概率论答案

2024-11-20

概率论答案（共8篇）

概率论答案篇1

概率论与数理统计测试题答案

1．设A, B是两个随机事件，已知P(A)= 0.6，P(B)= 0.8，P(BA)=0.2，求：（1）P(AB)；（2）P(AB).解：（1）P(A)=1P(A)= 0.4

P(AB)= P(A)P(BA)=0.4 0.2 = 0.08（2）P(AB)=1-P(AB)

= 1-

0.08P(AB)=1-= 0.9

0.8P(B)2．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．解：设A1=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，A2=“取到的都是白子”，A3=“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则

（1）P(A1)1P(A1)1P(A2)

3C8

1310.2550.745．

C12

（2）P(B)P(A2A3)P(A2)P(A3)

3C4

0.25530.2550.0180.273．

C123．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．

解：设Ai：“是第i台车床加工的零件”(i1,2)，B：“零件是合格品”.由全概公式有

P(B)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)

31，P(A2)，P(BA1)0.99，P(BA2)0.98，故 4431

P(B)0.990.980.9875

44显然P(A1)4．一袋中有9个球，其中6个黑球3个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是白球的概率.解：设如下事件：

Ai：“第i次抽取出的是白球”（i1,2）显然有P(A1)3，由全概公式得 9

P(A2)P(A1)P(A2A1)P(A1)P(A2A1)

12231 383835．设X~N(3,4)，试求⑴P(5X9)；⑵P(X7)．（已知(1)0.8413，(2)0.9772,(3)0.9987）

解：⑴P(5X9)P(53X393X3)P(13)2222

(3)(1)0.99870.84130.1574

X373)22X3X32)1P(2)

P(22 ⑵P(X7)P（1(2)10.97720.0228 6．设随机变量X的概率密度函数为

Ax2f(x)0求（1）A；（2）E(X)；（3）D(X).10x1

其它解：（1）由1f(x)dx01AAx2dxAx31，得出A3

30311213（2）E(X)xf(x)dx3xxdxx404332（3）E(X)3x2x2dxx5

05051103 4D(X)E(X2)(E(X))2393 516807．设随机变量X ~ N（3，4）．求：（1）P（1< X < 7）；（2）使P（X < a）=0.9成立的常数a ．

((1.0)0.8413，(1.28)0.9，(2.0)0.9973)．解：（1）P（1< X < 7）=P(13X373)

222

=P(1X32)=(2)(1)

2X3a3a3)=()= 0.9 222

= 0.9973 + 0.8413 – 1 = 0.8386

（2）因为 P（X < a）=P(所以 a31.28，a = 3 + 21.28 = 5.56

28．从正态总体N（，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x= 21，求的置信度为95%的置信区间．(已知 u0.9751.96)解：已知3，n = 64，且u

因为 x= 21，uxn ~ N(0,1)

121.96，且

u21n1.963640.735

所以，置信度为95%的的置信区间为： [xu21n,xu21n][20.265,21.735]．

9．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）

10.4，10.6，10.1，10.4 问：该机工作是否正常(0.05, u0.9751.96)？

解：零假设H0:10.5.由于已知0.15，故选取样本函数

Ux～N(0,1)

n经计算得x10.375，n0.1540.075，xn10.37510.51.67

0.075由已知条件u121.96，且

x1.671.9612

n故接受零假设，即该机工作正常.10．某钢厂生产了一批轴承，轴承的标准直径20mm，今对这批轴承进行检验，随机取出16个测得直径的平均值为19.8mm，样本标准差s0.3，已知管材直径服从正态分布，问这批轴承的质量是否合格？（检验显著性水平0.05，t0.05(15)2.131）解：零假设H0:20．由于未知，故选取样本函数

T2x~t(n1)

sn已知x19.8，经计算得

s16x19.8200.32.667

0.075，0.0754sn

由已知条件t0.05(15)2.131，xsn2.6672.131t0.05(15)

故拒绝零假设，即不认为这批轴承的质量是合格的．

认识概率测试题以及参考答案篇2

一、选择题:

1、在一副52张扑克牌中(没有大小王)任抽一张牌是方块的机会是( )

A、B、C、D、0

2、以上说法合理的是

A、小明在10次抛图钉试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%.

B、抛掷一枚均匀的骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6.

C、某票的中奖机会是2%，那么如果买100张票一定会有2张中奖.

D、在课堂试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后正面朝上的概率分别为0.48和0.51.

3、有两个完全相同的抽屉和3个完全相同的白色球，要求抽屉不能空着，那么第一个抽屉中有2个球的概率是( )

4、下列有四种说法：

①了解某一天出入扬州市的人口流量用普查方式最容易;

②在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天是必然事件;

③打开电视机，正在播放少儿节目是随机事件;

④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件.

其中，正确的说法是( )

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

5、一个密码锁有五位数字组成，每一位数字都是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9之中的一个，小明只记得其中的三个数字，则他一次就能打开锁的概率为( )

A、B、C、D、

6、如图，有6张纸牌，从中任意抽取两张，点数和是奇数的概率是( )

7、在6件产品中，有2件次品，任取两件都是次品的概率是( )

A、B、C、D、

8、一个口袋中装有4个白球，1个红球，7个黄球，除颜色外,完全相同,充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率是( )

A、B、C、D、

9、随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是( )

A、B、C、D、1

10、一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6.右图是这个立方体表面的展开图.抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是( )

A、B、C、D、

二、填空题

11、小明与小亮在一起做游戏时需要确定作游戏的先后顺序，他们约定用锤子、剪刀、布的方式确定，请问在一个回合中两个人都出布的.概率是 .

12、一个口袋中装有4个白色球，1个红色球，7个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是黑色球的概率是 .

13、一种游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，无奖金，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻).某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是 .

14、在一个袋中装有除颜色外其余都相同的1个红色球、2个黄色球.如果第一次先从袋中摸出1个球后不再放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄色球概率是 .

15、如图两个转盘,指针落在每一个数上的机会均等,则两个指针同时落在偶数上的概率是 .

16、小华买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐的摆放在书架上，其中恰好按顺序摆放的概率是 .

17、某学校的初二(1)班，有男生20人，女生24人，其中男生有18人住宿，女生有20人住宿。现随机抽一名学生，则抽到一名走读女生的概率是 .

18、一个家庭有3个小孩.则这个家庭有2男1女孩的概率是 .

19、从班里随意抽取一个同学，在5月过生日的概率是

20、连掷五次骰子都没有得到6点，第六次得到6点的概率是

三、解答题:

21、如图是两个转盘A、B.现在你和另外一个人分别同时用力转动A、B两个转盘，如果我们规定：转盘停下后，指针停留在较大数字的一方获胜(若指针恰好停留在分界线上，则重新转动)，那么你会选择哪个位置呢?请借助列表法或树状图法说明理由.

22、口袋里有红球4个、绿球5个和黄球若干个，任意摸出一个球是绿色的概率是 .求： (1)口袋里黄球的个数; (2)任意摸出一个球是红色的概率.

23、小明每天骑自行车上学都要经过三个安装有红灯和绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相等，那么，小明从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少?不遇红灯的概率是多少?

24、将分别标有数字1、2、3的三张硬纸片，反面一样，现把三张硬纸片搅均反面朝上.

(1)随机抽取一张，恰好是奇数的概率是多少?

(2)先抽取一张作为十位数(不放回)，再抽取一张作为个位数，能组成哪些两位数，将它们全部列出来，并求所取两位数大于20的概率.

参考答案

一、选择题：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 C D A D D D D B A A

二、填空题：

11. ;12.0 ;13. ;14. ;15. ;16. ;17. ;18. ;19. ;20.

三、解答题：

21.取A图胜记为+，B图胜记为-

1 6 8

4 - + +

5 - + +

7 - - +

选图A胜的概率为 ;选图B胜的概率为 .

22.(1)6个，(2) ; 23. ， ;

概率论试题篇3

一、填空题：

1、设随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6，条件概率P(B|A)=0.8，则P(A+B)=_____.2、设随机变量X在[0，6]服从均匀分布，Y服从参数λ=1/2的指数分布，且X,Y相互独立，则D（2X-Y）=_____.3、某射手向同一目标独立进行3次射击，若至少命中一次的概率为26/27，则该射手的命中率为_____.4、设连续随机变量X的分布函数为，已知P(x=1/2)=1/4，则a=_____,b=_____,c=_____.5、设随机变量X只取-1，0，1三个值，且相应的概率之比为1：2：3，则 _____.6、设X,Y为随机变量，已知P(X≥0,Y≥0﹚=3/7,则P[min(X,Y)<0]=_____.7、从数1，2，3中任取一个数，记为X，再从1至X任取一个数，记为Y，则P(X=2,Y=2)=____

8、设随机变量X的期望为E(X),方差D(X)＜+∞,则根据切比雪夫不等式，________

9、设总体X~N , 为取自总体X的样本，则 _____

二、计算题：

1、某仓库有同样规格的产品12箱，其中有6箱、4箱、2箱一次是由甲、乙、丙厂生产的，而且三个厂的次品率分别为1/18,1/12,1/6，现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任取一件产品。

（1）求取出的一件是次品的概率；

（2）若已知取出的一件是次品，求这件次品是乙厂生产的概率。

2、设X~N(0,1)，求的概率密度。

3、设二维随机变量（X,Y）的联合分布密度为

（1）求X,Y的边缘分布密度 ,并判断X和Y是否相互独立；

（2）求X与Y的协方差。

4、设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，为了使整个系统正常工作，必须有87个以上的部件正常工作，试利用中心极限定理，求整个系统正常的概率的近似值。

5、设总体X 的密度函数为为取自总体X的样本，θ>-1为未知参数，求θ的最大似然估计。

6、假设批量生产的某种配件的内径服从正态分布N，随机变量16个配件，测得平均内径为 =3.05毫米，修正标准差为S=0.16毫米，求参数μ及的置信度为90%的置信区间。

7、正常人的脉搏平均为72次/分，仅对某种疾病的患者16人测其脉搏（单位：次/分）。计算患者平均脉搏67次/分，样本修正方差为36，设患者的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平α=0.05下，检验患者脉搏与正常人脉搏有无显著差异？

学习概率论心得篇4

根据上面分析，启示我们不能把高等数学的学习方法照搬到“概率统计”的学习上来，而应按照概率统计自身的特点提出学习方法，才能取得“事半功倍”的效果。下面我们分别对“概率论”和“数理统计”的学习方法提出一些建议。

一、学习“概率论”要注意以下几个要点

1. 在学习“概率论”的过程中要抓住对概念的引入和背景的理解，例如为什么要引进“随机变量”这一概念。这实际上是一个抽象过程。正如小学生最初学数学时总是一个苹果加2个苹果等于3个苹果，然后抽象为1+2=3.对于具体的随机试验中的具体随机事件，可以计算其概率，但这毕竟是局部的，孤立的，能否将不同随机试验的不同样本空间予以统一，并对整个随机试验进行刻画?随机变量X(即从样本空间到实轴的单值实函数)的引进使原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率，不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。此外若对一切实数集合B，知道P(X∈B)。那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了。所以我们只须求出随机变量X的分布P(X∈B)。就对随机试验进行了全面的刻画。它的研究成了概率论的研究中心课题。故而随机变量的引入是概率论发展历史中的一个重要里程碑。类似地，概率公理化定义的引进，分布函数、离散型和连续型随机变量的分类，随机变量的数学特征等概念的引进都有明确的背景，在学习中要深入理解体会。

2. 在学习“概率论”过程中对于引入概念的.内涵和相互间的联系和差异要仔细推敲，例如随机变量概念的内涵有哪些意义：它是一个从样本空间到实轴的单值实函数X(w)，但它不同于一般的函数，首先它的定义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间。而它的取值是不确定的，随着试验结果的不同可取不同值，但是它取某一区间的概率又能根据随机试验予以确定的，而我们关心的通常只是它的取值范围，即对于实轴上任一B，计算概率P(X∈B)，即随机变量X的分布。只有理解了随机变量的内涵，下面的概念如分布函数等等才能真正理解。又如随机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆，前者是事件的运算性质，后者是事件的概率性质，但它们又有一定联系，如果P(A)。P(B)>0，则A，B独立则一定相容。类似地，如随机变量的独立和不相关等概念的联系与差异一定要真正搞懂。

3. 搞懂了概率论中的各个概念，一般具体的计算都是不难的，如F(x)=P(X≤x)，EX，DX等按定义都易求得。计算中的难点有古典概型和几何概型的概率计算，二维随机变量的边缘分布fx(x)=∫-∞∞

f(x，y)dy，事件B的概率P((X，Y)∈B)=∫∫Bf(x，y)dxdy，卷积公式等的计算，它们形式上很简单，但是由于f(x，y)通常是分段函数，真正的积分限并不再是(-∞，∞)或B，这时如何正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键，要切实掌握。

4. 概率论中也有许多习题，在解题过程中不要为解题而解题，而应理解题目所涉及的概念及解题的目的，至于具体计算中的某些技巧基本上在高等数学中都已学过。因此概率论学习的关键不在于做许多习题，而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上去。这样往往能“事半功倍”。

二、学习“数理统计”要注意以下几个要点

1. 由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它的实际背景，理解统计方法的直观含义。了解数理统计能解决那些实际问题。对如何处理抽样数据，并根据处理的结果作出合理的统计推断，该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架，这样，学起来就不会枯燥而且容易记忆。例如估计未知分布的数学期望，就要考虑到① 如何寻求合适的估计量的途径，②如何比较多个估计量的优劣?这样，针对①按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计，而针对②又可分为无偏估计、有效估计、相合估计，因为不同的估计名称有着不同的含义，一个具体估计量可以满足上面的每一个，也可能不满足。掌握了寻求估计的统计思想，具体寻求估计的步骤往往是“套路子”的，并不困难，然而如果没有从根本上理解，仅死背套路子往往会出现各种错误。

2012年-概率论复习范围篇5

第一章：

1、事件与概率的性质和运算；

2、概率的计算（包括古典概型和几何概型）：条件概率、乘法公式、加法公式、全概公式、贝叶斯公式；（古典概型、几何概型一般无大题）

3、事件独立性和贝努利概型。

第二章：

1、随机变量分布问题（包括连续型和离散型）；

2、随机变量及随机变量函数的数字特征、切比雪夫不等式条件和结论（其它几个相关的不等式不需要记）；

3、记住几种重要的离散和连续型分布的密度及其数字特征（两点、二项、波松、均匀、指数、正态分布）；

4、随机变量函数之分布（简单的离散型求分布、分布函数法求密度）

第三章：

1、二维离散或连续型随机向量的联合、边缘和条件分布或条件密度函数、独立性判断的理解；

2、二维随机向量的期望、方差、相关系数以及二维随机向量函数的期望、方差；

3、二维随机向量函数的分布（重点掌握分布函数法求密度的方法、求简单的离散型随机变量函数的分布，卷积公式、商的公式一般不涉及）；

4、随机向量的数字特征；

5、了解大数定律的条件和结论和会利用中心极限定理计算概率；

6、条件期望不考。

第四章：

1、总体、个体、样本容量、统计量、枢轴量、分位数的概念；

2、理解t-分布、卡方分布、F分布的构造性定义（不需记忆密度函数），会查分布表；

3、抽样分布重点是正态总体的抽样分布，主要掌握定理4.1、4.2、4.3（要求记住结论并掌握简单的构造性证明）；

4、一般总体抽样分布不考。

第五章：

1、矩估计、极大似然估计求法；

2、无偏性、有效性和一致性的概念（重点是无偏性、有效性判断）。

3、区间估计重点是单正态总体参数的区间估计（不含大样本情形）；

4、假设检验重点是单正态总体参数的检验；

5、双正态和一般总体的参数检验不考。

说明：

1、如果有单选或填空题，考点也在上述所要求的范围内（书5.5之前含5.5）。

2、考题难度与书上各节后的习题相近，由于各章后总习题较难，不作要求。

3、题目类型：单选、计算、综合或证明。

概率论与数理统计（共）篇6

马吟涛（1.江西师范大学科学与技术学院，江西南昌 330027）

摘要：大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。关键词：大数定律，概率分布，保险业

中图分类号：O 413.1

文献标识码：A 引

言

概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。

一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。常见大数定律

由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率 1 收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。

常用的大数定律有：伯努利大数定律、辛钦大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律和重对数定律。

设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律（见左上方图片）。

伯努利大数定律:设μ_n为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为每次实验中A出现的概率，则对任意的ε>0，有（2）成立。

切比雪夫大数定律：设{X_n}为一列两两不相关的随机变量序列，若每个X_i的方差存在，且有共同的上界，即Var(X_i)小于或等于c,则{X_n}服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）式成立。

马尔可夫大数定律：对随机变量序列{X_n}，若（3）成立，则{X_n}服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）式成立。

辛钦大数定律：设{X_n}为独立同分布的随机变量序列，若X_i的数学期望存在，则{X_n}服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）成立。

3相关定义定理以及应用

定义：设X1,X2,,Xn,是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数，有limPXna1，nP则称序列X1,X2,,Xn,依概率收敛于a.记为Xna.切比雪夫不等式

设随机变量具有有限的期望与方差，则对0，有

P(E())D()2或P(E())1D()2

证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~p(x)，则有

P(E())xE()p(x)dxxE()(xE())22D()

p(x)dx

12(xE())2p(x)dx2该不等式表明：当D()很小时，P(E())也很小，即的取值偏离E()的可能性很小。这再次说明方差是描述取值分散程度的一个量。

切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件{E}概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。

定理1（切比雪夫大数定律）

设{n}是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在常数C，使D(i)Ci1,2,，则对任意的0，有

1n1n1n1nplimP{iE(i)}0[即iE(i)(n)] nni1ni1ni1ni1证明：由切比雪夫不等式知：0,有： 1111nCC0P{iE(i)}2D(i)i1222220(n)

ni1ni1ni1nnn1n该定理表明：当n很大时，随机变量1,,n的算术平均值i接近于其

ni11n数学期望E(i)，这种接近是在概率意义下的接近。通俗的说，在定理的条ni1nnnDni件下，n个相互独立的随机变量算术平均值，在n无限增加时将几乎变成一个常数。

推论：设1,,n是相互独立的随机变量，由相同的数学期望和方差E(i),D(i)2i1,2,，则0,有

1n1n limP{i}0（即i以概率收敛于）

nni1ni1这个结论有很实际的意义：人们在进行精密测量时，为了减少随机误差，往

1n往重复测量多次，测得若干实测值1,,n，然后用其平均值i来代替。

ni1定理2（De Moivre-Laplace极限定理）(定理1的特殊情形)设n(n1,2,)是n重Bernoulli试验中成功的次数，已知每次试验成功的概率为

p0p1，则对xR,有

limP{nnnpnpqx}12ext22dtx。

该定理也可改写为：ab，有limP{annnpnpqb}ba

1第i次试验出现成功证明：令i 则

0第i次试验不出现成功{i}为独立同分布的随机变量序列,且Eip,Dip(1p)均存在显然：ni，此时ni1nnnpnpq 该定理为上定理的一个特殊情形，故由上定理该定理得证。

4.大数定律在数学分析中的一些应用 4.1大数定律在极限、重积分上的应用

大数定律本身便是概率论中非常重要的定理之一，而它与其他数学理论也有密不可分的联系，而且对这些数学理论分支有不可或缺的作用。

大数定律本身便是频率靠近概率的极限理论，是大量随机现象的平均结果稳定于平均值的极限理论。可以说大数定律是利用极限才得出的，同时利用大数定律可以来求解极限，这当然只是众多求极限方法之一，但也有它独特的简洁和巧妙。就以大数定律和极限这个概念的关系为例子，用它来对我们要求的重积分和极限相关的问题进行另一种方式的求解。极限伴随重积分出现的类型在高数中是常见的，在利用大数定律来求解这类重积分的极限的题目前，先介绍一个相关定理。

勒贝格控制收敛定理

设（1）fn是可测集E上的可测函数列；

（2）fnxFxa.e于E（n=1，2，…..，）且Fx在E上可积分（称

； fn 为Fx所控制，而Fx叫控制函数）（3）fnxfx；

则fx在E上可积分且limfnxdxfxdx；

nEEaax1ax2......xn例1：已知ab0，求lim......bdx1......dxn的值。bbnxx2......xn00111解：设x1，……xn，为独立同分布的随机变量序列，xn(n1)服从（0，1）aabbb上的均匀分布，x1a,x2为独立同分布，x1为独立同分布。且 ,......,xn,x2,......,xnExxiadxiExia2ai1,i1

0a1121xiadxi,i1 02a11DxiaExa2iExa2i1a21,i1 2a1a12a1a121 2nn12aDxn1a2a2又 D2222nnn1n12a1a12a1a1由契贝晓夫大数定律可知：当xn是独立的同分布的随机变量序列，且

1n1nDxn，由前面知道是强大数定律可知，limPxEx0k1； k2nnnnn1k1k11na1na由此可知 limxkExk0 nnnk1k11na1即 limxk

nna1k1b又因为0xn1,k1,且ab故有xx,k1，因此xxk。

akbknaknk1k1由此n，有0110aaaaa11xx......xx1ax2......xn12ndx1......dxnbdx1......dxndx1......dxn1 bb00xxb......xbx1bx2......xn12n根据勒贝格控制收敛定理可知：

baax1a......xnPdx1ax2......xnlimbdx......dxlim= 1n0xxb......xbn0nxb......xb12nn111bx1a......xnPd=b1Pdb1Pd limnxb......xba1a11naax1ax2......xnb1即limb。dx......dx1n0xxb......xbn0a112n11可以看出，利用大数定律求解数学分析中的重积分和极限收敛问题有它简洁的一面，也体现了大数定律等概率论等知识的广泛联系和应用。[7]

4.2在生产生活中的应用

例2: 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,假设每箱的平均重50千克,标准差5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977.解答：设n为第i箱的重量(), 由列维-林德伯格中心极限定理,有 YnXi，i1近似地~500050n所以n必须满足N(50n,25n)，P{Yn5000}Φ0.977Φ(2)，5n100010n2，也就是最多可以装98箱. n98.0199，n(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换零件等常需停车.设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 解：某一时刻开动的车床数，X~B(200, 0.6),要求最小的k,使P{0Xk}0.999.由D-L定理，近似地X~N(np,npq)， P{0Xk}Φ(knp0np)Φ()npqnpqP{0Xk}Φ(knp0np)Φ()npqnpqΦ(k120120k120)Φ()Φ()0.999 484848所以若供电141.5千瓦，那么由于供电不足而影响生产的可能性不到0.001，相当于8小时内约有半分钟受影响，这一般是允许的。

某产品次品率p = 0.05,试估计在1000件产品中次品数的概率.次品数X~B(1000,0.05),E(X)np10000.0550，D(X)np(1p)500.9547.5，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,有：P{40X60}Φ(2Φ(1.45)10.853.60504050)Φ()47.547.5次品数：X~B(1000,0.05),E(X)np10000.0550,D(X)np(1p)500.9547.5，P{40X60}Φ(60504050)Φ()2Φ(1.45)10.853.47.547.5若是使用切比雪夫的不等式来进行计算，P{40X60}P{X5010}47.50.525.但是这样的计算并不完整，有点过于保守。102 中心极限定理对保险业更是具有指导性的意义,一个保险公司的亏盈,是否破产,我们通过学习中心极限定理的知识都可以做到估算和预测.大数定律是近代保险业赖以建立的基础.根据大数定律中心极限定理,我们知道承保的危险单位越多,损失概率的偏差越小,反之,承保的危险单位越少,损失概率的偏差越大.因此,保险人运用大数法则就可以比较精确的预测危险,合理的拟定保险费率.下面我们以一道具体的有关保险业的实例来阐述一下大数定律和中心极限定理在保险业中的重要作用和具体应用.14.3在保险中的运用

例 3 ：已知在某人寿保险公司里有10000个同一年龄段的人参加保险,在同一年里这些人死亡率为0.1% ,参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元,死亡是家属可以从保险公司领取2000元的抚恤金.求保险公司一年中获利不少于40000 元的概率;保险公司亏本的概率是多少? 解设一年中死亡的人数为x人.死亡概率为P0.001 ,把考虑10000人在一年里是否死亡看成10000重贝努里试验, 保险公司每年收入为10000*10100000 元,付出2000x元.(1)P(保险公司获利不少于40000 元)P(0x30)10000*0.00110

P(1000002000x)40000

D(x)np*(1p)10*0.9993.161

10x103010}(6.3271)(3.1631)0.99933.1613.1613.161

即保险公司一年中以99.93% 的概率获利400000元以上.(2)保险公司亏本的概率:

010x105010P2000x10000Px501Px501P{}3.1613.1613.161P0x30P{1(1.6542)(3.1641)0.0008

由此可见,我们应用大数定律和中心极限定理的知识可以准确算出保险公司的破产几率.如何降低保险公司的风险以及影响保险公司盈亏的因素是我们需要进一步讨论的.本文仅给出了大数定律和中心极限定理在彩票和保险业的应用, 而在现实生活中大数定律和中心极限定理的应用是非常广泛的,学会使用大数定律和中心极限定理将对我们的学习和生活带来很多帮助.5．结论

随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。

参考文献：

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[4] 许道云秦永彬刘长云.学习《概率论与数理统计》应该注意的若干问题（6）——极限性质及其应用 [J]．《铜仁学院学报》 2011年第6期

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[6] 任敏张光辉.非同分布φ-混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理 [J]．《黑龙江大学自然科学学报》 2011年第6期

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[8] 张鑫．大数定理发展边程初探 [ J]．《科技信息》 2011年第22期 [9] 陈晓材吴群英邓光明周德宏.不同分布φ^~混合序列的弱大数定理 [J]．《平顶山学院学报》 2010年第2期

Law of large numbers and central limit theorem

概率论第一章习题解答篇7

1)记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；

2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；

3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； 4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：1）设小班共有n个学生，每个学生的成绩为0到100的整数，分别记为x1,x２，xn，则全班平均分为xxi1nin，于是样本空间为

12100niS{0，,,}={|i0,1,2,3,100n}

nnnn32）所有的组合数共有C510种，S{123,124,125,134,135,145,234,235,245,345} 3）至少射击一次，S{1,2,3,}

4）单位圆中的坐标(x,y)满足x2y21，S{(x,y)|x2y21}

2.已知AB，P(A)0.3，P(B)0.5，求P(A)，P(AB)，P(AB)和P(AB).解 P(A)1P(A)10.30.7 P(AB)P(A)0.3（因为AB）

P(AB)P(BA)P(B)P(A)0.2

P(AB)P(B)0.5（因为AB，则BA）

3.设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率：

1）只有一件次品； 2）最多1件次品； 3）至少1件次品.12C4C解 1）设A表示只有一件次品，P(A)36.C102)设B为最多1件次品，则表示所取到的产品中或者没有次品，或者只有一件次312C6C4C品，P(B)336.C10C103）设C表示至少1件次品，它的对立事件为没有一件次品，3C6P(C)1P(C)13

C10

4.盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码.（1）求最小号码为5的概率.（2）求最大号码为5的概率.解1）若最小号码为5，则其余的2个球必从6，7，8，9，10号这5个球中取得。C521则它的概率为3.C10122)若最大号码为5，则其余的2个球必从1，2，3，4号这4个球中取得。

2C41则它的概率为3.C1020

5.有a个白球，b个黑球，从中一个一个不返回地摸球，直至留在口袋中的球都是同一种颜色为止.求最后是白球留在口袋中概率.解设最后留在口袋中的全是白球这一事件为A，另设想把球继续依次取完，设

a取到最后的一个球是白球这一事件为B，可以验证A=B，显然P(B).ab

6.一间学生寝室中住有6位同学，求下列事件的概率： 1）6个人中至少有1人生日在10月份； 2）6个人中有4人的生日在10月份； 3）6个人中有4人的生日在同一月份.（假定每个人生日在同各个月份的可能性相同）

解 1）设6个人中至少有1人生日在10月份这一事件为A；它的逆事件为没

11有一个人生日在10月份，生日不在10月份的概率为，则

1211P(A)1P(A)1()6

121112）设6个人中有4人的生日在10月份这一事件为B，则P(B)C64()4()2.12123)设6个人中有4人的生日在同一月份这一事件为C.则

111P(C)12P(B)12C64()4()2

12127.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？

解设A和B分别表示甲和乙射中。C表示目标被射中，则P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.60.50.30.8.P(AC)0.6P(A|C)0.75

PC)0.8

8.某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%.已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂产品的次品率5%.一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率.解设A和B分别表示电灯泡由甲厂和乙厂生产，C表示产品为合格。则P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)0.60.960.40.950.956

9.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女为数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率多少？解设挑选到的人为男性和女性分别为A和B。另设某人是色盲患者为C。由已

1，P(C|A)0.05；P(C|B)0.0025.2P(A)P(C|A)0.50.05则P(A|C)0.952

P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)0.50.050.50.0025

10.甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5，0.7，又设敌机被击中1次，2次，3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1.现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率.解设敌机被击中1次，2次，3次的事件分别为A，B，C.敌机坠毁的事件为Ｄ。则P(D|A)0.2;P(D|B)0.6;P(D|C)1

P(A)0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P(B)0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.51 P(C)0.40.50.70.14

P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)0.360.20.410.60.141知条件，P(A)P(B)0.458

11.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

解三人译出密码分别记为A，B，C。则ABC即为所求事件（三人中至少有一人能将此密码译出）。它的对立事件为ABC。又因为各人译出密码是相互独立的，则P(ABC)1P(ABC)1(11/5)(11/3)(11/4)0.6

12.甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？

解设从甲袋中取出白球记为A，从乙取出白球记为B。

nN1mNn(N1)mNP(B)P(A)PB|A)P(A)P(B|A)mnNM1mnMN1(mn)(MN1)

13.做一系列独立的试验，每次成功的概率为p，求在成功n次之前已经失败了m次的概率.解根据题意，试验在第n+m次是成功的（记为A），前n+m-1次中有m次是失败的（记为B）。而前n+m-1次中有m次失败是一个二项分布B（n+m-1,1-p）, 所求概率为

mmn1mmnP(AB)P(A)P(B)pCnCnm1(1p)pm1(1p)p

14.甲给乙打电话，但忘记了电话号码的最后1位数字，因而对最后1位数字就随机地拨号，若拨完整个电话号码算完成1次拨号，并假设乙的电话不占线.（1）求到第k次才拨通乙的电话的概率；（2）求不超过k次而拨通乙的电话的概率.（设k10）解 1）该问题相当于在0~9这十个数字中不放回抽样，第k次正好抽到所需的数字这一个问题。根据抽签与次序无关的结果，第k次抽到的概率为1/10。2）第二个问题相当于一次性地抓了k个数字，所需数字正好在所抓的数字中这样一个问题。由于每个数字都是等可能被抽到，所需数字落在所抓数字中的概率与所抓的数目k成正比。设Ak表示所需数字在所抓的k个数字中，P(Ak)kC，其中C为常数。P(A1)1/10

（或P(A10)1）可得出C=1/10。所以P(Ak)k/10

15.将3个小球随机地放入4个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为1, 2, 3的概率.解 3个球随机放入4个盒子共有43种放法。盒子中最多个数为1，相当于4个盒

1子中分别有1，1，1，0个球，这种情形的放法共有C43!种（选一个空盒有4

1C43!3种选法，剩下的每盒有一个球相当于全排列）。故P(A1)3

48盒子中最多个数为3，相当于4个盒子中有一个盒子中有3个球，其它3个盒子

1C411没有球。它的放法共有C4种（选一个盒子，放入3个球）。故P(A2)3

416盒子中求的最多个数为2相当于排除以上2种情况而剩下来的情形。P(A2)1P(A1)P(A3)13/81/169/16

16.设有一传输信道，若将三字母A, B, C分别输入信道, 输出为原字母的概率为, 输出为其它字母的概率为(1)/2, 现将3个字母串AAAA, BBBB, CCCC分别输入信道,输入的分别为p1, p2, p3, 且p1+p2+p3=1,已知输出字母串为ABCA, 问输入为AAAA的概率是多少?

(1)(1)2(1)2解 P(ABCA|AAAA)

224(1)(1)(1)(1)3P(ABCA|BBBB)

2228(1)(1)(1)(1)3P(ABCA|CCCC)

2228

2p142(1)2(1)3(1)3(31)p1(1)p1p2p3488p12(1)2

17.证明: 若P(A|B)P(A|B), 则事件A与B相互独立.P(AB)P(AB)，P(A|B)，所以P(AB)P(B)P(B)P(AB)P(B)P(B)即P(AB)[1P(B)]P(B)[P(A)P(AB)] 即P(AB)P(A)P(B)

18.某地区约有5%的人体内携带有乙肝病毒, 求该地区某校一个班的50名学生证明：P(A|B)中至少有一人体内携带有乙肝病毒的概率.解设A为学生携带有乙肝病毒，P(A)0.05.不携带有乙肝病毒为A，P(A)0.95，50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒的对立事件是50名学生都不携带有乙肝病毒，P（50名学生都不携带有乙肝病毒）=0.9550。所以P（50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒）=1-0.9550

19.两人相约于7点到8点之间在某地见面，求一人要等另一人半小时以上的概率.解设X和Y分别为两人的到达时刻。显然，0X60;0Y60。

3030P(|XY|30)0.25

6060

20.从区间（0，1）内任取两个数，求这两数的和小于1.2概率.解设X和Y分别为两个所取的数。显然，0X1;0Y1。

110.80.8/2P{XY1.2}0.68

概率论与数理统计公式整理篇8

随机事件及其概率

（1）排列组合公式

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n

种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

种方法来完成，则这件事可由m×n

种方法来完成。

（3）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：，（7）概率的公理化定义

设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：

1°

0≤P(A)≤1，2°

P(Ω)

3°

对于两两互不相容的事件，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件的概率。

（8）古典概型

1°，2°。

设任一事件，它是由组成的，则有

P(A)=

（9）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

（11）减法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)

当A=Ω时，P()=1-

P(B)

（12）条件概率

定义

设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)

（13）乘法公式

乘法公式：

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有

…………。

（14）独立性

①两个事件的独立性

设事件、满足，则称事件、是相互独立的。

若事件、相互独立，且，则有

若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。

必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

设事件满足

1°两两互不相容，2°，则有。

（16）贝叶斯公式

设事件，…，及满足

1°，…，两两互不相容，>0，1，2，…，2°，则，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。，（，…，），通常叫先验概率。，（，…，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；

次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。

用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率。

第二章

随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为

P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。

显然分布律应满足下列条件：

（1），（2）。

（2）连续型随机变量的分布密度

设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有，则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°。

2°。

（3）离散与连续型随机变量的关系

积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设为随机变量，是任意实数，则函数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（–

∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°；

2°

是单调不减的函数，即时，有；

3°，；

4°，即是右连续的；

5°。

对于离散型随机变量，；

对于连续型随机变量。

（5）八大分布

0-1分布

P(X=1)=p,P(X=0)=q

二项分布

在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。

当时，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量的分布律为，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几何分布

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分布，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

均匀分布

设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]上为常数，即

a≤x≤b

其他，则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。

分布函数为

a≤x≤b

0，xb。

当a≤x1

指数分布,0，其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。

X的分布函数为,x<0。

记住积分公式：

正态分布

设随机变量的密度函数为，其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。

具有如下性质：

1°的图形是关于对称的；

2°

当时，为最大值；

若，则的分布函数为

。

参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，分布函数为。

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。

如果~，则~。

（6）分位数

下分位表：；

上分位表：。

（7）函数分布

离散型

已知的分布列为，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。

连续型

先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。

第三章

二维随机变量及其分布

（1）联合分布

离散型

如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。

设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件{=}的概率为pij，称

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

…

p11

p12

…

p1j

…

p21

p22

…

p2j

…

pi1

…

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；

（2）

连续型

对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a

则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

（1）

f(x,y)≥0;

（2）

（2）二维随机变量的本质

（3）联合分布函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：

（1）

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)

≥F(x,y1);

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

（4）

（5）对于

.（4）离散型与连续型的关系

（5）边缘分布

离散型

X的边缘分布为；

Y的边缘分布为。

连续型

X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

（6）条件分布

离散型

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

连续型

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为；

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

（7）独立性

一般型

F(X,Y)=FX(x)FY(y)

离散型

有零不独立

连续型

f(x,y)=fX(x)fY(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

＝0

随机变量的函数

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

（8）二维均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

图3.1

图3.2

图3.3

（9）二维正态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）～N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y)未必是二维正态分布。

（10）函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：

对于连续型，fZ(z)＝

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。，Z=max,min(X1,X2,…Xn)

若相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：

分布

设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为

我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W～，其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

分布满足可加性：设

则

t分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。

F分布

设，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1,n2).第四章

随机变量的数字特征

（1）一维随机变量的数字特征

离散型

连续型

期望

期望就是平均值

设X是离散型随机变量，其分布律为P()＝pk，k=1,2,…,n，（要求绝对收敛）

设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，（要求绝对收敛）

函数的期望

Y=g(X)

方差

D(X)=E[X-E(X)]2，标准差，矩

①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即

νk=E(Xk)=,k=1,2,….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即

=，k=1,2,….①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即

νk=E(Xk)=

k=1,2,….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即

k=1,2,….切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）期望的性质

（1）

E(C)=C

（2）

E(CX)=CE(X)

（3）

E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4）

E(XY)=E(X)

E(Y)，充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

（3）方差的性质

（1）

D(C)=0；E(C)=C

（2）

D(aX)=a2D(X)；

E(aX)=aE(X)

（3）

D(aX+b)=

a2D(X)；

E(aX+b)=aE(X)+b

（4）

D(X)=E(X2)-E2(X)

（5）

D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)

±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

（4）常见分布的期望和方差

期望

方差

0-1分布

二项分布

泊松分布

几何分布

超几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

t分布

(n>2)

（5）二维随机变量的数字特征

期望

函数的期望

＝

方差

协方差

对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为，即

与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与。

概率论答案