概率知识（精选11篇）
概率知识 篇1
教学内容, 它用以表示随机事件发生的可能性, 具有较强的现实背景和与其他知识点不同的建构模式.然而, 在平时教与学中, 这部分本来颇具趣味的知识却时常因为“摸球掷币”般套路化的考查方式而难显风采.概率对学生而言就是掷骰子、抛硬币、摸彩球、翻扑克、玩转盘.这类练习题目既限制了概率学习的视野, 也不利于知识联结的建构, 使得概率学习孤立化, 错失了展开多个知识点综合应用训练的契机.笔者通过观察近几年中考试题中的概率新题, 发现这一单调的格局已渐渐被打破了, 出现了大量概率与其他各知识点结合的新考法, 拓宽了概率知识的应用, 充分考查了学生综合应用概率知识去分析和解决问题的能力.下面以几道中考题为例, 探究概率知识的新考法, 以丰富概率教学的素材.
一、概率与式
例1 (2012·广东) 有三张正面分别写有数字-2, -1, 1的卡片, 它们的背面完全相同, 将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张, 以其正面的数字作为x的值, 放回卡片后洗匀, 再从三张卡片中随机抽取一张, 以其正面的数字作为y的值, 两次结果记为 (x, y) .
(1) 用树状图或列表法表示 (x, y) 所有可能出现的结果;
分析: (1) 根据题意画树状图, 即可表示 (x, y) 所有可能出现的结果;
(3) 先化简, 再找出使分式的值为整数的 (x, y) 的情况, 再除以所有情况数即可.
解: (1) 树状图如下:
共有 (-2, -2) , (-2, -1) , (-2, 1) , (-1, -2) , (-1, -1) , (-1, 1) , (1, -2) , (1, -1) , (1, 1) 9种可能出现的结果.
二、概率与运算
例2 (2012·凉山州) 如图, 有四张不透明的卡片除正面的算式不同外, 其余完全相同, 将它们背面朝上洗匀后, 从中随机抽取一张, 则抽到的卡片上算式正确的概率是 (%) .
分析:首先判断运算正确的卡片的数量, 然后利用概率的公式求解即可.
解:四张卡片中第一张和第三张正确.
∵四张卡片中有两张正确, 故随机抽取一张, 则抽到的卡片上算式正确的概率是1/2.
点评:本题将概率知识与整式运算结合在一起, 构思精巧、新颖, 既考查了考生对概率知识的理解和计算, 又考查了考生对合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等基础知识的掌握情况.
三、概率与点的坐标
例3 (2012·广州) 甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片, 甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为-7, -1, 3.乙袋中的三张卡片所标的数值为-2, 1, 6.先从甲袋中随机取出一张卡片, 用x表示取出的卡片上的数值, 再从乙袋中随机取出一张卡片, 用y表示取出卡片上的数值, 把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标.
(1) 用适当的方法写出点A (x, y) 的所有情况.
(2) 求点A落在第三象限的概率.
分析: (1) 直接利用表格列举即可解答, 点A (x, y) 共9种情况;
(2) 利用 (1) 中的表格求出点A落在第三象限的共有 (-7, -2) 和 (-1, -2) 两种情况, 所以点A落在第三象限的概率是2/9.
解: (1) 如下表:
点A (x, y) 共有9种情况;
(2) ∵点A落在第三象限共有 (-7, -2) 和 (-1, -2) 两种情况, ∴点A落在第三象限的概率是2/9.
解:由图可知:
∵在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个, 其中和为零的坐标有 (-1, 1) 、 (0, 0) 和 (1, -1) , 共三个 (笔者以圆点标注在图中) .
四、概率与函数
分析:四个数任取两个数的积作为k的值共有12种可能.要使图象在第二、四象限, 则k<0, 找出满足条件的个数, 除以12即可得出概率.
解:如下表:
点评:本题是一道概率与函数图象特征综合应用的问题, 设计独具一格, 知识结合得很和谐, 较好地考查了考生对概率求法和反比例函数的图象特征与k的关系的知识的掌握情况, 并反复巩固了概率题中列表法和树状图法的操作方法.
五、概率与方程
例5 (2012·玉林) 一个盒子里有完全相同的三个小球, 球上分别标上数字-1, 1, 2.随机摸出一个小球 (不放回) , 其数字记为p, 再随机摸出另一个小球并把其数字记为q, 则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是 () .
分析:首先根据题意画出树状图, 然后由树状图求得所有可能的结果与满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的结果, 继而利用概率公式即可求得答案.
解:画树状图得:
由上面的树状图可知, p、q取值共有6种等可能的结果.∵x2+px+q=0有实数根, ∴△=b2-4ac=p2-4q≥0, 满足条件的 (p, q) 取值有 (1, -1) , (2, -1) , (2, 1) 共3种情况.∴满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是:3/6=1/2.
点评:本题把概率与一元二次方程根的情况这两个知识点有机地结合在一起, 搭配得当, 构思新颖, 较好地考查了考生的概率计算能力和对判断一元二次方程根的情况的判别式的应用.方程知识有两大方向的考点:一个是根据△情况进行方程解的判定, 如本题;另一个是求解或者说解的代入验算.我们可以沿着这两个思路去设置概率与方程相结合的训练题目.譬如将本题中的条件保持不变, 把最后的问题改为“ (p, q) 为二元一次方程2p+3q=1的解的概率是:____.”就属于解的代入验算和概率的复合.而如果把题中的“实数解”具体为“有理数解”、“整数解”或其他解的限定就属于解的判定方法的延拓.
综合上述例子, 我们不难看出, 概率知识在中考里的考查面越来越广, 这也为我们日常教学起到一定的导向作用.概率这个知识点难度不大, 题目设置的发挥空间有限, 而若能将概率知识与其他已学过的数学知识有机地结合起来, 既温故, 又知新, 培养学生的综合应用能力, 对学生数学思维的训练将是大有裨益的.概率是新课程改革中新增加的一个知识点.它贯穿于整个初中数学的教学, 并且以螺旋上升的形式进行呈现.它源于生活, 深刻体现新课标的精神.《数学课程标准》指出:“数学学习的内容应当是现实的、有意义的和富有挑战性的.”这一点放诸概率学习上, 就是要找到一个能引发学生学习兴趣的“跳一跳, 够得着”的认知苹果, 挖掘更多新题型和新考法, 拓宽知识应用, 提升学生分析和解决问题的能力, 丰富练习素材, 优化整个教与学的过程.
概率知识 篇2
如果事件A(或B)是否发生对事件B(A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
若A，B是两个相互独立事件，则A与
与
与B都是相互独立事件。
相互独立事件同时发生的概率：
两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P(A·B)=P(A)·P(B)。
若A1，A2，…An相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)。
求相互独立事件同时发生的概率的方法：
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;
小学概率知识的教学误区与思考 篇3
一、概念理解上的误区
误区一：误把分率当概率
【案例1】人教版五上“等可能性”教学片段
一位老师在某省级公开课——“等可能性”时安排了如下练习题。
(1)快到期末了，我们班40名同学中要评选1名三好学生，那么李明同学被评为三好学生的可能性是多少？
(2)小明一家暑假要去旅游，旅行社推荐了桂林、云南、北京、西安、青岛、杭州、福建、厦门8个地方，小明爸妈选择去北京的可能性是多少？
学生的答案分别是和，老师满意地点点头。
【反思】从案例1中可以看出，教师将分率和概率概念混淆。实际上，以上学生回答的两个分数是分率，而不是概率。古典概型可以依赖于计算比较容易获得准确的概率值，更多的随机事件概率是较难得到的。根据学生的年龄特点和认知水平，小学数学教学中只要求学生对等可能性事件发生的可能性用分数来表示。等可能性事件要满足以下两个条件：
(1)试验的全部可能结果只有有限个，比如说为n个。
(2)每个试验结果发生的可能性是相等的，都是 。
仔细分析上面两道习题可以知道，这些事件都不是等可能性事件。因为去哪里游玩是由小明家人主观意愿决定的，有的地方已经去过，根本不会考虑在内，同样，评比的条件也是不可控制的，因为每人是否都具有相同的评比三好学生条件，都不清楚。由于这些事件都不是等可能性事件，所以以上事件的概率无法用一个确定的分数表示，而和这两个分数只是两个分率而已。
那么概率和分率在数学概念上的意义各是什么？它们之间又有什么联系和区别呢？下面以摸球为例（见下图）。
"袋子里有3个白球、1个黑球，每次从袋中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）。黑球占总数是（ ）”（概率和分率都是）。这里概率与分数应用题中的分率产生方法相同，都是一个量与另一个量比较的结果，计算方法也是相同的，从袋中摸出一个球，摸一次，摸到黑球的概率就是袋中黑球个数占袋中球的总个数的几分之几或是百分之几。而求一个数是另一个数的几分之几或是百分之几就是用一个数除以另一个数。意义也相近，都表示一个数是另一个数的几分之几或是百分之几。尽管这样，它们还是有原则性的区别的。“分率”表示黑球占总数的，如果总数有100个球，那么黑球就有25个，而“概率”是的意思表示摸到100个球，并不代表能摸到25个黑球，也许有的摸了100个球可能1个黑球也没摸到，也许有的人只摸了1个球可能就摸到1个黑球。概率可以作为分析问题的参考信息，但它并不像百分率那样具有确定性。概率反映的是事件发生机会的高低，但是不能确定发生次数的多少。教学中教师要尽量避免走进这样的误区。
误区二：误把频率当概率
【案例2】人教版五上“统计与可能性”教学片段
在学生抛了10次硬币后。
师：刚才我们抛了10次，发现正、反面出现的次数差异有点大，下面我们来看一下数学家抛了上万次的情况（条形统计图）。你发现什么？
生：正反面次数差距越来越小了。
师：如果再抛下去呢？
生：几乎相等。
师：正、反面出现的次数几乎相等，也就是说正（反）面出现次数占总次数的大小就越来越接近哪个分数？
生：二分之一。
师：是呀，随着抛的次数越来越多，正面出现的可能性也就越接近二分之一，所以抛硬币是公平的。
【反思】抛10000次一定比抛9999次正面向上的频率更接近吗？显然教师把频率与概率混淆了。教师都知道刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件发生的概率。设一个试验有N个等可能的结果，而事件E恰包含其中M个结果，则事件E的概率定义为，该数学模型称为等可能性概型或古典概型。如因为硬币的两面质地完全一样，所以每次抛硬币出现正、反面的概率都是。而教师在同一条件下做若干次重复试验时，事件A发生的次数与试验总次数之比称为频率。如学生抛5次硬币，其中出现正面1次、反面4次，就说正面出现的频率是。显然，频率是相对于具体的试验而言的。在次数极少的试验中，相关的频率是极不稳定的，差异可能很大。而当试验次数增加时，就会发现，随机事件发生的频率总在某个常数附近摆动，如历史上几位著名数学家分别做了几千、几万次掷硬币的试验，出现正面朝上的频率都非常接近0.5。随着试验次数的不断增多，试验会呈现一种规律性，频率将稳定于某个常数。概率的统计定义就是利用频率具有稳定性这一事实，把某个常数作为事件发生可能性的一个量度，并称之为统计概率。概率的统计意义隐含的一层意义常常被大家忽略，那就是：没有理由认为抛10000次一定比抛9999次正面向上的频率更接近，频率只是在概率附近摆动，只能说随着抛的次数逐渐增多，频率越来越接近概率。如果跟学生说不清楚的话，教师可以借助图像来直观表达。
二、操作试验上的误区
误区一：误把摸球试验的目的当做验证一个结论
【案例3】人教版三上“可能性”第一次试教片段
师：老师在两个盒子里各放了4个乒乓球。如果摸到黄球有奖，你会选择哪个盒子摸？
A盒 ：三黄一白 B盒：三白一黄
生（异口同声）：A盒，因为A盒黄球多，B盒黄球少。
师：你们的意思是黄球多摸到的可能性大，黄球少摸到的可能性小，下面大家来摸一摸。
学生摸好后进行统计，教师发现：有时在A盒中摸，出现白球多；有时在B盒中摸，出现黄球多。为了避免这种情况发生，轻松得到“黄球数量多摸到的可能性大”这个结论，教师在第二次试教中将A盒换成 “九黄一白”， B盒换成“九白一黄”。
结果没有发生意外，教师非常满意。
【反思】案例3中教师误解了摸球试验的真正目的，以为这个实验的目的就是验证“数量多，摸到的可能性大”这个结论，于是教师怕小概率事件发生，就改变了盒中球的比例，这样的做法完全违背了试验的真正目的——随机观念的培养。有意外才精彩，正是因为有了意外发生才更能说明随机事件的不确定性。“黄球多摸到的可能性大”并不表示摸10次一定摸到黄球多白球少，白球多黄球少也有可能发生，只不过可能性要小一些而已。而做这样试验的目的就是改变学生确定性思维方式，让他们明白：即使在99%是正品的店里也有可能买到次品，在99%次品的店里也有可能买到正品。随机思想就是在这样的思辨活动中慢慢形成的。
误区二：误把等可能性试验的重点当做为了得到一个二分之一
【案例4】人教版五上“统计与可能性”教学片段
师：抛硬币游戏公平吗？
生（异口同声）：公平。
师：有什么方法可以验证它是公平的呢？我们来做个试验，现在我们猜一猜，如果抛10次，那么会出现什么情况？
生：5次正5次反。
师：如果抛100次呢？
生：50次正50次反。
师：现在我们规定每人抛10次。
结果教师发现，五正五反的情况没有几个。在不做实验、不分析时，学生似乎理解得很顺利“抛硬币，正、反面向上的可能性相等”，做了实验之后，学生糊涂了。在一堆悬殊很大的数据面前，教师试图证明可能性相等是那么无能为力，于是教师选择纵轴间距不等的方法，技术处理了下面两幅对比条形统计图，选择相等的或接近相等的条形来支持“可能性相等”的结论，给学生视觉上一个骗局：数据越大，正、反次数相差越小。实际上如果纵轴间距刻度相等的话，掷得越多，正、反次数相差就越大，只不过相差数占总次数的百分比很小而已。
【反思】 掷硬币试验本身的目的不是为了得到“ ”，试验的重点是培养学生的随机观念，让学生体会“偶然中的必然”，更重要的是澄清学生潜在的错误认识，体会到不确定也有稳定性。学生在正式学习概率之前就已经具备了一定的经验，在面临简单的可能性事件时凭经验就能判断，为什么还要做试验呢？学生能够判断抛硬币是公平的，并且知道是等可能，但这并不证明学生已经真正理解了等可能性的本质，已经有了随机思想。笔者认为，实验不仅要做，而且要多次做。只有在大量重复试验中，学生才能充分体验到随机事件的“不确定性”，通过实验之后对数据的分析，让学生体验随机事件的另一特点“偶然中的必然”，同时也消除了学生潜在的错误认识。
小学的概率教学的目的主要是培养学生初步的随机观念，让学生从小学会用概率的眼光去观察大千世界，而不仅仅是以确定的、一成不变的思维方式去理解事物。学生初步的随机观念是否形成关键取决于教师。因此，教师提升自己的本位知识、理解教材的编排意图事关重要。如此，才能够尽快走出概率教学的误区。
中考数学复习《概率》知识的分析 篇4
一、明确学习目标,梳理概率的定义和计算方法
1. 清楚事件的分类,能正确掌握可能事件与不可能事件的概念
2. 掌握概率的计算( 掌握其概念及计算方法)
1概率: 一个事件发生的可能性大小叫该事件发生的概率.
2用画( 3) 树状图或( 4) 列表等计算概率
3概率的求法
a. 用列举法求概率
在随机现象中,如果事件A包含m种可能的结果,那么出现这个事件的概率记作P( A)
P( A) = 1 / n + 1 / n + 1 / n + 1 / n + …… + 1 / n = m / n
b. 利用频率估计概率
在大量重复试验中,事件A出现的频率为m/n,我们可以估计A发生的概率为m/n
4选用公式: P( 事件的概率) = m/n( m 表示事件发生的次数,n 表示所有可能的结果数)
3. 理解和掌握频率与概率的区别与联系( 能用频率估计概率)
1频率: 试验中,某事件出现的次数与总数的比值.
2概率是伴随着随机事件客观存在的,只要有一个随机事件存在,就有一个概率存在,而频率是通过试验得到的,他随着试验次数的变化而变化,但当试验次数充分扩大后,频率在概率的附近摆动,为了求出一个事件的概率,我们可以通过多次试验,用所得的频率来估计事件的概率.
二、利用梳理清楚的概率知识解决实际问题,历年常考题型有以下两大类:
第一类. 事件分类和与其他知识结合考概率.
这类题型比较简单,但更考的是学生的细心,这类题型一般考查必然事件和随机事件的概念,要注意必然事件和随机事件属于可能事件,还有一类是不可能事件. 这类题通常出现在基础部分的选择题或填空题中( 分值在4分左右) .
例如: 下列事件为必然事件的是()
A. 小王参加本次数学考试,成绩是150分.
B. 某射击运动员射靶一次,正中靶心.
C. 打开电视机,CCTV第一套节目正在播放新闻.
D. 口袋中装有2个红球和一个白球,从中摸出2个球,其中必有红球.
解题思路: 必然事件是一定会发生的事件,A. B. C均是随机事件,D是必然事件,故选D答案. 弄情必然事件和随机事件概念是解决问题的关键.
《变式题如1》: 有长度分别为2㎝,3㎝,4㎝,7㎝的四条线段,任取其中三条能组成三角形的概率是______.
该题主要考查以2㎝,3㎝,4㎝,7㎝的四条线段能组成三角形的情况( 即三角形边的性质: 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) 只有几种,这是关键; 其次是概率的定义: P( A) = N/M,共有几种可能的结果,此题与高中的组合知识有点关联,具有承上启下之功效.当然,也还有与其它( 函数知识或平面几何) 等基础知识结合考的题.
第二类. 解答题中概率的计算( 在新闻背景材料和生活实际应用概率综合知识的计算) ( 这部分属于高频考点) ( 分值在10分———12分) 即阅读新闻信息,发现新问题,运用概率知识解决问题. 解答这类问题的关键是认真仔细阅读其内容,理解其实质,正确把握其方法、规律,然后加以解决. 在解题过程中一定要做到不重不漏的计算概率,画图形或表格时要求完整、标准. 指导求概率问题的方法一般如下:
1. 数字类求概率的问题,可以用概率公式求解,选用公式: P( 事件的概率) = m/n( m表示事件发生的总次数,n表示所有事件的总数) ;
2. 摸球类概率的求法是用枚举法、枚举所有可能出现的结果时,要做到不重不漏,在计算概率时关键是确定所有可能的结果数和可能出现的结果数,再用某个事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.
3. 几何图形中阴影部分的事件的概率求法是求出阴影部分面积占总面积的几分之几,那么其概率就是几分之几.
4. 在重复试验计算概率的题中,第一次取出后放回,然后第二次再取出计算概率,做这类考题时要注意两次取得的结果总数是一致的,如果不放回,那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况.
具体体现在近年来的中考题中的如下:
例如: 《2013遵义中考23题10分》: 一个不透明的布袋里,装有红、黄、蓝三种颜色的小球( 除颜色外其余都相同) ,其中有红球2个,蓝球1个,黄球若干个,现从中任意摸出一个球是红球的概率为1/2.
( 1) 求口袋中黄球的个数;
( 2) 甲同学先随机摸出一个小球( 不放回去) ,再随机摸出一个球,请用“树状图法”或“列表法”求两次摸出都是红球的概率;
( 3) 现规定,摸到红球得5分,摸到黄球得3分,摸到篮球得2分( 每次摸后放回) ,乙同学在一次摸球游戏中,第一次随机摸到一个红球,第二次又随机摸到一个篮球,若随机再摸一次,求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率.
思路分析: 本题考查了3个方面的知识: ( 1) 利用样本求总数,从而求出黄球的个数; ( 2) 利用列表或树状图法,求概率; ( 3) 根据信息理解其实质,正确把握其方法、规律,解决具体问题故有: ( 1) 首先设布袋中黄球的个数为X个,根据题意得:
解此方程即可求得答案; ( 2) 首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况,再利用概率公式即可求出答案; ( 3) 由若随机再摸一次,求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况,且共有4种等可能的结果; 直接利用概率公式求解即可求得答案.
解: ( 1) 设布袋中黄球的个数为X个,根据题意得:
解得: X = 1
经检验: X = 1是原分式方程的解.
∴布袋中黄球的个数为1个;
( 2) 画树状图得: 开始
∵共有12种等可能的结果,两次摸出都是红球的有2种情况.
∴两次摸出都是红球的概率为:2/(12)=1/6
( 3) ∵摸到红球得五分,摸到黄球得3分,而乙同学在一次摸球游戏中,第一次随机摸到一个红球,第二次又随机摸到一个篮球.
∴乙同学已经得了7分.
∴若随机再摸一次,求乙同学三次摸到球所得分数之和不低于10分的有3种情况,且共有4种等可能的结果;
∴若随机再摸一次,故乙同学三次摸到球所得分数之和不低于10分的概率为:3/4
点评: 本题结合考查的是用列表法或画树状图法求概率,列表法或画树状图法可以不重不漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件,同时也考查了分式方程的解必须检验,学生根据题意,正确进行符合实际的取舍; 注意概率 = 所求情况数与总情况数之比. 其次,在第二问中有“不放回”和第三问中“( 每次摸后放回) ”学生不仔细,很容易出错.
又如: ( 2012黔南州中考21题10分) : 市消协联合市工商局在某中学分别开展辨别和打击“地沟油”及“瘦肉精”的食品宣传讲座,小青同学不知该如何听课,最后他决定通过掷硬币来确定. 掷硬币规定如下: 连续抛掷硬币三次,如果三次正面朝上或三次反面朝上,则小青听两堂讲座; 如果两次正面朝上一次反面朝上,则小青去听“地沟油”的讲座; 如果两次反面朝上一次正面朝上,则小青去听有关“瘦肉精”的食品宣传讲座.
( 1) 用画树状图得方法表示三次抛掷硬币的所有结果;
( 2) 小青听两堂知识讲座的概率有多大?
( 3) 小青用这个游戏规则去选择听“地沟油”或者“瘦肉精”的讲座是否合理? 为什么?
思路分析: 本题考查用画树状图法,而不是列表法,意义何在? 学生在思考中可以发现: 运用题中信息,把握运算方法,解决具体的问题.
解: ( 1) 画树状图如下:
∴三次抛掷硬币的所有结果有: 正正正,正正反,正反正,正反反,反正正,反正反,反反正,反反反8种;
( 2) ∵由( 1) 可知,三次抛掷硬币共有8种等可能结果,三次正面朝上或三次反面朝上的有2种.
∴小青听两堂知识讲座的概率为2/8=1/4
( 3) 这个游戏规则合理.
∵两次正面朝上一次反面朝上的结果有3种,正正反,正反正,反正正.
∴小青去听有关“地沟油”的讲座概率为3/8.
∵两次反面朝上一次正面朝上的结果有3种: 正正反,反反正,反正反.
点评: 本题结合考查的是用画树状图法求概率,列表法或画树状图法可以不重不漏的列出所有可能的结果,但本题用列表法不适合,只能用画树状图的方法,更进一步地考查学生是否明白: 列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.
高中数学必修三概率知识点 篇5
(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示.
(2)条件概率公式：
称为事件A与B的交(或积).
(3)条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P(A)和P(A∩B)，得P(B|A)=
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n(A∩B)，得P(B|A)=
P(B|A)的性质：
(1)非负性：对任意的A∈Ω，
; (2)规范性：P(Ω|B)=1;
(3)可列可加性：如果是两个互斥事件，则
P(B|A)概率和P(AB)的区别与联系：
(1)联系：事件A和B都发生了;
(2)区别：a、P(B|A)中，事件A和B发生有时间差异，A先B后;在P(AB)中，事件A、B同时发生。
小概率事件，大概率脱险 篇6
面对突发事件，一个眼神，一个举动，或许都能有效地拯救生命，因此，如何克服恐惧的本能，迅速做出应急判断，保护好自身，把突发事件的伤害尽量降低，是非常重要的。
有时候，急于躲避并不是最好的避险方式，杭州公交车纵火案中，纵火者从泼洒可燃液体到点燃，有五秒钟间隔，若在此间隔中，周围的人不是一哄而散地逃离，而是一拥而上地制止，惨案也许就不会发生。但在昆明火车站暴恐案中，恐怖分子手持长刀，一路挥砍，若手无寸铁的群众上前与之搏斗，那可能会造成更大的伤亡。可见，避险有技巧，人人需学习！
突发事件对我们每个人来说都是小概率事件，但如果遇到，我们中的大多数人都会因惊慌而不知所措。为此，我们应该认真地补上一节安全课。
多事的自动扶梯
余成刚是摄影爱好者，2014年4月17日下午，他带着儿子在深圳市东门晒布路的东门荟六楼迪可可儿童乐园拍照，孩子的灿烂笑容是他最喜欢拍摄的主题之一。
15时50分许，余成刚带着儿子准备回家，在下到三楼自动扶梯的时候，他们看到一队小学生正在按老师的安排从三楼排队走向下行的自动扶梯。他拉住儿子，说：“我们等一等，等他们走完，我们再过去，要不然就把他们的队伍打乱了。”儿子乖巧地点了点头。
余成刚和儿子看见，三名老师带着二十多名学生乘坐三楼扶手电梯向楼下行进。电梯口有一名老师在组织学生有序地步入电梯，电梯出口也有一名老师在接应已经走出电梯的学生，还有一名女老师则陪同学生一起乘坐电梯……事故就在这个看似周密的安排中突然发生了。
那名女老师在自动扶梯中间靠后的位置行至扶梯中段时，扶梯末端有一名学生突然蹲下身去，像是要系鞋带，而后面的学生随着扶梯的前行，即将与那名学生撞上了。这名女老师立刻大声呼喊队伍最前方系鞋带的学生：“不要系鞋带了，快站起来，电梯要到了！”而此时那名学生正拼命地将脚向后拉——他的鞋带被卡在了自动扶梯的齿槽中。他身后的同学眼看已经失去平衡，正向他身上压去，自动扶梯上传来一阵尖叫与惊呼声。
情急之下，站在自动扶梯末端的老师立刻从另一侧扶梯逆行冲上三楼，按下了自动扶梯的紧急停止键，自动扶梯戛然而止。瞬间的停止，让自动扶梯上的师生同时失去平衡，一股脑地向下方跌去。在下跌过程中，陪同学生一起乘坐自动扶梯的女老师使劲伸开双臂，想要阻挡身后的学生继续跌落，但这个下意识的动作丝毫没有减弱后面跌落的学生，反而使她重重地摔倒在自动扶梯上。就在短短几秒钟内，自动扶梯上的人全部摔倒，扶梯上传来一阵阵痛苦的呻吟。
事发突然，和儿子站在三楼的余成刚目睹了这一切，他立刻把相机交给儿子，并嘱咐他站在原地不要动，随后飞奔下楼。就在大家一片惊慌时，余成刚一边让二楼最近的店铺打电话叫救护车，一边跑到自动扶梯前，拉起被压倒的学生。此时，自动扶梯上已经有很多血迹，由于下行自动扶梯的角度，所有跌倒的人都挤压到扶梯的最末端，人挤着人，人压着人。害怕造成二次伤害，余成刚只能小心翼翼地先将最上面的几名学生拉起来，并注意着不踩到下面的学生。二楼店铺中的人此时也加入到救援的队伍中，人们接力将摔倒在自动扶梯上的学生一个个拉了起来。
这次踩踏事故中，共有九人受伤，其中三人伤势较重。事后，专家分析了当时的救助情况：老师应该在乘坐自动扶梯前就教育学生不要随意捡拾掉落在扶梯上的东西，上自动扶梯前要检查一下自己的鞋带是否松散开，若发现鞋带被卡住，应及时脱掉鞋子，并站到自动扶梯外。好在事故发生后，热心市民的救助及时并且得当，避免了搬运伤员过程中的二次伤害。
公交车上的罪恶之火
2014年2月27日12时37分，贵阳市237路公交车在云岩区金阳南路突然发生燃烧。
事发时，贵阳市某汽车维修站的员工王涛正在距事发地不足40米的站内看报纸，听到尖锐的哭喊声后，王涛循声望去，看到一辆公交车停在了金阳南路的超车道上，尾部已经起火，“当时明火不大，但浓烟滚滚”。王涛随即叫两位同事拿上维修站内的灭火器灭火。“我们走到公交车前挡风玻璃前，刚想灭火的时候，车厢内的火势突然变大了，烟也变得更多。隔着挡风玻璃，里面什么也看不见，全是烟。”
王涛回忆，从他叫上同事取来灭火器，到火势变大，不超过两分钟。“本来哭喊声很大，我们拿到灭火器的时候，哭喊声都听不到了。”
王涛看见，一名身穿粉红色衣服、年龄三十岁左右的女子在他人的帮助下跳窗逃离。“她头发被烧了一点，逃出来后坐在马路上哭，说丈夫和孩子还在车上。”
汽车燃烧了15分钟后，消防车赶到了现场实施救援。这时候，火已经变小了，但汽车已经完全烧成了空壳，变得面目全非。
目击者钱先生称，火是从车尾开始烧起，然后再蔓延到中部和头部，“车尾的人都没来得及逃出”。他称不到五分钟，整辆车都燃烧起来了，燃烧过程中还伴随着爆炸声。事发时车上有六十余人，公交车燃烧的速度极快。发生燃烧后，司机和几个年轻人先后跳出了车外，头发被烧着的司机跳下车后，大声提醒人群往后退。
目击者瞿彬是事发时离公交车最近的人，当时跟在该车车尾一两米处，火焰突然从公交车的窗口喷出，车辆瞬间被熊熊大火吞噬，浓烟滚滚，尖叫声、哭喊声响成一片。起火后几秒钟，有十余名乘客从车窗跳下逃生，其中很多人的衣服、头发都带着火。
不少目击者说，大火来得突然，火势发展迅猛，整个车辆几乎瞬间就被大火吞噬，由于火势太大，周边群众无法靠近车辆去救援……
在总结贵阳公交车纵火案时，专家指出：遇到公交车失火时，驾驶员应该是第一个施救者和避险组织者。在遇到火情时，驾驶员应第一时间提醒大家不要慌，有序撤离，并打开车前后门供乘客逃生。如情况允许，驾驶员应使用随车干粉灭火器先行扑火。乘客方面，在公交车上如果事先闻到可疑气味，就应该向驾驶员示警，以避免发生危险……遗憾的是，这些避险措施，并没有被很好地实施，否则伤害必将减轻。
应急演练，长治久安
2014年6月20日上午，海口市专门针对公交车纵火案做了一次演习。9时30分，总站内10路公交车准点出发，突然，车里浓烟滚滚，乘客开始慌乱起来。此时，驾驶员大喝：“大家不要慌，我打开前门，后车窗玻璃可敲碎，请大家有序撤离！”面对突发情况，驾驶员冷静地扭动前车门的手动应急开关，迅速打开车门引导乘客下车，同时指导乘客使用车内逃生锤砸开后车门侧车窗玻璃，随后又拿起干粉灭火器先行扑火。不到一分钟，车内的乘客全部成功疏散。
此时，车内仍然浓烟滚滚，驾驶员拨打火警电话求助，随后向市交通部门及公交公司负责人报告。消防人员接警后火速赶到现场，迅速扑灭了大火，公安干警控制现场维护秩序，医疗部门迅速赶到将伤员送往附近医院进行紧急救治。
同一时间，一名背着黑挎包、手持饮料瓶的男子来到海口公交总站准备坐车时，公交站的工作人员将其拦下，要求检查他手持的饮料瓶。工作人员用液体检测仪对该液体进行检查，发现仪器显示出危险信号。工作人员告知该男子此液体不能带进站厅内，并将乘坐快速公交安检的相关规定告诉对方，希望对方理解。然而，该男子情绪突然激动，从背包里拿出第二瓶液体，并拿出打火机准备点燃液体。
千钧一发之际，工作人员立刻安抚该男子失控的情绪，站厅内的服务人员见此情景立即通知安保人员，并拨打110报警。安保人员闻讯后拿上防暴叉，将情绪激动的该男子控制住，并用防暴棍将其手上的汽油以及打火机打掉在地，将对方制服。同时站厅内的服务人员维护站点秩序，疏散其余围观乘客。保洁人员则用水稀释站点洒落的汽油，物业人员持灭火器站在一旁以防出现火险。警察赶到现场后将该男子带走，站点恢复正常营运。
以上两个场景，都是海口市针对公交车以及车站纵火突发事件的应急演练，通过这次演练，为公交工作人员提高对突发事件应急处置能力打下了良好的基础。有备无患，长治久安，只有在平时的工作中时刻不忘安全，才能时刻安全。
突发事件的自救与思考
两类典型突发事件的自救
（黄培岳，海口市公安局政治部副主任）
1.遭遇踩踏事件
发生踩踏事件后，为避免造成二次伤害，遇险者应两手十指交叉相扣护住后脑和颈部，两肘向前，护住双侧太阳穴。滑倒或从高处跌落时，如果颈部受到强烈撞击，是很危险的。因为颈椎中有脊髓通过，如果颈部神经受损，轻者造成瘫痪，重者危及生命。不慎倒地时，双膝尽量前屈，护住胸腔和腹腔的重要脏器，侧躺在地。当发现前面有人突然摔倒，要马上停下脚步，同时大声呼救，告知后面的人不要向前靠近。
2.遭遇持刀袭击
持刀行凶事件近年来在全国时有发生，遇到此类紧急情况，最应牢记的是“跑”和“躲”，在歹徒不易发现的情况下，悄悄跑开，并选择一个较为隐蔽的场所躲起来。
如果已与歹徒面对面，冲突不可避免时，可利用身边的物体来保护自己，比如可以用包挡住歹徒砍过来的刀，这样可以减小伤害，还可利用椅子、扫把、拖把等物品来保护自己。
如果遭到突然袭击，千万不要落单，一定要和人群呆在一起，如果歹徒向你们展开袭击，在明知无法逃跑的情况下，和周围人群奋力反击。如果你幸运地离开了恐怖袭击现场，第一时间拨打110，迅速请求警方来解救其他被困人员。报警时要讲最重要的事，语言要简洁明了，比如事件发生的地点、时间、严重性等。
昆明火车站暴恐案中，那些主动为遇险群众提供避难场所的店主值得称赞，他们提供的庇护闪烁着人性的光辉。但需要提醒的是，当人群大量聚集避险时，最好有人专门从事望哨任务，避险人不要出于好奇拥挤在观望口，这样反而容易使目标变大，引来歹徒的攻击。
暴恐活动往往意味着毁灭。昆明火车站暴恐案中，恐怖分子的武器只是长刀，如果他们自制了爆炸物或燃烧瓶之类的毁灭性武器，那么人群聚集在密闭的空间中避难就很不明智了，所以避险人在选择避险地点时，最好选择有两个进出口的场所，在相对封闭的环境中，应当留有观察口，以便观察外面事态的发展，抓住机会逃离。
最重要的是沉着冷静
（陈剑红，国家一级心理咨询师）
尽管遇上突发事件的概率比较低，但我们要有备无患。最重要的是沉着冷静，突发事件最怕恐慌，不要盲目逃跑，要选择适合的路径逃生，不要逆着人流以避免被推倒在地造成踩踏。不要为了财产安全铤而走险，第一时间保命要紧。
“实施恐怖暴力袭击的嫌疑人脸上不会贴标记，但是会有一些不同寻常的举止行为，可以引起我们的警惕。”在日常生活中，我们应该做有心人，留意身边可能出现的反常情况。比如一些神情恐慌、言行异常者，着装、携带物品与其身份明显不符者或与季节不协调者，都可能是恐怖暴力袭击人员。此外，如果在居住区内发现有出租房内发出异常声响、气味，都有可能藏有嫌疑人员。
同时，一些存在异常的车辆，比如车辆被改色、有撬动痕迹、驾乘人员神色惊慌等，都有可能是可疑车辆。
遇到上述情况，应该保持镇静，不要引起对方的警觉，并拨打110报警，反映可疑情况。
爆炸物可能被安放的公共场所包括标志性建筑物、交通工具以及重大活动现场。
遇到疑似爆炸物，最应该牢记的一点是：千万不能触摸，立即报警。同时，应有序撤离，不要互相拥挤，以免发生踩踏造成伤亡。还要协助警方调查，尽量识别可疑物的发现时间、大小、位置、外观，了解有无人员动过等情况。如有可能，用手中的照相机进行照相或录像，为警方提供有价值的线索。
火灾是人们日常生活中最可能遇到的危险之一，在进入陌生环境的时候，首先要留意疏散通道、安全出口及楼梯方位等，以便遇到危险能尽快逃离。在撤离时，可用毛巾、口罩捂鼻，弯腰撤离，切记不可乘坐电梯。
“遇到歹徒枪击，最好的方式是选择合适的掩蔽物进行躲避，找不到合适的掩蔽物就立即趴下，千万不能站立。”最好选择密度质地不易被穿透的掩蔽物，如墙体、立柱、大树干、汽车前部发动机及轮胎等位置。值得注意的是，木门、玻璃门、垃圾桶、灌木丛、柜台、场馆内座椅、汽车门和汽车尾等，虽不能挡住子弹，但可以起到隐蔽作用，使恐怖分子在第一时间不易发现你，为下一步逃生争取时间。
突发事件引发社会学思考
（张赐琪，上海社会科学院信息研究所副研究员）
突发事件袭来，需要政府及时、有效地组织应对，同时也要求公民承担起相应的社会责任。在这个过程中，政府无疑应当起主导作用，但仅靠政府的力量是不够的，还需要构筑社会各界共同行动的参与机制。
各类非政府组织，具有促进社会发展的诸多功能。在一些突发事件中，常以事件的目击者、自发的救助者、信息源的发布者等身份出现。各类非政府组织（红十字会、宗教团体等） 往往成为应对突发事件的重要力量，在印度洋海啸等灾难中，国际红十字会的救援工作传递着人类互爱的强大信息，使许多受难者家属从灾难的阴影中重新站立起来。
在突发事件面前，媒体承担着及时准确地发布真实信息、保障社会稳定的作用。作为“第四媒体”的互联网， 在信息传播和民众参与互动中起着不可替代的作用。在“非典”和“禽流感”等公共卫生突发事件面前，网络媒介充分介入，将有关防治知识和疫情信息，迅速告知公众，大大增强了民众的自我保护意识，阻断疫情大面积传播。
实践证明，突发事件的目标和后果越引发人们注意，人们越容易受感染，公众自发参与应对的可能性就越大；在人群聚集的地方和组织内，信息传播的速度越快，救援参与者可能就越多。公众的参与和互动，对有效实施针对突发事件的应急举措意义重大。
用概率知识解释几则疑惑 篇7
1 排队的疑惑
有的人在食堂、医院、超市排队时,常常感到自己站在较慢的队伍里,为什么呢?
以超市排队为例。我们在超市收银处选择队伍时,不可能先对每一位收银员的工作速度、前面的顾客商品的数量做出详细的统计分析,也无法预知某个队伍是否会出现特殊情况:某顾客刷卡时忘记密码、刷卡机故障、顾客与收银员均零钱不足而需要换钱等等。大家都希望自己尽快结账,选择哪个队伍能够快一些呢?这就是一个概率问题。总的来说,选择哪个队伍最快,概率基本相同,因为:1)顾客都是随机到达的;2)人人都珍惜时间,顾客总是选择长度相对较短、前边的顾客需要结账的东西明显相对较少的队伍;3)当某位收银员的动作慢,并且顾客们都了解这位收银员的话,那么这位收银员负责的队伍就会经常变得较短。我们在日常生活中也能够发现,超市各个队伍的等候时间总是趋于相同,极少出现某个队伍比另外一个队伍快非常多的情况。
假设某超市有10个收银的队伍,你随机选择了1个,你选择的队伍使你能够最快开始结账的概率是0.1。也就是说,你选择的队伍不是最快的概率是0.9。如果你是个性急的人,或者恰好有急事,你开始排队的时候,无意中盯着与你几乎同时开始排队的其余9位处在队尾的顾客。一段时间后,当你看见刚才9位顾客中的某一位开始结账的时候,你会对自己说:真不走运,我这一队真慢。其实,也许你所在的队伍是第2快,或者第3快。但这时你已经不再注意这些了,你只在意有人比你快。
有时,排队一小段时间后,你感到旁边的队伍要快一些,于是就换到了旁边的队伍,几分钟后,你却发现自己原来的那一队现在变得很快,可是想站回原来的队伍已经来不及了,于是你又开始认为自己不走运。实际上,在你更换队伍的那一瞬间,在各队的长度仍相对较长、前面顾客东西的多少和收银员的工作速度你并不了解的情况下,你仅凭一时的感觉更换了队伍,更换队伍后走运与不走运都是可能的,概率都是0.5。性急的人或者有急事的人常常将不走运的次数和当时着急的心情在自己的头脑里放大了。看来,常觉得自己排队不走运的人,需要调整一下自己的心理状态。
2 买奖券的疑惑
为便于说明问题,假设某奖券的中奖率为0.01,奖品不分等级。疑惑一,中奖率为l%,买了100张怎么都没中奖,人家买了10张就中奖了?疑惑二,怎么总看见有人中奖,实用小物品被一件件地领走,中奖人常常不是我?
任意一张奖券中奖概率为0.01,不中奖的概率是0.99,任意n张奖券都没有中奖的概率是0.99°,任意n张奖券至少有1张中奖的概率为1-0.99n,可以得到表1。买1 00张至少有1张中奖的概率是1-0.99100≈0.6340,概率还不到2/3。这说明,中奖率为0.01,并不意味着买100张就能中奖。
由表1可知,除非奖券买得足够多,否则,中不中奖都是正常现象。买10张的中奖概率是0.0956,接近10%,买10张中了奖的事件不能算是小概率事件。买100张的中奖概率并不是买10张的中奖概率的10倍,它们之间不是线性关系。
假设在奖券销售现场,某一小段时间内有50人买了奖券,平均每人买了10张,这相当于同一个人一次买了500张,根据表1,至少有1张中奖的概率是0.9934,就是说,在这一小段时间内几乎至少有一个人能中奖。而自己只买了10张,10张均不中奖的概率是0.9910=0.9044。这可以解释在奖券销售现场,时不时地看见有人中奖,而中奖人常常不是自己的原因。
3 常听人说:“都是选择题,什么也不会的人也能考2 5分”,是这样吗
假设某门课程满分为100,考题都是4选1的选择题,每题的分值均为1。完全靠碰运气的话,则每道题答对的概率为0.25,答错的概率是0.75。各道题的解答互不影响,相互独立,因此,可以将解答100道选择题看成100重贝努利试验。设答对的题数为随机变量χ,χ服从参数n=100,p=0.25的二项分布。就是说,完全凭运气参加考试,得0分、1分、2分、…、100分都是有可能的,概率为:,k=0,1,2,…,100
可以计算出恰好得25分的概率,以及得分为各个分数段的概率,见表2。n重贝努利试验,恰好成功发生np次的概率是最大的。这里,np=100 0.25=25,恰好得25分的概率最大,为0.0918,这不是小概率。根据表2,完全靠运气,考试成绩为15～35分之间的概率为0.9852 (=0.4563+0.0918+0.4371)。个别学习较差的考生,参加标准化(都是选择题)考试,也能够得二三十分,就是这个道理。
另外,从表2,可以知道,完全凭运气参加选择题型的考试,及格的概率极小,为1.3268×10-13想完全凭运气“蒙”及格几乎是不可能的。
4 结束语
日常生活中还有很多事情和现象可以用概率的知识来解释。例如,有经验的司机常常能够较快地从甲地到达乙地,依赖的条件之一是他大脑里面存储的各路段在各个时段交通状况的概率统计数据,从而能够选择堵车次数和堵车概率较小的一条路。
摘要：生活中有一些疑问是可以用概率论的知识来解释的。本文运用概率知识，解答了生活中我们最常见的三个问题。
关键词：随机事件,概率,随机变量
参考文献
概率统计中知识点的一致性 篇8
概率是一门很基础的公共课, 也是一门理论性和应用性很强的学科.其实, 概率统计中许多知识点具有一致性, 在教学中, 只有前后联系, 适当改变课堂教学方法, 才能够有效调节课堂气氛, 帮助学生把学到的知识点前后贯穿, 加强理解, 吸引学生并调动学生的情绪和思维, 提高学生由浅入深地提出问题, 分析问题和解决问题的能力.下面举几个例子:
一、一维随机变量与二维随机变量的一致
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的, 为了更方便有力地研究随机现象, 为了便于数学上的推导和计算, 将任意的随机事件数量化, 于是建立起了随机变量的概念.
在样本空间上建立随机变量这个函数时, 往往一个随机变量是不能准确地刻画样本空间和随机事件的.比如, 考察某一地区学前儿童的发育情况, 我们不能仅仅考察身高, 也不能仅仅考察体重, 而是考察身高、体重、营养和智力等多个方面, 这样, 学前儿童就是一个样本空间, 而身高、体重、营养和智力就是建立在这个样本空间上的多维随机变量, 并且我们不能独立地考察这些因素, 还必须看它们之间的关系.若只就儿童的身高H和体重W而言, 就构成二维随机变量 (H, W) , 它们组成了二维随机变量 (X, Y) 的性质不仅与X, Y有关, 还依赖于这两个随机变量的相互关系.所以, 对于多维随机变量而言, 它的分布函数、分布律或概率密度函数是在一维随机变量上的推广, 它们在性质上是保持一致的.
二、离散型与连续型随机变量的一致
以数学期望公式为例:设离散型随机变量X的分布律是P{x=xk}=pk, k=1, 2, ….若级数
设连续型随机变量X的概率密度是f (x) , 若积分∫
有很多同学对连续型随机变量的期望公式不是很懂.其实连续型随机变量的期望公式与离散型随机变量的期望公式是一致的, 根据《高等数学》中定积分的定义, 定积分的定义是由求曲边梯形面积引入的, 就是先把曲边梯形面积经过分割后得到很多近似小长方形的面积, 再对这些面积求和, 最后取极限, 即分割——求和——取极限三步走引入的, 得到只要
三、不相关、独立与连续、可导的一致
许多同学对于不相关和独立的关系不太懂.学过《高等数学》都知道, 可导函数必连续, 而连续函数不一定是可导的, 即连续是可导的必要条件, 连续函数更广, 包含可导函数, 正如连续和可导的关系.其实, 不相关和独立也是如此, 不相关是说不存在线性关系, 可能存在其他关系, 而独立是说什么关系都没有, 所以不相关是独立的必要条件, 不相关范围更广, 包含着独立.实际上, 这很像同学们上学, 读本科是打基础的时候, 所以学习的专业比较广, 但只是了解而已, 而读硕士和博士范围就比较窄, 但要求比较精.
四、“化整为零, 各个击破”思想的运用
全概率公式是概率论中一个很重要的公式, 它的思想就是将一个复杂事件的概率分解成若干个简单事件的概率的和, 就好像我们在力学中常将一个复杂的力分解为若干个简单的力, 而后再求这些简单的力的合力一样, 即化整为零, 各个击破.再比如应用独立同分布中心极限定理、数学期望公式和二项分布做题目时, 也经常是运用化整为零, 各个击破的思想.
参考文献
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[2]盛骤.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2004:112-113.
概率知识 篇9
这些年随着科学技术的发展,概率论与数理统计在经济学的研究中得到广泛应用。借助概率论方法研究经济问题有三个优势:(1)由于数学固有的灵活性,可使金融领域的相关研究和探索借助于其多种计算方法和数学模型,从而更好地实现金融问题背后的经济变量函数,使复杂的关系清晰化。(2)由于其固有的严密逻辑性,使得数学分析成为科学推理的主要手段,并使其他一些难以解释的逻辑关系变得简单化。(3)由于其固有的精确性,使得对经济范畴之间的数量关系的描述和研究可以数量化。总之,概率论在经济学中的应用使得经济学成为一门更加规范的科学。
二、概率论在经济问题中的应用
(一)概率论在彩票中的应用
随着我国的彩票运营机制的日渐成熟,彩票以其“机会均等”的中奖机制愈来愈得到广大人民群众的参与与支持, 也逐渐成为许多人生活的一部分。因起源于古代赌博游戏, 概率论常常被应用于估计推断彩票的中奖可能性。设样本空间基本事件的个数m,事件所包含基本事件的个数n,则事件A的概率P(A)=n/m。
例1,每注双色球由7个号码球组成,包括6个红色号码球和1个蓝色号码球。红色号码球编号从1-33,蓝色号码球编号从1-16,中奖规则如下:一等奖,猜中6个红球及1个蓝球;二等奖,猜中6个红球;三等奖,猜中5个红球及1个蓝球。求对应于每种中奖等级的概率?
解:记事件Ai为中i等奖,则:
通过上面的分析可以看到,“双色球”方案对应于不同等级的中奖概率,彩民们可以结合不同的中奖概率及自己的收入水平来购买彩票。
(二)概率论在投资组合中的应用
在金融市场上,任何投资者首要考虑的目标便是规避投资风险。在众多降低风险的途径中,多样化投资是较为有效的一种方式。1952年美国经济学家马科维茨通过研究投资证券的选择及资金配比,提出了投资组合理论。该理论以期望来刻画投资组合的收益率,以方差来刻画投资组合的风险。
在概率论中,随机变量的和与差的期望和方差是一个重要的内容,设两个随机变量X和Y,则随机变量的期望和方差满足如下性质:
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y) 其中,Cov(X,Y)为X和Y的协方差。
例2,若A和B为两种风险资产,收益率分别为X和Y, 投资资金配比分别为 ω 和1-ω。设两种风险资产收益均值分别为 μ1和 μ2,方差分别为 σ12和 σ22,相关系数为 ρ。求此投资组合的平均收益及风险,并求使投资风险最小时的 ω。
解:设此投资组合的收益为:
Z=ωX+(1-ω)Y
则平均收益和风险分别为:
E(Z)=ωE(X)+(1-ω)E(Y)=ωμ1+(1-ω)μ2D(Z)=ω2D(X)+ (1-ω)2D(Y)+2ω(1-ω)Cov(X,Y)
=ω2σ12+(1-ω)2σ22+2ω(1-ω)ρσ1σ2
要求最小投资风险,即求D(Z)关于ω极小值点,令d(D(Z)) =0,
dω
即2ωσ12-2(1-ω)σ22+2ρσ1σ2 -4ωρσ1σ2 =0
解得:
当 σ12=0.04,σ22=0.09,ρ=0.5,通过计算得到 ω=0.875,即在这种情况下,投资者把85.7%的资金投资证券A,把14.3%投资于证券B,可使投资风险最小。
(三)概率论在保险市场中的应用
在人们的生活中,会遇到各种各样的风险,如何防范风险,便成了很多人不得不考虑的问题,保险公司也就应运而生。保险公司为各种风险保障服务,所以人们有时对保险公司是否盈利存有疑虑。其实,保险市场就是概率论知识最为重要的一个应用。意外仅仅是小概率事件,一般不会发生,我们可以应用中心极限定理来对保险公司的盈亏进行估算和预测。
例3,若一家保险公司有10 000个人参保人寿保险,费用为每人每年12元。假设一个人在一年内死亡的概率为0.6%,且死亡时保险公司需向其家属赔付1 000元,问:
(1)此保险公司有多大的概率会亏损?
(2)若其他条件不变,为使保险公司每年的利润不少于6 000元的概率至少为99%,可最多设赔偿金为多少?
解:设X表示一年内死亡的人数,则X~b(n,p),其中n=1 000,p=0.6%。
近似地X~N(60,59.64),设Y表示保险公司一年的利润,则:
Y=10 000×12-1 000X, 于是由中心极限定理得:
(1)P(Y<0)=P(10 000×12-1 000X<0)
姨npq姨npq
≈1-Φ(7.769)=0
(2)设赔偿金为a元,则:
P(Y≥6 000)=P(10 000×12-a X≥6 000)=P(X≤6 000)≥
a
0.99
由中心极限定理,上式等价于:
解得:
a≤769.39
从上面的例题可以看出,此保险公司亏损的概率几乎为零。现实生活中,为使效益最大化,保险公司往往针对不同的风险等级设计不同的理赔率。因此,我们可以为小概率的“意外”买保险,保险公司也不会因此意外而亏损,由此达到双赢的目的。
三、结语
通过以上分析可以看出,概率论的发展对现代经济的发展起到了巨大的促进作用,它为经济学的发展提供了一定的理论基础,也使资本市场更加丰富多彩。其次,在经济问题如彩票、保险市场、组合投资等领域,概率论使一些具有随机性质的经济行为得到更合适的描述,人们也更容易厘清这些随机经济行为的内在联系,这样会推动经济理论进一步深化和发展。由此可见,概率论使一些现代经济学问题变得更加清晰、可量化,正一步步推动着现代经济学的发展。
参考文献
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[2]徐梅.概率论与数理统计[M].北京:中国农业出版社,2007.
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[6]范晓志,宋宪萍.概率论在经济生活中的多维应用[J].统计与决策,2005,(4):139-140.
概率知识 篇10
1 与平面几何的交汇
例1. (2009年, 辽宁文9) ABCD为长方形, AB=2, BC=1, O为AB的中点, 在长方形ABCD内随机取一点, 取到的点到O的距离大于1的概率为 ()
解析:当以O为圆心, 1为半径作圆, 则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1, 故所求事件的概率为, 故选B。
2 与立体几何的交汇
例2. (2009年, 安徽理10) 考察正方体6个面的中心, 甲从这6个点中任意选两个点连成直线, 乙也从这6个点中任意选两个点连成直线, 则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ()
解析:6个面的中心的连线构成一个八面体, 其中平行的直线共有6对, 故, 故选D。
3 与解析几何的交汇
例3. (2009年山东文12) 设集合A={1, 2}, B={1, 2, 3}, 分别从集合A到B中随机取一个数a和b, 确定平面上的一个点P (a, b) , 记“点P (a, b) 落在直线x+y=n上”为事件Cn (2≤n≤5, n∈N) , 若事件Cn的概率最大, 则n的所有可能值为 ()
(A) 3 (B) 4 (C) 2和5 (D) 3和4
解析:点P (a, b) 共有 (1, 1) 、 (1, 2) 、 (1, 3) 、 (2, 1) 、 (2, 2) 、 (2, 3) 6种情况, 得x+y分别等于2, 3, 4, 3, 4, 5,
∴出现3与4的概率最大, ∴n=3和4, 故选D。
4 与三角函数的交汇
例4. (2009年, 山东理11) 在区间[-1, 1]上随机取一个数x, 的值介于0到之间的概率为 ()
5 与方程的交汇
例5. (2009年, 江苏卷23) 对于正整数n≥2, 用Tn表示关于x的一元二次方程x2+2ax+b=0有实数根的有序数组 (a, b) 的组数, 其中a, b∈{1, 2, …, n} (a和b可以相等) ;对于随机选取的a, b∈{1, 2, …, n} (a和b可以相等) , 记Pn为关于x的一元二次方程x2+2ax+b=0有实数根的概率。
(1) 求nT 2及nP2。
(2) 求证:对任意正整数n≥2, 有。
(1) 解:因为方程x2+2ax+b=0有实数根,
所以Δ=4a2-4b≥0, 即b≤a2.
(1) 当n≤a≤n2时, 有n2≤a2, 又b∈{1, 2, …, n2}, 故总有b≤a|, 此时, a有n2-n+1种取法, b有n、种取法,
所以共有 (n2-n+1) n2组有序数组 (a, b) 满足条件;
(2) 当1≤a≤n-1时, 满足1≤b≤a2的b有a 2个, 故共有组有序数组 (a, b) 满足条件。
(2) 证明:我们只需证明:对于随机选取的a, b∈{1, 2, …, n}, 方程x2+2ax+b=0无实数根的概率。
若方程x2+2ax+b=0无实数根, 则Δ=4a2-4b<0, 即a2
由b≤n知。因此, 满足a2
6 与不等式的交汇
例6. (2010年, 福建16) 设S是不等式x2-x-6≤0的解集, 整数m, n∈S。
(1) 记“使得m+n=0成立的有序数组 (m, n) ”为事件A, 试列举A包含的基本事件;
(2) 设ξ=m2, 求ξ的分布列及数学期望Eξ。
解: (1) 由x2-x-6≤0有-2≤x≤3, 即={x-2≤x≤3}
由于m, n∈Z, m, n∈S, 且m+n=0, 所以A包含的基本事件为:
(2) 由于m的所有不同取值为-2, -1, 0, 1, 2, 3同取值为0, 1, 4, 9,
故的分布列如表1,
参考文献
概率知识 篇11
数学学习是学生亲历数学活动, 在观察、猜想、分析、推理、反思等思维活动中体会知识发生和发展的过程。从建构主义的角度来说, 数学学习是基于学习者已有经验的主动建构的过程。与之适应, 课堂教学就需要给学生提供自由的体验、活动、探究的时空环境, 让学生充分体会到数学概念、定理、性质、法则等的发生过程, 以形成具有个人系数的数学体验和主体建构。《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》 (以下简称《课标》) 对数学学习的体验性提出了明确的要求, 指出数学“学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”“数学教学应根据具体的教学内容, 注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验, 即从学生实际出发, 创设有助于学生自主学习的问题情境, 引导学生通过实践、思考、探索、交流等”, 逐步“感悟数学思想, 积累数学活动经验”[1]此外, 《课标》使用“经历、体验、探索”等认知动词对数学学习的过程性目标进行了刻画, 数学体验也因此成为数学学习目标的重要维度。
二、体验式教学的内涵及其价值取向
(一) 体验式教学的内涵
1. 体验与数学体验
“体验”已经在狄尔泰 (Dilthey W.) 的生命哲学、胡塞尔 (Husserl E.E.) 的现象学、海德格尔 (Heidegger M.) 的存在论、人本主义心理学等理论中得到最早的阐释。上世纪90年代以来, “体验”的内涵和意义在哲学、心理学等学科理论中得到了进一步的诠释。在哲学认识论中, 体验是一种对立于学术认知的认识方式, 是“主体通过自身直接的活动认识客体, 并把对客体的认识纳入主体的身心之中, 通过主体的体察、内化来把握外部世界的一种认识方式。”[2]在心理学视野中, 体验主要是指人的一种特殊的心理活动与经历, 是“在对事物的真切感受和深刻理解的基础上对事物产生情感并生成意义的活动。”[3]李英综合性地吸收了哲学、心理学的研究成果, 在教育学视域下对体验的内涵进行了分析, 认为“体验既是一种活动, 又是一种结果。作为一种活动, 即主体亲历某件事并获得相应的认识和情感;作为活动的结果, 即主体从其亲历中获得的认识与情感。体验具有亲历性、个人性、缄默性。”[4]。在数学学习中, 数学体验是学习主体在亲历、探究、思考、交流等身体参与和思维活动中实现对知识的发现、认同、认知以及获得的情感和态度, 是对数学知识的个体性、缄默性、真实性的理解。数学体验的意义突出表现为赋予学习的个体性, 并获得直观、深刻且有意义的数学活动经验。
2. 体验式教学
从不同的视角考察, 不同学者对体验式教学提出了各自的观点。有学者认为“体验式教学是指教师创设教学情境, 引导学生由被动到主动、由依赖到自主、由接受性到创造性地对教育情境进行体验, 并且在体验中学会避免、战胜和转化消极的情感和错误认识, 发展、享受和利用积极的情感与正确的认识, 使学生充分感受蕴藏于这种教学活动中的欢乐与愉悦, 从而达到促进学生自主发展的目的。”[5]有学者认为“体验式教学的进行主要是组织学生体验和引导反思。旨在让学生在经历和实践中实现自我领悟, 在反思中重构自己的经验, 形成自己的行动策略的一种教学形态。”[6]就数学学科而言, 体验式教学需要教师创设生活情境, 让学生通过观察、实验、操作, 达到对数学知识的内省体念、意义生成, 使抽象的数学概念、公式等最终内化为学生能够理解的知识。特别地, 数学思想及活动经验作为缄默知识, 往往不能直接通过传授而获得, 只能在学生的学习活动过程中感受、体验、领悟。
(二) 体验式教学的价值取向
1. 关注学习的主体性
一方面, 体验式教学适应了学生的认知水平。对于思维发展尚处在具体运算阶段的小学生, 体验式教学关注了教学方式对于思维水平、认知发展的适应性, 为学生提供了具体、形象的学习素材。另一方面, 体验式教学注重学习的主体参与性。给予学生直接或间接亲历数学活动的机会, 最终实现对数学概念、法则、方法、思想等的自我理解和建构。
2. 关注学习的过程性
斯托利亚尔 (A.A Cтоляр) 指出, “数学教学是数学思维的教学, 而不仅仅是教学活动的结果 (数学知识的教学) ”[7]。体验式教学给学生提供了良好的亲历、观察、探究等体验性活动的环境, 强调学生对数学思想、方法的探索及发现的过程, 注重获得新知识的方式及方法。
3. 关注学习的活动性
体验式教学有效落实了《课标》提出的数学教学要帮助学生“感悟数学思想, 积累数学活动经验”的目标要求, 强调了数学教学的直观性、活动性、生活化和情境化。在体验性的数学活动中, 学生能够将来自外部活动 (观察、实验、交流等) 和内部活动 (判断、反思、概括、抽象等) 所获得的体验进行筛选、提取和整合, 真正有效地积累数学活动经验。
三、体验式教学在小学生概率学习中的适应性分析
《课标》指出, “认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等, 都是学习数学的重要方式。”[1]进一步说, “以学定教”为教学方式的有效选择提供了科学思路。因此, 从“学”的角度来分析, 影响教学方式的因素至少包括“学材” (数学本身、知识特征) 和“学生” (认知规律、心理特点) 。一方面, 数学学科不同的内容领域及其知识属性决定了数学教学方式的不同选择。欧内斯特 (Ernest P.) 曾说:“数学教学的问题并不在于教学的最好的方式是什么, 而在于数学是什么。如果不正视数学的本质问题, 便解决不了关于教学上的争议。”[8]另一方面, 学生的认知规律和心理特征为教学方式的合理选择提供了科学依据。奥苏泊尔 (Ausubel D.P.) 曾指出:“如果把教育心理学的所有内容简约成一条原理, 我认为影响学习的最重要的因素是学生已知的内容, 弄清这一点后进行相应的教学。”[9]柯普兰 (Copeland R.W.) 也认为:“学习从属于发展, 而不是相反。向儿童教授新概念应尽可能按其在自发的认识过程中的顺序进行。”[10]
(一) 学习主体对于体验式教学的适应性分析
对于思维发展尚处于具体运算阶段的小学生, 在教学中要充分考虑到教学方式与其思维水平、认知层次的适应性。《课标》明确提出“引导学生通过实践、思考、探索、交流等, 获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”[1], 强调了数学体验、活动经验对于知识学习及认知发展的重要意义。因此, 在教材、教学中给予学生丰富的活动、实验、探究等体验性质的主体参与的机会是十分必要的。在数学体验的情境下, 学习主体和学习对象之间建立了直接、深刻的联系, 这在一定程度上弥补了认知条件的局限性, 形成了更具直观的、情境化的真实理解。这种具有个人系数的真实理解因蕴含着学习主体的身心活动和情感投入, 契合和发展了学生的数学兴趣和数学思维, 从而在数学学习中显得弥足重要。[11]落实到教学中, 教师应考虑到课堂应从学生的生活经验、具体体验出发, 让其有机会在亲历数学活动 (如课堂观察、数学试验、数学游戏、数学猜想) 中形成初步的外部活动经验, 再经过反思、概括、抽象等活动, 将外部活动经验整合、条理化, 形成个人化的内部活动经验, 逐步达成对数学概念、法则、方法、思想等的内化建构和自我理解。
就概率内容学习而言, 对于思维发展处在具体运算阶段的小学生来说, 惯于用确定性思维去思考随机问题。因此, 他们要真正认识事件的随机性、可能性等概率知识, 需要经历一个由确定性思维到不确定性思维转化的过程。在这个发展过程中, 儿童主要表现出如下特征:第一, 儿童对现实世界的不确定现象是通过大量符合日常生活经验的活动来获得体验的;第二, 儿童对可能性的认识主要源自他们的生活经验。[12]因此, 他们所处的生活环境与所经历的生活对于概率判断具有重要影响;儿童对事件发生的可能性大小以及等可能性的认识, 需要通过大量的操作活动来建立。此外, 有研究表明, 直觉是影响学生概率认知的一个重要因素。[13]因此, 在概率的教学中, 要发掘和培养学生概率认知过程中有意义的直觉因素。
综上分析, 对于小学生而言, 其思维发展的水平决定了学习材料的直观性和学习方法的体验性。“小学生的认知活动往往要经历从实物操作到表象操作再到符号操作的过程, 只让学生在大脑中思考, 往往会出现偏差, 甚至出现错误。”[14]特别是对于概率知识的教学及概率思维的培养, 要充分结合小学生的认知规律, 合理安排教学以适应学生的认知发展。因此, 概率教学要基于学生的心理、认知发展特点和生活经验, 合理分析和发掘教材, 设计富有体验性、探究性的数学活动, 引导学生在亲历、体验、思考、交流的情境下展开有意义的知识建构。
(二) 概率内容的特征与体验式教学的逻辑自洽性
早在1812年, 著名数学家拉普拉斯 (Laplace P.S.) 就曾指出:“很值得注意的是, 一门从考虑机会的游戏开始的科学将成为人类知识中最重要的东西, 人生的最重要的问题中的大部分事实上只是概率论的问题。”[15]概率是研究随机现象的科学, 它以一种不同于以往确定性思维的方式出现。作为不确定性数学, 概率内容的重要性不言而喻, 已然是新课程背景下基础教育阶段各个学段中的重要内容。从知识特征的角度来说, 概率作为刻画随机现象发生可能性的一个量度, 它既不同于长度、面积等比较直观的度量, 也不同于温度、亮度等我们可以感知的度量, 概率是看不见的、无法感知的, 具有抽象性。从认知目标来说, 《课标》对概率内容的认知要求在各年级、各学段之间呈现出渐进的、螺旋式的上升。并且, 各个学段概率内容的衔接始终是在“不确定现象”这一基础上, 由形象直观渐至科学定义。就小学阶段而言, 概率内容一直都是在用形象的语言进行描述, 并用“可能性”代替专业词汇“概率”, 这一阶段的认知目标主要是“在具体情境中, 通过实例感受简单的随机现象”“通过试验、游戏等活动, 感受随机现象结果发生的可能性是有大小的, 能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述, 并能进行交流”。[1]这就对概率教学提出了特殊的要求, 概率教学要基于不确定性和随机思想, 立足于认知目标的直观性要求, 为学生创造生活化、体验性的学习环境, 让学生在可观、可感的操作活动中获得数学体验, 达到对于概率内容、随机思想的感性认识。
四、小学概率内容体验式教学的几个说明
(一) 重视学生的亲身体验及主动探索
概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。缺乏对随机现象的丰富体验, 学生往往较难建立随机观念。必须设计学生熟悉而感兴趣的实际问题或游戏, 让他们感受随机现象结果发生的可能性是有大小的, 并能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述;让他们亲临原始的随机环境, 主动地参与对事件发生概率的感受和探索, 丰富对概率背景的认识, 获得数学思考、数学体验, 体会随机性及随机思想, 建立正确的概率直觉。
(二) 有效利用学生的生活经验及错误经验
学生在正式学习概率内容之前, 已经广泛接触到了生活中与概率相关的实例, 对随机性的认识已经具备了一定的经验。概率教学要充分利用学生的生活经验, 善于从现实问题、生活场景中抽象出概率的模型, 让学生体验到概率内容的生活性和应用性。另一方面, 概率教学要关注到学生错误经验对于概率学习的影响。比如, “等可能性偏见” (equiprobility biases) [16,17,18]是小学生概率认知的典型错误, 他们对于随机事件可能性大小的理解倾向于认为:“既然这几种结果都有可能发生, 到底哪个发生是不清楚的。那么, 每种结果发生的可能性都是50%。”概率教学要分析学生的这些错误经验, 设计数学实验, 让学生在实际操作中体验到事件发生的可能性是有大小的。
(三) 注意外部体验与内部体验相结合
概率内容的体验式教学, 要让学生亲自经历对随机现象的探索过程, 应强调学生的亲身体验。但是, 仅仅强调学生的身体参与是不够的, 要避免将体验式教学的形式化操作走向“假体验”的误区。“数学体验式教学不只是外化的以‘活动’‘探究’等为载体的教学行为, 更是以内化的‘思想实验’‘缄默知识’等为载体的‘心灵感知’。”[19]因此, 体验式教学要有效结合学生身体参与与思想内化, 在活动体验的基础上进行深入的内部加工, 真正实现体验式教学的思维导向功能。