概率论

2024-05-24

概率论（精选12篇）

概率论篇1

“有人说, 经历过破碎的人才算真正活过.黛玉的破碎, 在于她有刻骨铭心的爱情;三毛的破碎, 源于她历经沧桑后那一刹那的明彻与脱俗;贝多芬的破碎, 则是灵性至极的黑白键撞击生命的悲壮乐章.那么我的破碎呢?我想莫过于是那怎么学也学不会的概率论吧……”

“于是, 我开始剥丝抽茧式地研究起概率书来, 原来概率论也算是一本高深莫测的武林秘籍.尤其是那些连续型随机变量, 边缘分布啦……有时明明记住了, 第二天做题时, 总是反应不过来……”

以上是在课余时间我的文科学生们与我笔谈的关于他们对概率论和学习概率论的体会与感想.细细品味, 其实这些学习概率的学生们比概率更可爱.他们用心地体会了, 感受了, 思考了, 在我以为, 这比记住一个概率定理, 学会解一道概率题更可贵.

我愿意启发我的学生们多思考, 然而他们思考之余竟然告诉我:“老师, 概率论是生命中不能承受之晕!”

这便是我教学中的一大难题:如何激发学生的兴趣?

一、我的第一次课

兴趣是最好的老师, 我只是它的助教, 一直希望引导学生们跟它走.而好的开端等于成功的一半, 所以我很重视每学期的第一次课.

第一次课上, 我和同学们做了一个游戏.

假定这是某个文艺晚会中间穿插的游戏:让你从三扇门中选一扇门.有一扇门后面放着一辆汽车, 另外两扇门后放的是山羊, 你选择了一扇门 (比如说1号门) , 知道各扇门后放着何物的主持人打开另一扇门 (比如说是3号门) , 你看到后面是一只山羊, 然后主持人对你说:“你可以改选剩下的那个门 (比如说2号门) , 那么, 你改变还是不改变?”大多数同学颇为冷静地选择不改变, 只有少数人在犹豫, 然而当我说:“你们应当选择改变, 因为选第一扇门时有undefined的机会赢得汽车, 而换选第二扇门时却有undefined的机会赢得汽车.”他们觉得不可思议!在他们的大多数人看来, 换与不换得到汽车的概率都为undefined我接着告诉他们, 这才是概率!需要用我们第一章将要学到的条件概率和全概率定理来解答, 于是, 他们开始期待.

然后我们谈到概率论的起源与发展, 谈到赌博, 谈到排列组合, 谈到期望收益和风险, 谈到寿命分布, 谈到正态分布, 我给他们读了剪报《妈妈越是漂亮, 孩子就越像爸爸》, 并告诉他们如何看待这份资料, 如何用正态分布解释这个结论, 他们在笑声中接受了概率论, 并且开始表现出热情.

当谈到课程的难度时, 我得知他们向师兄师姐们打听来的结果是“概率论很难学, 比微积分还难”, 我给予了确认:是的, 概率论是比较难学, 这一点我们必须得正视.但是, 概率论也很好玩, 这是一门很可爱的课程, 而且充满生活智慧.我用《小王子》中那只很智慧的小狐狸的话来鼓励他们:只要你为概率论用心的付出时间, 它就会在你的生命中变得重要起来, 概率论就会是你独一无二的玫瑰花!

我看见我的可爱的学生们, 跃跃欲试……

二、我的概率课堂

如何调动学生的主动性?

多年来, 这个难题困扰着我, 相信也困扰着许多和我一样的概率论的教书人.课堂教学过程中, 一个很重要的方面是节奏和教案, 特别是我所面对的大多是文科的学生.

一位自称为“门外汉”的关心我的教学的友人曾经与我有以下交谈:

“实际上我觉得一个好的教案就像一个好的剧本, 你就是导演!”

“我所理解的特色是你能控制课堂的局面和授课的节奏, 学生和你都在身心愉悦地享受这种氛围所带来的深入浅出而又生动生活化的知识.”

记得我推导几何分布的无记忆性undefined时, 我给他们举例:比如买彩票.假设社会上定期发行某种奖券, 中奖率为P, 某人每次购买一张, 如果没有中, 下次再继续购买一张, 直到中奖为止.那么根据定理结论, 此人在购买m次没有中的条件下继续购买n次, 仍然不中的概率, 就等于他购买n次没有中的概率, 也就是说把他过去曾经失败过m次这件事给遗忘了!

这就是离散型随机变量的无记忆性!他们恍然大悟!于是, 我们谈到了“忘记也是一种快乐.一个小小的随机变量尚知将过去的失败与不如意忘记, 又何况我们?学习数学过程中的挫折不应该成为继续学习的障碍”.我们还谈到了金庸大侠的《笑傲江湖》里风清扬教令狐冲对付田伯光的“独孤九剑”剑法, 就是先将每一招每一式仔细教会学会, 然后再忘掉, 以达到“融会贯通、信手拈来、以无招胜有招”的境界, 在学习随机变量学习概率论的过程中, 这也许有值得借鉴的地方.

我看见我的可爱的文科生们, 若有所思……

三、我的案例分析

如何推动学生的积极性?

颇值得一提的还有案例分析.案例分析的作用在于:可以让学生们看到自己所学的知识在实际中的应用, 包括用于解决实际中的哪一类问题以及如何解决, 这样使所学的东西生动起来, 仿佛看得见摸得着了.

比如, 用贝叶斯定理解释寓言《黔之驴》.

贝叶斯定理的决策过程是一个通过不断获得信息修正对事物的原有认识, 最后据之作出决策的过程.而寓言中老虎吃掉驴也是基于这样一个决策过程.

首先, 根据自然界弱肉强食的生存法则, 假设真正的强者 (A1) 遇到弱者 (A2) 时, 进攻 (B1) 的概率undefined, 不进攻 (B2) 的概率undefined;而弱者遇到强者, 由于判断错误或饥饿危及生命不得不进攻时, 概率为undefined, 而不进攻的概率为undefined

则有: (1) 驴初到贵州时, “虎见之, 庞然大物也, 以为神”.显然, 这时老虎以为驴为强者, 设P (A1) =0.9, P (A2) =0.1, 因此未敢轻举妄动, 而是“蔽林间以窥之”.

(2) 为了获得信息, 老虎“稍出近之, 慭慭然, 莫相知”.进而, 驴发现了老虎, “他日, 驴一鸣, 虎大骇, 远遁”.然而驴没有向老虎发起任何进攻, 这是一条重要信息, 于是老虎调整了对驴原有的看法:即驴对虎的B2 (不进攻) 发生了, 此时驴仍然是强者的概率调整为:

undefined

同理, undefined

(3) 虽然0.67<0.90, 但是老虎仍然“终不敢搏”, 只好进一步获取信息.老虎“稍近, 益狎, 荡倚冲冒”, 而“驴不胜怒”, 但仅仅是“蹄之”罢了, 仍未做实质性的进攻, 于是B2发生, 此时驴对虎而言仍是强者的概率进一步调整为:

undefined

0.3<0.67<0.90, 老虎甚喜!对驴的本领有了较深刻的认识, 得出“技止此耳”的结论, 因此采取了进攻的策略, 即“跳踉大阚, 断其喉, 尽其肉, 乃去”.大获全胜!

所以, 概率并不是孤立与枯燥的.

我看见我的可爱的学生们, 意犹未尽……

四、我的课后习题

如何帮助学生克服厌学情绪?

对于文科生而言, 学习数学更多的是训练一种抽象思维的能力, 而人的抽象能力是在感性的基础上形成的, 它与语言的关系密切.

因此, 我常常提醒学生, 学习数学可以提高人的思维品质.比如, 注意力集中, 能调动自己的精神指向你所思考的问题 (专注有时也是一种魅力) ;具有深刻的广阔性, 既能认清问题的实质, 又能兼顾整体和细节 (这种训练使你成为一个细致周到的人) ;具有批判性和独创性, 不轻信盲从, 能从不同的角度以不同的方法发现和解决问题 (这能使你显得独立而富有个性) 等等.人的脑袋就像一部机器, 得经常用, 至少, 多学学数学, 解解概率题, 换一种思维方式思考问题, 不会使我们的脑袋那么快“笨”起来, 而这些品质将潜移默化于我们的生活中.

学习概率论, 一定要做习题.

做习题的意义在于:掌握基本概念;重复的练习是一个真正掌握技能的过程, 可以锻炼快速反应, 可以锻炼控制厌倦情绪的能力;多讨论, 多向别人和自己重述解题过程, 因为如果会做, 不一定能解释明白, 而解释的过程中, 会产生很多火花, 发现更多问题, 加深对概念的理解.

当学生们有了一定的兴趣, 而在做题时一旦遇到困难, 他们也容易畏难、厌学, 于是我有时开解他们:“不会做的就猜!把你猜的过程回想一下、总结一下.”事实上, 在教与学的过程中, 知道答案并不是最重要的, 重要的是了解思想的方法, 学会思考的过程.然而在解题之初, 往往又需要进行直觉判断, 需要联想头脑中已有的数学和概率知识, 以及和题目相关的各种公式和定理等, 以寻求解题的思路.

直觉可以在猜和想的概率论学习与训练中培养起来, 当解的题越多, 思考得越多, 头脑中的积累就越多, 越有兴趣, 直觉就越灵.数学家丘成桐说过:“浓厚的感情使我们对研究的对象产生直觉, 这种直觉看对象而定, 例如在几何上叫做几何直觉.”那么我想, 在概率上, 就叫概率直觉吧.

学期结束, 学生们给我谈了如下心得:

“学习概率论这门课程, 可以很好地锻炼自己的思维理性, 可以扩展自己对日常生活一些问题思考的广度和深度, 作出的决定和计划也更加完备和周密.所以我的感受是:即使以后的生活和学习完全不需要用到一丁点概率, 但是我也会终身受益于概率.”

参考文献

[1]袁荫棠.概率论与数理统计.北京:中国人民大学出版社.

[2]龙永红.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社.

[3]王振龙.统计哲学研究.北京:中国统计出版社.

[4]宋宇.数学思维与生活智慧.北京:中国和平出版社.

概率论篇2

一、填空题：

1、设随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6，条件概率P(B|A)=0.8，则P(A+B)=_____.2、设随机变量X在[0，6]服从均匀分布，Y服从参数λ=1/2的指数分布，且X,Y相互独立，则D（2X-Y）=_____.3、某射手向同一目标独立进行3次射击，若至少命中一次的概率为26/27，则该射手的命中率为_____.4、设连续随机变量X的分布函数为，已知P(x=1/2)=1/4，则a=_____,b=_____,c=_____.5、设随机变量X只取-1，0，1三个值，且相应的概率之比为1：2：3，则 _____.6、设X,Y为随机变量，已知P(X≥0,Y≥0﹚=3/7,则P[min(X,Y)<0]=_____.7、从数1，2，3中任取一个数，记为X，再从1至X任取一个数，记为Y，则P(X=2,Y=2)=____

8、设随机变量X的期望为E(X),方差D(X)＜+∞,则根据切比雪夫不等式，________

9、设总体X~N , 为取自总体X的样本，则 _____

二、计算题：

1、某仓库有同样规格的产品12箱，其中有6箱、4箱、2箱一次是由甲、乙、丙厂生产的，而且三个厂的次品率分别为1/18,1/12,1/6，现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任取一件产品。

（1）求取出的一件是次品的概率；

（2）若已知取出的一件是次品，求这件次品是乙厂生产的概率。

2、设X~N(0,1)，求的概率密度。

3、设二维随机变量（X,Y）的联合分布密度为

（1）求X,Y的边缘分布密度 ,并判断X和Y是否相互独立；

（2）求X与Y的协方差。

4、设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，为了使整个系统正常工作，必须有87个以上的部件正常工作，试利用中心极限定理，求整个系统正常的概率的近似值。

5、设总体X 的密度函数为为取自总体X的样本，θ>-1为未知参数，求θ的最大似然估计。

6、假设批量生产的某种配件的内径服从正态分布N，随机变量16个配件，测得平均内径为 =3.05毫米，修正标准差为S=0.16毫米，求参数μ及的置信度为90%的置信区间。

7、正常人的脉搏平均为72次/分，仅对某种疾病的患者16人测其脉搏（单位：次/分）。计算患者平均脉搏67次/分，样本修正方差为36，设患者的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平α=0.05下，检验患者脉搏与正常人脉搏有无显著差异？

源自赌博的概率论篇3

概率论起源于17世纪中叶，是研究随机现象规律的数学分支。当时在人口统计、保险等工作中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。但当时，刺激数学家们首先思考概率论的问题却是源自赌博者的问题。

三四百年前，在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风，掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个6点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双6点的机会却很少。

这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得6局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4 局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类需要计算可能性大小的赌博问题有很多，但他们自己也无法给出答案。

数学家们参与“赌博”

参赌者将他们遇到的上述问题请教了当时法国的数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而是把它们交给另一位法国数学家费马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回到荷兰后，他独立地进行研究。

帕斯卡和费马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》，这本书迄今为止仍被认为是概率论中最早的论著。因此可以说，早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。

在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。这个家族中最著名的数学家雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了一个被称为“大数定律”的定理，其内容是：在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律。通俗地说，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。我们可以用掷骰子来说明“大数定律”。大家都知道骰子掷1、2、3、4、5、6点的机率各是六分之一，可是实际上掷六次却很难得到1、2、3、4、5、6点各一次，那这个机率到底是如何得来的呢？以前有位西方数学家，掷了一万次骰子，得出来各点的机率不是六分之一，他又继续掷，掷了五万次、六万次，甚至十万次，发现得到1、2、3、4、5、6点的机率愈来愈平均，也就是六分之一。

大数定律的发现和证明过程是极其困难的，雅可布·贝努利做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了证明这一猜想，他花费了20年的时间。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发现了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。

雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”：甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。若甲掷第一次掷出正面，则乙付给甲一个卢布；若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲两个卢布；若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲22个卢布。一般地，若甲前n-1次掷得反面，第n次掷得正面，则乙需付给甲2n-1个卢布。问在赌博开始前甲应付给乙多少卢布才有权参加赌博而确保乙方不致亏损？

与尼古拉同时代的许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法。但其结果是很奇特的，所付的款数竟为无限大。即不管甲事先拿出多少钱给乙，只要赌博不断地进行，乙肯定是要赔钱的。

走出赌博成为严谨的学科

随着18世纪～19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论推进，他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。

概率论在20世纪迅速发展起来，现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等诸多领域中起着不可或缺的作用。卫星上天、导弹巡航、飞机制造、宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报、海洋探险、考古研究等更离不开概率论与数理统计；在社会服务领域，概率论的应用更为明显，比如应用排队过程模型来描述和研究电话通信、机器损修、水库调度，病人候诊等一系列服务系统。

概率论作为理论严谨、应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展。

概率论篇4

很多概率问题往往不是简单直白的, 而是附加了一些条件, 在此基础上来求解事件的概率。例如, 在某事件A发生的前提下, 求解B事件的条件概率, 则可简记为P (B|A) 。

“条件概率”的基本概念:设A和B是两个不同的事件, 且P (A) ≠0, 那么称为在事件A发生的条件下, 事件B发生的条件概率。一般地, P (B|A) ≠P (B) , 且它满足以下三个条件: (1) 非负性; (2) 规范性; (3) 可列可加性。

二、利用“条件概率”计算

通过对现有的概率乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的一点新的理解, 读者可以不用去考虑课本给出的全概率公式和贝叶斯公式, 只要对所给出的概率事件能够有足够的分析, 利用“条件概率”就可以进行计算。

1. 关于条件概率的判定。

上述对于如何区分条件概率事件进行了讨论, 那么对于主要标志是P (AB) 还是P (A|B) 取决于A、B两个事件在所述问题中是否是地位平等的, 也就是探索是否事件A、B存在一个必然事件和一个随机事件。如果事件A、B均为随机事件, 那么两者就是平等地位。实际在分析问题时, 不用探索其是否是平等事件, 因为条件概率P (A|B) 中, 事件A、B均为随机事件。对于具体的问题, 附加的条件若为事件B已经发生, 那么很明确其为条件概率事件, 因此, 附加条件是判断是否为条件概率的关键。举例分析:投掷一枚硬币, 第一次为正面时, 第二次也为正面的概率为条件概率;第一次第二次都为正面, 则不是条件概率。因此表述不当, 可能会造成分析的错误。正确判断是否为条件概率事件是十分重要的。

2. 条件概率的解题思路。

所研究的事件A是在事件B已经发生的前提下产生, 那么可以将事件A发生的概率按照条件概率进行分析。对于简单的条件概率, 这里主要论述两个基本的思路:一是根据条件概率的定义进行计算, 在其原来的样本空间中分析P (A) 及P (AB) , 再利用公式, 求解出P (B|A) 。二是在缩减的样本空间SA中计算B出现的概率。

三、概率公式的理解

在概率论学习中, 全概率公式、贝叶斯公式以及乘法公式, 是《概率统计》这门学科学习的重中之重, 也是研究生考试的一个重要常考点。倘若学习这门课程时, 按照课本的内容和顺序, 直接熟记其公式, 并仅仅学习如何套用公式解题的话, 对学生而言, 只是记住了公式的形式, 而在实际应用时, 并不能明白其实际的意义。其实, 应用这三个公式最重要的是准确找到其样本空间。这里着重讲解这三个公式的意义, 并研究如何确定其样本空间。

1. 对概率乘法公式的理解。

通过条件概率, 进行求积的事件的概率, 即为乘法公式。

(1) 设P (B) >0, 那么P (AB) =P (B) P (A|B) ;同理可知, 如果P (A) >0, 那么P (AB) =P (A) P (B|A) , 即为乘法公式。

(2) 推广:如果A1, A2, ...An为n个事件, 且P (A1A2…An-1) >0, 那么P (A1A2…An) =P (A1) P (A2|A1) …P (An|A1A2…An-1) 。

乘法公式一般应用于求解几个事件同时发生的概率。

例:盒中装有5个产品, 其中3个一等品, 2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求: (1) 取两次, 两次都取得一等品的概率; (2) 取三次, 第三次才取得一等品的概率;

解:令Ai={第i次取到一等品}

(也可直接按古典概型进行计算。)

2. 对全概率公式的理解。

全概率公式的定义如下:设Ω为随机的试验样本空间, 其中, 事件A为试验E的一个事件, 而B1, B2, B3...为样本空间Ω的一个划分, 并且P (Bi) >0 (i=1, 2, …, n) , 那么P (A) =P (B1) P (A|B2) +P (B2) P (A|B2) +…+P (Bn) P (A|Bn) , 即为全概率公式。

全概率公式的意义为, 对于A事件, 不能直接计算求解其概率时, 就要将其划分为若干个小的事件进行求解, 通过对小事件的概率的计算, 然后进行相加求和, 进而得到A事件的概率。当对A事件进行分割时, 不是直接将事件A进行分割, 而是先寻找Ω这个样本空间的一个划分, 例如B1, B2, …, Bn。这样就可将事件A分成了n个部分, 即为AB1, AB2, …, ABn, 那么事件A就可表示为A=AB1+AB2+…+ABn由此可以通过加法公式表示为P (A) =P (AB1) +P (AB2) +…+P (ABn) =P (B1) P (A|B1) +P (B2) P (A|B2) +…+P (Bn) P (A|Bn) , 这便是全概率公式的定义与思路。

不妨举例进一步解释全概率公式的含义。假设某个年级共有5个班级, 每个班共有40人, 男、女生各占一半, 如果选择其中1名学生当社联的主席, 那么这个职务为女生的可能性是多少?应该很快就能得出结果。设选中女生为事件A, 那么 (这个年级共有200人, 而女生共100人, 则所求即为0.5) 。事实上, 我们应该是以0.2的可能性在1班进行选取, 然后以0.5的可能性会选中女生;同样以0.2的可能性在2班进行选取, 再以0.5的可能性选中女生。依次可知, 以0.2的可能性在3班选取, 再以0.5的可能性选取到女生;以0.2的可能性在4班选取, 再以0.5的可能性选取到女生;以0.2的可能性在5班选取, 再以0.5的可能性选取到女生。这样的进行选择, 实际就是运用了全概率公式。此外, 完备事件组不一定唯一, 根据不同的思路, 就可以找出不同的完备事件组, 但是无论哪个完备事件组, 都可以解决问题。

3. 对贝叶斯公式的理解。

贝叶斯公式的定义如下:设试验D的一个样本空间是Ω, 其中A为试验E的一个事件, B1, B2, …, Bn为其样本空间Ω的一个划分, 并且可知P (A) >0, P (Bi) >0, 那么, , 此公式则被称为贝叶斯公式。

贝叶斯公式的应用范围很广, 对于很多的实际问题的解决也发挥了很大的作用。举例分析, 某一工厂生产某种产品, 有三种备选方案:小批量生产、中批量生产、大批量生产。该产品生产的决定性因素是市场对其的需求量, 根据资料分析可知, 大需求量的概率是30%, 假如市场有大的需求, 则分别选择小批量、中批量、大批量生产, 工厂可获利分别为10万、20万、30万;假如市场的需求量较小, 而分别选择小批量、中批量、大批量生产, 那么工厂获利分别为5万、2万、6万。为了更好地获益, 该工厂进行市场调研, 调研经费为3万, 从获取的资料可知, 市场的需求量较大的准确率为80%, 而市场需求量小的准确率为90%, 该怎样选取最佳方案呢?分析可知决策人拥有全部的信息, 那么就可以以最佳的方案获得最大的利益。然而实际情况存在很多不可预知的因素, 那么要想通过更多的信息来做出最合理的决策, 需要市场调研提供信息, 以便调整事件的先验概率, 使得经调整的后验概率更加接近实际。故需要进行研究分析, 根据上述的计算可知, 当工厂进行市场调研时, 工厂就可达到11.4288万的期望获益, 相比于比那些不市场调研的工厂, 要高于它们的6.4万元, 差值为5.0288万元。当市场调研价低于5.0288万时, 工厂就要进行市场调研工作, 因为进行市场调研费用为3万元。因此案例, 我们得到了后验风险决策的论断: (1) 要进行市场调研工作; (2) 依据调研结果进行工作安排。这个例子的结论就是, 当市场的需求量大时, 就进行大批量生产, 当需求量小时, 就进行小批量生产。通过运用贝叶斯条件概率, 可以得到先验概率和被修正的后验概率, 进而选择最佳方案, 降低风险, 获得最大效益, 这在实际应用中是相当重要的。

4. 乘法公式, 全概率公式和贝叶斯公式之间的联系。

当存在两个事件, 彼此之间不是相互独立的, 且互相排斥的情况, 在事件A发生情况下, 事件B发生的概率时, 即应用条件概率公式, 即为, 其中P (A) ≠0。当计算事件A与事件B同时发生时的概率, 即应用乘法公式, 即为P (AB) =P (B) P (A|B) =P (A) P (B|A) 。当将事件A看作为一个整体时, 并被事件B分割时的计算方法为全概率公式, 即为P (A) =P (AB1) +P (AB2) +…+P (ABn) =P (B1) P (A|B1) +P (B2) P (A|B2) +…+P (Bn) P (A|Bn) 。在条件概率和全概率的基础上进行变形的用途十分广泛, 主要是将其应用到先验概率事件和后验概率事件, 利用贝叶斯公式进行计算, 即为。当要求较为复杂且精确时, 则应用边际分布密度。如果将上述公式方法应用于较多的事件, A1, A2, …, An, B1, B2, …, Bn那么公式则将变为和的形式。

四、结语

通过以上对条件概率以及概率公式的理解和分析, 可以知道, 条件概率在《概率论》这门学科中显现出的重要性。条件概率作为概率论的一个相当重要的概念, 当然, 它也是概率统计学中一个重要的难点, 在概率论的整个知识体系中起着上下连贯的作用。通过本文对条件概率的研究分析, 介绍了其相关的概念和公式, 以及对其的一些新的解读, 读者若能够熟练的掌握并理解条件概率的定义和其相关知识, 对于他们之后进一步学习概率论的更深层次的问题是十分有帮助的。

摘要：条件概率属于概率论范畴中一个重要的概念, 本文主要从条件概率的定义, 对其的认识, 以及对现有的概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的新的理解方面进行了分析与阐述。只要对所已知的概率事件进行认真分析, 就可不考虑其他公式约束, 而利用“条件概率”对其进行计算和分析。

关键词：条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,样本空间

参考文献

[1]丁万鼎, 等.概率论与数理统计[M].上海科学技术出版社, 1999.

[2]张克军.关于条件概率及其应用的教学研究[J].徐州教育学院学报, 2008, (3) .

概率论章节总结篇5

排列数

例如：

（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。

=45 例如：

组合数有性质

（1）例如：，（2）

，（3）

（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生-------（3）A，B，C三事件都不发生--------（5）A，B，C三事件只有一个发生--------

（2）A，B，C三事件都发生-------ABC

（4）A，B，C三事件不全发生---------

（6）A，B，C三事件中至少有一个发生-------A+B+C（1）A，B都发生且C不发生

（2）A与B至少有一个发生而且C不发生

简记AB+AC+BC

简记

（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生）（4）A，B，C中最多有一个发生（5）A，B，C中恰有两个发生（6）A，B，C中至少有两个发生）（7）A，B，C中最多有两个发生

（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式

计算简单的古典概型的概率

（二）知道事件的四种关系

（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生

（2）相等：

（3）互斥：与B互斥

（4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω

（三）知道事件的四种运算

（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生性质：（1）若，则A+B=A（2）且

（2）事件积（交）AB表示A与B都发生，则AB=B∴ΩB=B且

性质：（1）若

（2）

（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生

∴

（4）

性质

，且A-B=A-AB 表示A不发生

（四）运算关系的规律

（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律（AB）C=A（BC）

（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律（A+B）（A+C）=A+BC

叫对偶律

（4）

（五）掌握概率的计算公式

（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）

②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）

③

推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

（2）

推广：

因为，而，而BA与明显不相容。

特别地，若所以当

，则有AB=A

当事件独立时，P（AB）=P（A）P（B）

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）

与B，A与，与

均独立

性质若A与B独立

（六）熟记全概率公式的条件和结论

若A1，A2，A3是Ω的划分，则有

简单情形

熟记贝叶斯公式

若已知，则

（七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式

第二章考核内容小结

（一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率

（1）若X是离散型随机变量，则 P（a

（2）若X是连续型随机变量，则

P（a

P（a≤x＜b）=F（b）-F（a）

°P{X≤b}=F(b).P（a

°P{X>b}=1-P{X≤b}=1-F(b)

（二）知道离散型随机变量的分布律

会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若

则

（三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律

（1）X～（0,1）

P（x=k）=

（2）X～B（n,p）

（3）X～P（λ）P（x=k）=

并且知道泊松分布是二项分布当n很大，p很小的近似值，且λ=np

（四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。

（1）概率密度f（x）的性质

①f（x）≥0

②

（2）分布函数和概率密度的关系

（3）分布函数的性质 ①F（x）连续，可导

②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1 ③F（x）是不减函数。（4）概率计算公式：

①P（a

②P（a

（五）掌握连续型随机变量的三种分布

（1）X～U（a,b）

X～f（x）=

X～F（x）=（2）X～E（λ）

①X～f（x）=

②X～F（x）=（3）X～N（0,1）

①X～

②X～

性质：Φ（-x）=1-Φ（x）P（a

①X～

②P（a

（六）会用公式法求随机变量X的函数Y＝g（x）的分布函数

（1）离散型

若

且g（x1）,g（x2）, …g（xn）不相同时，有

（2）连续型

若X～fX（x）,y=g（x）单调，有反函数x=h（y）且y的取值范围为（α,β），则随机变

量X的函数Y=g（x）的概率密度为

当α=－∞β=+∞时，则有

简单情形，若Y＝ax+b则有

Y～fY（y）=

在简单情形下会用公式法求Y＝ax+b的概率密度。

（3）重要结论

（i）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ax+b时 Y～N（aμ+b,a2σ2）

（ii）若X～N（μ,σ2），则有Y＝

叫X的标准化随机变量。

第三章内容小结

（一）知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y）

=P（-∞＜X≤X,-∞＜Y≤Y）（2）F（X,Y）的性质（ⅰ）F（+∞，+∞）=1（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0 F（-∞，-∞）=0（3）X～FX（X）=F（X,+ ∞）

Y～FY（Y）=F（+∞,Y）

（二）离散型二维随机变量（1）（X，Y）的分布律

性质

（2）X的边缘分布

证明 P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，… pm·=pm1+pm2+…pmn

（3）Y的分布律

证 P·1=P11+P21+…pm1，P·2=P21+P22+…pm2，… P·N= P1N+P2N+…+pmn

（4）X，Y独立的充要条件是：

X，Y独立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj）

（i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）判断离散性随机变量X，Y是否独立。

（5）会求 Z=X+Y的分布律

（三）二维连续型随机变量（1）若

已知 f（X,Y）时，会用上式求F（X,Y）

性质

（2）

已知F（X,Y）时，会用上式求f（X,Y）

（3）会用公式

求（X，Y）在区域D上取值的概率。

（4）会用公式

分别求X，Y的概率密度（边缘密度）（5）会根据X，Y独立判断连续型随机变量X，Y的独立性。（6）知道两个重要的二维连续随机变量 ①（X，Y）在D上服从均匀分布

S是D的面积

X，Y独立（7）若X，Y独立，且

则

第四章小结

本章的考核内容是

（一）知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。

（1）离散型：

（2）连续型：

（3）

（4）

期望的性质：（1）E C=C（2）E（kX）=kEX（3）E（X±Y）=EX±EY（4）X,Y独立时，E（XY）＝（EX）（EY）

（二）知道方差的概念和计算公式以及方差的性质

∴X是离散型随机变量时

X是连续型随机变量时

（2）计算公式

（3）性质

①DC＝0

②

③D（X±Y）=DX+DY±2E[(X-EX)(Y-EY)]

=DX+DY±2Cov(X,Y)

∴X,Y独立X,Y不相关时D(X±Y)=DX+DY

Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]

计算公式Cov(X,Y)=E(XY)－(EX)(EY)

浅谈《概率论与数理统计》教学篇6

关键词:概率统计概念引入背景趣味性

中图分类号:G424 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)03(c)-0181-01

引言:概率论与数理统计是高等院校理工类、经管类的重要课程之一也是数学的一个有特色且又十分活跃的分支。一方面,它有别开生面的研究课题,有自己独特的概念和方法,内容丰富,结果深刻;另一方面,它与其他学科又有紧密的联系,是近代数學的重要组成部分。概率论与数理统计的理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中,如预测和滤波应用于空间技术和自动控制,时间序列分析应用于石油勘测和经济管理,马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等,同时他又向基础学科、工科学科渗透,与其他学科相结合发展成为边缘学科。因此,概率论与数理统计的教学显得非常重要。但是学生在学习掌握这门知识的过程中普遍感到概念难懂,思维难于开展,问题难于入手,方法难于掌握。基于这一现象,在教学中,更新教学方法,注重教学思维,充分体现以人为本的教学理念成为提高教学质量的必然选择。

1 教学中应注重概念的引入和背景的讲解

概率论是研究随机现象的一门学科,随机现象就是不确定的现象这与学生以前所学的确定的值是不一样的。比如许多学生往往不理解什么是随机变量,为什么要引入随机变量,会感觉这些内容很抽象不好理解。那么我们在讲授的过程中就要注重对随机变量概念的引入及背景知识简单明了的介绍。随机变量我们可以举例为某一时段进入商场的人数,某一天的温度或者是保险公司某段时间的索赔额这些都是随机变量。这就像我们把小学学习得小明有2本书,小红有3本书,共有多少书转化2+3的计算一样。在我们引入的这些例子中就是一个个的随机试验,不同的随机试验我们可以用不同的随机变量X来表示。人数,温度,索赔额就是数字或函数就是学生熟悉的。原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率,不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。此外若对一切实数集合B,知道P(X∈B),那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了,所以我们只须求出随机变量X的分布P(X∈B),就对随机试验进行了全面的刻画。

2 教学中要注意概念的内涵和相互间的联系

许多学生由于对概念的内涵缺乏理解,对概念之间的内涵和相互联系理解得似是而非。因而在解题时常会出现许多共同的一些常规错误。在教学中,教师应当组织一些有典型意义的错误题解,从而学生在对比分析中正确理解概率统计中的概念,掌握正确的解题方法。比如有许多学生认为,随机变量互不相容就肯定独立,独立肯定也是互相容的:不同的随机变量,它们的分布函数一定不同;同分布的随机变量一定相等;两个一维正态变量合在一起就一定是一个一维正态随机变量;若ε与η不相互独立,则与就一定不相互独立等等,学生此时就是对概念缺乏正确而全面的理解。教师应该结合恰当的例子加以说明,比如独立与互不相容的概念内涵比较时,教师就可以举例两个人患感冒的人相距较远与较近时他们之间的关系就比较容易使学生纠正这些错误观念。

3 教学案例要“活”,注重学科实际

在教学中会有许多的概念,因为概率论与数理统计是与实际生活联系紧密的一门课,讲到相关内容时要注意挑选具有趣味性的例题,概率统计来源于实际生活,它本身是一门极具趣味性的科学,有着大量贴近生活,兴趣盎然的实例,但目前大部分教科书都未注意选择这样的例子如果教师照着教科书的例子讲,必然不能引起学生的兴趣;因此,教师必须注意积累,精心挑选要讲的例题,我们挑选的例题基本上都是实际问题,如生活中抓阄问题的合理性,顾客等候服务时间问题,需设多少个服务员能获得最大收益问题,可靠性问题等等.针对我们工科学校的学员,有机械,优选等贴近学生的实际问题。通过这些实例的阅读和讲解,将理论教学与实际案例有机结合起来,缩短了数学理论与实际应用的距离,使学生提高对概率论的兴趣。并且活的案例不仅将理论与实际结合起来,还使学生在课堂上九能接触到大量的时间问题,这对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。通过活的案例教学,可以促进学生全面看问题,从数量的角度分析事物的变化规律,使概率论与数理统计的思想和方法在现实生活中得到更好的应用,发挥其应有的作用。

法国数学家拉普拉斯曾说:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯也曾对概率论大加赞美:“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为。”那么作为教师的我们更应该把把概率论竭尽所能地传授给学生,使学生充分了解概率论的同时并且能够灵活运用于生活中,这才是我们教学的目的。

参考文献

[1] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计,浙江大学.

[2] 陈晓龙,施庆生,邓晓卫.概率论与数理统计[M].南京:东南大学出版社,2003.

[4] 李裕奇.概率论与数理统计[M].北京:国防工业出版社,2001.

[5] 吴群英.概率统计课程中采用兴趣与启发式教学,广西高教研究,2001,3.

概率论基础教学浅谈篇7

作为数学类本科生开设的概率论基础这门课程, 既要对概率论的基本概念给与严密的陈述, 又要让学生切实了解它们的直观意义, 领悟其应用价值, 这就要求授课者认真处理好直观性和严密性的关系, 使它们达到有机的统一。当然, 概率论又是一门有着严密数学理论基础的学科, 它的公理化体系是建立在集合论和测度论基础上的, 只有在这个公理化体系之下学习概率论, 才能弄清它的概念和理论, 也才能为学习概率统计的系统知识打下必要的基础, 但国内的大多数院校在课程设置上很少有开设测度论课程的, 有的也只是开设实变函数这门初等测度论课程, 而且会出现与概率论基础这门课程同期开设的情况, 导致学生学起实变函数来十分枯燥, 而对概率论基础的学习又帮助甚少, 无法运用测度论的观点来强化概率论基础某些概念和定义的理解。

学生们在学习概率论时通常的反映之一是“课文看得懂, 习题做不出”, 特别是古典概型的题目。要弄清概念, 最好的途径恐怕还是看例题和做习题, 因此要让学生学好概率论基础这门课, 课堂上涉及相关知识点的例题要设计的得当, 既要体现相关知识点的本质特征, 又要让学生领悟其应用的价值, 例题取材于生活但解决实际问题又要从生活中体会总结并抽象成概率模型, 培养学生形成一种概率素养, 即能有效地应用概率论的思想解决实际生活中的相关问题的能力。

概率论基础课程按知识点可分成五个章节, 分别是事件与概率、条件概率与统计独立性、随机变量与分布函数、数字特征与特征函数、极限定理, 下面就各个章节的内容谈谈具体教学。

1 事件与概率的重要

作为概率论基础这门课程的开篇之章节, 事件与概率是十分重要的。

“事件”与“概率”是概率论中最基本的两个概念, 它们贯穿于概率论基础这门课程的所有知识点之中, 教学过程中对于第一堂课的设计好坏和一些基本概念的引入的得当会直接影响到学生对于概率的理解, 讲直接点就是会对学生关于概率的第一直观感知有主导性的影响, 从而影响其往后知识点的学习和理解。常规的课堂教学中教师理应在严密的公理化结构下给学生严格地叙述这两个概念的定义, 但这两个概念的定义对于初学者来说较枯燥也不易理解和接受, 从而应让学生先清楚地理解事件与概率的直观意义, 教学过程中应采用由具体到抽象, 由简单到复杂, 由特殊到一般的方式向学生介绍频率、古典概型、几何概型, 从中归纳出事件与概率的本质特征, 为公理化定义作准备, 同时要让学生区分频率与概率并强调它们之间的关系。事件的运算与概率的性质也是本章节基本内容, 应在教学中同过典型例题的形式让学生牢固掌握。

2 事件概率与独立性

在“条件概率与统计独立性”这一章节的教学中, 教师应先通过一些实际的概率模型例子让学生体验独立性的实际背景及其重要性, 然后在此基础上引出事件独立性与试验独立性的定义, 并让学生区别两个事件独立性与多个事件的独立性的定义。

条件概率也是概率论中的重要概念, 它与独立性有密切的联系, 在教学过程中应先把它当成是一种概率引入, 再给出其形式上的记号, 并向学生指出条件概率的真正定义远非形式上那么简单明了, 但作为学生能够形式上接受且达到能解决具体概率模型的计算问题就足够了。同时这一章节的公式较多也较重要, 具体有乘法公式及其推广形式、全概率公式、贝叶斯公式等, 在教学设计上应构造具体直观的概率模型, 强化学生对这些公式的记忆与应用。

3 随机变量与分布函数

“随机变量与分布函数”这一章节可以说是在前两章知识基础上的一个飞跃, 是教学的重点也是学生学习的难点。

在这一章节的教学中, 教师应让学生接受用随机变量的观点来描述随机现象习惯用随机变量来描述随机事件。在引入随机变量的定义后, 让学生明白其引入的重要作用, 引发学生思考它要取哪些值以及怎样的概率取这些值, 进而自然地引入分布函数的概念, 并通过一些数学上的分析说明分布函数能完整地描述随机变量从而最终让学生接受分布函数是研究随机变量的良好工具。接下来的教学就通过具体的分布转入一些性质、定理、公理的介绍、定义和推导, 让学生掌握随机变量函数分布律的推导, 在有实际模型介绍的基础上让学生理解性得记忆一些重要和常见的分布, 如二项分布、泊松分布、正太分布等, 在教学进度允许的情况下可以增加一些具体分布的实际应用背景以增加学生对这门课程的兴趣。

4 随机变理的特征与概率论

由于随机变量 (或分布函数) 的数字特征与特征函数是概率分布的某种表征, 故这一章节的主要目的是要使学生深化对随机变量的认识, 同时也是为下一章的教学作必要的准备。

本章节教学的重点是几个重要概念的引入:数学期望、方差、相关系数等, 在授课过程中应要使学生明确其概率意义, 让学生知道这些数字特征在概率论与数理统计中的重要地位和实际应用价值, 并让学生通过作业练习掌握计算数字特征中一些级数求和和积分的技巧。

5 极限定理与概率论

最后一章“极限定理”, 是概率论基础中比较深入的结果, 前几章的知识在这里得到了综合应用。

教师在课程设计中应从伯努利试验场合开始叙述, 接着再向学生介绍独立同分布场合, 这是伯努利试验的直接推广, 并举例说明其在实际问题中特别是数理统计中的应用。这边要指出的是收敛性的概念及特征函数是深入学习极限定理不可缺少的, 但这一部分的内容较多且有一定难度, 而作为初学者能掌握其结论并会应用即可, 故在教学中不妨略去其证明。最后的教学内容即向学生介绍强大数定律及一般场合的中心极限定理, 让学生能够深刻体会其在概率论中的重要意义和现实生活中的应用价值, 并会通过建立概率模型利用中心极限定理解决具体实际问题。

摘要：概率论是一门研究随机现象中数量规律的数学学科, 随机现象在自然界和人类生活中无处不在。随着人类社会的进步, 科学技术的发展, 经济全球化的日益快速进程, 概率论在众多邻域内扮演着越来越重要的角色, 取得越来越广泛的应用, 也获得了越来越大的发展动力。基于概率论理论及应用的重要性, 目前在我国的大学本科教育中, 已与高等数学和线性代数渐成鼎足之势, 但在教材建设和师资方面则比后两者略有滞后。本文就数学类本科生的概率论基础这门课程的教学谈谈自己的看法。

关键词：教学设计,教学方法,概率论基础

参考文献

[1]严士健, 王隽骧, 刘秀芳.概率论基础[M].北京:科学出版社, 1982.

[2]李贤平.概率论基础[M].北京:高等教育出版社, 1997.

浅议概率论与日常谚语篇8

一、“抽签与顺序无关”

假设箱中有a个白球b个黑球, 它们除颜色不同外, 其他方面没有区别, 从中任意连接不放回地取出k个球 (k≤a+b) , 试求第k次取出白球的概率。

此结果与k无关。这个摸球模型从数学上说明了日常人们用抽签来决定某些事情时, 抽签的结果与抽签的顺序无关的道理。

二、“智者千虑, 必有一失”

设有某操纵电子游戏机者, 在一次射击中命中目标的概率为P=0.004, 求n次射击过程中击中目标的概率。

在上例中P=0.004相当的小, 但当n=500时, P (A) =0.865, 说明小概率事件在一次实验中实际不可能发生, 但多次重复后, 那么这一事件的发生几乎是必然的。俗话说“智者千虑, 必有一失”就是这个道理。因此, 在我们日常生活中, 绝不能轻视小概率事件。

三、“韩信用兵, 多多益善”

设有一决策系统, 其中每个成员做出的决策互不影响, 且每个成员作出正确决策的概率均为p (0

解对于5个成员的决策系统, 可认为是5重伯努利试验, 每个成员要么决策正确 (“成功”) , 要么决策错误 (“失败”) 。决策正确的概率为p, 决策错误的概率q=1-p。设X为其中决策正确的成员个数, 则X~B (5, p) 。对于3个成员的决策系统, 类似地也有X~B (3, p) 。从而5个成员的决策系统作出正确决策的概率为

3个成员的决策系统作出正确决策的概率为

要使5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠, 必须

由此题的结论可见, 要使一个群体更为有力, 提高群体中每一个成员的素质是非常重要的。所谓“韩信用兵, 多多益善”不适用所有场合。

通过以上几个例子可以看出, 概率论的相关知识就存在于我们生活周围, 只要稍加留心, 多作思考就会得到无穷乐趣, 同时也会更深层次体会数学的广泛应用。

参考文献

[1]刘次华:《概率论与数理统计》, 施普林格出版社, 1999.

[2]林少宫:《基础概率与数理统计》, 人民教育出版社, 1964.

[3]王福保:《概率论与数理统计》, 同济大学出版社, 1984.

[4]C R Rao.Linear Statistical Inference and its Applications.John Wiliy, 1973.

概率论与数理统计教学研究篇9

在自然科学、工程技术、军事、经济、管理乃至社会科学诸多领域, 所研究的对象不可避免地遇到随机性特点。近年来随着计算机技术的飞速发展及在各领域的广泛应用, 随机理论与各学科的交叉日益紧密, 随机问题的研究日益广泛。概率论与数理统计是非数学专业必修的一门公共基础课程, 它正是研究随机现象统计规律性的学科, 并能为学生深入学习专业知识提供必要的数学基础。为适应社会对人才素质的需求、提高大学的数学教育, 实行随机类课程的教学改革势在必行。

2. 概率与统计课程的教材建设

近年来部分省、市中学实行了新课标, 数学的改革进展较快。对概率论与数理统计课程的改革, 在教学内容、教学方式、教学方法上发生了很大变化, 在对原有中学已有的知识不变外, 又将大学概率论与数理统计中的一些教学内容纳入了高中数学课本中。相对于中学的教改而言, 大学数学的改革较之有一些缓慢, 没有适应中学的课改而进行有效调整, 从而出现了大学与中学在教学内容、教学方式、教学方法上的不衔接, 导致一些内容的重叠与遗漏, 深度与广度上的不一致。这种现象对大学数学教学带来了一定的负面影响, 例如对于重叠的内容, 学生在中学阶段已经学习过, 在大学教学过程中由于一些教师没有注意到这一点, 对同样的问题进行了重复讲授, 不但耗费了有限的学时, 还使学生产生厌烦的情绪。

在这种情况下大学的概率与统计课程的首要任务是教材的建设, 编写一本适应现代新形式下的好教材。教材的编写既要与中学内容上有好的衔接, 又要形成自己的理论体系, 同时还要兼顾概率与统计发展的新动向。在教学过程中应注意中学到大学的过度, 对相同知识点注重内容的深度与广度, 使学生到大学阶段形成系统的概率论与数理统计的学习。

3. 突出概率论与数理统计的思想, 加强概率与统计思维能力的培养

针对概率与统计这门课程的特点确定教学的指导思想, 应突出它的思想方法, 注重学生素养的培养, 使学生掌握概率与统计的基本概念和方法, 培养学生解决相关实际问题的能力。

概率论与数理统计在教学中应各占多大比例, 是重理论还是重应用, 一直是从事这门课教学的老师争论的焦点。学生毕业后或从事科研工作或到各行各业从事技术工作, 往往需要他们面对自然现象和社会现象中的随机问题, 需要具备揭示随机现象的统计规律性, 分析处理随机试验数据的能力。要做到这一点, 理论与应用都不应偏废。既要掌握概率论的理论, 又要会用数理统计的知识处理实际问题。

由于课时的限制, 大部分学校在制定这门课的教学大纲时, 将概率论部分设为重点, 数理统计部分讲到假设检验。注重理论的讲解, 忽略了实验, 这样阻碍了培养学生解决实际问题的能力。为了培养学生的创新能力, 应增强数理统计的教学, 注重统计概念的理解和统计思维方式的培养。通过课后阅读统计史和统计科普的著作, 弥补常用教材中理论推导过多, 统计思想发展历史不足的问题。

4. 利用计算机技术培养学生的创新意识与解决实际问题的能力

随着科学技术的发展, 统计的工具也由手工计算、可编程计算器, 逐步发展为用计算机进行计算。在众多的计算机统计软件中, SPSS软件尤为著名, 此外还有MATLAB、Excel都具有强大的数据分析能力, 在教学中适当的介绍这些软件的使用方法, 再安排学生一些上机的题目, 是学生既系统的掌握概率统计知识, 又能掌握运用计算机技术, 快速、准确处理数据的方法, 为进一步培养统计能力打下基础, 以致最终形成良好的统计素质。能够激发学生的创新意识, 培养解决实际问题的能力。

参考文献

[1]刘蓉.“概率论与数理统计”教学改革之探索[J].长春理工大学学报.2010, 5 (7) :132-133.

概率论与数理统计教学浅谈篇10

1 启发式教学

概率论与数理统计课程中有较多的公式推导, 如果单纯采用板书或ppt推导的方式进行授课, 学生很容易会感到枯燥乏味, 教学效果不好。因此比较好的方式是逐步启发学生思考问题, 让学生跟随老师的思路一步一步进行思考, 由此体验在老师的帮助下自己解决问题的成就感。

以几何概型部分的布丰投针问题为例。公元1777 年的一天, 法国科学家布丰邀请很多朋友一起做了一个实验:纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针, 这些小针的长度都是平行线间距离的一半。把这些小针一根一根往纸上扔, 记录了所有人的投针结果, 共投针2212 次, 其中与平行线相交的有704次。总数2212 与相交数704 的比值为3.142, 即 π 的近似值。这是古典概型的经典应用。在课堂上, 在古典概型部分的最后讲解这个例子, 让学生把所学知识应用到实际当中, 体验数百年前科学家的思想。首先让学生考虑将这个实验抽象成数学问题, 大致可以总结成为:设平面上画着一些有相等距离2a ( a>0) 的平行线, 向此平面上投一枚质地匀称的长为2l ( l<a) 的针, 求针与直线相交的概率。而这是一个典型的几何概型问题。根据在此之前所说解决几何概型问题的关键方法, 要找到几个自变量, 使得它能够用来刻画整个实验过程。引导学生通过画图看清楚针与线相交与否在几何关系上的差别, 此时学生一般能够逐渐想到除距离外, 针与线的夹角也是重要的参数, 因此, 需要用距离和夹角两个自变量来刻画整个试验。完成这一过程后, 再让学生利用这两个自变量, 分别给出试验的几何度量和事件 ( 针与线相交) 的几何度量。这样通过较简单地积分计算即可得到本问题要求的概率, 即 π值。

通过这一过程, 让学生逐步体会古典概型中较难解决的几何概型问题的求解过程, 避免教师一言堂, 单纯语言叙述和公式推导的枯燥乏味。

2 在教学中增加互动

除了采用启发式教学, 让学生在老师的提示下独立思考外, 在课堂中设置一些互动, 让学生亲身参与其中也有利于让学生更深刻体会教学内容。

例如, 曾在美国多次引起大范围讨论的“ 三门问题”[3]。该问题亦称为蒙提霍尔问题, 出自美国一个电视节目。有三个门, 其中两个门后面是羊, 一个门后面是汽车, 参赛者选中其中一个门后, 主持人开启剩余两扇门中一个后面是羊的门, 此时参赛者可以选择换另一个门。主持人是知道每个门后面的情况的, 那么参赛者选择换门是否可以增加得到汽车的概率?答案是肯定的, 如果参赛者不换门, 得到汽车的概率是1/3, 而换门后得到汽车的概率是2/3。大多数人直观的感受是换门与不换门的结果不应该有区别的, 即各有一半的概率。因此本问题是数学上直观感受与理论分析明显不相符的一个有代表性的问题。而且本问题可以从概率论的多个角度去分析, 如可以采用穷举法、古典概型的基本算法或条件概率等不同的角度验证。因此有利于学生展开大范围讨论并结合概率论中的多种知识去思考, 让学生熟练运用以前学过的知识。

而且, 在讨论结束后, 本问题可以很容易地通过实验来验证。可以找学生进行模拟实验, 比如选择两黑一红三张扑克牌, 抽到红色牌算是中奖, 模仿三门问题的抽奖过程, 如此反复进行实验30-50 次并统计结果, 即可明显看出换牌与不换牌中奖概率的差别。在这方面类似的问题如“ 三张卡牌的骗局”等等不再赘述。如此让学生从多方面参与到教学当中, 有利于学生集中注意力, 并可以调动学生学习的主观能动性。

3 采用案例教学方法

概率论和数理统计的知识在生活的各个角落都可以找到应用, 让学生了解这一点对引发学生的学习兴趣有很大帮助, 而且有利于帮助学生将课堂学习的知识真正应用于实际的生产生活中。因此采用案例教学方法, 在教学中采用与实际生产生活紧密联系的例子有助于提高教学效果。

例如, 著名的美国橄榄球运动员辛普森杀妻案的庭审中, 就在很多处与概率论和数理统计的知识有重要关联[4]。例如, 在庭审最初阶段, 控方反复强调辛普森曾有家暴现象, 因此有杀妻的动机。而辩方的律师引用数据显示, 有家暴的男性中, 最终杀妻的比例不足1/2500。但是, 如果仔细思考这个问题就会发现, 辩方的论据与实际问题是不相符的。辩方所说的是丈夫有家暴前提下杀妻的概率, 而实际的问题应该是:在丈夫有家暴且妻子死于谋杀的前提下, 妻子是被丈夫所杀的概率。通过当时的数据统计显示, 有43 位被家暴且被谋杀的女性, 其中40 人是被丈夫所杀, 即丈夫有家暴且妻子死于谋杀的前提下, 妻子是被丈夫所杀的概率高达93%! 这就是一个标准的条件概率问题, 尽管算法并不复杂, 但是认清条件和事件是问题的关键。

另外, 尽管众多证据显示辛普森是凶手的可能性很大, 但是由于本案仍有一些疑点显示辛普森也存在被人陷害的可能, 根据美国法律疑罪从无的思想, 辛普森最终被判无罪释放。这是本案最终受到大量争议的关键之一。而这种疑罪从无的思想, 与数理统计中假设检验中降低受伪错误的思想是类似的。既然在已有条件固定情况下, 受伪错误 ( 将无罪的人判为有罪) 和去真错误 ( 将有罪的人无罪释放) 不可以同时降低, 那么如果为了保护人权想尽可能降低受伪错误, 那么有较高的去真错误也就无法避免了, 美国法律即是如此。假设检验的理论是比较难以理解的, 因此在理论讲解中引入类似的实际案例进行类比, 有助于学生较快的理解。

4 结语

综上所述, 概率论与数理统计课程在工程和生活中的实用性较强, 对工科学生普遍开展本课程有重要意义。但是本门课在很多部分较难理解, 有必要采取多种方法激发学生的学习热情, 并让学生学习将这门实用性较强的课程真正与实际生活联系起来, 从而提高学习效果。

摘要：概率论与数理统计是一门实际生活和工程应用中都有重要意义的课程。在概率论与数理统计的课堂教学中, 如何引起学生的学习兴趣, 让学生深入了解本门课程的实际意义是决定学生学习效果的关键因素。本文结合实际课堂教学中的经验, 以几个实际案例为例子, 提出了几点建议。

关键词：概率论与数理统计,启发式教学,案例教学

参考文献

[1]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2014.

[2]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥:中国科学技术大学出版社, 2009.

[3]谢腾.三门问题的理论纵观[J].福建论坛 (人文社会科学版) , 2010 (S1) :222-223.

概率论篇11

【关键词】概率论与数理统计教学改革教学实践评价方法

概率论与数理统计是理工科院校一门重要的公共基础课。课程的主要内容是初等概率论的基本知识和数理统计的基本方法,是对随机现象的描述和研究。[1]从概率统计学科本身来说,它是一门研究随机现象的科学,它的思想方法与学生以前接触过的任何一门学科均不相同,学生在学习过程中需要改变以往思考方式,因此概率统计一直是学生认为比较困难的课程。[2]

一、对概率论与数理统计课程教学改革几点思考

(一)教学内容从实际案例出发,注重课程的应用性

概率论与数理统计课程的传统教学重视理论的系统性和知识性的传授,学生的主要精力集中在严谨的理论推导与证明上,从而轻视了理论联系实际、把学到的理论知识用到实际中解决实践中问题的学习。[3]由于概率论与数理统计课程的主要应用部分在于数理统计,因此在不影响本课程体系的完整性的条件下,适当地减少、减弱概率论部分的理论性和难度,从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论作为数理统计的基础知识来教学。对概率论与数理统计的主要内容,给学生进行精讲,即给学生讲清知识背景、基本概念、基本原理或公式,以及知识的应用技巧,而对知识结论来龙去脉的冗长理论叙述和繁杂推导和证明过程留给学生利用参考书进行自学了解。在精讲概率论与数理统计主要内容的基础上,重视广泛地从社会、经济、生活中选取应用实例,通过讲解应用实例,教会学生利用所学知识解决概率论与数理统计的一些实际问题

(二)“启发式”教学方法,注重引导和自主学习,培养应用型人才

传统的概率论与数理统计课程教学以知识传授型为主,往往只注意知识的传授,而忽略了学生的自主学习能力。[4]这种模式造成了僵化的、由上而下的教育关系,没有充分调动学生学习的主动性,没有立足于培养学生的学习能力和个性发展,只重视学生知识的积累,忽视学生应用能力发展对于培养应用型和创新型人才是不利的。针对这一现状,我们在注重传授课程内容和应用背景的同时,应多采用“启发式教学”,充分调动学生学习的主动性,布置一些灵活切合教学内容相关的题目,让学生根据自己所学专业的特点,收集和处理数据,利用本课程所学的数理统计方法解决一些实际的问题。在这个过程中,教师要适时给予学生引导,变“教”为“导”,使学生成为解决实际问题的主体,同时,学生的应用能力和创新能力也得到了培养。

(三)评价体系提高学生综合素质

课程改革的关键是教学评价的改革。传统的概率论课程以往只有理论课,没有实验课,这也是导致学生重理论,轻实践的重要原因。依据概率统计实验课的目的,通过探索实验课的考核方法,把概率统计理论课的考核、实验课的考核结合起来,利用对该课程的考核方法来引导学生把本课程学习的重点、方法、内容转变到以概率统计的方法应用上来,提升学生思维能力与解决实际问题能力,以及面对复杂生产与生活问题的适应能力及创新能力。[5]我们将期末总评成绩分成三个部分:(1)平时作业,其中包括基础习题和设计性、实践性习题(20%)。教师给出题目或让学生自己设计题目、调查数据、利用统计方法得出结果并得出一定的结论。(2)结合计算机进行考试,以统计方法的使用及运算内容为主(30%)。(3)实践报告(50%)。学生通过课程的学习和思考,解决实践生活中遇到的问题,并以实践报告的形式提交。

二、概率论与数理统计课程教学的建议

通过几年来的改革实践,概率论与数理统计的教学取得了较显著的效果。充分调动了学生学习的主动性,激发了学生的创造性思维.也锻炼了把学习的课程结合实际、观察生活、发现规律的能力。增加了学生动手能力和应用概率统计方法解决实际问题的能力。问卷调查表明82%的学生对现在的教学方式和考试方法给予肯定,提别是课程应用方面。下面提出笔者对于概率论与数理统计课程教学的建议:

(一)生所学专业相结合

概率论与数理统计课程是一门公共基础课,但是对于不同专业,不同领域还是有一定区别的。特别要针对学生所学专业的领域予以教学。案例的选择也要切合专业特点,最后的实践报告也要侧重不同专业领域。这样不但更能提高学生的学习兴趣,对于培养学生在各个本专业的应用能力是有利的。教师应该了解学生所学专业知识,讲课的时候多与他们的专业联系起来。这对于教师来说是很大的挑战,需要我们教师不断补充知识,多学知识,不断扩展知识面,这样才能把概率统计这门课上得更好。

(二)充分利用网络课程、多媒体辅助教学

概率论对学生来说很难,要想让学生学好这门课,教学时以多媒体作为輔助教学效果会更好。多媒体可以包含很丰富的信息,可以通过多媒体来演示一些有趣的试验,通过计算机图形演示、动画模拟、数值运算及文字说明等,形成一个全新的图文结合、数形结合、生动直观的教学环境,从而大大增加教学信息量.提高教学质量。有效地刺激学生的形象思维,避免枯燥无味,增加学生的学习兴趣。网络课程可以打破教学时空的限制,促进教师与学生的交流与互动。在教学内容方面,利用所学习的概率论知识解决实践问题较多,学生在解决问题的过程中,难免遇到自己不能解决的难题,通过网络课程提供的平台,教师和学生之间可以互动,帮助和引导学生解决问题,这有利于培养应用型和创新型人才。

参考文献:

[1]王松桂,张忠占等.概率论与数理统计[M].北京:科学出版社2006.

概率论在金融风险理论中的运用篇12

一、金融风险理论

(一) 不对称信息论

在当今社会和市场经济活动当中, 信息就是经济效益, 掌握信息的多少直接关系着利益, 而实际的情况是不同的人员对相关信息的了解是有区别的。对信息掌握得比较多的一方比掌握较少的一方处于更加有力的位置, 形成一个信息掌握不对称的局面, 优势一方通过向缺乏一方传递信息而在市场经济活动当中获得利益。信息不对称导致金融机构在投资的时候, 并不是总能够选择那些有效的投资项目, 低风险高效益的投资项目。

(二) 金融机构不稳定性 (脆弱性) 理论

金融机构的不稳定性理论指的是金融体系具有周期性的倾向, 不同的经济时期会有不同的金融参与人员。这是从周期性角度来解释金融体系不稳定的孕育和发展。明斯基把经济中的借款企业分为三类:抵补型借款企业、投资型借款企业、庞齐企业。当经济长时间比较繁荣的时候, 投资型借款企业、庞齐企业的贷款人会增多, 当价格不能再往上涨以后, 经济回落, 这些借款人违约, 金融机构出现支付方面的危机。这导致了金融机构的脆弱性, 而这种脆弱性会周期循环。

金融风险理论处理以上两点之外, 还有经济转轨以及制度变迁等理论, 对金融风险是一个新的认识与新的解释模式, 对金融风险的认识也更加的深入, 在这不一一详述。

二、概率论在金融风险理论当中的运用

风险是指在一定时期以内, 由于各种原因导致的事物可能发生变化, 以及这种变化给风险承担这带潜在损失的可能。对风险进行控制首先必须明确风险背后可能存在的风险因子, 分析风险因子可能对投资项目造成的各方面的影响, 找出风险发生的原因和条件, 建立起科学的风险研究体系, 从而保证了概率论的分析方法的准确性。其中, 风险识别也是一个十分关键的环节, 它是以人们长期面对风险投资所积累的实战经验, 它同时也是进行风险识别的基础。概率论主要是着眼于某一种情况发生或者不发生的几率, 从而达到对一个事件的整体预测, 进而采取决策。

(一) 概率论与风险损失

有风险就会有潜在的损失, 这些潜在的损失是一个随机变量, 同样, 保险公司在一定时间内所需要面对的总的索赔次数也是一个随机变量, 单次索赔额也是一个随机变量, 因此可以得出一个结论:总索赔额也是一个随机变量。这可以用概率论的相关理论来进行研究解释。当前研究随机变量一个很常用的工具就是钜母函数, 通过它可以很容易的计算出各种随机变量的数字特征, 另外, 还可以通过分析钜母函数来对两个随机变量进行分析, 判断它们之间是否存在相同的分布函数。

1、单次损失量分布

在这里主要讨论的是概率论当中的损失分布问题, 这对通过金融风险理论来对金融风险进行有效的管理至关重要。损失分布是对损失进行量化的理性分析, 主要有单次损失分布, 发生损失次数分布, 以及在此基础之上的总损失量分布。金融风险投资赚的就是风险带来的效益, 风险的发生有一定的概率, 发生了就损失, 不发生就获利, 在发生与不发生之间, 存在着怎样的关系, 是本文需要探讨的问题。概率论认为, 损失大的风险发生的概率小, 而损失小的风险发生的概率大, 当损失加大时, 发生的概率也增大, 到达一定程度时概率又减小。对金融风险投资来说信息掌握的越多, 那在进行风险投资时风险发生的效率就越小。获得效益的大小, 在获得效益当中存在怎样的风险可以通过概率论的相关理论得出。例如, 通常情况下我们在研究单次损失量损失分布理论时, 损失量额度大保险事故发生的概率小, 针对这种情况我们一般采取帕拉图分布、指数分布及韦布尔分布等;针对损失量小保险事故发生的概率大, 针对这种情况我们一般采取对数、正态分布、韦布尔分析及伽玛分布等。

2、多次损失量的分布

在单次损失量分布的基础上我们建立了多次损失量的分布, 对于损失次数较多的分布我们通常采取的是几何分布、超几何分布、二项分布及离散型均匀分布等。

3、总损失量分布

总损失量分布通常是指在一定时间内所发生的理赔总损失数, 它是一个离散型随机变量, 与在相同时间内发生的次数和额度相关。在保险的精算中, 损失分布的均值、标准差、偏度及方差等都是重要的数字特征。当前关于总损失分布情况所建立的风险模型主要有两种:

(1) 封闭式集合风险模型:设定集合风险中的保险标的为有限总数n, 且每个个体风险单位时间只能发生一次索赔, 则在这个单位时间内集合风险中保险标的的总理赔量为所有理赔额度之和。假设总数为10, 第8个保险标的发生了损失, 其理赔额度为X8, 则在该单位时间内的总理赔损失量

(2) 开放式风险集合模型:当不能够事先确定集合风险中的保险标的数时, 在单位时间内又允许多次索赔的发生, 则所发生的总理赔损失量为所有理赔额数之和。假设第4次发生索赔, 则在该时间内的总理赔次数为6, 则在该单位时间内的总理赔损失量S6=X1+X2+X3+X4。

(二) 概率论在风险理论当中

不对称信息论认为对信息的掌握不同, 那就处于不同的地位, 在风险投资的时候就会有不同的风险。不对称的信息使得风险管理变得更加的困难, 而对于金融风险投资机构来说, 如何运用概率论和风险当中的损失分布来达到经济效益是一个问题。概率论具体的分析了风险损失的分布情况, 所以, 即使是信息掌握不对称, 也可以运用概率论的损失分布的一般原理来达到规避风险的效果。任何风险的发生与不发生都有一定的概率, 风险投资方的单次损失量和损失次数都有一个概率性问题, 只要正确的认识了他们之间的关系, 就能对风险进行有效的管理, 减少不必要的损失, 达到经济效益。

金融机构的脆弱性导致在经济比较萧条的时候竟然机构可能会出现支付危机, 这其实也是一个概率问题。金融机构的周期性倾向导致金融本身的脆弱性, 本身就具有脆弱性的金融机构在风险投资当中如何避免损失, 可以用概率路进行研究探讨。概率论的损失次数和总索赔次数等的函数关系可以使得在进行风险投资的过程当中帮助做出有效决策。

三、总结

金融风险理论到目前来说还处于一个不断发展变化的过程, 对金融风险的认识也更加的深刻、全面、准确。降低风险, 承担最小的风险, 获得最大的效益是金融风险投资机构一直以来不懈追求的目标。概率论在风险理论当中的运用已经被广泛的注意到了, 把概率论这种数学方法运用到金融风险理论当中还需要不断的尝试, 不断的进行研究, 以加深对二者之间关系的认识。

参考文献

[1]狄凯生, 郭红强, 李田田.浅谈概率论在风险管理理论中运用[J].管理观察, 2012 (8)

[2]寿杭勇.关于概率论与数理统计的应用探讨[J].科学与财富, 2010 (12)

[3]徐洪香.概率论的缘起、发展及其应用[J].辽宁工学院学报 (自然科学版) , 2001, 21 (3)

【概率论】推荐阅读：

概率论思想07-09

概率论基础09-04

概率论大作业07-05