稳定概率

稳定概率（精选6篇）

稳定概率 篇1

0 引言

建筑结构损伤识别是力学反问题中的重要研究课题之一。国内外许多学者已成功利用神经网络解决了结构损伤识别问题。C.Y.Kao和Shih-Lin Hung利用损伤前后变化的振型来识别一个五层三维框架结构的损伤[1];P.C.Kaminskif分别采用自振频率、频率变化量以及正则化的频率变化率作为网络输入参数, 并对三者的有效性进行比较[2];崔飞 (2000) 和Hejela (1990) 根据结构静态位移观测数据提出了基于局域优化搜索策略的结构损伤识别方法[3];徐宜桂 (1997建立了基于结构损伤后第一阶振型变化识别结构损伤部位和大小的方法[4];李伟 (2000) 和李守巨 (2001) 提出了基于遗传算法的结构参数识别方法[5,6]。本文应用概率神经网络 (PNN) , 验证了作为模式分类工具的概率神经网络对岩土边坡稳定性预测这一类问题的有效性。

1 概率神经网络 (PNN)

概率神经网络是一种适用于模式分类的径向基神经网络, 它是由一个径向基网络层和一个竞争网络层组成。PNN的早期研究工作是同贝叶斯分类器一起发展的, 贝叶斯定理提供了完成最有分类的方法, 因而它成为评价其它分类方法好坏的标准。与传统的BP网络相比, PNN除保留BP网络所具有的学习、归纳和并行计算的特征外, 主要有以下几方面的优点:

1.1 快速运算。由于PNN一次完成, 不需要学习, 因而它大约比BP网络大约快五个数量级。

1.2 有足够的训练数据, 不管训练数据矢量与类别之间具有多么复杂的关系, PNN能够保证收敛到贝叶斯分类器, 而BP算法却可能在一个局部最优处中断, 无法保证得到一个全局最优的满意解。

1.3 PNN允许在训练集中添加或删除数据而不需要重复训练, BP算法对训练集的任何变动都需要对整个训练过程重复进行。

1.4 PNN给出一个指示基于决策的可信度大小的结果, 而BP神经网络却不能提供这样的可信度指示。

2 基于PNN神经网络的边坡稳定性预测

大量的工程经验表明, 影响边坡稳定性的因素主要有:边坡岩土体的物理力学性质、边坡的几何形态、地下水、外部载荷等。其中岩土体的物理几何性质主要由岩土体的密度、岩土体的内聚力以及内摩擦角控制;边坡的几何形态主要由边坡的坡角和边坡的高度控制;地下水的影响由孔隙压力比控制。

本文采用文献[7]中的41个边坡实例作为神经网络的训练样本, 选用另5个作为测试数据, 利用PNN神经网络对其进行边坡稳定性预测, 预测的结果和边坡的实际情况的对比见表3.1所示。

下面是本算例的神经网络设计:

%输入样本点

与实际值完全相符, 由此可得将概率神经网络用于结构损伤识别具有很大的潜力。

3 结论

边坡稳定性问题是一个高度非线性问题, 利用神经网络的高度非线性映射能力预报边坡的稳定性, 能克服数值分析法理论和实际相差较大的缺陷。用概率神经网络进行边坡稳定性预测, 实际上是根据测试样本于各类训练样本之间的距离来确定测试样本属于哪一类, 从而确定边坡状态的, 而BP网络是通过模式识别功能对测试样本进行识别的。就边坡稳定性预报而言, 用概率神经网络进行稳定性预报总体上比BP网络具有更高的正确率。

参考文献

[1]C.Y.Kao, Shih-Lin Hung.Detection of structural damage via free vibration responses generated by approximating artificial neural networks.Comput.Structures, 2003, 81 (28-29) :2631-2644.

[2]Kaminski P C.The approximation location of damage through the analysis of natural frequencies with artificial neural networks[J].Journal of Process Mechanical Engineering, 1995, 209 (E2) :117-124.

[3]崔飞, 袁万城, 史家钧.基于静态应变及位移测量的结构受损识别方法.同济大学学报, 2000, 28 (1) :5-9.

[4]宜桂, 史铁林, 杨叔子.基于神经网络的结构损伤模型修改和破损诊断研究.振动工程学报.1997.10 (1) :8-12.

[5]李伟.基于遗传算法的非线性迟滞系统参数识别.振动与冲击.2000.19 (1) :8-11.

[6]李守巨, 刘迎曦, 王登刚.基于遗传算法的结构振动参数识别.中国矿业大学学报.2001.30 (3) :27-32.

[7]Sah N K.Maximum likehood estimation of slope stability.Int.J.Rock Mech.Min.Sci.&Geomech Abstr.1994.31 (1) :47-53.

雅砻江某滑坡稳定性概率分析 篇2

1 概率分析的基本理论

1.1 分析思路

针对现场试验得到的样本数据, 确定参数的分布状态, 检验其可靠性, 对参数进行估计, 利用蒙特卡洛模拟法进行计算机抽样, 产生符合状态变量概率分布的n组随机参数, 计算得到安全系数FS的n个随机数, 其中m个不大于1, 则边坡失稳频率为m/n, 当n足够大时, 根据大数定律[2], 此时频率已经接近概率, 可得边坡的破坏概率:Pf=p{g (x1, x2, x3, …, xn) ≤1}=m/n。

1.2 试验样本数据的处理

1.2.1 排除异常数据

样本参数服从正态分布[3], X=N (μ, σ) , 检验步骤如下:

1) 计算样本的平均值$\overline{X}$及标准差s (无偏估计) ;

2) 选定危险率α, 常用5%或1%;

3) 异常数据判定。

按子样容量和某一概率查GrubbsT (n, α) 表, 得临界值T (n, α) , 令${\rm T}=\frac{\overline{x}-x{}_i}{s}‚\text{Δ}x=|\overline{x}-x{}_i|$, 则$\text{Δ}x=s\cdot {\rm T}(n,\alpha )‚x{}_{\min }^{\max }=\overline{x}\pm \text{Δ}x$, 测试数据的正常值的上下限应满足xmin<xi<xmax, 当被检验的子样数据超出这个正常范围时, 可作为异常数据剔除[4]。

1.2.2 参数估计

Bayes公式表达:

其中, p″ (θi) 为后验概率;p′ (θi) 为先验概率;$p(\frac{z}{\theta {}_i})$为试验概率[5]。

对于连续的情况, Bayes公式可表示为:

f″ (θ) =κL (θ) f′ (θ) [6]。

其中, f″ (θ) 为验后概率密度函数;f′ (θ) 为先验概率密度函数;L (θ) 为似然函数;κ为归一化常数。

当随机变量θ的后验分布概型与先验分布概型一致时, 后验分布的均值和方差分别为:

如果随机变量θ的先验分布为f′ (θ) 正态分布N[u′, (σ′) 2], 则似然函数L (θ) 为正态分布N[u*, (σ*) 2], 验后分布f″ (θ) 亦为正态分布N[u″, (σ″) 2], 其均值u″和方差 (σ″) 2分别为[7]:

1.2.3 数据运算

根据参数的均值方差, 利用蒙特卡洛模拟法进行计算机抽样, 得到n组数据, 代入GEOSLOPE软件进行运算, 得到n组安全系数, 对其进行分析可得到滑坡体的失稳概率。

2 工程应用

2.1 滑坡体概况

该滑坡位于四川凉山州木里县雅砻江中游河段某库区。滑坡体边坡坡度30°～40°, 据钻孔、平洞揭露, 滑坡体由表层崩坡积层、块石层及滑带土组成。表层崩坡积层主要为碎石土, 厚2.0 m～25.0 m, 灰黄色, 稍实, 见植物根, 碎块石呈棱角、次棱角状, 成分为砂质板岩、变质砂岩、大理岩。滑坡堆积块石层:基本保持原岩的结构及层理, 大部分块石层的层理中倾角倾向山外, 部分地段变形, 岩体层理变化大, 缓倾山内或山外。块石层的岩性主要为花斑状的大理岩及砂质板岩 (夹条纹状大理岩带) , 多为弱风化状。滑带土:主要为碎石土, 泥钙质胶结, 胶结紧密, 干燥, 碎块石含量60%～70%, 粉质黏土含量30%～40%, 呈硬塑状。

2.2 岩土参数先验分布拟合

计算参数为容重、粘聚力、内摩擦角, 该滑坡由表层碎石土、块石层和滑带土组成, 三层土共9个参数, 以表层碎石土粘聚力参数为例进行拟合。先验分布数据取自本工程其他滑坡体参数与本地区其他工程 (见图1) 。

碎石土粘聚力服从正态分布, 在进行参数估计时, 可用此结果作为先验分布, 即N (100.6, 50.8272) , 分布概率密度函数为:

2.3 岩土参数优化分析

该土层经室内试验得到14组数据, 具体数值如表1所示。

查Grubbs表得, T (14, 5%) =2.51, Δx=42.02, x${}_{\min }^{\max }$=${}_{99.58}^{183.62}$, 无异常数据。利用Bayes进行优化得到该组数据的后验分布为N (138.02, 16.0592) , 利用此方法分别得到各层土的容重、粘聚力、摩擦角的均值方差。采用蒙特卡洛 (Monte Carlo) 法抽样得到以后验分布概率方差为基础的100 000组数据。文献[8]说明循环次数对安全系数均值、方差、失稳概率的影响不敏感, 只影响安全系数的最大值、最小值, 本工程选取100 000组随机数据满足精度要求。

2.4 滑坡体失稳概率计算与分析

本文以正常状况和蓄水工况为例进行分析, 得到两种工况下的安全系数分布。经分析得到:正常状况下滑坡体安全系数均值为1.299, 所有数据均在1.15以上, 失稳概率为0, 可以认为该滑坡体在正常状况下是安全的。蓄水工况下, 滑坡体安全系数均值为1.107, 安全系数小于1的概率为4.89%, 小于1.05的概率为20.38%, 小于1.1的概率为40.75%, 可以认为该滑坡体在蓄水工况下有滑坡的风险, 须加以治理。

3 结语

1) 本文用小样本数据结合Bayes方法来确定岩土参数, 在试验样本不足的情况下, 通过先验信息进行优化, 提高了样本的可信度, 得到较为符合实际的岩土参数。2) 通过对滑坡体安全系数进行统计, 得到了安全系数在该参数下的分布, 通过统计得到滑坡体的失稳概率, 也可以进行考虑滑坡体等级的稳定性分析。3) 岩土参数分析是一个复杂综合的过程, 本文对某工程参数的统计分析可以为今后工程计算参数的选取提供参考。

摘要：以雅砻江某滑坡为例, 对该滑坡进行稳定性分析, 通过研究Grubbs法和Bayes法在确定岩土工程参数中的应用来确定小样本情况下岩土工程参数对滑坡体安全系数进行概率分析, 得到该滑坡体在正常状况和蓄水工况下的失稳概率。

关键词：滑坡,岩土参数,Grubbs法,Bayes法,稳定性,概率分析

参考文献

[1]宫凤强.岩土参数概率模型推断及工程可靠度计算方法的研究[D].长沙:中南大学, 2006.

[2]庄楚强, 何春雄.应用数理统计基础[M].广州:华南理工大学出版社, 2006.

[3]徐建平, 胡厚田, 张安松, 等.边坡岩体物理力学参数的统计特征研究[J].岩石力学与工程学报, 1999, 18 (4) :382-386.

[4]申.土性统计参数及土坡稳定性可靠度分析研究[D].武汉:武汉理工大学, 2004.

[5]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 1989.

[6]高大钊.土力学可靠原理[M].北京:中国建筑工业出版社, 1989.

[7]王俊杰, 陈爱玖, 姬凤玲, 等.岩土参数的概率分布拟合及Bayes方法优化[J].华北水利水电学院学报, 2004, 25 (2) :51-54.

稳定概率 篇3

小扰动(功角)稳定性表征电力系统在遭受小扰动后维持同步运行的能力[1]。研究小扰动稳定性可以突出系统结构、参数和运行工况等因素对系统稳定性的影响[2,3]。常规小扰动稳定分析以系统在某一确定运行点处的线性化模型和特征分析方法为基础,属于确定性稳定分析范畴。若要考察多种运行条件下系统的稳定性,则需要对大量确定状态(场景)进行分析。确定性方法最主要的问题在于不能客观反映系统网架结构、发电方式、负荷水平以及元件参数等因素固有的不确定性本质,难以全面、准确、科学地对系统小扰动稳定性的整体水平进行综合分析和评价[4,5,6]。

1977年,Burchett最早将概率方法引入电力系统稳定性分析[7],分析了负荷水平和机组阻尼系数随机变化时系统的小扰动稳定性,并由此提出电力系统的稳定性概率分析(PAS)问题。随后,围绕随机因素的概率模型、特征根概率分布及系统小扰动失稳概率计算方法,PAS在小扰动稳定分析领域开展了大量研究工作[8,9,10,11,12,13]。同时,概率小扰动稳定的概念也被应用于电力系统稳定器(PSS)设计[14]、可控串补(TCSC)自适应控制[15]及感应电动机的动态建模[16]等相关研究中。

现有研究主要考虑节点注入功率水平和元件参数(如线路阻抗、机组阻尼系数和控制器参数等)的不确定性,甚少考虑发电机组运行状态、尤其是由线路和变压器等输电元件的计划检修以及强迫停运等造成的网络拓扑的随机变化。分析方法一般分为解析法和模拟法两大类。解析法[7,8,9,10,11,13]通常假设负荷水平等不确定因素为服从某种已知分布(通常是正态分布)的随机变量,而系统特征值可表达为这些随机变量的函数。通过灵敏度或高阶矩分析等方法计算特征值的概率密度函数,即可确定系统的小扰动稳定概率。解析法最主要的问题是难以计及复杂的不确定性因素,如机组组合、线路停运以及由市场行为、气候条件等因素导致的系统运行工况的不确定性[17]。同时,解析法通常需要对特征值与随机变量之间复杂的非线性函数关系进行简化,计算误差难以避免。蒙特卡罗模拟法[12,17]是一种统计试验方法,其试验次数与系统规模无关,易于处理各种复杂随机因素,在电力系统概率稳定分析中表现出良好的应用前景。

本文计及发电机运行状态、负荷水平以及网络拓扑的不确定性,基于蒙特卡罗概率仿真方法研究电力系统的小扰动概率稳定问题。用一简单的两区域4机13节点系统[18]验证本文所提出的方法的有效性。

1 小扰动稳定性的特征分析

设描述电力系统动态行为的非线性微分—代数方程组[19]为:

$\{\begin{array}{l}\dot{\mathit{x}}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})\\ 0=\mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})\end{array}(1)$

式中:x为状态向量;y为代数向量。

将式(1)在给定工作点(x0,y0)处线性化,有

$\left[\begin{array}{c}\text{Δ}\dot{\mathit{x}}\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\tilde{\mathit{A}}& \tilde{\mathit{B}}\\ \tilde{\mathit{C}}& \tilde{\mathit{D}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\text{Δ}\mathit{x}\\ \text{Δ}\mathit{y}\end{array}\right](2)$

进一步消去代数变量,有

$\text{Δ}\dot{\mathit{x}}=\mathit{A}\text{Δ}\mathit{x}(3)$

式中:$\mathit{A}=\tilde{\mathit{A}}-\tilde{\mathit{B}}\tilde{\mathit{D}}{}^{-1}\tilde{\mathit{C}}$,为系统的状态矩阵。

根据李雅普诺夫稳定性第一定理[2,3],当A的所有特征值均具有负实部,则非线性系统(1)在工作点附近是小扰动稳定的。对A进行模态分析[19],则可获取更多关于系统模式、模式与状态变量的相关程度以及特征值灵敏度等方面的信息。

以上即为常规确定性小扰动稳定分析的基本思想。事实上,由于故障的随机性或测量、预测中存在的误差,网络结构、元件参数以及负荷水平等均或多或少表现出一定的随机性,因此式(1)的参数甚至结构均具有不确定性。相应地,系统的稳态运行点(x0,y0)以及状态矩阵A、系统的小扰动稳定性也具有不确定性。电力系统小扰动概率稳定分析的任务就是根据主要随机因素的统计特征来确定系统小扰动稳定性的概率特性。

2 主要随机因素的概率模型

影响系统小扰动功角稳定性的主要随机因素包括负荷水平、发电方式、网架结构、各种元件及控制器的参数等[4,5,6,7,8,9,10,17]。对上述因素建立适当的概率模型是一项十分复杂的工作,不仅要求对系统动态行为的随机本质有深入认识,还需要掌握大量历史统计数据作为分析和建模的依据。

本文考虑开机状态、负荷水平及网络拓扑的不确定性,并进行以下简化处理:

1)假设各节点负荷相互独立且服从正态分布。需要考虑负荷曲线时,可用多级水平负荷模型[17],并假设每一级负荷水平服从正态分布。若要计及节点负荷的相关性,可考虑采用相关抽样方法[20]。

2)用两状态(运行/停运)或多状态(计及降额状态)模型描述发电机停运容量的不确定性。

3)用两状态(运行/停运)模型描述线路、变压器、电容器、电抗器等输电元件的状态,由此模拟网络拓扑的不确定性,暂仅考虑独立停运。

4)暂不考虑系统元件参数(如发电机阻尼系数、线路电抗)及控制器参数的不确定性。这类参数的不确定性主要是由测量、估计、计算以及模型误差或者受气候、环境等因素影响而产生,一般可用正态分布随机变量来描述[4,7]。

3 基于蒙特卡罗方法的小扰动稳定仿真

3.1 系统状态的蒙特卡罗模拟

考虑开机状态、负荷水平和网络拓扑的不确定性,蒙特卡罗状态抽样的基本方法[17]如下:

1)发输电元件状态的抽取

假设元件失效是相互独立的,对元件i产生一个在[0,1]区间均匀分布的随机数Ri,则两状态元件(如采用两状态模型的发电机、线路及变压器等)的状态si由下式确定:

$s{}_i=\{\begin{array}{l}0(\text{运}\text{行})R{}_i>{\rm P}{}_{\text{F}i}\\ 1(\text{停}\text{运})0\le R{}_i\le {\rm P}{}_{\text{F}i}\end{array}(4)$

式中:PFi为元件i的停运概率(不可用率)。

当需要计及发电机的降额运行状态,设第i台发电机的降额运行概率为PPi,则由式(5)确定发电机i的开机状态si。显然,该抽样概念可方便地推广至具有多个降额状态的机组。

$s{}_i=\{\begin{array}{l}0(\text{运}\text{行})R{}_i>{\rm P}{}_{\text{Ρ}i}+{\rm P}{}_{\text{F}i}\\ 1(\text{停}\text{运}){\rm P}{}_{\text{Ρ}i}<R{}_i\le {\rm P}{}_{\text{Ρ}i}+{\rm P}{}_{\text{F}i}\\ 2(\text{降}\text{额})0\le R{}_i\le {\rm P}{}_{\text{Ρ}i}\end{array}(5)$

若系统由N个元件构成,则系统状态可由向量s表示,

$\mathit{s}=[s{}_1,s{}_2,\cdots ,s{}_i,\cdots ,s{}_{{\rm N}}](6)$

2)负荷水平的抽取

假设节点j的有功负荷Pj服从均值P0j、标准差σj(以均值的百分数表示)的正态分布。应用近似逆变换法[17]产生标准正态分布随机数Xj,则节点j的有功负荷水平由式(7)确定。分析中假设负荷功率因数恒定,各节点负荷水平标准差相同。

${\rm P}{}_j={\rm P}{}_{0j}(1+X{}_j\sigma {}_j)(7)$

当需要考虑元件参数(例如线路电抗参数等)的不确定性时,一般也可应用正态分布随机变量和类似式(7)的公式来确定元件参数。

3.2 小扰动稳定概率指标

计算以下基本小扰动稳定概率指标:

1)系统特征值的均值、标准差和概率分布。分析中可根据实际情况选择计算部分特征值(如机电模式特征值、模最小特征值等)的数字特征。

2)小扰动功角失稳概率。以状态矩阵A出现正实部特征根作为失稳判据,则小扰动功角失稳概率为:

${\rm P}{}_{\text{n}\text{s}}=\frac{m}{{\rm M}}(8)$

式中:M为样本总数;m为不稳定样本数。

3)其他派生指标。由系统样本的特征值可计算阻尼比、振荡频率、参与因子等系统特征参数的均值、标准差及概率分布;而式(8)的概念则可推广至计算稳定裕度类指标,例如阻尼比小于某个给定阈值的概率。

3.3 小扰动概率稳定分析步骤

基于蒙特卡罗方法的小扰动稳定性概率分析用如图1所示的两层分析框架。上层状态生成器通过蒙特卡罗抽样技术产生随机状态,下层模块则基于特征分析法对给定状态进行确定性小扰动稳定分析。上层概率仿真与下层状态分析结合,即可计算相应的小扰动概率稳定指标。可见,与确定性稳定分析比较,概率方法最本质的特点就在于应用概率工具在上层模块对大量确定性系统状态(样本)进行选择和协调。

主要分析步骤如下:

1)原始数据输入。包括潮流数据、动态数据、元件停运概率数据及收敛控制数据等。

2)由式(4)～式(7)抽取开机状态、支路状态及负荷水平,形成系统样本。

3)对系统样本进行拓扑分析。若系统解列为若干子系统,则重建各子系统状态,包括节点重新编号、平衡节点选取及有功平衡等。

4)对步骤2、步骤3形成的系统样本进行潮流计算和特征分析。

5)重复步骤2～步骤4,直至满足收敛精度要求。

6)计算小扰动稳定概率指标。

4 算例分析

在MATLAB环境下,设计实现小扰动功角稳定概率仿真程序。该程序以蒙特卡罗抽样和牛顿法为核心算法,借助MATLAB的特征值工具实现特征分析。

以一个2区域4机13节点系统为算例系统验证所提出的方法的可行性和有效性。分析中所有机组均采用实用六阶模型[3]和静止励磁系统,负荷构成为50%恒定阻抗负荷和50%的恒定电流负荷,基本潮流及动态数据详见文献[18](系统接线图、励磁系统模型及参数见附录A)。

系统中发电机组的有功出力及负荷水平的概率模型分别如表1、表2所示。分析中假设各节点负荷功率因数恒定。当考虑线路和变压器停运时,取线路故障率为0.2次/(a·km),修复时间10 h;取变压器故障率为0.2次/a,修复时间768 h。

4.1 系统特征值的概率分布

应用蒙特卡罗状态抽样方法,抽取20 000个系统样本进行特征分析,暂不考虑线路和变压器停运。系统共32个特征值,包括10对共轭复根和12个实根。部分阻尼较小特征值的统计指标如表3所示,其中11号特征值的收敛曲线见图2。可见20 000次抽样能满足一定的精度要求。由表3可知,4/5号、9/10号和11/12号特征值的振荡频率在0.2 Hz～2.5 Hz之间,且与机电状态强相关(ρ>1),是机电模式(转子摇摆模式)。

表3中4/5号、9/10号和11/12号这3对特征值对应机组转速的右特征向量均值及规格化参与因子分别如表4、表5所示。可见,4/5号模式为区间模式,振荡频率均值为0.552 9 Hz;9/10号、11号模式均为局部模式,振荡频率分别为1.095 5 Hz和1.133 3 Hz。

由表5可知,要有效阻尼上述3个低频振荡,可考虑在2号～4号发电机上装设PSS。

此外,由表3还可看出,不同模式实部小于0的概率不同。其中,11/12号特征值位于左半平面的概率最小,对系统小扰动失稳概率指标的贡献最大。同时,不同模式的稳定概率满足“特征值服从正态分布”假设下应用解析法所得的4σ原则[13,14],即当α*≥4时,对应模式为稳定模式。但是,由11号特征值的概率分布(见图3)可见,该特征值显然并不服从正态分布。

4.2 系统小扰动失稳概率

为分析支路停运及PSS对系统小扰动失稳概率的影响,设计实现4种仿真方案。各方案及其小扰动失稳概率如表6所示(暂将潮流无解及特征分析无解状态一并计入不稳定状态)。系统模型及参数同4.1节(PSS模型及参数见附录A),抽取20 000个系统样本。

由表6可见,网络拓扑的不确定性对系统小扰动失稳概率指标有显著影响。当机组不装设PSS,考虑支路停运时,系统的失稳概率增加约13%;而装设PSS后,支路停运的影响更为突出(失稳概率增大约62倍)。因此,对系统小扰动稳定性进行概率分析时仅考虑发电机出力和负荷水平的随机变化是不够的,应该计及线路、变压器等输电元件运行状态的不确定性。

为进一步考察线路停运对系统小扰动稳定水平的影响,假设线路故障率在0～0.6次/(a·km)之间按步长0.1变化,其他数据同前,系统小扰动失稳概率指标如表7所示。可见,随着故障率增加,线路的停运概率(不可用率)增大,系统小扰动稳定指标恶化。从变化趋势上看,指标2(0.502 6)与指标1(0.450 2)之间约有12%的增幅,而随着故障率的进一步增大,指标上升趋势减缓,最大增幅约8%(指标7与指标2之间)。由此可见,线路故障率的取值会在一定程度上影响系统的稳定指标,而是否计及线路停运则对系统稳定指标有显著影响。

同时,由表3可见,当2号～4号装设PSS(方案3)后,表中3对机电模式的振荡频率略有变化,阻尼比有明显改善(见表8),位于左半平面的概率也显著增大,从而大大提高了系统的小扰动稳定水平。由于计及了包括机组出力、负荷水平等因素的随机变化,表8中PSS对系统阻尼的改善表现出对多种系统运行方式的适应性。相对于常规针对单一运行方式的PSS选址和参数设计,此处的PSS配置更具有统计意义上的整体合理性。

5 结语

本文基于蒙特卡罗状态抽样方法,通过分析系统特征值、特征向量及参与因子等特征参数的概率特性和小扰动失稳概率研究系统的小扰动概率稳定问题。分析中计及了发电机组出力、负荷水平及由于支路停运造成的网络拓扑的不确定性,并分别用离散随机变量及正态分布随机变量描述发输电元件运行状态及负荷水平的概率特性。算例表明所提出的方法能够从概率统计意义上为小扰动稳定性分析及PSS的合理配置等提供更为丰富、全面的信息。同时,分析发现网络拓扑的不确定性对系统稳定指标有显著影响。已有研究对该不确定性因素的忽略势必造成关于系统稳定性水平过于乐观的评价。

本文围绕小扰动概率稳定性的蒙特卡罗仿真进行了初步探讨。有关复杂随机因素建模、小扰动稳定校正措施及失稳损失分析、失稳风险指标体系、蒙特卡罗计算复杂性以及本文方法在风电等具有强随机性系统中的应用等问题有待进一步研究。

附录见本刊网络版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。

摘要：计及发电方式、负荷水平及网络拓扑的不确定性,基于蒙特卡罗状态抽样方法,通过分析系统特征值、特征向量及参与因子等特征参数的概率特性和失稳概率研究电力系统小扰动概率稳定问题。分析中分别用离散分布随机变量和正态分布随机变量描述发输电元件状态及负荷水平的概率特性,并重点讨论了网络拓扑的不确定性对失稳概率指标的影响。一个两区域算例表明所提出的方法能够从概率统计意义上为小扰动稳定性分析及电力系统稳定器(PSS)的合理配置等提供更为丰富、全面的信息。

稳定概率 篇4

双馈感应发电机(doubly-fed induction generator,DFIG)具有效率高、控制灵活、可提供无功支持等优点[1],是目前大型风电场采用的主流机型之一。近年来,随着风电渗透率的增加,DFIG等变速风电机组对电力系统小扰动稳定性的影响得到了国内外学者的广泛关注[2,3,4]。已有文献多通过特征值分析方法研究DFIG接入系统的小扰动稳定性,并通过时域仿真进行相关结论的验证。特征值分析方法可以给出系统中各振荡模态的频率与阻尼和非振荡模态的衰减速率等信息;但该方法属于“逐点法”的范畴,只能分析某一特定运行状态下系统的小扰动稳定性,在系统运行状态(负荷水平、发电调度方式等)发生改变时,需重新计算,计算量大,难以从整体上评估系统的小扰动稳定性。

随着风电的大量接入以及电力市场放松管制,电力系统面对的不确定性因素显著增加,运行环境愈发复杂,在对电力系统进行小扰动稳定性分析时,考虑发电、负荷等不确定性因素的影响显得尤为必要[5,6,7,8,9]。目前,国内外学者已经开展了电力系统概率小扰动稳定分析的相关研究,通常可以分为两类:模拟法与解析法。模拟法[5,6,7]一般借助蒙特卡洛法对系统可能的运行状态进行抽样,并通过特征值分析对系统进行小扰动稳定校验。该方法可以获得系统小扰动稳定的概率以及主导特征值的概率分布等信息,但需要重复对系统进行潮流计算与特征值分析,计算量大,难以应用于大系统。解析法[8,9]通常基于主导特征值与电力系统控制变量间的线性关系或灵敏度,由随机变量的概率分布近似推导特征值的概率分布。相比于模拟法,该方法可以降低一定的计算量,但该计算方法与所采用的模型相关,一旦电力系统元件的模型发生变化,需要重新推导,并且该方法通常需要对系统模型进行不同程度的简化与近似,可能会造成分析结果精度的下降。

注入功率空间上安全域(security region,SR)的方法[10]是与逐点法截然不同的方法,它是由系统的网络拓扑决定的,不随系统运行状态变化,可以有效地克服逐点法的缺点。本文重点研究注入空间上的电力系统小扰动稳定域(small signal stability region,SSSR)。当前,已有众多学者开展了有关SSSR的研究,文献[11]提出的Taxonomy理论,为在状态空间和参数空间中研究SSSR提供了有力的工具。文献[12]和文献[13]分别研究了静止无功补偿器、超高压直流输电和网络动态对SSSR的影响。文献[14]研究了电力系统SSSR边界的超平面拟合方法。当前,通常认为电力系统SSSR的边界主要由鞍结分岔(saddle node bifurcation,SNB),Hopf分岔(Hopf bifurcation,HB)和奇异诱导分岔(singularity induced bifurcation,SIB)3类局部分岔点构成。

随着风电渗透率的增加,DFIG会对电力系统SSSR带来怎样的影响;接入DFIG后,还能否用超平面近似拟合SSSR的边界;如何将SSSR方法应用于含风电电力系统的小扰动稳定分析等问题有待于研究。

针对上述问题,本文开展了以下研究:计算了注入空间上含DFIG的电力系统小扰动稳定域,通过大量仿真发现,在工程关心的范围内,含DFIG的SSSR边界,仍可以用超平面拟合;在此基础上,借助于SSSR,对含DFIG的电力系统进行了概率小扰动稳定分析,计及了风电出力、同步电厂出力和负荷的不确定性;并将本文方法(基于SSSR的概率小扰动稳定分析方法)与传统方法(基于特征值分析的概率小扰动稳定分析方法)进行了比较。

1 DFIG模型

双馈风力发电系统由风轮机、齿轮箱、绕线式异步发电机和变频器等构成。DFIG的定子侧与电网直接相连,转子侧通过变流器与电网相连。机侧变流器通过控制DFIG转子电流dq轴分量,可以有效地调整DFIG转子磁场的幅值与相位,实现有功功率和无功功率的解耦控制。网侧变流器主要控制直流电容电压维持恒定和DFIG转子侧与电网的无功功率交换。本文采用的DFIG模型与参数可参考文献[15]。

2 随机变量概率模型

本文主要考虑系统发电(包括风电出力和同步电厂出力)与负荷的不确定性。为了最大化利用风能,风电场一般采取最大风能跟踪策略,在这一策略下,风电场的出力水平是由风速决定的。风速一般服从Weibull分布,其概率密度函数如下:

式中:k>0,v>0,c>0;k和c为Weibull分布的形状参数;v为风速;f(v)为风速的概率密度函数。

风电机组出力与风速的关系如下:

式中:vr,vci,vco分别为风电机组的额定风速、切入风速和切出风速;Pw为风电机组实际有功输出;Pr为风电机组的额定有功功率。

假设同步发电机的出力水平满足离散概率分布模型[6],其概率分布如图1所示。

假设负荷分布服从正态分布,其概率密度函数如下:

式中:x为实际负荷值;f(x)为概率密度函数;μ为平均负荷;σ为标准差。

3 SSSR定义与应用

3.1 SSSR定义

根据IEEE的建议,电力系统的小扰动稳定是指正常运行的电力系统在经历微小、瞬时出现但又立即消失的扰动后,恢复到原有运行状态的能力;或者,这种扰动虽不消失,但可用原来的运行状态近似表示新出现运行状态的能力,亦即在经历足够小的扰动后,系统不会出现单调的发散和持续永不消除的振荡。

电力系统的模型可以表示为一组微分代数方程(differential algebraic equation,DAE):

式中:x为电力系统的状态变量空间,表征发电机、负荷等元件的动态特性,如发电机功角与转速、电动机的转差等;y为电力系统的代数变量空间,包括节点电压的相角、幅值等;p为电力系统的参数变量空间,如发电机的有功功率注入、控制器的相关参数等;f(x,y,p)为微分方程的右端项,描述了电力系统的动态特性;g(x,y,p)为电力系统的代数方程,如潮流方程等。

在平衡点(x0,y0)处,将电力系统的微分代数方程线性化:

在非奇异的前提下,由隐函数定理,式(5)可进一步表示为:

根据小扰动稳定性的特征值理论,当J(p)的所有特征值均具有负实部时,系统是小扰动稳定的。

电力系统的SSSR是指能够使系统保持小扰动稳定的系统稳态运行点的集合,它既可定义在参数空间上,又可定义在节点注入空间上。本文研究的SSSR是定义在节点有功功率注入空间上的,假设发电机母线的电压维持在额定运行状态,如式(8)所示。

ΩSSSR (i)={P|J (P)的所有特征值均具有负实部,

式中:P为节点功率注入向量;o2n为考虑发电机输出限值的节点注入空间;R2n为2n维实数空间;n为电力系统拓扑i中注入功率的节点个数。

ΩSSSR (i)是由系统的网络拓扑i唯一确定的。在含DFIG的电力系统SSSR边界拓扑性质未知的情况下,本文利用逐点计算法来求取系统的SSSR边界:即在有功功率注入空间上,从系统的正常运行状态开始,沿搜索方向,逐渐改变节点的有功功率注入,缓慢移动系统的运行点,并计算各运行状态下系统的特征值,直到搜索到系统出现实部为正的特征值的状态;在保证收敛误差的前提下,该运行点即为系统小扰动稳定域边界上的一个临界点。

3.2 基于SSSR的概率小扰动稳定分析

电力系统的SSSR是由网络拓扑决定的,不随系统的运行状态变化,因此,可以离线计算,在线应用。在计算出SSSR边界后,就可以通过判断系统运行点是否位于域内,对系统进行小扰动稳定校验。与特征值分析方法相比,通过SSSR对系统进行小扰动稳定校验不需要形成状态矩阵、计算特征值等,进而可降低计算量。

基于特征值分析的传统概率小扰动稳定分析方法的一般步骤为:①通过蒙特卡洛模拟,对系统的运行状态进行抽样;②对抽样得到的所有运行状态进行潮流计算与特征值分析;③统计结果,得到系统满足小扰动稳定性的概率,即满足小扰动稳定约束的样本占所有样本的比例。该方法的主要计算负担来源于步骤①,即对系统进行特征值分析以判断其是否满足小扰动稳定性。为了改善传统方法的计算效率,本文将步骤②中通过特征值分析来对系统进行小扰动稳定校验的方法替换为通过SSSR对系统进行小扰动稳定校验,其余步骤保持不变。

4 算例分析

4.1 4机11节点算例简介

本文采用4机11节点系统作为分析算例,利用基于MATLAB的电力系统分析软件包PSAT[16](power system analysis toolbox)进行系统运行状态的小扰动稳定性分析。4机11节点系统的电气接线图如图2所示。

该系统为一个典型两区域系统,包含4台发电机,2个负荷节点。其中,发电机G1与发电机G2所在区域为送端系统;发电机G3与发电机G4所在区域为受端系统。系统的基准容量为100 MVA,具体的模型数据可参考文献[17]。

为了考察双馈风电场对电力系统小扰动稳定性的影响,通过参数折算,在相应母线上用一台等值双馈风电机组代替部分同步机容量,并考虑以下3种场景。

Case A:未接入DFIG。

Case B:将DFIG经过变压器接在母线2上,与发电机G2并列运行,即接在送端系统,DFIG容量与同步机G2相同。

Case C:将DFIG经过变压器接在母线4上,与发电机G4并列运行,即接在受端系统,DFIG容量与同步机G4相同。

4.2 SSSR

1)三维空间上的SSSR

为了便于几何显示,首先研究三维空间上的SSSR。所得边界即为n维空间SSSR在三维空间上的投影。限于篇幅,本小节仅以Case B,即DFIG接入送端电网为例进行说明。

考虑到发电机出力与母线负荷限值后,三维空间上的SSSR如图3所示。

图3(a)所对应的参数空间为发电机G1、发电机G2和风电场有功出力(标幺值),图3(b)所对应的参数空间为发电机G2和风电场有功出力、母线7有功负荷(标幺值)。由图可知,在三维空间上,含DFIG的电力系统SSSR边界具有光滑线性特性,因此,得出如下推断:在工程关心的范围内,n维空间上SSSR边界具有较好的光滑线性特性,可以考虑对其进行超平面拟合。

2)n维空间上的SSSR

在n维有功功率注入空间中,忽略网损时,只有n-1个节点的有功功率注入是独立的,因此,SSSR边界超平面拟合的解析式可以表示为:

式中:Pi(i=1,2,…,n-1)为各节点注入的有功功率;αi(i=1,2,…,n-1)为待求超平面方程的系数。

边界的拟合误差定义为:

对于本文算例,以节点3作为平衡机,对于Case A,选取节点1,2,4,7,9的有功功率注入作为参数;对于Case B与Case C,选取节点1,2,4,7,9,12的有功功率注入作为参数空间;其中节点1,2,4为发电节点,节点7和9为负荷节点,节点12为新增的双馈风电场节点。采用拟正交选点的方法来指导临界点的搜索[18],利用最小二乘法对搜索得到的边界点进行分类拟合,所得计算结果如表1所示。

注:“-”表示数据不存在。

为了保证超平面拟合的精度,对临界点采取分片拟合,即将相近的临界点拟合到一起,因此,对于某一系统,可能得到多个近似超平面;不同的超平面对应着不同的功率增长方向。系统的小扰动稳定域为这些超平面所包围空间的交集。由表1结果可知,在工程实际关心的范围内,含风电的电力系统SSSR的边界可以用超平面进行拟合,最大拟合误差为1.97%,满足工程应用的需要。

4.3基于SSSR的电力系统概率小扰动稳定分析

由于在工程关心的范围内,SSSR的边界可以用超平面进行拟合,在计算得到SSSR边界后,判断系统某一状态是否满足小扰动稳定约束变得十分简便:仅需判断该运行点的节点注入是否位于SSSR之内,即是否满足式(11)。

式中:[P1,P2,…,Pn-1]为需要进行小扰动稳定校验的功率注入向量;[]为小扰动稳定域内某一功率注入向量。

本文考虑了风电出力、传统同步电厂出力和负荷的不确定性。风速的分布参数为:平均风速10 m/s,Weibull分布参数c=10.88,k=5.004。风力机参数为:额定风速14 m/s,切入风速3 m/s,切出风速25 m/s。同步电厂出力离散分布详见文献[6]。母线7负荷分布参数为:μ=8.7,σ=0.1。母线9的负荷分布参数为:μ=15.9,σ=0.6。

在相同计算条件下,分别采用传统方法(基于特征值分析的概率小扰动稳定性方法)与本文方法(基于SSSR的概率小扰动稳定分析方法)对算例进行概率小扰动稳定分析,最大抽样次数为N=5 000。本文计算借助MATLAB编程实现,计算所用PC机参数为:双核,3.3 GHz主频,6 GB内存。计算结果见表2。其中,满足小扰动稳定约束的概率是指满足小扰动稳定约束的样本占所有样本的比例。

由结果可知,与传统方法相比,本文方法所得计算结果偏保守,这是因为在计算SSSR边界时,难以搜索到准确的临界失稳点,通常在给定收敛误差下,选取SSSR内最接近失稳点的一个运行点作为近似临界点,因此,计算所得SSSR边界比实际边界偏保守,但最大误差小于3%,可满足工程应用需要。同时,本文方法的计算时间远小于传统的基于特征值分析的概率小扰动稳定分析方法,可以显著改善概率小扰动稳定分析的效率(对于既定的网络拓扑,小扰动稳定域是唯一确定的,与运行方式无关,可以离线计算,在线实用,因此进行在线概率小扰动稳定分析时,域的计算时间不计)。

通过对比3个场景的计算结果可知,风电接入后,降低了系统的小扰动稳定水平,并且风电对小扰动稳定性的影响与接入位置相关。为了研究风电场出力水平对系统小扰动稳定性的影响,图4给出了小扰动失稳概率随风电场出力水平的变化曲线(Case B)。由图4可知,系统不满足小扰动稳定约束的情况多出现在风电大发期间。

5结语

随着风电的大量接入,在对含风电电力系统进行小扰动稳定分析时,计及风电与负荷等不确定性因素的影响是十分必要的。当前应用广泛的特征分析方法只能分析系统某一运行状态的小扰动稳定性,运行状态发生改变时,需重新计算;同时,以特征值分析为基础的传统概率小扰动稳定分析方法,需反复对系统进行特征值计算,计算量大,难以满足实际应用的需要。针对上述问题,本文计算了含DFIG的电力系统SSSR,通过大量仿真计算发现,在工程关心的范围内,接入DFIG后,电力系统SSSR的边界仍可以用超平面进行拟合;在此基础上,将SSSR用于含DFIG电力系统的概率小扰动稳定分析。算例表明,与基于特征值分析的概率小扰动稳定分析方法相比,基于SSSR的概率小扰动稳定分析方法所得结果的计算精度满足工程应用要求,并且可以有效降低概率小扰动稳定分析的计算负担。

摘要：计算了注入空间上含双馈感应发电机(DFIG)的电力系统小扰动稳定域。通过大量仿真计算发现,在工程关心的范围内,含DFIG的电力系统小扰动稳定域边界仍可以用超平面进行拟合。在此基础上,将安全域方法应用于含DFIG电力系统的概率小扰动稳定分析,代替传统方法中广泛采用的特征值分析方法。计算结果表明,考虑发电注入与负荷不确定性时,所提出的方法计算精度满足工程应用要求,并且可以有效降低概率小扰动稳定分析的计算负担。

稳定概率 篇5

关键词：无限岩坡,等效参数,联合分布,可靠度分析,敏感性分析

岩坡稳定性分析是岩土工程领域研究的主要问题之一,其中岩坡稳定可靠度分析也是目前的学术研究热点[1]。近年来可靠度分析方法在边坡稳定性评价中的应用逐渐广泛。谭晓慧[2]等在可靠度分析基础上还进行了边坡稳定性敏感性分析。岩坡可靠度分析方法是建立在概率统计的基础上, 以随机变量和随机过程为研究对象,考虑了变量的随机性, 并用严格的指标来度量岩坡的安全性。由于岩石强度参数GSI、完整岩石单轴抗压强度σci、岩石材料常量mi以及岩石重度γ所具有的随机性使得可靠度分析方法在岩坡稳定分析中更具有重要意义[3]。Nilsen[4]提出岩坡稳定的概率可靠度分析方法考虑了岩体强度参数的不确定性和多变性,与确定性分析方法相比具有明显的优势。Hoek[5]结合着Hoek-Brown准则里所提及的强度参数,利用极限平衡法对岩坡设计的可靠度提出了估计方法。

无限岩坡是岩坡稳定分析问题中较为简单的模型,该模型存在许多假设使得利用该模型对岩坡稳定性进行评价时具有简单方便的优势[6],特别适合快捷地验证本文中提出的概率可靠度分析方法的可行性和精准性。经无限岩坡模型检验过的可靠度分析方法可进一步适用于更为复杂的岩坡模型。

目前有很多岩坡可靠度分析方法[7]都是采用Mohr-Coulomb线性参数C、φ作为输入变量,这样就忽略了岩体破坏包络线的非线性,特别是在围压很小的情况下这种非线性尤显突出。现将结合Hoek-Brown准则,考虑到岩体破坏非线性,并采用此准则下等效Mohr-Coulomb参数c′和φ′对无限岩坡稳定问题试进行概率密度函数联合分布方法的研究。

1 无限岩坡稳定

如图1所示的无限岩坡模型,假设岩坡表面与破坏面平行,坡高为H,坡角为β,不考虑岩坡内部渗流作用。

无限岩坡破坏时,破坏面上每个点的剪应力都达到极限值,根据岩石Mohr-Coulomb破坏准则可得剪应力与正应力之间的关系为τ=σtanϕ+c。破坏点处所受正应力$\sigma =\frac{\gamma {\rm H}\text{d}x\text{c}\text{o}\text{s}{}^2\beta }{\text{d}x}=\gamma {\rm H}\cos {}^2\beta$,剪应力τ=γHdxcos2βtanϕ+c,岩条所具备的下滑力是F=γHdxcosβsinβ,根据安全系数的定义可推导出安全系数Fs的表达式为:

$F{}_s=\frac{c}{\gamma {\rm H}\cos {}^2\beta \tan \beta }+\frac{\tan \text{ϕ}}{\tan \beta }(1)$

2 等效Mohr-Coulomb参数c′、ϕ′

Hoek[8]等人提出了Hoek-Brown准则的最新表达式为$\sigma {}_1=\sigma {}_3+\sigma {}_{ci}\left(m{}_b\frac{\sigma {}_3}{\sigma {}_{ci}}+s\right){}^{\alpha }$,其中$m{}_b=m{}_i\exp \left(\frac{GS{\rm I}-100}{28-14D}\right)‚s=\exp \left(\frac{GS{\rm I}-100}{9-3D}\right)‚a=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}(e{}^{GS{\rm I}/15}-e{}^{-20/3})$。式中GSI表示地质强度系数,σci为完整岩石的单轴抗压强度,mi为岩体材料参数,参数D取决于岩体受干扰程度,其值往往介于0到1之间。根据以上准则可以得到等效Mohr-Coulomb参数表达式如下。

$\begin{array}{l}c{}^{´}=\\ \frac{\sigma {}_{ci}[(1+2a)s+(1-a)m{}_b\sigma {}_{3n}](s+m{}_b\sigma {}_{3n}){}^{a-1}}{(1+a)(2+a)\sqrt{1+6am{}_b(s+m{}_b\sigma {}_{3n}){}^{a-1}/(1+a)(1+2a)}}(2)\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{ϕ}{}^{´}=\\ \sin {}^{-1}\left[\frac{6am{}_b(s+m{}_b\sigma {}_{3n}){}^{a-1}}{2(1+a)(2+a)+6am{}_b(s+m{}_b\sigma {}_{3n}){}^{a-1}}\right](3)\end{array}$

式(3)中,$\sigma {}_{3n}=\frac{\sigma {}_{3\max }}{\sigma {}_{ci}}$。Hoek同时也提出了对于坡角不大于45°的岩坡,σ3max的确定公式为

$\begin{array}{l}\frac{\sigma {}_{3\max }}{\sigma {}_{cm}}=0.72\left[\frac{\sigma {}_{cm}}{\gamma {\rm H}}\right]{}^{-0.91}‚\\ \sigma {}_{cm}=\sigma {}_{ci}\frac{[m{}_b+4s-a(m{}_b-8s)](m{}_b/4+s){}^{a-1}}{2(1+a)(2+a)}\end{array}$

。值得注意的是Li A J[9]等人提出对于陡坡(β>>45°),σ3max的确定公式应当修正为$\frac{\sigma {}_{3\max }}{\sigma {}_{ci}}=0.2\left[\frac{\sigma {}_{cm}}{\gamma {\rm H}}\right]{}^{-1.07}$。

3 概率密度函数联合分布法

3.1 随机变量分布函数

为了考虑无限岩坡稳定的不确定性, 将参数GSI、σci、mi和岩石重度γ作为随机变量。Hoek提出岩石强度参数GSI、σci和mi是分别以方差为2.5、0.25 MPa和0.125呈正态分布的。岩石重度也可对多个测定数值分析做出正态分布模型化,其分布函数为$f{}_{\gamma }(\gamma )=\frac{1}{\sigma {}_{\gamma }\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(\gamma -\overline{\gamma }){}^2}{2\sigma {}_{\gamma }^2}\right)‚(\overline{\gamma }-3\sigma {}_{\gamma }\le \gamma \le \overline{\gamma }+3\sigma {}_{\gamma })$。根据正态分布函数的图象特点,这些随机变量的取值区间选为 ,这个区间所对应的函数曲线下的面积占到了总面积的99.8%,因此避免了面积校正。值得注意的是任何随机变量都要满足$\overline{x}-3\sigma {}_x>0$。同样地,σci、mi的概率密度分布函数为$f{}_x(x)=\frac{1}{\sigma {}_x\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-\overline{x}){}^2}{2\sigma {}_x^2}\right)‚(\overline{x}-3\sigma {}_x\le x\le \overline{x}+3\sigma {}_x),[x=\sigma {}_{ci}$、mi、GSI]。

3.2 密度函数联合分布公式

随机变量X的密度函数为fx(x),则对于随机变量X的函数Y=g(X)的密度函数为$f{}_y(y)=f{}_x[g{}^{-1}(y)]\left|\frac{\text{d}g{}^{-1}(y)}{\text{d}y}\right|$。如果X、Y是两个独立的随机变量则对于Z=X+Y和Z=Y/X的密度函数分别为fz(z)=∫+∞-∞fx(x)fy(z-x)dx,(-∞<z<+∞)和fz(z)=∫+∞-∞|x|fx(x)fy(z·x)dx,(-∞<z<+∞)。

3.3 无限岩坡稳定系数分布函数

对于无限岩坡模型,没有开挖爆破等干扰因素,D=0。将等效Mohr-Coulomb参数代入以上定义的安全系数计算公式中可得到考虑了无限岩坡破坏非线性的安全系数表达式为:

$\begin{array}{l}F{}_s{}^{´}=\\ \frac{\sigma {}_{ci}[(1+2a)s+(1-a)m{}_b\sigma {}_{3n}](s+m{}_b\sigma {}_{3n}){}^{a-1}}{\gamma {\rm H}\cos {}^2\beta \tan \beta (1+a)(2+a)\sqrt{1+6am{}_b(s+m{}_b\sigma {}_{3n}){}^{a-1}/(1+a)(1+2a)}}+\\ \frac{6am{}_b(s+m{}_b\sigma {}_{3n}){}^{a-1}}{2\tan \beta \sqrt{(1+a){}^2(2+a){}^2+(1+a)(2+a)6am{}_b(s+m{}_b\sigma {}_{3n}){}^{a-1}}}。\end{array}$

式中$m{}_b=m{}_i\exp \left(\frac{GS{\rm I}-100}{28}\right)‚s=\exp \left(\frac{GS{\rm I}-100}{9}\right)‚a=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}(e{}^{GS{\rm I}}/15-e{}^{-20/3})$。σcm和s3n的密度函数都是由随机变量GSI、σci、mi和γ的概率密度函数进行联合分布而得。安全系数F′s的密度函数的确定步骤如图2所示。

4 结果分析

4.1 算例

为了验证以上方法的可行性和有效性,现采取此方法对一无限岩坡的稳定问题进行评估,结果如下。无限岩坡坡高为100 m,坡角为45°,地质强度参数GSI、完整岩石单轴抗压强度σci、岩体材料参数mi和岩石重度γ的取值如表1所示。

用数学软件Matlab对上述密度函数联合分布法进行程序表达,程序中根据以上表格所提供的取值范围对随机变量GSI、σci、mi和γ分别随机抽106个样本点进行了计算。

图3显示了F′s在区间[0.85,1.35]内的取值分布情况,从图3中可以看出F′s的取值主要集中于区间[1,1.2]内,而坐落于区间[0.85,1]内的取值点不多,表明该无限岩坡失稳破坏的概率不大,属于较为稳定的岩坡。

图4为安全系数F′s分布概率图,其所示的外围包络线显示了F′s的概率分布也近似呈现正态分布。从图中可以看出安全系数F′s的分布图中阴影部分的面积所占分布曲线与坐标轴所围成的总面积的百分比即为该无限岩坡的失效概率。

图5为安全系数F′s的累积密度分布图,图中与横坐标F′s=1所对应的纵坐标值大约为0.085左右,表明该无限岩坡的失效概率为仅为8.5%左右。

作为对比,还采用了一次二阶矩法对此无限岩坡进行计算,计算结果如图6所示,从图中可以看出安全系数小于1的累积密度概率为7.5%左右,与上述方法结果相近。表明此方法具有可行性。

4.2 敏感性分析

本例中无限岩坡的安全系数F′s是由4个随机变量的密度函数联合分布而得,为了评价这4个随机变量的变动性对安全系数取值的影响,本例采用控制变量法分别对这4个影响因素进行敏感性分析。对于随机变量GSI、σci、mi和γ这4个影响因素,分别取其中一个因素,使其均值下降10%,保持另外3个因素的均值不变,观察此因素均值改变后安全系数累积概率分布曲线的变化,其结果如图7所示。

从图7中可以看出4个输入参数的平均值分别减小10%都对安全系数F′s的取值结果造成一定的影响,其中随着GSI、σci、mi均值的减小,安全系数的累积概率密度曲线向左平移,无限岩坡的失效概率明显增大,而随着岩石重度γ均值的减小,安全系数的累积概率密度曲线向右平移,无限岩坡失效概率迅速减小。从图中还可看出σci和γ对安全系数的影响比GSI和mi更为明显。σci均值的减小使得无限岩坡的失效概率迅速增大。

5 结 论

由于岩体强度参数的变异性使得岩坡稳定性分析问题是一个概率问题。结合着Hoek-Brown准则衍生的等效Mohr-Coulomb参数,使用概率密度函数联合分布法对无限岩坡稳定性问题进行了计算和评价。得到以下结论:

(1)选用的随机变量有GSI、σci、mi和γ,所计算结果显示安全系数F′s的分布形式近似正态分布并且与一次二阶矩法的计算结果相近,说明了此方法在无限边坡稳定问题分析上具有可行性;

(2)随机变量密度函数联合分布法是一种精确的计算方法,这种方法不单单适用于随机变量呈正态分布时的情况,而且适用于随机变量以任何分布形态分布时的情况;

(3)通过对4个随机变量的敏感性分析得知安全系数随这些参数的变动而发生的变化趋势合理,同时也显示了σci和γ对安全系数的影响权数较大;

(4)由于注重对联合分布方法论的研究,对于无限岩坡模型没有考虑渗流等其它影响因素的作用。结合此方法,还可以对更复杂的岩坡模型进行稳定性评价。

参考文献

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稳定概率 篇6

随着风力发电逐步向大规模、高集中开发的方向发展，电力系统必然会面临大量可再生能源的接入问题。风力发电的规模性接入，对电力系统运行的各方面都会带来明显影响，电压稳定研究作为系统安全稳定运行的重要部分，将面临更多的不确定因素。传统电压稳定分析都是基于确定性模型，忽略了系统中的随机注入功率的不确定性，以系统最危险工作模式为研究对象进行电压稳定性评估，评估结果过于保守，灵活性不强。为了弥补确定性方法的不足，在电力系统不确定问题研究中引入概率分析方法，这些方法可分为以下3类：蒙特卡洛MC(Monte Carlo）法、解析法以及点估计法。其中，蒙特卡洛法可以得到高精度的随机变量统计信息，但由于计算效率低下，一般仅用作其他概率分析方法的验证标准；解析法通过卷积技术或输出变量的累积量求解概率密度函数，这种方法假定输入和输出随机变量成线性关系，不能反映系统运行的实际情况；点估计法根据已知变量的概率分布求解未知变量的各阶矩信息，计算量小、精度高，是一种理想的概率分析方法。上述3类方法中，只有蒙特卡洛法可直接得出随机变量概率分布，后面2类方法还需要结合其他方法得出随机变量的概率分布。

现有文献主要集中于概率潮流计算问题的研究[1,2,3,4,5]，关于电压稳定问题概率分析的文献较少[6,7,8,9]：文献[6]将点估计法应用于电压稳定概率分析的计算，但并未计及风电功率的影响；文献[7]研究了考虑分布式电源的静态电压稳定概率问题，研究过程忽略了输入变量的相关性，用级数展开求取概率分布时，存在一定误差；文献[8]采用随机响应面法对电压稳定概率问题进行求解，取得了较为理想的分析结果；文献[9]对含风电系统进行了电压稳定概率分析，文中采用Nataf变换处理相关输入变量，蒙特卡洛方法求解概率问题，求解过程较为复杂。

本文提出了一种基于多项式正态变换PNT(Polynomial Normal Transformation）和最大熵估计的含风电系统电压稳定概率分析方法。利用多项式正态变换方法处理输入变量之间的相关性，结合点估计法将电压稳定概率分析问题转化为确定性负荷裕度非线性优化模型的求解，并计算负荷裕度的统计特征，采用最大熵估计方法估计输出变量概率分布函数。文中还分析了风速参数变化、相关系数矩阵变化、风电接入容量变化以及风电场功率因数变化对负荷裕度统计特征的影响。本文方法解决了点估计法无法处理输入变量相关性和得出输出变量概率分布的不足，保持了点估计法计算简便、精度高的优点。算例分析表明，本文所提方法具有令人满意的计算精度，且计算效率高，变换方法简洁灵活，能够得到全面反映系统电压稳定性的概率信息。

1 多项式正态变换

概率问题中包含不同概率分布的随机变量，有些变量之间还具有相关性，分布形式的不同和变量的相关性都会对分析结果产生影响。因此有必要对输入变量进行预处理，以减小这些因素带来的影响。多项式正态变换可以同时考虑多个非正态相关的随机变量，利用统一的变换步骤将其变换到独立正态空间，变换方法简洁有效，具有良好的通用性。

1.1 单变量正态变换原理

多项式正态变换是利用标准正态分布随机变量z的多项式对非正态分布的随机变量x进行求解。随机变量x的r阶多项式正态变换表达式为：

其中，a0、a1、a2、…、ar为多项式变换系数。

多项式阶数r可以取不同值，得到不同的多项式变换公式，其中最常用的有二阶、三阶和五阶多项式。尽管高阶多项式可利用高阶矩信息提高多项式正态变换的近似度，但高阶多项式对近似度的改善程度还不明确，而计算过程却更加复杂[10]，因此阶数的确定需要结合具体计算要求进行选择。除了阶数的确定，正态变换的另一关键在于变换系数ai的求取。ai的求解算法主要包括积矩法、L-矩法、最小二乘法以及Fisher-Cornish级数展开法，文献[11]对这些算法做了详细的数值分析和对比，可作为求解算法的选择依据。结合已有文献结论[10,11]，本文选择三阶多项式作为正态变换多项式，并采用L-矩法对变换系数进行求解。

随机变量x的q阶L-矩λq(q=1,2,3,4）与多项式变换系数ai(i=0,1,2,3）满足如式（2）所示函数关系[11]。

利用前4阶L-矩得出变换系数，即可将随机变量x转换为标准正态变量z进行处理。

本文采用Weibull分布对风速进行刻画，可直接利用Weibull分布参数对前4阶L-矩进行计算[12]，如式（3）所示。

其中，τ3=λ3/λ2和τ4=λ4/λ2分别为L-偏度和L-峰度；kw和c分别为Weibull分布的形状参数和尺度参数。通过式（3）即可完成服从Weibull分布的随机变量多项式正态变换。

1.2 多变量多项式正态变换

多随机变量概率分布模型的建立需同时考虑各变量的边际分布和变量间的相关性因素。由1.1节可知，各边际分布随机变量均可采用单变量正态变换方法进行变换处理，本节解决的是把原始随机变量的相关系数矩阵变换为对应的标准正态变量的相关系数矩阵，实现多变量的多项式正态变换。

假设X=[x1,x2，…，xn]T表示由n个随机变量xi组成的随机向量，对应的相关系数矩阵为,Z=[z1,z2，…，zn]T表示由n个标准正态变量zi组成的随机向量，对应的相关系数矩阵为，则两相关系数矩阵对应元素满足如下关系[11]:

其中，ami和amj(m=0,1,2,3）分别为xi和xj的多项式变换系数；分别为xi和xj的标准差和期望。依次求解RX中各元素对应的等式方程，并选择满足不等式条件的解作为的值，即可得到标准正态变量相关系数矩阵RZ。

结合1.1节和1.2节，可以得到由独立标准正态随机变量S=[s1,s2，…，sn]T求取原始随机变量的完整公式：

其中，Am=[am1,am2，…，am n]T(m=0,1,2,3）为由1.1节得出的n个随机变量xi对应的多项式变换系数；L为标准正态变量相关系数矩阵RZ经过Cholesky分解后所得的下三角矩阵。

通过多项式正态变换，为点估计法处理含相关性的随机变量提供数据基础。

2 点估计法

点估计法是求解非线性函数Y=h(X）在随机变量X=[x1,x2，…，xn]T作用下的统计分布的一种有效方法，具有良好的计算精度和较小的计算复杂度。其原理是首先求解一个r×n的采样点集F1(X）和每个采样点对应的权重系数，然后利用式（6）计算函数变量Y的前2r-1矩信息：

其中，（μ1，μ2，…，xi,k，…，μn）和ωi,k分别为随机变量采样点和对应的权重系数，xi,k为X的某一分量估计值，μl(l≠i）为其他分量的自身期望；r和n分别为随机变量xi的估计点数和变量个数。研究表明当r>3时，采样点集F1(X）和权重系数集ω可能包含复数解，不符合实际情况，因此r的数值通常取为3。

将随机变量xi的一个估计点选为自身期望μi的三点估计法称为2n+1估计方案。该方案的采样点集F1(X）中有n个相同采样点（μ1，μ2，…，μi，…，μn），只需进行一次计算即可完成对这n个采样点的处理，具有很高的计算效率。2n+1估计方案下的位置系数ξi,k和对应权重系数ωi,k计算公式如下[13]:

其中，i=1,2，…，n；λi,3和λi,4分别为随机变量xi的偏度系数和峰度系数；σi和μi分别为xi的标准差和期望。

点估计法适用于输入随机变量相互独立的情况，若输入变量之间存在相关性，可利用第1节的方法进行处理。

3 基于最大熵的概率分布估计

任意随机变量x的熵定义为：

其中，H(x）和f(x）分别为随机变量x的熵和概率密度函数。

利用最大熵原理POME(Principle Of Maximum Entropy）估计随机变量的概率密度函数的基本思路为：给定随机变量x的相关统计信息，建立约束条件下的最大熵优化模型，在候选概率分布解集Φ[f(x）]中，选择使H(x）最大的f(x）作为随机变量x的概率密度函数最优估计。POME数学模型如下[14,15]:

其中，为N+1个已知函数，称为基函数集；μ0M=1、μnM(n=1,2，…，N）为给定的N+1个随机变量x的相关统计信息。POME模型的解可用的函数进行表达：

其中，λn(n=0,1，…，N）为拉格朗日参数。求解模型式（8)—(10）得出拉格朗日参数，即可获得概率密度函数f(x）的最优估计。

本文选择幂函数形式(n=0,1，…，N）作为POME模型的基函数集，则POME模型变为：

其中，μnM(n=0,1，…，N）为随机变量x的各阶几何矩。基于随机变量的各阶矩信息，即可利用该模型对概率密度函数f(x）进行最优估计。

4 含风电系统的电压稳定概率分析方法

4.1 风电功率模型

风速的概率分布可用双参数Weibull分布进行描述。风电场风速vi的概率密度函数如式（13）所示：

其中，kw和c分别为Weibull分布的形状参数和尺度参数。

风电机组输出功率与风速的函数关系为：

其中，vci、vco和vR分别为切入风速、切出风速和额定风速；PR为风电机组额定功率。

4.2 负荷方向随机模型

电压稳定分析中，通常选择各节点负荷作为负荷增长方向，以保证各节点负荷功率因数不变且按同比例增加。由于系统测量、估计等方面的误差，实际的节点负荷并不是常数，存在一定的随机性，可选择正态分布反映其随机特点。

假定节点i的有功负荷增长方向IP L i满足以基态有功PL i为均值、以σLi为标准差的正态分布，则其概率密度函数如下[8]:

对应的无功负荷增长方向IQLi由式（16）表示为：

其中，QL i为节点i的基态无功功率。

4.3 负荷裕度非线性优化模型

负荷裕度为运行人员提供了系统从当前运行点到电压崩溃点距离的直观量度，是评估系统电压稳定性的最有效指标。选择负荷裕度为目标函数，同时计及系统等式和不等式约束，构建计算最大负荷裕度的非线性优化模型如下[16,17,18,19]:

其中，ji表示节点j与节点i直接相连，包括j=i的情况；SB为系统节点集合；SG为发电机节点集合；SR为无功源集合；SL为支路集合；PGi和QRi分别为节点i的电源发出的有功和无功功率；PWi和QWi分别为节点i的风电输出有功、无功功率；PL i和QL i分别为节点i的有功负荷和无功负荷；ρ为负荷增长系数，即负荷裕度；αi j=δi-δj-φi j;Ui和δi分别为节点i的电压幅值和相角；Yij和φij分别为节点导纳矩阵对应位置的导纳元素幅值和相角；Sij为节点i与节点j之间的支路潮流大小；下划线变量和上划线变量分别对应各自变量的下限值和上限值。式中等式约束由含负荷裕度参数的扩展潮流方程组成，不等式约束由系统静态安全约束组成。

4.4 含风电系统电压稳定概率分析步骤

在负荷裕度优化模型中加入风电输出功率和节点负荷的随机特性，并采用概率方法进行求解，即可实现含风电系统电压稳定的概率分析评估。

本文假定风电场风速和节点负荷的概率分布参数已知，并给出相应的风速相关系数矩阵，则含风电系统的电压稳定概率分析具体步骤如下。

a.确定输入随机变量个数n，在独立标准正态空间S中对n个标准正态变量进行采样，并求解方程（7），形成基本采样点集F1(S）和对应权重系数集ω。

b.将Weibull分布参数和风速相关系数矩阵代入式（2)—(4），求得相应的变换矩阵L和多项式变换系数Am=[am1,am2，…，amn]T(m=0,1,2,3）。

c.将基本采样点集F1(S）代入式（5），得到输入随机变量的采样点集F1(X）。

d.将F1(X）代入负荷裕度非线性优化模型进行求解，得出对应的负荷裕度离散点集F2（ρ）。非线性优化模型采用预测-校正原对偶内点法进行求解。

e.将ω和F2（ρ）代入式（6），计算负荷裕度的各阶矩信息。

f.将负荷裕度各阶矩信息代入模型式（12）进行求解，即可得到负荷裕度概率分布的最优估计。

5 算例分析

5.1 系统概况

本文以IEEE 30和IEEE 118节点系统为基础，对含风电场的电力系统电压稳定进行概率分析，程序实现平台为MATLAB R2009a，所用计算机的CPU主频为2.1 GHz，内存为2 GB。风电场按恒功率因数方式运行，各风电场原始相关参数如表1所示，表中接入台数列“/”前后数字分别表示118节点和30节点的标准接入台数，风电场原始相关系数矩阵RW为：

IEEE测试系统数据参见文献[20],IEEE 30节点系统中，风电场分别接入节点9、25、28，系统总负荷为189.2 MW;IEEE 118节点系统中，风电场分别接入节点23、39、114、117，系统总负荷为3668 MW。

负荷增长方式为全网负荷同时增加，各节点负荷按基态功率因数等比例增长。各负荷分量服从以基态负荷为均值、标准差为5%的正态分布。

5.2 基于最大熵的概率分布估计结果

应用基于最大熵的概率分布估计方法对算例系统进行含风电系统的电压稳定裕度概率计算，得出相应的分布曲线，并同时与40 000次蒙特卡洛模拟结果进行对比分析。

图1、2和图3、4分别给出了IEEE 30和118节点系统在最大熵估计和蒙特卡洛模拟2种方法下对应的负荷裕度概率密度分布曲线和累计概率分布曲线，图中负荷裕度为标幺值，后同。从图中可以看出，由最大熵估计方法得出的分布曲线较为合理地拟合了蒙特卡洛仿真结果。对比图1和图3中由最大熵估计方法得出的概率密度曲线可知，图1中的密度曲线发生了畸变，存在“翘尾现象”，而图3中的密度曲线变形较小，仅在其尾部有一定程度的收缩。结合5.1节的算例数据可知，IEEE 30节点系统的风电接入比例大于IEEE 118节点系统，这表明非正态变量比例的增加会对最大熵概率分布估计结果产生影响。观察图2和图4可知，2种方法所得累计概率分布曲线较为接近，较好地反映了负荷裕度的累积分布特性。

表2给出了服从Weibull分布的风电场风速随机变量多项式正态变换系数，相应的变换矩阵L为：

表3给出了基于最大熵的概率分布估计参数，可用对应的估计函数描述负荷裕度的概率密度分布。表4给出了2种方法下不同算例系统的负荷裕度均值（标幺值，后同）、标准差（标幺值，后同）以及2种方法计算结果的相对误差。由表4数据可得，均值的相对误差都小于1%，标准差的相对误差都小于4%，计算精度令人满意，在工程应用的误差要求范围之内。表5给出了2种方法下的计算仿真规模和计算时间。由表5可得，最大熵估计方法的计算时间仅为蒙特卡洛方法的0.14%和0.6%，大幅节省了计算时间且能获得较为满意的计算结果，为电压稳定概率分析方法的工程实际应用实现提供了可能性。

5.3 风电参数影响分析

为了研究风速概率密度函数变化和风速相关系数矩阵变化对电压稳定裕度的影响，本节假设在不同风速分布参数和相关系数矩阵组合下对电压稳定问题进行概率求解和结果分析，得出风电参数变化对电压稳定裕度概率分布所带来的影响。

本节以IEEE 118节点系统为研究对象，分别以表1的风电场原始风速参数和原始相关系数矩阵RW为标准，同方向增加或减小风速分布参数数值和相关系数矩阵中的元素数值，分别形成以下3个新风速参数场景和3个新相关系数矩阵场景：风速参数场景取名为“较小风速场景”、“较大风速场景1”和“较大风速场景2”，各场景的具体参数如表6所示；相关系数矩阵场景取名为“零相关系数矩阵”、“较小相关系数矩阵”和“较大相关系数矩阵”，其中“零相关系数矩阵”用4阶单位矩阵I4×4描述，“较小相关系数矩阵”和“较大相关系数矩阵”分别用RW S和RW L描述，各系数矩阵参数如下：

图5为不同风速参数场景下计算得出的负荷裕度概率密度曲线。观察图中曲线，可以看出风速参数对概率密度分布的影响：随着风速参数的逐渐增大，概率密度曲线朝着扁平化的趋势发展，曲线顶点对应的概率密度数值逐渐减小，负荷裕度数值逐渐增大。这说明风速参数的增加有助于系统负荷裕度的提高，但随着风速参数的增加，负荷裕度随机变量的变化也逐渐变大，风速变化所带来的波动性更加明显。

表7所示为不同风速参数和风速相关系数矩阵组合下的负荷裕度计算结果，通过对比表中数据，验证了图5所得相关结论的正确性。由上述分析可知，在选择风能资源时，并不能只考虑风资源本身的变化因素，还要考虑所接入系统的电压稳定承受能力等影响因素，这样才能将风能资源和所接系统进行合理的匹配。

表7中还给出风速相关系数矩阵变化时的负荷裕度模型计算结果。观察表中数据可知，相关系数变化会对负荷裕度计算结果产生影响：随着风速相关性增加，有些负荷裕度均值逐渐减小，有些负荷裕度均值先减后增，相关系数的变化引起负荷裕度均值的变化；随着相关系数增大，负荷裕度标准差逐渐增大，表明其波动更加明显。因此在负荷裕度概率分析时，不能忽略风速相关性，必须加以考虑，否则分析结果与实际情况偏差较大，不能正确反映负荷裕度变化的概率特性。本文方法所得结果和蒙特卡洛模拟所得结果的相对误差如表7所示。从表中可以看出，采用本文方法所得的负荷裕度结果与蒙特卡洛模拟所得结果较为接近，结果均值误差较小，标准差误差偏大，但均在可接受范围之内，可认为本文方法所得结果正确有效。综上可知，采用基于多项式正态变换的点估计法能较好地处理风速相关性问题，计算结果反映了负荷裕度变化趋势，相对蒙特卡洛模拟方法，计算时间缩短为原来的1%以下，适合于对电力系统概率问题的分析求解。

5.4 风电场接入容量影响分析

随着风电场的发展，风电容量的接入比例会越来越大，本节就不同的风电接入比例对负荷裕度概率模型进行求解，观察容量变化带来的影响。标准风电接入容量为230 MW，考虑不同的标准接入容量倍数，得到不同风电接入比例下的负荷裕度均值和标准差，具体数据如表8所示。可以看出，风电比例越高，负荷裕度的均值和标准差均有所增加，这是因为一方面风电的接入提供了电源支持，使得负荷裕度水平有所提高，但是由于风电固有的随机特性，容量的增加也让波动更加明显，标准差随之增大。因此，如何有效地减小风电波动性带来的影响是大规模利用风电必须考虑的问题，否则大量的风电接入会给系统运行的稳定性造成不利的影响。

5.5 风电场功率因数影响分析

风电场发电控制通常采用恒功率策略，不同的功率因数设定值对负荷裕度有所影响。本节采用最大熵估计法快速求解不同功率因数下的负荷裕度模型，计算结果如表9所示。表中负功率因数表示风电场需要消耗无功。

由表9可以看出，随着功率因数的增加，负荷裕度均值逐渐增加，标准差逐渐减小。这是因为随着功率因数的增加，整个风电场的无功消耗逐渐降低，无功输出逐渐增加。由于风电场能够向系统提供无功，因此系统的电压稳定情况得以改善，电压稳定裕度有所增加，能够承受更大的系统变化，在同样的有功波动情况下，能使电压稳定裕度的均值更大，而标准差更小，电压稳定特性更加优良。表中还给出了不同相关系数矩阵条件下，功率因数变化时的负荷裕度计算结果，不同条件下的计算结果变化趋势一致，验证了前述的原因分析。

6 结论