概率论习题五参考解答

概率论习题五参考解答（精选2篇）

概率论习题五参考解答 篇1

1.写出下列随机试验的样本空间：

1)记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；

2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；

3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； 4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：1）设小班共有n个学生，每个学生的成绩为0到100的整数，分别记为x1,x２，xn，则全班平均分为xxi1nin，于是样本空间为

12100niS{0，,,}={|i0,1,2,3,100n}

nnnn32）所有的组合数共有C510种，S{123,124,125,134,135,145,234,235,245,345} 3）至少射击一次，S{1,2,3,}

4）单位圆中的坐标(x,y)满足x2y21，S{(x,y)|x2y21}

2.已知AB，P(A)0.3，P(B)0.5，求P(A)，P(AB)，P(AB)和P(AB).解 P(A)1P(A)10.30.7 P(AB)P(A)0.3（因为AB）

P(AB)P(BA)P(B)P(A)0.2

P(AB)P(B)0.5（因为AB，则BA）

3.设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率：

1）只有一件次品； 2）最多1件次品； 3）至少1件次品.12C4C解 1）设A表示只有一件次品，P(A)36.C102)设B为最多1件次品，则表示所取到的产品中或者没有次品，或者只有一件次312C6C4C品，P(B)336.C10C103）设C表示至少1件次品，它的对立事件为没有一件次品，3C6P(C)1P(C)13

C10

4.盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码.（1）求最小号码为5的概率.（2）求最大号码为5的概率.解1）若最小号码为5，则其余的2个球必从6，7，8，9，10号这5个球中取得。C521则它的概率为3.C10122)若最大号码为5，则其余的2个球必从1，2，3，4号这4个球中取得。

2C41则它的概率为3.C1020

5.有a个白球，b个黑球，从中一个一个不返回地摸球，直至留在口袋中的球都是同一种颜色为止.求最后是白球留在口袋中概率.解 设最后留在口袋中的全是白球这一事件为A，另设想把球继续依次取完，设

a取到最后的一个球是白球这一事件为B，可以验证A=B，显然P(B).ab

6.一间学生寝室中住有6位同学，求下列事件的概率： 1）6个人中至少有1人生日在10月份； 2）6个人中有4人的生日在10月份； 3）6个人中有4人的生日在同一月份.（假定每个人生日在同各个月份的可能性相同）

解 1）设6个人中至少有1人生日在10月份这一事件为A；它的逆事件为没

11有一个人生日在10月份，生日不在10月份的概率为，则

1211P(A)1P(A)1()6

121112）设6个人中有4人的生日在10月份这一事件为B，则P(B)C64()4()2.12123)设6个人中有4人的生日在同一月份这一事件为C.则

111P(C)12P(B)12C64()4()2

12127.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？

解 设A和B分别表示甲和乙射中。C表示目标被射中，则P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.60.50.30.8.P(AC)0.6P(A|C)0.75

PC)0.8

8.某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%.已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂产品的次品率5%.一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率.解 设A和B分别表示电灯泡由甲厂和乙厂生产，C表示产品为合格。则P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)0.60.960.40.950.956

9.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女为数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率多少？ 解 设挑选到的人为男性和女性分别为A和B。另设某人是色盲患者为C。由已

1，P(C|A)0.05；P(C|B)0.0025.2P(A)P(C|A)0.50.05则P(A|C)0.952

P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)0.50.050.50.0025

10.甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5，0.7，又设敌机被击中1次，2次，3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1.现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率.解 设敌机被击中1次，2次，3次的事件分别为A，B，C.敌机坠毁的事件为Ｄ。则P(D|A)0.2;P(D|B)0.6;P(D|C)1

P(A)0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P(B)0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.51 P(C)0.40.50.70.14

P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)0.360.20.410.60.141知条件，P(A)P(B)0.458

11.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

解 三人译出密码分别记为A，B，C。则ABC即为所求事件（三人中至少有一人能将此密码译出）。它的对立事件为ABC。又因为各人译出密码是相互独立的，则P(ABC)1P(ABC)1(11/5)(11/3)(11/4)0.6

12.甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？

解 设从甲袋中取出白球记为A，从乙取出白球记为B。

nN1mNn(N1)mNP(B)P(A)PB|A)P(A)P(B|A)mnNM1mnMN1(mn)(MN1)

13.做一系列独立的试验，每次成功的概率为p，求在成功n次之前已经失败了m次的概率.解 根据题意，试验在第n+m次是成功的（记为A），前n+m-1次中有m次是失败的（记为B）。而前n+m-1次中有m次失败是一个二项分布B（n+m-1,1-p）, 所求概率为

mmn1mmnP(AB)P(A)P(B)pCnCnm1(1p)pm1(1p)p

14.甲给乙打电话，但忘记了电话号码的最后1位数字，因而对最后1位数字就随机地拨号，若拨完整个电话号码算完成1次拨号，并假设乙的电话不占线.（1）求到第k次才拨通乙的电话的概率；（2）求不超过k次而拨通乙的电话的概率.（设k10）解 1）该问题相当于在0~9这十个数字中不放回抽样，第k次正好抽到所需的数字这一个问题。根据抽签与次序无关的结果，第k次抽到的概率为1/10。2）第二个问题相当于一次性地抓了k个数字，所需数字正好在所抓的数字中这样一个问题。由于每个数字都是等可能被抽到，所需数字落在所抓数字中的概率与所抓的数目k成正比。设Ak表示所需数字在所抓的k个数字中，P(Ak)kC，其中C为常数。P(A1)1/10

（或P(A10)1）可得出C=1/10。所以P(Ak)k/10

15.将3个小球随机地放入4个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为1, 2, 3的概率.解 3个球随机放入4个盒子共有43种放法。盒子中最多个数为1，相当于4个盒

1子中分别有1，1，1，0个球，这种情形的放法共有C43!种（选一个空盒有4

1C43!3种选法，剩下的每盒有一个球相当于全排列）。故P(A1)3

48盒子中最多个数为3，相当于4个盒子中有一个盒子中有3个球，其它3个盒子

1C411没有球。它的放法共有C4种（选一个盒子，放入3个球）。故P(A2)3

416盒子中求的最多个数为2相当于排除以上2种情况而剩下来的情形。P(A2)1P(A1)P(A3)13/81/169/16

16.设有一传输信道，若将三字母A, B, C分别输入信道, 输出为原字母的概率为, 输出为其它字母的概率为(1)/2, 现将3个字母串AAAA, BBBB, CCCC分别输入信道,输入的分别为p1, p2, p3, 且p1+p2+p3=1,已知输出字母串为ABCA, 问输入为AAAA的概率是多少?

(1)(1)2(1)2解 P(ABCA|AAAA)

224(1)(1)(1)(1)3P(ABCA|BBBB)

2228(1)(1)(1)(1)3P(ABCA|CCCC)

2228

P(AAAA)P(ABCA|AAAA)P(AAAA|ABCA)P(AAAA)P(ABCA|AAAA)P(BBBB)P(ABCA|BBBB)P(CCCC)P(ABCA|CCCC

2p142(1)2(1)3(1)3(31)p1(1)p1p2p3488p12(1)2

17.证明: 若P(A|B)P(A|B), 则事件A与B相互独立.P(AB)P(AB)，P(A|B)，所以P(AB)P(B)P(B)P(AB)P(B)P(B)即P(AB)[1P(B)]P(B)[P(A)P(AB)] 即P(AB)P(A)P(B)

18.某地区约有5%的人体内携带有乙肝病毒, 求该地区某校一个班的50名学生证明：P(A|B)中至少有一人体内携带有乙肝病毒的概率.解 设A为学生携带有乙肝病毒，P(A)0.05.不携带有乙肝病毒为A，P(A)0.95，50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒的对立事件是50名学生都不携带有乙肝病毒，P（50名学生都不携带有乙肝病毒）=0.9550。所以P（50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒）=1-0.9550

19.两人相约于7点到8点之间在某地见面，求一人要等另一人半小时以上的概率.解 设X和Y分别为两人的到达时刻。显然，0X60;0Y60。

3030P(|XY|30)0.25

6060

20.从区间（0，1）内任取两个数，求这两数的和小于1.2概率.解 设X和Y分别为两个所取的数。显然，0X1;0Y1。

110.80.8/2P{XY1.2}0.68

11

概率论习题五参考解答 篇2

练习题

3.1为研究中国各地区入境旅游状况，建立了各省市旅游外汇收入（Y，百万美元）、旅行社职工人数（X1，人）、国际旅游人数（X2，万人次）的模型，用某年31个省市的截面数据估计结果如下：

t=(-3.066806)

(6.652983)

(3.378064)

R2=0.934331

F=191.1894

n=31

（1）

从经济意义上考察估计模型的合理性。

（2）

在5%显著性水平上，分别检验参数的显著性。

（3）

在5%显著性水平上，检验模型的整体显著性。

3.2根据下列数据试估计偏回归系数、标准误差，以及可决系数与修正的可决系数：，，，，，3.3

经研究发现，家庭书刊消费受家庭收入几户主受教育年数的影响，表中为对某地区部分家庭抽样调查得到样本数据：

家庭书刊年消费支出（元）Y

家庭月平均收入

（元）X

户主受教育年数

（年）T

家庭书刊年消费支出（元）Y

家庭月平均收入

（元）X

户主受教育年数

（年）T

450

1027.2

793.2

1998.6

507.7

1045.2

660.8

2196

613.9

1225.8

792.7

2105.4

563.4

1312.2

580.8

2147.4

501.5

1316.4

612.7

2154

781.5

1442.4

890.8

2231.4

541.8

1641

1121

2611.8

611.1

1768.8

1094.2

3143.4

1222.1

1981.2

1253

3624.6

(1)

建立家庭书刊消费的计量经济模型；

（2）利用样本数据估计模型的参数；

（3）检验户主受教育年数对家庭书刊消费是否有显著影响；

（4）分析所估计模型的经济意义和作用

3.4

考虑以下“期望扩充菲利普斯曲线（Expectations-augmented

Phillips

curve）”模型：

其中：=实际通货膨胀率（%）；=失业率（%）；=预期的通货膨胀率（%）

下表为某国的有关数据，表1.1970-1982年某国实际通货膨胀率Y(%)，失业率X2(%)和预期通货膨胀率X3(%)

年份

实际通货膨胀率Y

(%)

失业率X2

(%)

预期的通货膨胀率X3（%）

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

5.92

4.30

3.30

6.23

10.97

9.14

5.77

6.45

7.60

11.47

13.46

10.24

5.99

4.90

5.90

5.60

4.90

5.60

8.50

7.70

7.10

6.10

5.80

7.10

7.60

9.70

4.78

3.84

3.31

3.44

6.84

9.47

6.51

5.92

6.08

8.09

10.01

10.81

8.00

（1）对此模型作估计,并作出经济学和计量经济学的说明。

（2）根据此模型所估计结果，作计量经济学的检验。

（3）计算修正的可决系数（写出详细计算过程）。

3.5某地区城镇居民人均全年耐用消费品支出、人均年可支配收入及耐用消费品价格指数的统计资料如表所示：

年份

人均耐用消费品支出

Y（元）

人均年可支配收入

X1（元）

耐用消费品价格指数

X2（1990年=100）

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

137.16

124.56

107.91

102.96

125.24

162.45

217.43

253.42

251.07

285.85

327.26

1181.4

1375.7

1501.2

1700.6

2026.6

2577.4

3496.2

4283.0

4838.9

5160.3

5425.1

115.96

133.35

128.21

124.85

122.49

129.86

139.52

140.44

139.12

133.35

126.39

利用表中数据，建立该地区城镇居民人均全年耐用消费品支出关于人均年可支配收入和耐用消费品价格指数的回归模型，进行回归分析，并检验人均年可支配收入及耐用消费品价格指数对城镇居民人均全年耐用消费品支出是否有显著影响。

3.6下表给出的是1960—1982年间7个OECD国家的能源需求指数（Y）、实际GDP指数（X1）、能源价格指数（X2）的数据，所有指数均以1970年为基准（1970=100）

年份

能源需求指数Y

实际GDP指数X1

能源价格指数X2

年份

能源需求指数Y

实际GDP指数X1

能源价格指数X2

1960

1961

1962

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

54.1

55.4

58.5

61.7

63.6

66.8

70.3

73.5

78.3

83.3

88.9

91.8

54.1

56.4

59.4

62.1

65.9

69.5

73.2

75.7

79.9

83.8

86.2

89.8

111.9

112.4

111.1

110.2

109.0

108.3

105.3

105.4

104.3

101.7

97.7

100.3

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

97.2

100.0

97.3

93.5

99.1

100.9

103.9

106.9

101.2

98.1

95.6

94.3

100.0

101.4

100.5

105.3

109.9

114.4

118.3

119.6

121.1

120.6

98.6

100.0

120.1

131.0

129.6

137.7

133.7

144.5

179.0

189.4

190.9

(1)建立能源需求与收入和价格之间的对数需求函数，解释各回归系数的意义，用P值检验所估计回归系数是否显著。

(2)

再建立能源需求与收入和价格之间的线性回归模型，解释各回归系数的意义，用P值检验所估计回归系数是否显著。

(3)比较所建立的两个模型，如果两个模型结论不同，你将选择哪个模型，为什么？

练习题参考解答

练习题3.1参考解答

有模型估计结果可看出：旅行社职工人数和国际旅游人数均与旅游外汇收入正相关。平均说来，旅行社职工人数增加1人，旅游外汇收入将增加0.1179百万美元；国际旅游人数增加1万人次，旅游外汇收入增加1.5452百万美元。

取，查表得

因为3个参数t统计量的绝对值均大于，说明经t检验3个参数均显著不为0，即旅行社职工人数和国际旅游人数分别对旅游外汇收入都有显著影响。

取，查表得，由于，说明旅行社职工人数和国际旅游人数联合起来对旅游外汇收入有显著影响，线性回归方程显著成立。

练习题3.3参考解答

（1）建立家庭书刊消费的计量经济模型：

其中：Y为家庭书刊年消费支出、X为家庭月平均收入、T为户主受教育年数

（2）估计模型参数，结果为

即

（49.46026）（0.02936）

（5.20217）

t=

(-1.011244)

(2.944186)

(10.06702)

R2=0.951235

F=146.2974

(3)

检验户主受教育年数对家庭书刊消费是否有显著影响:

由估计检验结果,户主受教育年数参数对应的t

统计量为10.06702,明显大于t的临界值，同时户主受教育年数参数所对应的P值为0.0000，明显小于，均可判断户主受教育年数对家庭书刊消费支出确实有显著影响。

（4）本模型说明家庭月平均收入和户主受教育年数对家庭书刊消费支出有显著影响，家庭月平均收入增加1元，家庭书刊年消费支出将增加0.086元，户主受教育年数增加1年，家庭书刊年消费支出将增加52.37元。

练习题3.5参考解答

(1)

建立该地区城镇居民人均全年耐用消费品支出关于人均年可支配收入和耐用消费品价格指数的回归模型：

（2）估计参数结果

由估计和检验结果可看出，该地区人均年可支配收入的参数的t检验值为10.54786，其绝对值大于临界值；而且对应的P值为0.0000，也明显小于。说明人均年可支配收入对该地区城镇居民人均全年耐用消费品支出确实有显著影响。