概率统计方法

概率统计方法（精选12篇）

概率统计方法 篇1

概率统计作为理工科院校的一门重要的基础课程, 概率统计教学质量的好坏, 直接影响着学生对后继课程的学习, 也直接影响着学生的学习质量.面对培养新世纪人才的需要, 我们的概率统计, 教学方法主要采用注入式的满堂灌输入数学知识, 学生没有思考余地, 在应用方面没有得到训练, 难以培养创新精神和创造能力.教学手段也是传统的, 现代教学手段应用较少.这样的教学, 已远远不能满足时代的需要.因此, 概率统计的教学方法已到了非改不可的时代了.

以往的灌输式教学, 不能调动学生学习的积极性, 老师和学生都很累, 但教学效果不太理想.在此可以尝试着探索一种新的教学方法, 将教师“教”的主导作用与学生“学”的主动性相结合, 使教师成为学习的导演, 学生成为学习的演员, 最大限度地挖掘潜在能力, 提高教学效果.

1.采用导学与精讲相结合

精讲是少而精, 突出重点, 详略得当, 使教学时间合理分配.“导学”是指导在前, 讲解一些关键性的问题, 然后以学生自学为主.教师要讲清楚各个知识点的基本思想、方法和知识之间的联系, 而对具体的、细化的内容留给学生自己去学习、理解和消化, 以增加课堂信息量.比如, 数学期望和方差的概念要较详细地从概念的实际背景出发进行剖析概念的内涵, 指出数学期望是平均数, 但又不是平均数.方差是用来观测数据的变化程度, 一旦讲清了这一概念, 真正被学生所理解、接受, 学生就了解了学习他们的意义和用处.

2.课堂教学尽量运用启发式教学

注意教学的启发性, 培养独立思维的习惯, 是教学成功的关键.首先, 在教师对教材的处理上, 照本宣科的教学绝不是启发性教学.教案、讲稿是教师掌握、讲授教材的结晶, 但不是一成不变的.因此, 应因时、因学生而变.其次, 在教学方法上, 让全体学生参与教学, 共同探讨.让学生独立思维、主动学习, 对同一问题可变换角度提问, 让学生进行独立思考;或在讲授时故意引人错误观点, 树立对立面, 对比激疑, 引发学生独立思维的习惯与兴趣, 可达到事半功倍的效果.

例如, 一个关于小概率事件的例子:从某工厂的产品中任意抽取200件来抽查, 结果发现其中有6件次品, 能否相信该工厂的次品率p≤1%?

我在讲该题的时候, 设置了一个情景, 假定学生是指将部门的, 正在对该厂进行抽查, 我问他们:你们认定工厂的次品率p≤1%的依据是什么?大家一开始答不出来, 后来在我用小概率事件的定义提示他们, 经讨论, 他们终于知道了思路:若P (x≥6) 很大, 则相信p≤1%;反之, 拒绝p≤1%.经计算P (x≥6) ≤1-undefinedCundefined (0.01) x (0.99) 200-x, 从而得到P (x≥6) ≤0.0166, 所以, 拒绝p≤1%.

3.教学内容与社会生产实践相结合

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学, 数学理论教学的目的完全在于应用.对于实际问题如何通过作一些适当的假设, 舍去一些次要的因素, 把实际问题作出适当的简化, 抽象出一个数学问题 (即数学模型) , 找到相应的数值解法, 然后通过计算机的计算与分析, 将所得到的数学答案用于解决或解释实际问题.

4.教学形式多样化

比如, 组织讨论小组, 教师可提出具体问题, 让小组的学生一起来提出解决的办法和方案, 并实际求解.例如讲放回抽样后可以问大家:假设彩票号码有十位, 那么由放回抽样的定义你中大奖的概率有多大?又如, 假设大伙排队抽奖, 而只有一个能中奖, 那么先抽, 后抽有区别吗?然后可组织课堂讨论, 让同学们自己得出结论.教师要多提一些问题让学生考虑, 或者让学生进行一些归纳和总结.一堂课教师能给学生提多少个有价值的问题, 可以成为衡量教学质量的一个具体指标.

5.教学手段现代化

引进现代教学手段多媒体进行教学, 一方面, 可使教学内容得到拓宽, 除课本内容外还可介绍科技新动态, 对概念的物理背景与几何意义可通过图形、动画展示.另一方面, 多媒体教学使得教学更为直观, 对于一些较复杂的图形可以清晰地表达出来, 教学更具动感, 增强学生的学习兴趣, 保证教学效果.老师不要仅仅站在讲台上, 可以经常走到大家当中, 和同学们近距离接触, 可以大大提高学生参与的积极性.

6.考核形式多元化

考核方式要进行必要的调整, 可采取阅卷+开卷+平时成绩的方式.开卷可让学生完成一篇小论文, 内容上可以涉及学过的知识, 也可以是未学过的知识, 其目的在于培养学生独立分析问题与解决问题的能力以及综合运用知识包括写作的能力, 真正把素质教育落实到概率统计教学中去.而平时成绩的出台可以让一些天资禀赋不太好但努力的学生得到信心和补偿.

总之, 只要我们不断的对概率统计教学的改革进行探索和总结, 那么必将全面提高概率统计的教学质量.

摘要：针对目前概率统计教学中普遍存在的弊端, 从教学方法方面分析了概率统计教学的改革思路, 并给出了实施方案.

关键词：概率统计,教学内容,教学方法,改革

参考文献

[1]欧阳自根, 刘亚春.面向对世纪概率统计教学内容与教学手段的改革研究与实践[J].数学理论与应用, 2000 (4) .

[2]向昭红.关于概率统计教学改革的几点意见[J].数学理论与应用, 2001 (4) .

[3]王石安, 赵立新, 付银莲.改革农科概率统计教学, 提高教学质量[J].高等农业教育, 2001 (9) .

概率统计方法 篇2

概率论的基本概念

1.确定性现象: 在一定条件下必然发生的现象.2.统计规律性: 在个别试验或观察中可以出现这样的结果，也可以出现那样的结果，但在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性.3.随机现象: 在个别试验中其结果呈现

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第1页

共51页-----出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象.§1.1 随机试验 1.随机试验: ①可以在相同条件下重复进行；

②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

③进行一次试验之前不能确定哪一个结

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第2页

共51页-----果会出现.§1.2 样本空间、随机事件

1.随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.2.随机试验E的每个结果称为样本点.例1.写出下列随机试验的样本空间.①考察某一储蓄所一天内的储款户数.S0 , 1 , 2 , .-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第3页

共51页-----②10件产品中有3件是次品，每次从中任取一件(取后不放回)，直到将3件次品都取出，记录抽取的次数.S3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10.③在②中取后放回，记录抽取的次数.S3 , 4 , 5 , .④一口袋中有5个红球、4个白球、3个蓝球，从中任取4个，观察它们具有哪

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第4页

共51页-----几种颜色.S={(红)，(白)，(红、白)，(红、蓝)，(白、蓝)，(红、白、蓝)}.3.样本空间S的子集称为随机事件，简称事件.4.对于事件A，每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时称事件A发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第5页

共51页-----5.由一个样本点组成集合称为基本事件.6.在每次试验中总是发生的事件称为必然事件，即样本空间S.7.在每次试验中都不发生的事件称为不可能事件，即空集.例2.抛掷两枚骰子，考察它们所出的点数.写出这一随机试验的样本空间及下列

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第6页

共51页-----随机事件.①“两枚骰子点数之和为5”.②“两枚骰子点数之和为2”.③“两枚骰子点数之和为1”.④“两枚骰子点数之和不超过12”.解: 对两枚骰子编号为1、2.用(I , J)表示第1枚骰子出I点，第2枚骰子出J点.S={(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第7页

共51页-----(1, 6)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)，(4, 4)，(4, 5)，(4, 6)，(5, 1)，(5, 2)(5, 4)，(5, 5)，(5, 6)，(6, 1)，3)，(6, 4)，(6, 5)，(6, 6)}.① {(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，②{(1, 1)}.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第8页

共51页-----，(6, 2)(5, 3)，(6,(4, 1)}.③Ø.④S.8.事件间的关系与运算: ①事件A发生必导致事件B发生，称事件B包含事件A，记为AB.②事件AB{xxA或xB}称为事件A与事件B的和事件.当且仅当A与B至少有一个发生时，事件AB发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第9页

共51页-----k1Ak为n个事件A 1，A2，…，An的和事件.Ak为可列个事件A 1，A2，…的和事件.nk1③事件AB{xxA且xB}称为事件A与事件B的积事件.当且仅当A与B同时发生时，事件AB发生.AB也记作AB.k1Ak为n个事件A 1，A2，…，An的积事件.n

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第10页

共51页-----k1Ak为可列个事件A 1，A2，… 的积事件.AB{xxA且xB} ④事件

称为事件A与事件B的差事件.当且仅当A发生、B不发生时，事件AB发生.⑤若AB，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的.即事件A与事件B不

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第11页

共51页-----能同时发生.⑥若ABS且AB，则称事件A与事件B互为逆事件，或互为对立事件.即对每次试验，事件A与事件B中必有一个发生，且仅有一个发生.A的对立事件记为A，即ASA.9.事件的运算定律: ①交换律:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第12页

共51页-----ABBA，ABBA.②结合律: A(BC)(AB)C，A(BC)(AB)C.③分配律: A(BC)(AB)(AC)，A(BC)(AB)(AC).④德∙摩根律:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第13页

共51页-----ABB A，ABBA.§1.3 频率与概率 1.在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.nA比值称为事件A发生的频率，记为fn(A).n2.频率的基本性质: ①0fn(A)1.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第14页

共51页-----②fn(S)1.③若A 1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则

.fn(AA)f(A)f(A)1kn1nk3.当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn(A)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数，这种统计规律性称为频率稳定性.4.设E是随机试验，S是它的样本空间.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第15页

共51页-----对于E的每一事件A赋于一个实数，记为p(A)，称为事件A的概率，且关系p满足下列条件:

①非负性: p(A)0.②规范性: p(S)1.③可列可加性: 设A 1，A2，…是两两互不相容的事件，则

P(A1A2)P(A1)P(A2).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第16页

共51页-----5.概率的性质: ①p()0.②(有限可加性)设A 1，A2，…An是两两互不相容的事件，则 P(AAn)P(A)P(An).1

1③若AB，则

P(BA)P(B)P(A)，P(B)P(A).④p(A)1p(A).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第17页

共51页-----

⑤p(A)1.⑥(加法公式)P(AB)P(A)P(B)P(AB)，P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC).§1.4 等可能概型(古典概型)1.具有以下两个特点的试验称为古典概型.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第18页

共51页-----①试验的样本空间只包含有限个元素.②试验中每个基本事件发生的可能性相同.2.古典概型中事件概率的计算公式: 样本空间S{e1 , e2 ,  , en}，事件A{ei , ei ,  , ei}，12kk

P(A).n

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第19页

共51页-----例1.抛掷两枚均匀的硬币，求一个出正面，一个出反面的概率.解: S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.A={(正，反)，(反，正)}.例2.抛掷两枚均匀的骰子，求点数之和不超过4的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第20页

共51页-----

21p(A).42解:

S={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，…，(6，6)}.A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}.61p(A).366例3.从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件产品.求恰有一件次品的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第21页

共51页-----

CC解: p(A)30.253.C50例4.袋中有5个白球3个黑球.从中按

15245下列方式取出3个球，分别求3个球都是白球的概率.①同时取.②不放回，每次取一个.③放回，每次取一个.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第22页

共51页-----解: ①p(A)C3053CC30.179.8②p(B)A35A30.179.8③p(A)53830.244.例5.某班有23名同学，求至少有同学生日相同的概率(假定1年为天).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第23页

共51页-----

名

2365(23)!C493.解: p(A)230.(365)p(A)1p(A)0.507.23365例6.从一副扑克牌(52张)中任取4张牌，求这4张牌花色各不相同的概率.14(C13)解: p(A)40.105.C52例7.甲项目和乙项目将按时完成的概率为0.75和0.90，甲、乙项目至少有一

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第24页

共51页-----个项目将按时完成的概率为0.99.求下列事件的概率.①两项目都按时完成.②只有一个项目按时完成.③两项目都没有按时完成.B表解: 设用A表示“甲项目按时完成”、示“乙项目按时完成”，则p(A)0.75，p(B)0.90，p(AB)0.99.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第25页

共51页-----①p(AB)P(A)p(B)p(AB)

0.750.90.99 0.66.②

p[(AB)(AB)]p(AB)p(AB)

0.990.66 0.33.③p(AB)p(AB)

1p(AB)

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第26页

共51页-----

10.99 0.01.例8.将一枚骰子连续掷5次，求下列各事件的概率.①“5次出现的点数都是3”.②“5次出现的点数全不相同”.③“5次出现的点数2次1点，2次3点，1次5点”.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第27页

共51页-----④“5次出现的点数最大是3点”.⑤“5次出现的点数既有奇数点，又有偶数点”.§1.5 条件概率

例1.抛掷一枚均匀的骰子.设A表示“出现的点数不大于3”，B表示“出现偶数点”，求: ①“出现偶数点”的概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第28页

共51页-----②已知“出现的点数不大于3”的条件下，“出现偶数点”的概率.解: S={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，4，6}.31①p(B).62②用“BA”表示已知事件A发生的条件下，事件B发生.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第29页

共51页-----AB{2}，1P(AB)16p(BA).33P(A)6

1.设A、B是两个事件，且p(A)0，称

P(AB)p(BA)P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第30页

共51页-----

例2.一批零件100个，其中次品10个，正品90个.从中连续抽取两次，做非回臵式抽样.求: ①第一次取到正品的概率.②第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率.解: 设A表示“第一次取到正品”，B表示“第二次取到正品”.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第31页

共51页-----

909①p(A).10010289C90②p(AB)2，C100110P(AB)89.p(BA)P(A)992.乘法定理: 设p(A)0，则

p(AB)p(BA)p(A).设p(AB)0，则

p(ABC)p(CAB)p(BA)p(A).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第32页

共51页-----例3.一批零件100个，次品率为10%.从中接连取零件，每次任取一个，取后不放回.求第三次才取到正品的概率.解: 设用A i表示“第i次取到正品”(i1 , 2 , 3).由于次品率为10%，所以次品10个，正品90个.P(A 1 A 2A 3)P(A 1)P(A 2 A 1)P(A 3A 1 A 2)

10990 1009998

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第33页

共51页-----

0.0083.3.样本空间的一个划分: ①

BiBj , ij , i , j1 , 2 ,  , n.②B1B2BnS.称B1 , B2 ,  , Bn为样本空间的一个划分(或完备事件组).4.全概率公式: 若B1，B2，…，Bn为样本

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第34页

共51页-----空间的一个划分，且P(Bi)0(i1 , 2 ,  , n)，A为某一事件，则 P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)

P(A Bn)P(Bn).5.贝叶斯公式: 若B1，B2，…，Bn为样本空间的一个划分，A为某一事件，且P(A)0，P(Bi)0(i1 , 2 ,  , n)，则

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第35页

共51页-----，P(BiA)nP(ABj)P(Bj)j1P(ABi)P(Bi)(i1 , 2 ,  , n).例4.两台机床加工同样的零件.第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件堆放在一起.已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，从中任取一个零件，求:

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第36页

共51页-----①这个零件不是废品的概率.②如果已知取出的这个零件不是废品，那么，它是第一台机床生产的概率.解: 设用A表示“此零件不是废品”，用Bi表示“此零件由第i台机床加工”(i1 , 则

P(B21 1)3，P(B 2)3，P(A B 1)0.97，P(A B 2)0.98.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第37页

共51页-----

2)，①

P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)

210.970.98 330.973.②

P(AB1)P(B1)P(B1A)P(AB1)P(B1)P(AB2)P(B2)

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第38页

共51页-----

20.973 210.970.98330.664.例5.有5个盒子，分别编号1、2、3、4、5.第1及第2号盒子各有5个球，其中3个白球，2个红球.第3及第4号盒子也各有5个球，其中1个白球，4个红

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第39页

共51页-----球.第5号盒子有4个白球，1个红球.现随机地选一个盒子并从中任取一球，求: ①它是白球的概率.②如果已知取出的是红球，那么，它是来自第5号盒子的概率.解: 设用A表示“任取一球是白球”，用，用Bi表示“第A表示“任取一球是红球”i个盒子被选中”(i1 , 2 , 3 , 4 , 5)，则

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第40页

共51页-----

1P(B 1)P(B2)P(B3)P(B4)P(B5)，53P(A B 1)P(A B 2)，51P(A B 3)P(A B 4)，54P(A B 5)，52P(A B 1)P(AB 2)，54P(A B 3)P(A B 4)，5-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第41页

共51页-----

1P(A B 5).5①P(A)P(A B1)P(B1)P(A B2)P(B2)P(A B3)P(B3)P(A B4)P(B4)P(A B5)P(B5)3131111141 555555555512.25

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第42页

共51页-----②P(B5A)P(ABi)P(Bi)i15P(AB5)P(B5)

1155 1(22441)5555551.136.先验概率: P(Bi).7.后验概率: P(BiA).-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第43页

共51页-----例6.有一个袋内装有3个白球，2个黑球.有甲、乙、丙三人依次在袋内各摸一球.求: ①在有放回情况下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.②在不放回情况下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.解: 设用A、B、C分别表示“甲、乙、-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第44页

共51页-----丙摸到黑球”，用A、B、C分别表示“甲、乙、丙摸到白球”.2①P(A)P(B)P(C).52②P(A).5P(B)P(BA)P(A)P(BA)P(A)

1223 45452.5-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第45页

共51页-----P(C)P(CAB)P(AB)P(CAB)P(AB)

P(CAB)P(AB)P(CAB)P(AB)P(CAB)P(BA)P(A)

P(CAB)P(BA)P(A)P(CAB)P(BA)P(A)P(CAB)P(BA)P(A)

121321232230 453453453452.5

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第46页

共51页-----§1.6 独立性

1.设A与B是两事件，如果 p(AB)p(A)p(B)，则称A与B相互独立，简称A与B独立.2.设A与B是两事件，且p(A)0，如果A与B相互独立，则

p(BA)p(B).3.设A与B相互独立，则下列各对事件也

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第47页

共51页-----相互独立.A与B，A与B，A与B.证: P(A)P(B)P(A)[1P(B)]

P(A)P(A)P(B)

P(A)P(AB)

(AAB)P(AAB)P(AB)，所以A与B相互独立.同理可证A与B，A与B相互独立.-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第48页

共51页-----4.设A、B、C是三个事件，如果

p(AB)p(A)p(B)，p(AC)p(A)p(C)，p(BC)p(B)p(C)，p(ABC)p(A)p(B)p(C)，则称A、B、C相互独立.例1.用一支步枪射击一只小鸟，击中的概率为0.2.问3支步枪同时彼此独立地

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第49页

共51页-----射击，击中小鸟的概率.解: 设用A i表示“第i支步枪击中小鸟”，则(i1 , 2 , 3)，用B表示“小鸟被击中”

P(B)P(A 1A 2A 3)

1P(A 1A 2A 3)1P(A 1 A 2 A 3)

1P(A 1)P(A 2)P(A 3)10.80.80.8

-----概率论与数理统计教案 第一章 概率论的基本概念 第50页

概率统计方法 篇3

关键词：概率论 数理统计 学习兴趣 现代教学技术

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2012）11（b）-0085-01随着信息时代和经济全球化的到来，知识经济不仅带来了传统高等教育教育形式的改变，而且对传统高等教育的观念也造成了冲击。最突出的就是高等教育内容的增加及其发展方向的变化。当知识经济和教育面向市场的时候，高等教育不再把掌握知识和理论的多少作为衡量教学的唯一标准，而把重心放在对知识的应用和学生全面能力的培养上。

近现代史表明，国家的繁荣昌盛，关键在于经济管理的高效率和高新科技的发达，高新科技的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学。

概率论与数理统计无疑是最为活跃的数学学科之一，它不仅有严谨的数学基础，而且与其它学科联系紧密，在自然科学、社会科学、管理科学、技术科学和工农业生产中有着极其广泛的应用，概率论与数理统计也因此成为数学专业和其它许多相关专业的一门重要的必修课程。但这门课程的学习方法与学生们以前遇到过的任何一门课程都有所不同。要让学生在短时间内接受新的知识，并且能够学以致用，无疑是有困难的，因此，很多学生觉得这门课程学起来有难度。归纳原因主要有以下几点：第一，该学科的研究对象是不确定现象，不确定现象具有存在的普遍性，研究方法具有独特性，教学内容具有实用性。不同于高等数学，线性代数等研究确定性现象的数学分支，所以学生思维有一个转变过程；第二，该门学科与实际联系紧密，大多数概念都是从实际问题中抽象出来的，而学生们并不擅长直接从问题中进行数学抽象；第三，该门课程的学习目的是要解决实际问题，而这些问题纷繁芜杂，解决方法灵活多样，不易掌握。

如何解决这些问题，提高课堂效率，达到最佳教学效果，成为从事此类教学工作的教师们长期关注和研究的问题。本文根据自己的教学经验谈谈一些体会。

1　在教学中注重培养学生的学习兴趣

在教学过程中，兴趣起着非常重要的作用，著名科学家爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师”。兴趣是主动探索奥秘的内在动力，只有当学生有了兴趣，才能对学习充满热情，从而取到意想不到的课堂效果。这就要老师在备课过程中，从教学内容的布置到教学方法的设计，都要精心考虑。比如在第一节课可以给同学们介绍这门课程的历史发展过程。源于17世纪中叶，法国贵族梅勒遇到这样一个问题：国王的一个骑兵和另一个人进行一场赌博，约定谁先赢到7局谁就为胜者。当赌局进行到骑兵赢5局，另一个人赢4局时，骑兵被国王召唤走了，赌局因此终止，问此时赌金该如何分配？梅勒向法国数学家帕斯卡请教此问题，帕斯卡又与费马通过书信探讨此问题，他们用各种方法给出问题的正确答案。他们之间的讨论又引起了在法国游学的荷兰数学家惠更斯的关注。惠更斯于1657年发表了著作《论赌博的计算》，此书介绍了概率问题的原理。这些研究成果标志着概率作为一门科学诞生了。讲了这样一个小故事，学生会对概率产生兴趣，从而调动他们学习的积极性。

在讲到古典概率时，通常会提到生日模型，因此，可以告诉学生，“班上有学生120名，在座的至少有两名学生的生日相同”，学生听后无不产生疑问，立刻激发了听课的兴趣。

再比如在体育比赛中，制定怎样的赛制更公平？是三局两胜还是五局三胜？

通过证明，可以发现水平较高的选手在“五局三胜”的赛制下获胜的可能性更大。另外在授课时还可以补充数理统计发展中许多经典故事，如：DNA与亲子鉴定、盖洛普抽样调查、孟德尔豌豆、红楼梦作者是谁、保险公司新产品问世时怎么设计才合理、彩票问题、医疗诊断问题等等。将这些很有现实意义的问题纳入到教学中去，不仅使学生感到新鲜，而且还有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。

2　运用现代教育技术

由于计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术；在传统的教学方式中，介绍某个问题时往往枯燥乏味，但运用以计算机为主的现代教育技术就不一样了。通过动画模拟，计算机图形演示等形式可以表现出教学的动态性。使教学内容直观化，形象化；使课堂教学活动活泼化，生动化；富有启发性和真实性。使学生对一些实验有身临其境的感觉。

在教学过程中，多媒体的制作至关重要，要注意很多问题。不仅和所用的教材相匹配，而且和学生所学专业也要有联系，同时也要注意和传统黑板板书相结合。

3　注重理论联系实践

传统教学往往把注意力较多地集中在理论知识的讲授上，这样只会培养学生的应试能力而不能培养学生解决问题的能力。因此，在教学中可设置一些简单的、有趣味性的、与日常生活密切相关的优化题目供学生解决，体现问题的综合性。学生不仅能学到严谨的数学理论，而且能體会到数学是“活生生的”，还能够提高分析问题解决问题的能力。与此同时，我们主张学生在解决这些实际问题时尽量使用数学软件如SAS，SPSS自己编程去做，这样，理论教学、建模教育、数学实验，几大教学板块就就能有机联系起来，有利于学生对知识的整合。

4　数学文化修养的培养

教学过程中，不仅要时时提醒学生不应满足于学到的一些数学知识，以及会用已经学过的理论知识解决实际问题，作为老师还要注意渗透数学理论的文化内涵，应该学会思考和欣赏。比如，在讲到大数定律的时候，让学生比较伯努利大数定律、辛钦大数定律、切比雪夫大数定律之间的联系与区别，后人在前人的基础上作了怎样的改进，结论的美妙之处在哪里。从而提升学生在数学文化层面上的数学修养。

以上是笔者在实际教学中总结的一些经验和方法，目的是让学生对这门课有更深刻、全面的认识，能提高学生的学习热情和学习兴趣。

参考文献

[1]杜作润，廖文武.高等教育学[M].复旦大学出版社，2003.

[2]朱家生，姚林.数学它的起源与方法[M].东南大学出版社，1999.

统计与概率的思想方法及其联系 篇4

1. 随机思想与分类、归纳等确定性数学思想的联系

随机包含两方面的含义:一方面,单一事件的不确定性和不可预见性;另一方面,事件在经历大量重复试验中表现出规律性。虽然随机思想是从解决现实世界中的不确定性问题发展起来的,但随机思想不过是高维的确定性问题作低维处理的一种方式。比如:每次掷骰子的结果,应该是其初始条件与过程中很多细微因素共同形成的,因这些因素无力掌握和控制它们,才将其中的很多因素统一地以一个随机变量来表示。其实,确定数学亦如此,在其数学模型的建立过程中也丢掉了不少“弱”因素。随机数学与确定数学仅仅只是处理方法上的差别而已。

从随机思想的起源来看,又是分类、归纳等确定性数学思想的进一步发展和具体运用。事实上,作为定量研究随机思想的概率和统计方法最先起源于归纳法,概率的发展经历了从归纳法到概率归纳法再到概率论的发展过程,而统计思想则是由局部到整体、由特殊到一般,是归纳法在数学上的具体应用。

2. 随机思想与统计、概率思想的联系

概率是从数量的角度来研究大量的随机现象,从中寻找这些随机现象所服从的统计规律,并用严格的数学方法研究各种随机现象的统计规律之间的相互联系。统计思想则是从一组样本分析、判断这个系统的状态,或判定某一论断能以多大的概率来保证其正确性,或计算出发生错误判断的概率。尽管随机思想与统计、概率思想研究的都是随机现象,但随机思想更基本,因为无论是对概率还是统计的研究,都必须建立在事件的发生具有随机性这一前提之上,没有随机思想,就没有统计与概率。而概率与统计思想则更深刻、更精确,是对随机思想的量化发展。随机思想既具有偶然性一面,又具有必然性一面,然而必然性并不会自动显现出来,它总是隐藏在偶然现象背后,那么如何来发现和把握偶然现象背后的必然性呢?这就需要统计和概率的方法来准确把握———显示其统计规律和概率规律。比如:抛一枚硬币,究竟是正面朝上还是反面朝上?通常被认为是完全随机的,但这是根据经验或直觉得出来的,因此它只是一种经验性的随机思想,而如果通过统计的方法,计算出某一次试验中正面朝上和反面朝上的频数,再进一步通过概率方法计算出正面朝上和反面朝上的概率,那么就可以揭示出这一试验的内在规律了———正面朝上和反面朝上的概率几乎相等。

3. 随机思想与等可能性假设的联系。

随机思想与等可能性假设之间存在着密切的联系,这种联系主要表现为随机思想与等可能性假设之间既对立又统一。一方面,这两者之间存在着差别,随机思想是人们对现实世界中大量随机现象的一种本质认识,而等可能假设则是人们为了便于研究问题所做的一种理想化假设,前者是一种规律性认识,后者是一种假设;另一方面,这两者之间又存在统一性,随机思想是研究随机现象的立足点和出发点,而等可能假设则是研究随机现象的一种具体方法,它是随机思想在研究随机现象过程中的具体运用。没有等可能假设,随机思想就只能是空想。随机总会表现为一定程度的等可能性,如果不存在丝毫的等可能性,那么这样的随机又怎么能称得上随机呢?同样,没有随机思想,等可能假设也就成了无源之水、无本之木。比如:抛硬币的试验,尽管我们都知道并不存在真正意义上的等可能事件,但我们却可以假定每次试验都是等可能的,否则我们就无法进行研究。

二、概率与统计与其它数学思想之间的内在联系

1. 统计概率与分类思想的联系

分类思想方法对统计与概率的研究有着基础的重要性,深入领会分类思想方法是灵活运用其它各种思想方法的前提。统计与概率中所涉及的许多问题,最后都要通过分类思想方法转化为确定性问题。比如:古典概率问题的计算需要应用排列与组合,而排列与组合又离不开分类的方法。特别是对于一些比较复杂的概率问题,由于试验的复杂性和条件的特殊性,试验结果往往不是等可能出现的,一般很难运用统一的方法进行处理,这时常常要按照一定的标准,采用一定的方法,将试验结果分成若干个“类”来进行计算;再如统计中的分层抽样计算也需要运用分类的思想方法。

2. 概率思想与归纳思想的联系

归纳与概率之间存在着密切的联系。归纳法中的概率归纳推理是从归纳法向概率法发展的标志。概率归纳推理是根据一类事件中部分事件出现的概率,推出该类所有事件出现的概率的不完全归纳推理,是由部分到全体的推理,其特点是对可能性的大小作数量方面的估计,它的结论超出了前提所断定的范围,因而是或然的。从某种程度上来说,归纳是一种特殊的概率,概率方法是归纳法的自然推广,概率是归纳法发展到一定程度的必然产物。概率方法本身是对大量随机事件和随机现象所进行的一种归纳,是对随机事件发生的结果的归纳,它并不关心事件发生的具体过程;而归纳法不仅关注事件发生的结果,它还关注事件发生的具体过程,它承认事件发生过程中的规律性,并以此为基础来研究事件发生过程中的规律性。归纳法主要适用于少变量因果关系的简单事件所决定的问题;而概率方法则主要适用于多变量因果关系的复杂事件所决定的问题。从归纳法到概率方法反映了人们的认识从确定性走向不确定性的一种历史必然。

3. 统计思想与特殊化思想的联系

特殊化思想,是将研究对象或问题从一般状态转化为特殊状态进行考察和研究的一种思想方法。特殊化思想方法的哲学基础是矛盾的普遍性寓于特殊性之中。而数理统计思想方法是通过对样本的研究来把握总体内在规律的一种研究方法,换句话说,统计是通过对特殊事物的认识来把握一般性规律,因此它是一种特殊化思想方法。特殊化方法主要处理确定性问题,更侧重过程和对具体方法的把握;而统计法则主要研究随机现象,它更强调对结果和整体的把握。数理统计思想方法并不局限在具体的方法层次,它主要是从思想层次来把握问题,是一种真正意义上的特殊化思想方法。如果把通常意义上的特殊化思想方法说成是一种狭义的特殊化思想方法,那么统计思想就是一种广义的特殊化思想方法。

摘要：文章讨论了概率统计中随机思想与其它思想方法的联系,概率与统计与其它相关数学思想方法的联系。

统计与概率 篇5

评价检测

一、自学导航

专题训练一：

完成课本94页第1题。

注意：

测量时按整厘米计算。

专题训练二：

完成课本94页第2题。

注意：

先完成数机器人，注意总结不遗漏、不重复的数数方法，再数小火车。

专题训练三：

完成课本94页第3题。

注意：

如果有困难，可以实际看看。

专题训练四：

完成课本94页第4题。

注意：

答案不是唯一的。

新课标第一网教学目标：

1.复习数据的收集及整理过程，体会统计的必要性。

2.能够根据统计图回答一些简单的问题。

一、预习、质疑

看书p89-93，完成学案活动，教师下组指导看书，了解各组学习情况，重点指导学困生。先完成的小组选择展示任务。

二、交流、展示

交流5分钟，重点交流不会的知识点。

展示25分钟。每组根据任务大小派出若干名同学展示学案的内容，其他同学认真听、认真评，教师对重点问题进行点评。注意：点评时关注易错点：

1.

2.

完善导学案2分钟。

三、检测与反馈

概率、统计·事件与概率 篇6

1. 袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球. 在上述事件中，是对立事件的为（ ）

A. ① B. ②

C. ③ D. ④

2. 在正方体的顶点中任选3个顶点连成的所有三角形中，所得的三角形是直角三角形但非等腰直角三角形的概率是（ ）

A.[17] B.[27]

C.[37] D.[47]

3. 某射手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，则这名射手在一次射击中，击中的环数不够9环的概率是（ ）

A. 0.29 B. 0.71

C. 0.52 D. 0.48

4. 点[P]在边长为1的正方形[ABCD]内运动，则动点[P]到定点[A]的距离[|PA|<1]的概率为（ ）

A. [14] B. [12]

C. [π4] D. [π]

5. 一个袋中装有大小相同的3个红球，1个白球，从中随机取出2个球，则取出的两个球不同色的概率是（ ）

A.[23] B.[13]

C.[12] D.[14]

6. 有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条， 所取3条线段可构成三角形的概率是（ ）

A. [35] B. [310]

C. [25] D. [710]

7. 盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球. 那么取球次数恰为3次的概率是（ ）

A. [18125] B. [36125]

C. [44125] D. [81125]

8. 某学习小组有[3]名男生和[2]名女生，从中任取[2]人去参加演讲比赛，事件[A=]“至少一名男生”，[B=]“恰有一名女生”，[C=]“全是女生”，[D=]“不全是男生”，那么下列运算结果不正确的是（ ）

A. [A?B=B] B. [B?C=D]

C. [A?D=B] D. [A?D=C]

9. 在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目. 如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为[920]，那么参加这次联欢会的教师共有（ ）

A. 360人 B. 240人

C. 144人 D. 120人

10. 在区间[0，1]上任取三个数[a]，[b]，[c]，若点[M]在空间直角坐标系[Oxyz]中的坐标为[（a，b，c）]，则[|OM|<1]的概率是（ ）

A. [π24] B. [π12]

C. [3π32] D. [π6]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字. 若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 .

12. 已知一颗粒子等可能地落入如右图所示的四边形[ABCD]内的任意位置，如果通过大量的实验发现粒子落入[△BCD]内的频率稳定在[25]附近，那么点[A]和点[C]到直线[BD]的距离之比约为 .

13. 在面积为1的正方形[ABCD]内部随机取一点[P]，则[△PAB]的面积大于等于[14]的概率是 .

14. 过三棱柱任意两个顶点作直线，在所有的这些直线中任取其中两条，则它们成为异面直线的概率是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）一射击测试每人射击三次，甲每击中目标一次记10分，没有击中记分0分，每次击中目标的概率[23]. 乙每击中目标一次记20分，没有击中记0分，每次击中目标的概率为[13].

（1）求甲得20分的概率；

（2）求甲、乙两人得分相同的概率.

16. （10分）某班拟选派4人担任志愿者，经过初选确定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选志愿者的机会均等.

（1）求女生1人，男生3人当选时的概率？

（2）设至少有[n]名男同学当选的概率为[Pn]，当[Pn≥34]时，[n]的最小值？

17. （12分）已知实数[a，b∈{-2，-1，1}].

（1）求直线[y=ax+b]不经过第一象限的概率；

（2）求直线[y=ax+b]与圆[x2+y2=1]有公共点的概率.

18. （12分）设关于[x]的一元二次方程[x2+2ax+b2][=0].

（1）若[a]是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，[b]是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

（2）若[a]是从区间[0，3]上任取的一个数，[b]是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

关注概率与统计中的数学思想方法 篇7

一、对称思想

例1 (2007年湖北高考)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是().

解:因为cosθ=,所以m-n≥0,显然当m-n=0时有6种可能性,根据对称性,m-n>0与m-n<0的可能性相同,各有15种可能,所以的概率为=,故应选(C).

评注:对称思想是“化不和谐为和谐”、“化不对称为对称”的典型应用,利用对称思想解决概率问题,思路新颖别致,事半功倍.

二、方程思想

例2袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为P。

(Ⅰ)从A中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次.求:(1)恰好有3次摸到红球的概率;(2)第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率.

(Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为1:2,将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求P的值.

分析:第(Ⅰ)题的第(1)小问是求5次独立重复实验中有3次使“摸到红球”这一事件发生的概率,第(2)小问只需考虑第一次、第三次、第五次,其他两次与此无关;第(Ⅱ)题可通过先求袋中球的总数入手,来找A、B两袋球合在一起后摸出的球为红球的概率.

解:(Ⅰ)(1)恰好3次摸到红球的概率为

(2)第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率为.

(Ⅱ)设袋子A中有m个球,袋子B中有2m个球·由.

评注:本题第(Ⅱ)题的解答渗透着方程思想,考查组合、相互独立事件同时发生的概率的基本知识和分析、解决问题的能力.

三、分类与整合思想

例3从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为()

解:因为所取的3个数字允许重复,所以所有等可能组成的三位数共有5×5×5=125个,其中各位数字之和等于9的三位数,需分类确定:

(1)最大数字是5的,由5、3、1或5、2、2组成,分别有=6个和个.

(2)最大数字是4的,由4、2、3或4、4、1组成,分别有个和个.

(3)最大数字是3的,只有1个,即333.

所以各位数字之和等于9的概率为故应选(D)。

例4 (2007年福建高考题)方阵2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是()

解:设“3个数位于同一行”为事件A,“2个数位于同一行,第3个数位于另一行,但这3个数不位于同一列”为事件B,“2个数位于同一行,第3个数位于另一行,且与前2个数中的1个位于同一列”为事件C,则P(A)==,所以所求的概率为2P(A)+2P(B)+P(C)=,故应选(D).

评注:利用分类与整合的数学思想方法解决概率问题,清晰而又不重、不漏,但需要缜密的逻辑思维能力,否则极易出错.

四、或然与必然思想

例5袋中装有黑球和白球共7个,从中任取两个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.

(Ⅰ)求袋中原有白球的个数;

(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布;

(Ⅲ)求甲取到白球的概率.

解:(I)设袋中原有n个白球,由题意知,,解得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球.

(Ⅱ)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5,所以P=去,故取球次数的分布列为:

(Ⅲ)由于甲先取,所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球,记“甲取到白球”为事件A,则P(A)=P(“ξ=1”,或“ξ=3”,或“ξ=5”),因为事件“ξ=1”、“ξ=3”、“ξ=5”两两互斥,所以P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+

评注:本题设计的取球过程凸显了随机性的特征,要求学生在阅读信息、提取数据以及实施计算的过程中,自始自终运用或然与必然的数学思想方法.

五、化归与转化思想

例6已知一圆盘被分割成三个大小不等的扇形,并按扇形由小到大的顺序给各扇形依次标注0,2,3,从圆心出发的指针落在圆盘3分处的概率为a,落在圆盘2分处的概率为b,落在圆盘0分处的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知旋转一次圆盘得分的数学期望为2分,则+去的最小值为()

解:由已知得即3a+2b=2,其中=时等号成立,即最小值为,故应选(D).

基于概率统计方法确定油滴电荷量 篇8

在笔者见到的资料中, 大致有三类处理该实验数据的方法。第一类是通过少量有限的几组数据, 利用“倒过来验证法“、“构造函数法”、“平均值逐项相法”、“最小速度差法”、“加权平均法”等代数方法来处理数据。第二类是通过少量有限的几组数据, 利用计算机编程编程来处理数据[1]。第三类是通过大量的数据, 利用概率统计的方法来处理实验数据[2,3]。

对于第一类方法, 相关的介绍资料比较多, 不再赘述。第二类方法专业性太强。笔者认为第三种方法很适合广大本科学生, 其一是因为本科学生大都学习了《概率论与数理统计》这门课程, 对该方法比较熟悉。其二是因为概率统计方法简单易懂, 且具有极高的科学性。但是完整综合地介绍用概率统计方法来处理密立根实验数据的论文尚未见到, 而且部分资料还存在明显的不足。笔者综合前人的研究, 历经一年的时间, 不断分析实验数据, 对大量实验数据拟合处理, 并在此基础上做出清晰的物理分析图像, 使实验结果更科学, 更直观。

1 实验数据与分析

1.1 实验数据与处理

本次统计收集到的数据每组:包括两极板间电压为V、油滴匀速下降距离l和下降时间tg, 根据实验中所用仪器和材料的参数使用公式[4]对实验数据进行分析得到油滴荷电量Q, N为得到电量为Q的实验数据的组数, N~Q关系如图1所示。

观察图1可以看出在不同的区间内都出现了峰值, 且电量在一定的区域内分布有一定的规律, 假设图中各区间内的随机变量Q服从正态分布。下面将对假设进行检验。

1.2 正态检验[5]

用来检验总体正态性的方法较多, 本文采用较为有效“偏度、峰度检验法”。随机变量x的偏度和峰度是指x的标准化变量的三阶中心矩和四阶中心矩, 其中分别是随机变量x的均值和方差 (如图1) 。

根据图形将1715个随机变量分成6个样本区间:[1.08 2.17], [2.18 4.05], [4.06 5.44], [5.45 7.49], [7.55 8.29], [8.31 9.98]。并对每个区间采用“偏度、峰度检验法”进行正态检验。在置信水平为95%的情况下, 检验结果如表1。

从表1的检验结果可以看出第1~5组各区间中的数据均来自正态分布的总体。第6组的偏度检验结果不服从正态分布, 其原因在于我们选取的油滴带电量都小于1.00×10-18C, 导致最后一个区间的数据不完全, 部分文章就忽视了这一点, 得出最后一组也服从正态分布这一错误结论。所以我们选取第1～5组的实验数据来求解电荷量。

1.3 参数估计

通过上面的检验可知第1~5组各区间中的数据均来自正态分布的总体, 下面采用矩估计来求取各区间的相应参数如表2。

从图1及表2中可以看出第一组的总体的算术平均值Q1=1.58×10-19C应该在基本电荷量的附近。同时从表2中还可以得出相邻各样本区间总体算术平均值之间的差值约为Q1 (基本电荷量e) 。下面对各样本区间总体算术平均值Q和整数k进行线形拟合分析 (k分别为1、2、3、4、5) 。Q~k关系如图2所示。

由图2可知R2=0.9997, 说明Q和K之间存在特别强的线性关系。由此得出实验测得的基本电荷为1.597×10-19C, 与公认值e=1.602×10-19C比较, 相对误差为0.312%。

2 实验效果分析

实验数据处理后得到的相对误差较小, 这说明本次实验数据的处理方法是科学的。虽然实验过程中存在误差, 但是运用概率统计的方法对大量的数据进行分析处理, 能够最大程度地减小误差。从而解决了通常采用“倒过来验证”、“油滴电量平均值逐次相减”等数据处理法对本实验数据进行处理时缺乏实验分析科学性这一难题。

3 结语

(1) 对大量的实验数据进行析处理, 大大地提高了实验结果的准确性和可信度。

(2) 用Matlab作出的Q~N关系图像可以准确清晰地反映出Q的分布情况, 从而为下一步做出Q服从正态分布的假设提供了图像基础。

(3) 运用了较为有效“偏度、峰度检验法”分别对各区间进行正态分布检验。

(4) 对本实验来讲, 准确地划分出样本区间具有一定的难度, 需要较深的统计学知识。

摘要：用偏度、峰度检验、参数估计等概率统计方法对1615组实验数据进行分析处理, 得出基本荷电量值, 突破了常见的概率统计方法的局限性, 得出一种科学并具有说服力的密立根油滴实验数据概率统计处理方法。

关键词：概率统计,密立根油滴,正态分布,偏度,峰度检验

参考文献

[1]刘业政.用微机处理密立根油滴实验数据[J].物理实验, 1997, 17 (4) :176～177.

[2]张望霞.用概率统计方法确定电荷量e的值[J].西安交通大学学报, 1995, 12:115～118.

[3]温猛, 洪朱旭, 冯运军, 等.密立根油滴实验的概率统计分析[J].中山大学学报 (自然科学版) , 2004, 6:33～35.

[4]黄建群, 胡险峰, 雍志华.大学物理实验2版[M].成都:四川大学出版社, 2006:140～145.

概率论与数理统计教学方法初探 篇9

一、概率论与数理统计课程教学中存在的问题

概率论与数理统计是一门非常抽象的学科，它是研究随机现象统计规律性的学科，是一门很有特点的学科.它的内容非常丰富，概念和公式多且杂，容易混淆;基本概念抽象复杂、难以理解;涉及的知识点太多，需要用到高等数学、线性代数中的许多知识.一直以来，学生学习的都是确定性的内容，突然来研究随机问题，往往感到处理问题的方法与其他数学课程有很大的差异，普遍不适应，觉得习题难做，方法难于掌握.

学生在学习概率论与数理统计的过程中，常常有两种感觉：

一是学好不会用.掌握了相关知识，除了应付考试，却不知道在实际中灵活应用所学知识，遇到实际问题时，往往无从下手.

二是学后容易忘记.学生常常反映，概率论与数理统计的公式、定理特别多，不容易记住，学起来很枯燥，即使记住了，只要几天不看，就忘记了好多.

二、概率论与数理统计课程教学方法研究与实践

为了解决这些问题，在教学中，我们着重于对基本概念、基本理论和思想方法的讲解，尽量淡化定理的严格证明，紧密结合实际背景，注重知识连贯性和系统性，从而加深对相关数学概念的理解.

1. 关于概率的公理化定义

在讲解概率的定义的时候，我们在介绍了概率的统计定义、古典概型定义、几何概型定义之后，还介绍了公理化定义若是简单的讲述，前面三种概率定义，存在种种局限性，不够严谨，为了更严谨地定义概率，从而提出公理化定义.这样的讲授，学生必然不会有什么深刻的印象，若是能结合相关实际背景，讲讲著名的贝特朗奇论，说明正是它推动了概率定义公理化的进程，则学生必然印象深刻.

19世纪，科学界普遍存在一种乐观情绪.不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以用古典概型或几何概型给概率问题以唯一的解答.然而，1899年，法国数学家贝特朗提出了所谓“贝特朗奇论”(亦称“贝特朗悖论”)：在圆内任取一条弦，求该弦的弦长大于圆的内接正三角形边长的概率.更具体的描述为：在半径为R的圆内任意取一条弦AB，问其长度超过该圆内接等边三角形边长的概率p等于多少?

对于这个问题，贝特朗给出了三种不同的解答.

解法一：由于对称性的原因，可先确定弦的一个端点A，以此点为顶点作圆的内接等边三角形，然后弦的另一端点B绕着圆周旋转.显然，只有当另一端点B位于上方的圆弧时，弦AB的长度才会超过三角形的边长，而这段圆弧占整个圆周的，由几何概型可知，.

解法二：同样由于对称性的原因，弦长只跟它到圆心的距离有关，与方向无关.我们可以先确定弦的方向，再作垂直于此方向的直径，则弦被此直径垂直平分.此时，弦由它的中点唯一确定，很容易算出，只有中点到圆心距离小于时，其长才大于内接正三角形的边长.故符合要求的弦的中点只能取直径中间的长度为R的一段，由几何概型可知，.

解法三：由于弦由它的中点唯一确定，很容易算出，当且仅当其中点属于半径为的同心圆时，其弦长才大于, 由几何概型可知,

从而导致同一事件有不同概率，因此称为奇论或悖论.同一事件的概率不应该是唯一的吗?为什么有三种答案呢?其实这三种答案都是正确的.它们的结果之所以不同，只是因为它们各自对问题的理解不同，采用了不同的等可能性假定.在解法一中，实际上是假设“弦的端点在圆周上是均匀分布的”;在解法二中，实际上是假设“弦的中点在直径上是均匀分布的”;在解法三中，实际上是假设“弦的中点在圆内是均匀分布的”三种不同答案针对三个不同随机试验，对各自的随机试验来说，它们都是唯一的，是正确的.正是贝特朗奇论的产生，导致了概率论公理化的研究，在1917年前苏联数学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系，1933年柯尔莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率论的公理结构.

通过贝特朗奇论的介绍，必然使得学生对概率定义的公理化过程印象深刻，提高了对理论思想的理解程度，能清楚地了解各种概型与公理化定义之间的关系，增强了教学效果.

2. 关于大数定律

大数定律是阐明大量随机现象平均结果的稳定性的理论，是概率论中的核心问题之一.它是极限问题，需要极限的思想和任意小的概念.在讲大数定律的时候，只靠泛泛的语言叙述、定理证明是很难理解它们的.我们在教学中淡化定理的证明，着重于定理的分析理解，结合实际背景，使大数定律的思想在学生头脑中留下鲜明的印象.

伯努利在他的著作《推测术》的第四部分，介绍了大数定律.伯努利建立了一个缶中抽球的模型：缶中有a白球，b黑球，.有放回地从缶中抽球N次，记录得抽到白球的次数为X，以去估计p.这个估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一.此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a+b个球的每一个有同等机会被抽出.

伯努利企图证明的是：用估计p可以达到事实上的确定性(他称为道德确定性)，即

其确切含义是：任意给定两个数ε>0和η>0，总可以取足够大的抽取次数N，使事件的概率不超过η.这意思很显然：表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小.

伯努利对事实上确定性的数学理解，有一个很值得赞赏之点，即他在概率论的发展刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法.因为，既然我们想要证明的是当N充分大时，和p可以任意接近，则一个看来更直截了当的提法是

而这不可能实现.因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时总为1，不能收敛于p<1.或者退一步：要求上式成立的概率为l，这个结论是对的，但直到1909年才由波莱尔证明，其难度比伯努利的提法大得多.假如当时伯努利就采用这个提法，他不一定能在有生之年完成这一工作.波莱尔的结论比伯努利强，故现今把他们的结论分别称为强大数律和弱大数律.

这样讲授，能让学生对伯努利大数定律印象深刻，并能深刻理解伯努利大数定律为什么要采取这样的描述形式.

总之，我们在教学中注重对基本概念、基本理论和思想方法的讲解，尽量淡化定理证明，紧密结合实际背景，适当补充相关内容，注重知识连贯性和系统性.通过教学中的反馈信息及考试成绩分析，取得了良好的教学效果.

摘要：本文针对概率论与数理统计课程教学中, 学生普遍“学不好、学好不会用、学后易忘记”的现状, 结合概率论与数理统计课程的特点, 深入分析学生实际, 介绍了教学方法改革的一些尝试.

关键词：教学方法,教学改革,概率论与数理统计

参考文献

[1]陈希孺.数理统计学简史[M].长沙:湖南教育出版社, 2002.

概率论与数理统计教学方法探析 篇10

关键词：教学方法,概率论与数理统计

概率论与数理统计是理工科各专业的一门重要的基础课程, 其理论方法独特, 抽象, 既有严密的数学基础, 又与众多学科有着密切的联系, 其理论方法已广泛应用于自然科学, 社会科学及人文科学的一切领域。可以说, 凡是有数据出现的地方, 都不同程度地应用到了概率统计提供的模型与方法。所以, 《概率论与数理统计》是一门非常贴近实际应用的数学学科。这里介绍几种在概率统计教学中常用的教学方法。

一、兴趣培养法

兴趣是最好的老师, 如果采取各种方法, 激发出学习的情感, 就可以唤起学习的动机, 从而可以引导学生成为学习的主人。所以第一次课的内容很重要, 如何让学生认识这门课程的重要性, 如何让学生觉得有兴趣去学习这门课程, 是教师首先应该关注的问题。首先, 我们可以介绍这门课程的起源, 讲些历史上有名的赌博问题, 如分赌本问题, 掷骰子问题等一些能引起学生感兴趣的问题。然后再介绍下这门学科发展至今, 在社会生活、在其他科学领域如在经济、金融业、工农业、生物医药业、航空航天业、服务业等的应用, 在这些领域中尽量举些社会影响大的一些例子, 如股票、保险、神七飞天、三鹿奶粉事件等现今人们生活中最热门的话题, 这样既能让学生认识到这门课广泛的应用性, 又能引起学生的学习兴趣。而在以后的教学过程中, 也始终要重视学生兴趣的培养, 在教学过程中讲解概率与统计方法时注意以点带面, 由浅入深, 在引入基本概念时揭示其直观背景和实际意义, 并与实际情况和实际问题紧密结合, 多举生活中例子, 引起学生的兴趣。在讲解概率知识的过程时, 注意列举生活中有意义实际例子强化概率统计知识的重要。比如在讲解古典概率可举生日问题、彩票中奖问题、决策问题等等生活中的例子。在讲解全概率与贝叶斯公式时可举癌症问题、赌徒输光问题的例子等。在讲解事件相互独立性可举工厂的工作效率问题的例子, 关于贝努利试验与二项分布时可举保险问题和可靠性问题等。在讲解随机变量的数字特征时可举最优化问题、简单的求职决策问题等, 在讲解参数估计问题可举汽车产量估计和敏感性调查问题等实际问题的例子;在讲解假设检验时可举药效和预测问题等等。通过生活中的事例说明概率统计在生活中是无处不在的, 深刻地体会到知识在现实中的运用, 使学生具有明确的方向, 从而产生学习的内在动力。

二、直观描述法

在概率统计的教学过程中, 对概念和定义的理解是学生掌握课程内容的关键, 它直接影响到整个教学过程的好坏。在概率统计的内容中, 有许多概念和定义的直观性非常强, 这些概念和定义, 如果用数学理论来讲解, 那么学生在缺乏相关的知识结构和直观背景的情况下, 是很难真正掌握这些概念和定义的。例如:1、事件的互斥、对立与独立。对于“事件的互斥”这一概念好理解, 我们可以直观地描述成:“我不和你同时出现”;对于事件的“对立”, 我们可以直观地描述承:“我和你对着干, 你来我就走, 你不来我就来”。通过这样的形象描述, 学生相视而笑, 进而掌握这一概念的实质含义。对于“独立性”这一概念, 首先可以直观地解释成:“彼此没有关系”的“互不影响”的事件, 称为独立事件。在此一定要强调“彼此没有关系”和“互不影响”的直观性。在这里可以用一个例子来形象地描述:明天是否下雨 (设事件为“明天下雨”) 与明天你是否带手机 (设事件为“明天带手机”) ”是无关的, 因为从直观上讲这两事件是彼此没有关系的, 因此这两个事件是独立的。这两个事件与可能同时发生, 也可能不能同时发生 (互不相容事件) , 也有可能只有一个发生。也就是说相互独立的两个事件可能是互不相容事件, 也可能不是互不相容事件, 没有内在的必然联系。在概率统计的学习过程中, 像上述这种具有强烈直观意义例子很多, 这里不作详述。

三、以史为线法

在讲数学课的同时, 介绍一些数学史是非常必要的, 这既可以增加学生的知识面, 扩大学生的视野, 还可以从这些史实中, 了解相关的数学知识与方法产生的历史背景, 体会其中的思想、方法和创立一门新学科的艰辛。例如在概率的统计定义这一节后可插入历史典故:历史上有许多著名学者做过频率稳定性的试验。例如, 德·摩根 (D e Morgan) , 蒲丰 (Buffon) , 皮尔逊 (Pearson) 等人都做过大量的投掷硬币的试验, 发现正面出现的频率稳定在0.5左右。大量地观察并统计婴儿的出生, 发现男孩出生的频率稳定在0.513左右。十八世纪, 法国数学家拉普拉斯 (Laplace) 对伦敦、彼得堡、柏林和整个法国的广大人口资料进行了研究得出那些地区的男孩出生频率约等于22/43。由于学科课时数的限制, 不可能用过多的时间去讲相关的数学史, 在结合课程渗透数学史的时候, 史料不宜过多过繁, 应该简明扼要, 点到为止。有时利用课堂时间讲, 有时也可布置学生自学, 使学生在学习知识和方法的同时, 了解概率统计发生、发展的历史脉络, 得知概率统计还是一门年轻的科学, 还需要不断地发展与完善, 从而激发出他们学习的兴趣与情。

四、实验法

概率论与数理统计课程既具有很强的理论性, 又具有很强的实践性。而在传统的教学过程中, 往往只强调理论的严谨完整, 只注重培养学生的逻辑推理与抽象思维能力, 而忽视了学生的动手能力与实践能力的培养, 这就造成了学生学完本课程后, 掌握了大量的定义, 定理, 公式, 学会了几道固定模式的典型的计算, 证明题, 而在实践中, 遇到大量数据出现, 需要运用统计思想, 方法解决时, 却不会灵活运用本课程的思想, 方法, 而一筹莫展;或者, 由于统计计算复杂, 烦琐, 如果掌握适当的计算机技术和统计分析软件, 而用手工计算难以实现使学生失去了学习的兴趣。因此, 为了改革传统教学的弊端, 有必要在本课程的教学过程中开设实验课, 以增强学生的实践能力与动手能力。配合理论教学, 在实验课中开设以下内容:随机实验的模拟与概率的近似计算;随机变量及其分布;数字特征;参数估计与假设检验;统计分析综合实验。

概率论与数理统计课程实验课是本课程教学的重要环节, 其目标是在理论教学的基础上, 通过实验, 进一步理解, 掌握本课程的基本概念, 理论, 方法, 运用数学软件实现有关理论, 方法, 解决实际问题, 培养学生的实践能力与创新能力。

以上是笔者对概率论与数理统计教学方法的一些体会, 作为高校教师只有不断的提高自己的教学技能、改革教学方法, 理论联系实际, 才能进一步完善课改目标, 更好的培养学生成人成材。

参考文献

[1]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社.2001

[2]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社.1994

[3]李贤平.概率论基础.高等教育出版社.1997年

概率统计教学思考 篇11

关键词:概率统计 教学改革 教学 创新

随着人类社会的科技和经济的不断发展,数学在人类社会生活中的意义和作用日益提高。当今社会已越来越离不开数学,从网络计算、信息安全和生物医学技术到计算机软件、通讯和投资策略都需要数学。这种依赖性也表现在对于数学理论和方法的要求越来越高。概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。它包含的内容丰富,理论深刻,应用广泛,与理工科专业和社会生活结合密切,是高等院校中涉及面最广、最重要的公共基础课之一。

目前高等教育的一个普遍要求是:从以傳授知识为主要目标的继承性教育转变到以培养能力为主要目标的创新教育;从以教师为中心的注入式教育转变到教师主导作用与学生主体作用相结合的探究式教育;从应试教育转变到素质教育;从传统的教学模式转变到运用现代教育技术的新型教学模式,这就要求高校老师对于所教课程进行相应的教学研究和创新。概率统计作为一门重要的数学课程,也不能例外。笔者几年来一直从事高校概率统计的教学工作,结合自己的教学体会,得到了下面的几个结论:

一、概率统计的教学中多媒体是不可缺少的辅助手段,应该采用板书和多媒体结合使用的方法

一般来说,数学的教学板书是最好的教学手段,毕竟数学是一门理论性学科,公式、定理的推导以板书的形式讲解给学生可能效果更好一些。但是概率统计这门课程有自己的特殊性,应用多媒体辅助教学主要有两大好处:

1.可以极大提高教学效率。以第一章为例,大量的例题都是实际的例子,如果将例子都放到黑板上必然会浪费大量的时间,而借助PowerPoint软件设计,可以将老师从重复、单调的板书过程中解放出来,利用节省下的时间对学生进行启发式教育,展开灵活多样的讨论。而学生呢,也不必要再将所有的内容都抄录下来,如果需要,可以课后自己在计算机上根据课件的内容整理笔记,上课的过程中只需要跟着老师的思路接受知识。而且,多媒体课件可以通过生动形象的演示,将复杂的认识活动变得简单轻松,可以最大限度地调动学生的主观能动性,营造出更为宽松的课堂氛围,调动学生的学习兴趣,提高课堂教学质量[1][2]。

2.应用多媒体技术可以培养学生的创新性。在授课过程中,通过计算机图形显示、动画模拟、文字说明等结合学习内容对某些实验进行模拟、演示随机现象的统计规律性,形成一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境, 学生置身其中,可以在一种愉悦的环境中学习,其大脑思维必然会很活跃。教师再适时的提出问题,引导学生发现问题、解决问提,必然会极大的培养学生的创新性。

二、教师增加数学修养很有必要

“师者,所以传道、授业、解惑也”。目前,数学发展的一大特点就是“由稳定到交叉、混沌”,概率统计绝不是孤零零的一门单独课程,如果真的要把这门课程讲好,老师必须对其他各科都有一定的了解,对于整个数学的发展也必须有总体上的把握,这就要求我们老师必须踏踏实实的多学习,提高自己的数学修养。“要给别人一瓢水,自己得先有一桶水”,当然这绝不是一日之功,这就需要任课老师在课下阅读大量的书籍,最好的就是读一下《数学史》。对于整个数学学科、特别是概率统计学科的发展有一个全面的认识,这样在课上,老师就可以对于所教授的知识信手拈来,提高自己的教学效果。

三、教书科研应该结合起来

高校教师不再仅仅是教书匠,还应该紧跟时代的发展,及时了解概率统计这个方向最新的研究方向,发展程度,这可以和科研结合起来,因为一般来说如果搞科研的话,会更多的关注自己方向整个的发展,这对于将最新的内容引入到概率教学中会很有帮助的。

南京理工大学的杨孝平教授曾经在“第五次全国大学数学课程建设与教学改革经验交流会”的报告中指出“大学数学教学应该做到与时俱进,适应社会发展的需求,加强直观性和应用性教学,提高大学数学教育的质量,为社会培养更多更好的优秀人才”。概率统计作为一门重要的数学学科,可以说其方法应用到社会生活的各个方面,社会在发展,老师在科学研究的过程中必然会更深的体会到概率统计的重要性,并且将自己的体会经验传授给学生,必然会为培养优秀的人才起到重大作用。

四、教师在教学过程中要有针对性地进行教学改革

1.教学内容的改革。概率统计的主线是:分布、数字特征和统计特征。目前很多高校的授课学时都压缩很多,比方说我们学校各个专业的学时基本上都从72学时压缩到了54学时,那么任课老师可以根据概率统计这门课的主线,将授课内容做相应的调整。例如讲到分布时,对于一维随机变量的分布做重点阐述,而对于二维则可以简单讲授。当然,无论内容那个如何调整,都应该根据人才培养模式的新要求和全国工科数学课程指导委员会对《概率论与数理统计》课程的指导意见,以及考研的需要,力求内容与上述要求尽量保持一致。

2.教学方法的改革。概率统计的传统教学方法侧重于讲解概念、定义和计算,其后果是学生在系统的学习之后,却不知道如何应用。而且,概率统计的很多概念和定理抽象,计算过程复杂繁琐,对于非数学专业的学生来说造成了较大的困难,扼杀了学生的学习兴趣。事实上,对于大部分非数学专业学生,并不需要详细掌握定理的证明过程和计算过程。老师在教学过程中只需要求学生掌握概率的基本概念、基本理论以及常用的数理统计方法即可,可以加强《概率论与数理统计》的实验教学。比方说讲到统计时,和SPSS统计软件相结合,讲到常用随机变量时,和Excel相结合,这样可以提高学生数学实验能力,激发学习兴趣,培养主动探索精神。

3.教学手段的改革。结合现代教育技术手段,提高教学效率。使用多媒体辅助教学,结合黑板。关键问题是制作合适的《概率论与数理统计》电子教案,关于多媒体教学的好处,前面已有说明。这里需要强调的一点就是对于重要定理公式的推导和重要的计算过程,最好采用板书的形式。

参考文献:

[1]崔志会,杨静.浅谈多媒体技术在《概率统计》课程中的应用[J].高校讲坛.2008(18):164,181

[2]宋娟丽.在概率统计教学中培养学生创造性思维能力[J].新疆职业大学学报.2007(15):83-85

概率统计方法 篇12

结构在线监测过程中,测量模态参数的不完备,以及数据变异可能性和测量噪声的存在,使得通过单次的测量模态参数并不能完全反映结构的健康状态,有时甚至会出现误判或漏判的现象,采用通常的确定性识别方法[1]无法实现损伤的准确定位。因此必须在确定性损伤识别研究的基础上,发展能够充分反映问题不确定性性质的损伤诊断方法[2]。而基于概率统计理论的损伤识别方法能够更好地描述损伤识别问题的不确定性,从根本上解决损伤识别方法的确定性及其本质不确定性之间的矛盾,消除测量噪声的不利影响,有效改善其鲁棒性和实用性[3]。

本文选取了损伤敏感程度和抗噪性能都较好的单元损伤变量为识别指标,通过引入假设检验理论来确定不同噪声水平下损伤识别参数的临界值,然后对各单元识别样本值进行检验来确定各单元是否发生损伤,并确定假设检验的犯错概率。选取简支梁作为仿真算例,以验证概率统计方法的有效性。

1 改进的单元损伤变量

张新亮[4]改进了吴波[5]刘晖[6]等以单元模态应变能构造的一种损伤识别指标—单元损伤变量(D)。结构第j个单元的损伤变量可表示为:

式中,EMSEuij,EMSEdij分别为损伤前后第j个单元关于第i阶模态的单元应变能,表示为:

Kj为第j个单元的刚度矩阵;ϕi,分别为结构或构件损伤前后的第i阶模态振型。

2 基于假设检验的损伤识别

噪声等测量误差的存在[7],在很大程度上影响了损伤指标的识别性能,导致更多的单元发生了误判和漏判现象,因此,需要对损伤指标设立一个比较合理的临界值,以减少单元误判和漏判的发生。假设基准结构的第i个单元损伤变量值服从正态分布N(µ0,σi),若结构损伤后的单元损伤变量值的均值为µ,可以引用假设检验理论[8]中的右边检验方法:

式中,H0表示单元无损伤;H1表示单元发生损伤。在给定显著性水平为α时,如为通过测量模态参数计算得到的损伤结构第i个单元损伤变量样本均值,令

S2是σ2的无偏估计,则上述问题可以转化为t分布的形式:

由此可得损伤识别临界值:

由于假设检验法是通过样本值做出的判断,总是有做出错误决策的可能。假设第i单元未损伤而判断为有损伤(损伤误判),这种弃真错误为第Ⅰ类错误;又当第i单元有损伤而判断为未损伤(损伤漏判),这类取伪的错误为第Ⅱ类错误。犯第Ⅱ类错误的概率记为:

在实际工程结构的损伤检测中,应尽可能使犯两类错误的概率较小。由于增大样本容量会增加损伤检测成本,有时候甚至是不可行的。一般的做法是先限制犯第Ⅰ类错误的概率α,然后利用备择假设确定β的值,即

如果β较大,则调低置信水平α或增大抽样次数n,以保证犯两类错误的概率都比较小。

3 简支梁算例

采用钢筋混凝土简支梁模型进行数值模拟[9],在ANSYS中建立简支梁的有限元模型如图1.1所示,截面为0.25×0.20m2,材料弹性模量E=32Gpa,密度R=2500kg/m3。将梁沿跨度划分为等长的20个单元,21个节点,从左至右编号,单元长度为0.3m。

单元的损伤同样采用折减单元刚度的方法来模拟。损伤单元在简支梁中的位置如图1中涂黑的部分所示。考虑两个损伤工况,其中损伤工况1是②⑨⑩⑳四个单元的刚度均降低30%,损伤工况2是②单元折减20%,⑨单元折减10%,⑩单元折减5%,⑳单元折减30%。测量噪声是通过在模态振型和频率里加入一定程度的随机数来模拟,噪声程度用信噪比表示。

用随机子空间方法实现简支梁损伤前后振型的提取,施加噪声分别得到30个和100个模态数据样本,采用概率统计方法对三种不同噪声水平[6]下的各种损伤工况进行损伤识别,并计算各损伤单元在四种不同置信度下的判错概率,识别结果如表1和表2所示。

由表1知,当噪声水平为0.20%(相当于信噪比为20d B)时,置信度分别取90%、93%和95%时,假定的四个损伤单元都能被准确定位,且判错概率均为0。同时,第(14)单元也被判别为有损伤,但将其判错概率值与其他单元进行比较可以判定其无损伤或者可以忽略的微小损伤。将置信度提高至97%时,先前被误判的(14)单元已经不在损伤单元的行列中了。

样本数由30增加到100,在很大程度上改善了概率统计方法的识别效果。如表2所示,在噪声水平为0.8%时,用30个样本做概率统计损伤识别,识别结果出现了严重的误判和漏判现象;而用100个样本做置信度为95%的概率统计损伤识别就得到了很好的识别效果。

4 结论

本文选取改进后的单元损伤变量D作为损伤识别指标,采用概率统计理论与损伤识别过程相结合的方法,将损伤识别问题的不确定性转化为概率统计框架下的数学描述。通过对简支梁算例,得到以下结论:

1)基于统计的多样本损伤识别方法在很大程度上提高了损伤识别结果的稳定性和可靠性,提高了损伤指标的抗噪性能,比传统的单样本确定性方法更适合实际工程的应用。

2)概率统计方法通过置信度和检验统计量确定损伤判别临界值,解除了通过损伤指标值对损伤单元进行主观选择的困扰,给出了损伤单元检验的判错概率,使损伤识别结果更加合理、可信。

3)噪声水平和损伤程度都对识别结果有很大影响:同种损伤程度下,噪声水平越高,损伤越难以识别;同一噪声水平下,损伤程度越大,损伤越容易识别。

4)通过对各种损伤工况施加不同水平的噪声,采用不同样本数进行识别的结果可知,噪声水平越高,对识别结果的干扰越大;样本数越大,识别结果越可靠。根据本文算例,当信噪比高于20d B时,最小可识别到5%程度的损伤,采用30个样本时,置信度可取95%,采用100个样本时,置信度可取97%;当信噪比介于5d B和10d B之间时,最小可识别到30%程度的损伤,此时至少需要100个样本,置信度可取90%~95%,在这种噪声水平下,如果只要求识别50%以上的损伤程度,那么采用30个样本即可,此时置信度可取90%。在具体应用时,可采用试算法确定信噪比所在的区间,最终实现以较高(95%以上)的检验功效(1-β)给出损伤识别的定位结果。

摘要：针对测量噪声的存在严重影响了识别结果的稳定性和可靠性,选取改进后的单元损伤变量作为损伤识别指标与概率统计方法相结合,借助统计量和假设检验方法确定损伤判别临界值,得到检验的判错概率,消除测量噪声的不利影响,根据结构损伤前后参数统计值的变化,给出统计意义上的损伤识别结果。算例分析表明,基于改进单元损伤变量的结构损伤识别概率统计方法对噪声有很强的鲁棒性,能有效避免损伤误判的发生。

关键词：损伤识别,测量噪声,改进单元损伤变量,概率统计

参考文献

[1]高芳清.基于模态分析的结构损伤检测方法研究[J].西南交通大学学报,1998,33(1):108-113.

[2]张清华,李乔,唐亮.斜拉桥结构损伤识别的概率可靠度法[J].铁道学报,2005,27(3):70-75.

[3]Housner,G.W.Bergman,L.A.Caughey,T.K.et al.Structural control:past,present,and future[J].Journal of Engineering Mechanics,ASCE,1997,123(9):897-971.

[4]张新亮.基于完备模态空间的两阶段结构损伤识别方案[D].重庆:重庆大学,2007.

[5]吴波,李惠,李玉华.结构损伤的力学方法[J].地震工程与工程振动.1997,17(1):14-21.

[6]刘晖,瞿伟廉,袁润章.基于模态应变能耗散率理论的结构损伤识别方法[J].振动与冲击.2004,23(2):118-121

[7]曹晖,林秀萍.结构损伤识别中噪声的模拟[J].振动与冲击,2010,29(5):106-109.

[8]杨虎,刘琼荪,钟波.数理统计[M].北京:高等教育出版社,2004:58-63.