概率概念（精选6篇）
概率概念 篇1
一、确定事件与随机事件
(一)对确定事件与随机事件的认识
在现实生活中人们身边发生着许许多多的事件,有些是确定的,有些是不确定的. 引入确定事件与随机事件是生活实际的需要,也是数学内部知识发展的需要, 同学们常常需要在不确定情境中做出合理的决策.
同学们在学习时要联系日常生活,从自己身边的点点滴滴去观察和体会确定性与随机性.
(二)对确定事件与随机事件概念的 理解
1. 确定事件:像成语“水中捞月”是不可能发生的,是确定事件. 像“种瓜得瓜, 种豆得豆”是必然发生的,也是确定事件. 也就是说,在一定条件下一定能发生或一定不能发生的事情都是确定事件.
2. 随机事件:生活中多数是随机事件. 像“天有不测风云”、“东边日出西边雨”等都是随机事件.
(三)确定事件的分类
确定事件分为不可能事件和必然事件,像“杞人忧天”就是不可能事件,像“瓜熟蒂落”就是必然事件.
同学们在学习必然事件、不可能事件、随机事件的概念时不必记忆,而应该注重理解,当然也要避免钻“牛角尖”.
例1下列事件中,哪些是随机事件? 哪些是确定事件?是确定事件的哪些是不可能事件,哪些是必然事件?
(1)明天上学途中会遇到红灯;
(2)打开电视机,影视明星正在做广告;
(3)代数运算中,a+b=b+a成立;
(4)盒子中有10个相同的白球,搅匀后从中任意摸一个,摸到的是白球;
(5)放学回到家中,电话铃正在响.
[随机事件是(1)、(2)、(5),确定事件是(3)、(4),其中(3)、(4)是必然事件.]
二、可能性的大小
生活中发生着大量的随机事件,这些随机事件发生的可能性也是有大有小的.
(一)我们按照发生的可能性的大小, 依次认为:
(1)“不可能事件”就是一定不发生, 发生的机会是0;
(2)“随机事件”就是发生的机会介于0到100% 之间;
(3)“必然事件”就是一定发生,或者说发生的机会是100%.
我们今后主要研究随机试验中事件发生的可能性的大小问题.
(二)随机事件按照发生的可能性的 大小,大致有这样一些:
(1)“不太可能发生”是指发生的机会很小,但不是0,所以它不是“不可能”;
(2)“可能发生”是指有时会发生,有时不会发生,或说发生的机会介于0和100% 之间;
(3)“很有可能发生”是指发生的机会很大,但不是100%,它不等于“必然发生”.
例如,表格左栏是五个装着一些彩色小球的口袋,右栏是5个愿望,请必须为每一个愿望找一个口袋,使这一愿望最有希望实现.
(①对应D,②对应C,③对应A,④对应B,⑤对应E.)
三、频率与概率
(一)对频率与概率的认识
在概率部分,本章通过介绍一些有关概率论起源的小故事、掷硬币试验、蒲丰投针问题与几何概率等历史事实,培养学生的应用意识,认识到现实生活中蕴含着大量的与概率有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题并用数学方法予以解决.
(二)对概率和频率概念的理解
概率是一种现象的固有属性,例如一枚均匀的硬币,随意抛掷,正面出现的概率就是1/2. 这跟你的实验是没有关系的. 而频率,就是一组实验中关心的某个结果出现的次数比上所有实验次数的比值,和实验密切相关. 一般来说,随着实验次数的增多,频率会接近于概率. 比如你抛掷均匀的硬币10 000次,出现正面的频率就会非常接近于概率0. 5.
在实际生活中,我们也常把实验次数很大时事件发生的频率作为概率的近似值.
例下面是某批乒乓球产品质量检查结果表:
(1)将表中未完成的空格填好.
(2)观察所填数字,优等品频率m /n稳定在哪个数值附近?
(3)从这批乒乓球中随机取一个优等品的概率大约是多少?
[(1)表中五个空依次为:0.92、0.97、0.94、0.954、0.951;(2)优等品频率m /n稳定在0.95附近;(3)优等品的概率大约为1 902/ 2 000 =0.95.]
当然我们现在学习的还只是初步的概率知识,今后还会接触到更深入的内容. 在生活中,概率应用是很广泛的,尤其是对某些事情的推断或数据的统计,都需要用到. 我们在本章学习中要掌握以下内容:
1. 理解什么是必然发生的事件、不可 能发生的事件,什么是随机事件.
2. 在具体情境中了解概率的意义,体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型,理解概率的意义,发展随机观念.
3. 能够计算简单事件发生的概率.
4. 能够通过实验,获得事件发生的频率;知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值;理解频率与概率的区别与联系;能够设计满足条件的概率模型.
5. 通过实例进一步丰富对概率的认 识,并能解决一些实际问题.
6. 理解进行模拟实验的必要性,能根 据问题的实际背景设计合理的模拟实验.
7. 体会随机观念和概率思想.
概率概念 篇2
课 题 实 施 方 案
铜仁市南长城小学：六年级组
一、课题的提出
在以信息和技术为基础的今天，数据成为一种重要的信息，为了更好的理解世界，人们必须学会处理各种信息；尤其是数字信息。收集、整理与分析信息的能力已经成为信息时代每个公民基本素养的一部分。在小学阶段，开展《统计与概率领域中统计概念及综合实践教学的有效性研究》，是小学数学课堂教学有效性研究的深入，是从“统计与概率”这一层面来探索实施新课程，促进学生发展的有效途径，它对于推进小学数学课堂教学改革，提高学生的数学素养具有十分重要的意义。
首先，“统计与概率”课堂教学的有效性研究有助于培养学生以随机的观点来理解世界，形成正确的世界观和方法论。
日常生活中，我们会接触到纷繁复杂的数字语言信息，这实际上是人们对客观世界中某些现象的一种描述，其中涉及大量的数据，面对这些数据，统计与概率的思想方法将越来越重要。统计与概率所提供的“运用数据进行推理”已成为现代社会一种普遍适用的思维方式。因此，研究统计与概率的有效教学，引导学生掌握这一基本思想方法，使学生逐步形成统计观念，认识随机现象，不仅能培养学生尊重事实，用数据说话的态度，而且能够从小培养学生科学的世界观和方法论。
其次，开展这一课题研究有利于培养学生解决问题的能力，形成统计观念。在教学统计与概率的过程中，将会涉及到解决问题、计算、推理、以及整数、分数、比值等知识，这实际上是知识综合运用的过程。课堂教学不能停留在表面的数据上，也不能把一些统计概念当作一些知识点进行训练，而是要亲历数据分析的过程，体验“数据是有信息的，信息是可以加工和提取的，信息是能够为人服务的。”
统计与生活实际是密切联系的，在收集数据、处理数据以及利用数据进行预测，推断和决策的过程中包含着大量的活动，完成这些活动需要正确的统计思想观念的指导。统计的学习，让学生通过收集数据的活动，学习收集数据的方法，感受收集数据结果的不确定性和多样性，通过整理和描述数据的活动，学习表示数据的方法，体会统计图表在统计工作中的作用；能过分析数据并根据统计结果进行判断和预测的活动，学习分析数据的方法，感受用统计分析数据的合理性与可能性。通过从事统计全过程的活动，让学生认识统计在社会生活和科学领域中的应用，感受自然界和社会中大量的随机性以及随机性中存在规律性的统计学最基本的思想，建立统计的观念。
其三，开展这一项课题研究，有助于培养学生对数学积极的情感体验。统计与概率这一领域的内容对学生来说是充满趣味和吸引力的，动手收集与呈现数据是一个活动性很强并且充满挑战和乐趣的过程。做概率游戏本身就是对思维的一种挑战，也是一个非常有趣的过程，它将大大地激发学生对数学积极的情感体验，有利于学生数学素养的形成。
二、研究的主要内容
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、描述和分析以及对事件发生的可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。《新课程标准》中的“统计与概率”作为义务教育的阶段数学课程的四个学习领域之一，从小学第一册起就安排了相关学习内容，并对各学段的内容标准作了具体的说明和阐述。如：一年级下册的《分类与整理》就初步让学生学会按形状或颜色进行分类；二年级上册的《数学广角—搭配》让学生初步尝数字的试搭配方法，掌握规律了就不会重复了。二年级下册的《统计》就初步的让学生学会用统计表进行统计，从而认识统计表进行统计的科学性。《找规律》要求引导学生认识现实生活中一些图案的排列规律。三年级上册中的《可能性》要求学生结合具体事例能判断某一现象的可能、不可能还是一定。《数学广角》中继二年级上册的搭配，要求学生能掌握穿衣服的搭配方法，并掌握按一定的方法进行搭配才不会重复。这都属于综合运用知识范畴。三年级下册《统计》要求学生能进行简单的数据分析并能用条形统计图来描述，知道条形统计图能清晰的反映数量的多少。掌握求平均数的方法，并能求几个数的平均数。《数学广角》则要求学生能用集合的方式对一些数据或信息进行整理。这样表示就更清楚，一目了然。四年级上册《统计》继三年级下册的条形统计图基础上，深入学习。会绘制复式条形统计图。从而认识复式条形统计图的优点。《数学广角》属于综合运用知识范畴。主要是引导学生了解日常生活中的生活常识，合理安排才能节约资源，节约时间。四年级下册《统计》是继前面三、四年级的基础上，学会绘制折线统计图，并认识折线统计图不仅能反映数量的多少，还能清晰的描述数量的增减变化情况。《数学广角》主要让学生掌握植树的各种问题（两端栽、两端都不栽、只栽一端），学会根据要求解决实际问题。五年级上册《统计与可能性》继前面内容的基础上，要求学生掌握各现象产生的可能性，在求平均数的基础上，认识中位数，并能区别中位数与平均数。《数学广角》主要是引导学生认识生活中的身份证编码及邮政区号等各数位意义。五年级下册《统计》在前面统计的基础上，认识众数，并知道众数能反映一组数据的集中情况，并且会绘制复式折线统计图。《打电话》的学习让学生明白怎么合理安排，从而节约时间。六年级上册《扇形统计图》继前面条形统计图和折线统计图基础上，让学生明白用扇形统计图来进行统计能清楚的反映各数据占整体的百分比。《数学广角—数与形》让学生从列中发现规律数形结合，发现计算规律。六年级下册《统计》是对前面统计图知识的综合应用，发现进行统计时要因实际情况进行分析。从而知道当有一不指定的量出现时，有时就无法判断另一个量。《数学广角》结合生活具体事例，让学生动手实践发现事物产生的必然可能条件。
“实践与综合运用”这部分新增内容注重让学生在教师引导下，在已有知识体验的基础上，从所熟悉的现实生活中发现、选择和确定问题，主动应用知识解决问题的学习活动，体现了一种现实性、问题性、实践性、综合性的学习过程。因此，“实践与综合应用”是小学数学教学中的一个全新领域，在课改中备受关注。
《统计与概念领域中统计概念及实践与综合运用教学有效性研究》，这一课题不仅关注“统计与概率及综合应用”知识层面，而且关注教学方法、教学策略层面。作为一个课题，我们确定了如下几个方面的研究内容：
1、关于小学数学“统计与概率”、实践与综合运用”教学现状、存在问题的研究。
2、在统计、实践与综合运用知识教学中，如何培养学生结合生活实际，进行数据的收集，记录和整理能力，数据的分析、处理并由此作出解释，推断与决策能力等有效教学策略研究。
3、培养学生用数据表示可能性大小并对事件作出合理推断的和预测的有效教学方法研究。
4、在统计与概率、综合运用教学中，创设教学情境，促进教学有效性研究。
5、在统计与概率及综合运用教学中，构建有效教学模式的研究。
三、研究方法
1、本课题以案例研究法和行动研究为主。
案例研究法是对典型的课堂教学实录进行分析研究，归纳整理出有效的行为方式。
行劝研究法即在教学的过程中，边实践、边探索、边检验、边总结，把研究与课堂教学实践紧密地结合起来。
2、本课题以文献法和调查法为辅。文献分析法作为学习理论，收集信息的主要方法，其中信息资料主要来源于教育理论书籍、报刊杂志以及网络下载的相关资料等。通过对这些资料信息的分析研究，制定阶段研究目标与实施方案，在课题研究过程中不断修正研究的方向等目的，还可以用之作为培训老师的素材，以提高课题研究的实际效用。
调查法主要调查本课题研究之初课堂教学的现状，师生理解情况以及对研究过程，研究之后的状况进行详细跟踪调查，为研究顺利进行提供事实性依据。
四、课题研究的步骤，目标及要求
本课题研究坚持以整体性原则为基础，以量力性原则为条件，以科学性原则为过程，以理论性原则为前提，以教学有有效性为目标，以合作参与为支撑，形成研究的合力，推动课题研究，具体分三个阶段进行。
第一阶段：课题准备阶段（2014.9—2015.1）
1、课题申报，成立课题研究小组，制订研究方案。
2、组织教师围绕课题研究的目标与任务进行理论学习，进行研究办法培训，引导教师从整体上把握研究的目标方向。
3、举行开题报告会。第二阶段：课题实施阶段（2015.3——2016.6）
1、分学期分阶段组织实施：①课题组制订研究计划，实验教师拟订个人研究计划，做到研究目标明确，阶段任务明确，既通力协作，又有各自研究的子课题。②召开课题研讨会，进行课堂数学观察，收集典型案例，进行深层次分析。
2、每个学期具体任务是：推出10节研究课，提炼10篇典型案例，开展5次研讨活动，进行阶段总结，编辑一本成果集，达到思路清晰，过程具体，活动扎实，富有成效。
第三阶段：课题总结阶段（2016.7——2016.9）。
这一阶段的主要任务是总结课题研究经验，撰写研究报告，举行结题报告会，并将研完成果结集出版，总结、推广、应用研究成果。
五、课题的组织管理
（一）组织机构
1、课题领导小组组长：张绍文
成员：陈克 杨飞 石伶俐 杨琼 申璇 刘健 吴廷秀 余廷芬 彭雁
2、课题实验小组 组长：刘 健
成员：陈克 黄晓英 王建花 黄海龙
（二）课题管理
1、本课题由教务处组织实施，进行管理与指导。
2、具体管理措施：①组织制订方案和阶段计划；②组织开展研讨活动，作好过程记载；③组织检查、考评、总结；④每学期组织一次成果评选。
六、课题研究成果形式
1、实验方案；
2、实施计划（包括个人子课题研究计划）；
3、研究报告；
4、典型案例和研究论文；
概率概念教学的取与舍 篇3
概率的概念教学目前也成了各地教师教学比赛的一个热点. 我听过多场关于概率概念教学的评比课，也参加了课后的研讨，结合我自身对“随机事件的概率”这一节课的教学感受，对概率概念的教学内容的取舍有以下两点思考.
一、关于“抛投硬币”实验的取舍
“抛投硬币”是教材上提供的一个经典的实验.
1. “抛投硬币”实验有没有必要操作
在每次评课的过程中，都有老师争论这个实验到底有没有必要去做.
觉得没有必要操作、可以把这个实验舍去的老师认为，这个实验其结果是显而易见的. 尤其是高中学生都清楚最后的结果是0. 5，并且在小学和初中阶段也有接触过类似内容. 由于学生已经知道了这个结果，其追求未知事物的热情度必然就下降了，那么学生在操作过程中就会出现敷衍了事，浪费课堂时间. 人的经验分为直接经验和间接经验，直接经验是一个人亲自参加实践总结出来的经验，也指实际知识；间接经验是一个人从他人那里获得的经验，其中最重要的是书本知识. 间接经验是人类积累下来的宝贵精神财富，从个人的能力来说，由于生命与精力的限制、实践条件的限制，一个人不可能、也没必要事事亲身实践去获得知识. 一个比较著名的例子就是“开普勒三定律”的发现. “开普勒三定律”，也叫“行星运动定律”，是指行星在宇宙空间绕太阳公转所遵循的定律，因德国天文学家开普勒发现而得名. 但是开普勒发现这一定律是在丹麦天文学家第谷20多年积累的观测资料基础上完成的. 称为“星子之王”的第谷在天体观测方面获得不少成就，死后留下20多年的观测资料和一份精密星表. 当时作为第谷助手的开普勒利用了这些观测资料和星表，进行新星表编制. 经过10多年的努力，最终发现了“开普勒三定律”. 如果说开普勒抛弃第谷的观测资料不用，自己重新观测一遍，估计还得花费20多年，最终还有没有精力去研究并发现“行星运动定律”呢？所以只有虚心学习前人留下来的宝贵知识，才能根据新的实践总结出新的知识，从而发展认识. “抛投硬币”实验前人已经做过很多次了，也已得出了正确的结论，那么我们就没有必要再去重复了.
觉得有必要操作、必须保留该实验的老师认为，认识的来源只有一个，即实践. 通过实践培养学生一种精神，那就是不要轻易对什么东西深信不疑，就算大家都对某一件事深信不疑，自己也要大胆怀疑并组织实验验证，就像伽利略验证两个铁球是否同时落地一样. 希腊权威思想家亚里士多德曾经断言：物体从高空落下的快慢同物体的重量成正比，重者下落快，轻者下落慢. 比如说，十磅重的物体落下时要比一磅重的物体落下快十倍. 1800多年来，人们都把这个错误论断当做真理而信守不移. 直到16世纪，伽利略才发现了这一理论在逻辑上的矛盾. 伽利略说，假如一块大石头以某种速度下降，那么，按照亚里士多德的论断，一块小些的石头就会以相应慢些的速度下降. 要是我们把这两块石头捆在一起，那这块重量等于两块石头重量之和的新石头 ，将以何种速度下降呢？如果仍按亚里士多德的论断，势必得出截然相反的两个结论. 一方面，新石头的下降速度应小于第一块大石头的下降速度，因为加上了一块以较慢速度下降的石头，会使第一块大石头下降的速度减缓；另一方面，新石头的下降速度又应大于第一块大石头的下降速度，因为把两块石头捆在一起，它的重量大于第一块大石头. 这两个互相矛盾的结论不能同时成立，可见亚里士多德的论断是不合逻辑的. 伽利略进而假定，物体下降速度与它的重量无关. 如果两个物体受到的空气阻力相同，或将空气阻力略去不计，那么两个重量不同的物体将以同样的速度下落，同时到达地面.
为了证明这一观点，1589年的一天，比萨大学青年数学讲师，年方25岁的伽利略，同他的辩论对手及许多人一道来到比萨斜塔. 伽利略登上塔顶，将一个重100磅和一个重1磅的铁球同时抛下. 在众目睽睽之下，两个铁球出人意料地差不多是平行地一齐落到地上. 面对这个无情的实验，在场观看的人个个目瞪口呆，不知所措.
这个被科学界誉为“比萨斜塔试验”的美谈佳话，用事实证明，轻重不同的物体，从同一高度坠落，加速度一样，它们将同时着地，从而推翻了亚里士多德的错误论断. 这就是被伽利略所证明的，现在已为人们所认识的自由落体定律. “比萨斜塔试验”作为自然科学实例，为实践是检验真理的唯一标准提供了一个生动的例证.
我认为以上两种意见都是正确的. 但是在讲授“随机事件的概率”这一课时还是要做实验的，通过实验让学生充分感受不确定事件是可以重复发生的；充分感受不确定事件发生的可能性是有大小的；充分体验不确定事件发生的可能性大可以用数量来刻画；充分体验某一事件发生的可能性与该事件及所有事件的多少有关. 用实验来推断时，随着实验次数的增多，其发生的可能性大小会稳定在某一个数附近. 如果离开学生亲身经历过的实验，这四个方面的感受就不会充分，肯定影响学生对随机事件的认识.
２. “抛投硬币”实验能否用其他实验代替
既然“抛投硬币”实验结论太过明显，那么能不能找一个结论看不出来的实验来代替呢？比如说“蒲丰投针”实验. 用这个实验来代替，我认为不妥. 因为我们的教学对象是刚刚接触概率的学生，他们对概率的认识不可能很深刻，甚至仅仅是一些直觉上的认识. 而“蒲丰投针”实验涉及几何概型的知识，学生在理解上显然还没达到这样的高度. 所以，我们应该要想方设法构造一些操作不复杂、所涉及内容不深、结论不明显的实验. 比如抛投一颗图钉，估计顶尖朝上的概率大小. 此时，学生可以从不同角度出发做出不同的猜测，最后通过实验解决问题.
二、对“随机事件概率范围的辨析”的取舍
在讲概率概念的过程中，老师会设计几个问题以引导学生对概率范围的理解. 比如“必然事件的概率为多少？”、“不可能事件的概率为多少？”、“随机事件的概率为多少？”对于前面两个问题，学生都能做出准确回答；但是对于“随机事件”的概率，学生直观上就理解为0＜P＜1. 那么，对于这样一种错误的理解，教师应该怎样处理？要纠正吗？如何纠正？大多数老师的做法就是举例纠正，但是举的例子都是涉及到几何概型的知识，或者说是一些非离散型的例子. 但是这两种例子都超出了学生的认知范围，我觉得还不如不举例，就直接告知学生：“目前我们学到的随机事件的概率大小都是在范围内的，但是在今后的学习中，我们还会碰到概率等于0和概率等于1的随机事件，因此随机事件的概率应该为［0，1］. ”因为举的例子过于复杂或者深奥，不但学生不理解，甚至还会混淆了他刚刚建立的数学概念. 比如小学一年级学生学减法的时候，经常会向老师提问：“1-2等于多少？”那么这个时候，教师最明智的做法就是告诉学生：“我们现在学的就是大的数减小的数的减法，至于小的数减大的数的减法就留到后面再学. ”如果你非要给他讲“1-2等于多少？”不但教不了学生什么内容，而且还会把他们刚刚建立的减法运算给弄糊涂了.
教学要符合学生的认知，超出学生认知范围的教学，学生不但不接受，可能还会起到负面作用.
对于一些超出学生认知水平的概念，即使再优美，也要舍之不要；对于有些概念的外延即使不一定十分正确，但是如果有助于学生理解概念，教学中也可以借助.
由概率概念引发的几点思考 篇4
一概率的三种定义形式及由此引发的思考
1. 概率的统计学定义
在概率理论形成的早期, 数学家们往往通过大量的重复试验来确定某一随机事件发生的可能性。历史上有多位数学家做过抛硬币试验, 结果见下表:
由上表得出结论:随着试验次数的逐渐增多, 正面向上这一事件发生的频率总在0.5附近摆动, 而逐渐地稳定于0.5, 数字0.5就称为抛硬币试验正面向上这一事件发生的频率。这时我们也认为它的概率为0.5。这就是概率的统计定义。从这个定义的过程中我们不难看出:随机事件的概率不能从试验中直接得到, 无论我们进行多少次试验, 也不可能从试验本身得到这个精确值0.5。而且, 这个值也不是频率的极限值, 而只是我们认为的一个稳定值。大家也许会产生疑问:这个值为什么不取0.49、0.499、0.501、0.5001……呢?结论是:概率不是频率的近似, 也不是频率的极限, 是大量次试验所得频率的一个稳定值。我们完全可以通过大量次试验接近它。历史上第一个对“当试验次数逐渐增大, 频率稳定在其概率上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最著名的学者雅各布贝努利 (公元1654年~1705年) 。相同条件下一个事件发生的概率是一个常数, 而频率会随着样本空间的变化而变化, 但随着样本的增加, 频率会越来越集中于一个常数, 该常数就是概率。所以用频率估计出来的概率是不准确的, 会有误差。
2. 概率的公理化定义
1933年苏联数学家AH柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义。设E为任一随机试验, A是它的一个事件, 对事件A赋予一个实数P (A) , 若P (A) 满足非负性 (P (A) ≥0) 和规范性 (P (A) 在0和1之间) , 则称P (A) 为事件A发生的概率。这就是概率的公理化定义。我们可以想象数值P (A) 是怎么得出的。我们不会疑惑为什么要赋值、怎样赋值、为什么不赋其他数值?显然定义本身并没有给出明确的答案。
3. 概率的古典定义
从以上概率的三种定义形式, 我们可以得出这样的结论:概率是随机现象本身所固有的属性, 是偶然现象之中的必然, 是不定事物中的确定结果, 是随机事件结果发生可能性的定量表示, 我们可以量化它。但是, 用确定值表示不确定情况本身就有缺陷, 概率论和其他数学理论一样, 往往寻求最规则、最理想、最简单的问题解决模式 (如古典概型、贝努利概型) , 它的结论是基于逻辑而不是直观。如抛硬币试验正面向上的概率为0.5, 它就是一个理想、规则、合理化的数字, 它是由逻辑推出的。这种试验符合理想状态, 试验人、试验器具也完全符合理想规则。总之, 严格的推理比感官知觉的对象更真实, 因为感官的对象是易变的、不完备的, 而理想的东西是永恒的。如何定义概率, 如何把概率论建立在严格的逻辑基础上, 是概率理论发展的困难所在。数学家们对这个问题的探索持续了近三个世纪, 17世纪末逐步形成并诞生了概率论。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度与积分理论使概率论更加完善。
二对现实生活中两个随机现象的概率解释
1. 对“某地区明天下雨的概率为0.8”的理解
这句话有以下两层意思: (1) 说明了过去发生的情况。它表明在过去有记录的若干年中, 类似气象条件下有80%的时候下雨了, 这种是已经发生了的, 统计结果是准确无误的。 (2) 可以推断明天的情况:明天下雨的可能性大些, 但具体是否下雨不确定。我们不能说概率大就发生, 甚至, 明天下雨的概率为0.99, 也不一定下雨。我们要有正确的思想认识, 概率是针对大量重复试验而言的, 试验反映的规律并非在每一次中都反映出来。从这个意义上来看, 即使某一事件发生的概率很大, 在一次试验中也不一定发生;同样某一事件发生的概率非常小, 在一次试验中也可能发生, 发生的概率是0.01和0.99在对试验的结果确定上没有质的区别。这些思想对我们处理现实问题是有帮助的, 我们尽可能地避免做必输无疑的事情, 但也不能忽略细小的安全问题。
2. 对购买体育彩票的看法
现在人们的生活富裕了, 有了余钱和有一部分人存在着一夜暴富的心理, 促使彩票市场很红火, 参与博彩的人几乎涵盖了各个行业和各个年龄段, 同时几乎每天都在制造着百万富翁、千万富翁。彩民们在长时间的投注中会发现一些很实用的方法, 如集中投注、分散投注、随机投注……现以200元钱投注七星彩为例, 方法一:每次任选一个号码投注100次 (每注2元) ;方法二:固定一个号码投注100次 (每天投注一次) ;方法三:一次投注100个不同的号码 (大面积押宝) , 我们想一想哪种投注方法更好呢?我们不妨计算一下:
从上面的计算可知, 它们中奖的可能性是相同的, 即为十万分之一, 这完全符合随机现象结果随机性的理论。不然, 数学家就不工作而转去投注彩票了。一些彩民往往费尽心思寻找数字发生的规律性, 甚至有的说应验了自己总结的规律, 猜到了结果, 这纯属巧合, 从概率本身来讲这种规律是不可靠的, 下一次发生什么结果是不可预测的, 所以说彩票行业无专家。我们必须认清理论的指导性, 以平常心看待随机结果。不中大奖是正常的, 中了则是出现了奇迹, 是小概率事件发生了。但是, 随着彩民的不断增多和投入时间的延长, 产生大奖是可能的, 这就是小概率事件发生的规律性。
参考文献
[1]龙永红主编.概率论与数理统计 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2004
概率概念 篇5
频率与概率
定义1:在相同条件下重复n次实验, 事件A发生的次数m与实验总次数n的比值称为频率。
定义2:大量重复进行同一试验时, 事件A发生的频率总是接近某一常数p, 并在它附近摆动, 这个常数p叫做事件A的概率。
两者之间的关系:概率来源于频率, 它是大量独立重复试验时频率的稳定值。因此, 频率是概率的先导, 而概率是频率的抽象和发展。频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小, 但频率本身是随机的, 在实验前不能确定, 无法从根本上刻画事件发生可能性的大小。概率是随机事件发生的可能性大小的数量反映, 是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定后的值, 即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率, 但二者不能简单地等同。
在大量重复实验的条件下频率可以近似地作为这个事件的概率。一般地, 用频率近似代替概率的例子并不多见, 以下这个例子既有很好的实际意义, 又能较好地体现频率与概率之间的联系。
例1:新药的效果
一种治疗某种疾病的新药, 在500名病人中, 有的服了这种药, 有的没有服这种药 (B) , 5天后, 有的痊愈, 有的未痊愈 (AB) , 各种情况的人数见表1, 其中170表示服药后痊愈 (AB) 的人数, 其余类似。试判断这种新药是否有效?
解:比较服药后痊愈与未服药痊愈事件概率, 由于试验共500例, 试验次数相当大, 故可用频率近似地估计概率:。因为p (B) 与p (B|A) 几乎相等, 故可认为事件B与A相互独立, 表明服药和不服药对治疗效果不大, 新药对这种疾病无意义。
评析:本题只给出了数学统计表, 且试验次数较大, 因此, 用频率去估计概率给问题的解决带来了很大的方便。根据本问题提供的条件直接求事件的概率是很困难的。
互不相容事件与相互独立事件
定义3:设A、B为两个事件, 若AB=Φ, 则称A、B互不相容。
定义4:如果两个事件A与B满足等式P (AB) =P (A) P (B) , 则称事件A与B是相互独立的。
两者之间的关系:两事件“互不相容”是指这两个事件不能同时发生, 是用事件的运算来描述的。而“相互独立”则是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响, 是用事件的概率来描述的。两事件“互不相容”时, 这两个事件之间有很强的依赖关系。“两事件相互独立必定互不相容”的认识是错误的。
一般情况下, 两件互不相容的事件不一定相互独立, 两个相互独立的事件也不一定互不相容。只有满足条件:P (A) P (B) =0时, 这两者才能相互推出。
为了让学生更好地区别这两个极易混淆的概念, 在选择例题的时候要有针对性地选择一些学生比较容易理解又比较简单的事件, 这样学生在遇到一些比较复杂的事件时, 才能更好地区分。
例2:盒子里装有m只白球, k只黑球, 做有放回的摸球试验, A表示“第一次摸到黑球”, B表示“第二次摸到白球”;则A和B是相互独立但不是互不相容的。
例3:52张扑克牌平均分给甲、乙、丙、丁4个人, A表示甲得3张K, B表示乙得两张K;则A与B互不相容但不相互独立。
例4:甲投篮命中率为0.8, 乙投篮命中率为0.7, 每人投3次, 两人恰好都命中2次的概率是多少?解:设“甲恰好投中两次”为事件A, “乙恰好投中两次”为事件B, 且A、B相互独立, 则两人都恰好投中两次为事件, 于是
评析:常有学生会这样认为:所求事件为A+B,
这样做错误的原因就是把相互独立同时发生的事件当成了互不相容的事件。
互不相容事件与相互对立事件
定义5:“事件A不发生”称为事件A的对立事件, 记为A軍。
互不相容事件与相互对立事件的联系与区别是: (1) 两事件对立, 必定互斥, 但互斥未必对立; (2) 互斥的概念适用于多个事件, 但对立概念只适用于两个事件; (3) 两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生, 即至多只能发生其中一个, 但可以都不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
例5:把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人, 每个人分得1张, 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是:
A.对立事件;B.不可能事件;C.互斥但不对立事件;D.以上均不对。
正解:事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件, 这两个事件可能恰有一个发生, 也可能两个都不发生, 所以应选C。若把“互斥”与“对立”混同就很容易错选A。
这道例题的巧妙之处在于事件本身比较简单, 如果有学生仅从字面上理解对立, 很容易错选。
多个事件两两独立与相互独立
定义6:n个事件Ai (i=1, 2, ……, n) 两两独立是指:
定义7:n个事件Ai (i=1, 2, ……, n) 相互独立是指:
两者之间的关系:相互独立可以推出两两独立。反之未必。
以下两个例子很巧妙地说明了相互独立与两两独立之间的关系。
例6:设有一个均匀的正四面体, 第一、二、三面分别涂上红、黄、蓝一种颜色, 第四面涂上红、黄、蓝三种颜色。现以A、B、C分别记投一次四面体底面出现红、黄、蓝颜色的事件, 则。所以, A、B、C两两独立, 但, 因而A、B、C不相互独立。
评析:两两独立有可能不相互独立。例7:设有一均匀正八面体, 其第1、2、3、4面涂有红色, 第1、2、3、5面涂有黄色, 第1、6、7、8面涂有蓝色。现以A、B、C分别表示投一次正八面体, 底面出现红、黄、蓝颜色的事件, 则
评析:P (ABC) =P (A) P (B) P (C) 成立, 但A、B、C并不一定两两独立。
条件概率P (A|B) 与乘积概率P (AB)
定义8:在B发生的情况下, A发生的概率即为条件概率, 记为:P (B|A) 。
定义9:乘积概率P (AB) 表示事件A、B同时发生的概率。
两者之间的关系:, P (AB) =P (A|B) P (B) .
在讲解这两个概念的时候, 选择能在同一道题目里同时考察两个概念的例题, 可以比较好地帮助学生比较和辨别。
例8:袋中有9个白球1个红球, 作不放回抽样, 每次任取一球, 取2次, 求: (1) 第二次才取到白球的概率; (2) 第一次取到的是白球的条件下, 第二次取到的也是白球的概率。
分析:问题 (1) 是求第一次取到红球且第二次取到白球这一积事件的概率, 而问题 (2) 则是求在第一次取到白球的条件下, 第二次取到白球的条件概率。
例9:甲、乙两厂共同生产1000个零件, 其中300件是乙厂生产的。而在这300个零件中, 有189个是标准件, 现从这1000个零件中任取一个, 问: (1) 这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少? (2) 若发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?
解:设A={零件是标准件}, B={零件是乙厂生产}, 则问题 (1) 所求为P (AB) 。。问题 (2) 所求为P (A|B) 。。
例10:聋盲人群中又聋又盲可能性大小问题。
在某一人群中, 聋子的概率是0.005, 盲人的概率是0.0085, 而聋子中是盲人的概率是0.12, 求: (1) 这个人群中任意一人, 又聋又盲的概率; (2) 求盲人中是聋子的概率。
解:A={此人是聋子}, B={此人是盲人}。依题意有P (A) =0.005, P (B) =0.0085, P (B|A) =0.12, 所求概率是P (AB) 。由乘法公式得P (AB) =P (A) ·P (B|A) =0.005×0.12=0.0006。而P (A|B) 表示盲人中是聋子的概率, 故
概率统计是实际应用性很强的一门数学学科。实践表明, 教师在教学过程中如果能够精心选取既具有实用背景, 又能对阐明基本概念有帮助、能提高学生兴趣的例题, 可以使原本抽象、枯燥难懂、容易混淆的数学理论变得有血有肉、有滋有味, 可以激发学生的求知欲望, 提高学生对课程的学习兴趣, 取得较好的学习效果。
山西1.18亿元确保中等职业教育免费“全覆盖”
近日, 从山西省财政厅获悉, 为确保2012年秋季学期将对所有中职学生免除学费, 确保山西省中等职业学校免学费工作的顺利实施, 近日山西省财政下达了春季免学费中央和省级资金约1.18亿元。据了解, 此次下达资金惠及山西省19.5万名职业高中、职业中专学生, 2.1万名技校学生以及约4.1万名普通中专家庭经济困难学生、涉农专业学生、顶岗实习困难专业的学生。
2011年中等职业教育免学费全覆盖被山西省政府列为加快推进全省农村公共事业新的“五个全覆盖”工程之一。按照规划, 山西省计划用两年时间实现中等职业教育免学费全覆盖。2011年秋季学期, 职业高中全部在校学生和“送教下乡”学生首先享受到免学费政策;今年秋季学期, 免学费政策覆盖范围将扩大到普通中专学校和技工学校全部在校学生, 实现中职教育免学费全覆盖。
山西省要求各级财政、教育、人社等部门要加强免学费补助资金的科学化、精细化管理, 严禁“一边免费、一边收费”, 杜绝通过虚报学生数套取补助资金的现象发生。中等职业学校必须严格按照规定的范围与标准支出。同时, 加强学校财务管理和资产管理等基础性工作。建立健全会计账簿, 规范会计核算, 确保免学费资金使用的规范和有效。各级财政部门要与教育、人力资源社会保障、价格、审计、监察等有关部门密切配合, 齐抓共管, 加强对免学费政策落实情况和资金使用情况的监督检查。
(中国政府网)
参考文献
[1]茆诗松, 程依明, 濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社, 2004.
[2]陈希孺.数理统计引论[M].北京:科学出版社, 2007.
[3]谢兴武, 李宏伟.概率统计释难解疑[M].北京:科学出版社, 2007.
[4]刘国庆, 王勇.改革课堂教学方法探索概率统计教学的最佳模式[J].大学数学, 2003 (3) .
概率概念 篇6
关键词：启发式教学,条件概率,随机事件间的独立性
一、引言
我国古代大教育家孔子曾论述:“不愤不启, 不悱不发”, 意指对教师来讲, 应该通过自己的外因作用, 调动起学生的内因的积极性。启发式教学, 就是根据教学目的、内容、学生的知识水平和知识规律, 运用各种教学手段, 采用启发诱导办法传授知识、培养能力, 使学生积极主动地学习, 以促进身心发展。
对于我们三本经管类院校的学生, 其数学基础相对薄弱, 如何在学习数学时提高他们的学习积极性是至关重要的。而学习积极性在很大程度上和教师的主导作用有直接关系, 因此在全课教学中进行启发式教学, 提高学生学习积极性, 从而全方位地提高学生的能力。启发式教学对于教师的要求就是引导转化, 把知识转化为学生的具体知识, 再进一步把学生的具体知识转化为能力。教师的主导作用就表现在这两个转化上, 引导是转化的关键。下面我以《概率论与数理统计》中的条件概率、随机事件相互独立的概念的讲解为例, 为大家介绍一下我平时在课堂中是如何运用启发式教学法的。
二、教学目标
在教师的引导下, 学生们通过自己的演绎推理出条件概率的定义式, 进而看透其本质, 会应用它解决实际问题。随机事件间的独立, 这里的“独立”和我们平时说的“独立”有何区别?通过教师的引导让学生把随机事件A、B间的独立性与概率等式P (AB) =P (A) P (B) 等价起来, 进而得出引入独立性数学定义的必要性。
三、授课模式
在指导学生学习的过程中, 是“授之以鱼”还是“授之以渔”, 每一位有远见的教师都会选择后一种答案。教师在授课过程中应逐步引导学生掌握解决问题的方式方法, 让学生直接参与探索教学, 充分发挥学生的主观能动性, 开发学生的创新能力, 使学生在学习中有成就感, 这样有利于培养他们确立科学的态度和掌握科学的方法。就像我最喜欢的一句英文格言所说“I hear, I forget.I see, I remember.I do, I understand.”
我的做法是, 在课堂上着重问题的创设, 提供氛围, 让学生在实践活动中发现问题, 着手解决问题, 使学生成为学习的主人, 教师则成为学生的“协作者”。
1. 条件概率。
描述性定义:在已知事件A发生的条件下, 事件B发生的概率, 称为条件概率, 记作P (B |A) .
问题:条件概率P (B |A) 如何定义、计算?
引例1请同学们思考如下问题:
抛掷一枚均匀的骰子, 观察其出现点数的情况。设事件A为“偶数点出现”, 事件B为“4点出现”。现在来求已知事件A发生的条件下, 事件B发生的概率。
求解:引导学生分析出已知和所求。
已知:样本空间Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A={2, 4, 6}, B={4}.
所求:条件概率P (B |A) .
再引导学生画出如下文氏图:
显然利用上述信息, 原来的样本空间Ω缩减为A可得
其中1是事件AB中的样本点个数, 3是事件A中的样本点个数, 而样本空间共包含6个样本点。到此处, 同学们就很容易想到了古典概率的计算公式, 可得出
由学生自己总结归纳出, 只要在P (A) >0的条件下, 上述式子中的头尾部分具有一般性, 就可得到条件概率的数学定义:
定义1设A, B是样本空间Ω中的两个事件, 如果P (A) >0, 那么在事件A发生的条件下, 事件B发生的条件概率P (B A) 定义为
思考:你是否能写出在事件B发生的条件下, 事件A发生的条件概率P (A| B) 公式?
显然学生会得到如下定义:
设A, B是样本空间Ω中的两个事件, 如果P (B) >0, 那么在事件B发生的条件下, 事件A发生的条件概率P (A| B) 定义为
2. 两个事件间的独立性。
描述性定义:两个事件A和B相互独立, 直观含义是指事件A和B在发生可能性 (概率) 上相互没有影响。
问题:如何定量描述事件A和B在概率上相互没有影响?
此处提醒学生注意“相互”二字, 所以考虑两个方面:
(1) “在概率上, 事件A不影响事件B”, 等价于说, P (B A) =P (B) .
结合上面学习的条件概率定义得
(2) “在概率上, 事件B不影响事件A”, 等价于说, P (A| B) =P (A) .
结合上面学习的条件概率定义得
思考:由上述两个方面我们得到什么结论呢?
事件相互独立的数学定义:设A和B是任意两个随机事件, 如果P (AB) =P (A) P (B) , 则称事件A和B相互独立, 简称独立。
此处举个例子, 来熟悉应用一下该定义:
例考察抛掷两枚均匀骰子的试验, 记事件A为“第一枚点数为4”, 事件B为“第二枚点数为3”, 请判断A和B是否独立?
本题利用古典概率和独立性定义很容易得出结论, A和B是相互独立的。但是有同学会发出这样的疑问:老师, 我们从自己的经验也能知道A和B是相互独立的, 为什么还用这样的概率等式去验证呢?为消除学生的疑问, 我又在本题的基础上加上一问:记事件C为“两枚点数之和为7”, 判断A和C是否独立?通过这一问的解决, 学生自己会意识到直观经验有时会误导我们, 从而理解了随机事件的独立性及引入其严格的数学定义的必要性。
对一些学习能力、基础比较弱的学生, 以引导为主, 通过引导, 来掌握一些上课时不容易掌握的内容, 不让他们失去学习的兴趣, 并通过一些启发激发他们更好地学习这门课程, 变被动的“灌输”式为主动的“汲取”式。
现代教育思想明确指出:“最有效的学习方法就是让学生在体验和创造的过程中学习”。教学, 是要通过教师的工作使学生爱学、会学。学生的学习是否有学习积极性非常重要, 启发式教学的关键就是调动学生的学习积极性。
参考文献
[1]茆诗松, 周纪芗.概率论与数理统计[M].北京:中国统计出版社, 1999.