随机事件的概率教学设计

2024-09-23

随机事件的概率教学设计（共9篇）

随机事件的概率教学设计篇1

《随机事件的概率》教学设计

白月霜

教学目标：

1、知识与技能

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解频率的意义及频率与概率的区别；

（2）在正确理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性的基础上，能辨析生活中的随机现象，澄清生活中对概率的一些错误认识，并通过做大量重复试验，用频率对某些随机事件的概率进行估计。

2、过程与方法

通过对现实生活中一些问题的探究，运用“掷硬币”随机试验，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的统计定义在实际生活中的作用，初步掌握利用数学知识思考和解决实际问题的方法。

3、情感、态度与价值观

通过本节的教学，引导学生用随机的观点认识世界，使学生了解偶然性与必然性的辩证统一，培养辩证唯物主义思想。

教学重点：通过实验活动丰富对频率与概率关系的认识，知道当试验次数较大时，频率稳定于理论概率。

教学难点：运用频率估算概率，解决实际问题。教学方法：

本节课采用自主探究、合作探究法，辅之以其它教学法，在探索新知的过程中，通过抛硬币活动来组织学生进行有效的学习，调动学生的积极性，在实验的过程中实现对数据的收集、整理、观察、分析、讨论，最后通过合作交流等方式，归纳出当试验次数大很大时，事件发生的频率稳定一个常数附近。

教学手段：采用多媒体辅助教学,促进学生自主学习，丰富完善学生的认知过程，使有限的时间成为无限的空间。事先教师准备导学案、电脑、硬币等。教学流程：

一、情境导入

教师首先让学生重温守株待兔的故事：宋人有耕田者。田中有株，兔走触株，折颈而死。因释其耒而守株，冀复得兔。

提出问题：农夫会像他预期的等到兔子吗？

[设计意图]：这样从实际问题抽象出数学问题，充分体现了数学来源于生活，又服务于生活的数学应用意识，能激发学生的好奇心和求知欲，为顺利实施本节课的教学目标打下了良好的基础.接着教师提出：守株待兔的结局：兔不可复得，而身为宋国笑。得出结论：事件具有偶然性、随机性。

教师要求学生根据已掌握的知识，完成自主探究，从结果能够预知的角度看，能够发现事件的共同点吗？

学生总结，发现事件可以分为以下三类：

必然事件：在条件S下一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件。

不可能事件：在条件S下一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件。随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件叫相对于S随机事件。[设计意图]：通过回忆初中概率的定义，为探究新课作好铺垫。举例说明同一事件在不同条件下，会产生不同结果，分类也不相同。

[设计意图]：强调事件的结果是相应于一定条件而言的。因此，要弄清某一事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果。例1.指出下列事件是必然事件、不可能事件、还是随机事件？（1）同性电荷，相互排斥。

（2）在标准大气压下，且温度低于零度时，冰融化。

（3）从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签。（4）常温下，石头一天风化。（5）木柴燃烧，产生能量。（6）掷一枚硬币，出现正面。

二、合作探索（生生合作、师生合作）

1、做数学试验，观察频率是否体现出规律性

做如下试验：从一定高度按相同方式让一枚质地均匀的硬币自由下落，可能正面朝上，也可能反面朝上，观察正面朝上的频率。

试验要求：学生六人一组，两两配合，一人掷硬币，一人做好记录，每组试验10次，注意试验条件要求：从一定高度按相同方式下落。◆试验步骤：

答：实际上，从长期实践中，人们观察到，对于一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定的常数附近摆动，显示出一定的稳定性。（再利用计算机模拟掷硬币试验说明问题）讨论：0.5 的意义引出概率的概念。

揭示新知

归纳：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数P附近，那么事件A发生的概率P(A)=P 教师指出这是从统计的角度给出了概率的定义，也是探求概率的一种新方法，列举法仅限于试验结果有限个和每种结果出现的可能性相等的事件求概率，而用频率估计概率的方法不仅适用于列举法求概率的随机事件，而且对于试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等的一些随机事件，我们也可以用频率来估计概率。讨论：事件A的概率P(A)的范围，频率与概率有何区别和联系？频率与概率的区别和联系（重点、难点）

⑴频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会稳定在概率附近。⑵频率本身是随机的，在试验前不能确定。

⑶概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关。讨论探究、例题演练——深化概率认识，巩固所学知识。例2.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示。

（1）填写表中击中靶心的频率；

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

设计意图：通过对生活中实例的辨析，进一步揭示概率的内涵──概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中反映出来.反过来，试验次数太少时，有时不能合理估计概率.误区警示：因频率与概率的概念混肴而致错

四、课堂总结

1.本节课学习了哪些知识？ 2.频率与概率的区别和联系？ 3.留给你印象最深的是什么？

[设计意图]：新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，对于课堂小结我既设置了总结性内容，又设置了开放性的问题，期望通过这些问题使学生体验学习数学的快乐，增强学习数学的信心．

五、分层作业

1．课本113页练习1，2，3.2.选做题：导学案的拓展练习。

[设计意图]：在布置作业环节中，设置了必做题和选做题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣．

板书设计

随机事件的概率教学设计篇2

概率论是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科，既然与随机现象有关，那么借助于计算机，用计算机内自动产生的各类随机数来研究随机事件与概率不失为一种好的引入方法，并在此基础上构思更多的算法，用编写程序的手段去解决概率论中的问题，成为一种新的研究概率问题的思路；也为讲授概率论的教师提出了新的挑战。

下面分别讨论随机数在《概率论》中随机事件与概率这节不同内容中的应用方法：

1 古典概型

抛硬币是古典概型中经常说明的一个典型问题，为了说明等概率的情况，我们可以用数学软件MatLab编程说明，具体算法思路如下：生成一个随机数，四舍五入后可能取得的所有值为0,1，将0设为硬币的反面，1设为硬币的正面，做实验若干次，相当于重复了若干次这个程序，程序如下：

表1为当试验次数分别为10、100、1000、10000、100000时硬币出现正反面的比例，从表中可以看出，出现正面和反面的次数是接近的，比例近似于1:1，而且随着试验次数的增加，这个比例离1:1越近，也就是说出现正面的反面的可能性是相同的。

对于掷骰子问题，我们可以按照同样的方法来处理，重复产生（0,1）内的随机数，若该数小于1/6，则相当于出现一点，大于1/6而小于1/3，则相当于出现两点，以此类推，……，在5/6和1之间，相当于出现了6点，运行该程序后从结果可以看到，出现每个点的比例是近似相等的。这个例子同样说明6个点出现的可能性是相等的。

类似的方法可以用于更多的古典概型问题的说明和计算中，在此不再详述。

2 几何概型

以下面问题为例：

罗密欧和朱丽叶约定在某时刻见面，每个人到达约会地点的时间都会延迟，延迟时间在0～1小时。第一个到达约会地点的人会在那儿等待15分钟，之后若对方还没有到达，先到者会离开。问他们能够相会的概率有多大？

这个问题是个典型的几何概型问题，因而可以考虑用直角坐标系的单位正方形表示样本空间，即Ω=[0,1]×[0,1]。正方形内每个点的两个坐标恰好可以分别表示两个人到达时可能的延迟时间,并且显然每个点都是等可能的。这样,罗密欧与朱丽叶两人可能相会的事件可用图1中阴影部分表示,知道了阴影部分的面积,就知道了两人相会的概率有多大了。

另外，还可以使用蒙特卡洛模拟法来解决这个问题，算法思路如下：先设置一个预先确定的随机点总数，用来表示正方形的面积；再用随机数的方法产生随机点，最后计算落在阴影内的随机点个数，这些阴影内随机点个数与总个数的比值就是两人相会的概率。算法如下：

(1)设置产生随机点的总数n；(2)初始化：m=0,P=0(m为阴影内的随机点个数的累计值，P为相会的概率）；(3)对i=1,2，…，n，进行第4～6步；(4)产生随机坐标xi和yi，满足0燮xi燮1,0燮yi燮1；(5)若-0.25燮yi-xi燮0.25,m=m+1，否则进行第6步；(6)若i=n,P=m/n，停止；否则，转第4步。

实际相会的概率答案应该是0.4375，表2列出了将随机点数的总数定为10、100、1000、10000时，利用上述算法编制的程序得到的相会概率，由于篇幅有限，本文只列出每种情况下求得的四个概率值（以下各表同）。从表1中可以看出，当随机点的总数取的越大时，计算结果与实际理论值的误差呈现越来越小的趋势。

另外，这个问题还可以演变为更复杂的形式，比如每个人等待时间也是在0～15分钟随机变化的，或者一个人在0～15分钟变化，而另一个人在0～10分钟变化，这样，程序上只不过增加了一两个随机数，但能解决的问题的范围则大大扩展了，使得解决问题的灵活性显著提高，这点笔者认为正是使用随机数法的积极作用表现。

3 条件概率

问题：如前所述，在抛掷骰子的试验中一共有6种等概率的试验结果，现已知试验的结果是偶数，即2,4,6这三种情况必有一种发生，在此情况下，求出现点数为6的概率。算法简述如下：

(1)设置产生随机点数的次数m；(2)初始化：n1=0,n2=0,P=0(n1为出现6点的累积次数，n2为出现偶数点的累积次数，P为条件概率）；(3)对i=1,2，…，m，进行第4～7步；(4)产生一个随机数（随机数对应随机出现的骰子的点数）；(5)若对应的点数为偶数，n2=n2+1；(6)若对应的点数为6,n1=n1+1；(7)若i=m，则P=n1/n2，停止；否则转第4步；在这部分内容中，对于要应用到乘法定理的内容或问题，有了随机数法，我们完全可以撇开乘法定理，直接编程计算。

表3给出当抛掷骰子数分别为10、100、1000、10000、100000时，得到的点数为6的条件概率，很明显，随着试验次数m的增加，概率P越来越稳定在1/3附近。

4 全概率公式

问题：张三参加一个棋类比赛，赛手中50%是一类棋手，对这些棋手取胜的概率为0.3;25%是二类棋手，赢的概率为0.4；剩下的为三类棋手，赢得比赛的概率为0.5。从这些棋手中任选一位，求张三取胜的概率。假设张三比赛了很多次，用其中赢的次数除以比赛的次数就是，赢得比赛的频率概率。算法设计的思路重点在于我们只要设一个一行二列的随机数组，其中第一个数表示张三遇到的对手情况，第二个数表示他取胜的可能性范围即可。具体算法如下：

(1)设置产生随机数组的次数m；(2)初始化：n=0,P=0(n为赢得比赛的累积次数，P为最终取胜的概率）；(3)对i=1,2，…，m，进行第4～8步；(4)产生一个随机数组；(5)若数组的第一个数在0～0.5之间，第二个数在0～0.3之间，则n=n+1；(6)若数组的第一个数在0.5～0.75之间，第二个数在0～0.4之间，则n=n+1；(7)若数组的第一个数在0.75～1之间，第二个数在0～0.5之间，则n=n+1；(8)若i=m，则P=n/m，停止；否则转第4步；

表4给出当比赛次数分别为10、100、1000、10000、100000时，棋手赢得比赛的概率，从表中可以看出，随着次数m的增加，概率P越来越稳定在准确值3/8附近。

对于涉及到贝叶斯公式的问题，我们可以采取近似的方法，在此不再详述。

5 事件的独立性

问题：一产品的生产分4道工序完成，第一、二、三、四道工序生产的次品率为别为2%，3%，5%，4%，各道工序独立完成，求该产品的次品率。

思路：产生一个一行4列随机数组，每个数表示一道工序中产品所在范围，观察该范围是否在合格范围内。

算法：

(1)设置产生随机数组的个数m（表示生产的零件件数）；(2)初始化：n=0,P=0(n为出现次品个数，P为最终出现次品的概率）；(3)对i=1,2，…，m，进行第4～7步；(4)产生一个一行四列随机数组；(5)若数组的第一个数在0～0.02之间，或第二个数在0～0.03之间，或数组的第三个数在0～0.05之间，或第四个数在0～0.04之间，则n=n+1；(6)若i=m，则P=n/m，停止；否则转第4步。

表5给出当随机数组中次数分别为10、100、1000、10000、100000时，产品为次品的概率，从表中可以看出，随着试验次数m的增加，概率P越来越稳定在准确值0.1331附近。

通过浦丰问题，我们得知可以用概率方法求圆周率。类似地，通过以上这些粗浅的思考，我们可以发现对于有些复杂的、难以用常规方法求解的概率问题，我们完全可以撇开传统的思路，用随机数法来构造问题模型，直接获取概率问题的答案，这对于我们解决问题无疑带来一种新的思路；而在传统的板书授课的基础上，使用计算机编程即多媒体技术结合具体内容进行讲授，也为教师带来了一种新的授课方式。

摘要：本文对在随机事件与概率中的常见问题提出了一种新的借助于计算机实现的解决思路,即通过机器自动产生随机数后构建相应的数学模型,再通过编程计算得到最后结果。该方法既为概率论的教学带来了创新性思维,也为当前的教师提出了新的挑战。

关键词：随机数,蒙特卡洛模拟,古典概型,几何概型

参考文献

[1]《概率导论》Dimitri P.Bertsekas,John N.Tsitsiklis人民邮电出版社2009.12.

[2]丁正生.概率论与数理统计简明教程.高等教育出版社,2005.6.

随机事件的概率教学设计篇3

一、概率论的基本概念与特点概述

在一定条件下,可能发生也可能不发生的试验结果称为随机事件,简称事件,用A、B、C…表示。随机事件有两个特殊情况,即必然事件(在一定条件下,每次试验都必定发生的事件)和不可能事件(在一定条件下,各次试验都一定不发生的事件),分别记为Ω和Φ。

随机事件在一次试验中是否发生,固然是无法事先肯定的偶然现象,但当进行多次重复试验时,就可以发现其发生的可能性大小的统计规律。具体说来,如果在相同条件下进行n次重复实验,事件A出现了n次,那么事件A在n次试验中出现的频率,/m当n无限增大时呈现稳定性。这一统计规律性表明事件发生的可能性大小是事件本身所固有的、不以人们主观意志改变的一种客观属性。事件A发生的可能性大小称为事件A的概率,记作P(A)。当试验次数n足够大时,可用事件的频率近似地表示该事件的概率,即P(A)≈m/n。这一定义被称为概率的统计定义。简而言之,这个定义就是“概率是频率的稳定值”。

设一个随机试验(不能事先准确地预言它的结果,而且在相同条件下可以重复进行的试验)只有有限个不同的基本事件ω1,ω2…ωn(基本事件也是一种事件,一般的事件总是由几个基本事件共同组成的),每个基本事件都是等可能的,基本事件的全体记作Ω,称它为基本事件空间。如果事件A由k(k≤n)个不同的基本事件组成,那么规定A的概率为P(A)=k/n。这一定义被称为概率的古典定义。

随机事件的本质特点是:一次试验,结果不定;多次试验,呈现规律。

按古典概率定义算得的事件A的概率P(A),只是理论上的数值,少量的试验中事件A的频率与之通常会有较大的差异。但当试验次数n足够大时,其频率将在概率P(A)附近摆动。这个事实表明:概率的统计定义与古典定义是相通的、统一的。

二、对教材和教师教学用书中若干瑕疵的分析

1.对概率的统计定义理解有误

概念是理论的基石。小学数学教材中尽管只用“可能性”来代替“概率”,但教师对概率的定义应有清晰、正确的认识和理解。须特别指出的是,教师不能尽信教师教学用书上的表述。

例如,在论及抛硬币活动的有关问题时,人民教育出版社出版的五年级上册《教师教学用书》第173页有如下表述:“当试验的次数增大时,正面朝上的频率和反面朝上的频率都越来越逼近1/2。这实际上就是概率的统计定义思想。”与概率的统计定义比较,可明显看出这一表述中的错误。事实上,频率“呈现稳定性”只是说,随着试验次数n的增大,频率将会在某个常数附近摆动,并不意味着频率向这个常数“越来越逼近”。举个简单的例子,某人在做抛硬币试验时,很可能第一次是正面朝上,第二次是反面朝上。这时正面朝上的频率和反面朝上的频率就已经都是1/2。但随着n从2增大到3,这两个事件的频率必定有一个是2/3,而另一个是1/3,这能算是“越来越逼近1/2”吗?

再如,五年级上册教材第102页练习二十一第1题为:“桌上摆着9张卡片,分别写着1~9各数。如果摸到单数小明赢,如果摸到双数小芳赢。(1)这个游戏公平吗?(2)小芳一定会输吗?(3)你能设计一个公平的规则吗?”

由于1~9这9个数中有5个奇数、4个偶数,所以小芳赢的概率只有4/9,而输的概率却为5/9,游戏显然有失公平。可是,五年级上册《教师教学用书》第177页中对此题的解答作了如下建议:“虽然游戏规则对小芳不利,但是在一次或有限次试验中,小芳却不一定会输。因为这里的5/9和4/9都是一个理论值,是在大量重复试验下抽到单数和双数的频率的极限。”

这段表述中有两处错误:

其一,对“有限”的理解有误。“有限”是相对于“无限”而言的,“有限次”并非只表示“少数几次”。“有限”也可以表示很多,如1万次、1亿次、1万亿次……只要次数是一个确定的常数,都可称为“有限次”。所以只能说“在一次或少数几次的试验中,小芳不一定输”,而不能说“在有限次试验中,小芳不一定会输”。因为当试验进行了1万次或1亿次时,规律应能显现:小芳在总体上必输无疑。

其二,对概率的统计定义的理解有误。概率并非“频率的极限”。为弄清其中的道理,我们不妨把进行了n次试验时,事件A出现的频率记为xn,x1,x2,x3…xn…就组成一个无穷数列xn。如果认定xn以概率P(A)为极限,就可写成“xn=P(A)”。而按照数列极限的“?着-N”定义,这个式子就要等价于以下表述:“对于每一个预先给定的无论怎么小的正数?着,总存在一个正整数N,使得对于大于N的一切正整数n,都有xn-P(A)< ?着。”而事实上,我们是找不到这样的N的。原因很简单,当n无限增大时,频率只是呈现出稳定性,而不是向概率P(A)无限接近。

综上所述,无论是“频率越来越逼近概率”还是“概率是频率的极限”,都是对频率与概率关系的错误认识,是对概率的统计定义的错误理解。

2.对随机事件的本质认识不清

随机事件的本质属性是:一次试验,结果不定;多次试验,呈现规律。教师在教学中应以通俗的语言、形象的描绘向学生传播这一基本思想。令人遗憾的是,由于教材和教师教学用书中存在不少瑕疵,导致了教师对随机事件的本质属性认识不到位。

(1)三年级上册教材第108页练习二十四第6题:“全班每人掷一次(硬币),正面朝上的有人,反面朝上的有人。”此题的编排意图是什么?如果说是为了让学生明白总会出现“正面朝上”或“反面朝上”两种结果的话,那笔者以为学生对此早有体验,实无必要。难道是为了验证这两个随机事件的概率都是1/2?带着这个问题,笔者查阅了三年级上册《教师教学用书》。该书第163页写道:“让全班一起掷一次,是为了使试验次数足够多以减少误差。由于实验结果与理论概率存在的差异,也可能得不到预期的结果,可以再让学生掷几次,增加试验的总次数,尽量使实验结果接近理论概率。”果不其然,只可惜把问题想得太简单了!

历史上不少数学家都进行过大量的抛币试验,而教师教学用书却认为“让全班一起掷一次”试验次就“足够多”了,科学性方面显然有所缺失。其实,即或“再让学生掷几次”也算不上“足够多”,很难达到“使实验结果接近理论概率”的目标。

(2)三年级上册教材第107页第5题如下:下表是从纸袋中摸20次的结果(摸出一个棋子后再放回去)。纸袋里的黄棋子多还是红棋子多?

此题是要学生根据频率反推出纸袋中两种棋子的多少。只试验了20次,凭什么来推断?推断“红棋子多”固然有道理,但有可能两种棋子同样多,也有可能黄棋子比红棋子更多。在试验次数较少的情况下,这种“倒挂”的现象完全有可能发生。

(3)五年级上册教材第100页练习二十第1题:“正方体的各面分别写着1、2、3、4、5、6,掷出每个数的可能性都是……”五年级上册教师教学用书第175页对此题的教学作了如下建议:“第一题因为正方体各部分很均匀和规则,所以在投掷后6个面朝上的可能性相等,都是1/6。教学时可让学生先说说自己的看法,再让他们动手试验。最好多投几次,并作好记录,以发现其中的概率规律。”

笔者认为,如果真的要让学生“发现其中的概率规律”,就不能仅仅建议“最好多投几次”,而应要求学生“必须投掷多次”。否则,只让学生试验个百十来次,还不如不做。因为不做学生还信,做后学生反而不信,岂不是自找麻烦?

三、对小学概率教学的几点建议

笔者不揣浅陋,愿就如何提高小学概率教学实效提几点建议,供同仁参考。

1.要向学生传播概率论的基本思想

在教学中,教师要着重向学生传播以下基本思想:

(1)大千世界,确定性事件毕竟只是少数,而随机事件却大量存在。随机事件的普遍性决定了概率论应用的广泛性。

(2)等可能性来自事物天然的对称性。硬币和骰子质地均匀、构造对称,转盘上各扇形面积相等都是这种对称性的表现。

(3)对等可能事件,可按其对称性算出其概率,这种算法虽说只是推理的结果,但其合理性与正确性已被前人通过大量试验的统计所验证。这也说明了“实践是检验真理的唯一标准”。

(4)随机事件的特点是:一次试验,结果不定;多次试验,呈现规律。这就表明“偶然中寓有必然”,这就是对立统一的辩证思想。

2.不要轻易让学生通过动手操作试验验证概率

对于古典概率的数值,只要向学生说明其合理性即可,不要轻易让学生通过动手操作试验去验证。因为次数多了,时间不够;次数少了,又往往事与愿违。教师应灵活处理教材中的相关例题和习题。在学生按教材的安排去尝试做验证性的试验前,教师应预先告知他们:只做少量的试验,结果未必理想,这正是随机事件偶然性的表现,不必感到奇怪。要想结果比较理想,应当在课外去完成大量的试验,次数通常不应少于1 000次,而且多多益善。

3.允许学生对一些问题有自己的独立见解

概率论研究的对象是随机事件。随机事件的发生与否存在着诸多偶然性因素。不同的人、不同的视角往往会得出不同的看法,因此,应当允许学生在思考时有自己的见解。

某校六年级曾出过下面的测试题:“学校举行乒乓球比赛,在决赛前公布了参加决赛的两个同学的资料(如下表)。

(1)决赛中( )获胜的可能性大。

(2)如果学校要推选1个选手参加校际比赛,应该推荐( )比较合适。

大多数学生在第一个括号里填“小明”,在第二个括号里填“小强”。但几个数学成绩一贯拔尖的学生都不约而同地在两处都填了“不确定”三个字。这件事在教师中引起了争议:有的教师认为这几个学生是“别出心裁”,也有的教师认为应当尊重学生的意见。笔者也持后一种态度。就按(1)小题而言,莫说这两人过去的成绩不相上下,即便是水平相差较大,决赛的胜负仍然难以预料,因为以弱胜强之事在诸多体育比赛中屡见不鲜。至于第(2)小题,依我愚见,推荐谁都不合适。因为体育比赛应当崇尚公平竞争、“更高、更快、更强”,任何诸如民主推荐、长官圈定之类的做法,都是与奥林匹克精神背道而驰的。

三年级上册教材第108页练习二十四第1题,要求对“花是香的”“月亮绕着地球转”“石狮子在天上飞”3个事件用“一定”“不可能”“可能”进行选择填空。笔者认为,除“月亮绕着地球转”应填“一定”外,其余两个事件均应填“可能”。理由很简单:花儿品种繁多,其中一种名为“尸臭花”不仅没有香味,反而其臭无比;而当龙卷风袭来时 ,“石狮子在天上飞”的奇景也未必不可能出现。(作者单位:江西省南昌师范高等专科学校)

作者简介:全国优秀教师、江西省劳动模范、江西省特级教师,自1994年10月起享受国务院特殊津贴,江西省教育学会小学数学教学专业委员会副理事长,江西省教育厅中小学教材审查委员会成员。在全国四十多种报刊上发表论文四百余篇,出版了《怎样上好小学数学课》《小学教坛漫思录》等专著。

《随机事件的概率》教案篇4

一、教学目标

知识与技能目标：了解生活中的随机现象；了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；理解随机事件的频率与概率的含义。

过程与方法目标：通过做实验的过程，理解在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现规律性，进而理解频率和概率的关系；通过一系列问题的设置，培养学生独立思考、发现问题、分析问题和解决问题的能力。

情感、态度、价值观目标：渗透偶然寓于必然，事件之间既对立又统一的辩证唯物主义思想；增强学生的科学素养。

二、教学重点、难点

教学重点：根据随机事件、必然事伯、不可能事件的概念判断给定事件的类型，并能用概率来刻画生活中的随机现象，理解频率和概率的区别与联系。

教学难点：理解随机事件的频率定义与概率的统计定义及计算方法，理解频率和概率的区别与联系。

三、教学准备

多媒体

四、教学过程

情境设置，引入课题

相传古代有个国王，由于崇尚迷信，世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚，在临刑时要抽一次“生死签”，即在两张小纸片上分别写着“生”和“死”的字样，由执法官监督，让犯人当众抽签，如果抽到“死”字的签，则立即处死；如果抽到“生”字的签，则当场赦免。

有一次国王决定处死一个敢于“犯上”的大臣，为了不让这个囚臣得到半点获赦机会，他与几个心腹密谋暗议，暗中叮嘱执法官，把两张纸上都写成“死”。

但最后“犯上”的大臣还是获得赦免，你知道他是怎么做的吗？

相信聪明的同学们应该知道“犯上”的大臣的聪明之举：将所抽到的签吞毁掉，为证明自己抽到“生”字的签，只需验证所剩的签为“死”签。

我们如果学习了随机事件的概率，便不难用数学的角度来解释“犯上”的大臣的聪明之举。下面中公资深讲师跟大家来认识一下事件的概念。探索研究，理解事件

问题1：下面有一些事件，请同学们从这些事件发生与否的角度，分析一下它们各有什么特点？

①“导体通电后，发热”；

②“抛出一块石块，自由下落”；

③“某人射击一次，中靶”；

④“在标准大气压下且温度高于0℃时，冰自然融化”；

⑦“某地12月12日下雨”；

⑧“从标号分别为1，2，3，4，5的5张标签中，得到1号签”。

给出定义：

事件：是指在一定条件下所出现的某种结果。它分为必然事件、不可能事件和随机事件。

问题2：列举生活中的必然事件，随机事件，不可能事件。

问题3：随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，在大量重复试验下，它是否有一定规律？

实验1：学生分组进行抛硬币，并比较各组的实验结果，引发猜想。

给出频数与频率的定义

问题4：猜想频率的取值范围是什么？

实验2：计算机模拟抛硬币，并展示历史上大量重复抛硬币的结果。

问题5：结合计算机模拟抛硬币与历史上大量重复抛硬币的结果，判断猜想正确与否。

频率的性质：

1.频率具有波动性：试验次数n不同时，所得的频率f不一定相同。

2.试验次数n较小时，f的波动性较大，随着试验次数n的不断增大，频率f呈现出稳定性。

概率的定义

事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m/n总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P。

概率的性质

由定义可知0≤P≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

频率与概率的关系

①一个随机事件发生于否具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一。

②不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况。③随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率。

④概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果。

⑤概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。

例某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

填写表中击中靶心的频率；

这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？

问题6：如果某种彩票中奖的概率为1/1000，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。

课堂练习，巩固提高

1.将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是

A.必然事件B.随机事件

c.不可能事件D.无法确定

2.下列说法正确的是

A.任一事件的概率总在内

B.不可能事件的概率不一定为0

c.必然事件的概率一定为1

D.以上均不对

3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。

完成上面表格：

该油菜子发芽的概率约是多少？4.生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？

课堂小节

概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。

五、板书设计

六、教学反思

随机事件的概率教学设计篇5

一、教学目标

1、通过实例理解确定性现象与随机现象的含义和随机事件、必然事件、不可能事件的概念及其意；

2、根据定义判断给定事件的类型，明确事件发生的条件是判断事件的类型的关键；

3、理解随机事件的频率定义及概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法, 理解频率和概率的区别和联系；

4、通过对概率的学习，使学生对对立统一的辨证规律有进一步的认识。

二、教学重点

根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断给定事件的类型，并能用概率来刻画实际生活中发生的随机现象，理解频率和概率的区别和联系。

三、教学难点

理解随机事件的频率定义及概率的统计定义及计算概率的方法，理解频率和概率的区别和联系。

四、教学过程

1、问题情景：

[设置情景]1名数学家＝10个师

在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力。这句话有一个非同寻常的来历。

1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后得出，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性。一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大。美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象。如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象。

确定性现象，一般有着较明显得内在规律，因此比较容易掌握它。而随机现象，由于它具有不确定性，因此它成为人们研究的重点。

随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果，我们把随机现象的结果称为随机事件。

观察下列现象发生与否，各有什么特点？

（1）在标准大气压下，把水加热到100C，沸腾；（2）导体通电，发热；（3）同性电荷，互相吸引；（4）实心铁块丢入水中，铁块浮起；（5）买一张福利彩票，中奖；（6）掷一枚硬币，正面朝上。引导学生分析：（1）（2）两种现象必然发生，（3）（4）两种现象不可能发生，（5）（6）两种现象可能发生，也可能不发生。

2、建构数学

（1）几个概念

确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果的现象；

随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果的现象；

事件的定义：对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验。而试验的每一种可能的结果，都是一个事件。

必然事件：在一定条件下必然发生的事件；

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

初中课本上把“随机事件”表述为“不确定事件”，“必然事件”与“不可能事件”统称“确定事件”。必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是随机现象。我们用A，B，C等大写英文字母表示随机事件，简称为事件。

说明：三种事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的类型也可以发生变化。例如，水加热到100C时沸腾的大前提是在标准大气压下，太阳从东边升起的大前提是从地球上看等。

例1 试判断下列事件是随机事件、必然事件、还是不可能事件 :(1)我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭；

(2)若a为实数，则|a|0；

(3)某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；(4)抛一石块，石块下落；

(5)一个正六面体的六个面分别写有数字1，2，3，4，5，6，将它抛掷两次，向上的面的数字之和大于12。

解：由题意知，（2）（4）为必然事件；（5）是不可能事件；（1）（3）是随机事件。（2）随机事件的概率。

我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在0～1之间的一个数，将这个事件记为A，用PA表示事件A发生的概率.怎样确定一事件发生的概率呢？（2）概率

实验：在《算法初步》一章中，我们曾设计了一个抛掷硬币的模拟试验。图3-1-1是连续8次模拟试验的结果：

图3.1.1 我们看到，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动。在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。

概率：一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的频率mm作为事件A发生的概率的近似值，即PA。

nn对于概率的统计定义，注意以下几点：

（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；

（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；

（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。因此0PA1。

（3）频率的稳定性

频率的稳定性，即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，频率却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率。（4）“频率”和“概率”这两个概念的区别

① 频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；

② 概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。

3、数学运用

（1）例题：

例

2某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下：

表3-1-2

(1)试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）；(2)该市男婴出生的概率是多少？解：（1）1999年男婴出生的频率为

114530.524，同理可求得2000年、2001年和

218402002年男婴出生的频率分别为0.521，0.512，0.512；

(2)各年男婴出生的频率在0.510.53之间，故该市男婴出生的概率约为0.52。

例

3（1）某厂一批产品的次品率为一件次品？为什么？

（2）10件产品中次品率为

1，问任意抽取其中10件产品是否一定会发现101，问这10件产品中必有一件次品的说法是否正确？为什10么？

解：（1）错误；（2）正确。（2）练习

（1）p88，练习第1、3题；（2）p91，练习第1、3题；

（3）某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：

（1）计算表中进球的频率；

（2）这位运动员投篮一次，进球概率约是多少？解：（1）进球的频率分别为

681217250.75，0.8，0.8，0.85，0.83，81015203032380.8，0.76。4050（2）由于进球频率都在8.0左右摆动，故这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8。

五、回顾小结

1、理解确定性现象、随机现象、事件、随机事件、必然事件、不可能事件的概念并会判断给定事件的类型。

2、理解概率的定义和两个性质：①0PA1；②P1，P1，理解频率和概率的区别和联系。

六、课外作业

p88，练习第2题；

随机事件教学设计篇6

金牛学校丁文丽

一、教学目标

知识与技能：理解什么是必然事件、不可能事件、随机事件过程与方法：经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程，发展学生从复杂的表象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力。

情感态度与价值观：通过亲身体验，亲自演示，感受数学就在身边，促进学生乐于亲近数学，感受数学，喜欢数学

二、教学重点、难点重点：随机事件的特点。

难点：随机事件概念形成，理解随机事件发生可能性大小的变化规律。突破重点、难点方法：教学中，注意从实际出发，引导学生自己多观察，多动手并注意同学间的互相协作。运用多种教学手段，做到循序渐进，逐步突破重点、难点。

三、教学程序及设想

（一）情景引入

1.课件展示分别装有红球白球、白球、红球三种盒子并提问：小明、小麦、小米一定能摸到红球吗? 2.课件展示三堆扑克牌。分别任意抽取一张，看抽到红牌的事件的发生情况

（设计意图：激发学生的兴趣，让学生体会数学来源于生活，生活中处处有数学。）

（二）探究新知

1．活动一

5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒 1 中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题：（1）抽到的序号有几种可能的结果？（2）抽到的序号会是0吗？（3）抽到的序号小于6吗？（4）抽到的序号会是1吗？

（5）你能列举与事件（2）相似的事件吗？ 2.活动二

小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。掷一次骰子，观察骰子向上的一面并思考相关问题 3.知识归纳

在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件;必然不会发生的事件叫不可能事件;可能会发生，也可能不发生的事件叫随机事件。

（三）议一议

（1）生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，你能举出例子吗？

（2）生活中，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，你能举出例子吗？

（3）生活中，有些事情有时会发生，有时不会发生，你能举出例子吗？

（设计意图：学生要会举例子，就必须对必然发生的事件，不可能发生的事件，可能发生也可能不发生的事件的特点有一定的认识，为今后进一步学习打下基础。）借助随机抽取软件介绍本节课内容

（四）练一练

教师以抢答的形式让学生做这8道路题

1、在地球上，太阳每天从东方升起。

2、有一匹马奔跑的速度是100千米/秒。

3、明天，我买一注体育彩票，得500万大奖。

4、用长为3cm、4cm、7cm的三条线段首尾顺次连结，构成一个三角形。

5、掷一枚均匀的硬币，正面朝上。

6、任选13个人，至少有两人的出生月份相同。

7、在标准大气压下，温度在0摄氏度以下，水会结成冰。

8、一辆小汽车从面前经过,它的车牌号码为偶数.（设计意图：以抢答的形式，充分调动学生的积极性，大大地激发了学生的学习热情，同时相对于学生以前学习过的传统的数学知识，作为概率的第一课，对随机事件的描述，学生是会感到陌生和困难的，因此，再举一些例子加深对随机事件及其特点的理解和认识。）

（五）能力提高

请你判断以下与必然事件、随机事件、不可能事件相联系的成语：

种瓜得瓜，海市蜃楼，拔苗助长，种豆得豆，守株待兔，黑白分明，海枯石烂，画饼充饥，刻舟求剑。

（六）思考

袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？

能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小相同？从而引出概率的概念

（七）课堂小结

让学生总结本节课的主要收获

随机事件的概率教学设计篇7

全概率公式是解决复杂事件概率的重要工具, 对某些复杂问题往往有很好的效果.若一个随机试验序列, 其前面试验的结果直接影响后面试验的结果, 则这个试验序列下的随机事件是相依的.在概率论中有很多具有上述特点的随机试验, 下面通过具体例子来讨论全概率公式在相依随机事件概率计算中的应用.

例1 甲、乙两人比赛射击, 每射击一次胜者得1分, 在一次射击中, 甲胜的概率为p, 乙胜的概率为q (p+q=1) .射击进行到有1人比对方多2分为止, 多2分者获胜, 求各人获胜的概率.

解法一 (事件穷举) 记事件A, B分别为“甲、乙获胜”, 事件Ai, Bi分别为“第i局比赛甲、乙获胜” (i=1, 2, …) .通过对比赛规则的分析, 甲获胜的情况应为“第1, 3, …, 2i-1局甲可胜可负, 第2, 4, …, 2i局甲的胜负情形恰好分别与其第1, 3, …, 2i-1局的胜负情形相反, 而第2i+1, 2i+2局甲连胜”.即P (A) =P (A1A2) +[P (A1B2A3A4) +P (B1A2A3A4) ]+[P (A1B2A3B4A5A6) +P (A1B2B3A4A5A6) +P (B1A2A3B4A5A6) +P (B1A2B3A4A5A6) ]+…=p2+ (2pq) p2+ (2pq) 2p2+…=

$\sum_{i = 0}^{\infty}$ $p^{2} (2 p q)^{i} = \frac{p^{2}}{1 - 2 p q}$ , 同理 $Ρ (B) = \frac{q^{2}}{1 - 2 p q} .$

解法二 (全概率公式) 记事件A, B分别为“甲、乙获胜”, V1=“前两局比赛, 甲全胜”, V2=“前两局比赛, 乙全胜”, V3=“前两局比赛, 甲、乙各胜一局”.易见V1, V2, V3构成完备事件组, 则由全概率公式, 得P (A) =P (AV1) +P (AV2) +P (AV3) =P (V1) P (A|V1) +P (V2) P (A|V2) +P (V3) P (A|V3) =p2·1+q2·0+2pqP (A) , 可得 $Ρ (A) = \frac{p^{2}}{1 - 2 p q}$ , 同理 $Ρ (B) = \frac{q^{2}}{1 - 2 p q} .$

例2 甲、乙、丙三人进行比赛, 规定每局两个人比赛, 胜者与第三人比赛, 依次循环, 直到有一人连胜两次为止, 此人即为冠军.每次比赛双方取胜的概率都是 $\frac{1}{2}$ , 甲、乙两人先比, 求各人得冠军的概率.

解法一 (事件穷举) 记事件A, B, C分别为“甲、乙、丙获得冠军”, 事件Ai, Bi, Ci分别为“第i局比赛甲、乙、丙获胜”, 则 $Ρ (A) = [Ρ (A_{1} A_{2}) + Ρ (A_{1} C_{2} B_{3} A_{4} A_{5}) + Ρ (A_{1} C_{2} B_{3} A_{4} C_{5} B_{6} A_{7} A_{8}) + \dots] + [Ρ (B_{1} C_{2} A_{3} A_{4}) + Ρ (B_{1} C_{2} A_{3} B_{4} C_{5} A_{6} A_{7}) + \dots] = (\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{5}} + \frac{1}{2^{8}} + \dots) + (\frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{2^{7}} + \dots) = \frac{5}{14}$ .因为甲、乙所处地位是对称的, 所以 $Ρ (B) = Ρ (A) = \frac{5}{14}$ , 又得 $Ρ (C) = 1 - Ρ (A) - Ρ (B) = \frac{2}{7} .$

解法二 (全概率公式) 记事件A, B, C分别为“甲、乙、丙获得冠军”, 事件Ai, Bi, Ci分别为“第i局中甲、乙、丙获胜”.对第一局比赛的结果而言, A1, B1构成完备事件组.由全概率公式, 可得 $Ρ (C) = Ρ (A_{1} C) + Ρ (B_{1} C) = Ρ (A_{1}) Ρ (C | A_{1}) + Ρ (B_{1}) Ρ (C | B_{1}) = \frac{1}{2} [Ρ (C | A_{1}) + Ρ (C | B_{1})]$ .通过对比赛进程的分析, 可以看出从第四局开始出现了类似从第二局开始的循环, 因此再一次运用全概率公式: $Ρ (C | A_{1}) = Ρ (C_{2} B_{3} A_{4} C) + Ρ (C_{2} B_{3} B_{4} C) + Ρ (C_{2} C_{3} C) + Ρ (A_{2} C) = Ρ (C_{2} B_{3} A_{4}) \cdot Ρ (C | C_{2} B_{3} A_{4}) + Ρ (C_{2} B_{3} B_{4}) \cdot 0 + Ρ (C_{2} C_{3}) \cdot 1 + Ρ (A_{2}) \cdot 0 = (\frac{1}{2})^{3} Ρ (C | A_{1}) + (\frac{1}{2})^{2}$ , 得 $Ρ (C | A_{1}) = \frac{2}{7}$ .同理 $Ρ (C | B_{1}) = \frac{2}{7}$ , 故 $Ρ (C) = \frac{2}{7} ‚ Ρ (A) = Ρ (B) = \frac{5}{14} .$

通过上面的例子, 可以看出全概率公式用在相依随机事件概率计算中的作用, 虽然运用事件穷举法也可以解决问题, 但在如下的相依随机事件例子中, 很难用一般方法考虑, 而全概率公式的运用使之迎刃而解.

例3 甲、乙两人轮流掷一颗骰子, 甲先掷.每当某人掷出1点时, 则交给对方掷, 否则此人继续掷.求第n次是甲掷的概率.

解设Ai, Bi分别为“第i次由甲、乙掷” (i=1, 2, …) , 显然对第n-1次掷骰子的情况来说, An-1, Bn-1构成了完备事件组.由全概率公式得 $Ρ (A_{n}) = Ρ (A_{n - 1} A_{n}) + Ρ (B_{n - 1} A_{n}) = Ρ (A_{n - 1}) Ρ (A_{n} | A_{n - 1}) + Ρ (B_{n - 1}) Ρ (A_{n} | B_{n - 1}) = \frac{5}{6} Ρ (A_{n - 1}) + \frac{1}{6} Ρ (B_{n - 1}) = \frac{5}{6} Ρ (A_{n - 1}) + \frac{1}{6} [1 - Ρ (A_{n - 1})]$ , 得递推关系 $Ρ (A_{n}) - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} [Ρ (A_{n - 1}) - \frac{1}{2}]$ , 所以有 $Ρ (A_{n}) - \frac{1}{2} = (\frac{2}{3})^{n - 1} [Ρ (A_{1}) - \frac{1}{2}]$ .因为甲先掷, 即P (A1) =1, 所以得

摘要：本文通过三个例子, 讨论了全概率公式在相依随机事件概率计算中的应用, 并以一题二解的方式对全概率公式法和一般方法做了对比.

关键词：全概率公式,穷举,相依随机事件

参考文献

[1]李贤平, 沈崇圣, 陈子毅.概率论与数理统计[M].上海:复旦大学出版社, 2003.

随机事件的概率易错点反思篇8

例1 下列事件中，哪些是确定事件？哪些是不确定事件？

（1）纸放到火上不燃烧；

（2）明天太阳从西边升起；

（3）通常情况下，水在零摄氏度以下时会结冰；

（4）打开电视，正在播广告.

错解确定事件：（3）；不确定事件：（1）（2）（4）.

分析错解中把不可能事件判断为不确定事件.不可能事件是指该事件一定不会发生，题中（1）（2）两事件都属于不可能事件，是确定事件.不确定事件是指事件有可能发生，也有可能不发生，题中（4）的事件就是不确定事件.因此在解答此题时一定要弄清楚“不可能”与“不确定”的区别.

正解确定事件：（1）（2）（3）；不确定事件：（4）.

反思表现为把不可能事件错判为不确定事件.不可能事件是指事先能肯定一定不会发生的事件，不可能事件既然事先就能肯定不会发生，就应属于确定事件.

2. 对频率与概率区分不清

例2 下面的说法是否正确？为什么？

（1）为了考察掷出“6”的概率有多大，明明掷了500次骰子，其中“6”点向上的有150次，所以掷出“6”的概率大约为0.3.

（2）某彩票的中奖概率是0.03，所以买100张一定会有3张中奖.

错解（1）正确.因为掷500次骰子，“6”点向上的有150次，所以掷出“6”的概率约为0.3.

（2）正确.因为彩票的中奖概率是0.03，所以买100张一定有3张中奖.

分析错解（1）中没有真正理解频率与概率的关系，认为在任何情况下实验中的频率都约等于概率.事实上，只有当频率值逐渐稳定时，才能用这个频率值估计概率.错解（2）中认为概率是一定的，事件就是必然的.实际上（2）中的事件是不确定事件.因此，解答此类问题时，一定要准确理解概率的定义，认真地区分频率与概率之间的不同.

正解（1）错误.因为通过实验估计概率的大小，只有当频率值逐渐稳定时，才能用这个频率值估计该事件发生概率的大小.实际上，出现“6”的概率≈0.167.

（2）错误.因为买100张彩票有3张中奖是随机事件，不是必然事件.

反思虽然不确定事件的发生是随机的、无法预测的，但是随着试验次数的增加，会发现不确定事件的发生具有一定的规律.我们可以用平稳时的频率值，去估计这一事件在每次试验中所发生的概率，如果我们没有认识到这一点，将会判断失误.

3. 凭想当然来预测事件发生机会的多少

例3 抛掷两枚硬币，看看“出现两个正面”和“出现一正一反”的机会各是多少？做试验验证一下你的猜测是否准确？

错解一枚硬币，一个正面一个反面，因此，当抛掷两枚硬币时，不是两个正面，就是两个反面，要不然就是一正一反，所以，出现的机会各是三分之一.

正解一枚硬币，一个正面一个反面，因此，当抛掷两枚硬币时，会出现四种情况：两个正面，两个反面，一正一反，一反一正，所以，出现两个正面和出现两个反面的机会是四分之一，而出现一正一反的机会是二分之一.

反思准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并会用其表示一些事件.在得出试验结果时，一般都采用列举法写出，通常按从左向右、由小到大的顺序来写，注意要做到不重不漏.

4. 不理解事件中每一种情况的发生是等可能的

例4 同时掷两枚骰子，问：

（1）“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，哪一个发生的机会多？

（2）最容易出现的和的点数是多少？并求出它的概率.

错解（1）∵每次掷骰子的可能结果有6种，∴“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，发生的机会相同.

（2）出现的和的点数相同，概率为[636=16].

分析错误地将掷一枚骰子出现的6种结果与掷两枚骰子出现两点和的事件当作一回事处理.

正解设掷两枚骰子，一枚出现[x]点，另一枚出现[y]点，如下表：

（1）从表中可得出：“两点的和等于7”的事件有6个，“两点的和等于8”的事件有5个，∴前者比后者容易发生.

（2）从表中比较得，最容易出现的和是7，它的概率是[636=16].

反思在一次试验中出现的随机事件是否等可能的关键是：看这一试验中所有可能出现的结果中各种结果出现的机会是否均等. 虽然都是随机现象，但发生的概率是不一样的.如该题中出现7点的概率就最大，还可以计算出现2点和12点的概率最小，都是[136].

5. 未弄清互斥事件与对立事件的关系

例5 判断下列命题的真假：（1）将一枚硬币抛掷两次，设事件[A]：“两次都出现正面”，事件[B]：“两次都出现反面”，则事件[A]与[B]是对立事件. （2）在5件产品中有2件是次品，从中任取2件.事件[A]：“所取2件中最多有1件是次品”，事件[B]：“所取2件中至少有1件是次品”，则事件[A]与[B]是互斥事件. （3）若事件[A]与[B]是互斥事件，则[P（A+B）=P（A）+P（B）].

错解命题（1）（2）（3）都是真命题.

分析（1）概念不清，未区分互斥事件与对立事件.因为事件[A与B]是对立事件还要满足[A∪B]是必然事件，显然这是错误的；（2）未弄清“最多”“至少”的意义，因为它们都包括“所取2件中有1件是次品”，当然事件[A与B]就不是互斥事件了；（3）概率的加法公式，当然是正确的.

正解（1）是假命题；（2）是假命题；（3）是真命题.

反思两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且只有一个发生.

随机事件的概率教学设计篇9

第十一章概率第一节

等可能性事件的概率

（一）---教学设计

一、教学目标：

（1）知识与技能目标：了解等可能性事件的概率的意义，运用枚举法计算一些等可能性事件的概率。

（2）过程和方法目标：通过生活中实际问题的引入来创设情境，将一些生活问题构建成一个等可能性事件模型，学生的构建思维能力得到提升；在归纳定义时用到特殊到一般的思想；在解题时利用类比的方法，举一反三。通过枚举法、图表法、排列的基础知识来计算一些等可能性事件的概率，学生对古典概型有个更深刻的理解。

（3）情感与态度目标：感受到亲切、和谐的学习氛围，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。了解部分数学史，知道随机事件的发生既有随机性，又有规律性，了解偶然性寓于必然性之中的辩证思想，培养学生的综合素质。

二、教学重点：

等可能性事件的概率的意义及其求法。

三、教学难点：

等可能性事件的判断以及如何求某个事件所包含的基本事件数。

四、教学方法：

启发式探索法

五、教学过程：

1、复习引入、创设情境问题

1、（师）前面我们学习了随机事件及其概率，请问：事件分为哪三类？

（生）必然事件，随机事件，不可能事件。（师）好！

问题

2、（师）我们知道，随机事件的概率一般可以通过大量重复实验来求值。是不是所有的随机事件都需要大量的重复试验来求得呢？（生）不一定。

（师）好！请同学们观看视屏（播足球比赛前裁判抛硬币的视频）。

问题

3、（师）刚才的视屏是足球比赛前裁判通过抛硬币让双方的队长猜正反来选场地，只抛了一次，而双方的队长却都没有异议，为什么？

2、逐层探索，构建新知问题

4、（师）这是一个均匀的骰子，抛掷一次，它落地时向上的数可能有几种不同的结果？每一种结果的概率分别为多少？

通过前面抛硬币和掷骰子这两个随机事件的实例，大家观察到只做了一次试验就可以求出其概率，其结果与大量重复试验相吻合。问题

5、（师）这两个随机事件有什么共性呢？（尽量把抽象的问题具体化）（生）（1）、一次试验可能出现的结果是有限个的；(2)、每个结果出现的可能性相同。

我们把具有这两个特征的随机事件叫做等可能性事件；为了方便描述等可能性事件的概念，我们引进一个概念----基本事件的概念。

（1）基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。问题

6、（师）哪位同学能根据基本事件和前面的两个特征概括出等可能性事件的定义？（锻炼学生的概括能力，可以用学生自己的语言归纳，然后老师给予启发和补充）

（2）等可能性事件：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有的基本事件出现的可能性都相等，那么这个事件叫做等可能性事件。问题

7、（师）请同学们根据等可能性事件的特征举一些学习和生活中是等可能性事件的例子。1

（通过举例可以提高学生对等可能性事件两个特征的进一步了解，为后面建构等可能性事件模型做好铺垫）问题

8、（师）如何判断每个结果出现的可能性相同呢？（比如说：“硬币必须是均匀的，骰子必须是均匀的，球的大小要相等、质地均匀等）学生对等可能性事件有了充分的了解后顺利的引入课题。）

3、引入课题：今天我们一同来探究等可能性事件的概率，即古典概型。问题

9、（师）抛掷一个均匀的骰子一次，它落地时向上的数是偶数的概率是多少呢？（前面学生对事件A只包含一个基本事件的等可能性事件的概率已经有所了解，现讲两道求事件A包含多个基本事件的等可能性事件的概率）问题

10、（师）不透明的袋子里有大小相同的1个白球和2个已经编了不同号码的黑球，从中摸出1个球。一共有多少种不同的结果？摸出是黑球的结果有多少个？摸出是黑球的概率是多少？问题

11、（师）我们知道有一种数学方法是从特殊到一般，请同学们根据刚才两个实例，概括出等可能性事件的概率的定义。

4、等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能

1性相等，那么每一个基本事件的概率都是,如果某个事件包含的结果有m个，那么事件A的n事件A包含的基本事件数mcard(A)概率：P(A)（进一步提高学生的概括能力）基本事件总数ncard(I)

5、概念巩固练习：

1、先后抛掷2枚均匀的硬币

（1）一共可能出现多少种不同的结果？（2）出现“1枚正面、1面反面”的概率是1/3，对吗？

6、创设情境，构建数学模型

设置情境（有两兄弟，一天妈妈单位每人发一张精彩的球票，他们都想去看，可票只有一张，怎么办呢？这时哥哥走到正在玩飞行棋的弟弟旁边说：“我们来玩一场游戏，拿一个骰子，每人各掷一次，若点数之和为6，票就归你，若点数之和是7票就归哥我，如果都不是则继续掷，怎样？如果你是弟弟，你觉得公平吗？为什么？）引导学生用数学知识解决生活中的问题，建立一个等可能性事件模型。设问：如何建立等可能性事件的模型？

即：将一个均匀的骰子先后抛掷2次，计算：（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的数之和分别是6和7的结果有多少种？（3）向上的数之和分别是6和7的概率是多少？

（分小组讨论，用不同的方法解决这个问题，让方法比较简单的小组代表上黑板展示出来与大家分享。看学生能否发现规律：中间数的概率最大，其他的点数和的概率关于这个数对称）解：（1）将骰子抛掷1次，它落地时向上的数有，1，2，3，4，5，6这6种结果，根据分步计数原理，一共有6636种结果。

答：先后抛掷骰子2次，一共有36种不同的结果。

（2）在上面的所有结果中，其和为6共有3种组合1和5，2和4，3和3组合结果为：(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3)共5种；其和为7共有3种组合1和6，2和5，3和4共3种；组合结果为：(1,6)、(6,1)、(2,5)、(5,2)、(3,4)、(4,3)、共6种；

答：在2次抛掷中，向上的数之和为6的结果有5种，向上的数之和为7的结果有6种；（3）由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，其中向上的数之

41．其中向上的数之和和是6的结果（记为事件A）有5种，因此，所求概率为P(A)369 2

4161;P(B)。36936651答：抛掷骰子2次，向上的数之和为6的概率是，向上的数之和为7的概率是。

63615因为，所以弟弟不应该同意。那怎样更改游戏规则才公平？

6367、再创情境，拓展思维

在他们重新商定了游戏规则，准备继续的时候，爸爸回来了，问清原委后，爸爸也想参予；爸爸说，他在意大利著名诗人但丁的《神曲》的炼狱篇第6节中看到，在14世纪意大利佛罗伦萨的贵族们玩一种游戏：三个人每人掷一次骰子，猜点数和是多少？当时他们都认为出现9，10，11，12这4个数的可能性一样，都是最大的。我们三人就从这4个数中各选一个吧。同学们你们认为这4个数出现的可能性一样大吗？为什么?（分小组进行讨论）

9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3;10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4 11=1+4+6=1+5+5=2+3+6=2+4+5=3+3+5=3+4+4 12=1+5+6=2+4+6=2+5+5=3+3+6=3+4+5=4+4+4 强调：1+2+6是6种组合，而不是1种组合。提醒学生注意有序和无序的区别。是7的结果（记为事件B）有6种，因此，所求概率为P(A)经过探究发现只有10与11出现的概率最大且相等（在探究的过程中提醒学生按求等可能性事件的概率步骤来做，在判断是否等可能和求某个事件的基本数上多启发和引导，帮助学生顺利突破难点。）

及时表扬答对的学生，因为这个问题整整过了三个世纪，才被意大利著名的天文学家伽利略解决。后来法国数学家拉普拉斯在他的著作《分析概率论》中，把伽利略的这个解答作为概率的一个基本原理来引用。（适当的渗透一些数学史，学生对学习的兴趣更浓厚，可以激发学生课后去进一步的探究前辈们是如何从不考虑顺序到想到考虑顺序的）

8、课堂小结：通过这节课的学习，同学们回想一下有什么收获？

1、基本事件和等可能性事件的定义。

2、等可能性事件的特征：（1）、一次试验中有可能出现的结果是有限的。（2）、每一结果出现的可能性相等。

3、求等可能性事件概率的步骤：

（1）审清题意，判断本试验是否为等可能性事件。（2）计算所有基本事件的总结果数n。（3）计算事件A所包含的结果数m。（4）计算P（A）=m/n。

（老师）其实，概率论与生活是紧密联系的，学好它可以更好的为生活服务，因为概率论在天气的预测，保险行业，信息学等方面都有很大的用途。希望同学们学好概率。

9、课后作业：

1、P1

41习题11.1

2，3，5

2、思考题：以小组为单位为桂林微笑堂设计一个十一国庆商场促销的摸奖活动方案。

“等可能性事件的概率”教学说明

一、概念及其解析

1、概念

（1）基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

（2）等可能性事件：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有的基本事件出现的可能性都相等，那么这个事件叫做等可能性事件。

（3）等可能事件性的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可

1能性相等，那么每一个基本事件的概率都是,如果某个事件包含的结果有m个，那么事件An事件A包含的基本事件数mcard(A)的概率：P(A)。基本事件总数ncard(I)

2、概念解析

（1）核心内容: 概括等可能性事件的概率的概念和构建等可能性事件模型。

（2）思想方法：特殊到一般的方法——通过举特例概括等可能性事件和等可能性事件概率的概念；类比的思想方法——类比抛掷一个均匀骰子两次到抛掷一个骰子三次；对称的数学思想——通过图表观察出对称的规律。

3、古典概型的地位和作用

古典概型在概率论中占有重要的地位。其意义在于：

（1）有利于理解概率的概念，当研究这种概型时，频率的稳定性容易得到验证，从而概率的稳定值与理论上算出的概率值的一致性容易得到验证，从而概率值的存在性易于被学生理解。（2）有利于计算事件的概率。在古典概型范围内研究问题，避免了进行重复试验。

（3）这种概型的实际应用较广，因而学习这种概型有助于运用所学知识解决某些实际问题。

二、目标和目标解析

1、知识与技能目标：了解等可能性事件的概率的意义，运用枚举法计算一些等可能性事件的概率。

2、过程和方法目标：通过生活中实际问题的引入来创设情境，激发学生学习的兴趣。经过小组讨论后可以将一些生活问题构建成一个等可能性事件模型，学生的构建思维能力得到提升。在归纳定义时运用由特殊到一般的思想；在解题时运用类比的方法，举一反三。通过枚举法、数状图法、图表法、排列组合等方法来计算一些等可能性事件的概率，学生对古典概型有个更深刻的理解。

3、情感与态度目标：学生感受到亲切、和谐的学习氛围，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。知道随机事件的发生既有随机性，又有规律性。了解偶然性寓于必然性之中的辩证思想，了解部分数学史，培养学生的综合素质。

三、教学问题诊断分析 1.认识基础分析：学生在初中学习过用列举法求随机事件的概率,并对等可能性事件及其概率的求法有直观的了解；掌握了排列组合的运算，经历了用排列组合解决某些实际问题的过程，具有一定的推理能力和解决实际问题的能力。2.认知分析：

（1）通过定义基本事件和等可能性事件，给出等可能性事件的概率公式，让学生对概率的认识从定性认识上升到定量认识，理解古典概型概率计算公式的推导原理，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

（2）从利用大量重复试验确定概率到用等可能性事件确定概率，是建立古典概型的过程，让学生从中体会对随机现象的研究最终转化为对确定性现象的研究。（3）引导学生逐步脱离“数阵”、“树型图”等繁琐的计数工具,走向更具概括性和抽象性的计数原理，感受概率中的逻辑推理。

3.可能学习障碍分析：

（1）让学生构建等可能性事件概率模型的是本节课的一个重要的目标，而如何确定基本事件并验证所确定的基本事件是否满足等可能性事件概率模型，学生在实际运用中会存在一定的困难。

（2）由于义务教育阶段对概率内容的教学目标定位于感性和定性认识的水平，因此之前学生对许多问题是借助于已有的经验进行直观判断而不是进行理性判断。因此，教学中学生还不善于应用已经学过的概率知识进行定量地分析，往往还习惯于借助经验和直观来解决问题，他们以前对随机现象问题的一些错误认识仍然根深蒂固。

四、本节课的教法特点以及预期效果分析这节课我采用了启发式探索法。

【关键词】：启发式探索法：开导学生但不和盘托出；引导学生但不牵着学生走。

1、复习引入

（1）复习上节课所学的内容：事件分为哪三类？(让学生对旧知有个再现过程，然后抛出问题：“是不是所有的随机事件的概率都需要大量的重复试验获得”设置悬念)。

（2）通过生活实例引入，激发学生学习的兴趣。并懂得有些特殊的随机事件只需一次试验就可以求得其概率。概括出古典概型的两个特征并学会如何判断是在初中学习古典概型基础上的提升，这一提升主要体现在对古典概型的认识和理解上.具体地说，是从操作层面到理论层面的进一步的抽象概括，2、新课讲解

通过不断设问，学生对等可能性事件及其特点理解得比较清楚后，自然的引出课题。（1）用特殊到一般的思想启发学生概括出等可能性事件和等可能性事件的概率。

在这一内容的学习中，学生所犯的错误很多情况都是出在等可能性问题上，所以让学生举一些生活中等可能性事件和非等可能性事件的例子。并且掌握一些判断的方法，为后面建构等可能性事件模型作好铺垫。预计在概括等可能性事件的概率及其判断等可能性事件的方法上可能要花一些时间。

（2）在巩固练习和例题中均强调是否为等可能性事件以及如何求事件 A包含的基本事件数这两个关键步骤。预计有部分学生在求结果数时会忽略先判断这事件是否为等可能性事件。（3）例题1的设计,一方面是帮助学生从生实际问题背景中逐步建立古典概型的解题模式;另一方面也可进一步理解古典概型的概念与特征,重点突破“等可能性”这个理解的难点。采用学生分组讨论的方式完。在整个活动中学生作为活动设计者、参与者．主持者；老师起到组织和指导的作用。为了让学生进一步认识和理解随机思想，认识和理解概率的含义—概率是一种度量，是对随机事件发生可能性大小的一种度量.让学生观察图表，得出对称的规律。预计学生在构建等可能性事件模型时要花一些时间。

（4）例题1的拓展设计：看学生能否能在例1的基础上利用类比的思想来建构数学模型，并得出求事件 A包含的基本事件数常用的方法有树状图法，枚举法，图表法，排列组合法等方法。适当的渗透一些数学史，学生对学习的兴趣更浓厚，可以激发学生课后去进一步的探究前辈们是如何从不考虑顺序到想到考虑顺序的

3、课堂小结：让学生以回忆收获的方式来完成小结。

【随机事件的概率教学设计】推荐阅读：

随机信号05-12

随机载荷05-26