小学统计与概率习题

小学统计与概率习题（精选12篇）

小学统计与概率习题 篇1

第十二章 小学数学统计与概率教学练习题

一、填空题

1、正方体的各面分别写着数字1、2、3、4、5、6，掷一下正方体，使得“2”朝上的可能性是（）。

2、口袋里有一个白球，一个红球和一个黑球，任意摸一个，有（）种可能结果，分别是（）

3、口袋里有2个黄球和一个红球，任意摸一个是黄球的概率是（）

二、名词解释

4、平均数

5、中位数

6、众数

三、简答题

7、在小学进行统计与概率知识教学有什么意义？

8、小学数学课程中统计与概率的主要内容是什么？

9、小学数学课程中统计与概率的教学目标是什么？

四、实践题

10、估计你们班所有同学一个月内丢弃多少个塑料袋，通过实际调查验证你的估计。

11、联系小学数学教学实际谈谈如何改善统计与概率的教学。

小学统计与概率习题 篇2

困惑之一:在有限的时间内, 如何让所有的学生经历众多的统计活动、实验操作

儿童的统计思想是在操作活动中逐渐形成的, 儿童对概率的感知更需要通过大量的操作活动来建立. 在统计和概率的实际教学中, 我们应该努力给学生提供实际操作的机会.

概率部分来源于生活场景, 游戏更多, 掷硬币、摸彩球、玩转盘这些活动, 许多都是需要较大数据的采集. 数据较小时偶然性就较大, 会直接影响学生的判断. 因此, 概率教学比统计教学的活动操作难度更大, 无法在有限的课堂时间内完成, 教学的有效性无法体现.

对策思考:

1. 课外延伸

经历活动是必需的, 这是大家的共识;时间是有限的, 这是不争的现实. 要解决问题, 方法之一就是将原始数据的收集等部分延伸到课外. 统计与概率在儿童的生活中有着广泛的应用, 生活早就把统计推到了学生面前. 提醒儿童关注, 记录相关数据, 不但课堂的有效性更强, 孩子们的独立操作扩大了儿童的认知, 锻炼了能力. 我曾经设计了许多统计方面实际活动的例子, 为课堂教学提供丰富的素材, 如“统计作业本、光荣榜上五角星的数量”“统计全校不同时间放学的班级数量及人数”“统计学校运动会上各年级的获奖情况”“统计本班每天各科写作业的时间”等等. 动手收集与整理数据是一个活动性很强并且充满挑战和乐趣的过程, 有助于培养学生对统计的积极情感体验, 课堂上费时不多, 效果却很可观.

2. 加强概率统计与信息技术的整合

概率与统计与计算机技术的整合不仅仅是使用PPT进行教学, 而是强调统计与概率过程大数据的收集过程由计算机达成. 学生形成统计观念, 最有效的方法是利用信息技术手段真正经历统计的全过程;计算机的强大数据处理能力让短时间内完成很大的数据收集成为可能. 运用适当的技术方法进行收集和整理, 运用计算机生成合适的统计图表, 甚至用计算机帮助分析数据, 在有限的课堂时间里让学生经历统计过程成为现实.

例如, 在教学中, 学生对随机现象的理解, 体会概率与频率的关系, 须在实验的过程中进行. 抛硬币的实验, 需要的数据越大越准确, 这让许多教师非常为难. 通常上课是分组抛一个硬币反复多次, 这样要花去大量时间, 而概率还是会因为次数不够多而出现较大的偏差. 而且学生在做实验的时候只顾抛, 忽视实验条件必须相同的前提, 在此基础上总结出的规律既花时间又没有说服力. 后来, 我让学生在适当实验的基础上, 利用计算机的高速运算功能简单真切地展示实验规律, 大大减少了时间的浪费, 提高了可信度, 效果很好.一个实验做好了可以简单的加以变化再进行实验, 在很短的时间内可以完成多次反复的实验, 大大提高课堂实效性, 尤其是提高了结论的说服力和可信度!

儿童的小小课题研究

《数学课程标准》中强调 :“数学教学中要体现数学源于生活又应用于生活的特点, 使学生感受数学与现实生活的联系, 感受数学的趣味和作用, 增强对数学的理解, 对学习和应用数学的信心. ”为了概率与统计丰富的生活背景, 也为了培养学生的应用意识和创新意识. 我将数学小论文、数学日记等形式引入概率与统计的教学, 引导中高年级学生深入地、多元地体会统计与概率的奇妙, 先后有多篇精彩的小论文呈现, 比如《彩票故事》《幸运大转轮》等等. 提倡了孩子的个性发展, 激发了学生用“数学眼光”看生活的浓厚兴趣, 让孩子热爱数学, 学好数学, 用好数学.

困惑之二:如何评价学生的预测

教育评价可以激发学生学习的积极性, 提高教学质量, 促进学生个性的全面发展具有重要的教育功能. 学生对统计图的三个层次中, 通过数据来进行判断、预测、推理. 类问题的开放性特征, 就给教师的评价加大了难度, 统计与概率的特殊性, 让如何评价学生的预测却成了老师烦恼不已的问题.

对策思考:预测需要基于数据

经过不断的思考以及学习交流, 我有了如下的想法. 面对学生在统计与概率中的预测如何评价的问题有一条基本的原则“预测需要源于数据”.

引导学生用数据说话, 用有可能、不可能、可能性大小说话. 有时候为了更合理地预测, 需要我们收集更多的相关数据, 扩充参考数据的范围. 比如, 可以收集许多不同孩子12岁到15岁的身高变化, 来预测主人公的变化可能. 看看12岁与平均身高的对比情况, 由此预测15岁. 当然, 无论哪种预测都不能肯定是正确的, 但会比单纯依靠这名学生以前的情况进行预测要更合理. 另外, 教师评价还要鼓励学生从数据中获取合理信息的有益尝试, 在教学中应鼓励学生尽可能多地从数据中提取有用的数据, 而不是单纯地绘图技能、计算方法的掌握.

所谓:“教, 然后知不足;学, 然后知困. 知不足, 所以能自省也;知困, 所以能自强也. 所以, 教学相长也. ”虽然统计与概率在教与学上都存在着一定的难度, 但如果我们从一点一滴做起, 不断思考, 不断学习, 在教学中逐渐积累经验, 一定会使学生的实践操作水平得到长足的发展.

参考文献

[1]义务教育数学课程标准 (2011年版) 解读.北京师范大学出版社

对小学数学统计与概率教学的探讨 篇3

关键词：小学数学；统计与概率；教学

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）05-231-01

统计与概率主要是研究生活中数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理，描述和分析以及事件发生的可能性来帮助人们做出合理的决策。统计与概率在小学数学中处于重要地位，是数学在生活中应用的结合点。本文笔者结合教学实际，对小学数学统计与概率教学的意义、存在的问题以及教学策略进行了探讨，在此和大家交流分享。

一、小学数学统计与概率教学的重要意义

现今的信息社会，我们随时都要面临大量的信息和数据，统计和概率的应用越来越广泛。统计与概率所提供的“运用数据进行推理”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。简而言之，人们在生活中要用到概率论的知识与思想方法的概率更大了，因此在小学教学统计与概率是有意义的。在小学阶段的数学教学过程中对学生进行概率与统计教学，首先，它会涉及解决问题、计算、推理，以及整数、分数、比值等知识，这实际上是在学习新知识的同时复习和运用过去的旧知识，有助于发展学生解决问题的能力。其次，统计与概率这一领域的内容对学生来说是充满趣味和吸引力的。像概率这一类学习内容本身是充满挑战性的，一些概率游戏本身就是对思维的一种挑战，学生接触这类内容有利于培养学生对数学的积极情感体验，学生以随机的观点来理解世界，形成正确的世界观和方法论。最后，实施小学数学统计和概率教学，它可以引导学生走进生活，使学生熟悉统计与概率的基本思想方法，有利于学生逐步形成统计观念，进而形成尊重事实、用数据说话的态度。由于小学数学统计与概率教学刚刚起步，作为一个新的知识点，难免会在教学中遇到这样那样的问题，如实的解决好他们，培养学生的各种能力，是教学的关键所在。

二、小学数学概率与统计教学中存在的问题

小学数学统计与概率教学作为小学阶段新增设的学习内容，结合数学课程标准来看，主要引导学生经历一些如对不确定现象有初步的体会、知道事件发生的可能性有大有小，并能体会事件发生的可能性和游戏规则的公开性、对可能性的大小做出描述，并和同学交流等等之类的学习过程。然而，在实际的教学中，由于课程刚刚开设，很多教师之前没有教过这门课程，没有经验，有些教师是自身概率知识水平不高，对教材的了解不够深入，使得教师在教学的时候很难准确把握各段概率教学的深浅度。另外，在小学数学统计与概率的课程安排中，往往都是在学期的结尾课程，使得许多教师为了节约课上的时间，很少在课堂上组织实验活动，只注重对知识技能的教授。最后，由于统计与概率的内容编排上注重逻辑，很少贴近学生的生活，因此学生学起来显得非常枯燥，不利于教师有效的开展教学，为教学效率的提高带来阻碍，不利于学生有效的学习和发展。

三、小学数学统计与概率教学的有效策略

1、注重学生学习兴趣的激发

“兴趣是学生学习最好的老师”，这句话的重要意义早已不言而喻。兴趣是推动学习的内在动力，是学习新知识的关键。在小学数学统计与概率的教学过程中，要想学生积极主动地参与学习，那么，教师首先要做的就是激发学生的学习兴趣，用学生的学习兴趣去带动其积极性和主动性，引导学生乐学。因此，教学中，教师要如实的根据学生的年龄特征，结合教学内容，精心设计课堂活动情境，激发学生的学习兴趣。设计一些有趣的情境，使学生初步感受事件发生的可能性，使学生对即将学习的内容产生浓厚的兴趣和强烈的求知欲望，让学生自主的投入学习，提高教学效率。

2、合理选择教学内容，培养学生的能力

教学应是围绕学生这一主体开设的一个过程，因此我们的教学要更加的突出主体性和针对性。在小学数学统计与概率的教学中，碍于教材内容对小学生来说难度偏大、过于抽象等特点，学生学起来会觉得比较吃力。因此，教学中，教师应结合教学实际做适当调整，从实际生活出发合理选择教学内容，适当的修正教学内容，使之在内容的层次性及梯度上更加的清晰化，以使得教师在教学的过程中目标更加的明确，使之更加有利于学生各方面能力的培养。

3、小学数学统计与概率教学应遵循的几个原则

俗话说：“无规矩不成方圆。”我们的教学也是如此，要想搞高效的教学，那么我们就得遵循一定的教学原则。在小学统计与概率的教学中，教师要着重遵守好以下几个原则。①实践性原则：统计和概率的研究对象是生活常见的东西或事件，教学必须与学生的日常生活相联系，多引导学生实践，让学生在经历收集、整理、描述、分析数据的过程中加深对有关概念的理解。有利于他们对数据进行分析和解释，以及对数据信息的理解、推理和判断。②过程性原则：一些著名的河流的长度；气温、雨量记在小学阶段的各个概念计的结果。应该注重形成概念的全过程，培养以随机的观点理解世界的观念。③趣味性原则：我们不能把概率与统计的教学变得枯燥无味，而应以有趣的方式呈现。教学中，只有教师如实的遵循好以上几个原则，我们的教学才能更好地实现实效。

总结：在小学数学教学中开展统计与概率教学，既是时代和社会发展的需要，更是生活的需要。在教学过程中，作为教师的我们，应积极的探究教学方法，不断完善教学过程，使之更加适合学生学习、发展。

参考文献：

[1] 张东辅 唐华军.上海与加州数学课程标准小学统计与概率比较研究[J].泰山学院学报，2006

小学统计与概率习题 篇4

新课标《小学数学统计与概率》学习体会

学习了《小学数学统计与概率》的知识，我对数学统计与概率有了更新的认识。随着社会的发展，实际生活已经离不开对数据的分析，离不开统计，统计的应用越来越广泛。新课程标准理念下也将统计与概率作为重要的学习内容。

对于这个领域的学习，重要的绝不仅仅是画统计图、求平均数等技能的学习，而是要让孩子“亲近”数据，加强对孩子数据分析观念的培养。课标强调学生要更新学习观念，学习有用的数学，教师也要更新教学观念，注重学生学习的可持续发展。我觉得统计与概率的学习对学生日后的社会实践生活是非常有用的，新课标就非常重视学生的“数据分析观念”，当中有这样的描述：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面说明只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。”新课标将统计与概率中的“统计观念”改名为“数据分析观念”，体现了新课标对这一模块的重视。更体现了统计与概率这一知识在小学阶段学习的重要性。总之，统计与概率的内容，主要是让学生感受生活中的数学知识，联系实际，体会统计思想给我们带来的方便，通过调查实际生活的问题，调动起学习的积极性，转化为数学知识，并用学过的知识解决实际问题。培养学生的“数据分析观念”对学生将来的发展非常有用。特别是对于当下的信息社会，“数据分析观念”显得尤为重要。

复习教案统计与概率 篇5

教材内容

1．本节课复习的是教材114页6题及相关习题。

2．6题以我国城市空气质量为素材，让学生根据扇形统计图所提供的信息解决实际问题，在这里，“273个城市空气质量达到二级标准”是一个多余信息，要求学生在解决问题时学会选择有效的信息。在此基础上，让学生通过调查、记录、查询等手段了解所在城市的空气质量状况，提出改善空气质量的建议。教材117页17题主要复习根据统计图中部分量与总量之间的关系，灵活选用乘法或除法解决问题。

3．教材通过复习，帮助学生进一步体会扇形统计图能清楚地反映各部分数量同总量之间关系的特点，并能根据给出的信息解决一些问题，提高分析信息、解决问题的能力。教学目标 知识与技能

1．进一步认识扇形统计图，能对统计图提供的信息进行分析解读。2．灵活运用统计知识进行相关的计算或解决问题，加深对所学知识的理解。过程与方法

1．经历整理和复习知识的过程，培养学生观察、思考、总结的能力，渗透比较思想。

2．通过复习，提高学生收集信息、处理信息、解决问题的能力。情感、态度与价值观

1．引导学生将数学知识与现实生活相结合，解决一些实际问题，感受数学的实用价值，激发学生的学习兴趣。

2．通过小组合作学习，鼓励学生乐于合作、善于交流、敢于表达。重点难点

重点：巩固所学的统计知识，提高解决问题的能力。难点：根据统计图准确分析数据。

课前准备

教师准备 PPT课件

教学过程

⊙谈话导入

1．我们一共学过哪几种统计图？

（条形统计图、折线统计图、扇形统计图）这几种统计图分别具有什么特点？（1）小组内交流。（2）学生汇报。

生1：条形统计图的特点是很容易比较各种数量的多少。

生2：折线统计图的特点是不但可以表示数量的多少，还可以清楚地看出数量的增减变化情况。

生3：扇形统计图的特点是能清楚地表示各部分数量与总数之间的关系。2．什么是扇形统计图？

（扇形统计图用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比）

设计意图：在复习扇形统计图意义的基础上，复习学过的统计图的种类及特点，在对比中进一步加深对扇形统计图的了解。

⊙复习用扇形统计图知识解决问题 1．根据扇形统计图解决问题。（课件出示教材114页6题）

我国城市空气质量正逐步提高，在2010年监测的330个城市中，有273个城市空气质量达到二级标准。监测城市的空气质量情况如下图所示。

（1）空气质量达到三级标准的城市有多少个？

（2）了解你所在城市的空气质量，讨论一下如何提高空气质量。2．解决问题。（1）解决问题（1）。

①思考：题中的有效信息有哪些？无用信息有哪些？ ②汇报。

生1：题中“有273个城市空气质量达到二级标准”是无用信息。生2：对于问题（1）而言，题中“330个城市”和“16.1%”是有效信息。③根据统计图算出空气质量达到三级标准的城市有多少个。330×16.1%≈53（个）（2）解决问题（2）。

①组内交流：说一说你所在城市的空气质量问题。②全班交流：如何提高空气质量？ 生1：要改善取暖工程。生2：加强环保意识。

生3：严禁开私家车，统一乘坐公交车，这样避免二氧化碳大量排放。生4：减少工厂废气排放。

设计意图：根据从扇形统计图中获取的信息进行相关的计算，进一步培养学生获取信息、解决问题的能力。

⊙巩固练习

1．小红收集的各种邮票统计如上图。

（1）小红收集的风景邮票、人物邮票和建筑邮票数量的比是（）。（2）小红收集的（）邮票数量最多。

（3）小红共收集了200张邮票，其中风景邮票有（）张。2．完成教材117页17题。⊙课堂总结

通过这节课的复习，你有什么收获？ ⊙布置作业

统计与概率教学心得 篇6

10月 17 日， 做为小学数学青年教师研训营的成员本人有幸参加了全区小学数学“统计与概率”教学专题研讨活动，听了两节精彩的数学课。两位老师精心准备，运用多种教学手段，创设了丰富、生动的教学情境，设计了新颖、活泼的学生活动，成功地激发了学生的学习兴趣。这两位老师的课堂教学风格和教育教学理念，深深地打动着我，听了这两节课，让我受益匪浅。

特别喜欢吴凌艳老师的课堂，师生关系非常融洽。课的伊始吴老师采用让学生回顾以前所学习的统计知识和说说在生活中什么时候会用到统计?给学生接下来学习本节课的分段整理数据做好准备。在新知探究方面，吴老师采用学校为鼓号队学生采购服装为例，结合学生身边的实例组织学生进行探究。老师为学生提供了身高信息让学生根据预想进行整理，一步步让学生体会按顺序分类整理。吴老师还特别注意学生习惯的`养成，怎样做到不遗漏不重复让学生体会的淋淋尽致。给我最深印象的是在课上，吴老师对于问题的设计。(如：四(2)班同学1分钟仰卧起坐的成绩统计，问题设计了，前去10名在哪一段?第10名在哪一段?如果小华的成绩是第3名，他可能在哪一段?如果小华的成绩是第7名，他可能在哪一段?)等等这样的问题，可以让学生更深的理解分段整理的好处。

对于王金秀老师，给我的感觉是王老师很善于抓住学生的心理特点，课的准备阶段，让学生男女生进行跳绳，然后猜猜男女生的成绩会是什么样的等级，从而引出本节课所要学习的内容，同时也对于以前的知识进行了回顾。王老师还善于利用学生认知上的冲突探究新的知识。当学生意识到用之前所学习的知识进行解决效果并不是很理想的时候，自然而然的引出合并两张统计图而成为新的统计图，也让学生体会到了单式条形统计图和复式条形统计图的优缺点。根据统计图分析数据也是学生必不可少的技能，王老师很注意培养学生这方面的能力。我认为本节课的一大亮点是：王老师出示由四幅单式条形统计图而让学生自由选择研究对象进行组成成复式条形统计图，从而让学生体会到，复式条形统计图的研究对象只要大于1都可以。

“统计与概率”例题精讲 篇7

根据上述信息完成下列问题:

(1) 求这次抽取的样本的容量;

(2) 请在图 (2) 中把条形统计图补充完整;

(3) 已知该校这次活动共收到参赛作品750份, 请你估计参赛作品达到B级以上 (即A级和B级) 有多少份?

【分析】条形统计图和扇形统计图是一种基本的统计图表, 通过条形统计图可以看到各个对象或多个因素的绝对统计数据, 能反应具体的数据;通过扇形统计图可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比.本题背景新颖, 首先考查了同学们的“图表”阅读能力, 其次考查同学们根据图表中反映出的数据解答有关问题的能力.要注意两幅图之间的对应关系, 首先由A级24人对应20%, 可求得样本容量为24÷20%=120 (人) , 所以C级为120×30%=36 (人) , D级为120-24-48-36=12 (人) , 则可把图 (2) 中条形统计图补充完整.由A、B两级所占的比例 (24+48) ÷120=60%, 可知750份的参赛作品中B级以上的作品为750×60%=450 (人) .该题在中考中还经常出现像求D级 (图 (1) 中) 所占的圆心角一类的问题, 要学会分析和转化.

例2 (2012·江苏常州) 在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球, 其中白球2只, 红球1只, 黑球1只, 它们除了颜色之外没有其他区别.从袋中随机地摸出1只球, 记录下颜色后放回搅匀, 再摸出第二个球并记录颜色.求两次都摸出白球的概率.

【分析】本题是典型的概率计算题, 同学们在做该类型摸球的题目时首先要明确是否有放回, 其次要用序号来区分相同颜色的球, 这样就不容易重复和遗漏.画树状图或列表如下:

∵共有16种等可能情况, 两次都摸出白球的情况有4种, ∴两次都摸出白球的概率为

例3 (2008·湖北天门) 如图, 有两个可以自由转动的均匀转盘A、B.转盘A被均匀地分成3等份, 每份分别标有1, 2, 3这三个数字;转盘B被均匀地分成4等份, 每份分别标有4, 5, 6, 7这四个数字.有人为小明, 小飞设计了一个游戏, 其规则如下: (1) 同时自由转动转盘A和B; (2) 转盘停止后, 指针各指向一个数字 (如果指针恰好指在分格线上, 那么重转一次, 直到指针指向某一数字为止) , 用所指的两个数字相乘, 如果积为偶数, 小明胜, 否则小飞胜.

(1) 请你用列表或树形图求出小明胜和小飞胜的概率;

(2) 游戏公平吗?若不公平, 请你设计一个公平的规则.

【分析】本题由列表或画树状图不难求出答案, 但是从游戏是否公平角度出发似乎又换了一种思维方式 (虽然转化幅度很小) , 判断游戏是否公平的 (或者奖项设置是否合理) 原则是双方获胜的概率是否相等.这类题既可以考查同学们正确掌握求概率方法的程度, 也可以考查同学们运用概率思想和知识解决实际问题的能力.无论是强化应用意识, 还是培养综合能力, 都是有价值的.列表如图:

小学统计与概率习题 篇8

关键词：统计与概率；生活实际；直观形象；实践活动

新课程下的小学数学教材打破了原有教材的编写程序，变空洞乏味的说教为图文并茂的自主探索，每一个新知识的获得都是由学生根据课本创设的情境图，通过小组合作交流，自己独立获得的。笔者通过对教材的研读、整合，认为新教材统计与概率这一内容在编写特色方面有如下特点：

一、联系儿童生活实际，选取生动有趣的素材，让儿童在具体的情境中学习数学

苏教版小学数学教材十分注重贴近学生的生活实际，用儿童的生活经验激发儿童学习的积极性，几乎每个课题都是从学生的生活原型引入的。

如一年级上册第九单元统计的教学内容，教材提供的是一幅森林动物园的图片，图片中都是学生喜欢的小动物：大象、小狗、小猴、小猪。问题是：大象家来了哪些客人？小朋友对这个问题很感兴趣，纷纷行动起来。他们通过分类知道了大象家来了4只小狗、5只小猴、3只小猪。这样，学生在轻松愉快的游戏活动中学会了分类统计的方法，进而可以轻而易举地解决书上77页关于花和水果的统计。

二、提供探索空间，引导学生独立思考与合作交流

建构主义认为：“人的认识不是被动地接受的，而是通过自己的经验主动地建构的。”苏教版小学数学遵循这一教学理念，采用多种方式引导学生自己进行知识建构，在知识建构过程中，让学生体验学习过程。

教材在引导学生主动建构知识时，主要采取以下措施：

1.为学生搭建认知平台

学生的建构是通过学生自己的经验来学习的，没有或缺失必要的经验，必然影响学生主动建构的兴趣，甚至无法主动建构。苏教版新教材在编写过程中始终贯穿着学生的现有经验，现有的生活实际情景，如二年级下册第九单元统计，教材提供的情境图是动物运动会，看了这幅图，你想知道些什么？学生可以结合我们学校举行的运动会通过观察，讨论提出：生1：我想知道运动场上一共有多少小动物。生2：我想知道在运动场上一共有哪些运动项目。接下来让学生按照下面表里的分类进行整理，进而让学生讨论：上面的两次统计有什么不同？你从每个统计表里知道了什么？（分类的标准不一样）学生理解了分类标准的不同再来解决茶杯的分类统计和图形的分类统计就简单多了。

2.培养学生的问题意识

现代心理学认为，一切思维都是从问题开始的。问题应该是整个教学环节中所占比例最大的一部分，每一个新知的获得，都少不了问题的提出。以往的教材例题的分析、解答都是一应俱全的，而新教材则不然，每一个例题都是将大部分的解答留下空白，让学生自己去探索、讨论、解决，例题只是抛出一个新知，抛出一连串的问题。

三、学习内容直观形象，课堂活动丰富多彩

现代认知心理学家研究表明：“低年级的学习过程要遵循‘动作、感知、表象、概念、符号的认知过程，在这个过程中，动作或感知是认知的起点，是自主构建知识的关键的一步”。学生这一认知过程的特点客观上要求教学内容要直观形象，以有利于学生感知新知识。为此，新教材在编写过程中应尽量体现直观形象，如一年级下册第七单元统计，教材呈现的情境图是四个小朋友在统计正方形、三角形、圆各有多少个。我报名称，你们记下来。第一个小朋友按照报的顺序直接记录下来，第二个小朋友是分类进行记录，正方形画一排，三角形画一排，圆形画一排。第三个小朋友是用画表格打钩的方法记录下来。通过直观形象的图示让学生感受到谁记得既清楚又方便？从而理解统计表的重要作用。

苏教版教材在编写过程中，几乎每一个单元之后都安排有综合实践活动，这是对以往教材的一个很大突破，安排这样的实践活动不仅有利于学生对所学新知的巩固，同时也为学生提供了一个脑、手、眼相结合的合作交流机会。学生可以在学中玩，在玩中学，充分体现了新课程改革的理念。如，在三年级上册第九单元统计与可能性后有一个综合实践活动：摸牌和下棋，活动之前先让学生估计每种花色可能会摸到多少次，然后小组合作进行摸牌并记录结果。孩子们活动的积极性很高，课堂气氛活跃，学生在轻松愉快的游戏中可以体验学习的乐趣。

苏教版的教材在编写方面从素材的选取到结构的编排都打破了原有的教材编写模式，在教材的编写过程中，重要的数学概念与数学思想逐渐深入，重视数学内容的承接关系，循序渐进地处理数学内容。在新教材中还体现了统计的多样化，充分尊重学生的个性发展，为学生的全面发展打下了坚实的基础。

参考文献：

张定强.小学数学教学策略[M].东北师范大学出版社，2007.

概率论与数理统计 篇9

1012502-31 汤建波

概率与数理统计在现实的牛产和生活中有着广泛的应用，因此，《概率论与数理统计》作为公共课是很多专业所必修的。但是，由于这门课的学习方法与《微积分》《线性代数》等其他课程有着极大的差异，很多学生在学习过程中感到难以把握概念与理论，在遇到问题时不知如何人手。因此，笔者在总结这几年教学实践的基础上，提出以下思考。

一、适度引入案例。形成生动教学及启发性教学

概率论源于博弈，是赌博中的很多问题催生了概率论这门数学学科。在开课伊始，教师就适度引入触发概率论的一些问题，如“De．mere”问题，“分赌金问题”等等，使学生在故事中不仅得到r课本里所没有的历史知识，而且无形中可以提高学习兴趣，消弭一部分同学的畏难情绪。另外，再在随后的教学过程中引入“彩票中奖问题”“蒙特卡罗法求订法”“保险付赔问题”等等，引导学生了解、探索这门学科在现实中的应用，使学乍实现由知识向能力的转化，从而增强学，F利用概率统计解决实际问题的“欲望”，促使他们更好地认识现实世界。

概念是概率课程中最基本的内容，对概念的理解程度直接影响学生对这门课程的学习与掌握程度。在教学中，应尽量从实际问题入手，先提出问题，接着在问题的分析和解决中抽象出概念，让学生清楚概念的来龙去脉，而不是硬性给出定义，让学生死记硬背。例如，在讲述“事件”这个定义时，引入“卫瞿嫦娥二号将于2010年10月1日发射”这一现实中的“事件”在概率论中应该是“实验”，而其结果“发射成功”才能算是概率论所定义的“事件”，这样，在区别现实的“事件”与概率论所研究的“事件”基础上，学生加深了对“事件”这一定义的理解。在阐明相互独立和互不相容之间的区别有P(A)>0，P(B)>0时，A、B相瓦独屯与互不相容是不能同时成立的，直观上可以这样解释：相互独立意味这

4、B其中一方发生与否并不影响另一方的发生，而互不相容意味着A、B只要其中一方发生了，另一方就一定不发生，所以这两个关系不能同时存在。从公式上解释是：P(A)>0，P(B)>0且A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，而如果A、B互不相容，则P(AB)=P(西)=0。但是只要有一方的概率为0，如，如果A=西，则A与B既相互独立又互不相容，因为此时P(AB)=P(A)P(B)=0。综上所述，相互独立与互不相容并没有必然的联系。

而在区别“不相关”与“相互独立”的区别时，可以通过举例得知J]|f、y不相关不一定就独立，因为X、l，之间有可能存在其他的函数关系，但是存在函数关系的随机变量是否就不独立了呢？答案是未必，例子如下：

考察随机变量X、l，和Z：假定x与l，独立月．都服从参数为P的(0—1)分布，令z为x与y的函数：

可以得到当P=1／2时，Z与X相互独立。转载于 无忧论文网 http://

通过这些举例，避免了学生将“独立”和“互不相容”等同起来，又说明了“独立”与“函数关系”之间的联系。

二、课堂教学中注重数学思想的教育。培养学生建模能力

概率统计中的很多问题都可以归结为同一类问题，数学模型就是这类事物共同本质的抽象。“数学建模”是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。数学模型在概率统计中的应用随处可见，模型化方法贯穿本课程全过程，因此，在教学过程中应该注意培养学生抽象出问题的本质以建立起一般的数学模型的能力。

如“将n只球随机地放入Ⅳ(N大于等于n)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率”与“班级同学生日各不相同”具有相同的数学模型。另外，还有古典概型、贝努利概型、正态分布等等这些都是生产生活中抽象出来的，在很多问题中都可以归结为以上的模型。如以下两个

：

例1，设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0．01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。

例2，保险公司在一天内承保了5000张相同年龄、为期1年的寿险保单，每人一份。在合同有效期内若投保人死亡，则公司赔付3万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0．0015，且各个投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率。

以上两个例子虽然不同，但都可以归结为伯努利概型，利用二项分布解决。对这类模型，不应简单地给出它的结果，而应注秀模型的建立、模型的应用范围以及如何把实际问题转化为有关的数学模型去解决。

三、适度引入多媒体教学及数据处理软件。促进课堂教学手段多样化

在概率统计教学中，实际题目信息及文字很多，“一支粉笔、一块黑板，以讲授为主”的传统教学方法显然已经跟不上现代化的教学要求，不利于培养学生的综合素质和创新能力。因此，有必要借助于现代化媒体技术和统计软件，制作内容、图形、声音、图像等结合起来的多媒体课件。～方面，采用多媒体教学手段进行辅助教学，能够将教师从很多重复性的劳动中解脱出来，教师可以将更多的精力和时间投入到如何分析和解释问题，以提高课堂效率，与学生有效地进行课堂交流。另一方面，用图形动画和模拟实验等多媒体作为辅助教学手段，便于学生对概念、图形等的理解。如投币试验、高尔顿板钉实验等小动画在不占用太多课堂时间的同时，又增添了课堂的趣味性。又如在利用Mathematica软件演示大数定律和中心极限定理时，就能将抽象的定理化为形象的直观认识，达到一定的教学效果。在处理概率统计问题中，教师也会面对大量的数据，另外，集数学计算、处理与分析为一身的数据处理软件如：Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在计算一些冗长数据时可以简化计算，降低理论难度。而且，在教师的演示过程中，能让学生初步了解如何应用计算机及软件，将所学的知识用于解决生产生活中的实际问题，从而激发他们学习概率知识的热情，提高他们利用计算机解决问题的能力。

最后，在教学过程中，教师应该考虑到各个专业的学生今后学习与发展的需要，在满足教学大纲的要求下，选择与其专业关系紧密的知识点进行重点讲授。同时，在讲授过程中，本着以人为本的教学理念，注意多种方法灵活应用，建立积极的互动教学模式，尽量避免教师在课堂上满堂灌、填鸭式地教学，充分调动学生学习的主动性，挖掘学生的学习潜能，最大限度地发挥和发展学生的聪明才智，使学生能理解概率统计这一学科领域思想方法的精髓。

论文参考文献：

[1]盛骤，谢式千。潘承毅．概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[2] 姜启源．数学模型[M]．北京：高等教育出版社。2003：4—7．

[3] 徐钟济．蒙特卡罗方法[M]．上海：上海科学技术出版社，1985：171—188．

[4] 郝晓斌，董西广．数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用[J]．经济研究导刊，2010，90(16)：244—245．

小学统计与概率习题 篇10

共8分)1.（2分）统计表和统计图都比原始数据记录单能更清楚地反映各数量之间的多少，所以统计工作一旦完成，原始数据也就没有任何作用了。（）2.（2分）为了清楚地看出核桃的营养成分，应制成折线统计图。

3.（2分）条形统计图和折线统计图都可以看出数量的多少。

4.（2分）要表示某市近几年出生人口数的变化情况，选用折线统计图比较合适。（）二、填空题(共7题；

共15分)5.（1分）要反映某地降水量，应制成_______统计图比较合适；

医院的护士要统计病人一昼夜身体的体温变化情况，应用_______统计图比较合适． 6.（5分）如图是花坛中各种花的种植面积统计图。海棠花占总种植面积的_______ %；

海棠花种了60 m2，花坛的总种植面积是_______ m2，玫瑰花种了_______ m2。

7.（1分）小红要描述她家各项支出占总支出的百分比情况，宜选用_______统计图；

要描述她家近五年收入变化情况，宜选用_______统计图。

8.（1分）如果要用一个统计图反应这个学期你的数学成绩的变化情况,你会采用（）统计图._______ 9.（1分）11+12+13=_______×3 10.（3分）下面是一辆旅游车往返于动物园和旅行社的时间和路程情况统计图。（1）旅游车经过_______小时到达动物园,游客在动物园参观了_______小时。

（2）在_______这个时间段旅游车行驶的速度最快。

（3）旅游车前4小时的平均速度是_______千米/时。

11.（3分）在92、93、95、93、90、98、94、93、96、91中，平均数是_______，中位数是_______，众数是_______。

三、选择题(共12题；

共30分)12.（2分）某班24名男生参加50米跑测试成绩如下图：

从上图中可以看出，得（）的人最多。

A.优秀    B.良好    C.合格    D.不合格    13.（2分）由9、0、3这三个数组成的最大的三位数与最小的三位数的差是（）。

A.540    B.81    C.621    D.61    14.（2分）下面是英才小学四年级同学参加课外小组的人数统计图，根据统计内容，四年级参加哪种课外小组的人最多？ A.书法小组    B.文学小组    C.手工小组    15.（2分）下面是某超市第一、三季度的饮料销售统计图，（）季度的月平均销售量多。

A.一季度    B.三季度                                                 16.（2分）小明五次数学考试成绩如下表，第五次考试成绩是（）分。

次别 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次平均分 成绩（分）88 96 93 99（）93 A.88    B.89    C.90    D.91    17.（2分）要反映某地的气温变化情况,应绘制（）。

A.条形统计图    B.折线统计图    C.扇形统计图    18.（2分）六（1）班在六一儿童节前要评选一名市三好学生，采取一名学生只投一票的方式进行评选，投票结果如下表。

下面最能表示这个投票结果的是图（）。

A.B.C.19.（2分）在浓度为10%的1000克盐水中加入100克盐，溶解之后，盐与盐水的质量比是（）A.2：10    B.2：11    C.2：9    D.2：7    20.（8分）下表是二年级学生喜欢的图书人数情况。

种类 连环画 故事书 科技书 其他 人数 18 12 8 4（1）喜欢（）的人数最多。

A.连环画    B.故事书    C.科技书    D.其他（2）喜欢（）的人数最少。

A.连环画    B.故事书    C.科技书    D.其他（3）喜欢故事书的人数比喜欢连环画的少（）人。

A.10    B.6    C.4    D.8（4）喜欢连环画的和喜欢科技书的一共有（）人。

A.30    B.20    C.26    D.12    21.（2分）一个圆形花坛内种了三种花(如下图)，用条形图表示各种花占地面积的关系应该是（）。

A.B.C.D.22.（2分）四个数的平均数是15，如果每个数增加a，那么这四个数的和是（）。

A.15×4+a    B.15+4a    C.(15+a)×4    23.（2分）某品牌鞋店上周销售各种尺码的女式皮鞋情况如下表：

尺码／厘米 21.5 22 22.5 23 23.5 24 数量／双 1 10 36 57 24 10 这家鞋店应多进尺码为（）厘米的皮鞋。

A.22    B.22．5    C.23    D.23．5    四、综合题(共5题；

共58分)24.（13分）下面是2016年6月份的天气情况。

（1）数一数,再填空。

（2）涂一涂。

（3）_______天最多,_______天最少;晴天比雨天多_______天。

25.（14分）给小动物找家。

（1）填出下表。

（2）填写出小动物的名称；

A_______      B_______         C_______        D_______     26.（9分）六年级的张华同学统计了我市今年9月22日﹣24日的气温情况，并制成了如图所示的复式条形统计图．（1）从22日至24日，最高气温下降了_______℃．（2）温差（日最高气温和最低气温的差）最大的是9月_______日，温差最小的是9月_______日． 27.（9分）填空。

（1）根据上图填写不同图形的个数 _______个 _______个 _______个 _______个（2）_______的数量最多,_______的数量最少。

（3）球比正方体多_______个,比长方体少_______个。

（4）四种图形一共有_______个。

28.（13分）下面是2016年天云小学一至六年级学生近视情况统计表。

年级 一年级 二年级 三年级 四年级 五年级 六年级 男生 8 10 12 21 31 38 女生 12 16 20 26 37 45（1）请根据统计表，完成下面的折线统计图（2）_______年级学生近视的人数最多。一至六年级女生的近视人数有_______人。六年级女生近视的人数比男生多_______人。

（3）通过本次调查，你有什么发现？有什么建议？ 五、解答题(共9题；

共108分)29.（13分）如表是光明小学三～六年级参加植树活动的人数统计情况． 年级 三 四 五 六 人数 37 22 40 55（1）请根据数据条形图补充完整．（2）_______年级参加活动人数最多．（3）参加活动一共有_______人．（4）你还能提出什么问题？并解答． 30.（11分）下面是二（1）班同学暑假最想去的景点调查统计表：

（1）最想去_______的票数最多；

票数最多的和最少的相差_______票。

（2）二（1）班一共_______人。

（3）请你提一个数学问题，并解答。

31.（19分）先根据下表中的数据，完成条形统计图，再回答问题． 青松岭小学的少先队队员，积极参加春季植树造林劳动．各中队种树的情况如下表：

从上面的条形统计图中，我们可以清楚地看出少先队员参加植树造林劳动的情况．（1）青松岭小学有几个中队的少先队员参加了春季植树造林劳动？（2）青松岭小学的少先队员，在春季植树造林劳动中栽种了几种树？（3）哪个中队种的油松的棵数最多？ 32.（10分）下图是张叔叔1个月工资的安排情况统计图。（总工资：4000元）（1）张叔叔每个月各项花费共多少元？储蓄多少元？（2）张叔叔想要买一台4500元的电脑，他需要几个月的存款才能买到？ 33.（18分）统计全班一星期阅读课外读物的册数。

（1）把上面统计的结果填入下表。

类别 少儿文艺 连环画 故事大王 册数 _______ _______ _______（2）阅读连环画的册数比故事大王多多少册?（3）同学们最喜欢看的课外读物是什么?（4）全班一星期共读了多少册课外读物? 34.（9分）观察复式统计表并回答问题。

下面是三年级某班本学期体检视力统计表。

4.2以下 4.3-4.6 4.7-4.9 5.0以上 男生 2 4 5 14 女生 1 3 7 17（1）视力为_______的人数最多，有_______。

（2）视力为4.3-4.6的人数是_______人。

（3）5.0以上的视力是正常的，低于5.0的有_______人，你想对这些同学说些什么？（4）这个班级男生多还是女生多？多多少人？ 35.（10分）下图是某超市5月份甲、乙两种洗衣粉销售情况统计图。

（1）根据统计图,完成统计表。

时间 第一周 第二周 第三周 第四周 甲种(袋)乙种(袋)（2）哪种洗衣粉的销售情况要好一些? 36.（10分）下面是张集小学六(3)班第一小组女生的身高统计表。

编号 1 2 3 4 5 6 7 身高/厘米 142 143 140 154 145 144 168（1）这组女生身高的平均数是多少?中位数呢?（2）你认为用平均数还是中位数代表这组女生的身高比较合适? 37.（8分）下图是曙光小学四(2)班同学体育达标评定统计图，请看图填空。

（1）上图中每格代表_______人。

（2）四(2)班体育达标的人数中得_______的最多，有_______人未达标。

（3）这个班共有多少人? 参考答案 一、判断题(共4题；

共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题(共7题；

共15分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、10-2、10-3、11-1、三、选择题(共12题；

共30分)12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、20-4、21-1、22-1、23-1、四、综合题(共5题；

共58分)24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、26-1、26-2、27-1、27-2、27-3、27-4、28-1、28-2、28-3、五、解答题(共9题；

概率、统计·期望与方差 篇11

1. 某射手射击所得环数[X]的分布列为：

[[X]＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&10＼&[P]＼&0.02＼&0.04＼&0.06＼&0.09＼&0.28＼&0.29＼&0.22＼&]

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（ ）

A. 0.28 B. 0.88

C. 0.79 D. 0.51

2. 样本中共有五个个体，其值分别为[a]，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）

A. [65] B. [65]

C. [2] D. 2

3.设随机变量[X～N（μ，σ2）]，且[P（X≥a）=P（X

A. [σ] B. [μ]

C. [-μ] D. [0][[X]＼&[1]＼&[2]＼&[4]＼&[P]＼&[0.4]＼&[0.3]＼&[0.3]＼&]

4. 随机变量[X]的分布列为

则[E（5X+4）=]（ ）

A. 15 B. 11

C. 2.2 D. 2.3

5. 设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为[67]，则口袋中白球的个数为（ ）

A. 3 B. 4

C. 5 D. 2

6. 设[ξ]是离散性随机变量，[Pξ=x1=23，][Pξ=x2=13，且x1

A.[53] B.[73]

C.3 D.[113]

7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为[x，y]，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则[|x-y|]的值为（ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

8. 若[P（X≤n）=1-a]，[P（X≥m）=1-b]，其中[m

A. [（1-a）（1-b）] B. [1-a（1-b）]

C. [1-（a+b）] D. [1-b（1-a）]

9. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为[X]，则[X]的均值[E（X）=]（ ）

A. [126125] B. [65]

C. [168125] D. [75]

10. 设离散型随机变量[ξ]满足[Eξ=-1]，[Dξ=3]，则[E[3（ξ2-2）]]等于（ ）

A. 9 B. 6

C. 30 D. 36

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若[ξ]的分布列如下表， 则[Eξ=] ，[Dξ=] .

[[ξ]＼&0＼&1＼&[P]＼&[p]＼&[1-p]＼&]

12. 若随机变量[X～N（μ，σ2）]，则[P（X≤μ）=] .

13. 已知离散型随机变量[X]的分布列如下表.

[[X]＼&-1＼&0＼&1＼&2＼&[P]＼&[a]＼&[b]＼&[c]＼&[112]＼&]

若[EX=0]，[DX=1]，则[a=] ，[b=] .

14. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以[A1，A2]和[A3]表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以[B]表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 .

①[P（B）=25] ②[P（B|A1）=511] ③事件[B]与事件[A1]相互独立 ④[A1，A2，A3]是两两互斥的事件 ⑤[P（B）]的值不能确定，因为它与[A1，A2，A3]中哪一个发生有关

三、解答题（共4小题，44分）

[时间][频率/组距][0.025][0.0065][0.003][20 40 60 80 100] 15. （10分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）.

（1）求直方图中[x]的值；

（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；

（3）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为[X]，求[X]的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）

16. （10分）某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在[A]区射击3次或选择在[B]区射击2次，在[A]区每射中一次得3分，射不中得0分；在[B]区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在[A]区和[B]区每次射中移动靶的概率分别是[14]和[p（0

（1）若选手甲在[A]区射击，求选手甲至少得3分的概率；

（2） 我们把在[A，B]两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在[B]区射击，求[p]的取值范围.

17. （12分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球.

（1）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；

（2）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；

（3）记[X]为取出的3个球中编号的最大值，求[X]的分布列与数学期望.

18. （12分）某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为[14，12]；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为[12，14]；两人租车时间都不会超过三小时.

（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量[ξ]，求[ξ]的分布列与数学期望[Eξ].

概率统计与经济学初识 篇12

数学作为一门最基础的自然科学, 它作为一种基础的工具应用于大部分自然科学的研究之中, 数学的发展与突破促进着现代科学的进步, 同样科学领域的突破也作用于数学的发展。作为社会科学领域的经济学, 以其研究对象的独特性质也与数学产生了千丝万缕的关系。经济学作为一门研究价值的生产、流通、分配、消费的规律的科学, 它对数学的依赖性可见一斑, 数学对经济学的发展起到了巨大的贡献作用, 但随着现代经济学的日趋发展成熟, 它对数学的反哺作用也日趋明显, 也伴随产生了统计学、模糊数学等数学的分支学科。但是, 在分析数学与经济学的关系中, 数学虽然重要, 也要注意数学在经济学中依然是工具, 我们既合理的掌握应用数学知识但也不能将其偏颇的凌驾于经济学之上。

二、概率与统计

作为高中数学涉及较晚的一项内容, 概率与统计已经随着现代科学的发展, 成为了一个数学独立的分支而存在。它是被应用于研究和解释随机现象的统计规律性的一门学科。我们日常生活中, 尤其是在经济生活中所遇到的很多涉及到计算的问题, 其实大都属于概率与统计的问题。数学统计是研究这一类规律性现象的, 这与另外一些自然学科的必然性截然不同。首先, 因为概率统计的条件和达成的结果之间有时并不是必然的联系, 即在同一情况下, 可能会发生某一结果, 也可能发生另一结果。这就要求研究者在精确的数学分析之上还要充分结合经济上规律进行细致的分析与预估。

关于概率论的讨论, 最初是由数学家帕斯卡和费马在相互通信中展开的。那时概率的明确概念还没有被提出, 但他们的讨论中已涉及到早期古典概率的概念, 最初概率与数学期望等基本概念的雏形、性质和相应的计算方法都在这样的讨论中逐步确定了下来。可见, 概率与统计在当时就展现出了它作为具有特定研究对象的独立学科的潜质。

我们日常生活中最常接触的一类概率问题就是等可能性事件问题, 即某件事包含基本事件m个, 基本事件总数为n, 那么这一事件A的概率计算为:

例1.从一个总体含有50 人的班级, 随机选择5 名同学做一个问卷调查, 以简单随机抽样方式从中抽取, 则指定的某人被抽到的概率为多少?

上述列举的就是一个最简单的等可能事件即古典概率事件。

三、期望与方差

期望与方差作为常用随机变量的两个重要数字特征, 是对变量的一种理性地数理分析, 在经济学中, 分析风险预估收益的一种重要参考标准。

1.期望

若X为离散型随机变量, 其概率分布为P (X=xk) =pk (k=1, 2…) , 则称和数

为随机变量X的数学期望, 通常简称期望, 记为E (X) 即

若X为连续型随机变量, 其概率密度为f (x) , 则X的数学期望为

期望体现出了随机变量取值范围的真正的“平均”, 因此在对于不确定性因素的分析中, 期望体现出了其极大地作用。

2.方差

方差是对期望的进一步分析, 是函数f (x) =[X-E (X) ]2的期望, 因此, 离散型、连续型随机变量的方差可统一为

D (X) =E[X-E (X) ]2

方差揭示了X的取值偏离期望值E (X) 的程度, 在经济学当中, 对于风险分析和收益预估有着极其重要的作用。方差的计算经常用到简化公式:D (X) =E (X2) -[E (X) ]2

3.期望与方差在投资分析时的应用

通过一道实际问题来体现期望与方差在实际经济应用中的解决, 我们可以更直观的感受期望与方差的在经济决策与分析中的应用。如现在相对比较火的投资项目基金为例, 如将一笔闲置资金投入到三个不同的盈利基金中, 设为基金A、基金B、基金C。

不同的基金收入不同, 同时又与经济形势和投资领域有关系。假设对应的经济形势可粗略的分为好、中、差三个级别, 发生的概率分别为P好=0.2, P中=0.7, P坏=0.1

根据各基金的数据参考可得到不同级别状态下各基金的收益概率分布如下表:

此时, 我们该如何投资才能获得比较好的收入呢?

解:首先通过计算三个基金的数学期望

E (A) =11×0.2+3×0.7+ (-3) ×0.1=4

E (B) =6×0.2+4×0.7+ (-1) ×0.1=3.9

E (C) =10×0.2+2×0.7+ (-2) ×0.1=3.9

方差:

D (A) = (11-4) 2×0.2+ (3-4) 2×0.7+ (-3-4) 2×0.1=15.4

D (B) = (6-3.9) 2×0.2+ (4-3.9) 2×0.7+ (-1-3.9) 2×0.1=3.29

D (C) = (10-3.2) 2×0.2+ (2-3.2) 2×0.7+ (-2-3.2) 2×0.1=12.96

通过分析离散型随机变量的期望可知, 投资基金A的平均收益最大。但投资的同时也要注意风险, 这时通过对它们各自方差的分析, 方差越大, 风险的波动越大。这样比较看, 基金B的风险最小, 同时收益上又比基金A相差较小, 所以选择基金B来投资更加合理。

四、数学与经济初识

可以看出, 经济学从它诞生到发展, 数学都在其中起着重要的作用, 数学使经济学的研究变得清晰、精确、严密, 并加速了经济学的发展。但如果在经济研究中片面的强调数学的作用, 就会丧失经济学的本质, 甚至会导致我们误入歧途。

经济学作为一门科学, 是一个有机的整体, 它研究的是人类社会当中众多经济活动和与其相对应的经济关系, 和其中的运行、发展的规律。其实, 经济学以资源的优化配置为核心的, 目的在于将资源做出最大化的利用。在经济学的发展过程中, 初见产生了微观经济学和宏观经济学两大重要分支。经济学被认为起源于古代经济思想, 以及逐步产生的早期经济学思想, 在经过现当代诸多经济学家亚当·斯密、马克思、凯恩斯等的完善与发展, 经济学逐步建立起完整统一的理论体系, 经济学的实际应用由最初的政治经济学向科学的经济学发展, 成为一门复杂而具体的科学门类。

摘要：概率与统计, 求方差与期望, 是高中数学一个非常实用的知识点。在高中学习中, 对于方差与期望的认识相对抽象, 有时并不好理解, 然而概率与统计的知识可以说是现代经济学的理论基础。在高中阶段就在概率与统计方面打下良好的基础, 对于未来大学学习会产生很重要的帮助。本文就高中数学中的概率与统计相关知识为展开, 简述了概率论、统计方法, 期望与方差的应用, 同时简要的介绍了现代经济学的部分内容。