相关性; 同样,由于供电面积较小,区域内负荷性质相近,各节点负荷波动也存在一定相关性。而对于配电网同一节点,可以认为负荷及不同种类DG出力之间相互独立。作为配电网潮流计算中的输入随机变量,各节点注入功率之间的相关性与各节点功率、风速和光照强度等的相关性存在转换关系。
目前,概率潮流计算方法主要有蒙特卡洛模拟法、近似估计方法和解析法三类[3]。但上述方法均以输入随机变量相互独立为前提,因此需要对具有相关性的输入随机变量进行处理。文献[4]建立了风速的滑动自回归平均模型,通过时移技术处理风速相关性; 文献[5]采用三阶多项式正态变换方法,将相关的随机变量等价变换到独立随机变量空间;文献[3,6]对相关系数矩阵进行Cholesky分解,将具有相关性的输入随机变量转化为独立随机变量或标准正态分布变量的线性组合。但上述方法均为面向输电网的相关性处理方法,且仅考虑了负荷或某种DG出力具有相关性的情况,并未针对配电网负荷和多种DG出力同时具有相关性、节点间相关性强的特点,给出相应的相关性处理方法。
本文结合配电网特点,以半不变量法为基础,由负荷、风速和光强相关性计算节点间注入功率相关性,通过Cholesky分解将节点间注入功率解耦为一组独立随机变量,进而给出了独立随机变量半不变量的计算方法,形成了适用于有源配电网的计及节点相关性的概率潮流算法。以蒙特卡洛模拟法为基准,通过对改造的部分IEEE 33节点配电网模型仿真计算,验证了该方法的有效性和准确性,并分析了节点相关性对潮流概率分布的影响。
2 分布式电源概率模型
2. 1 风力发电概率模型
风速变化频率快、随机性强,国内外学者针对风速概率分布进行了多年统计研究,一般认为风速分布为正偏态分布。在风速的多种概率模型中,两参数的Weibull分布模型简单实用,对实际风速的拟合度较高[7],其概率密度函数表达式为:
式中,v为风速; c和k分别为Weibull分布的尺度参数和形状参数,可以由风速统计数据的平均值μ和标准差σ 近似求得[8]:
其中,Γ为Gamma函数。
在实测风速数据中,大部分风速数据都位于切入风速和额定风速之间,可以近似认为风机出力与实时风速为一次函数关系,则风机有功出力Pw的概率密度为:
式中,vci、vr分别为风机的切入风速和额定风速; Pr为风机的额定功率。
2. 2 太阳能发电时序模型
根据统计,一段时间内太阳光照强度近似服从Beta分布[9],其概率密度函数如下:
式中,r和rmax分别为这一时段内的实际光强和最大光强; α和β分别为Beta分布的形状参数,可以由光照强度统计数据的平均值μ和标准差σ 近似求得[10]:
光伏阵列的输出功率与光强为一次线性关系:
式中,PM为光伏输出功率; A和η为太阳能电池板的面积和光电转换效率。将光伏阵列的额定功率计为RM,则光伏有功出力的概率密度函数为[11]:
3 计及随机变量相关性的概率潮流计算
以牛顿-拉夫逊潮流计算为基础,将极坐标形式的节点功率方程在基准运行点上泰勒展开,可以得到潮流方程的线性化模型:
式中,W为节点注入功率; X为节点电压幅值和相角等状态变量; 下标0表示基准运行状态,即以各随机变量的期望值为输入量,进行确定性潮流计算确定的系统运行状态; 记基准运行状态下的雅各比矩阵为J0,则S0= J0- 1,称为灵敏度矩阵。
在此模型中,状态变量的随机扰动是节点注入功率随机变量的线性和。当节点注入变量相互独立时,可以将随机变量的直接卷积运算简化为其各阶半不变量的代数运算,继而通过Gram-Charlier级数展开求得状态变量的概率分布[12]。
但是在有源配电网中,各节点负荷、风速和光强等具有较强的相关性,因此需对输入随机变量的相关性进行处理。
描述随机变量相关性的方法有多种,工程中常用的是相关系数矩阵。假设一组相关随机变量W= [w1,w2,…,wn]T的相关系数矩阵为CW:
式中,Cov( wi,wj) 表示随机变量wi和wj的协方差;σi、σj表示wi、wj的标准差。
实际工程应用中,相关系数矩阵CW一般为正定矩阵,对该矩阵进行Cholesky分解[13]:
利用Cholesky分解得到的下三角矩阵B即可对相关随机变量W进行解耦,形成一组独立的等效随机变量Y[6],如式( 16) 所示:
在已知随机变量W的基础上,通过式( 16) 可以转换为独立随机变量Y,进而W可以表示成Y的组合:
在如图1所示的配电网中含有n个复合节点单元( Composite Node Unit,CNU) ,每个CNU包含随机波动的负荷,部分CNU中还含有一定容量的风力发电机组或光伏阵列。
将节点注入功率计为同一节点处,负荷和风机、光伏的出力之间相互独立。根据同节点注入功率的可加性,有:
式中,WL、WW和WP分别表示节点负荷大小、风机出力和光伏出力向量( 计注入系统功率为正,则负荷为负值。) 。若第i个节点不含风机或光伏,则wWi= 0或wPi= 0。
方差和协方差具有下述性质[14]:
各节点之间,负荷或同种类别的DG出力具有相关性,假设W、WL、WW和WP对应的相关系数矩阵分别为CW、CWL、CWW和CWP,根据式( 18) ~ 式( 20) 可以推导出CW非对角元素CWij的计算公式:
式( 21) 说明,各节点注入功率的相关系数矩阵可以由负荷和DG出力的相关系数矩阵及其标准差计算得到。
根据相关系数矩阵CW和式( 15) ~ 式( 17) 说明的解耦方法,将各节点注入功率W转换为一组独立的随机变量W',如式( 22) 所示:
式中,BCW是对CW进行Cholesky分解得到的下三角矩阵。将式( 22) 代入式( 12) ,可得到解耦后的线性化潮流方程:
式( 23) 是由独立随机变量进行的线性运算,则W' 的各阶半不变量可由式( 25) 得到:
式中,BC-W1( k)表示矩阵BC-1W中各元素k次幂组成的矩阵。
至此,已将相关的输入随机变量的概率潮流计算转换为独立输入随机变量的概率潮流计算,满足了使用半不变量法计算概率潮流的前提条件。将式( 25) 代入式( 24) 可得:
根据式( 26) 可以求出节点状态变量的各阶半不变量,进而通过Gram-Charlier级数展开求得状态变量的概率密度函数和累积分布函数等。
4 算例分析
4. 1 算例系统说明
由于基于半不变量法的概率潮流算法计算误差一般不随系统规模的增大而增大[15],本文为简化相关系数矩阵,以文献[2]给出的IEEE 33节点配点系统为基础,选取第1 ~ 3、18、19、22号节点及其连接线路构成规模较小的6节点配电网,并在各节点增加间歇式分布式电源构成CNU。配电网结构图如图2所示。
网络线路参数参见文献[2],各节点负荷和分布式电源参数如下:
( 1) 风力发电机型号为BWC Excel-R,额定功率7. 5k W,切入风速3. 5m / s、额定风速15m / s; 太阳能电池组件型号为Pilkington SFM144,每个光伏阵列额定功率5k W,面积43. 2m2、转换效率13. 44% 。风机和光伏的功率因数均取为cosφ = 0. 99( 超前) 。
各CNU配置风机和光伏阵列情况如表1所示。
( 2) 通过HOMER[16]软件对位于GMT + 08∶00时区的中国天津市( 东经117. 20°,北纬39. 13°) 的风速和光照情况进行模拟,得到风速平均值μWind=7. 71m / s,标准差σWind= 1. 45m / s; 光强平均值μSolar= 0. 168k W / m2,标准差σSolar= 0. 235k W / m2。
( 3) 负荷采用正态分布模型,负荷有功均值μP和无功均值μQ即为文献[2]中各节点有功和无功值,各节点有功负荷标准差统一确定为: σP= 15k W,各负荷保持基准运行状态功率因数不变。
( 4) 各节点负荷、风速和光强的相关系数矩阵如式( 27) ~ 式( 29) 所示。
4. 2 计算性能评估
以计及输入变量相关性的蒙特卡洛法对本算例的仿真结果作为本文所提方法准确性的判断依据。仿真发现,使用蒙特卡洛法对本算例仿真时,抽样次数超过10000次时,各节点电压、相角,各支路有功、无功的期望值变化率均小于0. 1% ,计算结果趋于稳定,因此采用10000次抽样的蒙特卡洛法仿真结果作为评判标准。
以1号支路末端的有功功率和1号节点电压幅值为例,比较本文方法与蒙特卡洛法计算结果。图3为上述两个输出变量的概率密度函数图像。
可以看到,本文所提方法可以求得各输出变量的概率分布,且计算结果与蒙特卡洛法标准结果基本吻合。为了量化本文方法计算的各输出变量的概率分布特征与标准方法的误差,选取所有节点电压幅值、相角和所有支路末端有功、无功的均值和标准差与标准方法比较,误差见表2。可以看到大部分指标误差均在1% 以内,最大误差也小于2% 。
单位: ( % )
使用两种方法计算本算例所需时间如表3所示。相同仿真平台下,本文所提方法计算时间约为蒙特卡洛方法的1 /354。
4. 3 输入变量相关性对系统运行的影响
为了研究节点间相关性对概率潮流计算结果的影响,选定三种典型情况: 各节点间相关性满足式( 26) ~ 式( 28) 中相关系数矩阵的描述时为情况一;各节点负荷、风速和光照分别完全相关,即相关系数矩阵元素均为1时,为情况二; 各节点完全独立,即相关系数矩阵均为单位矩阵时,为情况三。使用本文所提方法对上述三种情况下的本算例进行计算,以2号支路末端有功功率的概率分布为例研究节点相关性对系统概率潮流的影响。
图4展示了三种相关性下2号支路有功功率的概率分布情况。三条曲线的集中位置和分布趋势基本相同,说明相关性并不影响输出变量的期望、概率分布类型和畸变程度; 但三条曲线概率分布在均值
附近的离散程度具有明显不同,说明相关性对输出变量的标准差影响较大。表4定量说明了这种情况: 从节点间完全独立到完全相关,输出变量的平均值增加了0. 88% ,而标准差增加了74. 03% 。
计算结果显示,支路有功、节点电压幅值和相角与节点相关性之间也存在类似关系。说明节点间相关程度越大,节点电压和支路潮流的波动性越大。这是由于节点相关性较强时,负荷和同种DG出力的波动情况分别趋于一致( 负荷同时出现峰值或谷值,风机同时多发或少发等) ,造成电压越限率增加,线路轻载和重载时间增长,系统功率峰谷差增大。尤其是在配电网中,供电范围较小,不同节点的气候条件和用电情况相对一致,更有可能出现上述情况。因此在配电网规划中,应合理配置DG类别,在同一节点安排多种类型DG配合工作,并充分利用储能装置以及柴油发电机、燃气轮机等出力可控的DG,降低节点相关性,优化配电网潮流。
5 结论
针对有源配电网节点相关性特点,本文提出了一种基于半不变量法的配电网概率潮流计算方法,重点分析了节点注入功率相关性与负荷、风速和光强等随机变量相关性的转换关系,给出了解耦后独立随机变量半不变量的计算方法。通过算例仿真,考察了所提方法的运算性能,并分析了输入变量相关性对系统运行特性的影响。结论如下:
( 1) 采用本文方法进行概率潮流计算时,可以同时考虑负荷、风速和光强等多个随机变量具有相关性的情况,更符合有源配电网实际情况。
( 2) 本文方法计算准确性较高,与蒙特卡洛法相比计算时间大为缩短,具有较好的工程应用前景。