概率设计法（通用9篇）
概率设计法 篇1
0 引言
起重机被喻为“巨人之臂”, 广泛应用于对物料进行起重、运输、装卸、安装等作业的机械设备, 是国民经济各行业必需的机械设备, 也是组成生产流水作业线的重要设备。起重机的金属结构是起重机的重要组成部分, 是起重机的骨架, 其重量通常占到整机重量的60%~70%, 它的作用就是承受各种载荷以及自身和物体的重力[1]。起重机属于危险作业的特种设备, 而其应用又十分广泛, 一旦发生故障将会造成巨大的经济损失和人员伤亡。因此起重机金属结构的设计极为重要, 应用一种科学合理的结构设计方法来达到起重机设计的安全性和经济性成为当前起重机金属结构设计的迫切需求。
1 金属结构设计方法的发展
金属结构的设计方法经历了经验定值设计法、半经验半概率设计法和概率定值设计法3个阶段。金属结构的设计包括3个方面的内容:载荷、结构抗力、结构设计方法。19世纪后期, 金属结构开始广泛用于工程机械和工程结构中, 对其研究也进一步加深, 但是由于研究条件不足, 也没有足够反映金属材料内在规律的数据, 金属结构的设计基本上属于经验设计的范畴。直到20世纪初, 金属结构设计理论发展为基于弹性理论的许用应力设计法。许用应力法实际上是一种经验定值设计法, 得不到明确的可靠度概念。它将载荷和抗力均视为标准值来计算, 以规定的载荷标准值按线弹性理论来计算结构中的应力, 计算得到的应力应小于规范规定的许用应力。许用应力法将载荷和抗力均视为定值而未考虑其变异性, 这是不符合实际的, 而且当结构在外载荷作用下产生了较大的变形时, 内力与载荷呈现非线性关系, 基于线弹性理论的许用应力法对此并不适用。随着对载荷和抗力的不确定性研究, 前苏联于20世纪50年代提出了按极限状态的设计方法, 首次采用概率统计的方法确定材料强度和载荷统计特征, 但对安全度依然采用由经验得来的安全系数来控制, 该方法叫做半概率半经验的极限状态设计法。近年来, 我国在国内外研究的基础上, 通过对全国范围的起重机一些调查统计, 建立了基于分项系数表达式的概率极限状态设计法。该方法通过概率统计得到载荷与抗力的统计参数, 根据载荷与抗力的统计特征在概率分析的基础上选取适当的分项系数。把结构的极限状态方程和结构的可靠性指标联系起来, 在设计表达式中采用分项载荷系数与分项抗力系数来保证金属结构的可靠度。
2 概率极限状态设计法的理论基础
2.1 结构的极限状态
当结构在载荷作用下超过某一特定的状态后, 不能满足工作要求, 该特定状态就称为结构的极限状态[2]。它代表着结构可靠与不可靠之间的一个阀值。
影响结构功能的随机变量有很多, 包括金属材料的性能, 结构的尺寸, 作用在结构上的载荷等。设X1、X2…Xn是影响结构功能的n个基本随机变量, 可以建立结构的功能函数和极限状态方程。结构的功能函数为
当Z>0、Z<0、Z=0时分别代表了结构处于可靠状态、失效状态和极限状态。
结构的极限状态方程为
若这些随机变量的概率密度函数均已知, 理论上可以求出Z<0的概率。
假设R和S分别代表结构的抗力与载荷, 结构的极限状态方程为
假定R和S相应的概率密度函数分别为fR (r) 和fS (s) 见图1, 求解结构的失效概率方程为
2.2 结构的可靠指标
在使用直接积分法计算失效概率时, 不仅随机变量难以计算多重积分, 而且其联合概率密度函数也难以求得, 所以直接积分法在工程上基本难以实现。通过引入一个可靠度指标, 这个可靠指标与失效概率有着一一对应的关系, 这是一个计算失效概率的简单方法, 而且具有足够的精度。
由于Z的分布形式决定了结构的失效概率Pf。假设Z服从正态分布, μZ、σZ分别为Z的均值和标准差, 即Z~ (μZ, σZ) 。Z通过标准正态分布变换Y= (Z-uZ) /σZ为Y~N (0, 1) , 此时Y的累积分布函数为
概率密度函数为
可以求得失效概率Pf:
定义结构的可靠性指标β为
失效概率pf和可靠概率pr均可由β表示:
2.3 一次二阶矩法
在已知结构功能函数的概率分布的前提下才可以计算结构的可靠度, 实际上由于较多的基本随机变量导致确定结构功能函数的概率分布比较难以实现。在工程上有一种较为实用的方法, 不需要确定功能函数的概率分布, 而是只需要知道较容易确定的各随机变量的统计参数, 根据各随机变量的均值与方差以及其概率分布函数进行结构的可靠度计算, 此即为一次二阶矩法的原理。在结构可靠度领域, 国际结构安全度委员会 (JCSS) 推荐的一次二阶矩法可以方便地求解结构件的可靠度[3]。
一次二阶矩法分可以为中心点法和验算点法两种[4]。中心点法将功能函数在各个变量的均值点 (中心点) 处展开成Taylor级数后, 可以得到功能函数Z的均值μZ和方差σZ2的近似值, 由结构可靠指标的定义通过式 (8) , 可以得到可靠指标β的值。中心点法计算简便, 所得到的用以度量结构可靠程度的可靠指标β具有明确的物理概念和几何意义[5]。它的不足之处在于没有考虑各基本随机变量的概率分布类型, 而只考虑了随机变量的均值和方差, 因此计算精度不高, 对非线性的功能函数有一定误差。验算点法在极限状态面上选取功能函数的线性化Taylor展开点, 同时又考虑了基本变量的实际概率分布类型, 从根本上解决了中心点法的不足之处, 故又称改进的一次二阶矩法。
在变量为独立正态分布的情况下, 验算点法的计算步骤如下:
现假设x*= (x1*, x2*, …, xn*) T是结构极限状态曲面上的一点, 此前已经给出结构的极限状态方程为式 (2) , 则有
在x*处将式 (2) 按Taylor级数展开并取至一次项, 有
方程ZL=0为通过验算点x*在曲面Z=gX (X) =0上的切平面方程。可以求得ZL的均值为
ZL的标准差为
从原点到通过验算点x*的切平面的距离即为可靠指标:
把ZL=0进行标准正态分布变换Yi= (Xi-μXi) /σXi, 转换到标准正态空间, 并将转换后的方程除以σZL, 得
由式 (16) 可知, 定义变量Xi的分离系数 (也称之为灵敏度系数) 如下, 分离系数在计算载荷分项系数和抗力分项系数时也会用到:
于是式 (16) 可以改写为
式 (18) 表示β的几何意义为在标准正态空间Y中, 原点到极限状态面之间最短的长度。β的计算就是求此段距离的长度。这段距离等于验算点p*到标准化空间中原点O的连线的长度, 此段连线的方向余弦为cosθYi。
验算点p*在原始X空间中的坐标为
将式 (11) 、式 (15) 、式 (17) 、式 (19) 联立可求解β和x*。由于上述方程相互关联, 可采用逐次迭代求解的方法求解, 其迭代步骤如下:1) 假定初始验算点值x*, 一般可设x*=μX。2) 计算cosθXi, 利用式 (17) 。3) 计算β, 利用式 (15) 。4) 计算新的x*, 利用式 (19) 。5) 以新的x*重复步骤2) ~4) , 直到前后两次‖x*‖之差<允许误差。
上述计算步骤是随机变量为正态分布变量的情况, 当随机变量为非正态分随机变量时, 需先将非正态随机变量当量正态化。当量正态化后依然以验算点法来求解结构的可靠度。
3 极限状态设计法的实用设计表达式
起重机金属结构的设计表达式应该考虑到实际应用的方便, 以及前人所累积的工程实践经验, 在起重机金属结构的可靠度设计上不采用结构概率可靠度的直接设计法, 不需要直接进行概率方面的计算, 而是采用分项系数的形式来保证结构具有目标可靠度, 在工程上较易理解和接受[6]。以多分项系数表达的近似概率极限状态设计法, 是目前世界上公认的先进设计方法, 它以具有概率意义的可靠指标度量和控制结构的可靠度, 从根本上克服了过去基于经验的单一安全系数许用应力法的不足。极限状态设计法的优点就是能够针对不同的载荷效应的变异性, 不同的载荷组合而采用不同的分项系数, 根据金属材料的性能选取更加准确的抗力分项系数, 从而达到规定的可靠度。
图2为极限状态设计法的典型流程图, 图中γpi为载荷分项系数, γm为抗力分项系数。将载荷分项系数与抗力分项系数应用到设计表达式中以使结构达到目标可靠指标即为极限状态设计法与传统许用应力设计法的不同之处, 也是概率极限状态设计法的精髓所在。极限状态法的设计步骤为:将每项载荷乘以相应的载荷分项系数γpi, 《起重机设计规范》中表G.2 (采用极限状态设计法设计时流动式起重机金属结构计算的载荷与载荷组合表) 给出了相应工况下的载荷组合和分项载荷系数的取值。得到载荷组合后乘以高度危险系数γn, 当结构破坏会造成极其严重的事故时取γn=1.10或γn=1.05, 一般情况下取γn=1.0。然后由设计载荷γnFj计算出载荷效应Sk。最后计算出的应力要小于材料的极限应力limσ, limσ由结构抗力除以抗力分项系数γm得到。
4 分项载荷系数γpi与抗力系数γm
4.1 分项系数求解方法
要设计达到目标可靠指标β的起重机金属结构, 首先应给出目标可靠指标β。β值依强度、疲劳强度、刚度要求而异。它应根据结构的重要性、失效造成的后果、破坏性质以及经济指标等因素以优化方法确定。现行的《起重机设计规范》 (GBT/T 3811———2008) 对不同的起重机规定了可靠指标值。给出目标可靠指标β的值就可以确定分项系数的值, 分项系数的确定方法如下:
分项系数设计表达式的一般形式为
假定设计中要考虑的功能函数为
则分项系数的设计准则为
由结构的验算点法, 之前已给出灵敏度系数αi的表达式 (17) , 和验算点的坐标表达式 (19) 。把式 (17) 和式 (19) 与式 (22) 进行比较, 可得出各分项系数如下:
只要事先应用验算点法迭代求解出分离系数αXi, 就可以利用分离系数αXi求解出载荷分项系数和抗力分项系数。由式 (23) 、式 (24) 可知分项系数主要与该变量的变异性大小有关。
4.2 分项系数实例分析
以桥式起重机为例, 其金属结构的功能函数为线性函数Z=R-G-L。式中:R为抗力, 为对数正态分布, 其均值为μR=1.13RK, 变异系数δR=0.1;G为自重载荷, 为正态变量, 其均值为μG=1.06GK, 变异系数δG=0.07;L为吊重载荷, 为极值I型变量, 其均值μL=0.7LK, 变异系数δL=0.288;RK、GK、LK为分别为抗力、自重载荷和吊重载荷的标准值。
在吊重载荷和自重载荷的标准值比值ρ=LK/GK=0.1的条件下, 为使可靠指标β=3.5, 求解相应的分项系数。
引用式 (20) , 对于本例其设计表达式为γ0GμG+γ0LμL=γ0R-1μR。
抗力R为对数正态分布, 对其进行当量正态变换, 得到其当量正态化变量的均值和标准差为:
吊重载荷L为极值I型分布, 对其进行当量正态变换, 得到其当量正态化变量的均值和标准差为:μL′=L*-Φ-1[F (L*) ]σL′;σL′=准{Φ-1[F (L*) ]}/f (L*) 。
引用式 (17) 和式 (19) , 对于本例即为:
引用式 (23) 和式 (24) , 分项系数计算公式为:
先假定γ0G=γ0L=γ0R=1为初始值, 按上述公式利用逐次迭代法求解出最后系数, 经过4次迭代计算可求得:
由上述算例可知, 如果给定结构的整体或各处均匀的可靠指标值, 则结构对于不同载荷的分项系数随之可以确定;反之, 如果随意规定相应于各种载荷的分项系数, 则结构的可靠指标会有不同的结果。因此在现行的《起重机设计规范》 (GBT/T 3811———2008) 的分项系数设计表达式中, 仅对相应于不同安全等级和失效模式的结构规定不同的可靠指标, 则相应于此可靠指标的各分项系数取作相对固定的常值[7]。利用分项系数来保证结构的可靠度是一种有效的设计方法。
5 结语
起重机的金属结构设计方法由定值安全系数的许用应力法发展到分项安全系数的极限状态设计法是一个巨大的进步。以概率统计和可靠度性论为基础, 以可靠指标β间接衡量起重机的失效概率使设计变得十分科学方便。本文对一次二阶矩法求解可靠指标和利用目标可靠指标求解分项系数的步骤均做了较详细的介绍。给出了起重机金属结构极限状态设计法的设计流程。
在起重机金属结构的设计方面, 各种方法都有其优缺点随着社会的进步, 科学的发展, 新的设计方法必将越来越准确方便而逐步取代旧的设计方法。笔者认为极限状态设计法也有其缺陷性:一是对于载荷与结构抗力的统计数据随着时间的增长而增多, 随机变量的概率特性发生了一定的变化, 这种变化可能导致目前的分项系数不再适用, 但是现行的设计方法难以对分项系数进行合理调整。二是阻碍了新材料结构和新型结构的推广, 对于一些新材料, 如果其抗力不定性与传统结构存在较大差别, 需重新确定相应的分项系数。三是限制了对目标可靠指标、设计年限的不同选择。规范提出的设计方法其目标可靠指标已经确定, 若业主提出更高可靠指标的要求, 需对分项系数重新选取。以上是笔者的一点看法, 希望对起重机设计方法的进步提供些微的帮助。
参考文献
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[6]田建涛, 高崇仁, 殷玉枫, 等.在役起重机金属结构载荷统计分析及分项系数的确定[J].起重运输机械, 2011 (3) :1-5.
[7]张明.结构可靠度分析--方法与程序[M].北京:科学出版社, 2009.
概率设计法 篇2
知识与技能：在具体情景中进一步理解概率的意义，掌握用列表法求简单事件概率的方法。
过程与方法：经历应用列表法解决概率实际问题的过程，渗透数学建模的思想方法，感知数学的.应用价值。
情感态度与价值观：通过经历探究活动,培养学生有条理的思考并增强数学的应用意识。
教学重点与难点，
教学重点:掌握用列表法求简单事件概率的方法。
教学难点:概率实际问题模型化。
教学过程
(一)情景导入 回顾旧知
首先用多媒体演示《非常6+1》片段，并出示问题：如果剩下的八只蛋中的五只有金花，那么陆海鸥达成心愿的概率是多少?
引导学生回忆概率公式: 如果一个实验有n个等可能的结果，而事件A包含其中个结果,则
P(A)= =
(二)探究新知 建构数模
秦皇岛是奥运足球比赛的分赛场,学校统一组织学生去观看足球比赛，但是因为名额有限,张明与王红只分得一张奥运足球票，到底谁去呢?王红出主意用手中的三张扑克牌来决定谁去，规则如下：
牌面分别为1、2、3的三张扑克牌，将牌洗匀后，随机摸出一张，记数放会混匀，再摸一张，将两次牌面数字求和。如果和为4，王红去，如果和为2则张明去，否则重抽。
张明认为规则不公平,而王红认为很公平。两人争论不休。
首先引导学生发现此引例为两步实验事件，再共同探究解题的方法——列表法最后我再引领学生归纳，总结解决此概型的一般步骤：
1、归型(两步实验)
2、列表
3、计算
(三)归型辨析 模型应用
对于此题组先依次出示问题：这是两步实验事件吗?每一次操作是什么?每一次操作的等可能结果是什么?在学生回答之后再让他们将解题过程独立写在练习本上，并展示学生的正确答案，以规范书写格式。在求解之后，我再引导学生反思自己的解题过程以巩固所得。
4、出示了教材164页习题第二题。
(四)巩固练习拓展提高
(五)课堂反思 布置作业
1.课堂反思
在小节中我引导学生从知识获得途径、结论、应用等方面畅谈本节课内容。(①、这节课你遇到了哪些新的问题?②、你是如何解决它的?③、你还有哪些想研究的问题?)
概率设计法 篇3
在讲解的过程当中, 我们遵循递进法的教学原则, 从假设检验的基本过程出发, 利用“坏蛋试验”中提出的假设检验的基本思想, 进行对P值含义的充分理解, 然后基于超几何分布的思想, 解析“四格表周边合计不变”的本质, 得出所有可能的组合, 进而求解当前组合发生的概率和“不利于H0”的更极端组合发生的概率, 最终得到可以与检验水准α相比较而下结论的P值。具体如下。
第一步:以假设检验的过程为出发点。
首先帮助学生复习假设检验的过程, 着重强调假设检验都是在H0成立的条件下, 根据研究的目的、研究设计的类型和资料的特点等选择合适的统计量, 比如t统计量、χ2统计量等, 然后通过统计量与相应的界值做比较, 得出P值的范围, 最后与检验水准α做比较, 得出统计学结论和专业结论。在这里, 我们强调P值范围是基于某一统计量的分布来确定的。
第二步:复习“坏蛋试验”, 进一步理解P值的含义。
在“坏蛋试验”中, 通过利用二项分布原理, 计算出5个鸡蛋中出现1个或更多个坏蛋的可能性为0.049[1], 基于此, 进一步帮助学生理解P值其实是由2部分组成的, 一是“当前样本”出现的概率;二是“更不利于H0”情况出现的概率, 即比“当前样本”出现概率还要小的所有情况出现的概率之和。
第三步:举一个经典的例子说明超几何分布的含义及其概率的计算方法[2]。
在数理统计学教学中常用的经典例子:一批产品共N件, 其中有M件次品, 进行不放回抽样检查, 即每次从这批产品中任意取出一件, 取出的产品不再放回去, 连续取n次, 共取出n件产品, 则取出的n件产品中的次品数x服从超几何分布
相对应的, 对于表1, 我们可以理解为治疗一批观察对象n, 其中 (a+c) 个有效, 从n个观察对象中随机分配 (a+b) 个至甲药组, 则甲药组中出现a个有效数服从超几何分布H (a+b, n, a+c) 。即:
第四步:结合超几何分布和假设检验的思想理解“周边合计不变”的意义。
超几何分布中有效率为 (a+c) /n, 这一方面与我们在做假设检验时H0假定2组有效率相等的思想一致, 即为 (a+c) /n, 在这种情况下, 即相当于列合计不变。另一方面, 根据设计类型可知n个观察对象中 (a+b) 和 (c+d) 随机地被分到了甲药组和乙药组, 即相当于行合计不变。如此即得出“周边合计不变”的意义。
第五步:根据P值的含义, 寻找“更不利于H0”的情况及其概率。
在寻找“更不利于H0”的情况之前, 我们有必要先找出在“周边合计不变”条件下的所有情况, 根据推导, 可以得出a格子的取值范围为{max[ (a+b) - (b+d) , 0], min[ (a+b) , (a+c) ]}。根据a格子的取值范围列出所有可能的情况, 然后计算出其相应的概率, 与“当前样本”的发生概率P (a) 做比较。当某种情况的概率小于“当前样本”的发生概率P (a) 时, 即可以认为该种情况为“更不利于H0”的情况。将上述各种情况的概率相加, 即可以得到“更不利于H0”情况的概率。为了避免计算的繁杂性, 此时, 我们也可以得出四格表fisher确切概率法比较适用于“小样本”情形的结论。当然在计算机和统计软件广泛应用的今天, 它仍不失为一种很好的方法[1]。
第六步:确定P值, 得出结论。
根据第五步的计算结果, 我们可以把2部分的概率相加, 即可以得到P值, 然后与检验水准α做比较, 得出结论[3]。
综合上述步骤, 我们可以看出, 四格表fisher确切概率法的计算不需要借助统计量和统计量的分布即可以得到P的确切值, 即充分理解“确切”二字的含义。
通过以上的逐步讲解, 学生不但充分理解了四格表fisher确切概率法的计算原理和方法, 还充分理解了假设检验的过程和P值的含义。
参考文献
[1]方积乾.卫生统计学[M].第5版.北京:人民卫生出版社, 2005.
[2]郜艳晖, 邹宇华, 李丽霞, 等.《卫生统计学》教学体会[J].广东药学院学报, 2005, 21 (4) :500～501.
《用列举法求概率》教学反思 篇4
新课标指出，探究、动手实践、合作交流应成为学生的主要学习方式，老师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解。本节通过多媒体的教学辅助手段，引导学生观察知识的形成过程，比较直观的理解和掌握树形图解概率。以学生生活实际为背景，创设情景引入能在最短的时间内激发学生的兴趣，引起学生的高度的注意力，进入情境。并以真实、学生感兴趣的素材，充分提现概率与生活的密切联系。
本节内容的教学中主要能成功地完成：
1.强化解决实际问题中的模型化思想。本节课自始至终贯穿将实际问题转化为数学问题和建立概率模型求解数学问题的思想。
2.自主探索、合作交流贯穿始终。本节课从建构表格到应用建模，再到知识的巩固拓展都是学生在自主探索、合作交流中完成，并延伸至课外练习中，使学生真正成为学习的主人。
3、关注学生多种思维能力的培养。在巩固练习中关注学生发散思维中的逆向思维及多向思维，在应用建模环节关注学生创造性思维，在合作探究的过程中关注学生的批判性思维等，培养学生的多种思维能力。
回顾教学过程，存在一些问题,需要进行改进： 1、增强对学生的信任
因为前面我已经介绍过列举法且概率的方法，所以本来这节课我是想以学生为主，老师起一个引导配合的作用，充分发挥学生的主动性。可是我的一些做法抢了学生的角色，首先在读题的环节，我怕学生理解不好题意，还亲自给他们读题，这对培养学生自主学习的能力有很坏的影响，对于一个学生读题读懂是最基本的要求，而且我相信九年级的的学生在这方面应该是没问题的，可是在这个环节我没有完全相信我的学生，所以以后一定要注意。其次在分析题目寻找解题方法的时候，我不时的提醒他们，没有给学生足够的思考时间，因此学生没有充分发挥自主创新的能力。在倡导培养创新精神和实践能力的今天，更要重视对学生问题意识的培养.问起于疑，疑源于思，课堂上教师要为学生质疑创造足够的空间和时间.在问题解决过程中培养学生问题意识和发现问题、提出问题的能力。令人遗憾的是，我的这节课学生发现问题、提出问题太少，在探索问题的`关键时候，我碍于教学过程的完美，缺乏耐心急于让学生找到方法，缺乏对学生的信任，今后我一定要信任自己的学生，，所有的知识都要给学生以自主探究空间，这样才能把课堂真正的还给学生，才能培养学生的独立思考，创新思维能力。
2、增强教学的全面性
在课堂上我还有一个失误就是没有时刻照顾到了所有的学生，因材施教，为了让这节课顺利的进行，在有的问题上我就忽略了一些学生的想法，和理解程度，所以在一些问题上他们还没有完全弄明白或者没有充分发挥自己的想象力就过去了。同时在一些知识的引导部分说的也不够全面，不太到位。在肯定学生方面，由于时间的关系，没有及时的评价每一位学生，鼓励学生。这些在我以后课堂上一定要注意，争取让每节课都能让每个学生发挥自己主动学习的能力，让每个学生都能完全掌握知识和方法。
3、注重教学过程中对学生评价
教学过程中教师应该真心、真诚地赏识每一名学生，珍视学生取得的每一份努力，欣赏学生的每一个创造，通过评价及时给予学生表扬和鼓励，使学生能够认识自己在学习过程中的优势和不足，促进和指引学生更好地学习和发展。
4、加强课后反思
如何讲好FISHER确切概率法 篇5
双总体的比率假设检验是数理统计学科中比率假设检验的一项重要内容，在大样本的情形下，根据中心极限定理，用正态逼近法进行检验。20世纪英国统计学家FISHER提出了确切概率法，该方法在大小样本的情形下都可以使用。相比较正态逼近法，该方法适用范围广且比较精确，可以检验水平保证不超过给定的α;缺点是计算麻烦。所幸随着计算机的高速发展，计算已然不成问题，但仍存在难以理解其原理的问题。笔者在教学过程中发现，现有的数理统计和医学统计教科书对该方法的介绍都是点到即止，对原理剖析得不够透彻，增加了理解难度，学生普遍反映难以理解该方法。因此笔者在此详细探究FISHER确切概率法的证明过程，以补充教科书的不足;根据学生反馈对难点进行重点讲解;并给出了MATLAB程序实现该方法的的详细算法，教师可在课堂上演示，以加深学生对该方法的理解，提高学生的学习兴趣。
1.FISHER确切概率法[1]
1.1问题的提出
例：某公安局有两个刑侦组，在过去一年内第一组接手25件人命案，结果侦破了23件，第二组接手35件人命案，结果侦破了30件。问：两个组的侦破能力有无区别?
对该问题进行数学解释，设第一组侦破率为p1,
即X服从均值为p1的伯努利分布，X1，…，Xn为来自总体X的样本，n=25。
同理设第二组侦破率为p2,
即Y服从均值为p2的伯努利分布，Y1，…，Ym为来自总体Y的样本，m=35。
两两总体X,Y独立，x1，…，xn,y1，…，ym为对应的观察值，原假设为，则本质为一个双总体的比例假设检验。显然，该问题不是大样本情形，不能用正态逼近法来解决，只能用FISHER确切概率法来解决。FISHER确切概率法也是假设检验方法的一种，回顾假设检验的步骤，现在需要找出一个在原假设成立时已知概率分布的随机变量，然后根据这次该随机变量值的出现是否是小概率事件来判断原假设是否成立。
事实上，若H0成立，当固定时，则检验统计量S1=∑i Xi是一个服从超几何分布的随机变量[2]，该结论在教材上都是直接指出，而没有详细的解释和证明，学生普遍反映不能理解，下面将给出该结论的详细证明。
1.2检验统计量所服从的分布
统计量j固定情况下概率是一个条件概率，由条件概率公式可以得出：
由超几何分布的概率函数可知，检验统计量服从超几何分布。超几何随机变量是离散型的随机变量，它的值可列的。显然，检验统计量S1的取值s1满足s1≥0,s1≥t-m,s1≤n,s1≤t，因此它的范围为[max(t-m,0),max(t-m,0)+1，…，min(n,t)]。
已知了检验统计量的分布，接下来的任务就是根据其分布来确定该统计量的取值出于哪些范围是属于小概率事件，而该范围就是拒绝域，即接下来的任务就是如何确定拒绝域。因为这之前学生接触过的检验统计量一般为正态分布、t分布、卡方分布等连续型的随机变量，很少接触这种离散型的检验统计量，所以学生可能一时不知道该如何确定这种离散型统计量的假设检验拒绝域，这时可以通过借鉴连续型统计量的情形来引导学生推导。
1.3拒绝域的确定
借鉴连续型的情形，对于给定的检验水平α，我们希望找到两个整数c1和c2，使得，类似连续型情形可以确定拒绝域为[max(t-m,0),c1]∪[c2,min(n,t)](见图1)。
然而这种希望不一定能实现，因为检验统计量是离散的，所以满足不一定存在。放宽条件，寻找d1和d2，使得
这样的d1和d2一定存在，但并不唯一，选择满足(1)等式的最大的正整数为e1，满足(2)等式的最小的正整数为e2，确定拒绝域为{s1≤e1∪s1≥e2}。相对于随机取满足(1)(2)的拒绝域{s1≤d1∪s1≥d2}，前者有较优良的性质，即它们的检验水平都是≤α，但是犯第二类错误的概率前者是小于等于后者的(对这一点学生也需要一点时间去理解，可以举他们熟悉的置信区间在相同的置信度下取区间长度最小进行类比，以便于他们接受)。
1.4拒绝域的转换
虽然已经知道了检验统计量的分布，确定了拒绝域的形式为{s1≥e1∪s1≤e2}，求出满足条件的e1和e2肯定是可以的，但在计算上很麻烦。值得庆幸的事，该定义域可以进行等价转换。
将P(S1=i|S1+S2=t)简记为p(i),
显然(因为e1是满足(1)式中最大的正整数)，而(因为e2是满足(2)式中最小的正整数。因此拒绝域转换为等同于
1.5问题的解决
对于例题，没有落入拒绝域，所以接受原假设，认为两个组的侦破能力(侦破率)无区别。
2.MATLAB程序算法[3,4]
2.1MATLAB简介
Matlab(MatrixLaboratory，即“矩阵实验室”)是最优秀的数值计算软件。主要特点有：功能强大适用范围广;编程效率高;界面友好用户使用方便;语句简单内涵丰富;功能齐备的自动控制软件工具包等。它已经成为线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号分析与处理等高级课程的基本数学工具。
2.2主要算法
整个算法的流程见图2。
其中子函数P(begin)的算法如下：
3.结语
鉴于很多教科书上对FISHER确切概率法原理的阐述过于简单，笔者从原假设H0∶p1=p2入手，详细阐述了该方法的原理，并给出了详细的MATLAB算法流程，教师可以在课堂上演示，达到较好的教学效果。对于H0∶p1≥p2和H0∶p1≤p2的情况教师可以让学生参看教科书自行推导，有编程基础的学生可以动手尝试一下写实现包括三种原假设FISHER确切概率法的程序。实践证明，这种诱导型的教育方法可以较好地增强学生的参与性和调动学生的主动性，收到较好的教学效果。
核心算法是p(i)的计算，采用递推来简化计算。
参考文献
[1]陈家鼎.数理统计学讲义[M].北京:高等教育出版社,2006.
[2]徐勇勇.医学统计学[M].北京:高等教育出版社,2002.
[3]张志涌.MATLAB教程[M].北京:北京航空航天大学出版社,2006.
概率比率规模抽样法审计应用举例 篇6
关键词：PPS抽样,审计,案例
一、案例资料
注册会计师在审计ABC公司时, 认为该公司的收入存在高估错报, 拟使用PPS抽样方法测试该公司2011年收入发生情况:
1. 账面记载发生收入笔数3 000笔, 收入总额3 000 000元。每笔收入的发生情况见表1。
2. 注册会计师确定的可接受误受风险为5%, 可容忍错报为60 000元, 预计总体错报为0。
二、操作过程
1. 确定抽样总体和抽样单元。
应用PPS抽样方法时, 抽样总体为货币收入总额3 000 000元;抽样单元为货币单元, 每一元货币即为一个抽样单元, 共3 000 000个货币抽样单元。
2. 确定样本规模。
使用样本规模计算公式确定所需的样本规模:
单位:元
单位:元
样本规模=总体账面价值×风险系数÷[可容忍错报- (预计总体错报×保证系数) ]=3 000 000×3.0÷[60 000-0×1.6]=150
其中: (1) 通过查控制测试中常用的风险系数表得到, 风险系数为3.0。 (2) 保证系数又称扩张系数, 假设其他实质性程序未能发现重大错报的风险低, 评估的重大错报风险为高, 则通过查保证系数表求得保证系数为1.6。
3. 选取货币单元样本。
(1) 按表1所列顺序逐笔累计各笔收入, 形成收入逐笔累计情况表 (见表2) 。 (2) 确定抽样间隔:抽样间隔=3 000 000÷150=20 000。 (3) 确定随机起点:假设从随机数表中抽取, 确定起点为800, 则选取的货币抽样单元依次为800、20 800、40 800……
4. 确定应测试的实物或交易单元样本。
货币抽样单元选取后, 再按照货币抽样单元与实物或交易累计金额的对应关系, 确定应测试的实物或交易单元样本。本例中, 货币单元样本800元, 小于第一笔交易的收入1 000元, 故应选取第一笔交易作为第一个应测试的交易单元样本;货币单元样本20 800、40 800、60 800因均大于前五笔交易的累计收入17 000元, 而小于前六笔交易的累计收入67 000元, 故这三个货币单元样本对应的第六笔交易应选取为第二个测试的交易单元样本;货币单元样本80800因大于前六笔交易的累计收入67 000元而小于前七笔交易的累计收入95 000元, 故第七笔交易应选取为第三个测试的交易单元样本。以此类推, 后面应选取的实物或交易单元样本依次为第十一笔交易、第十三笔交易、第十九笔交易、第二十五笔交易、第三十一笔交易、第三十五笔交易……
与货币单元相关的交易单元之间的关系体现为:一是可能会出现多个货币抽样单元对应一个实物或交易测试单元, 这样就会出现货币抽样单元一般会比实物或交易抽样单元多。如选取的第六笔、第十一笔、第十九笔、第三十一笔业务收入作为测试交易单元时, 就体现了这一特点;二是单笔实物或交易金额较大时, 更容易被抽中作为测试单元, 而单笔实物或交易金额相对较小时, 其被抽中的概率相对偏小。选取上述第六笔、第十一笔、第十九笔、第三十一笔业务等作为测试单元也体现了这一特点。PPS抽样就是这样运用属性抽样原理对货币金额而不是对发生率得出结论的。
5. 计算错报比例。
假设在样本中发现了两个错报。一个错报是账面金额为10 000元的项目有1 000元的高估, 另一个错报是账面金额为20 000元的项目有6 000元的高估, 则最高错报比例为0.3 (6 000÷20 000) , 第二高错报比例为0.1 (1 000÷10 000) 。
6. 计算总体错报上限。
总体错报上限=基本界限+第一个错报所增加的错报上限+第二个错报所增加的错报上限
基本界限=3 000 000×3.0÷150×1=60 000 (元) , 第一个错报增加的错报上限=3 000 000× (4.75-3.0) ÷150×0.3=10 500 (元) , 第二个错报所增加的错报上限=3 000 000× (6.30-4.75) ÷150×0.1=3 100 (元) , 故总体错报上限=60 000+10 500+3 100=73 600 (元) 。
上式计算中的风险系数是在可接受误受风险为5%、预计总体错报偏差为0、1、2时的风险系数, 通过查风险系数表可得。总体错报上限的计算表明, 有95%的把握认为收入发生额中的错报不超过73 600元。
7. 得出结论。
由于73 600元超过了可容忍错报60 000元, 所以不能接受账面金额, 要扩大样本规模进行进一步检查。
参考文献
[1].中国注册会计师协会编.2010年度注册会计师全国统一考试辅导教材——审计.北京:经济科学出版社, 2010
概率设计法 篇7
许多审计人员不倾向于或不善于使用概率抽样方法, 而习惯采用非概率抽样方法, 因为后者更容易掌握和实施。Hitzig (1995) 对其所在地的审计公司进行了调查, 发现94%的审计公司在开展审计工作中使用非概率抽样方法, 只有2%的审计公司使用概率抽样方法。
美国注册会计师协会于1999年制定了新审计工作指南以取代1983年的旧指南。相比旧指南, 新指南的显著特点是强调了非概率抽样方法在审计中的应用, 突出了审计人员在样本量和样本选择方式上的直觉判断作用。本文着重介绍依据交易时间主观选样的非概率抽样方法。
一、样本的选择
假设审计总体由4年共48个月的交易构成, 时间范围为2005年1月1日到2008年12月31日。每个月的交易用发票来表示。
时间抽样法就是以月份为非概率抽样单位, 而对抽取月份的所有交易不再进行抽样, 这也就是说, 对其中所有交易的发票进行全面调查。这里要注意的是, 每一年中的每个月份的选择概率是不一样的, 通常以被审计单位销售总账和明细账中记录的交易次数和交易金额属于中等水平的那个月份作为样本选取月份。淡季和旺季月份不能作为样本选取月份。
假设样本选取月份包括2005年10月、2006年7月、2007年2月、2008年4月。这里的月份也可以换成星期和天等。
审计人员对这四个样本选取月份的所有发票进行了审查, 发现有些发票的账面金额存在误差。审查结果见表1。
下面我们分别使用比率估计法和平均估计法对表1数据进行分析与推断。
1. 比率估计法。
该方法分为两步:第一步, 计算样本误差率 (=样本误差总额/样本销售总额, 即:5000÷4600000=0.001087) 。第二步, 推算各年审计总体误差总额 (=样本误差率×每年销售总额) , 计算结果见表2 (表中部分数据存在微调) :
2. 平均估计法。
这个方法分为三步:第一步, 计算样本每个月份的平均误差额 (5 000/4=1 250美元) 。第二步, 估计审计总体误差总额 (等于审计总体总月份数乘以1 250美元, 即:48×1 250=60 000美元) 。第三步, 将得到的审计总体估计误差总额按每年销售额比例分配到每一审计年份。具体结果见表3:
在使用比率估计法和平均估计法对审计总体特征进行估计时, 有以下一些特殊情况需要引起注意:
第一, 非同寻常的大额交易误差。如果抽取的样本中包括非同寻常的大额交易及其误差, 为了保证样本的平稳性和审计总体特征估计结果的可靠性, 通常的做法是将其从样本中剔除。如果样本中的大部分误差处于500～2 500美元之间, 那么15 000美元的误差就是大额交易误差。为了剔除所有大额交易误差, 检查所有在某一个金额以上的交易是必要的。一般来说, 大额交易误差根据被审计单位的生产经营状况来确定。
第二, 记录缺失。有时候, 审计总体的部分或大部分销售记录文件缺失。如果记录文件缺失, 按原计划抽取的样本中也可能缺失交易记录, 用这样的样本估计审计总体特征, 其结果很可能存在较大的偏差。然而, 由于在实际审计工作中恢复缺失记录比较困难, 因而只能依据这个有偏差的样本来估计审计总体特征。
第三, 错误分类和错误编制。一般不会为审计总体特征估计修正错误分类和错误交易记录。审计人员通常是按账面上实际记载的交易记录处理, 而不是按应该记载的交易记录处理。但如果样本中发生的这两类错误的金额很大, 在估计审计总体特征之前要进行必要的修正。
第四, 税法条文更改。有些交易按现行税法规定是不纳税的, 但如果税法条文做了相应修改后则需要纳税。如果预计在审计期间税法条文将进行修改, 那么审查审计总体的纳税情况就应该将其所有交易分成需要纳税和不需要纳税两大类, 并在每一类分别抽取样本进行估计, 合并两类估计结果即可得到审计总体特征的估计结果。
二、样本量的确定
美国注册会计师协会于1999年制定的新审计工作指南给出了非概率抽样方法下审计总体样本量n的计算公式:
其中:V为审计总体已知的账面总值, TM为可允许错报水平, AF为保证因子。
由于V已知, 所以只要确定可允许错报水平和保证因子就可以根据以上公式计算出样本量。
1. 可允许错报水平的确定。
各类交易、账户余额和列报认定层次的重要性水平被称为“可允许错报水平”。可允许错报水平的确定以注册会计师对财务报表层次重要性水平的初步评估为基础, 它是在不会导致财务报表存在重大错报的情况下, 注册会计师对各类交易、账户余额和列报所确定的可接受的最大程度的错报。美国注册会计师协会确定可允许错报水平为重要性水平的2/3。
在确定可允许错报水平时, 注册会计师应当考虑两个因素: (1) 各类交易、账户余额和列报的性质及错报的可能性; (2) 各类交易、账户余额和列报的重要性水平与财务报表层次重要性水平的关系。
2. 保证因子的确定。
保证因子由两大因素决定:一是对控制风险和固有风险组合的评估;二是对其他查明重大错报的分析程序的评估。
(1) 对控制风险和固有风险组合评估的分类。具体分为以下几类: (1) 控制风险和固有风险组合处于最大值。审计人员认为被审计单位的内部控制结构、政策和程序根本无法控制被审计单位的控制风险和固有风险。 (2) 控制风险和固有风险组合稍微低于最大值。审计人员认为被审计单位的内部控制结构、政策和程序在一定程度上可以避免或查明重大错报。 (3) 控制风险和固有风险组合处于中等值。审计人员认为被审计单位的内部控制结构、政策和程序一般能够有效地避免或查明重大错报。 (4) 控制风险和固有风险组合处于最小值。审计人员认为被审计单位的内部控制结构、政策和程序能够很有效地避免或查明重大错报。
(2) 对其他查明重大错报的分析程序评估的分类。具体分为以下几类: (1) 完全不能依赖的其他分析程序; (2) 稍微可以依赖的其他分析程序; (3) 在一定程度上可以依赖的其他分析程序; (4) 在相当程度上可以依赖的其他分析程序。
美国注册会计师协会于1999年公布的非概率抽样保证因子见表4:
假设审计总体的账面价值为3 758 000美元, 计划重要性水平为295 500美元, 可允许错报水平为197 000美元, 审计总体的控制风险和固有风险组合处于最小值, 对其他查明重大错报的分析程序属于完全不能依赖的其他分析程序。根据表4, 保证因子为2.0。依据样本量计算公式得到样本量为38[ (3 758 000/197 000) ×2]。
参考文献
[1].William F., Messier.A experimental assessment of recent professional developments in nonstatistical audit sampling guidance.A Journal of Practice and Theory, 2001;1
概率设计法 篇8
1 概率积分法
概率积分法是因其所用的移动和变形预计公式中含有概率积分(或其导数)而得名。由于这种方法的基础是随机介质理论,所以又叫随机介质理论法[3]。
在二维的情况下,若开采单元的横坐标为s,地表任意点A的横坐标为x,则此单元开采引起的A点的下沉为:
若煤层是水平的,煤层坐标系(t,s)和地面坐标系(x,y)的水平投影重合,则单元B(坐标为(s,t))的开采引起地表任意点a(坐标为(x,y))的下沉W0(x,y)为:
2 开采沉陷预计程序设计
将多个工作面开采条件下的地表点移动变形分解为各个单工作面的累加和。先计算每个工作面开采条件下的地表点移动变形值,再相加,即为多工作面开采条件下的地表点的移动变形值。
单个工作面的地表任意点的移动变形预计如下:1)首先根据工作面情况,新建立地面坐标系,坐标原点建在走向工作面第一拐点和倾向工作面第一拐点交点在地面上对应点处。2)确定预计区域,建立格网,根据要求确定格网间隔,以预计区域左下角为第一点,先沿横坐标方向以格网间隔取点,取毕后向纵坐标方向增加一个格网间隔长度再沿横坐标方向间隔取点,依此类推,存入结构数组i中,点数为j。3)将各格网点坐标从大地坐标系下转换至根据工作面情况所建立的地表坐标系中。4)采用for……next循环,依次计算这些格网点的移动变形值,存入结构数组i中,再将各格网点坐标从假定坐标系中转换至大地坐标系中。
3 实例分析
3.1 鲍店泗河堤坝下采煤沉陷预计
鲍店煤矿在泗河下方开采1312综放工作面时,布设了地表移动观测站,并进行了20次地表沉陷观测工作。通过对1312观测站资料的整理计算和求参分析,得到适合于本区的概率积分法为:下沉系数q=1.0,主要影响角正切tgB=2.8,水平移动系数b=0.3,开采影响传播角θ=89°,拐点偏移距平均为s=0.1h。
工作面参数中的走向长,倾向长、采深和工作面左下角坐标及预计区域左下角坐标和右上角坐标直接从已有的AutoCAD图上获取(采深=工作面底板标高+地面高程)1312工作面参数:D3=889,D1=253,m=8.79,a=8,H=365 m,H1=356 m,H2=374 m,x0=39 482 845,y0=3 922 838。根据1312工作面具体地质采矿条件,采用已知的概率积分法预计参数,使用本文编写的开采沉陷预计程序,对1312工作面开采后的地表移动变形情况进行预计。1312工作面开采后,泗河西河堤基本不受开采影响,泗河东河堤受开采影响严重,最大下沉值接近8.2 m。
3.2 堤坝回填土方量计算
在下沉等值线图上,以500 mm下沉量为梯度,取点,量取两点之间长度L,取两点之间下沉平均值,计算该段堤坝回填土方量Vx。各段回填土方量之和即为将堤坝恢复到沉陷前所需土方量V。计算各段回填土方量Vx和需回填的堤坝剖面面积Sx。
堤坝回填总土方量V:
4 结语
以概率积分法为预计模型,运用VB语言编写了开采沉陷预计程序。在对鲍店泗河堤坝下采煤进行分析时发现:在1312工作面开采条件下,泗河西河堤基本不受开采影响,泗河东河堤受开采影响严重,最大下沉值接近8.2 m。为回填加固堤坝至原先状态,需32 292 m3的土方量。
参考文献
[1]邹友峰,邓喀中,马伟民.矿山开采沉陷工程[M].徐州:中国矿业大学出版社,2003:181-196.
[2]张艳,徐美月,马海波,等.Visual Basic程序设计教程[M].徐州:中国矿业大学出版社,2001:35-87.
类比法在概率统计教学中的应用 篇9
类比法是根据两个或两类事物在某些属性上相同或相似, 从而推测它们在其他属性上也相同或相似的一种推理方法。著名数学家拉普拉斯说过:“在数学里发现真理的主要工具是归纳和类比。”可见它在数学学习中的重要性。在教学中可以让学生先回顾之前学过的知识, 并由此引出新知识和新概念, 再通过类比法来比较二者的共同点和不同点, 从而起到化陌生为熟悉, 化抽象为具体, 化繁为简的作用, 帮助学生贯通知识间的联系, 使知识体系纵横交融形成系统的知识网络, 从整体上掌握知识。下面我们将浅谈类比法在概率统计的概念教学和习题教学中的应用。
1 类比法在概念教学中的作用
匈牙利数学家玻利亚说:“类比是一个伟大的引路人。”类比作为一种思维方法, 其侧重的不是逻辑性、确定性、严格性, 而是创造性、猜测性、灵活性。概率统计中的许多概念都可以通过类比引出并揭示其本质。此外, 我们可利用原有的认知结构借助类比法, 有效地掌握新知识, 并将这些知识有机系统地统一起来。
1.1 随机事件的关系运算与集合的关系运算的类比
由于事件可以看成由某些样本点构成的集合, 因此可将二者类比学习。例如:集合A∪B表示其中任意一个元素x仅属于A或者仅属于B或者属于A和B的公共部分, 我们可以形象地用韦氏图来表示。此时若将A和B看作是事件, 则事件A∪B表示“事件A和事件B至少有一个发生”, 记作A+B, 即概率论中事件的和等同于集合论中集合的并集。同样的类比方法, 我们可将集合论中集合的交集类比到概率论中事件的积中去。
在教学中可引导学生先回顾集合之间的各种关系运算, 随之再引出相应的事件间的关系运算, 最后归纳总结。此外, 事件运算的性质如交换律、结合律、分配律均可对照集合的相应性质进行类比学习。
1.2 离散型随机变量与连续型随机变量的类比
对于离散型随机变量, 学生感觉较容易, 但对于连续型随机变量, 往往学生感觉抽象难理解。由于分布列在离散型随机变量中的地位与密度函数在连续型随机变量中的地位等同, 因此对于离散型随机变量中的边缘分布列与联合分布列的关系可以过渡到连续型随机变量中边缘密度函数与联合密度函数的关系中去, 此外诸如随机变量的独立性的充要条件以及期望与方差的计算均可轻松过渡。具体我们可通过“把连续的问题离散化”这种方法, 实际是将对离散型随机变量中对分布列的求和变成对连续型随机变量中的密度函数求积分即可。表1我们将对其中的部分性质及计算作一个简要的类比。
1.3 一维随机变量与二维随机变量的降维类比
任何学习都是循序渐进的, 一般来说低维空间的知识相对简单, 容易被学生接受, 所以最好的方法是从低维空间向高维空间过渡学习。降维类比法是将高维空间中的数学对象降低到低维空间中去观察, 利用低维空间中数学对象的性质类比归纳出高维数学对象的性质。
我们知道一维离散型和连续型随机变量的分布函数分别为:
在研究二维离散型和连续型随机变量时, 我们可用降维类比法得到其联合分布函数分别为:
通过上面的类比得知抽象的二维随机变量的分布函数与一维随机变量有着一致的表达式, 从而大大降低了学习的难度。此外, 二维离散型随机变量的联合分布列与连续型随机变量的密度函数的性质与计算均可借助一维随机变量的相关知识引入。
2 类比法在习题教学中的应用
类比法是解题的有力工具。在习题教学中, 教师若常引导学生用类比思维去寻找解题的方法, 会起到事半功倍的效果。我们首先可以利用条件、结论或者结构形式上的类似, 联想与之类似的概念性质从中得到启发。例如, 在概率统计中有这样一题:
分析:此题若由密度函数的性质, 通过积分可求得a=3。但是我们若通过与指数分布的密度函数进行对比, 可知a=3。这样在解题中不需要计算便可得到结果。
总之, 类比法是创造性地表达思维的重要手段, 在概率统计教学中有其特有的地位和作用。在概率论的类比法教学中, 不仅要根据学生已有的知识提供恰当的类比对象, 更为重要的是引导学生在类比中去发现目标对象与类比对象的本质区别, 从而真正地认识和理解目标对象, 否则则可能导致错误的理解与认识。事实上, 类比法在概率统计教学中的应用远不止于上述几个方面, 这里就不一一赘述。在概率论教学中若恰当应用类比法, 可使学生将所学的知识条理化系统化, 有利于提高学生分析问题与解决问题的能力, 培养学生的创新意识和创新精神。
参考文献
[1]G.波利亚.数学与猜想 (第一卷) :数学中的归纳与类比[M].北京:科学出版社, 1984.
[2]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2001.
【概率设计法】推荐阅读：
频率与概率教学设计07-05
随机事件的概率教学设计09-23
概率积分法10-17
统计概率法06-13
3用频率估计概率教学设计与分析06-11
用列举法求概率教学反思07-08
失效概率07-19
概率知识10-14
实际概率05-14
概率方法05-15