概率应用（通用12篇）
概率应用 篇1
摘要：本文给出了概率理论在实际中的应用实例, 使学生易于理解和掌握概率理论知识, 以收事半功倍之效。
关键词：概率理论,应用实例,泊松分布,方差,标准差
概率理论是数学的一个重要分支, 其理论性非常强, 同时它也广泛应用于社会生活各个领域。我们在概率论教学过程中应该讲解一些简单的实际应用例子或应用背景, 从而使学生对所学理论有具体地, 形象地认识, 激发他们强大的学习兴趣。
1 应用实例
1.1 泊松分布应用问题
实例:已知某种疾病的发病率为0.001, 某单位共有5000人, 问:该单位患有这种疾病的人数超过1人的概率是多少?超过5人的概率是多少?
答:设为该单位患有这种疾病的人数, 则X服从二项分布B (5000, 0.001) , 即:
由已知数据:n=5000和p=001.0, X可以看成是服从参数为:的泊松分布即可, 那么:
同理, 该单位患有这种疾病的人数超过5人的概率为:
计算结果说明:该单位患有这种疾病的人数超过5人的概率为38.4%, 超过1人的概率为95.96%, 这两个概率值都很高, 而我们知道这种疾病的发病率是很小的, 为0.001即为0.1%。这一事实说明一个事件尽管在一次实验中发生的概率很小, 但只要试验次数很多, 那么这一事件发生几乎是肯定的。这也告诉人们不能轻视小概率事件。
1.2 均值和方差应用问题
在财务分析中, 风险的概念十分重要。风险的高低有时可以单凭主观的感觉作出判断, 也可以用方差或标准差来测量, 从而得出一个比较客观和科学的结果。下面用一个例子来说明如何利用方差或标准差去评估某个投资的预期平均回报率及其相对应的风险, 从而作出投资的决定。
实例:一位投资者有一笔现金可用于投资, 现有两个投资项目可供选择, 项目A和项目B有如下资料可供参考 (表1, 表2) 。问:那个投资项目较佳?
答:在评估两个项目的回报率时, 由于各有其不同的可能性, 所以可以运用预期平均回报率来反映个别项目的盈利能力, 以便做出投资选择。
项目A中, 回报率4%乘以概率0.05, 得出0.2%的预期回报率, 这个数字同时表达了回报率的量及其出现的机会。将各个预期回报率加在一起, 便得出项目A的预期平均回报率为7%。用同一个方法可以算出项目B的预期平均回报率亦为7%。由于两者的预期平均回报率相同, 所以有必要评估两个项目回报率的稳定性和风险, 决定哪个较佳。而稳定性和风险可用方差或标准差反映出来。计算方差和标准差时, 预期平均回报率就是均值, 计算结果见表3和表4。
计算结果:项目A的标准差为1.414%, 这个值反映了每一个可能出现的回报率与预期平均回报率的平均差别;数值越大, 回报率的变化越大, 其稳定性越小, 风险越大。项目B的标准差为1.1 2%, 比项目A的低, 因此, 其回报率的稳定性较高, 即风险较低。比较二者, 就风险控制而言, 投资于B项目较项目A更加。
参考文献
[1]茆诗松, 澲小龙, 程依明.概率论与数理统计简明教程[M].北京:高等教育出版社, 2012.
[2]石林, 张景.概率论与数理统计——理论与演练[M].成都:西南交通大学出版社, 2013.
[3]贾俊平, 何晓群, 金勇进.统计学[-M].4版.北京:中国人民大学出版社, 2009.
概率应用 篇2
马涛
2901312017
摘要：离散数学、概率论是工科基础课程，它们都是后续课程的准备课程，而且各自在实际的生产生活中都有着重要的应用。总结各门课程各部分在实际生活中的应用，指出它们在相关领域的重要性。关键词：离散数学、概率论
0引言
离散数学是现代数学的一个重要分支，也是计算机科学与技术的理论基础，所以又称为计算机数学。首先它是数据结构，软件技术基础，操作系统，人工智能等计算机科学专业的准备课程；其次，离散数学还是计算机科学的重要研究工具。概率论作为数学重要的一个分支，在生活及经济领域有重要作用，而且是学习随机信号分析，信息论等课程前的必修课程。
1离散数学的应用
1.1在计算机学科中的应用
离散数学把计算机科学中所涉及到的研究离散量的数学综合在一起，进行较系统的、全面的论述，为研究计算机科学的相关问题提供了有力的工具。计算机要解决一个具体问题，必须运用数据结构知识。对于问题中所处理的数据，必须首先从具体问题中抽象出一个适当的数学模型，然后设计一个解此数学模型的算法，最后编出程序，进行测试、调整直至得到问题的最终解答。而寻求数学模型就是数据结构研究的内容。寻求数学模型的实质是分析问题，从中提取操作的对象，并找出这些操作对象之间含有的关系，然后用数学的语言加以描述。数据结构中将操作对象间的关系分为四类：集合、线性结构、树形结构、图状结构或网状结构。数据结构研究的主要内容是数据的逻辑结构，物理存储结构以及基本运算操作。其中逻辑结构和基本运算操作来源于离散数学中的离散结构和算法思考。离散数学中的集合论、关系、图论、树四个章节就反映了数据结构中四大结构的知识。1.2在通信领域的应用
代数系统在计算机中的应用广泛,例如有限机,开关线路的计数等方面。但最常用的是在纠错码方面的应用。在计算机和数据通信中,经常需要将二进制数字信号进行传递,这种传递常常距离很远,所以难免会出现错误。通常采用纠错码来避免这种错误的发生,而设计的这种纠错码的数学基础就是代数系统。纠错码中的一致校验矩阵就是根据代数系统中的群概念来进行设计的,另外在群码的校正中,也用到了代数系统中的陪集。
1.3在人工智能中的应用
人工智能是计算机学科中一个非常重要的方向,离散数学在人工智能中的应用主要是数理逻辑部分在人工智能中的应用。数理逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑,命题逻辑就是研究以命题为单位进行前提与结论之间的推理,而谓词逻辑就是研究句子内在的联系。大家都知道,人工智能共有两个流派,连接主义流派和符号主义流派。其中在符号主义流派里,他们认为现实世界的各种事物可以用符号的形式表示出来,其中最主要的就是人类的自然语言可以用符号进行表示。语言的符号化就是数理逻辑研究的基本内容,计算机智能化的前提就是将人类的语言符号化成机器可以识别的符号,这样计算机才能进行推理,才能具有智能。由此可见数理逻辑中重要的思想、方法及内容贯穿到人工智能的整个学科。
1.4在现实生活中的应用
离散数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理、交通规划、战争指挥、金融分析等领域都有重要的应用。正是由于离散数学的重要作用，美国已将离散数学列为21 世纪应重点发展的三个数学领域之一，在美国有一家用离散数学命名的公司，他们用离散数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名离散数学家利用离散数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。
2概率论的应用
2.1在经济学中的应用
假如某个企业拥有三支能够赢得利润相互独立的股票，同时，三支股票能够赢得利润的概率分别为0.7、0.5、0.4，求：(1)从三支股票中任意取出两支股票，有大于等于一支的股票能够赢得利润的概率；(2)在三支股票中，有大于等于一支的股票能够赢得利润的概率。
设A、B、C 分别表示三支股票能够赢得利润，A、B、C 是相互独立的。P(A)=0.7，P(B)=0.5，P(C)=0.4，则由乘法公式与加法公式：
(1)从三支股票中任意取出两支股票，有大于等于一支的股票能够赢得利润等价于三支股票至少有两支能够赢得利润的概率。P1=P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)-2P(A)P(B)P(C)=0.7×0.5+0.7×0.4+0.5×0.4-2×0.7×0.5×0.4=0.55(2)在三支股票中，有大于等于一支的股票能够赢得利润的概率。
P2=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=0.7+0.5+0.4-0.7×0.5-0.7×0.4-0.5×0.4+0.7×0.5×0.4 =0.91 通过上面的计算，能够看出：投资三支股票能够赢得利润的概率要比投资两支股票能够赢得利润的概率大，也就能够推出，投资许多支股票能够赢得利润的概率要比投资少数的几支股票能够赢得利润的概率大。因此，在经济分析中进行股票的投资决策时，可以通过投资多支股票来达到分散风险的目的。2.2 在环境保护中的统计与概率 在环境保护中，统计与概率也在发挥其作用。
例如：根据某地环境保护法规定，倾入河流的废水中某种有毒化学物质含量不得超过3（ppm）。该地区环保组织对沿河各厂进行检查，测定每日倾入河流的废水中该物质的含量。某厂连日的记录为：2.9，3.1，3.2，3.3，2.9，3.5，3.4，2.5，4.3，2.9，3.6，3.2，3.0，2.7，3.5。试在显著水平为0.05 上判断该厂是否符合环保规定（假定废水中有毒物质含量。分析，该题可以利用假设检验的方法做出判断。因为该题没有给出方差，可以求出样本的方差S=0.421，用统计量,而拒绝域为C{t≥(14)}，显然样本观察值落入拒绝域C 中。因此在显著水平为0.05 上认为该厂废水中有毒化学物质含量超标，不符合环保规定，应采取措施来降低废水中有毒物质的含量。通过这个例子知道，统计与概率知识是进行环保，执行政策离不开的有力工具。
2.3 在保险业务中的应用
随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。保险业越来越多地走进人们的生活。例如：在保险公司里有2 000个同龄人参加人寿保险，参加保险者在1 年的第1 天交付20 元保险金。若在1 年内保险者死亡，其家属可从保险公司领取3 000 元赔偿费。设在1 年里这些人的死亡率为0.25%。
（1）求保险公司1 年中至少盈利10 000 元的概率。
（2）求保险公司亏本的概率，求保险公司1 年内的平均盈利。
解：设参加保险1 年内的死亡人数为随机变量ξ，则ξ～B（2 000,0.0025）（1）因为2 000·20-3 000≥10 000 可解得0≤ξ≤10 保险公司1 年中至少盈利10 000元的概率为P（0≤ξ≤10）=0.986 3，即保险公司以98.63%把握至少盈利10 000元。（2）因为3 000ξ>40 000 可解的ξ≥14 保险公司1 年内亏本的概率为P（ξ≥14）=0.000 7 由此可见保险公司亏本的概率是极小的。（3）保险公司1 年内的平均盈利为
E（40 000-3000ξ）=40 000-3000 E（ξ）=40 000-3 000·2 000·0.0025=25 000（单位：元）保险公司正是看清每年能平均盈利才发展下去的 结束语
离散数学已经成为计算机学科的核心课程，在计算机各学科中都有重要的应用。而概率论更是在许多方面都有应用，成为经济等领域的最主要数学工具，为生产生活带来诸多便利。做为数学学科的两个重要分支，概率论和离散数学都得到极快的发展和及广泛的应用，虽然是基础性课程，但无论在生产生活中，还是后续学习中都有很重要的作用。
参考文献
概率统计在经济中的应用 篇3
关键词:概率统计;经济;决策
近几年,随着我国经济建设的迅速发展,我国的经济管理部门和经济学界越来越意识到数学方法来解决经济问题的重要性,逐渐探索出了经济问题中应用数学的规律。其中,概率统计是进行定量研究的最有效工具,因为它为经济管理、预测和决策提供了新的手段,这将有利于提高管理水平和经济效益,具体应用体现在以下几个方面。
一、在经济管理中的应用
(一)利用回归方程确定商品的价格。
商品价格确定的如何,将直接影响企业的利润,企业要根据市场的需求情况来确定商品的销售价格,使其商品获得最大的经济效益。但价格的制订要视具体情况而定,价格定的太高,销售量会减少,营业额也会相应的减少,这样企业的经济效益将不好,如果商品的价格定的太低,即使销售量会增加,但由于利润减少,因此经济效益同样不好。
例1 .某企业1月份推出新产品D,成本价为492元/件,经试销得月销售量与销售价格的关系如下表:
试求销售价为多少时使得月利润最大?并求其最大利润和取得最大利润时的销售量。
解:设月销售量为,销售价格为,利润为S,由上表可见,与可看作一次函数关系,用回归分析建立回归方程,计算如下表:
(二)利用普哇松分布确定商品进货量。
在商品销售的过程中,商品的进货量是其中比较重要的因素之一,因为如果商品销售不出去,是要支付成本费和储存费的,因此既要保证商品不脱销,又要使商品不积压,商品销售者就必须控制好进货量。
例2.某商店过去某种商品每月的销售量用参数λ= 10 的普哇松分布描述,以95 %以上的把握保证不脱销,试问商店在月底至少应进该种商品多少件?
解:设该商店每月销售该商品ξ件,月底的进货为件,当(ξ≤) 时就不会脱销,由题意得(ξ≤)≥0.95
已知ξ服从λ=0的普哇松分布,即
这家商店只要在月底进货某种商品15 件(假定上个月没有存货), 就可以95 %以上的把握保证这种商品在下个月内不会脱销。
(三)利用贝叶斯公式研究营销成功与信誉度的关系。
营销成功与否与信誉度有很大的关系,那么如果不讲究信誉度会有怎样的结果呢?下面我们用贝叶斯公式加以考察,
例3.有一家公司的可信度为0.8,试求该公司多次失信后客户对其相信程度为多少?
即客户经过再次上当,对这家公司的可信程度将由0.8下降到0.138,这么低的可信度,该公司怎么能奢望对客户进行第三次营销会成功呢,客户怎么会愿意购买呢?这必然会严重影响公司的营销业绩。
(四)利用比例P的置信区间调查客户数。
例4.某营销公司想调查其投资产品的受益率,为使受益率的1-置信区间长度不超过,求应调查多少为客户?
解 这是关于二点分布比例的置信区间问题,因1-?琢的置信区间长度为,这是一个随机变量,所以对任意观测值有。即p的1-?琢置信区间长度不会超过d0。要使p的1-?琢置信区间长度不超过,只需即可,从而。如,某超市为厂家推销新产品,在保证受益率为0.95的前提下,使的1-?琢置信区间长度不超过d0=0.04时产品的受益情况,可对客户进行调查,其中?琢=0.05,试问应调查多少客户?可知,即要使产品的益率p的置信区间长度不超过0.95,需调查2 401位用户。
二、在经济预测中的应用
在实际的经济活动中,许多量之间存在密切的联系,可根据数理统计原理,根据往年资料,通过对社会经济现象之间存在的因果关系和变化趋势进行线性回归分析预测,从而得出未来的数量状况。我们以一元线性回归分析为例来探讨线性回归分析在经济预测中的应用。
例5 合金的强度y(×107pa)与合金中碳的含量x(%) 有关,为了能生产出强度满足用户需要的合金,在冶炼时要控制碳的含量。现收集了12 组数据,如下表 ,试建立线性回归模型并进行检验。若在冶炼过程中通过化验得知碳的含量为0.16,预测这炉合金的强度。
解:已知一元线性回归模型为y= a+bx,将表中的数据代入公式得:a =28.53,b=130.6,从而所求的回归模型为y=28.53+130.6x。
用t 检验法,经计算得t= 13.2872,取显著性水平?琢= 0.058,则t0. 975 (10) = 2. 2281 ,由于132.2872>2.2281,因此在显著性水平下?琢= 0.01回归方差是显著的。
将x0 =0.16代入回归模型,则得到预测值为y0 =28.536+130.6×0.16=49.432,在显著性水平?琢= 0.05下,得的概率为0.95的预测区间为(46.25 ,52.61),即有95%的把握认为,碳的含量为0.16时,合金的强度介于(46.25～52.61)之间。
三、在风险决策中的应用
在进行决策之前,经常存在不确定的随机因素,所作的决策是有一定风险的,我们只有正确、科学的进行决策才能达到尽可能节约成本而获得最大的保障的目标。利用概率统计中的数学期望、方差、标准离差率、协方等数字特征可以实现这个目标。
(一)在投资理财中的应用。
例1 某人有一笔资金,可投入房产A 、地产B 和商业C3个项目,其收益和市场状态有关,如果把未来市场划分为好、中、差3个等级,发生的概率分别为p1=0.2, p2=0.7, p3=0.1,不同等级情况下各种投资的年收益(万元)如下表:
因为若方差愈大,则收益的波动就大,从而风险也大,所以从方差看,该投资者投资房产的风险要比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合来看,该投资者还是应该选择投资地产为好,即使平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。
(二)在经济保险问题中的应用
目前,保险问题在我国是非常热点的问题。保险公司为企业、单位和个人提供了各种各样的保险服务,人们总要预算某一业务对自己的利益有多大,怀疑保险公司的赔偿是否会亏本。下面以中心极限定理说明它在这一方面的应用。
例5 某人寿保险公司有2 500人参加保险,一年里这些人死亡的概率为0.001,每人每年的第一天向保险公司交付保险费12元,死亡时家属可以从保险公司领取2 000元保险金,求: 保险公司一年中获利不少于10 000元的概率;保险公司亏本的概率。
由此可知,一个保险公司亏本的概率几乎为0,这也是保险公司乐于开展业务的一个原因。
实践证明,概率统计在现代社會生产、生活各个方面的应用越来越广泛,在经济管理,经济决策等方面都发挥着重大作用。管理者应充分利用生产过程、管理过程中出现的数据资料、信息,运用统计理论知识寻找其间隐含的统计规律性,以此来指导生产实践,有利于我们更好地选择管理技术和手段,从而提高企业经济效益。
参考文献:
[1]李兰军.概率统计在经济问题中的应用研究[J].商场现代化,2008,10.26.
[2]易艳春 ,吴雄韬.概率统计在经济学中的应用[J].廊坊师范学院学报,2009,4.89-91.
[3]孙玉芬,概率统计在商品生产和销售中的一些应用[J].宝山师专学报,2003,2. 51-56.
[4]祁红光, 浅谈概率统计在决策优化中的应用[J]. 沙洋师范高等专科学校学报,.2005,5.28-30.
中考中概率的简单应用 篇4
一、理解概念
例1 (2015·泰州) 事件A发生的概率为, 大量重复做这种试验, 事件A平均每100次发生的次数是_______.
【分析】本题考查了概率的意义, 熟记概念是解题的关键.
解:事件A发生的概率为, 大量重复做这种试验,
则事件A平均每100次发生的次数为:.故答案为:5.
例2 (2015·镇江) 写一个你喜欢的实数m的值_______, 使得事件“对于二次函数, 当x<-3时, y随x的增大而减小”成为随机事件.
【分析】直接利用公式得出二次函数的对称轴, 再利用二次函数的增减性结合随机事件的定义得出答案.
解:
∴对称轴为直线
∵当x<-3时, y随x的增大而减小,
∴m-1<-3,
解得:m<-2,
∴m<-2的任意实数即可.
故答案为:-3. (答案不唯一)
二、利用频率估计概率
例3 (2015·南通) 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球, 这a个球中只有3个红球, 若每次将球充分搅匀后, 任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后, 发现摸到红球的频率稳定在20%左右, 则a的值约为 () .
A. 12B. 15C. 18D. 21
【分析】在同样条件下, 大量反复试验时, 随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近, 可以从比例关系入手, 列出方程求解.
解:由题意可得,
解得, a=15.故选:B.
三、计算随机事件发生概率
1. 公式法
当一个事件A的可能结果数m比较容易得出时, 可以将事件的所有出现的等可能的结果列举出来, 设有n种, 再求二者的商, 即用来计算该事件A发生的概率.
例4 有7张卡片, 上面分别写着1、2、3、4、5、6、7这几个数字, 卡片的背面完全相同.将这些卡片背面朝上放置, 从中任取一张卡片, 则卡片上的数字是偶数的概率是_______.
【解析】应用列举法一定要将所求事件A发生的等可能结果找全、找准, 再计算. 求卡片上的数字是偶数的概率, 就是求偶数占数字总数的比.因为这些数字中偶数为3个, 所以
2. 树状图法与列表法
例5 (2015·泰州) 一只不透明袋子中装有1个红球, 2个黄球, 这些球除颜色外都相同, 小明搅匀后从中任意摸出一个球, 记录颜色后放回、搅匀, 再从中任意摸出1个球, 用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况, 并求两次摸出的球都是红球的概率.
【分析】首先根据题意画出树状图或列表, 然后求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况, 再利用概率公式即可求得答案.
解法一:画树状图得:
∵共有9种等可能的结果, 两次摸出的球都是红球的只有1种情况,
∴两次摸出的球都是红球的概率为:
解法二:列表得:
∵共有9种等可能的结果, 两次摸出的球都是红球的只有1种情况,
∴两次摸出的球都是红球的概率为:
3. 面积法
例6在如图1所示 (A, B, C三个区域) 的图形中随机地撒一粒豆子, 下列说法错误的是 () .
A.豆子落在C区域的可能性最小
B.豆子落在B区域的可能性为
C. 若撒一粒豆子9次, 则必有5次落在A区域
D. 豆子落在B或C区域的可能性比落在A区域的可能性小
【分析】本题考查了求简单的几何概型等可能事件的概率, C区域的面积为4π, B区域的面积为π×42-π×22=12π, A区域的面积为π×62-π×42=20π, 所以豆子落在C区域的可能性最小, 落在B区域的可能性为
落在A区域的可能性为, 但这是经过大量实验后得出的结论, 故撒一粒豆子9次, 则必有5次落在A区域是错误的;
落在B或C区域的可能性, 落在A区域的可能性为, 所以豆子落在B或C区域的可能性比落在A区域的可能性小.
【答案】C.
同学们在做与概率有关的练习时, 我给大家以下几点建议:
1. 立足教材, 理清概念, 夯实基础, 体现方法, 熟练掌握概率的基本知识、基本技能和基本思想方法.
2. 对概率的计算问题, 要把不同背景下的各类问题加以变通, 寻找它们之间共同的数学本质, 从而建立合适的概率模型, 使思维的灵活性、缜密性和开放性得以锤炼.
概率应用 篇5
根据长江流域1849-1998年发生的巨洪资料序列,通过正态性、独立性等统计检验,确定序列的性质;然后,利用平稳独立随机过程理论建立概率预测模式,对长江流域巨洪发生概率作出研究性预测.结果表明,根据1849年以来长江巨洪资料样本,建立的`巨洪发生间隔时间资料序列经对数变换后使原序列的线性和平稳性得以改善,有利于预报信息的提取;根据巨洪资料序列的性质,用平稳独立随机过程理论建立概率预测模式是合理的,制作长江巨洪发生概率预报是可行的;预计下次巨洪可能在2019年前后发生,2018年发生概率为59%,2019年发生概率为61%.
作 者：郑小华 屈振江 栗珂 ZHENG xiao-hua QU zhen-jiang LI ke 作者单位：郑小华,栗珂,ZHENG xiao-hua,LI ke(陕西省气象局,西安,710015)屈振江,QU zhen-jiang(陕西省气象局,西安,710015;南京大学大气科学系,南京,210093)
刊 名：暴雨灾害 英文刊名：TORRENTIAL RAIN AND DISASTERS 年，卷(期)：2009 28(3) 分类号：P338 关键词：长江巨洪 概率预测 平稳独立过程★ 随机事件的概率测试题
★ 随机事件的概率的教学设计
★ 随机荷载作用下疲劳裂纹扩展新算法
★ 损失数据自回归模型的随机梯度辨识算法
浅谈集合在概率中的应用 篇6
关键词：集合；概率；联系；应用
数学是一门非常迷人的学科，久远的历史、勃勃的生机使她发展成为一棵枝繁叶茂的参天大树。人们不禁要问：这棵大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，数学家们提出了集合论。可以认为，数学的所有内容都是建立在集合的基础之上的。
在中学阶段，由于众多的数学内容可以用集合思想来描述，因而不仅为理解与分析数学问题开辟了新的途径，而且使许多表面上孤立、零乱的数学知识在本质上得到了统一，这对于掌握数学的真谛无疑大有裨益。人教B版实验教材在处理概率内容时，其指导思想就是建立集合与概率的联系，使用集合语言和集合运算较精确地叙述概率的有关概念。下面谈一下笔者对集合思想在概率中应用的看法。
一、用集合语言和运算来表述概率事件和公式
1.基本事件空间
在一次试验中，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写希腊字母?赘表示。这里的基本事件空间类似于集合中的全集，每一个基本事件都是基本事件空间的元素，随机事件是基本事件空间的子集。这样就可以用维恩图的方法来表示随机事件之间的关系，并且我们知道基本事件空间容量为n的实验能够发生的事件应为2n-1，从集合的角度讲就是基本时间空间这一集合的真子集个数。
2.两个事件的并与交
（1）两个事件的并。由事件和A至B少有一个发生（即A发生，或B发生，或A，B都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和），记作C=A∪B，事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合。因此A?哿A∪B,B?哿A∪B且P(A)≤P(A∪B)，P(B)≤P(A∪B)，P(A∪B)≤P(A)+P(B).
（2）两个事件的交。由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交（或积），记作D=A∩B（或D=AB），事件A∩B是由事件A和B所共同含有的基本事件组成的集合。因此有：A?勐A∩B,B?勐A∩B且P(A)≥P(A∩B),P(B)≥P(A∩B)，P（A∩B）≤P（A）+P（B）.当A，B是相互独立事件时，有P(A∩B)＝P(A)×P(B).
（3）与集合类比。两个事件的并与交其实质就是两事件对应集合的并集与交集，所以无论从定义、表示、性质上都与两集合的并集与交集类似。这样就可以借助于集合的运算来表示和理解两事件的并与交。
（4）概率的一般加法公式。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).从集合的观点来看，概率的一般加法公式对应关于集合元素个数的容斥定理：card(A∪B)=cardP(A)+cardP(B)-cardP(A∩B)，它们的形式完全一致，可对比记忆和理解。
3.互斥事件
（1）互斥事件。不可能同时发生的两个事件叫互斥事件（或称互不相容事件）。若A,B是互斥事件，从集合的角度看，是指由各个事件所含的结果组成的集合互不相交，即有A∩B=?覫，从而得互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；而对于两个有限集合A,B来说，若A∩B=?覫，有card(A∪B)=cardP(A)+cardP(B).
（2）对立事件。不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。事件的对立事件记作A，从集合的角度看，由事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。因此有A∪A=?赘，A∩A=?覫，且P(A∪A)=P(?赘)=P(A)+P(A)=1，从而得到P(A)=1-P(A)。这个公式为求P(A)提供了另外一种方法，当我们直接求P（A）有困难时，可转化为求P(A)。这实际是集合中补集思想的应用。
（3）古典概型。对于古典概型，如果试验有个两两互斥的基本事件，而随机事件A包含的基本事件数为m。设此试验的基本事件空间为?赘，则A?哿?赘，card(?赘)=n,card(A)=m，所以P(A)=■=■，即事件A的概率是子集A的元素个数与全集?赘的元素个数的比值。
4.条件概率
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫条件概率，用符号P(B|A)来表示。P(B|A)=■，P(A)>0.
若此试验为古典概型，基本事件空间为?赘，则A?哿?赘,B?哿?赘,P(A)=■,P(A∩B)=■.从而有P(B|A)=■=■，即此时事件B发生的条件概率就是A∩B的元素个数与A的元素个数之比。
5.几何概型
几何概型中事件A理解为?赘区域的某一子区域A，实际上就是A?哿?赘.
二、借助集合思想来处理概率问题
通过以上的叙述和对比，我们发现概率与集合有着千丝万缕的联系，可以借助于集合知识来理解概率内容，也可运用集合思想来解决概率问题。
例1：掷一颗骰子，观察掷出的点数。（1）写出这个试验的基本事件空间；（2）写出“掷出偶出点”这一随机事件对应的集合A；（3）求掷得奇数点的概率。
略解：（1）?赘={1,2,3,4,5,6};（2）A={2,4,6}；（3）事件B=“掷得奇数点”={1,3,5}，所以=P(B)=■=■=■.
例2：在一段线路中并联着三个独立自动控制的单开开关，只要其中有一个开关闭合，线路就正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。
分析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指三个开关中至少有一个闭合，这可以包括恰有其中某一个开关闭合、恰有其中某两个开关闭合和恰好三个开关都闭合共七种互斥的情况，逐一求其概率较为麻烦。为此，我们转而先求三个开关都不能闭合的概率，从而求得其对立事件——三个开关中至少有一个能够闭合的概率。由于这段时间内三个开关是否能够闭合相互之间没有影响，可根据相互独立事件的概率乘法公式来求解。这里也可体会到用补集的思想处理问题，可使问题的解答变得简便。
解：分别记这段时间内三个开关能够闭合为事件A,B,C。根据题意，A,B,C相互独立，所以这段时间内至少有一个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是：P(A∪B∪C)=1-P(A∪B∪C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-0.73)=0.973.
例3：设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？
解：设A=“能活到20岁”，B=“能活到25岁”，则P(A)=0.8,P(B)=0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B?哿A，故A∩B=B，于是P(B|A)=■=■=■=0.5.所以这个动物能活到25岁的概率是0.5。
说明：以上题目的解决中，借助了集合的思想及表示，使问题的解决更简单、明了。特别是例3中求P(A∩B)，题目中未明确给出，是通过分析集合A,B之间的包含关系，利用交集的性质得出的。
概率统计对投资的应用 篇7
概率在投资风险方面:在投资环境日趋复杂的现代社会, 几乎所有的投资都是在风险和不确定情况下进行的, 一般地说, 投资者都讨厌风险并力求回避风险。风险是某一行动的结果具有多样性。风险是客观存在的, 它广泛影响着企业的财务和经营活动, 因此, 正视风险并将风险程度予以量化, 成为企业财务管理中的一项重要工作。衡量风险大小需要使用概率和统计方法, 下面分别介绍:
1. 概率分布
概率是指随机事件发生的可能性大小的数量指标, 事件A的概率记为P (A) 。它是介于0与1之间的一个数, 并且所有随机事件发生可能性的概率之和必须等于1。例如, 一个企业有80%盈利的机会, 有20%的亏损的机会, 如果把所有可能的事件或结果, 概率都列示出来, 便构成了概率分布。
2. 期望值
期望值是一个概率分布中的所有可能结果以其概率为权数进行加权平均的加权平均数, 反映事件的集中趋势。其计算公式为:
式中:Xi-第i种结果出现的预期收益 (或预期收益率) ;
Pi-第i种结果出现的概率;
n-所有可能结果的数目。
例如:某公司拟对外投资, 现有A公司、B公司和C公司有关股票收益的资料如下表:
下面, 根据上述期望值公式计算A、B、C公司的预期收益率:
在预期收益率相同的情况下, 投资的风险程度同收益的概率分布有密切的联系。A、B公司的预期收益率都是20%, 但相比之下可以发现B公司的预期收益率非常分散, 而A公司的预期收益率较集中, 可认为A公司的投资风险要比B公司小, 由此得如下结论:即预期收益的概率分布越狭窄, 其投资风险越小, 反之亦然。为了清晰地观察概率的离散程度, 可根据概率分布表绘制概率分布图进行分析。概率分布有两种类型:一种是不连续的概率分布, 另一种是连续的概率分布。
假定经济情况只有繁荣、一般、衰退三种, 概率个数为3。但是在实践中, 经济情况在极度繁荣和极度衰退之间可能发生无数种可能的结果, 有着许多个概率, 而不是只有繁荣、一般、衰退三种可能性。这样可绘制连续的概率分布。
3. 标准离差
标准离差是各种可能的收益 (或收益率) 偏离期望收益 (或收益率) 的综合差异, 是反映离差程度的一种度量。其计算公式为:
式中:σ-期望报酬率的标准离差;
-期望报酬值。
在期望值相等的情况下, 标准离差越大, 意味着风险越大。
根据这种测量方法, 在期望收益率均为20%的条件下, A公司股票的风险程度小于B公司股票的风险程度, 应选择A股票。
4. 标准离差率
标准离差是反映随机变量离散程度的一个指标, 但它是一个绝对值, 而不是一个相对值, 只能用来比较预期收益率相同的投资项目的风险程度, 而不能用来比较预期收益率不相同的投资项目的风险程度, 还必须求得标准离差和预期收益的比值, 即标准离差率。
标准离差率是标准离差同期望值的比值。它用来比较期望报酬率不同的各项投资的风险程度。标准离差率的计算公式为:
式中:V-标准离差率;σ-标准离差;-期望报酬率。
这说明, C项目的风险最小, A项目的风险其次, B项目的风险程度最大。
摘要：本文以举例的方式, 应用概率统计方法计算期望报酬率, 标准差对投资的有关问题进行了分析, 为经济投资决策提供了理论依据。
关键词：概率统计,投资,应用
参考文献
[1]郭曼勤:概率论与数理统计原理在投资风险报酬分析中的应用, 云南师范大学学报, 1999, 13～16
[2]袁建国:财务管理, 大连:东北财经出版社, 2005, 18～22
[3]周忠惠张鸣徐逸星:财务管理.上海:上海三联书店, 1995, 164～174
第9章概率的简单应用 篇8
【名师箴言】
同学们，大家从学习七（下）“感受概率”到八（下）“认识概率”，对概率的相关知识已有一定的了解. 学以致用，本章将学习“概率的简单应用”，以解决我们实际生活中的问题，为我们的生活服务. 在自然界和人类社会中，确定的现象是有限的，相反，不确定的现象即随机现象却是大量存在的. 如：用掷硬币决定哪支球队开球或先选场地，用抽签方法决定某物的归属，密码的编制破译，池塘中鱼尾数的估计等等.
概率知识在现实中的应用 篇9
概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生;而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。
走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率;生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业” (经济性购买) 彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：
7个正选号码全部选中, 概率为
选中5个正选号码和特别号码, 概率为
选中5个正选号码或选中4个正选号码和特别号码, 概率为;
由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。
体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述：
由于一场比赛前两位选手的水平或胜率是一个不可测的未知数，因此，赛事组织者理应撇开比赛中甲、乙双方的原有水平，而认为在一次比赛中甲、乙双方获胜的概率各为1/2，即在一局比赛中每位选手的“胜”和“负”的发生是等可能的。以“三局两胜”制为例：将一局比赛作一次试验，那么三局比赛便可看成三次独立重复试验，用事件A表示“一局比赛中甲获胜”，显然P (A) =1/2，我们来看三次独立重复试验中事件发生的次数，以决定甲获胜的概率。按“三局二胜”制，在三次独立重复试验，甲获胜仅当事件至少发生2次，故P (甲获胜) =C32 (1-P) +C33P3=1/2。而乙方获胜的概率=甲方失败的概率=1-1/2=1/2。这表明“三局二胜”制是公平的比赛制度。同理可知“五局三胜”制也是公平的比赛制度。
日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。
设随机变量表示答对的题数，则X～B (85, 0.25)
其分布律为P{X=K}=Ck850.25k0.75 (85-k)
当X>51时,
概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。
因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。
如今“降水概率”已经赫然于电视和报端。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”，电视节目的预告中，每个节目旁都会写上“可视度概率”。另外，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上说是民主与平等的体现，因此，社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。
总之，由于随机现象在现实世界中大量存在, 概率必将越来越显示出它巨大的威力。
摘要：随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域, 概率论是指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。本文由现实生活中的部分现象探讨了概率知识的广泛应用。
关键词：随机现象,概率,应用分析
参考文献
[1]刘书田.概率统计学习辅导[M].北京:北京大学出版社, 2001.193-196.
[2]龙永红.概率论与数理统计中的典型例题分析与习题[M].北京:高等教育出版社, 2004.218-221.
[3]尹庸斌.概率趣谈[M].成都:四川科学技术出版社, 1985.69-78.
概率比率规模抽样法审计应用举例 篇10
关键词：PPS抽样,审计,案例
一、案例资料
注册会计师在审计ABC公司时, 认为该公司的收入存在高估错报, 拟使用PPS抽样方法测试该公司2011年收入发生情况:
1. 账面记载发生收入笔数3 000笔, 收入总额3 000 000元。每笔收入的发生情况见表1。
2. 注册会计师确定的可接受误受风险为5%, 可容忍错报为60 000元, 预计总体错报为0。
二、操作过程
1. 确定抽样总体和抽样单元。
应用PPS抽样方法时, 抽样总体为货币收入总额3 000 000元;抽样单元为货币单元, 每一元货币即为一个抽样单元, 共3 000 000个货币抽样单元。
2. 确定样本规模。
使用样本规模计算公式确定所需的样本规模:
单位:元
单位:元
样本规模=总体账面价值×风险系数÷[可容忍错报- (预计总体错报×保证系数) ]=3 000 000×3.0÷[60 000-0×1.6]=150
其中: (1) 通过查控制测试中常用的风险系数表得到, 风险系数为3.0。 (2) 保证系数又称扩张系数, 假设其他实质性程序未能发现重大错报的风险低, 评估的重大错报风险为高, 则通过查保证系数表求得保证系数为1.6。
3. 选取货币单元样本。
(1) 按表1所列顺序逐笔累计各笔收入, 形成收入逐笔累计情况表 (见表2) 。 (2) 确定抽样间隔:抽样间隔=3 000 000÷150=20 000。 (3) 确定随机起点:假设从随机数表中抽取, 确定起点为800, 则选取的货币抽样单元依次为800、20 800、40 800……
4. 确定应测试的实物或交易单元样本。
货币抽样单元选取后, 再按照货币抽样单元与实物或交易累计金额的对应关系, 确定应测试的实物或交易单元样本。本例中, 货币单元样本800元, 小于第一笔交易的收入1 000元, 故应选取第一笔交易作为第一个应测试的交易单元样本;货币单元样本20 800、40 800、60 800因均大于前五笔交易的累计收入17 000元, 而小于前六笔交易的累计收入67 000元, 故这三个货币单元样本对应的第六笔交易应选取为第二个测试的交易单元样本;货币单元样本80800因大于前六笔交易的累计收入67 000元而小于前七笔交易的累计收入95 000元, 故第七笔交易应选取为第三个测试的交易单元样本。以此类推, 后面应选取的实物或交易单元样本依次为第十一笔交易、第十三笔交易、第十九笔交易、第二十五笔交易、第三十一笔交易、第三十五笔交易……
与货币单元相关的交易单元之间的关系体现为:一是可能会出现多个货币抽样单元对应一个实物或交易测试单元, 这样就会出现货币抽样单元一般会比实物或交易抽样单元多。如选取的第六笔、第十一笔、第十九笔、第三十一笔业务收入作为测试交易单元时, 就体现了这一特点;二是单笔实物或交易金额较大时, 更容易被抽中作为测试单元, 而单笔实物或交易金额相对较小时, 其被抽中的概率相对偏小。选取上述第六笔、第十一笔、第十九笔、第三十一笔业务等作为测试单元也体现了这一特点。PPS抽样就是这样运用属性抽样原理对货币金额而不是对发生率得出结论的。
5. 计算错报比例。
假设在样本中发现了两个错报。一个错报是账面金额为10 000元的项目有1 000元的高估, 另一个错报是账面金额为20 000元的项目有6 000元的高估, 则最高错报比例为0.3 (6 000÷20 000) , 第二高错报比例为0.1 (1 000÷10 000) 。
6. 计算总体错报上限。
总体错报上限=基本界限+第一个错报所增加的错报上限+第二个错报所增加的错报上限
基本界限=3 000 000×3.0÷150×1=60 000 (元) , 第一个错报增加的错报上限=3 000 000× (4.75-3.0) ÷150×0.3=10 500 (元) , 第二个错报所增加的错报上限=3 000 000× (6.30-4.75) ÷150×0.1=3 100 (元) , 故总体错报上限=60 000+10 500+3 100=73 600 (元) 。
上式计算中的风险系数是在可接受误受风险为5%、预计总体错报偏差为0、1、2时的风险系数, 通过查风险系数表可得。总体错报上限的计算表明, 有95%的把握认为收入发生额中的错报不超过73 600元。
7. 得出结论。
由于73 600元超过了可容忍错报60 000元, 所以不能接受账面金额, 要扩大样本规模进行进一步检查。
参考文献
[1].中国注册会计师协会编.2010年度注册会计师全国统一考试辅导教材——审计.北京:经济科学出版社, 2010
概率方法在证明数学命题中的应用 篇11
[关键词] 概率方法 数学证明 随机模型 中心极限定理 Jessen不等式
[Abstract] Applications of probability methods have become a very novel direction of probability theory.This paper proves several mathematical propositions of other mathematics fields based on probability method,such as combinatorial identity, algebraic identical equation, integral inequality and so on.
[Key words] probability method mathematical proof random model central limit theorem Jessen inequality
20世纪以来,起源于机会游戏的概率论飞速发展,已经发展成为一门理论严谨的数学科学。其内容丰富,结论深刻,趣味性浓厚,有自己独特的思想和方法。并且概率论的应用很广泛,其中运用概率论的思想方法来解决其它数学领域中的问题已经成为概率论的一个很新颖的方向。
下文将利用概率方法证明其它数学领域中的一些数学命题.例如利用概率方法证明代数恒等式、组合恒等式和积分不等式等.利用概率方法的关键,是根据不同的数学问题,巧妙建立随机模型,然后利用概率论中的相关知识来解决该数学问题。
1 利用概率方法证明一些组合恒等式
例1 求证:
证明 建立随机模型:设且相互独立,记,则有
另一方面:可以认为是重贝努里试验中前次试验中成功的次数,是第次到次试验中成功的次数,为从第次到次试验中成功的次数,所以
故
所以
2 利用概率方法证明一些代数恒等式
例2 求证:
证明 建立随机模型:假设口袋中袋有个球,其中个为白球,从中每次取出一球,不放回。
令=“迟早取来到白球”,则有。
令=“前次取球,只有第次取出的球为白球”,,则有
故
所以
3 利用概率方法求级数的和
例3 求证:
证明 建立随机模型:设为独立同分布随机变量,且,即.
根据泊松分布的可加性,所以,则
而.
由中心极限定理,得
例4 求证:
证明 建立随机模型:令是只有两个基本事件与的随机试验,试验独立重复进行可列无限多次,在第次试验中,出现的概率为,不出现的概率为.
设 “首次出现在第次试验中”,则
=“在所有试验中都没发生”.
故 .
4 利用概率方法证明积分不等式
例5 设在上可积,且有界,,是上的凹函数,
证明:
证明 建立随机模型:设连续性随机变量的密度函数为
显然满足,且非负.
又设,所以
而
因为在上是凹函数,由Jessen不等式得,,
故
5 利用概率方法证明数学中的一些重要定理
例6 设,则
证明： 建立随机模型:设随机变量的分布列为
由Jessen不等式得
则 ,即
6 利用概率方法证明积分的极限
例7 设
证明:
证明： 建立随机模型:设随机变量在上服从均匀分布,且相互独立,则有
由于独立同分布,所以也独立同分布.
由辛钦大数定律,得
由于
所以
参考文献:
[1]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[Ｍ].北京:高等教育出版社,2004,7.
递推思想在概率中的应用 篇12
常见的递推公式有:an+1=λan+b, an=λan-1+μan-2, 等等.
数列的递推公式在数学的有关问题的解决中有着较广泛的应用, 下面举几例说明递推在概率问题中的应用.
例1:A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏, 规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时, 原掷骰子的人再继续掷;若掷出的点数不是3的倍数时, 就由对方接着掷, 第一次由A开始掷,
(1) 前4次抛掷中, A恰好掷3次的概率为多少?
(2) 若第n次由A掷的概率为Pn, 求Pn.
分析: (1) 中的问题可以用列举的方法:
在抛掷的6×6=36种不同的结果中, 共有12种结果中点数和是3的倍数.
由题可知:A掷的下一次仍由A掷的概率为:12/36=1/3, 在A掷的下一次由B掷的概率为:.
因此, 前4次抛掷中, A恰好掷3次, 共有以下3种情况:AAAB、AABA、ABAA, 而这3种情况发生的概率分别是:
在 (2) 中, 由题可知:P1=1, P2=1/3, 第 (n-1) 次由A、B掷的概率分别是Pn-1、1-Pn-1 (n>2) , 则第n次由A掷的概率是:
于是有递推关系:
在这道题中, 注意到由数列的递推关系得出由n-1到n的递推公式, 从而得出其一般形式.
例2 (第十二届加拿大数学奥林匹克试题) :抛掷一枚硬币, 每次正面出现得1分, 反面出现得2分, 试证:恰好得到n分的概率是.
解:设恰好得到n分的概率是Pn, 则得 (n-1) 分的概率是Pn-1, 则得 (n-2) 分的概率是Pn-2, 得n分的前提是:先得 (n-1) 分, 再掷一次正面, 此时概率是, 或为先得 (n-2) 分, 再掷一次反面, 此时概率是.因这两种情况是互斥的, 故有, 易得P1=1/2, P2=3/4, 所以, 得到递推关系:
例3:设正四面体的四个顶点是A, B, C, D, 各棱长度均为1米, 有一个小虫从点A开始按以下规则前进:在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一, 并一直爬到这条棱的尽头, 求它爬了7米后恰好首次位于顶点A的概率.
解:考虑一般情况, 若小虫走过n米之后又回到点A, 则它走了 (n-1) 米后就在B, C, D三点中的一点.小虫走了 (n-1) 米到达点A与没有到达点A是对立事件, 若设Pn表示小虫走过n米之后又回到点A的概率, 则Pn-1表示小虫走过 (n-1) 米之后又回到点A的概率, (1-Pn-1) 表示小虫走过 (n-1) 米之后不回到点A的概率.因为从B, C, D三点到点A是等可能的, 概率都为1/3, 于是有Pn= (1/3) (1-Pn-1) , 因为起始时小虫在点A, 所以P0=1, 故得到递推关系:
由P0=1逐步递推可得:P7=182/792, 所以小虫走过7米之后又回到点A的概率为P7=182/792.
分析: (1) 略.
(2) 由题知:第n次棋子移动到A点, 则第 (n-1) 次棋子在B、C两点, 所以概率为:, 同理可得:.
两式相减得:, 而p1=r1=1/2, 所以pn=rn.
(3) 由上可知:,
又pn-1+qn-1+rn-1=1,
即2pn-1+qn-1=1,
代入得:,