破产概率

破产概率（精选6篇）

破产概率 篇1

一、前言

对精算理论和实务来说, 所研究的对象大多数是未来不确定性的随机变量和模型, 比如寿险中个体的生存时间、未来利率的变化趋势等, 在很大程度上都要依靠事先的分析和估计。对保险公司而言, 不可能仅凭经验数据和自己的主观判断就得出未来的数据。现在的趋势则是更多地采用随机模拟方法对有关的随机变量进行大量的案例模拟和场景测试。

二、破产概率的理论基础

破产理论主要用于经营的稳定性分析, 研究其经营者的经营状况。它的基本思想是考虑保险公司的盈余随着时间的积累问题。所谓盈余是指某个初始资金加上收取保费超过理赔的那一部分。随着时间的增加, 保费及理赔都在不断地发生变化, 导致盈余也在不断地波动, 当某时刻, 盈余为负时, 我们就称为破产[1]。

现假设保单组有n份保单, 保单h所对应的理赔定义为Sh, 我们定义随机变量Sh的可能取值分别为:, 且定义

其中, , 并假定qjh随着j的增大而递减。因此, 总理赔额可以重新表示为:

为了方便计算, 假设随机变量是相互独立的。又定义, 由Lundberg一Cramer经典风险模型可以假定是服从Poisson分布, 且是以q为参数的Poisson过程, 其中。。

定义Pr (S=x) 的概率密度函数为f (x) 及累积分布函数F (x) =Pr (S≤x) , 因此有

我们可以得到精算中非常有用的递推公式:

通过该式可以分别递推得

但是, 随着寿险业的竞争日趋激烈, 为了扩大自身的竞争力, 吸引更多的消费者, 保险公司不断地开发越来越多的产品。其中, 许多产品的保费不再是像传统的寿险产品一样, 保费是固定缴纳的。而本文的新险种全能寿险就是这样特殊的一种寿险产品。消费者在保险公司允许范围内可以按照自己的意愿随机缴纳保费。

如前面所示, 随机缴纳保费为Pt, 则盈余过程可以表示为

虽然作为新开发的全能险种, 我们尚缺乏许多经验数据对其进行精算评估, 又因为已经有无数的学者在破产概率理论方面做了大量的较完善的研究。为此, 本文在破产方面侧重于给出数据分析。

既然全能险种是作为新开发的险种, 为此可以认为它的初始盈余很小, 可以忽略不计, 即u=0。这时盈余过程简化为:

三、模型的描述

全能寿险亦称为综合人寿保险, 它的保险责任如下:

(1) 设投保人生存至保险期满, 则期满后每年可领取一次生存保险金, 直至去世, 其总额为期满日的现金价值之和;

(2) 若投保人死亡, 则按投保人所选的方式期末给付死亡保险金;

(3) 若投保人去世, 期末给付净风险保额的a倍 (0

(4) 投保人的投资收益率为rt。

事实上, 市场的各种全能险种就是对各个保险责任之间作一定的比例调整, 则可以得到不同的全能型的寿险。为了方便讨论全能寿险的风险模型, 太平洋保险公司新推出的小康之家、华彩人生全能型终身寿险为代表[2], 讨论全能寿险的破产概率。

假设10岁的投保人投保于全能型终身寿险, 保费为60000元, 缴费期为10年, c0=6000元, c1=1000元, Q0=3000元, Q=250元, b=100000元, m=1, 每年年初缴纳保费, 为100的整数倍。且利息力模型如下:

其中, , , 在de Moiver死亡力下, 寿命X服从上的均匀分布。

保险责任:

(1) 由于意外伤害导致身故或者全残, 则给付身故或者全残保险金, 给付金额为被保人身故或者全残时保险金额与给付时保单账户价值之和, 合同终止。

(2) 在合同生效日起180日内, 由于意外伤害以外的原因导致身故或者全残, 则给付身故或者全残保险金, 给付金额为被保人身故或者全残时保险金额的10%与给付时保单账户价值之和, 合同终止。

(3) 在合同生效日起180日后, 由于意外伤害以外的原因导致身故或者全残, 则给付身故或者全残保险金, 给付金额为被保人身故或者全残时的保险金额与给付时保单账户价值之和, 合同终止。

根据全能型终身寿险保费缴纳的要求模拟数据如表1所示:

本文采取20组模拟的数据(假设对应的20个被保人是同质的), 利用EViews画图如图1所示，对其进行分析如表2所示。

假定保险公司认为可能发生的理赔额度分别为：其中这些理赔额随保险公司要求而不同。结合模型，假定m=9，假设每个被保险人的核保结果不同。因此，为了方便讨论，假定如表3所示。

因此对应地有q1=0.1583, q2=0.1279, q3=0.1065, q4=0.0888, q5=0.0717, q6=0.0561, =, q8=0.0301,

由 (1) 与 (2) 得到值如表4所示:

由 (4) 式可以得知:

其中, 由图1所示曲线, 可以认为在某期初所缴保费按随机额度所呈的随机变量是近似服从正态分布的, 且由于全能寿险的特殊性, 在缴纳保费总额为保险公司所规定的前提下, 保费是随机的, 投保人的前一个缴费额对其后续缴费额构成一定程度的影响, 也就是说缴费额之间非独立, 因此, (6) 式中的概率

是非独立随机变量和的概率分布问题, 在变量个数较少的情况下可用卷积公式等计算, 也可用试验的方法以出现不等式的频率近似替代概率。在变量个数较多的情形, 此问题显得比较复杂, 可以借鉴非独立变量和的极限分布的成果来考虑, 在此不再赘述。已有许多学者做了保费相互独立或者条件更加宽松 (如同单调) 情况下的破产概率[3,4,5]的研究, 本文不再详细讨论之。

参考文献

[1]孙立娟, 顾岚.保险公司破产概率的估计及随机模拟[J].系统工程理论与实践[J].2000, (7) .

[2]中国太平洋人寿保险股份有限公司.太平洋寿险保险条款系列[Z].

[3]Gerber H.U.An Introduction to Mathematical Risk Theory[M].Philadelphia:S.S.Heubner Foundation MonographSeries 8, 1979.

[4]R.卡尔斯, M.胡法兹, J.达呐, M.狄尼特.现代精算风险理论[M].唐启鹤, 胡太忠, 成世学, 译.北京:科学出版社, 2005.

[5]N.L鲍尔斯, 等.风险理论[M].郑温瑜, 余跃年, 译.上海:上海科学技术出版社, 1995.

破产概率 篇2

引入一类相关负风险和风险过程,负风险和类之间的相关性定义为稀疏相关结构,主要研究类之间的`相关性对破产概率的影响.

作 者：孙红梅 张春生 王过京 Sun Hongmei Zhang Chunsheng Wang Guojing 作者单位：孙红梅,王过京,Sun Hongmei,Wang Guojing(苏州大学数学系,江苏,苏州,215006)

张春生,Zhang Chunsheng(南开大学数学科学学院,天津,300071)

破产概率 篇3

关键词 线性红利界；干扰；双复合Poisson风险模型；破产概率

中图分类号 O211．6 文献标识码 A

Ruin ProbabilityintheRiskModelwithPerturbance underaLinearDividendBarrier

ZHONG Chao-yan

(School of Mathematics and Information Sciences,Qujing Normal University,Qujing,Yunnan 566011,China)

Abstract Takeing into account the actual operating of an insurance company withrandom income and the dividends strategy, a double compound poisson processes risk model with perturbancl under a linear dividend barrier was established. By using martingale ,the formula and theupper bound of ruin probability in this new model were obtained.

Key words linear dividend barrier;perturbance; the risk model with double compound poisson processes; ruin probability

1 引 言

在Lundberg-cramer经典风险模型中，为了数学处理方便，给了许多假定条件和简化．而由于保险业务的复杂性，在某些情况下，这些假定条件和简化并不一定是合适的．因此，后继的研究者对它从许多方面作了推广，并且有些研究已比较完整和深入（如文献［1-5］等）．为了从保险精算的角度来考虑股份制保险公司的红利分配问题，当前国际保险精算界非常关注对引入红利的保险风险模型的研究（如文献［6-7］等）．从当前对红利模型理论研究的现状来看，一般可以分成两类：一类是最优红利问题；一类是红利与破产的问题．为了丰富风险模型的研究，克服有关局限性，加强模型的预警和现实描述能力，考虑到保险公司收益具有的不确定性和分红策略，在前人对红利边界风险模型推广研究的基础上，建立一类具有线性红利界和带随机扰动的双复合Poisson风险模型，利用鞅方法给出模型关于破产概率的一个定理及上界，并给出数值算例．

2 建立模型

建立带随机干扰的双复合Poisson风险模型：

R(t)=u+S1(t)－S2(t)+σW(t)，

S1(t)=∑N1(t)i=1Xi，S2(t)=∑N2(t)j=1Yj，t≥0.（1）

其中,u=R(0)(＞0)是初始盈余；{N1(t),t≥0}、{N2(t),t≥0}分别是参数为λ1(λ1＞0),λ2(λ2＞0)的Poisson过程，它们分别表示(0,t)内保费收取的次数和索赔次数；{Xi,i≥1}、{Yj,j≥1}分别表示第i次保单到达随机收取的保费和第j次索赔的索赔量，它们是i.i.d的非负r.v序列，cdf分别为FX(•)和FY(•)，mgf分别为MX(r)＜

和MY(r)＜

，E［X］=μ1＜

，E［Y］=μ2＜

； {W(t),t≥0}为一标准布朗运动,σ＞0为一常数，σW(t)表示保险公司的不确定收益；{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0},{W(t),t≥0}、{Xi,i≥1},{Yj,j≥1}相互独立．

为了保证公司的稳定经营，假定单位时间内的平均保费收入大于平均理赔额．

在模型（1）基本假设不变下，设定一个线性红利界限y=b+qt，其中b为初值（u≤b），q为递增速率（0＜q＜λ1μ1）．这样只要盈余在红利界限以下，便不发放红利；若盈余在红利界限以上，每单位时间便发放λ1μ1－q的红利，直至下一次索赔发生．这样的运作结果可使得盈余一旦超越红利界限便驻留在边界上．于是得一新的盈余过程：

dR(t)=dS1(t)+σdW(t)－dS2(t) , R(t)＜b+qt,qdt+σdW(t)－dS2(t),R(t)=b+qt.（2）

令T=Tb(u)=inf {t≥0|R(t)≤0}为模型（2）的破产时刻；Ψ(u,b)=P(Tb(u)＜

|0≤u≤b)为模型（2）的最终破产概率．

3 主要结果

引理1 模型（1）的Lunderg方程为λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22=0，它有非平凡正解为R，并称R为模型（1）的调节系数．

证明 对h＞0和r∈R，可得

E［exp (－r(R(t+h)－R(t)))］

=E［e－r［S1(t+h)－S1(t)］e－rσ［W(t+h)－W(t)］er［S2(t+h)－S2(t)］］

=eh(λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22).

故模型（1）的Lunderg方程为

λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22=0．

令g(r)=λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22，则g(0)=0，r→

，g(r)→

，且

g″(r)=λ1M″X(－r)+λ2M″Y(r)+σ2

=λ1E［X2e－rX］+λ2E［Y2erY］+σ2≥0，

所以g(r)=0必有一非平凡正解R．

引理2 方程sq+Rq=λ1(MX(s)－1)+λ2(MY(－s)－1)+σ2s22有唯一正解s=S，其中R为调节系数．

证明 方程sq+Rq=λ1(MX(s)－1)+λ2(MY(－s)－1)+σ2s22可改写为

λ1MX(s)+λ2MY(－s)

=((λ1+λ2)+Rq)+sq－σ2s22.

当s=0时，上式左端小于右端；再由于左端是凸函数，右端是开口向下的二次函数，故恰有两个解：平凡解s=－R及非平凡解s=S．

引理3 对于存在线性红利界限的风险模型（2），若函数

v(x,t)=exp (－Rx)+RSexp (Sx－

(R+S)(b+qt))，t≥0，0≤x≤b+qt,

其中,R，S同引理1与引理2所设，则{v(R(t),t)}为一鞅．

证明 对于存在线性红利界限的风险模型（2），为了寻找函数v(x,t)，t≥0，0≤x≤b+qt，使{v(R(t),t)}为一鞅，只要函数v(x,t)满足［1］

lim h→0E［v(R(t+h),t+h)|Ht］－v(R(t),t)h=0.（3）

在(t,t+h)时间内讨论如下情况：

1）没有保费收入，也没有索赔发生；2）没有保费收入，有一次索赔发生；

3）有一次保费收入，没有索赔发生；4）有一次保费收入，有一次索赔发生．

可知，当{v(R(t),t)}满足条件：

σ222vx2+vt+

λ1∫

0v(x+z,t)dFX(z)+λ2∫

0v(x－y,t)dFY(y)－(λ1+λ2)v(x,

t)=0,x＜b+qt.（4）

σ222vx2+qvx+vt+

λ2∫

0v(x－y,t)dFY(y)－λ2v(x,t)=0,

x=b+qt（5）

时式（3）成立，所以{v(R(t),t)}为一鞅．这样，可以转而寻找这样一个函数v(x,t)，它使得方程（4）对所有x与t皆成立，并满足

vx=0，x=b+qt .（6）

考虑函数

v(x,t)=exp (－Rx)+RSexp (Sx－(R+

S)(b+qt)).

由引理1、引理2知函数v(x,t)满足式（4）与式（6），故{v(R(t),t)}为一鞅．

定理存在线性红利界限的风险模型（2）的最终破产概率Ψ(u,b)满足：

Ψ(u,b)=exp (－Ru)(1+RSexp (－(R+S)(b－u)))E［exp (－RR(T))+RS

exp (－(R+S)(b+qT)+SR(T)|T＜

］，0≤u≤b.

其中,R，S同引理1与引理2所设．

证明 设

z(t)=exp (－RR(t))+RSexp (SR(t)－

(R+S)(b+qt)),

则由引理3知{z(t)}为一正鞅，对任意固定的t0，T∧t0是有界停时，利用有界停时定理有

E［z(T∧t0)］=E［z(0)］

=e－Ru{1+RSexp ［－(R+S)(b－u)］}.

由全期望公式得

E［z(T∧t0)］=E［z(T)|T≤t0］，

P(T≤t0)+E［z(t0)|T＞t0］P(T＞t0),

在上式两端令t0→

，由单调收敛定理和Lebesgue控制收敛定理知

E［z(0)］=E［z(T)|T＜

］Ψ(u,b)+

E［z(

)|T=

］(1－Ψ(u,b)).

由于lim t→

R(t)=+

,a.s.，故z(

)=0,a.s.，进而

Ψ(u,b)=exp (－Ru)(1+RSexp (－(R+S)(b－u)))E［exp (－RR(T))+RSexp (－(R+S)(b+qT)+SR(T)|T＜

］．

推论存在线性红利界限的风险模型（2）的最终破产概率Ψ(u,b)满足：

Ψ(u,b)≤exp (－Ru)(1+RS•

exp (－(R+S)(b－u)))，0≤u≤b.

其中,R，S同引理1与引理2所设．

下面给出一个数值算例.

例 假设保单的到达速率为λ1=20张/天，理赔速率为λ2=0.01次/天，FX(x)=1－e－x和FY(y)=1－e－0.001y．下面在不同假定条件下计算风险模型（2）最终破产概率的理论上界.

1）在假定u=1，b=2，q=11的条件下，计算不同σ下的R、S和最终破产概率的理论上界可得表1.

从表1中可以看出，在考虑投资收益等干扰因素的条件下，调节系数随着扰动强度的增大而减小；最终破产概率的理论上界随着调节系数的减小而增大；这与追求高收益的激进的投资策略往往带来高风险的实际是相符的．因此保险公司应当注意控制投资策略的平稳性，尽量避免大的波动.

2）在假定σ=1，u=1，q=11的条件下，计算不同b下的最终破产概率的理论上界可得表2.

从表2中可以看出，最终破产概率的理论上界随着b值的增大而减小；这与b设置得越高，意味着保险公司不倾向于过度分配当期盈利，所分配的红利就越少，相应的实际偿付能力就越强的实际是相符的．

3）在假定σ=1，u=1，b=2的条件下，计算不同q下的S和最终破产概率的理论上界可得表3：

从表3中可以看出，最终破产概率的理论上界随着q值的增大而减小；这与q设置得越大，意味着保险公司每单位时间发放的红利就越少，相应的实际偿付能力就越强的实际是相符的．

4 结 论

为了加强模型的预警和现实描述能力，考虑到投资收益等干扰因素的偏差对保险公司财务稳定的影响和分红策略，建立了一类具有线性红利界和带随机扰动的双复合Poisson风险模型，并利用鞅方法给出了模型关于最终破产概率的一个定理及上界，推广了不含红利和不带随机扰动时的相应结果，通过数值算例可以看到，所建模型是符合保险实际的，这对保险公司科学地预测未来的风险和收益，确保经营稳定性有一定的实际意义．

参考文献

［1］ H U Gerber.数学风险论导引［M］.成世学，严颖译.北京:世界图书出版社，1979.

［2］ J GRANDELL. Aspects of risk theory［M］. New York:Springer-Verlag,1991.

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［5］ 何树红,赵金娥,马丽娟.带干扰的双复合Poisson风险模型的破产概率［J］.吉首大学学报:自然科学版，2005,26(3):43-48.

［6］ 宗昭军，胡锋,元春梅．具有线性红利界限的破产理论［J］．工程数学学报，2006，23（2）319-323．

［7］ 江五元，武坤,任小华．带红利线的双复合Poisson过程风险模型的破产概率［J］．经济数学，2005,22(3):276-278.

新型风险模型下的破产概率研究 篇4

一、随机利率下的古典盈余过程

其中: (1) u为初始盈余, u≥0;

(3) c为单位时间内收取的保费;

二、新型盈余过程风险模型的构造

其中, Nj服从参数为λ的泊松分布, Wi服从参数为a的指数分布。

此时保险公司的最终破产概率为

破产时刻:T=min{t:t≥0且U (t) <0}

三、破产概率上界的计算

针对括号内进行放缩:

原式

故有

摘要：文章提出了一种研究盈余过程风险概率模型的新思路, 从另一个角度给出了破产概率的新定义, 并在此方面做了进一步的探讨。

关键词：风险模型,破产概率

参考文献

[1]肖俊喜.保险公司破产概率及其随机模拟分析[J].统计与信息论坛, 2003 (6)

[2]张华斌, 孙勇.具有Markov链利率的风险模型的破产研究[J].科学技术与工程, 2010, 10 (24) :5876-5980

[3]Jarrow, R., Lando, D., and Turnbull, S.M.Amarkov model for the term structure of credit riskspread.Review of Financiai Studies, 1997, 10:481-523.

[4]Cramer H.Collective Risk Theory[Z].Stockholm:SkandiaJubilee Volume, 1955.

破产概率 篇5

保险模型的破产概率问题一直是风险理论和精算数学领域研究的重点和热点。从经典的Cramér Lundberg模型开始, 许多学者在对此作出了巨大的贡献。比如Mikosch[1]指出, 在上述模型中, 若破产概率满足Cramér条件, 且在安全负载条件为正数的情况下, 那么它是一个关于初始资金成指数衰减形式的函数;$\text{Κ}\text{l}\stackrel{..}{{\displaystyle \text{u}}}\text{p}\text{p}\text{e}\text{l}\text{b}\text{e}\text{r}\text{g}{}^{[2]}$在此基础上将其拓展到Lévy过程上, 得出了更具一般意义的结果。

最近关于破产概率问题的研究越来越倾向于考虑保险公司会将它们的盈余资金进行投资而不是将它看成单纯的固定资产, 这更符合实际意义, 比如许多社保基金投资于股票市场就是一个例子。Paulsen[3], Kalshnikov[4]等对这种类型的破产概率问题进行了深入的研究。

1 理论结果

在Pergamenshchikov[5]文中, 假设投资市场为一标准的布朗运动所驱动, 即

dVt=Vt (adt+σdwt) (1)

式 (1) 中 (wt, t≥0) 为标准布朗运动, a>0, σ>0, 从而建立了带有投资风险的保险模型, 其盈余过程为

$X{}_t=u+a{\displaystyle \int }{}_0^{t}X{}_s\text{d}s+\sigma {\displaystyle \int }{}_0^{t}X{}_s\text{d}w{}_s+{\displaystyle \int }{}_0^{t}c{}_s\text{d}s-{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}{}_t}\xi }{}_i$ (2)

式 (2) 中u为初始资金, ct为保费率, a≥0, σ≥0为常数, Nt是服从参数α的复合泊松过程, ξi (i=1, 2, …, t) 为一组独立同分布的随机变量, 其共同的分布为F, 令域$F{}_{\text{t}}=\delta \{w{}_s‚{\rm N}{}_s‚{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}{}_s}\xi }{}_i‚0\le s\le t\}$, 则假设ws, Ns, ξi (i=1, 2, …, s) 在域Ft的定义上是相互独立的, ct=c (t, X) 为关于域Ft适应的有界非负函数。

定义 令T>0为任意时间, 则称如下两概率:ψ (u, T) =P{X${}_t^u$<0:∃t∈ (0, T]};ψ (u, T) =P{X${}_t^u$<0:∃t>0}, 分别为有限时间破产概率和无限时间破产概率, 其中X${}_t^u$是初始值为u的盈余过程。

基于上述定义, 有如下结论:

1) 若σ2>2a, 则ψ (u) ≡1;

2) 若0<σ2<2a, 令$\beta =\frac{2a}{\sigma {}^2}-1$, $J(\beta )=\frac{2\alpha }{\sigma {}^2\beta {}^2}(1{}_{\{0＜\beta \le 1\}}+j{}_1(\beta ){}_{\{1＜\beta \le 2\}}+j{}_2(\beta ){}_{\{\beta ＞2\}})$,

其中$j{}_1(\beta )=\beta (1+\rho {}^{-1})‚j{}_2(\beta )=\beta 2{}^{\beta -1}(1+((1+\rho ){}^{\frac{1}{\beta -1}}-1){}^{1-\beta })‚\rho =\rho (\beta )=\frac{(\beta -1)}{\sigma {}^2}2\alpha$.。

定理1 若β>0, 且Eξ${}_1^{\beta }$<∞, 则$\underset{u\to \infty }{{\displaystyle \lim \sup }}u{}^{\beta }\psi (u)\le C{}^{*}(\beta )$, 其中C* (β) =J (β) Eξ${}_1^{\beta }$。

证明详见文献[5]。

但是在实际当中, 保险公司一般不会将所有的盈余都拿去做风险投资, 那样风险太大, 它们一般会选择一个投资策略, 即一部分做风险投资, 一部分购买无风险的债券。下面研究此类投资策略的破产概率上界。

假设无风险债券P (t) 的利率为常数r, 则

dP (t) =rP (t) dt (3)

风险投资V (t) 定义同式 (1) , 对于盈余过程X (t) 的投资可以分为两部分N0 (t) 和N1 (t) , 即X (t) =N0 (t) V (t) +N1 (t) P (t) , 为简单起见, 假设N0 (t) ≡q (q为常数) , 即投资策略为成比例投资, 则:

dX (t) =qdV (t) + (1-q) dP (t) 。

将式 (1) 和式 (3) 代入可得

dX (t) =qV (t) (adt+σdwt) + (1-q) rP (t) dt=

qrV (t) dt+ (1-q) rP (t) dt+q (a-r) V (t) dt+qσV (t) dwt=rX (t) dt+q[ (a-r) V (t) dt+σV (t) dwt] (4)

由C-M-G定理, 令$\text{d}B{}_t=\text{d}w{}_t+\frac{a-r}{\sigma }dt$, 则 (4) 式可变为

dX (t) =rX (t) dt+qσV (t) dBt, 将V (t) =qX (t) 代入得

dX (t) =rX (t) dt+q2σX (t) dBt=[r+q2 (a-r) ]X (t) dt+q2σX (t) dwt。

再将初始值, 保费率及赔偿额度考虑进去, 写成积分为

$X{}_t=u+[r+q{}^2(a-r)]{\displaystyle \int }{}_0^{t}X{}_s\text{d}s+q{}^2\sigma {\displaystyle \int }{}_0^{t}X{}_s\text{d}\text{w}{}_s+{\displaystyle \int }{}_0^{t}c{}_s\text{d}s-{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}{}_{{\rm T}}}\xi }{}_i$ (5)

令${\beta }^{\prime }=\frac{2[r+q{}^2(a-r)]}{q{}^4\sigma {}^2}-1$, $J({\beta }^{\prime })=\frac{2\alpha }{q{}^4\sigma {}^2{\beta }^{\prime }{}^2}(1{}_{\{0＜{\beta }^{\prime }\le 1\}}+j{}_1({\beta }^{\prime }){}_{\{1＜{\beta }^{\prime }\le 2\}}+j{}_2({\beta }^{\prime }){}_{\{{\beta }^{\prime }＞2\}})$其中$j{}_1({\beta }^{\prime })={\beta }^{\prime }(1+\rho {}^{-1})‚j{}_2({\beta }^{\prime })={\beta }^{\prime }2{}^{\beta -1}(1+((1+\rho ){}^{\frac{1}{{\beta }^{\prime }-1}}-1){}^{1-{\beta }^{\prime }})‚\rho =\rho ({\beta }^{\prime })=\frac{({\beta }^{\prime }-1)}{q{}^4\sigma {}^2}2\alpha$。

利用定理1, 可得

定理2 若β′>0, 且Eξ1<∞, 则$\underset{u\to \infty }{{\displaystyle \lim \sup }}u{}^{{\beta }^{\prime }}\psi (u)\le C{}^{*}({\beta }^{\prime })$, 其中C* (β′) =J (β′) Eξ1。

从定理2可以看出, 与定理1相比其中β改为β′, 在β′中增加了一个比例系数q。也就是说在模型 (2) 中, a, r, σ等系数都为常数, 没有选择的余地。而在带成比例的投资模型 (5) 中, 我们却可以通过调节比例系数, 找到一个最优的投资策略, 使得破产概率达到最小。

2 数值模拟及对比分析

通过R软件中的数值模拟方法模拟出式 (2) 的破产概率估计值, 然后再与定理1的理论值进行对比分析。

易知ψ (u, T) <ψ (u) , 当T→∞时, ψ (u, T) →ψ (u) 。因此, 在实际模拟当中, 只要取T为一比较大的正数, 得出ψ (u, T) 的值就可以近似作为ψ (u) 的估计值, 同时, 也易知此估计值是略小于真实值的。模型中理赔过程是服从参数α的复合泊松过程, 那么可知理赔发生等待的时间就服从参数为α的指数分布。因此, 先模拟出一组理赔发生时刻和相应理赔额度的数据。也就是说, 如果在一小时间段[ (k-1) h, kh]内发生理赔, 那么S就等于相应的理赔额度;如果在[ (k-1) h, kh]内没有发生理赔, 那么S的值为零。然后进行判断, 如果存在一个k>0使得Xkh<0, 就说发生了破产。这样重复模拟n次, 发生破产的次数与模拟次数之比就作为所要求的ψ (u) 的估计值。具体操作上不妨假设ct≡c (c为常数) , 对于初始资金u的取值, 因为定理是以极限的形式给出的, 所以要求取一个相对来说比较大的初始值u, 即当u相当大时, 则存在一个相对来说比较小的正数ε, 使得ψ (u) <u-β[C* (β) +ε], 近似地有ψ (u) ≤u-βC* (β) 。对于布朗运动的模拟, 由于wkh-w (k-1) h是服从${\rm N}(0‚\sqrt{h})$的正态分布, 所以产生一个相应的随机数与之对应即可。

下面用Euler方法得到盈余过程X的迭代公式:

Xkh=X (k-1) h+ahX (k-1) h+σX (k-1) hZk+ch-S, k=1, ···, T/h , 其中h表示步长, Zk是一列独立同分布服从正态分布${\rm N}(0‚\sqrt{h})$的随机变量。令F (x) =1-e-x, n=500, h=0.01, u=20得到模型的破产概率的上界并与数值模拟估计值结果如表1。

从表1中可以看出, 保费率c及增长系数α与理论上界和模拟破产概率大小成负相关, 扰动系数σ及赔偿间隔α与理论上界和模拟破产概率大小成正相关。这不难理解, 当收益率和增长系数越大, 破产概率越小, 符合实际情况;而扰动系数越大, 表示投资环境就越不稳定, 公司也就越容易发生破产, 当赔偿次数增多时, 破产概率随之增大也是符合常理的。不足之处是实际的模拟值较之理论上界还是有一段距离的, 但是可以看到, 随着时间T的增大, 破产概率ψ (u) 也随之增大。因此, 我们认为虽然上述模型求出的理论上界与实际模拟数值有些偏差, 但是结果并没有偏离方向, 说明用上述方法求上界还是有一定实用性的。

3 小结

引入了成比例的的投资策略, 使得可以通过调节比例系数来达到控制破产概率的目的, 但是文章中并没有提出行之有效的方法, 需要作进一步的研究;通过对比, 发现模型的理论上界有些偏大, 与实际的模拟值有偏差, 这说明虽然上述模型求出的上界值有很高的理论价值, 但还不够精确, 有待于改进和完善。

参考文献

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[8]劳斯S M.随机过程.何声武, 谢盛荣等, 译.北京:中国统计出版社, 1997

破产概率 篇6

我们引入随机利率下的复合Poisson-Geometric风险模型:

其中,Yt为t时刻资产余额,0时刻的资产余额为Y0=u;u=u(0)≥0为保险公司的初始准备金;,是一个服从复合Poisson-Geometric分布的余额过程;c为单位时间内收取的保费;{Xi,i=1,2,3…}是一列非负独立同分布的随机变量,Xi表示第i次的索赔额,其共同分布为;点过程{N(t);t≥0}是服从参数为λ,ρ的poisson-Geometric过程,N(t)称为(0,t]时间内的索赔次数,且与{Xi,i=1,2,3…}互相独立;T1,T2,…称为索赔时刻,且独立同分布;{Rt;t≥0}是利率过程,本文假设它是一个过程,且与{Ut,t≥0}是相互独立的。若假设0时刻资产为1,则t时刻达到;同样的,若t时刻资产1,则0时刻到达。

本文主要讨论了带随机利率的复合Piosson-Geometric风险模型,利用Yt在跳点处具有马氏性这一性质,导出破产概率满足的积分方程,然后又分别对{Rt,t≥0}为标准布朗运动和漂移布朗运动时的破产概率进行了研究。

记T=inf(t:t≥0,Yt<0}表示破产发生时刻,若对于∀t≥0都有Yt≥0≥0,则T=∞。Ψ(u)=Pr(T<∞)=Pr(inft>0Yt<0)表示初始盈余为u的最终破产概率。

下面先给出复合Piosson-Geometric过程的定义。

定义1设,λ>0,0≤ρ<1,称{N(t),t≥0}为参数λ,ρ的复合Piosson-Geometric过程,如果满足:

(1)N(t)=0;

(2){N(t),t≥0}具有平稳增量;

(3)对t>0,有N(t)~PG(λt,ρ),且。

其中,ρ被称为偏离系数,它刻画了风险事件与赔付事件之间的差异,当ρ=0时,复合Piosson-Geometric过程退化为复合Piosson过程,故PG分布是poisson分布的一种推广。

定义2称随机变量S对应的概率母函数所对应的分布为复合Piosson-Geometric分布,记为PG(λt,ρ),其中λ>0,0≤ρ<1。

注:我们之所以称之为复合Piosson-Geometric分布,是因为我们可以用以下方法得到此分布:设随机变量N服从参数为λ/ρ的复合Piosson分布,{ξi}是独立的服从参数为1-ρ的复合Geometric分布,记:,则S的矩母函数为。

设Sn=YTn,n=1,2,3…,则,且满足S0=u。

设为X1的分布函数,再令的联合密度函数为p(y,z)。-

定理1:对于n=1,2,3…,且u≥0,破产概率满足:

证因为{Sn},n=1,2,3,…具有强马氏性,X1与(A,B)相互独立,有:

令X1=x,A=y,B=z,当x>uy+cz,则保险公司在发生第一次索赔时破产,即Pr(S1<0│X1=x,A=y,B=z)=1;

当x<uy+cz,Pr(S1<0│X1=x,A=y,B=z)=0有:

综上可知,结论成立。

定理2破产概率的下限:

证∵Ψ(u)为递减函数,利用0<uy+cz<u,有:

整理后即得结论。

当Rt为非负的过程时,我们又可以得到破产概率Ψ(u)的上限。

引理1假设Rt≥0,且存在常数R>0,满足:

E(exp{R(X1-cB)})=1

定理3对任意u>0,有:

此处:

证:对任意的ω>0,我们构造等式如下:

那么,由上式,对u≥0有:

因为:

利用cai(2004)推论2.3中的证明,可得结论成立。

引理2:令Rt为标准布朗运动,即Rt=Bt,则的联合密度函数为gt(y,z),有:

定理4:如果Rt=Bt,则破产概率满足:

证由定理1,我们可知:

引理2:令Rt为漂移布朗运动,即Rt=δt+σBt,δ>0,σ为漂移系数,则的联合密度函数为:

这里εr(u)的取值与引理2的相同。

定理5:如果Rt=δt+σBt,破产概率满足如下积分方程:

证法与上相同。

参考文献

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[2]王广华,吕玉华,王洪波.随机利率下的Erlang(2)风险模型[J].应用数学,2006,19(2):395-400.

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