统计概率法（共9篇）
统计概率法 篇1
概率统计是现代数学的一个重要分支, 它已被广泛地应用于医学、工程技术、经济管理等各个方面。但据调查得知, 由于概率统计的概念较多, 方法独特, 工具杂加上教学时间短, 使得学生在学习这门课程时普遍感觉概念太抽象以致思维难拓展、解题方法难掌握。因此, 如何引入好的教学方法从而提高此门课程的教学质量是当今教育工作者急于探讨的问题。
类比法是根据两个或两类事物在某些属性上相同或相似, 从而推测它们在其他属性上也相同或相似的一种推理方法。著名数学家拉普拉斯说过:“在数学里发现真理的主要工具是归纳和类比。”可见它在数学学习中的重要性。在教学中可以让学生先回顾之前学过的知识, 并由此引出新知识和新概念, 再通过类比法来比较二者的共同点和不同点, 从而起到化陌生为熟悉, 化抽象为具体, 化繁为简的作用, 帮助学生贯通知识间的联系, 使知识体系纵横交融形成系统的知识网络, 从整体上掌握知识。下面我们将浅谈类比法在概率统计的概念教学和习题教学中的应用。
1 类比法在概念教学中的作用
匈牙利数学家玻利亚说:“类比是一个伟大的引路人。”类比作为一种思维方法, 其侧重的不是逻辑性、确定性、严格性, 而是创造性、猜测性、灵活性。概率统计中的许多概念都可以通过类比引出并揭示其本质。此外, 我们可利用原有的认知结构借助类比法, 有效地掌握新知识, 并将这些知识有机系统地统一起来。
1.1 随机事件的关系运算与集合的关系运算的类比
由于事件可以看成由某些样本点构成的集合, 因此可将二者类比学习。例如:集合A∪B表示其中任意一个元素x仅属于A或者仅属于B或者属于A和B的公共部分, 我们可以形象地用韦氏图来表示。此时若将A和B看作是事件, 则事件A∪B表示“事件A和事件B至少有一个发生”, 记作A+B, 即概率论中事件的和等同于集合论中集合的并集。同样的类比方法, 我们可将集合论中集合的交集类比到概率论中事件的积中去。
在教学中可引导学生先回顾集合之间的各种关系运算, 随之再引出相应的事件间的关系运算, 最后归纳总结。此外, 事件运算的性质如交换律、结合律、分配律均可对照集合的相应性质进行类比学习。
1.2 离散型随机变量与连续型随机变量的类比
对于离散型随机变量, 学生感觉较容易, 但对于连续型随机变量, 往往学生感觉抽象难理解。由于分布列在离散型随机变量中的地位与密度函数在连续型随机变量中的地位等同, 因此对于离散型随机变量中的边缘分布列与联合分布列的关系可以过渡到连续型随机变量中边缘密度函数与联合密度函数的关系中去, 此外诸如随机变量的独立性的充要条件以及期望与方差的计算均可轻松过渡。具体我们可通过“把连续的问题离散化”这种方法, 实际是将对离散型随机变量中对分布列的求和变成对连续型随机变量中的密度函数求积分即可。表1我们将对其中的部分性质及计算作一个简要的类比。
1.3 一维随机变量与二维随机变量的降维类比
任何学习都是循序渐进的, 一般来说低维空间的知识相对简单, 容易被学生接受, 所以最好的方法是从低维空间向高维空间过渡学习。降维类比法是将高维空间中的数学对象降低到低维空间中去观察, 利用低维空间中数学对象的性质类比归纳出高维数学对象的性质。
我们知道一维离散型和连续型随机变量的分布函数分别为:
在研究二维离散型和连续型随机变量时, 我们可用降维类比法得到其联合分布函数分别为:
通过上面的类比得知抽象的二维随机变量的分布函数与一维随机变量有着一致的表达式, 从而大大降低了学习的难度。此外, 二维离散型随机变量的联合分布列与连续型随机变量的密度函数的性质与计算均可借助一维随机变量的相关知识引入。
2 类比法在习题教学中的应用
类比法是解题的有力工具。在习题教学中, 教师若常引导学生用类比思维去寻找解题的方法, 会起到事半功倍的效果。我们首先可以利用条件、结论或者结构形式上的类似, 联想与之类似的概念性质从中得到启发。例如, 在概率统计中有这样一题:
分析:此题若由密度函数的性质, 通过积分可求得a=3。但是我们若通过与指数分布的密度函数进行对比, 可知a=3。这样在解题中不需要计算便可得到结果。
总之, 类比法是创造性地表达思维的重要手段, 在概率统计教学中有其特有的地位和作用。在概率论的类比法教学中, 不仅要根据学生已有的知识提供恰当的类比对象, 更为重要的是引导学生在类比中去发现目标对象与类比对象的本质区别, 从而真正地认识和理解目标对象, 否则则可能导致错误的理解与认识。事实上, 类比法在概率统计教学中的应用远不止于上述几个方面, 这里就不一一赘述。在概率论教学中若恰当应用类比法, 可使学生将所学的知识条理化系统化, 有利于提高学生分析问题与解决问题的能力, 培养学生的创新意识和创新精神。
参考文献
[1]G.波利亚.数学与猜想 (第一卷) :数学中的归纳与类比[M].北京:科学出版社, 1984.
[2]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2001.
[3]曹贤通, 李海峰.概率统计[M].郑州:黄河水利出版社, 1999.
统计概率法 篇2
一年多来，我校课题组全体成员解放思想，勇于创新，以推进素质教育为出发点，认真学习相关理论，围绕《统计与概率》课堂教学改革和课题的实验工作，认真分析课堂案例，调查研究，收集材料，努力探究《统计与概率》课堂教学的有效模式，对照课题实验方案，顺利地完成了各项教育教学任务和课题研究的阶段工作。下面就这近一年来的课题研究工作总结如下。
一、做好课题研究的准备工作。
1、在课题实施之前，我们积极主动的收集和学习相关知识和理论，我们深入课堂，了解、分析我校《统计与概率的教学现状，找出教学中存在的各种问题，确定本课题的研究内容。
（1）关于小学数学统计与概率部分教学现状、存在问题的调查研究；
（2）对于人教版小学数学教材关于统计与概率部分内容的分布、与原有教材对比变化、教学难点及其编写特点的分析研究；
（3）在统计知识教学中，强化学生数据的收集、记录和整理能力的培养，促进学生关于数据的分析、处理并由此作出解释、推断与决策的能力，对数据和统计信息有良好的判断能力的教学策略改进，加强目标设定与目标达成的实验研究；
（4）培养小学生用数据表示可能性的大小并对事件作出合理推断和预测的能力的教法研究；（5）在统计和概率部分教学中，创设教学情境，促进教学有效性的研究；
（6）进行统计与概率部分的课堂教学有效模式的研究。
2、落实好课题组人员，成员如下：
组 长：陈 丽
副 组 长：陈万江 吴学峰
核 心 成 员：马玉凤 王立波 李天凤 陈维 李玉静 孙晓慧 薛丽华
二、加强对课题组的管理，进一步发挥课题的作用。
1、严格按计划实施研究，积极开展课题研究活动。
课题立项之后，我们集中大家认真学习了《统计与概率》课题研究方案，制定了课题的研究计划，对组内教师合理分工，在管理上做到定计划、定时间、定地点、定内容，让实验老师们深刻理解了《人教版小学数学教材“统计与概率”课堂教学有效性研究》课题中研究项目的主要内容和意义，进一步增强科研能力，树立科研信心每次的校本教研既有骨干教师的教学论坛，也有年青教师的课堂展示，有理论学习，也有实际的课堂点评。
2、优化听课制度，促进课题实验
学校教导处规定，每周的周三各备课组进行集体备课，下一周的周一课题组成员走进课堂听课，一方面是为课题组成员搭建相互交流的平台，另一方面也是验证前一周集体备课设计方案的可行性，这样有利于及时、灵活地掌握课题实施情况和课堂教学情况，有效地促进教师上课改课、上优质课，从而真正地把课题理念落实到每一节课堂教学之中；同时，课题组还要求听课者带着一定的目的从多个角度进行听课，并对收集到的事实材料进行多角度诠释、解读和分析，有针对性地提出讨论的问题和改进的建议。听课制度的优化，有效地避免形式主义的听课、评课活动，对促进课题研究和实验起到了很大的作用。
三、课题研究的实施过程
课题申报后，课题组成员就着手调查我校《统计与概率》的教学现状以及存在的问题。
1、人教版小学数学各册教材使用中，关于统计与可能性部分教学问题及其改进策略的调查研究。
教学现状：课堂教学多数“照本宣科”，教学目标定位不准，教师和学生都不很重视这一领域的教和学。原因有如下几点：一是教师专业知识不能适应新课程的教学需要；二是《统计与概率》这一领域里的可学习和参考的案例较少，教师看得不多，所以课堂改革的水平提高不快；三是在小学阶段，关于《统计与概率》的考试内容相对较少，且难度不大，所以教师和学生重视不够。
存在问题：统计教学中，教师只按教材帮助学生收集、整理数据，而忽视了对数据的分析和运用；概率教学中比较突出的问题是重结果、轻过程，没有把学生随机意识的培养放在重要的位置。比如，有一个老师在执教二年级《可能性》一课时，没有充分地让学生感受确定现象和不确定现象，而是把训练的重点放在让学生用“一定”“可能”和“不可能”的说话训练上，把数学课当作了语文课来上。再如，有一个老师在执教《用分数表示可能性的大小》时，始终把重点放在学生的计算训练上，而忽视了学生对事件发生的可能性从感性描述到定量刻画的过程训练上。
改进策略：（1）加强教师的专业知识的学习和培训。要求课题组的成员认真学习新课标并深刻领会其主要精神，同时督促教师学习《统计与概率》的相关理论，聘请教学骨干做专题讲座，提高教师的理论素养；（2）定期召开研讨会，选择有典型的课例进行会课或教学比赛，有的是采取同课异构的形式进行多层次的研究；（3）围绕某一难点进行针对性讨论，反复研究，取得了较为显著的成效。如，在教学《等可能性》时，多数教师都遇到了一个较为棘手的问题：当袋子里放有相同数量的黄球和白球，启发学生猜想：从中任意摸40次，摸到黄球和白球的可能性怎样？学生很容易猜想并认可结果：摸到黄球和白球的可能性相等。可是，学生实验后，立刻质疑并迅速推翻自己的猜想。此时教师无所适从，只好自圆其说：同学们，当实验的次数越多，摸到黄球的次数和摸到白球的次数就越接近。针对上述存在的问题，我们开展了一次又一次的研究，最终按照“现实情境—猜想—实验—验证猜想—分析原因”的步骤，紧紧抓住“任意”关键词，培养学生的随机意识，让学生真切地感到：袋子里放有相同数量的黄球和白球，任意去摸若干次，摸到黄球的可能性和白球的可能性相等，但结果是随机的，即摸到黄球的次数和白球的次数不一定相等。
2、创设教学情境对于小学统计与概率教学效果的作用与影响的研究。
良好的教学情境，能使学生积极主动地、充满自信的参与到学习之中，使学生的认知活动与情感活动有机地结合，从而促进学生非智力因素的发展和健康人格的形成。比如我们在研究一年级下册第98页的《统计》这一内容时，就历经了“没有教学情境—一创设有教学情境——创设有效的教学情境”的过程，研究中我们发现教学效果差异较大。
„„反复的实践和研究使我们深深地体会到：教学情境对教学效果的影响较大。只有创设有效的教学情境，创设贴近学生生活实际的教学情境，才能把学生真正地带入到具体的情境中去，使学生对数学产生一种亲近感，使学生感到数学是活生生的，感受到数学源于生活，生活中处处有数学。
3、“统计与概率”有效教学模式研究
课题研究之前，多数教师反映《统计与概率》的教学有着一定的困难，教学时也只是“照本宣科”，根本谈不上有效和优化。为此，我们通过典型引路，反复研究，不断实践，在数次的实践中摸索了“统计与概率”的教学模式：创设情境――猜想探究――验证概括――实践运用。
“创设情境”旨在把学生带入到具体的生活情境中，一方面是为了帮助学生借助已有的生活经验自主探究新知，另一方面也可以让学生初步感悟统计与概率在生活中的作用，从而调动学生学习数学的兴趣；“猜想探究” 就是先鼓励学生大胆猜想结果，然后引领学生探究新知，这样可以充分发挥学生的主体作用，把学习的主动权交个学生，让学生真正成为学习的主人，在具体的学习过程中锻炼学生的学习能力，同时也能让学生体验自主探究新知的快乐；“验证概括”就是运用多种手段帮助学生验证自己的猜想，从而使学生获得成就感，增强学生学习的自信心，同时把刚刚获得的新知高度、凝练地概括出一般的规律，培养学生分析问题的能力和严谨的思维品质“实践运用”就是将所学的知识运用于实际，体现了数学源于生活、服务生活的思想。
通过改革实验，我们高兴地发现课堂成效发生了较为显著的变化。课堂的教学结构完整了，教学板块清晰了教学目标定位准确而又全面，教师经过了迷茫无奈－有条有理－精心设计教学环节的过程。学生从被动学习－主动探究，学习方式的转变，使课堂气氛活跃了许多，也大大提高了课堂教学效率。
四、课题研究的成效
1、对课题研究的意义的理解和认识。
21世纪的数学课程改革，把《统计与概率》作为一个单独的领域，进入小学数学课程，这是一个重大的举措具有里程碑的意义。因为在信息社会，收集、整理、描述、展示和解释数据，根据情报作出决定和预测，已成为公民日益重要的技能。加强《统计与概率》课题的研究，可以强化学生数据的收集、记录和整理能力的培养，提高学生分析、处理数据并由此作出解释、推断与决策的能力。
2、重视学生学习过程的研究，把学习的主动权还给了学生
新课标明确指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。所以我们在数学课题的研究中，非常关注学生学习过程的研究，注重在具体的情境中对随机现象的体验，而不是单纯地只获取结论结合学生生活的实际，精心创设教学情境，使学生主动地投入到学习的状态，提出关键的问题；搜集、整理数据分析数据，作出推测，并用一种别人信服的方式交流信息。不仅让学生亲身经历统计与实验的过程，而且还让学生在实践中自我感悟信息的价值。根据获取的信息作出合理的推断，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3、营造教研氛围，提高研究实效
我们以课题研究为契机，开展形式多样的教研活动，旨在增强教师的教科研意识，营造良好的教研氛围，丰富教师的科研素养，提高课堂教学效率。一年来，我们召开了《统计与概率》的专题研讨会，举行了课题研讨会课比赛，开展了教师百花奖比赛、课堂教学擂台赛等全校性教学教研活动，收到了较好的效果，得到了老师们的认可，兄弟学校的积极参与，社会的肯定。每次活动，我们坚持“实践、思考、再实践、再思考”的基本方法，确立一个研究主题，本着“学有所获，研有所果”的原则，发动每个教师全程参与，45周岁以下的教师必须参与课堂展示或设计，年老的教师参与课堂点评，实实在在的教研活动，不仅调动了校内教师的教研热情，也吸引了区内兄弟学校老师的加盟，他们积极参与了我们的课题研究。
五、今后的思考
虽然在课题的前期研究过程中，我们取得了初步的成效，但我们深知我们的课题研究工作还有许多不尽如人意的地方。为了进一步做好下一阶段课题的研究工作，我们想从以下几个方面力求突破：
1、细化分工，明确职责。根据课题的研究内容和前期的研究进展，我们决定对后期的研究工作作一些适当的调整，更加细化分工，各负其责，确保课题的研究工作顺利进行。通过课堂教学研究，提高学生收集、整理数据的能力，重点培养学生推断与决策的能力，体会数学的价值。以课堂教学为主阵地，重点研究概率教学，培养学生的随机意识，提高学生分析问题和预测未来的能力。
2、加强理论学习，提高研究水平。前期的研究工作我们主要把精力放在课堂教学研究上，了解《统计与概率》的教学现状、教学困惑，寻找课堂教学的有效模式，应该说在实际层面探讨的比较多。接下来的课题研究工作我们 将在关注课堂教学的同时，重视理论学习，把目光聚焦在理论层面的研究上，遵循理论结合实际的原则，用理论丰富研究成果。
统计概率法 篇3
由于概率统计研究的对象主要是随机现象, 这就决定其研究方法不同于研究因果关系的逻辑思维, 而要用概率统计固有的思想方法.因此, 它的教与学也应具有不同的特点.本文将结合自己多年对该门课程的教学实践, 就中学概率统计的教学谈几点意见.
1 精心设计课题引入, 创设最佳学习情境
课题引入是教学艺术的一个重要组成部分.好的课题引入应着眼于对所授知识的超然运用与奇巧安排.因此, 教师要从讲解本课程的理论和基本知识出发.精心设计、营造氛围, 恰到好处地引入课题, 使学生进入愤悱状态, 进而萌发高涨的学习情趣, 产生学习新知识的动力.
1.1 引趣设疑法
“概率论发展简史简介”的引入.
概率论出身“不佳”, 它起源于赌博和靠运气取胜的游戏.起先, 一些赌徒出于好奇心, 把各种各样的问题拿去请教他们在数学界的朋友.这个与赌徒有关的联系, 令人遗憾地促进了概率论的缓慢的断断续续的发展…….如今概率论已脱离了它那卑微的发源地, 成为一门理论严谨、应用广泛、发展迅速的数学学科.
评注 一个概率论出身“不佳”的话题引发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望, 为概率统计的学习开了好头.
1.2 联系实际法
“随机事件”的引入.
在自然界和生产实践中, 有一类现象是具有确定性的…….然而, 我们生活的世界是一个充满偶然的世界, 常言道:“虽计划极其周密, 然一切却难以预料.”这恰好说明了偶然性在起作用.它跟着人们的脚步, 由生到死, 始终扮演着一个重要的角色.婴儿的出生, 偶发性是其因素之一.未出生的婴儿, 是男是女, 机会各半, 甚至人们的生病、车祸……
评注 上述课题引入, 从身边具体事例出发, 使得学生倍感亲切, 从而对随机现象的每一个可能的结果——随机事件的理解自然也就水到渠成.
1.3 以旧引新法
“离散型随机变量数学期望的定义”的引入.
本节课开始, 可先给出例子:
设某射手在同样的条件下, 瞄准靶子相继射击100次, 其结果如表1.试问:该射手每次射击平均命中多少?
在教师的指导下, 学生给出了以下两种计算方法:
法1 算术平均数法.
法2 采用频率的加权平均法.
下面就在法2上借题发挥.
法2采用的是以频率为权进行加权平均的, 由于这个平均数是经过100次射击观察得出的, 因此它带有随机性, 这种随机性与频率有关.如果我们用概率来代替频率, 这样就能消除随机性.也就是说若以概率为权进行加权平均的话, 才能给出随机变量平均值的精确定义, 这就是本节课给出的“离散型随机变量的数学期望的定义”. (板书)
评注 这样的课题引入, 充分发挥了学生的主体作用, 既能促使学生知识技能产生积极的迁徒, 又能增强他们对知识加工运用的自主性、创造性.
1.4 复习引导法
“随机变量的特征数字——方差”的引入.
在不少的实际问题里, 不仅需要知道随机变量的均值, 而且还需要知道随机变量取值与均值的偏差程度.比如, 奥运会前夕, 要从两名射击运动员中挑选一名去参加奥运会, 一个公正、公平的办法就是看他们的竞技状态.假定两名射手甲与乙各射击5次所得环数如下:甲4, 8, 7, 10, 6;乙7, 7, 8, 7, 7.平均环数都是7环, 作为教练员的你, 是选择甲还是选择乙? (同学们异口同声地回答:乙.) 为什么? (同学:乙的成绩比甲稳定.) 回答得很好.从上面我们可以看出, 随机变量的这一特性用均值是反映不出来的.应当引进一个数, 用以刻划随机变量对它的均值的偏离程度.对于上述例子可以这样做, 先求每个实际取值与平均值的差的平方……, 由这个例子得到启发, 想到可用 (X-EX) 2的均值E (E-EX) 2描述X对其均值EX的偏离程度, 因而给出方差定义如下…….
评注 一个恰如其分的事例, 如饮一杯清新的甘泉, 让人浅斟细酌, 回味无穷.在这样的课堂氛围中学生会心领神会, 真正把课堂当成一种享受.
实际上, 在概率统计中, 由“醉鬼走路问题”所阐明的概率统计方法的作用开始到“n个写好地址的信封, 还有与其对应的n封信”等一类问题中有关事件概率的计算;由“贝特朗奇论”到计算几何概率时要注意的点具有所谓的均匀分布;由小概率事件的实际不可能原理, 到假设检验中的反证法;由回归一词的追溯到线性回归方程的解释……富有情趣的典故比比皆是, 令人为之驻足赏玩.在教学中抓住时机, 结合有关内容巧加应用, 创设情景, 必能妙趣横生, 使学生不但在欢愉之中巩固了知识和方法, 而且也提高了思维能力.
2 重视概念教学, 既要规范严谨, 还须形象生动
众所周知:“概念多、概型多、所用数学工具多”被称之为概率统计课的三多, 当然就中学概率统计课而言, 主要是“概念多”, 那末如何搞好中学概率统计中的有关概念的教学呢?我认为, 对概念的教学既要规范严谨, 又要形象生动, 还要善于用最通俗的语言去揭示.
比如在事件的关系及其运算中, 初学概率的人往往对“事件的对立”、“事件的互斥”、“事件的独立”以及“对立与互斥”、“互斥与独立”之间的关系搞得不太清楚.这样就直接影响到复杂事件的表述和概率的计算上.因此, 这就要求我们帮助学生自觉辨析有关概念, 促进他们的认知发展.对这部分的教学, 以我之见, 还是引入样本空间Ω为好, 因为在引入样本空间Ω后, 事件就可以用Ω的子集合来表示, 事件的关系就可以用集合之间的关系来表示, 而事件的运算又与集合的运算完全一致, 这样我们就可以借助表示集合关系的韦恩图来理解事件的包含、相等、并、交、补、互斥、对立等关系.特别是, 只要我们精心联想定义, 灵活运用集合知识, 不但能熟练地弄清事件之间的关系, 而且也能把较为复杂的事件用简单事件表示出来, 为概率论证和计算打好基础.又如, 随机变量的数学期望和方差是显示随机变量概率分布的两个重要的特征数字.教学中我们不但要引导学生从实际问题中抽象出它们的定义, 而且要注重学生的直觉思维能力的培养.使他们认识到随机变量的数学期望 (离散型) 标明了随机变量取值的“中心”位置, 而方差则刻划了随机变量离开“中心”位置的偏差程度.同时也可以视离散型随机变量期望的定义式为质点系的重心横坐标, 而方差则表示质点系相对于通过重心EX的纵轴的转动惯量.连续型随机变量的单点处的概率等于零可形象地解释为“一条线无宽度的数学想象”, 参数估计可通俗地解释为“利用样本的信息去猜未知参数的一种方法”, 假设检验的主要依据是“小概率事件的实际不可能性原理”, 所采用的方法被称之为概率论中的反证法, 等等.寥寥数语, 既帮助学生加深了对有关概念的理解, 进而促进知识的升华, 同时也引发了科学思维方法的形成.在概率统计的教学中, 只要我们认真钻研教材, 至于正态分布中密度函数及其性质, 正态分布中三倍标准差原理, 标准正态分布数值表的正确使用以及一元线性回归方程的推导和建立都可利用几何直观, 让学生在愉悦的情境下主动而有效地参与教学, 亲自体验知识的发生和发展过程, 熟悉创新规律.
3 能力培养, 贯穿始终, 愚教于乐, 融汇贯通
注重能力培养已成为我国教育改革的主旋律.在概率统计的教学中, 建议从以下几方面做起:
3.1 培养学生的概率计算能力
概率计算是概率论解题教学的一项重要内容, 它不但包括古典概率的计算问题, 而且也包括利用概率的性质, 把计算复杂事件的概率化归为计算较简单的事件的概率.刚开始学习概率论时, 学生往往感到困难, 作者认为应从两个方面来解决这个问题.首先应注意在教学中不能大量选用只是单纯计算排列组合的习题, 不能使重在掌握排列组合的计算技巧超过重在掌握概率论的基本概念;其次在解题时对概率性质的运用要予以充分的注意.下面仅就古典概型中样本空间的选取和对立事件公式
3.1.1 古典概型中样本空间的选取
古典概型是初等概率论中最基本的内容之一, 在概率论发展初期就引起了人们的关注.深入考察古典概率问题, 有助于我们直观地理解概率论的一些基本概念, 合理地解决产品质量控制等实际问题.因此, 掌握古典概率问题的解法, 对于学好概率论具有十分重要的意义.
设一个随机试验的全部可能结果 (样本点) 只有有限个:ω1, ω2, …, ωn, 其中每一个结果出现的可能性都相同, 即
例1n个朋友随机地围绕圆桌而坐, 求其中甲、乙两人坐在一起 (座位相邻) 的概率.
解 很自然会把这个问题看作圆周排列的一个简单应用, 但我们不用这种方法.设甲已先坐好, 考虑乙的坐法.显然乙总共有 (n-1) 个位置可坐, 这 (n-1) 个位置都是等可能的, 而有利场合, 即乙和甲相邻有两个, 因此所求概率为
如把上述解法作细致的分析, 那就是我们取样本空间Ω={ω1, ω2, …, ωn-1}, ωi表示乙坐在第i个位置上, 它满足有限与等可能的要求, 我们要求概率的事件A表示为Ω的子集{ω1, ωn-1}.显然, 对例1这样选取的样本空间Ω是最小的了.用其他办法做这道题目选取的样本空间只会更大, 比上述解法复杂.值得指出的是在我们的解法中用不到排列组合.
例2 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只“红车”及一只“黑车”, 求它们正好可以互相“吃掉”的概率.
解 和例1一样, 我们同样可以找到最小的样本空间.任意固定“红车”的位置, “黑车”可处在90-1=89个不同位置, 当它处于和“红车”同行同列的9+8=17个位置之一时正好互相“吃掉”.故所求概率等于
当然我们的例子是经过有意识的选择的, 但这种注重样本空间的选取的思想是很有用的, 掌握它也不困难, 但却往往不被人们重视.
3.1.2 对立事件公式
对立事件公式
例3 从0, 1, 2, …, 9十个数码中随机而可重复地取出5个数码, 求A=“5个数码中至少有两个相同”的概率.
解 事件A中包含的基本事件情况比较复杂, 它包括“5个数码全相同”, “4个数码相同而与其余一个不同”, “3个数码相同而与其它两个不同”, 等等, 计算它们的个数比较麻烦.现在考虑事件
从上面可以看出:解答概率题是一个既有法, 有时又无定法的问题, 这就要求我们要注重积累解题经验, 总结解题规律.比如概率加法公式的正确使用、条件概率与乘法公式的运用、事件的独立性的应用、古典概型中对称性的应用、几何概率以及整值随机变量的分布列与数学期望的求解中, 都有一定的解题技能和技巧.本文就不一一赘述.
3.2 培养学生的数据处理能力
数据的处理能力现已明确为数学的一种基本能力, 概率统计教学应通过真实数据、活动和直观模拟的使用, 以使学生感到教学有意义、有用, 而不是抽象、不相关.教师要从教学实际出发, 组织学生走出课堂, 到工厂、农村、医院调查研究, 取得真实资料.然后根据要求, 制作相应的统计图表, 用回归分析方法处理具体问题.这样的活动作为课堂教学的补充, 既检验了学生对书本知识的掌握, 又增加了他们的实际工作经验.同时也使得他们在成功中品尝到了欢乐.
3.3 培养学生知识间的融会贯通的能力
数学教学是培养学生的多种能力的一个重要阵地, 纵观中学概率统计的内容, 从随机现象到随机事件的引入;从随机变量的概率分布到数字特征的定义及其应用;从不相关的独立……, 到处都有展示学生能力的广阔平台, 作为教师既要言传身教, 还要善于激发学生心灵深处的探索欲望, 让学生在探索、思辨和创造的氛围中, 发掘数学知识本身所蕴藏的妙趣神韵, 自觉地用概率方法解决中学数学中的有关问题.只有这样, 学生解决实际问题的能力才能凸现出来.限于文章篇幅, 仅从以下两例来展示概率统计与其它数学内容之间的联系, 以期能给读者一些有益的启示.
例4 求证:组合等式
分析 根据所求组合等式的特征, 构造概率模型:设有一批产品共m+n件, 其中m件是废品, 从m+n件中任取r件 (r<m+n) , 问A=“r件中有i件废品”的概率是多少 (i=0, 1, 2, 3, …, r) 显然
例5 (第22届IMO试题) 设P为三角形ABC内任一点, P到三边BC, CA, AB的距离依次为d1, d2, d3, 记BC=a, CA=b, AB=c, 求
解 设x的分布列为
则
据EX2- (EX) 2≥0, 即得
于是
4 结束语
托尔斯泰说过:“成功的教学所需要的不是强制, 而是激发学生的兴趣.”学生一旦对数学学习产生兴趣, 就会专心致志地学习数学, 积极地钻研数学, 从兴趣发展到志趣.在一种愉悦的情境下成功地进行概率统计的教学, 是我们共同的追求.让我们在愉悦中产生兴趣, 在探索中获得成功, 在成功中品尝快乐.
参考文献
[1]刘崇林.詹森不等式f (EX) ≤或≥E (f (X) ) 及其应用[J].宁夏教育学院、银川师专学报, 1991, (1) .
[2]刘崇林.一类能用概率模型解决的“分析”问题[J].宁夏教育学院、银川师专学报, 1995, (3) .
统计与概率试题 篇4
一、填空。
1、简单的统计图有统计图、()统计图和()统计图。
2、扇形统计图的优点是可以很清楚地表示出()与(
3、()统计图是用长短不同、宽窄一致的直条表示数量，从图上很容易看出()。
4、为了表示某地区一年内月平均气温变化的情况，可以把月平均气温制成()统计图。
5、4、7.7、8.4、6.3、7.0、6.4、7.0、8.6、9.1这组数据的众数是()，中位数是()，平均数是()。
6、在一组数据中，()只有一个,有时()不止一个，也可能没有()。(填众数或中位数)
二、选择题。
1、对于数据2、4、4、5、3、9、4、5、1、8，其众数、中位数与平均数分别为()。
A4,4,6B4,6,4.5C4,4,4.5D5,6,4.5
2、对于数据2，2，3，2，5，2，10，2，5，2，3，下面的.结论正确有()。
①众数是2②众数与中位数的数值不等③中位数与平均数相等
④平均数与众数数值相等。A1个B2个C3个D4个
三、下面记录的是六(1)班第一组学生期中考试成绩(单位：分)
83、89、81、55、62、70、78、94、84、97、86、100、66、75
请根据上面的记录的分数填写下表，并回答问题。
分数合计10090~9980~8970~7960~6960分以下人数
(1)该小组的平均成绩是()分。
“统计与概率”例题精讲 篇5
根据上述信息完成下列问题:
(1) 求这次抽取的样本的容量;
(2) 请在图 (2) 中把条形统计图补充完整;
(3) 已知该校这次活动共收到参赛作品750份, 请你估计参赛作品达到B级以上 (即A级和B级) 有多少份?
【分析】条形统计图和扇形统计图是一种基本的统计图表, 通过条形统计图可以看到各个对象或多个因素的绝对统计数据, 能反应具体的数据;通过扇形统计图可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比.本题背景新颖, 首先考查了同学们的“图表”阅读能力, 其次考查同学们根据图表中反映出的数据解答有关问题的能力.要注意两幅图之间的对应关系, 首先由A级24人对应20%, 可求得样本容量为24÷20%=120 (人) , 所以C级为120×30%=36 (人) , D级为120-24-48-36=12 (人) , 则可把图 (2) 中条形统计图补充完整.由A、B两级所占的比例 (24+48) ÷120=60%, 可知750份的参赛作品中B级以上的作品为750×60%=450 (人) .该题在中考中还经常出现像求D级 (图 (1) 中) 所占的圆心角一类的问题, 要学会分析和转化.
例2 (2012·江苏常州) 在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球, 其中白球2只, 红球1只, 黑球1只, 它们除了颜色之外没有其他区别.从袋中随机地摸出1只球, 记录下颜色后放回搅匀, 再摸出第二个球并记录颜色.求两次都摸出白球的概率.
【分析】本题是典型的概率计算题, 同学们在做该类型摸球的题目时首先要明确是否有放回, 其次要用序号来区分相同颜色的球, 这样就不容易重复和遗漏.画树状图或列表如下:
∵共有16种等可能情况, 两次都摸出白球的情况有4种, ∴两次都摸出白球的概率为
例3 (2008·湖北天门) 如图, 有两个可以自由转动的均匀转盘A、B.转盘A被均匀地分成3等份, 每份分别标有1, 2, 3这三个数字;转盘B被均匀地分成4等份, 每份分别标有4, 5, 6, 7这四个数字.有人为小明, 小飞设计了一个游戏, 其规则如下: (1) 同时自由转动转盘A和B; (2) 转盘停止后, 指针各指向一个数字 (如果指针恰好指在分格线上, 那么重转一次, 直到指针指向某一数字为止) , 用所指的两个数字相乘, 如果积为偶数, 小明胜, 否则小飞胜.
(1) 请你用列表或树形图求出小明胜和小飞胜的概率;
(2) 游戏公平吗?若不公平, 请你设计一个公平的规则.
【分析】本题由列表或画树状图不难求出答案, 但是从游戏是否公平角度出发似乎又换了一种思维方式 (虽然转化幅度很小) , 判断游戏是否公平的 (或者奖项设置是否合理) 原则是双方获胜的概率是否相等.这类题既可以考查同学们正确掌握求概率方法的程度, 也可以考查同学们运用概率思想和知识解决实际问题的能力.无论是强化应用意识, 还是培养综合能力, 都是有价值的.列表如图:
“统计与概率”复习专题 篇6
1.下列选项中, 显示部分在总体中所占百分比的统计图是 () .
A.扇形图B.条形图C.折线图D.直方图
2.数据21, 21, 21, 25, 26, 27的众数、中位数分别是 () .
A.21, 21 B.21, 23 C.23, 21 D.21, 25
3.一个不透明的布袋中, 放有3个白球, 5个红球, 它们除颜色外完全相同, 从中随机摸取1个, 摸到红球的概率是 () .
4.如图是一个可以自由转动的正六边形转盘, 其中三个正三角形涂有阴影.转动指针, 指针落在有阴影的区域内的概率为a;如果投掷一枚硬币, 正面向上的概率为b.关于a, b大小的正确判断是 () .
A.a>b B.a=b
C.a<b D.不能判断
5.以下是某手机店1~4月份的两个统计图, 分析统计图, 对3、4月份A型手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论, 其中正确的为 () .
A.4月份A型手机销售额为65万元
B.4月份A型手机销售额比3月份有所上升
C.4月份A型手机销售额比3月份有所下降
D.3月份与4月份的A型手机销售额无法比较, 只能比较该店销售总额
6.从2, 3, 4, 5中任意选两个数, 记作a和b, 那么点 (a, b) 在函数图像上的概率是 () .
7.一天晚上, 小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时, 突然停电了, 小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起, 则其颜色搭配一致的概率是 () .
8.甲乙两布袋都装有红、白两种小球, 两袋装球总数相同, 两种小球仅颜色不同.甲袋中, 红球个数是白球个数的2倍;乙袋中, 红球个数是白球个数的3倍, 将乙袋中的球全部倒入甲袋, 随机从甲袋中摸一个球, 摸出红球的概率是 () .
二、填空题
9.“从超市货架上任意取一盒月饼进行检验, 结果合格”这一事件是_______. (填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”)
10.已知一组数据5, 8, 10, x, 9的平均数是8, 那么这组数据的方差是_______.
11.从分别标有数-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3的七张卡片中, 随机抽取一张, 所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是_______.
12.从1, 2, 3这三个数中, 任意抽取两个不同数字组成一个两位数, 则这个两位数能被3整除的概率是_______.
13.某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中, 随机调查了若干名学生 (每名学生分别选了一项球类运动) , 并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图.已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人, 则该校被调查的学生总人数为_______名.
三、简答题
14.中华文明, 源远流长;中华汉字, 寓意深广.为了传承优秀传统文化, 某校团委组织了一次全校3 000名学生参加的“汉字听写”大赛, 赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况, 随机抽取了其中200名学生的成绩 (成绩x取整数, 总分100分) 作为样本进行整理, 得到下列不完整的统计图表:
请根据所给信息, 解答下列问题:
(1) a=________, b=________;
(2) 请补全频数分布直方图;
(3) 这次比赛成绩的中位数会落在________分数段;
(4) 若成绩在90分以上 (包括90分) 的为“优”等, 则该校参加这次比赛的3 000名学生中成绩“优”等的大约有多少人?
15.一个不透明袋子中有1个红球, 1个绿球和n个白球, 这些球除颜色外无其他差别.
(1) 当n=1时, 从袋中随机摸出1个球, 摸到红球与摸到白球的可能性是否相同?_______ (填“相同”或“不相同”) ;
(2) 从袋中随机摸出1个球, 记录其颜色, 然后放回.大量重复该实验, 发现摸到绿球的频率稳定于0.25, 则n的值是_______;
(3) 在一个摸球游戏中, 所有可能出现的结果如下:
根据树状图呈现的结果, 求两次摸出的球颜色不同的概率.
16.某运动品牌店对第一季度A, B两款运动鞋的销售情况进行统计, 两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示:
(1) 一月份B款运动鞋的销售量是A款的4/5, 则一月份B款运动鞋销售了多少双?
(2) 第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变, 求三月份的总销售额 (销售额=销售单价×销售量) ;
概率统计与日常生活 篇7
一、概率在彩票中的应用
目前在我国发行着各种各样的彩票,买一张彩票就会有可能中巨额奖金,因而吸引了很多人参与,但是中奖的机会有多大呢?下面我们来一起研究.
例1江苏省传统7位数体育彩票根据投注号码与开奖号码相符情况确定相应中奖资格. 例如,若满足投注号码与开奖号码全部相同且排列完全一致,则中特等奖,单注奖金最高为500万元,求中特等奖的概率.
【分析】每个7位自然数号码表示一注彩票,即0000000~9999999共1 000万个不同的号码,故中特等奖的概率为1/10 000 000
例2江苏省传统7位数体育彩票由于中特等奖概率较低,慢慢地失去了吸引力,现市场上比较流行一种“排列3”的彩票,得到了大家的普遍欢迎. 排列3是指从000~999的数字中选取1个3位数作为一注投注号码进行的投注. 排列3投注方式分为直选投注和组选投注. 直选投注是所选3位数以唯一排列方式作为一注的投注;组选投注是所选3位数以所有排列方式作为一注的投注,具体分为组选6和组选3,组选6投注的3位数中每位数字各不相同,组选3投注的3位数中有2位数字相同.
求:(1)直选投注的中奖概率;
(2)组选6的中奖概率;
(3)组选3的中奖概率.
【分析】(1)排列3是指从000~999的数字中选取1个3位数,即从000~999共1 000个不同的号码中选取1个号码,根据投注号码与开奖号码相符情况确定相应中奖资格. 直选投注号码与开奖号码数字相同且顺序一致,即中奖. 例如,若开奖号码为123,则直选投注号码为123即中奖,所以直选投注的中奖概率为1/1 000.
(2)组选6投注的3位数中每位数字均不相同,投注号码与开奖号码数字相同且顺序不限,即中奖,共有6种不同的排列方式,有6次中奖机会,例如,组选6投注号码为123,则开奖号码为123、132、213、231、312、321之一均中奖,所以组选6的中奖概率为6.1 000
(3)组选3投注的3位数开奖号码中任意2位数字相同,投注号码与开奖号码数字相同且顺序不限,即中奖,共有3种不同的排列方式,有3次中奖机会,例如,组选3投注号码为122,则开奖号码为122、212、221之一均中奖,所以组选3的中奖概率为3/1 000.
知识链接:中国体育彩票“排列3”按当期销售总额的53%、13%、34%分别计提彩票奖金、彩票发行费和彩票公益金. 彩票奖金分为当期奖金和调节基金,其中,52%为当期奖金,1%为调节基金. 排列3按不同投注方式设奖,均为固定奖. 奖金规定如下:
(一)直选投注:单注奖金固定为 1 040元.
(二)组选投注:
组选6:单注奖金固定为173元;
组选3:单注奖金固定为346元
二、概率统计在保险业中的应用
近年来,保险业不断蓬勃发展,各保险公司抓住商机,竞相开拓业务,不断推出各种类型的保险. 为了吸引更多的参保者,增强公司竞争力,怎样合理设定参保金额以及赔偿金额,就成了保险公司决策者的核心问题. 每一笔业务都是有一定风险的,保险公司通过对概率与统计的分析,从而达到最大限度地规避风险、增大收益、减少损失的目的. 请同学们看下面的例子:
例3有2 500个同一年龄段同一阶层的人参加某保险公司的人寿保险. 根据以前的统计资料,在一年里每个人死亡的概率为0.000 1,而在死亡时其家属可以得到保险公司200 000元的赔偿金,求每个参加保险的人1年至少要付给保险公司多少保险费,保险公司不亏本?
【分析】设每个参加保险的人1年至少要付给保险公司x元保险费,保险公司不亏本,则在n年中共收取的保险费为2 500nx元,n年中死亡的人数为2 500×n×0.000 1人,赔偿的金额为2 500×n×0.000 1×200 000元,
由此可得:2 500nx≥2 500×n×0.000 1×200 000,解得x≥20.
所以每个参加保险的人1年至少要付给保险公司20元保险费,保险公司不亏本.
“统计与概率”易错剖析 篇8
(1) 写出k为负数的概率;
(2) 求一次函数y=kx+b的图象不经过第一象限的概率. (用树状图或列表法求解)
【错解】有的同学在做第二问时错误地认为k和b是不一样的数字, 所以树状图画错了, 最后的概率也算成了1/33
【分析】 (1) 根据概率的计算方法, 用负数的情况数除以总情况数, 计算即可得解;
(2) 画出树状图, 然后根据一次函数的性质求出不经过第一象限的k、b的值的情况, 再根据概率的求解方法计算即可得解.
【正解】解: (1) 共有3个数, 负数有2个, 那么k为负数的概率为:2/33
(2) 画树状图如下:
共有6种情况, k<0, b≤0的共有4种情况, 也就是不经过第一象限的共有4种情况,
∴一次函数y=kx+b的图象不经过第一象限的概率是2/33
例2 (2012·北京) 在不透明的箱子里放有4个乒乓球.每个乒乓球上分别写有数字1、2、3、4, 从箱子中摸出一个球记下数字后放回箱中, 摇匀后再摸出一个球记下数字.若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标, 第二次摸出的球上的数字记为点的纵坐标.
(1) 请用列表法或树状图法写出两次摸球后所有可能的结果;
(2) 求这样的点落在如图1所示的圆中的概率 (注:图中圆心在直角坐标系中的第一象限内, 并且分别与x轴、y轴切于点 (2, 0) 和 (0, 2) 两点) .
【错解】有的同学在做这道题目时, 因为对圆和坐标系图形的模糊印象, 而对点的判断有失误, 最后导致第二问中的概率出现错误.
【分析】 (1) 首先根据题意列出表格, 然后由表格即可求得所有等可能的结果;
(2) 根据 (1) 中的表格求得这样的点落在如图1所示的圆内的情况, 然后利用概率公式求解即可求得答案.
【正解】解: (1) 列表得:
∴共有16种等可能的结果.
概率统计课程的教学心得 篇9
1. 激发学生的主动性
概率论与数理统计是一门较抽象的数学学科,而且概率本身就是一个抽象的概念,在教学初就应该很好地抓住学生的积极性、主动性.由于近几年高中的教材改革,使得概率论与数理统计中的一部分内容被引进了高中教材,比如:事件的概率、古典概型、离散型随机变量、数学期望等.这样容易导致开课时学生的厌学情绪,让他们觉得这些都是已经完全掌握的知识点,使得学生的学习能动性不强.因此,在这些部分建议不以老师主讲为主,改为让学生参与讲授,从而不但避免了填鸭式教学方式,也让学生了解到自己对中学学过的知识点的理解达到了什么样深度和广度,有针对性地来弥补不足,使得学生很快就能融入到课堂教学中来,充分调动了学生的学习积极性,并且使学生有了成为教学主体的感觉,真正实现教学相长.
另外,在教学过程中总会遇到以人名命名的定义、定理、分布、公式等,比如:伯努利概型、高斯分布、切比雪夫不等式、辛钦大数定律、克拉默—拉奥不等式等,在对这些知识点进行教学时,通常可以从这些数学家的生平简介入手,简单介绍一下他们的国籍、研究方向、研究成果、主要成就以及他们发明这些定义、定理时的过程或者一些小趣事,使学生不是单纯地背诵这些定义、定理,而是建立起这些枯燥定理和数学家之间的联想,不但内容记忆深刻,而且能促进他们学习本门课程的兴趣.
2. 注重知识点之间的衔接和补充
在最初的教学过程中,总是习惯以章为单位,认为只要上一章一结束,就完全地进入下一章节,不太重视各章知识点之间的联系和衔接,导致教学效果一般.比如:伯努利试验和二项分布与伯努利大数定律,事件独立性的定义和随机变量独立性的定义,正态分布和中心极限定理,切比雪夫不等式和大数定律,数学期望和辛钦大数定律,大数定律和矩法估计等都有着密切的联系.因此讲解的时候最好是先进行导入,把前后的知识点进行比较,理清它们之间的相关关系,使学生能够把各章相关的知识穿成串,便于理解掌握,同时也使得教学能够由浅入深,承上启下,融会贯通.
针对目前我们国家高学历人才的普及的特点,有很多本科生毕业后就直接报考硕士研究生,尤其是概率统计方面的硕士,为了使他们能更深刻地掌握概率统计的基本知识,可以在教学过程中引进一些高等概率论或者高等数理统计的部分知识点.比如:关于概率的性质,除了书上介绍的基本性质外,还可以简单提及一下概率的连续型定理、极限事件、Borel-Cantelli引理;对于全概率公式,课本只给出了离散形式的表达方式,我们可以引进连续形式的全概率公式;还有全数学期望公式、条件方差公式、示性函数、条件期望的定义和性质、随机变量序列的几种收敛性及其关系等等.当然不用去详细地证明它们,只是稍微说一下它们的内容及在某些方面的应用即可.这样不但促进了学生进一步学习的热情,为他们报考研究生做足了充分的准备工作,而且避免了老师在教学过程中照本宣科、一字不漏.
3. 明确概率统计的思想方法
学习任何一门课程最终的目的并不是成为解题工具,而是要了解其思想方法,当然概率论与数理统计也不例外.比如:在矩法估计教学过程中就有这样的体会,虽然书本上用的都是用样本的一阶矩来代替总体的一阶矩,但是其思想方法是用样本矩来代替相应的总体的矩,也就是说只要各阶矩存在,矩法估计量就不止一个;还有极大似然估计采用的是极大似然原理、假设检验的思想是小概率事件在一次实验中认为不可能发生的实际推断原理等等.因此只要了解了概率统计中的根本思想,问题就迎刃而解.虽然我们现在的考核方式仍以考试为主,但是分数并不能作为完全肯定或否定一个人的标准,掌握概率统计的思想方法才是我们真正要向学生传递的信息,才是学生创新能力培养的根本,这样教出来的学生才是当今社会真正需要的人才.
4. 改进黑板式的单一教学模式
在进行多维随机变量教学过程中,经常要借用图形来使问题清晰、明了.比如:常见的求二维随机变量落入某个区域的概率的问题,通常就是要画出平面坐标系及图形来确定积分的上下限,这种二维的尚可在黑板上画出图像,三维以上的图形就不是很好处理;还有几何概型中也存在着这样的问题,涉及三维以上的图形就不便处理,这时引进一些辅助的教学工具,比如Power Point、几何画板等等就是必要的,能使教学效果事半功倍.
以上是我对概率论与数理统计课程教学的几点心得体会.首先,从学生的角度出发,调动学生的学习主动性,这是本课程教学成功的关键,也应该是绝大多数课程教学的关键;其次,从课程特点出发,理清头绪,讲清各个知识点之间的联系和区别,让所教学的课程成为一个整体,而不是片面的一部分;第三,从思想方法方面着手,使得培养出来的学生不是死记硬背的模范生,而是真正能运用概率统计的知识解决各种实际问题的潜能生;最后,从教学模式方面探讨了提高教学质量的方法,让教学过程更加有趣和生动.
摘要：通过概率统计课程教学的实践经验,结合学生和专业的特点,对概率论与数理统计课程的教学方法分别从学生的兴趣、课程特点、统计思想和教学模式四个方面进行了阐述.
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概率统计特性10-08
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