概率和统计数学（精选12篇）
概率和统计数学 篇1
一、数学实验
大家都知道物理实验和化学实验, 那么什么是“数学实验”呢?长期以来, 人们对数学教学的认识就是概念、定理、公式和解题。在传统的数学教学过程中, 教师在黑板上讲数学, 而学生则在课堂上听数学和在纸上做题目。这样, 对多数学生而言, 数学的发现探索活动没有能够真正开展起来, 学习数学的积极性也没有真正被调动出来。
传统的数学课程教学方法是老师讲、学生练。在这种教学模式下, 学生对数学的认识也仅是停留在记公式、做计算题和证明题上。这与当前社会对科技人才的培养中数学素质和能力的要求相差甚远。从上世纪90年代中期开始, 数学实验作为大学数学教学改革的产物在国内高等院校诞生, 它以与传统数学教学不同的方式在大学数学教育中引起广泛的兴趣。
所谓数学实验 (Mathematical experiment) , 是在现代教育理论 (特别是建构主义学习理论) 指导下, 借助数学软件理解抽象的数学理论、自主探索和研究数学问题以及数学的应用问题的实践过程[1]。
在提到数学实验时, 不能不提数学建模 (Mathematical Model) 以及全国大学生数学建模竞赛。由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的全国大学生数学建模竞赛, 每年一次。二十多年来, 竞赛的参赛学校、参赛人数不断增加。竞赛虽然发展得如此迅速, 但是参加者毕竟还是很少一部分学生, 要使它具有强大的生命力, 必须与日常的教学活动和教育改革相结合。二十多年来, 在竞赛的推动下许多高校相继开设了数学建模课程以及与此密切相关的数学实验课程。另外, 怎样在大学的主干数学课程中融入数学实验的思想, 也是十分有意义的工作。关于把数学建模和数学实验的思想方法融入大学数学[2,3,4]。
21世纪对各类专业技术人才的培养中数学素质和能力的要求越来越高, 我们培养的人才应具有带专业背景的实际问题建立数学模型的能力, 这样才能在实际工作中发挥更大的创造性。随着科学技术的进步, 尤其是计算机技术的快速发展, 数学对当代科学乃至整个社会的影响和作用日益显著。数学成为科学研究的主要支柱, 其方法及计算已经与理论研究和科学实验成为科学研究中不可缺少的手段。
二、把数学实验的思想和方法融入《概率统计》教学
《概率论与数理统计》 (也简称为《概率统计》) 课程是高等学校理科类、工科类、经管类等各专业的重要公共基础课。该课程的教学效果, 对学生应用能力的培养有着举足轻重的作用。《概率统计》问题中涉及到烦琐的计算和画图, 我们可以借助数学实验的思想和方法来实现。以下通过几个例子, 从不同的侧面来探讨“把数学实验的思想和方法融入《概率统计》教学”。
1.生日问题的概率。假设每个人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的, 即等于1/365, 那么随机选取n (n≤365) 个人, 则他 (她) 们的生日各不相同的概率为[5]:
对n=10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 用MATLAB软件计算pn, 其具体计算结果如表1和图1所示 (其计算和画图的MATLAB程序[1]) 。
2.学生身高问题的参数估计和假设检验。中国改革开放30多年来的经济发展使人民的生活得到了很大的提高, 不少家长都觉得孩子这一代的身高比上一代有了明显变化。表2是近年在一个经济比较发达的城市中学收集到的17岁的男生身高 (单位:cm) 。 (1) 如果表2中的数据来自正态分布, 求男生身高的均值和标准差的点估计 (极大似然估计) 、置信水平为0.95的区间估计; (2) 检验男生身高的数据是否来自正态分布; (3) 已知30年前同一所学校同龄男生的平均身高为168cm, 为了回答男生身高是否发生了变化, 请检验:H0∶μ=168, H1∶μ≠168 (显著性水平为0.05) 。
①如果表2中男生身高的数据x已输入, 则男生身高的均值和标准差的点估计 (极大似然估计) 、置信水平为0.95的区间估计的MATLAB命令为:[mu sigma muci sigmaci]=normfit (x, 0.05) 。运行结果为:均值和标准差的点估计 (极大似然估计) 分别为172.7040和5.3707, 均值和标准差的置信水平为0.95的区间估计分别为 (171.1777, 174.2303) 和 (4.4863, 6.6926) 。
②检验男生身高的数据是否来自正态分布, 其MATLAB命令为:h1=jbtest (x) , 运行结果为h1=0。
说明:h1=jbtest (x) 表示对数据x进行正态性检验, h1=0表示通过了数据的正态性检验。
另外, 还可以通过正态概率图来检验男生身高的数据的正态性, 其MATLAB命令为:normplot (x) , 运行结果如图2所示。图2也说明了表2的数据通过了正态性检验。
③由于在 (2) 中已经通过了男生身高数据正态性的检验, 所以在显著性水平为0.05时, 检验:H0∶μ=168, H1∶μ≠168, 其MATLAB命令为:[h, sig, ci]=ttest (x, 168) , 运行结果为:h=1, sig=1.1777e-007, ci=171.1777 174.2303
以上结果表明, 拒绝了H0。所以在显著性水平为0.05时, 男生的平均身高发生了显著变化。
说明:h=0表示在给定的显著性水平下, 可以接受H0;h=1表示在给定的显著性水平下, 拒绝H0。sig为检验的p值 (sig=1.1777e-007<0.05, 所以拒绝H0) , ci为置信区间 (由于168∉ (171.1777, 174.2303) , 所以拒绝H0) .
三、结束语
通过以上两个例子, 我们从不同的侧面初步地领略了“把数学实验的思想和方法融入《概率统计》教学”。同济大学出版社出版了一套普通高等教育“十二五”规划教材, 包括《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》等, 这套教材体现了“把数学实验的思想和方法融入到大学的主干数学课程中去”。关于数学实验的思想和方法融入《概率统计》教学的其他内容[1,5,6]。
摘要：把数学实验的思想和方法融入《概率统计》教学, 是当前《概率统计》课程教学改革的一个重要内容。本文简要地介绍了数学实验, 并通过生日问题的概率、学生身高问题的参数估计和假设检验, 来探讨“把数学实验的思想和方法融入《概率统计》教学”。
关键词：数学实验,概率统计,教学改革
参考文献
[1]韩明, 王家宝, 李林.数学实验 (MATLAB) [M].第3版.上海:同济大学出版社, 2015.
[2]刘琼荪, 钟波.将数学建模思想融入工科“概率统计”教学中[J].大学数学, 2006, 22 (2) :152-154.
[3]张小红.将数学实验的思想融入数学类课程[C]∥大学数学课程报告论坛组委会.大学数学课程报告论坛论文集2006.北京:高等教育出版社, 2007:254-256.
[4]韩明.将数学实验的思想和方法融入大学数学教学[J].大学数学, 2011, 27 (4) :137-141.
[5]韩明.概率论与数理统计[M].第3版.上海:同济大学出版社, 2013.
[6]韩明.《概率论与数理统计》中借助数学实验理解几个极限定理[J].大学数学, 2013, 29 (4) :127-131.
概率和统计数学 篇2
高考要求
概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容 要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法
重难点归纳
本章内容分为概率初步和随机变量两部分 第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验 第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差
涉及的思维方法 观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化
主要思维形式有 逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维
典型题例示范讲解
例1有一容量为50的.样本，数据的分组及各组的频率数如下
［10，15］4 ［30，35 9 ［15，20 5 ［35，40 8
［20，25 10 ［40，45 3 ［25，30 11
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
概率和统计数学 篇3
关键词：概率统计教学；数学软件；作用
【中图分类号】O21-4
一、概率统计教学的现状分析
从概率统计教学的主要内容来看，这一部分的经典内容所占的比重很大，现在的内容所占比重很少，而且概率所占的比重明显高于统计。这些内容已经无法适应当前数学教学的要求了。
从概率统计教学的重点以及效果来看，需要对计算技巧进行反复练习，培养学生的理解、证明推理和应用能力。但是在实际的教学过程中，受到结合范围狭窄的限制，学生缺少进行综合训练的机会，导致学生不能将所学的知识灵活的运用到解决实际的问题中。
从概率统计的教学方法来看，数学教师注重的是讲解细致、全面和透彻。但是随着教学内容的不断增加，数学教学课时有限，只能勉强完成基本内容的讲解，严重束缚了数学教师的思维[1]。例如，在讲解习题时，担心学生无法取得理想的成绩，就想把所有的题目类型和解题技巧灌给学生，却忽略了学生的主观性和能动性，忽视了培养学生应用概率统计知识解决实际问题的能力，致使学生在学完该课程后，和实际的应用情况存在较大差距。
二、概率统计教学应用数学软件的重要性
随着教育改革的深入和社会经济的进步和发展，对数学知识的学习和研究提出了更多和更高的要求。西方的教育学家认为，在数学学习中需要掌握基本的数学概念、法则定理和创造性解决问题。但在我国的数学教育中，只關注了基本概念和法则定理，没有对创造性解决问题引起足够的重视。
作为数学教学中的重要内容，概率统计会随着专业的不同而出现细微的差别，导致教学内容和教学方法也有所不同。但是从整体来看，也只是适应当代人才培养对数学教学提出的要求。从内容上来看，它已经脱离了现代数学的范围，从教学方式和方法来看，没有充分利用计算机这一信息时代的主要工具，理论和实践存在脱节，没有真正发挥出概率统计的作用。导致了学生就数学论数学，学习与应用相脱离，这就要求对这门应用性很强的课程的教学进行改革，以适应未来经济和社会发展对概率统计这门课程的要求[2]。
由此可见，传统的概率统计教学内容的陈旧与教学方法已经无法满足现代社会对概率统计人才的需求，迫切需要对其进行教学改革[3]。而在概率统计课程中引入数学软件，利用现代计算机技术和数学软件相结合，让学生动手参与课堂教学，在老师的引导下，自主探索结论，自主解决实际问题，这对培养学生学习兴趣，提高学生动手能力和创新思维能力以及增强学生对知识的理解是非常有必要的。
三、数学软件在概率统计中的具体作用
（一）有助于培养学生的数学学习兴趣
由于数学知识相对较为乏味和枯燥，学生难以感性认识数学知识，教师在对概率统计知识进行讲授时，可以适当增加数学实验，让学生能够亲自观察和实践，得出合理的结论，激发学习趣味。
如在对概率的古典定义加以学习时，教师可以让学生对相关问题加以思考：甲、乙两位棋手在棋艺方面相当，两人相遇于奖金为2000元的比赛中，赛局为五局三胜，在进行三局比赛后，棋手甲为一负两胜。现因故需要停止比赛，应该怎样公平分配2000元的比赛奖金？部分学生认为棋手甲胜了两局，则甲可获得奖金的2/3，棋手乙则获得1/3，但是这样的结果合理吗？一般在考虑应由什么来决定奖金的分配时，可以利用甲乙棋手分别获胜的概率来加以决定。这时教师可以让学生进行相关的数学实验：以甲一负两胜为基础，利用计算机模拟两人后面的比赛，从而计算两人获得的奖金。两人棋艺相当，可以假定两人在下一局比赛中各具一般的胜负机会，利用数学软件中产生的随机函数0和1加以表示，其中0表示甲胜，1表示乙胜。同时连续模拟1000次，在模拟时可以让乙胜三局，并在此基础上对奖金进行分配，计算两人每次的平均奖金，则这是该棋手应的奖金。模拟结果表明并不是甲获得奖金的2/3，乙获得奖金的1/2，这样能够有效调动学生探究的欲望，引导学生利用古典概率的相关定义对该问题甲乙解决。
（二）有助于提高数学的学习效率
在数学概率统计的学习中，很多数学概念和公式都比较抽象，只依靠教师的讲解很难让学生充分理解所学的知识，只能对这些知识进行死记硬背，不利于学习效果的提升。如果在教学的过程中引入数学软件，设计有趣味性的数学实验，让学生在实践的过程中去发现知识，既可以增强他们的动手操作能力，还有助于知识点的理解[4-5]。
以正态分布的学习为例，在传统的数学教学中，教师就会根据教材，告知学生，正态分布在概率统计中占有重要地位，是最重要的分布。在讲解这一知识点时，教师会利用中心极限限定理论来对其具体内容进行说明。此时，学生就会产生疑问：“既然正态分布很重要，那么它的分布从何而来？” 虽然中心极限定理严格阐述了理由，但中心极限定理本身是抽象的，其证明要用到其他的抽象的数学概念和工具。所以很多学生学完概率统计都没有理解正态分布，但如果在教学过程中引入数学实验，正态分布和中心极限定理的教学理解上的难点将会得到突破。
结束语
综上所述，在数学教学中，概率统计是非常重要的组成部分，能为其他学科的学习奠定基础，具有很强的应用性，涉及到多个领域。概率统计的教学质量以及学生的实践能力，会对后续课程的学习产生非常重要的影响。在概率统计的课程教学中应用数学软件，可以帮助学生在理解基本原理的基础上，掌握正确的计算方法，利用数学软件来完成统计计算，做出准确的统计推断，培养学生运用数学软件解决实际问题的能力。
参考文献：
[1]刘东海，彭丹.“概率统计”教学中融入数学文化的探讨[J].当代教育理论与实践，2013，05（13）：135-136.
[2]敬成林，韩爱华.数学软件在概率统计教学中的辅助作用[J].科技信息，2013，21（02）：150+161.
[3]吕林燕，王学红.新课标下大学概率统计教学与中学数学教学内容的衔接探讨[J].高等函授学报（自然科学版），2010，06（15）：78-79+82.
[4]黄晓梅，李建耀.引入数学实验的概率统计课程的两种教学模式的探讨[J].数学学习与研究，2015，15（02）：22+24.
概率和统计数学 篇4
由于概率统计研究的对象主要是随机现象, 这就决定其研究方法不同于研究因果关系的逻辑思维, 而要用概率统计固有的思想方法.因此, 它的教与学也应具有不同的特点.本文将结合自己多年对该门课程的教学实践, 就中学概率统计的教学谈几点意见.
1 精心设计课题引入, 创设最佳学习情境
课题引入是教学艺术的一个重要组成部分.好的课题引入应着眼于对所授知识的超然运用与奇巧安排.因此, 教师要从讲解本课程的理论和基本知识出发.精心设计、营造氛围, 恰到好处地引入课题, 使学生进入愤悱状态, 进而萌发高涨的学习情趣, 产生学习新知识的动力.
1.1 引趣设疑法
“概率论发展简史简介”的引入.
概率论出身“不佳”, 它起源于赌博和靠运气取胜的游戏.起先, 一些赌徒出于好奇心, 把各种各样的问题拿去请教他们在数学界的朋友.这个与赌徒有关的联系, 令人遗憾地促进了概率论的缓慢的断断续续的发展…….如今概率论已脱离了它那卑微的发源地, 成为一门理论严谨、应用广泛、发展迅速的数学学科.
评注 一个概率论出身“不佳”的话题引发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望, 为概率统计的学习开了好头.
1.2 联系实际法
“随机事件”的引入.
在自然界和生产实践中, 有一类现象是具有确定性的…….然而, 我们生活的世界是一个充满偶然的世界, 常言道:“虽计划极其周密, 然一切却难以预料.”这恰好说明了偶然性在起作用.它跟着人们的脚步, 由生到死, 始终扮演着一个重要的角色.婴儿的出生, 偶发性是其因素之一.未出生的婴儿, 是男是女, 机会各半, 甚至人们的生病、车祸……
评注 上述课题引入, 从身边具体事例出发, 使得学生倍感亲切, 从而对随机现象的每一个可能的结果——随机事件的理解自然也就水到渠成.
1.3 以旧引新法
“离散型随机变量数学期望的定义”的引入.
本节课开始, 可先给出例子:
设某射手在同样的条件下, 瞄准靶子相继射击100次, 其结果如表1.试问:该射手每次射击平均命中多少?
在教师的指导下, 学生给出了以下两种计算方法:
法1 算术平均数法.
法2 采用频率的加权平均法.
下面就在法2上借题发挥.
法2采用的是以频率为权进行加权平均的, 由于这个平均数是经过100次射击观察得出的, 因此它带有随机性, 这种随机性与频率有关.如果我们用概率来代替频率, 这样就能消除随机性.也就是说若以概率为权进行加权平均的话, 才能给出随机变量平均值的精确定义, 这就是本节课给出的“离散型随机变量的数学期望的定义”. (板书)
评注 这样的课题引入, 充分发挥了学生的主体作用, 既能促使学生知识技能产生积极的迁徒, 又能增强他们对知识加工运用的自主性、创造性.
1.4 复习引导法
“随机变量的特征数字——方差”的引入.
在不少的实际问题里, 不仅需要知道随机变量的均值, 而且还需要知道随机变量取值与均值的偏差程度.比如, 奥运会前夕, 要从两名射击运动员中挑选一名去参加奥运会, 一个公正、公平的办法就是看他们的竞技状态.假定两名射手甲与乙各射击5次所得环数如下:甲4, 8, 7, 10, 6;乙7, 7, 8, 7, 7.平均环数都是7环, 作为教练员的你, 是选择甲还是选择乙? (同学们异口同声地回答:乙.) 为什么? (同学:乙的成绩比甲稳定.) 回答得很好.从上面我们可以看出, 随机变量的这一特性用均值是反映不出来的.应当引进一个数, 用以刻划随机变量对它的均值的偏离程度.对于上述例子可以这样做, 先求每个实际取值与平均值的差的平方……, 由这个例子得到启发, 想到可用 (X-EX) 2的均值E (E-EX) 2描述X对其均值EX的偏离程度, 因而给出方差定义如下…….
评注 一个恰如其分的事例, 如饮一杯清新的甘泉, 让人浅斟细酌, 回味无穷.在这样的课堂氛围中学生会心领神会, 真正把课堂当成一种享受.
实际上, 在概率统计中, 由“醉鬼走路问题”所阐明的概率统计方法的作用开始到“n个写好地址的信封, 还有与其对应的n封信”等一类问题中有关事件概率的计算;由“贝特朗奇论”到计算几何概率时要注意的点具有所谓的均匀分布;由小概率事件的实际不可能原理, 到假设检验中的反证法;由回归一词的追溯到线性回归方程的解释……富有情趣的典故比比皆是, 令人为之驻足赏玩.在教学中抓住时机, 结合有关内容巧加应用, 创设情景, 必能妙趣横生, 使学生不但在欢愉之中巩固了知识和方法, 而且也提高了思维能力.
2 重视概念教学, 既要规范严谨, 还须形象生动
众所周知:“概念多、概型多、所用数学工具多”被称之为概率统计课的三多, 当然就中学概率统计课而言, 主要是“概念多”, 那末如何搞好中学概率统计中的有关概念的教学呢?我认为, 对概念的教学既要规范严谨, 又要形象生动, 还要善于用最通俗的语言去揭示.
比如在事件的关系及其运算中, 初学概率的人往往对“事件的对立”、“事件的互斥”、“事件的独立”以及“对立与互斥”、“互斥与独立”之间的关系搞得不太清楚.这样就直接影响到复杂事件的表述和概率的计算上.因此, 这就要求我们帮助学生自觉辨析有关概念, 促进他们的认知发展.对这部分的教学, 以我之见, 还是引入样本空间Ω为好, 因为在引入样本空间Ω后, 事件就可以用Ω的子集合来表示, 事件的关系就可以用集合之间的关系来表示, 而事件的运算又与集合的运算完全一致, 这样我们就可以借助表示集合关系的韦恩图来理解事件的包含、相等、并、交、补、互斥、对立等关系.特别是, 只要我们精心联想定义, 灵活运用集合知识, 不但能熟练地弄清事件之间的关系, 而且也能把较为复杂的事件用简单事件表示出来, 为概率论证和计算打好基础.又如, 随机变量的数学期望和方差是显示随机变量概率分布的两个重要的特征数字.教学中我们不但要引导学生从实际问题中抽象出它们的定义, 而且要注重学生的直觉思维能力的培养.使他们认识到随机变量的数学期望 (离散型) 标明了随机变量取值的“中心”位置, 而方差则刻划了随机变量离开“中心”位置的偏差程度.同时也可以视离散型随机变量期望的定义式为质点系的重心横坐标, 而方差则表示质点系相对于通过重心EX的纵轴的转动惯量.连续型随机变量的单点处的概率等于零可形象地解释为“一条线无宽度的数学想象”, 参数估计可通俗地解释为“利用样本的信息去猜未知参数的一种方法”, 假设检验的主要依据是“小概率事件的实际不可能性原理”, 所采用的方法被称之为概率论中的反证法, 等等.寥寥数语, 既帮助学生加深了对有关概念的理解, 进而促进知识的升华, 同时也引发了科学思维方法的形成.在概率统计的教学中, 只要我们认真钻研教材, 至于正态分布中密度函数及其性质, 正态分布中三倍标准差原理, 标准正态分布数值表的正确使用以及一元线性回归方程的推导和建立都可利用几何直观, 让学生在愉悦的情境下主动而有效地参与教学, 亲自体验知识的发生和发展过程, 熟悉创新规律.
3 能力培养, 贯穿始终, 愚教于乐, 融汇贯通
注重能力培养已成为我国教育改革的主旋律.在概率统计的教学中, 建议从以下几方面做起:
3.1 培养学生的概率计算能力
概率计算是概率论解题教学的一项重要内容, 它不但包括古典概率的计算问题, 而且也包括利用概率的性质, 把计算复杂事件的概率化归为计算较简单的事件的概率.刚开始学习概率论时, 学生往往感到困难, 作者认为应从两个方面来解决这个问题.首先应注意在教学中不能大量选用只是单纯计算排列组合的习题, 不能使重在掌握排列组合的计算技巧超过重在掌握概率论的基本概念;其次在解题时对概率性质的运用要予以充分的注意.下面仅就古典概型中样本空间的选取和对立事件公式
3.1.1 古典概型中样本空间的选取
古典概型是初等概率论中最基本的内容之一, 在概率论发展初期就引起了人们的关注.深入考察古典概率问题, 有助于我们直观地理解概率论的一些基本概念, 合理地解决产品质量控制等实际问题.因此, 掌握古典概率问题的解法, 对于学好概率论具有十分重要的意义.
设一个随机试验的全部可能结果 (样本点) 只有有限个:ω1, ω2, …, ωn, 其中每一个结果出现的可能性都相同, 即
例1n个朋友随机地围绕圆桌而坐, 求其中甲、乙两人坐在一起 (座位相邻) 的概率.
解 很自然会把这个问题看作圆周排列的一个简单应用, 但我们不用这种方法.设甲已先坐好, 考虑乙的坐法.显然乙总共有 (n-1) 个位置可坐, 这 (n-1) 个位置都是等可能的, 而有利场合, 即乙和甲相邻有两个, 因此所求概率为
如把上述解法作细致的分析, 那就是我们取样本空间Ω={ω1, ω2, …, ωn-1}, ωi表示乙坐在第i个位置上, 它满足有限与等可能的要求, 我们要求概率的事件A表示为Ω的子集{ω1, ωn-1}.显然, 对例1这样选取的样本空间Ω是最小的了.用其他办法做这道题目选取的样本空间只会更大, 比上述解法复杂.值得指出的是在我们的解法中用不到排列组合.
例2 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只“红车”及一只“黑车”, 求它们正好可以互相“吃掉”的概率.
解 和例1一样, 我们同样可以找到最小的样本空间.任意固定“红车”的位置, “黑车”可处在90-1=89个不同位置, 当它处于和“红车”同行同列的9+8=17个位置之一时正好互相“吃掉”.故所求概率等于
当然我们的例子是经过有意识的选择的, 但这种注重样本空间的选取的思想是很有用的, 掌握它也不困难, 但却往往不被人们重视.
3.1.2 对立事件公式
对立事件公式
例3 从0, 1, 2, …, 9十个数码中随机而可重复地取出5个数码, 求A=“5个数码中至少有两个相同”的概率.
解 事件A中包含的基本事件情况比较复杂, 它包括“5个数码全相同”, “4个数码相同而与其余一个不同”, “3个数码相同而与其它两个不同”, 等等, 计算它们的个数比较麻烦.现在考虑事件
从上面可以看出:解答概率题是一个既有法, 有时又无定法的问题, 这就要求我们要注重积累解题经验, 总结解题规律.比如概率加法公式的正确使用、条件概率与乘法公式的运用、事件的独立性的应用、古典概型中对称性的应用、几何概率以及整值随机变量的分布列与数学期望的求解中, 都有一定的解题技能和技巧.本文就不一一赘述.
3.2 培养学生的数据处理能力
数据的处理能力现已明确为数学的一种基本能力, 概率统计教学应通过真实数据、活动和直观模拟的使用, 以使学生感到教学有意义、有用, 而不是抽象、不相关.教师要从教学实际出发, 组织学生走出课堂, 到工厂、农村、医院调查研究, 取得真实资料.然后根据要求, 制作相应的统计图表, 用回归分析方法处理具体问题.这样的活动作为课堂教学的补充, 既检验了学生对书本知识的掌握, 又增加了他们的实际工作经验.同时也使得他们在成功中品尝到了欢乐.
3.3 培养学生知识间的融会贯通的能力
数学教学是培养学生的多种能力的一个重要阵地, 纵观中学概率统计的内容, 从随机现象到随机事件的引入;从随机变量的概率分布到数字特征的定义及其应用;从不相关的独立……, 到处都有展示学生能力的广阔平台, 作为教师既要言传身教, 还要善于激发学生心灵深处的探索欲望, 让学生在探索、思辨和创造的氛围中, 发掘数学知识本身所蕴藏的妙趣神韵, 自觉地用概率方法解决中学数学中的有关问题.只有这样, 学生解决实际问题的能力才能凸现出来.限于文章篇幅, 仅从以下两例来展示概率统计与其它数学内容之间的联系, 以期能给读者一些有益的启示.
例4 求证:组合等式
分析 根据所求组合等式的特征, 构造概率模型:设有一批产品共m+n件, 其中m件是废品, 从m+n件中任取r件 (r<m+n) , 问A=“r件中有i件废品”的概率是多少 (i=0, 1, 2, 3, …, r) 显然
例5 (第22届IMO试题) 设P为三角形ABC内任一点, P到三边BC, CA, AB的距离依次为d1, d2, d3, 记BC=a, CA=b, AB=c, 求
解 设x的分布列为
则
据EX2- (EX) 2≥0, 即得
于是
4 结束语
托尔斯泰说过:“成功的教学所需要的不是强制, 而是激发学生的兴趣.”学生一旦对数学学习产生兴趣, 就会专心致志地学习数学, 积极地钻研数学, 从兴趣发展到志趣.在一种愉悦的情境下成功地进行概率统计的教学, 是我们共同的追求.让我们在愉悦中产生兴趣, 在探索中获得成功, 在成功中品尝快乐.
参考文献
[1]刘崇林.詹森不等式f (EX) ≤或≥E (f (X) ) 及其应用[J].宁夏教育学院、银川师专学报, 1991, (1) .
[2]刘崇林.一类能用概率模型解决的“分析”问题[J].宁夏教育学院、银川师专学报, 1995, (3) .
概率和统计数学 篇5
概率论与数理统计很多考生认为公式、概念比较多，形式比较繁杂，尤其是数理统计部分。其实不然，这门课程的最大特点是题型比较单一，规律性较强，解题方法也是相对较固定。比如概率的两道解答题，大多集中于第三章二维随机变量及其分布、第四章数字特征、数理统计中的基本概念以及参数估计。只要考生在这些章节重点进行复习，得分应该不是特别困难。考生复习起来比较困难的地方，集中在两点，一是古典概率，那块儿的计算一不小心就数错了，或者是不知道怎么来数数，其实这个大家放心，考研只会考简单的古典概率的计算，复杂的不会考，所以这部分可以很快通过；二是数理统计部分，这部分式子比较复杂，很多人学到这里就脑袋大，其实不用担心，这部分需要你真正去记忆的很少。考研 教育网 概率论与数理统计一共是八章，前五章是概率论，数学
一、数学三都要考的。数理统计是后面三章，数学一和数学三是要考的，但是估计量的评选标准、置信区间和假设检验只有数学一要求。
第一章是随机事件和概率，是后续各章的基础。它的重点内容主要是事件的关系和运算，条件概率及独立性，五大公式（加法公式、减法公式、乘法公式、全概公式和贝叶斯公式）。第一章出解答题的可能性很小，但也可能会在选择、填空中出现。
第二章是一维随机变量及其分布，该章节是学习二维随机变量的基础，掌握两大类随机变量：离散型随机变量和连续型随机变量、常见分布以及随机变量函数的分布。
第三章二维随机变量及其分布，重点内容是二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布，以及随机变量函数的分布。当然，也会有一些小的知识点，如随机变量的独立性。二维离散型随机变量的联合分布律，主要是结合第一章的古典概率进行考查。二维连续型随机变量的边缘概率密度和条件概率密度的计算，很多考生计算存在误区，一定要注意。第三章还有一个重点和难点内容就是随机变量函数的分布，这在2009年以前经常以解答题的形式考查，所以考生也应该引起足够的重视。
第四章随机变量的数字特征，每年必考，主要和二维随机变量及其分布和数理统计部分相结合。一般是一道客观题和一道解答题中的一问，所以要重点复习。第四章是考试的重点，但是不是考试的难点，考生掌握相应的公式进行计算即可。
第五章有三个内容，分别是切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。这不是考试的重点，至今只考过三次。所以本章主要掌握它们的条件和结论即可。
数理统计部分，第六章数理统计的基本概念主要是以客观题的形式进行考查。还有一种题型是结合数字特征进行考查，主要是出现在数一的试卷中。
第七章参数估计中的点估计是考试重点，经常是以解答题的形式进行考查，经常是试卷的最后一道题目。如果考试试卷中出现了这类题目，其实考生是完全能轻松拿到满分的，但是通过对历年试卷的分析，此类题目的得分并不是很理想，考生要注意答题顺序。估计量的评选标准只有数一的要求，数三不做要求。置信区
间也是只有数一的要求，它的考试频率非常低，主要是以客观题的形式考查，考生只需要记住相应的公式即可。
第八章假设检验只有数一要求。在1998年数学仅考过一道题，后来就没有考过，所谓第八章不作为重点。
总之，概率论与数理统计部分没有任何技巧，只要把基本概念、基本方法掌握住的话，肯定会把这部分题答好。因为建议考生重点掌握一些基本的理论、方法、公式，再适当的练习一些相应的题目即可。
2014年考研数学大纲解析 极限与导数
一、极限
极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。考研 教育网
极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度；在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效；夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算；单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
与极限计算相关知识点包括：
1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左、右极限，分段函数的连续性问题关键是分界点处的连续性，或按定义考察，或分别考察左、右连续性；
2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数的定义直接计算或检验，存在的定义是极限存在，求极限时往往会用到推广之后的导数定
义式；
3、渐近线（水平、垂直、斜渐近线）；
4、多元函数微分学，二重极限的讨论计算难度较大，多考察证明极限不存在。
二、导数
求导与求微分每年直接考查的知识所占分值平均在10分到13分左右。常考题型：
（1）利用定义计算导数或讨论函数可导性；（2）导数与微分的计算（包括高阶导数）；（3）切线与法线；（4）对单调性与凹凸性的考查；（5）求函数极值与拐点；（6）对函数及其导数相关性质的考查。
对于导数与微分，首先对于它们的定义要给予足够的重视，按定义求导在分段函数求导
中是特别重要的。应该熟练掌握可导、可微与连续性的关系。求导计算中常用的方法是四则运算法则和复合函数求导法则，一元函数微分法则中最重要的是复合函数求导法及相应的一阶微分形式不变性，利用求导的四则运算法则与复合函数求导法可求初等函数的任意阶导数。幂指函数求导法、隐函数求导法、参数式求导法、反函数求导法及变限积分求导法等都是复合函数求导法的应用。
导数计算中需要掌握的常见类型有以下几种：
1、基本函数类型的求导；
2、复合函数求导；
3、隐函数求导，对于隐函数求导，不要刻意记忆公式，记住计算方法即可，计算的时候要注意结合各种求导法则；
4、由参数方程所确定的函数求导，不必记忆公式，要掌握其计算方法，依据复合函数求导法则计算即可；
5、反函数的导数；
6、求分段函数的导数，关键是求分界点处的导数；
7、变上限积分求导，关键是从积分号下把提出；
概率统计数学思想在教学中的渗透 篇6
概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是我国本科教育中一门重要数学课程。概率论与数理统计是实际应用性很强的一门数学学科，它在经济管理、金融投资、保险精算、企业管理、投入产出分析、经济预测等众多经济领域都有广泛的应用。与别的数学课程不同的是概率论更强调直观和背景知识，如何根据学生的数学基础调整教学方法，以适应学生基础，培养其能力，并与其后续课程及专业应用结合，便成为任课教师面临的首要任务。
所谓概率统计数学思想，就是对概率统计数学知识和方法的本质认识，是对其规律的理性概括和认知。要全面提高学生的数学素质，形成创新思维能力，掌握科学的学习方法，就必须紧紧抓住数学思想和方法的教育及培养这一重要环节。按照人们认识事物的认知规律，由感性认识到理性认识，由感性的积累到理性的飞跃，才能形成一个完整的认知过程，从而在此基础上开始又一轮的更高程度的认知。概率统计学习也是这样，运用数学方法解决数学问题的过程，就是感性认识不断积累的过程。当感性认识量的积累达到一定程度时，就会产生理性认识质的飞跃，从而上升为概率统计数学思想。在概率统计教学中，我们也要遵守这样的认知规律，由方法的积累到思想的飞跃，而不能违背科学的认知规律。
二、概率统计数学思想在教学中的渗透过程
1.渗透“方法”，了解“思想”
并不是所有的学生抽象思维能力都很强，大部分学生的抽象思维能力还有待于训练和提高。因此必须将概率统计数学知识作为载体，把其思想和方法的教学逐步渗透到概率统计数学知识的教学中。教师要把握好渗透的时机和渗透的程度，举一反三循序渐进。重视概率统计数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程。使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题的能力。忽视或压缩这些过程，一味向学生灌输知识的结论，就必然失去渗透概率数学思想、方法的一次次良机。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，重点突出，难点分散，使学生易于接受。
2.训练“方法”，理解“思想”
概率统计数学思想的内容是丰富多彩的，方法也有难易之别。因此，教师在渗透概率统计数学思想方法的过程中，必须遵循循序渐进的原则，有重点有步骤地进行渗透和教学。教师要全面熟悉教材的编排体系、知识结构、能力层次、重点难点。认真钻研教学大纲，吃透教材，努力挖掘教材中进行概率统计数学思想方法渗透的条件和因素。对概率统计数学知识从思想方法的角度进行认真分析、系统归纳、科学概括，形成全面完整的认知和梳理。同时要对学生的认知能力、接受能力、知识能力基础有一个全面而准确的了解和把握。由易到难、由浅入深、分阶段、分层次地进行概率统计数学思想方法的渗透。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的概率统计数学方法，对学生养成良好的思维习惯就会起到重要作用。
3.掌握“方法”，运用“思想”
概率统计数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固。概率统计数学思想方法的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正领会。另外，使学生形成自觉运用概率统计数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“概率统计数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程。通过多次重复性的演示，使学生真正理解、掌握类比的概率统计数学方法。
4.提炼“方法”，完善“思想”
教学中要适时恰当地对概率统计数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。由于概率统计数学思想方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的概率统计数学思想方法来解决。因此，教师的概括、分析是十分重要的。
三、配合概率统计数学思想渗透教学中应注意的问题
1.做好与中学内容的有效衔接
由于学生在中学时已经初步学习了概率统计的一些内容，但是中学阶段介绍的内容分散、讲解的不够透彻，但涉及的面较广，主要内容都是离散型随机变量。所以，在处理教学内容时，要针对学生的不同情况及时调整。例如，讲解他们较熟悉的内容时，可以多设置提问，在复习内容的同时，对已有内容加以深化，加深理解，揭示定义定理的本质。
2.联系实际，培养学生的数学应用能力
概率统计所讨论和研究的问题与现实生活有密切的联系，在教学中应该强调概率统计的实际应用，从而激发学生的学习兴趣，促进学生努力学习。例如，在参数估计的教学过程中，笔者举了捕鱼问题的例子，即如何利用概率统计的方法估计湖中鱼的数量，这个问题的提法很笼统，教学中笔者是这样处理的，启发学生把问题转化为数学模型：设湖中有 N 条鱼，现捕出r 条，作上标记后放回湖中。过一段时间后再从湖中捕出s条（ s < r），其中有 t （ 0< t 3.加大现代网络技术运用的力度 多媒体计算机和网络介入教育为传统的教学模式和教学方法带来了深刻的变革。教师不但在课堂要熟练地运用多媒体技术进行教学，而且还要充分利用网络技术和现代化的教学条件，积极探索现代教育技术的应用，优化教学手段，以适应新世纪科技发展的需要。教师可以利用现代化多媒体技术，将较多的教学内容制作成课件，将教学过程清楚地展示给学生，这样能把更多的精力投入到具体内容的分析讲解之中，增加与学生的互动交流，而且通过多媒体教学，可以使抽象的内容直观化、形象化，便于学生理解和掌握。如在课堂教学中，向学生演示连续密度函数图像怎样随着它的参数变化而变化的，如何用统计软件（如Excel，SPSS等）计算二项分布、Poison分布、均匀分布、指数分布、正态分析等的概率；如何用统计软件绘制统计图表、进行参数估计、假设检验等。这些是传统教学都很难做到的，而且学生很感兴趣，效果很好。 四、小结 教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想方法的教学，是不完备的教学。它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平能力水平难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略数学知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛。因此概率统计数学思想的教学应与整个数学知识的讲授融为一体，教师要正确处理知识和能力的关系，精心组织课堂教学，充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用。 总之，在概率论统计教学中培养学生的数学能力、学习方法、逻辑思维能力、创造能力和社会活动能力是该学科教学的最高目标，也是时代发展对概率统计教学提出的要求。我们应根据时代的需要，大力推进概率统计教材、教法的改革。教师必须转变教育观念，练好教学基本功，把概率统计教学现代化，国际化。坚持不懈地照着一个目标迈进，就一定能够实现教育教学的改革和创新，就一定能够完成素质教育的光荣任务。 参考文献： [1] 廖东.试论多媒体在概率统计教学中的应用[J].科技创新导报，2010，12：148. [2] 栗东.提高数学教学质量初探[J].教学科研.2009，21：56. 一、顺序·公平 抽签问题也是古典概率中一个历史问题。袋中有a只白球, b只黑球。从中依次摸球, 试求第k次取出的球是白球的概率。 设:A=“第k次取出的球是白球”k=1, 2, …, a+b 解法一:把a只白球和b个黑球看作是不同的, 若把抽出的球依次排成一列, 则每个排列就是试验的一个基本事件, 基本事件数就等于a+b个球的所有全排列共有 (a+b) !, 事件A包含的基本事件特点就是在第k个位置上排的一定是白球, 共有a (a+b-1) !。因此, 解法二:把a只白球和b个黑球看作是不同的, 由于考虑第k个球的情况, 所以只需考虑从a+b中抽出k个球即可。因此若把抽出的k球依次排成一列, 则每个排列就是试验的一个基本事件, 基本事件数就等于个球的所有选排列共有Aka+b, 事件A包含的基本事件特点就是在第k个位置上排的一定是白球, 共有 从上述两种解法中可以看出抽到白球的概率是, 这个值与顺序k没有关系。对待同一个题目, 看待问题的角度不同使用的方法也就有所不同, 这就要求我们多角度、多方向地分析问题, 这样就既可以增加对题目的理解, 又可以开阔我们的思维。这个题目的模型在我们生活中也是随处可见。为了公平常常会进行抽签, 这个值与k没有关系, 也就是说抽签与顺序无关。比如, n张彩票中有一张奖券, 每个人摸到的概率在理论上概率是相等的。当然有人会说, 前面都抽完了后面还有什么意义, 这就我们对概率的理解问题。概率就是我们对未知事件的一种估计, 它最终的结果要么发生, 要么不发生, 只有这两种情况, 概率大的时候就说明事件发生的可能性大, 容易发生。 在讲完全概率公式后, 又把这个问题提出来, 从不同角度继续分析。 设在n张彩票中有一张奖券, 求第二人摸到奖券的概率是多少? 解:记Bi=第i个人摸到奖卷。 根据全概率公式可得: 这个结果仍然跟我们利用古典概型的结果一致, 再次说明了抽签与顺序没有关系。这也就希望大家以后在抽签的时候能“绅士”些! 二、感性·理性 讲完独立性概念, 我就会出这样的课堂讨论: 一个家庭中有若干个小孩, 假设生男生女是等可能的。令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}, B={一个家庭中最多有一个女孩}。对下列两种情形, 讨论A与B的独立性: 1. 家庭中有两个小孩。 2. 家庭中有三个小孩。我会首先问学生猜猜这个结果, 课堂总会是一片笑声。我说, 我们每个人对待任何事物都要有自己的观点。下面看看你们猜的结果是否正确? 分析:情形1的样本空间为: 此种情形下, 事件A、B是不独立的。 情形2的样本空间为: 此种情形下, 事件A、B是独立的。 通过分析会得出:家庭中有两个孩子与三个小孩对于A、B事件它的结果不一样。我就会说, 感性的东西并不可靠, 可靠的是我们的理性。而这种可靠的理性就是建立在我们严格的逻辑推理基础之上。数学课不仅仅是一门枯燥的定理公式, 而是教会我们一种理性的思维方法。 三、偶然·必然 贝努力概型是学习完独立性之后一个非常重要的概型, 也会涉及到概率中两个重要的原理, 小概率事件发生原理和小概率事件不发生原理。在每次试验中, 事件A发生的概率为p (0<P<1) , 且P很小, 称这种事件为小概率事件。我们在实际中认为, 小概率事件在一次试验中是不发生的, 称为小概率事件不发生原理。但是在多次试验中是发生的, 又称为小概率事件发生原理。 (用数学证明小概率实际发生原理) 可看作是相互独立的, 从而 原理的解释, 如:高速行驶在高速公路上的汽车, 我们认为在一次中不发生事故, 但是在一个时间段必然发生事故, 那降低事故的办法就是, 降低p的值。就是说, 我们规范行驶, 以减少在交通中的事故数。换句话说, 这两个原理也解释了我们常说的偶然与必然。小概率事件发生的概率非常小, 一次发生的概率几乎是0, 可以看作是偶然事情, 但是在众多中必然会发生。偶然中有必然, 必然中伴随着偶然。我们再来分析彩票问题[5]。从01, …, 35中选7个号码.其中7个基本号码, 1个特殊号码。中奖规则如下: 一等:7个基本号码; 二等:6个基本号码+1个特殊号码; 三等:6个基本号码; 四等:5个基本号码+1个特殊号码; 五等:5个基本号码; 六等:4个基本号码+1个特殊号码; 七等:4个基本号码, 或3个基本号码+1个特殊号码。 这个一等奖奖金是500万, 是我们梦寐以求的。 根据古典概率计算可知一、二、三、四、五、六、七等奖的中奖率分别为:0.149×10-6、1.04×10-6、28.11×10-6、84.32×10-6、1.096×10-3、1.827×10-3、30.4×10-3。 从上面可以得出, 不中奖的概率为0.966515, 中奖概率为0.033485, 中奖概率小于0.05, 说明中奖是一个小概率事件。也就是说中500万的概率非常的小, 可以认为在一次抽奖中是不发生, 但是当买的人非常多的时候, 必有一人中奖。因此, 我们应该理性地看待彩票问题, 任何人都想着一夜暴富, 不劳而获。我们从概率角度可以看出每个人中500万的概率是0, 因此对待彩票我们可以看作是一次娱乐活动, 中了高兴, 不中就当是为公益事业做出自己微薄的贡献。 四、方差·风险 方差和期望是随机变量非常重要的两个数字特征。在方差课堂教学中, 首先给出一个引例:甲、乙两射手各打了6发子弹, 每发子弹击中的环数分别为: 甲:10, 7, 9, 8, 10, 6 乙:8, 7, 10, 9, 8, 8 问哪一个射手的技术较好? 对于这个问题, 首先教会学生如何分析问题和在分析问题的顺序。在比较了两组数据后, 同学们肯定是想到了数学期望, 结果发现两个甲乙两人的均值都为8.3环, 此时问题陷入了僵局。在均值一致的是时候要反映两人的水平就需考虑稳定程度, 也就是两人的水平的稳定性, 如何反映稳定性呢?就需要考虑他们进一步比较平均偏离平均值的程度, 通过具体的实证分析引入了了方差的概念。 再给出方差的一个例题后会分析下面的例子: 某人有一笔资金, 可投两个项目———房地产和商业, 其收益都与市场状态有关。若把未来市场划分为好、中、差三个等级, 其发生的概率分别为0.2, 0.7, 0.1。通过调查, 该投资者认为投资房地产的收益X (万元) 和投资商业的收益Y (万元) 的分布列为: 请问:该投资者如何投资为好? 解:我们首先考察数学期望 (平均收益) , 可得E (X) =4.0, E (Y) =3.9。从平均收益来看差别不大。下面我们计算它们的各自方差, 他们的标准差为:σ (X) =3.93σ (Y) =1.81. 1 采用案例教学, 激发学生学习的兴趣 传统的概率统计教学较多地注重数学公式的推导、计算能力的训练, 而忽略了知识的实际应用, 以至于许多学生的实际应用能力得不到发展。在教学过程中, 教师要寻找合适的切入点, 选编一些较好的实际问题作为示例, 引导学生发现问题、解决问题, 让学生体验数学与生活的联系, 训练学生应用数学分析、解决问题的能力, 以期待学生具有应用数学的意识, 达到学以致用的目的。 例如, 在讲授贝叶斯公式时, 可以引用“狼来了”故事来分析村民对放羊的孩子的诚实性的判断或者村民的心里活动。首先假设村民们对放羊的孩子的印象一般, 他说谎话 (记为时间) 和说真话 (记为事件F軈) 的概率相同, 即设 另外, 再假设:说谎话的孩子喊狼来了时, 狼真的来了 (记为事件W) 的概率为;说真话的孩子喊狼来了时, 狼真的来了的概率为, 即 当第一次村民上山打狼, 发现狼没有来 (W軘发生了) 时, 村民对说谎的孩子的认识集中体现在条件概率上。利用贝叶斯公式可得 类似地可算得这时村民认为放羊孩子不说谎的概率P (W軘|F軈) =0.2727。这表明村民认为放羊孩子说谎的概率由0.5调整到0.7273, 从而改写概率 在此基础上村民再一次上山打狼, 狼还是没来, 这时村民再一次调整对放羊孩子说谎的认识, 即再一次计算P (F|W軘) =0.8767。这表明:村民经过两次上当, 认为放羊孩子说谎的概率由0.5调整到0.8767, 即10句话中有9句在说谎, 给村民留下这样的印象, 当他们第三次听到狼来了时, 就不会上山打狼, 说谎的孩子咎由自取。 我们也可以利用贝叶斯公式来分析“疑难病症要进行综合检查”这一问题, 通过这样一些例子, 很容易让学生理解贝叶斯公式实际上是计算后验概率的。在信息不对称的博弈过程中, 人们不断根据自己的观察获取新的信息, 往往根据后验概率不断调整对不确定性问题的认识, 并依此进行决策。这些例子简单易懂, 能够引起学生学习的兴趣, 并激发学生进一步探究的愿望, 感受概率统计知识与实际生活的密切联系。 2 将数学实验引入教学中, 培养学生的创新能力 概率统计教学中, 有些理论和概念比较抽象, 仅靠老师的讲解很难让学生理解。进行数学实验, 把理论与学生上机实践相结合, 变抽象的理论为具体, 能使学生由被动接受转变为积极主动参与, 培养学生的动手能力和创新精神。 我们根据实际教学情况, 选择一些重点问题, 在理论教学的基础上, 加入相应的数学实验内容交替教学。如在讲授概率的统计定义时, 可以已投掷硬币为例, 借助于数学软件 (Matlab) 或Excel, 来进行随机模拟实验。又如中心极限定理是概率论中最重要的定理之一, 它是正态分布得以广泛应用的理论基础。虽然能够给出中心极限定理的严格论证, 但因为在证明过程中需要用到其他抽象的数学工具和概念, 学生还是对定理的结论似懂非懂。在教学过程中, 我们利用Matlab软件, 模拟相互独立均匀分布和的概率密度曲线。观察概率曲线的变化, 并将此曲线和正态分布的密度图像相比较, 二者吻合较好, 从而更形象直观的解释和说明了中心极限定理的内容。 3 理论联系实践, 提高学生的动手能力 学生掌握一定的理论知识后, 应给与学生一些独立操作和实践的机会。我们根据授课内容, 让学生做一些课外的调查报告, 如大学生考试作弊所占的百分比等敏感性问题调查、各种彩票中隐含的概率原理等。除此之外, 对日常生活中遇到的随机现象, 让学生自己做抽样试验, 收集数据、整理数据, 用所学的概率统计方法处理数据, 阐述自己的调查过程, 分析调查结果。这些工作在一定程度上可以增加学生学习的兴趣, 提高了学生动手能力和独立解决问题的能力。 参考文献 在人教版教材内容的基础上, 通过对佛山一中、佛山三中、荣山中学等高中的数学教学进行调研, 并对最新的高中数学与大学概率统计中所衔接的内容进行了研究, 发现有一个共同点, 凡是新课标中的选修内容, 就是重点高中也不要求, 更不用说普通高中.所以本文研究仅限大学概率统计教材中如何处理高中数学教学中已讲过但又不到位的原属于大学概率统计教学的内容. 1. 对大学概率论与高中数学衔接内容的处理 1.1 随机事件及其概率 (1) 引入随机现象、随机试验、样本空间和样本点等概念的同时, 简单复习必然事件、不可能事件及随机事件强调随机事件的表达形式. (2) 从实例中引入随机事件的统计规律性, 并由此引出概率的统计定义及其公理化定义. (3) 证明概率的性质. (4) 对事件的关系与运算仅作归纳复习, 介绍并证明事件所满足的运算规律. (5) 对古典概型及古典概型的概率计算方法作归纳复习处理.选择不同类型、不同层次的古典概型的例子进行讲解以达到三个目的:一是复习古典概型的概率计算方法;二是学会表达事件;三是会利用概率的性质计算概率对几何概型及几何概型的概率的计算方法作归纳复习处理.选择线、面、空间等不同类型的几何概型的例子进行讲解以达到两个目的:一是复习几何概型的概率计算方法, 二是学会表达事件. (6) 对条件概率的概念作归纳复习处理, 条件概率的性质要进行全面介绍. (7) 对事件的相互独立性的概念作归纳复习, 并附加一些例子加深对事件的相互独立性的理解, 证明如果事件A与B相互独立, 则事件A与与B, 也相互独立的结论. 1.2 随机变量及其分布 (1) 归纳复习随机变量的概念、离散型随机变量的概念. (2) 复习离散型随机变量的分布列, 选择不同类型的例子进行讲解以达到三个目的:一是复习求离散型随机变量分布列的方法和步骤;二是复习求离散型随机变量的分布列中的参数;三是复习会利用离散型随机变量的分布列求随机变量在一定范围之内取值的概率. (3) 复习归纳两点分布、n重独立重复试验 (n重伯努利试验) 、二项分布.选择两点分布及二项分布的实际应用例子 1.3 随机变量的数字特征 (1) 离散型随机变量的期望和方差的定义按现有教学要求处理即可. (2) 对离散型随机变量的期望和方差的性质 (1) ～ (6) 作复习归纳, 并在连续型随机变量的情况下给出 (1) ～ (4) 的证明.介绍并证明期望和方差的其他性质: E (XY) =E (X) E (Y) (X与Y独立) . D (X±Y) =D (X) +D (Y) (X与Y独立) . 对性质 (1) ～ (4) 举两个例子加以复习, 针对期望和方差新学的性质, 每个性质选择至少一个例子. (3) 给出正态分布的精确定义, 归纳总结正态分布的图形特征, 由分布函数推导正态分布N (μ, σ2) 及标准正态分布N (0, 1) 在区间 (x1, x2) 内取值的概率公式, 取适当的一些例子对正态分布N (μ, σ2) 及标准正态分布N (0, 1) 在区间 (x1, x2) 的概率公式的应用加以复习. (4) 介绍正态分布的数字特征. (5) 了解二维正态分布. (6) 掌握正态分布的线性函数的分布. 2. 对大学统计学与高中数学衔接内容的处理 (1) 复习归纳总体和个体的概念并举一两个例子说明. (2) 将总体引入随机变量, 即总体就是随机变量, 从而引入总体的分布的概念、总体的容量的概念. (3) 复习归纳样本和样本容量的概念, 引入n维随机变量 (X1, X2, …, Xn) 作为容量为n的样本, 样本的一次具体的观察值 (x1, x2, …, xn) 称为样本值, 全体样本值组成的集合称为样本空间. (4) 从n维随机变量 (X1, X2, …, Xn) 的角度给出简单随机抽样及简单随机样本 (简称样本) 的概念, 简单随机样本 (X1, X2, …, Xn) 的联合分布函数称为样本分布, 其联合概率密度函数称为总体密度或样本密度. (5) 分别从离散型和连续型的角度举例说明总体的分布. (6) 对简单随机抽样方法作归纳复习处理;复习归纳频率分布表、频率直方图、频率折线图的概念及作法. (7) 复习归纳用频率直方图和频率折线图对总体分布规律进行估计的方法 (不必作具体的分析) .引入经验分布函数. 一、对称思想 例1 (2007年湖北高考)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是(). 解:因为cosθ=,所以m-n≥0,显然当m-n=0时有6种可能性,根据对称性,m-n>0与m-n<0的可能性相同,各有15种可能,所以的概率为=,故应选(C). 评注:对称思想是“化不和谐为和谐”、“化不对称为对称”的典型应用,利用对称思想解决概率问题,思路新颖别致,事半功倍. 二、方程思想 例2袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为P。 (Ⅰ)从A中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次.求:(1)恰好有3次摸到红球的概率;(2)第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率. (Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为1:2,将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求P的值. 分析:第(Ⅰ)题的第(1)小问是求5次独立重复实验中有3次使“摸到红球”这一事件发生的概率,第(2)小问只需考虑第一次、第三次、第五次,其他两次与此无关;第(Ⅱ)题可通过先求袋中球的总数入手,来找A、B两袋球合在一起后摸出的球为红球的概率. 解:(Ⅰ)(1)恰好3次摸到红球的概率为 (2)第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率为. (Ⅱ)设袋子A中有m个球,袋子B中有2m个球·由. 评注:本题第(Ⅱ)题的解答渗透着方程思想,考查组合、相互独立事件同时发生的概率的基本知识和分析、解决问题的能力. 三、分类与整合思想 例3从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为() 解:因为所取的3个数字允许重复,所以所有等可能组成的三位数共有5×5×5=125个,其中各位数字之和等于9的三位数,需分类确定: (1)最大数字是5的,由5、3、1或5、2、2组成,分别有=6个和个. (2)最大数字是4的,由4、2、3或4、4、1组成,分别有个和个. (3)最大数字是3的,只有1个,即333. 所以各位数字之和等于9的概率为故应选(D)。 例4 (2007年福建高考题)方阵2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是() 解:设“3个数位于同一行”为事件A,“2个数位于同一行,第3个数位于另一行,但这3个数不位于同一列”为事件B,“2个数位于同一行,第3个数位于另一行,且与前2个数中的1个位于同一列”为事件C,则P(A)==,所以所求的概率为2P(A)+2P(B)+P(C)=,故应选(D). 评注:利用分类与整合的数学思想方法解决概率问题,清晰而又不重、不漏,但需要缜密的逻辑思维能力,否则极易出错. 四、或然与必然思想 例5袋中装有黑球和白球共7个,从中任取两个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数. (Ⅰ)求袋中原有白球的个数; (Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布; (Ⅲ)求甲取到白球的概率. 解:(I)设袋中原有n个白球,由题意知,,解得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球. (Ⅱ)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5,所以P=去,故取球次数的分布列为: (Ⅲ)由于甲先取,所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球,记“甲取到白球”为事件A,则P(A)=P(“ξ=1”,或“ξ=3”,或“ξ=5”),因为事件“ξ=1”、“ξ=3”、“ξ=5”两两互斥,所以P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+ 评注:本题设计的取球过程凸显了随机性的特征,要求学生在阅读信息、提取数据以及实施计算的过程中,自始自终运用或然与必然的数学思想方法. 五、化归与转化思想 例6已知一圆盘被分割成三个大小不等的扇形,并按扇形由小到大的顺序给各扇形依次标注0,2,3,从圆心出发的指针落在圆盘3分处的概率为a,落在圆盘2分处的概率为b,落在圆盘0分处的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知旋转一次圆盘得分的数学期望为2分,则+去的最小值为() 解:由已知得即3a+2b=2,其中=时等号成立,即最小值为,故应选(D). 【关键词】概率统计；数学期望；风险决策 面对随机现象，优化决策的正确通常是指随机变量的均值，面对决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。如果知道任意方案Aj（j=1，2…，m）在每个自然状况（影响因素）Si（i=1，2…n）发生的情况下，实施方案Aj所产生的盈利值P（Si，Aj），及各自然状况发生的概率P（Si），则可以比较各个方案的期望盈利：EP（Aj）=选择其中期望盈利最高的为最佳方案。 一、风险决策问题 例1、某商场要根据天气预报来决定节日是在商场内还是场外开展促销活动。统计资料表明，每年国庆节商场内促销可获经济效益2万元，场外促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，无雨可获得经济效益10万元，9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是40%，商场应该选择哪种促销方式？ 二、投资决策问题 例2：某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元。如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%和20%，试问选择哪一种方案可使投资的效益较大？ 三、方案决策问题 例3、某冷饮店需要制定某种冷饮在七、八月份的日进货计划。该品种冷饮的进货成本为每箱30元，销售价格为每箱50元，当天销售后每箱可获利20元，但如果当天剩余一箱，就要因冷藏费及其他原因而亏损10元。现有前两年同期共120天的日销售量资料，其中日销售量为130箱有12天，日销售量为120箱有36天，日销售量为110箱有48天，其余24天的日销售量也达100箱。请对于进货量分别为100箱、110箱、120箱、130箱四个方案给予决策。 根据前两年同期日销售量资料，进行统计分析，可确定不同日销售量的概率。 四、求职决策问题 中国社会市场化进程越来越快，用人单位在招聘人才时，除了明确所招人员的学历条件和能力之外，一般还会重点申明所招不同岗位人员的年薪值.而当今社会的价值取向主流是，劳动者尽其所能付出劳动后，希望获得尽可能大的薪酬回报，我们认为这是推动社会向前发展的重要因素.现在大学毕业生以年薪期望值作为择业决策的主要依据正是这种价值取向主流的具体体现. 大学生在求职面试多个机会过程中，其年薪期望值是一个动态数据，只有在其择业决策做出后才能相对确定下来，因此，做出好的择业决策就显得相当的重要.以下为了说明问题，通过一个已简单化了的实例，通俗说明如何把握这个动态的年薪期望值来准确做出择业决策的方法.。 例4：有三家公司都为硕士毕业生李宏提供了就职面试的机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A、B、C，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位，每家公司将根据面试情况决定给予求职者何种职位或拒绝提供职位，若规定求职双方在面试以后要立即决定提供、接受或拒绝某种职位，且不容许毁约。咨询专家为李宏的学业成绩和综合素质进行评估后认为，他获得极好、好、一般职位的可能性分别为0.2、0.3、0.4。三家公司的工资数据如下： 五、试验决策问题 例5：某新工艺流程如投产成功可收益300万元，但投产之前，必须经过小型试验和中型试验，试验经费分别需2万元和36万元，小型试验的成功率为0.7，如果连做两次小型试验，则成功率可提高到0.8，在小型试验基础上的中型试验的成功率为0.7，如果直接搞中型试验的成功率为0.5，应该如何决策，才能获利最多？ 共有三种决策： 参考文献 [1]谈祥柏.乐在其中的数学[M].北京：科学出版社，2005. [2]中央电视台《百家讲坛》栏目组.相识数学[M].北京：中国人民大学出版社，2006. [3]吴建国.数学建模案例精编[M].北京：中国水利水电出版社，2005. [4]孙荣恒.趣味随机问题[M].北京：科学出版社，2004. [5]梁之舜.概率论与数理统计（上册）[M].北京：高等教育出版社，2005. 作者简介 1.李桂范（1963--），女，黑龙江哈尔滨人，副教授。 2.苏敏（1963--），女，黑龙江哈尔滨人，副教授。 关键词：数学,数量关系,数学知识,重要意义 随着经济的快速发展, 数学的应用已经遍布全球的各个领域, 概率统计作为一门核心的数学学科, 在人们的日常工作和生活中是非常重要的。概率统计这门学科与经济的关系密切相关, 经济学的决策与研究都离不开概率统计的应用。例如:抽样检查、价格控制、质量控制、实验设计等都与概率统计知识相关。概率统计是对经济学进行数量的研究的有效手段, 本文通过列举一些具体的例子, 讨论其在经济学中的应用。 一、统计建模的概述 统计建模是以计算机统计分析软件为工具, 利用各种分析方法对数据建立统计模型和处理的过程, 这些处理结果可以直接用在企业项目的效益预测、立项依据上。目前, 统计部门所具备的统计分析方法, 已经具备了建立和应用数据模型发挥统计数据作用的基本条件。 二、统计模型的参数选择 1.动力、燃料等五大类产品价格连续上涨。2003年到2005年, 内蒙古燃料、农副产品类、其他工业原材料、化工原料、纺织原料类和动力类等五大类产品购进价格持续五年增长。其中、化工原料类、燃料和动力类产品价格涨幅较大。 2.纺织原料类、木材及其他原料类购进价格比较平稳, 波动不大。2003年到2007年, 全区纺织原料类、木材以及其他工业原料类购进价格比较平稳并伴有上涨趋势, 涨跌幅度不是很大。 3.总的来说, 九大类原材料产品价格大部分都是呈上涨趋势, 2003年到2007年全区原材料产品价格上升占的比例比较大, 下降占的比例比较小, 在2004年和2005年的期间, 九大原材料产品价格全面上涨, 其中, 有五大类原材料产品价格连续五年上涨, 其他四大类在个别年间出现产品价格下降的现象, 但后期仍然保持上涨的趋势。 4.据调查, 五年当中, 大部分产品购进价格都在上涨。在所调查的37个行业当中, 其中, 五年内价格全部上涨的行业有31个。在2005年, 37个行业产品的购进价格都是在持续上涨, 其余各年份的行业产品购进价格仍旧保持上涨的趋势。 5.有色金属材料、黑色金属材料、农副产品类及化工原材料产品价格波动比较明显。2003年到2007年全区有色金属材料、黑色金属材料、和化工原材料购进价格波动较明显, 这三大类产品购进价格均在2004年呈大幅上涨趋势, 而黑色金属材料在2005年开始出现下滑, 一直到2007年, 价格回升。化工原材料产品购进价格在这五年期间波动也比较明显。农副产品类产品购进价格五年内持续上涨, 2004年创五年新高。其他年度也有涨有跌, 但总体保持上涨趋势。 三、在经济管理决策中的实践应用 在进行经济管理决策之前, 通常会存在不确定因素, 具有随机性, 因此, 所作出的决策存在一定的风险, 只有正确、科学合理的决策才能达到以最小的成本谋取最大的利益的总目标, 才能尽可能节约投资的成本。通过利用概率统计知识制定出合理决策, 从而实现最终目标。下面以数学期望、方差等计算方式为例说明它在经济管理决策中的应用。 例1某人有一笔资金, 总共可投入三个项目:房产A、地产B和商业C, 其收益和市场状态有关, 如果把未来市场划分为优、良、差三个等级, 其发生的概率分别为p1=0.3, p2=0.0.6, p3=0.1, 根据市场调查的情况可知, 不同等级状态下各种投资的年收益, 见表1: 优P1=0.3良P2=0.6差P3=0.1 房产103-4 地产53-1 商业92-3 请问:该投资者应该如何投资? 解:由此可知: 根据以上算法可知, 投资房产的平均收益最大, 可能会选择房产, 但投资的风险比较大, 我们再从方差进行考虑: 方差越大, 收益波动的幅度就越大, 风险也就越大, 因此, 从方差来看, 投资房产的风险要比投资地产的风险性大很多, 就收益与风险来看, 该投资者还是应该选择投资地产为好, 虽然收益少, 但是风险要小。 四、统计模型在经济管理项目决策中的发展 统计模型已经是现阶段比较成熟的可适用的工具, 掌握大量统计资源, 在此基础上, 应用统计统计建模解决管理工作中的难题已经成为一种发展趋势。随着统计数据校验领域、校验方法的发展, 有准确的信息作为基础, 统计工作的前景必将是广阔的。计划投资也在不断进行改革, “谁投资, 谁受益, 谁承担风险”的原则使投资决策变得更加具有自主性。同时, 健全投资宏观调控体系、加强监管势在必行。因此, 推行统计模型变得尤为重要。 五、结语 总而言之, 通过构建数学建模, 并运用数学知识解决实际问题, 能够促进经济的进步, 促进我国科学技术的创新。在经济领域, 存在的实例还有很多, 我们要走在时代尖端, 步步领先。因此, 科学的决策是非常重要的, 也是必不可少的, 那么如何进行科学决策呢?我们可以运用数学思想, 把在经济领域遇到的问题转化成数学方面的问题, 运用数学的方法解决问题。 参考文献 [1]王爱玲.概率统计数学模型在投资决策中的应用[J].科技信息, 2012, 09:153-154. [2]王燕.概率统计数学模型在投资决策中的应用[J].河北北方学院学报 (自然科学版) , 2014, 04:35-38. 【概率和统计数学】推荐阅读： 考研数学概率统计三大知识点09-06 第十二章 小学数学统计与概率教学练习题05-22 概率统计方法07-18 统计概率法06-13 概率统计应用07-23 概率统计课程07-28 概率统计复习疑难07-09 概率统计期末考试样卷09-02 日常生活中的统计概率09-04 概率论与数理统计心得05-29概率和统计数学 篇7
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