概率论思想（精选10篇）
概率论思想 篇1
一、极限思想在概率论中的应用
1. 频率与概率
定义: 一个实验的样本空间为S, 在相同的条件下可重复进行. 对于样本空间S里的事件E, 记n ( E) 为n次重复试验中E发生的次数, 那么, 该事件发生的概率
即概率P ( E) 定义为E发生的次数占试验总次数的比的极限, 也即发生频率的极限.
由频率定义概率的方法看似很合理, 其实里头的瑕疵也是很明显的. 主要有以下两个问题: ①现实生活中, 我们所做的试验仅有有限次, 不可能无限次地重复下去. ②如何确定n ( E) /n会收敛到一个固定的常数 ( 即我们熟称的频率的稳定值) .
为了解决以上问题, 我们的想法是: 当n足够大时, 频率n ( E) /n与概率P ( E) 有较大偏差的概率很小, 即频率稳定与概率. 用数学语言来讲就是要证明: 对任意的 ε > 0,
由下面的定理可知这完全是可以做到的.
2. 伯努利大数定律
设Sn为n重伯努利试验中事件E发生的次数, p为每次试验中E出现的概率, 则对于任意的 ε > 0, 有
证明因为Sn~ b ( n, p) , 所以E ( sn) = np, Var ( sn) =np (1-p) ,
当n→∞ 时, 上式右端趋于1, 因此
例1 历史上有不少人做过抛硬币试验, 结果我们发现, 出现正面的频率稳定在0. 5, 即当我们大量重复此实验时, 概率无限接近于频率, 这正是伯努利大数定律理论所在.
3. 二项分布的泊松近似
泊松分布在各种各样的领域中有着非常广泛的应用, 这是因为当n足够大, p充分小, 而使np保持适当的大小时, 以 ( n, p) 为参数的二项随机变量可近似看成泊松分布, 从而达到减少二项分布中计算量大的目的. 下面来证明这一定理.
( 泊松定理) 在n重伯努利试验中, 记事件A在一次试验中发生的概率为pn ( 与试验次数n有关) , 如果n→∞ 时, 有n pn→λ, 则
证明记n pn= λn, 即pn= λn/ n, 于是
例2据医学统计生三胞胎的概率为1 /10000, 求在100000 次生育中, 有0, 1, 2 次生三胞胎的概率.
解由题意知生育次数X ~ b ( 100000, 1 /10000) , 所以P ( X = 0) = 0. 000045378; P ( X = 1) = 0. 00045382; P ( X = 2) =0. 0022693. 此时也可用泊松近似计算, X ~ P ( λ) , 其中 λ =np = 10, 故P ( X = 0) = 0. 000045; P ( X = 1) = 0. 000454; P ( X =2) = 0. 002270; 由此可见近似程度很令人满意.
因泊松分布是离散分布, 我们不禁要问, 是否存在连续类型的分布作为二项分布的近似呢, 答案是显然的, 接下来我们来看二项分布的正态近似.
4. 二项分布的正态近似
( 棣莫弗- 拉普拉斯中心极限定理) 设n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中出现的概率为p ( 0 < p < 1) , 记sn为n次试验中事件A出现的次数, 且记
定理表明, 当n很大时近似于标准正态分布, 据此可以对二项分布做近似概率计算, 具体应用请看下例.
例3 某产品次品率p = 0. 05, 试估计在1000 件产品中次品数在40 ~ 60 之间的概率.
解次品数X ~ b ( 1000, 0. 05) , E ( X) = np = 50, Var ( X) = np ( 1 - p) = 47. 5, 由棣莫弗- 拉普拉斯中心极限定理, 有
一个函数最重要, 也是最基本的性质无非就是连续了, 如果连续, 那么求极限时然后就是微分、求导等一系列后续的问题. 分布函数也是概率论中最基本, 分布最广, 最普遍的函数, 因此研究它的一些基本性质对我们的学习是必不可缺的.
5. 分布函数F ( x) 的基本性质
( 1) 单调性: F ( x) 是定义在整个实数轴 ( - ∞ , + ∞ ) 上的单调非减函数, 即对任意的x1< x2, 有F ( x1) ≤F ( x2) .
( 2) 有界性: 对任意的x, 有0≤F ( x) ≤1, 且
( 3) 右连续性: F ( x) 是x的右连续函数, 即对任意的x0, 有
对于这些性质, 还有为什么它不是左连续的, 由分布函数的定义我们就能清楚地知道. 而且我们还知道满足这三条基本性质的函数可以是某个随机变量的分布函数, 从而这三条基本性质成为判别某个函数是否能成为分布函数的充要条件.
例6设连续随机变量X的分布列为试求: ( 1) 系数A.
解由F (x) 的连续性, 有由此解得A=1.
对于二维以及二维以上的联合分布函数也有类似的性质. 这里就不一一赘述了.
6. 随机变量序列收敛性在生活中有着重要作用, 这里我们主要介绍两种: 依概率收敛和按分布收敛
我们研究依概率收敛的主要目的是为了解决生活中一些难以计算的事件概率, 其中, 最典型的就是n重伯努利事件了, 当n很大时, 我们根本难以计算, 因此研究它的极限对我们来说是一个非常不错的想法.
定义1 设{ Xn} 是一随机变量序列, X为一随机变量, 如果对任意的 ε > 0, 有
P ( | Xn- X | ≥ε) →0 ( n→∞ ) , 则称序列{ Xn} 依概率收敛于X, 记作
依概率收敛的直观含义是Xn对X的绝对偏差不小于任一给定的可能性将随着n的增大而越来越小.
性质设{ Xn} { Yn} 是两个随机变量序列, a, b是两个常数, 如果
有了上面概率极限的定义, 那我们自然会思考, 分布函数序列是否也存在极限呢, 答案是显然的, 但我们通过研究发现在函数的间断点时, 它是不收敛的.
定义2设随机变量X, X1, X2, …的分布函数分别为F ( x) , F1 ( x) , F2 ( x) , …. 若对F ( x) 的任一连续点x, 都有则称{ Fn ( x) } 弱收敛于F ( x) , 记作也称{ Xn} 按分布收敛于X, 记作
由性质 ( ⅰ) ( ⅱ) 可知, 依概率收敛与按分布收敛是不等价的, 这是显然的. 例如设随机变量X的分布列为P ( X = -1) = 0. 5, P ( X = 1) = 0. 5, 令Xn= - X, 则Xn与X同分布, 即Xn与X有相同的分布函数, 故但对于任意的0 < ε <2, 有P ( | Xn- X | ≥ε) = P ( 2 | X | ≥ε) = 1, 所以Xn不是依概率收敛于X.
例7 设随机变量序列{ Xn} 独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且E ( Xn) = μ, 证明:
证明因为{ Xn} 方差存在, 记Var ( Xn) = σ2, 令则
对任意的 ε > 0, 由切比雪夫不等式得
二、概率论思想在极限中的应用
极限是研究数学的基础, 所以与极限有关的计算显得尤为重要, 然而大部分求极限的题目难度较大, 如果采用传统的思维进行分析, 计算量不仅大, 而且结果还不一定正确, 但对于某些类型的题目, 如果采用概率论思想解答, 则效果非常明显. 下面通过几个求例子来感受一下概率论思想的奥妙.
解法1:数学分析方法.
法2:概率论方法.
接下来我们来回顾一下数学分析中级数求极限的几种基本方法.
①迫敛性 ( 夹逼定理)
②裂项相消
③定积分思想
解把此极限式化为某个积分和的极限式, 并转化为计算定积分. 为此作如下变形:
④ 四则运算法则
对于该类复杂的级数求和, 我们可以通过转化求一个比较简单数列的极限, 然后运用四则运算法则则可轻易突破此类题目.
当然还可以用到我们的级数理论求另类题目, 限于篇幅, 这里就不一一列出, 感兴趣的话可以参考文献[用级数理论求极限], 王书营.
通过以上的几道题目的求法, 我们是否对求级数极限这类题目有了新的领悟呢? 接下来我们来看看下面的几道题目.
分析通过观察该式子, 我们发现它与上面讲过的几种题型最大的区别在于它含有阶乘项, 含阶乘项的式子在数列中求极限就比较困难了, 更何况是在级数求和中, 因此, 此题, 乃至下面的例10, 若采用传统的数学分析方法来做, 效果肯定不太理想, 但如果我们用概率论思想, 赋予它概率直观意义, 则效果显著.
泊松分布在离散型随机变量分布中占有重要地位, 对于一些极其复杂的极限计算问题, 如果充分利用它的一些性质并结合某些定理 ( 如中心极限定理) , 则可大大降低题目难度, 提高解题效率.
结语: 通过对以上知识的了解, 我们发现概率论与极限不是单独存在, 而是相互关联的, 所以将其关系理清、融合, 做题时充分利用它们之间的联系, 化繁为简, 化难为易, 会更有助于我们的学习.
摘要：极限思想和概率论思想作为两种重要的数学思想, 在研究数学, 应用数学以及推动数学的发展上起到了至关重要的作用.本文主要论述以下两个方面:一、侧重论述了概率论中的一些概念, 性质, 以及定理来展示极限思想在《概率论》中的应用;二、应用概率论思想解决一些与极限有关的问题.
关键词：概率论思想,极限思想,应用
参考文献
[1]概率论与数理统计教程/茆师松, 程依明, 濮小龙.-2版.-北京:高等教育出版社, 2011.2
[2]概率论基础/李贤平.-3版.-北京:高等教育出版社, 2010.4
[3]概率论习题集/ (俄罗斯) 施利亚耶夫, 苏淳译.-北京:高等教育出版社, 2008.1
[4]概率论在极限问题中的应用/毕力格图, 常桂花, 2006.
转化思想帮你求概率 篇2
例1（2007年·江苏）如图1，电路上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光．
（1） 任意闭合其中1个开关，小灯泡发光的概率等于[ ]．
（2） 任意闭合其中2个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
点拨：本题可以把A、B、C、D 4个开关看做一个袋子中的4个小球，第一问就类似于求从袋中一次摸球摸到D球的概率；第二问类似于从袋中两次摸球，且第一次摸到的球不放回的情形，可以通过画树状图或列表表示出所有等可能的情形，再确定出能发光的情形即可.
解：（1）． （2）画出树状图，如图2．
由图2知，任意闭合其中2个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，所以小灯泡发光的概率为＝．
即学即练
1． 九年级1班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．
（1）男生当选班长的概率是[ ]；
（2）请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．
概率论思想 篇3
19世纪后半叶, 随着数学基础的逐步加强, 俄罗斯开始形成自己的数学学派, 这就是以切比雪夫 (P.L.Chebyshev, 1821-1894) 为首的圣彼得堡概率论学派。该学派的中流砥柱则是马尔可夫 (A.A.Markov, 1856-1922) 和李雅普诺夫 (A.M.Lyapunov, 1857-1918) 。他们师徒互相合作, 分别用矩方法和特征函数法第一次严格证明了中心极限定理, 发展了中心极限定理理论, 奠定了现代概率论的基础。正是圣彼得堡概率论学派把概率论从濒临衰亡境地挽救出来, 并恢复为一门数学学科。
然而, 目前国内外系统研究中心极限定理思想者还较少, 尤其是对圣彼得堡概率论学派的概率思想介绍仅见于一般数学通史著作中, 这无疑是一个缺憾。鉴此本文在解读有关讲义、文集和其他原始相关文献的基础上, 系统探讨了圣彼得堡概率论学派的中心极限定理思想, 力图对其研究过程中概率思想的发展提出更为合理的诠释。
一正态分布和中心极限定理的提出
极限定理源于伯努利试验概型。在伯努利试验中, 若以μn记n次独立试验中随机事件A出现的次数, 则μn/n便是在这n次试验中事件A出现的频率, 故讨论频率μn/n的极限行为是理解概率论中最基本概念——概率所不可缺少的。
为研究μn的极限行为, 可讨论其分布。但由于Eμn=np, Dμn=npq, 对于固定的x来说, P (μn
误差分析是概率论的生长点之一。若把随机变量总和中的每项看作小的“基本误差”, 则中心极限定理就为观察误差中正态分布的发生给出解释。高斯 (C.F.Gauss, 1777-1855) 于1809年在研究测量误差时再次发现了正态分布。
拉普拉斯很快得知高斯的研究成果, 并将其与中心极限定理联系起来。为此, 他在即将发表的一篇文章 (发表于1810年) 上加了一点补充, 指出若误差可看作许多量的叠加, 据中心极限定理, 则误差理应服从正态分布。这是历史上首次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、种种原因产生的元误差叠加而成, 这也是中心极限定理的第一次应用[3]。
二中心极限定理的第一次严格证明和发展
正态分布作为一种统计模型, 在19世纪极为流行, 一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。故需要通过对中心极限定理的研究来阐明其相关理论、适用条件和发展空间。圣彼得堡概率论学派充分认识到中心极限定理的重要性, 率先对其展开了研究。
(一) 母函数法证明中心极限定理
虽切比雪夫仅发表了4篇关于概率论的论文, 但其影响难以估量。正是切比雪夫给门庭冷落的概率论带来了勃勃生机, 其概率思想引发了古典概率论的变革[4]。
切比雪夫对概率论的研究可分为两个阶段: (1) 攻读硕士学位阶段 期间, 受布拉斯曼 (N.D.Brashman, 1796-1866) 的影响, 对概率论产生兴趣并写下有关的硕士论文。 (2) 讲授概率论课程阶段 切比雪夫深受法国数学家比埃奈梅 (J.Bienaymé, 1796-1878) 和俄罗斯数学界元宿布尼亚科夫斯基 (V.Y.Buniakovsky, 1804-1889) 的影响。布尼亚科夫斯基从1850年到1859年退休一直讲授概率论这门课程。当切比雪夫接替布尼亚科夫斯基讲授概率论时, 再次把研究兴趣聚焦在概率论。关于中心极限定理的证明, 切比雪夫发表于1887年, 但他在讲授概率论时用母函数给出该定理的一个证明。
母函数在19世纪被拉普拉斯引进, 它是概率论中第一个被系统应用的变换法。该方法在整数值随机变量场合很有用, 是特征函数的先导, 由此发展起来的Z变换法已成为解决许多问题的重要方法。母函数最基本的性质是独立随机变量和的母函数等于原母函数的乘积, 这给计算带来了方便。切比雪夫所给证明为[5]:
设随机变量X, Y, Z, …, 取值于xi, yi, zi, …, 的概率分别为pi, qi, ri, …, (i=1, 2, …, n) 。
undefined
利用母函数性质得到
undefined
因B是方差之和, 故为正数且随着随机变量个数的增加而递增。切比雪夫假定积分上限为无穷大, 则有
undefined
进而得到积分定理
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切比雪夫注释到, 为了严格证明, 这里做了一些假设, 因而就会导致产生一些错误。从目前看, 当时的数学工具还不能导出满意的边界值。
(二) 矩方法证明中心极限定理
1.矩方法思想及其发展
比埃奈梅在1833年向巴黎科学院递交的一篇论文中, 将力学中矩的概念作了推广, 并给出现今所谓的切比雪夫不等式。1867年, 切比雪夫将论文“论均值”同时以俄语刊登在《圣彼得堡数理学报》, 和以法语发表在《刘维尔杂志》上。直到发表后, 切比雪夫方知比埃奈梅早已给出了相关证明。刘维尔 (J.Liouville, 1809-1882) 将比埃奈梅的论文刊登在切比雪夫的论文前面, 并给出编者按, 暗示这两篇文章的相互联系。切比雪夫立即意识利用矩方法可解决许多困难的极限估计问题, 并试图应用于中心极限定理的证明。
1874年, 切比雪夫在递交给法国学术会议的论文《关于积分的极限值》 (Sur les valeurs limites des intégrales) 中, 指出矩方法的精髓:
“这个方法以∫undefinedf (x) dx, ∫undefinedxf (x) dx, ∫undefinedx2f (x) dx, …来确定积分值∫undefinedf (x) dx。这里A>a, 且f (x) 是未知函数并假定在积分区间内恒为正值。”[6]
切比雪夫通过连分数收敛于级数的形式分解, 给出积分
undefined
的取值范围及一些不等式, 但没有详细证明。
马尔可夫对切比雪夫的矩问题作了深入研究。在1884年的《某些切比雪夫积分的证明》 (Démonstration de certaines inégalités de M.Tchebycheff) 论文中, 马尔可夫给出了这些不等式的严格证明, 并在同年通过的博士论文第三部分给出了切比雪夫问题的完整解答。后又在1897年的一系列论文中作了进一步的阐述, 其中最为重要的一篇是《关于矩的L问题》 (L-проблема моментов) 。文中他把切比雪夫问题拓广为:
已知 (1) mk=∫baxkf (x) dx (k=0, 1, 2, …, n+1)
(2) 0≤f (x) ≤L (L为常数)
(3) g (x) 为 (a, b) 上的已知实函数
来确定积分∫baf (x) g (x) dx对所有f (x) 的最值。[7]126
这里出现了泛函的雏形。马尔可夫在g (x) 前n+1阶导数存在且在 (a, b) 上不变号的条件下解决了问题。
荷兰数学家斯捷尔吉斯 (Th.J.Stieltjes, 1856-1894) 同时也进行了类似研究, 他给出了与马尔可夫相近的结果。俄罗斯数学界宣称拥有优先权。斯捷尔吉斯声称未见马尔可夫的论文, 也不知切比雪夫所提问题。后马尔可夫与斯捷尔吉斯成为好朋友, 他们频繁交流在矩理论以及有关内插法、构造积分、余项估价和连分数等方面的新成果。
斯捷尔吉斯综述了有关研究结果, 并解决了无穷区间 (0, ∞) 上的矩问题, 给出所要寻找函数的一切整数阶矩的连分数表达式。马尔可夫在1895年发表的《某些连分数收敛性的两个证明》 (Deux démonstrtions de la convergence de certaines fractions continues) 中, 给出了斯捷尔吉斯连分数收敛的充要条件。[8]
2.中心极限定理的切比雪夫矩方法证明
1887年, 切比雪夫的论文《论概率论中的两个定理》 (О двух теоремах относительно вероятностей) 作为圣彼得堡科学院院刊附录而问世, 在1890以法语发表在《数学学报》上。切比雪夫利用矩方法来证明中心极限定理。他的命题很正确, 尽管证明中有些漏洞。切比雪夫注释到, 他没有给出定理的严格证明, 但应用Chebyshev-Hermite多项式的渐进展开可以得到更严密的证明。[9]
设随机变量序列ξ1, ξ2…ξn…, 其均值皆为0, 将其标准化undefined, 相应k阶矩记为mk, 而标准正态分布的k阶矩记为μk。
按照切比雪夫的观点, 要证明中心极限定理, 需要证明
(a) 当n→∞时, 对任意k, 有mk→μk;
(b) 对任意k, 若有mk→μk, 则Fξn (x) →Φ (x) , 这里Φ (x) 为标准正态分布的分布函数[10]。
马尔可夫于1884年证明了切比雪夫所给出的一些不等式, 这无疑加快了切比雪夫的研究。在1886年, 切比雪夫证明若mk=μk, 则有F (x) =Φ (x) 。他认为该条件等价于 (b) , 但马尔可夫不赞同。
1887年, 切比雪夫又证明了 (a) 。最终切比雪夫所给中心极限定理为[11]:
若 (1) u1, u2, …un, …为随机变量列, 且Eui=αundefined=0 (i=1, 2, …)
(2) 设Euundefined=αundefined=0 (i=1, 2, …) , 且对所有k一致有界。则有
undefined
这里把 (b) 转换成了 (2) 。切比雪夫所给的条件是不严密的。他没有说明随机变量必须是相互独立的, 这是沿用了当时的学术研究习惯。他没有考虑到当n→∞时, 表达式 (1/n) ∑undefinedαundefined可能趋于0, 在这种情况下, 结论是错误的。第 (2) 条太苛刻, 它依赖于矩的阶数, 事实上没有必要要求对所有k成立。正是由于这个条件使证明变得相当繁杂。
切比雪夫还提出了估计中心极限定理中有关收敛速度的问题。他猜想:在一定条件下, 有可能依照n-1/2的方幂渐进展开独立随机变量和的分布函数, 这里n为随机变量和的项数。这一猜测被后来的研究所证实。
3.中心极限定理的马尔可夫矩方法证明
马尔可夫认为, 切比雪夫在1887年所给中心极限定理的证明存在某些缺陷。在给圣彼得堡数学学派的另一成员, 喀山大学的瓦西里耶夫 (A.V.Vassilyev, 1853-1929) 的信中, 马尔可夫写道:
“在较长一段时间内, 切比雪夫正在证明的定理被认为是无误的。实际上, 他所给的是一不精确的过程, 之所以没有说其为证明, 因我认为那是一个不严密的证明。定理的由来简洁易懂, 而切比雪夫以初等工具为基础, 把问题变得复杂化了。这样自然有了疑问, 是否二者本质上一致?可否给出严格的证明?你对切比雪夫工作的研究, 加强了我很久以来的愿望, 那就是在简化整个证明过程的同时, 确保切比雪夫分析的精确化。”[7]128
他特别称老师的结果为“切比雪夫正在证明的定理”, 这封信后来以《大数定律和最小二乘法》 (The law of large numbers and the method of ledst squares) 为题发表在1898年的《喀山大学数理学报》上。同年, 马尔可夫在另一论文《论方程undefined的根》 (Sur les racines deundefined中, 尽力精确地陈述并证明了切比雪夫所提出的命题。改进后的方法被人称作切比雪夫-马尔可夫方法。
马尔可夫把切比雪夫原条件:当n→∞时, 对任意k, 有mk→μk改为:
(1) 对任意k, Eξundefined, Eξundefined, …有界; (2) 对所有n, D (ξ1+…+ξn) ≥cn, c>0。
相应计算以多项式 (x1+x2+…+xn) 2的展开式为基础, 以连分数为工具进一步分析了切比雪夫不等式。马尔可夫通过实例验证条件 (2) 是不可忽略的, 但切比雪夫没有注意到这一点[12]。
马尔可夫认为, 需要添加条件, 一个是随机变量序列相互独立, 再者
undefined
即上述极限存在且不为0。他给出一随机变量相互独立的简化表达式
undefined
马尔可夫宣称用上述条件, 可以导出中心极限定理[13]。即若对任意自然数m, 有
undefined
则
undefined
马尔可夫称上述定理是他和切比雪夫共同创立的。他应用狄利克雷不连续因子建立了这个定理, 并承认证明是不严格。
这样, 马尔可夫所给的中心极限定理为[14]:
设相互独立的随机变量序列ξ1, ξ2, …, ξn, …, 记undefined
undefined
对r≥3的所有整数有
undefined
则
undefined
不久, 马尔可夫就将原来的条件
undefined
换成下述不等式
undefined
他还证明, 对独立随机变量序列ξ1, ξ2, …, ξn, …, 若有二阶矩bk, k=1, 2, …, 存在绝对矩Eξundefined≡bundefined, α=3, 4, 5, …, 则使得下式成立
undefined
1908年, 马尔可夫再次扩展了矩方法的应用, 并证明了中心极限定理[14]362。此时, 他把定理的条件换成李雅普诺夫条件:
undefined
至此, 矩方法严格证明中心极限定理获得圆满成功。
(三) 特征函数法证明中心极限定理
李雅普诺夫虽仅发表两篇关于概率论的论文, 但在概率论发展中却具有划时代重要作用。在大学三、四年级时, 李雅普诺夫曾系统地听了切比雪夫的概率论课, 对老师当年在讲到极限定理证明时的一段话有着深刻印象。切比雪夫当时说:
“我们在证明时做了种种假设, 但却未能顾及出由此而产生的误差, 因而结论是不严密的。然而在目前, 我们还无法采用任何令人满意的数学手段来证明这些结论。”[15]
李雅普诺夫不像马尔可夫那样深受切比雪夫的影响, 他有一套独特的思维方法, 被切比雪夫誉为“超越方法”。正是他不同凡响的方法激起马尔可夫“暴风雨般的技巧”。
马尔可夫对中心极限定理的证明要求对任何整数p>2, 独立随机变量序列的p阶矩在一定意义下的平均值Mundefined→0 (n→∞) 。能否找到适当的δ>0 (δ不一定是整数) , 以p=2+δ阶矩的性质来代替马尔可夫的条件呢?这便是李雅普诺夫所考虑的问题。
李雅普诺夫在1900年发表的《概率论的一个定理》 (Sur une proposition de la théorie des probabilités) 论文中指出, 矩方法过于复杂和笨拙, 因而应从一个全新的角度去考察中心极限定理, 并引入了特征函数这一有力工具, 而利用特征函数法来证明中心极限定理, 其证明方法与现在用于素数理论中的方法相类似, 避免了矩方法要求高阶矩存在的苛刻条件[16]。
李雅普诺夫首先将δ取作1, 试图仅用Mundefined→0 (n→∞) 来代替马尔可夫的条件, 但是由于推算中的困难, 他不得不做了某些让步, 另外加上所有随机变量的3阶矩一致有界等条件, 从而部分实现了用3阶矩的存在去代替一切矩存在的拓广。接着, 他又于1901年发表的《概率论极限定理的新形式》 (Nouvelle forme du théorème de probabilité) , 对0<δ≤1的任意δ都证明了中心极限定理。
李雅普诺夫的成功, 其意义不仅在他所证明定理的内容, 更在于证明过程中所创造的一种崭新方法——特征函数法。与矩方法相比, 特征函数法显得更灵活、更具一般性。而且通过特征函数实现了数学方法上的革命, 为中心极限定理的进一步精确化奠定了基础, 为概率论学科的飞跃发展准备了条件。
所谓特征函数方法, 就是对每个随机变量 (或其分布函数) 作傅里叶变换, 得到实变数的复值函数。在此变换下, 相互独立的随机变量和的特征函数等于随机变量特征函数的乘积。这就为研究独立随机变量和的极限分布提供了一个简便有力的工具。因为独立随机变量和的分布是各加项分布的卷积, 而在加项数目趋于无穷的场合, 对卷积作数学处理是比较困难的, 为此切比雪夫和马尔可夫才设法通过矩来考察其一般规律, 所以矩方法所损失的信息过多。特征函数方法则保留了随机变数分布规律的全部信息, 同时提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间一一对应的关系。因而这一方法的引入使独立随机变数和的弱极限理论获得了疾足长进的机会。李雅普诺夫中心极限定理为:
设ξ1, ξ2, …, ξn, …是相互独立的随机变量序列, 且具有有限的数学期望和方差:
E (ξk) =μk, D (ξk) =σundefined≠0, (K=1, 2, …) 记undefined, 若存在正数δ, 使得
(1) dn=E|ξn|2+δ有界;
undefined, 则对于任意x∈ (-∞, +∞) , 随机变量undefined的分布函数Fn (x) 均有:
undefined
上述定理表明, 当n→∞时, Zn服从标准正态分布N (0, 1) 。[17]
定理的条件已接近于充要条件。尽管条件 (2) 类似于切比雪夫和马尔可夫所给条件, 但条件 (1) 比切比雪夫和马尔可夫所给条件要宽松得多, 没有要求3阶及以上矩存在[18]。
在证明中, 李雅普诺夫利用了引理:
设Fn (t) 是随机变量zn的分布函数, 且Ezn=1, Dzn=0。若zn的特征函数E[exp (iθzn) ]在任何关于原点对称的有限区间上一直收敛于正态分布的特征函数undefined, 则对所有t, 有Fn (t) →Φ (t) 。
尽管李雅普诺夫未明确提出上述引理, 但已含有其证明。后林德贝格 (J.W.Lindeberg) 和莱维 (Paul Lévy, 1886-1971) 都深受其启发, 进而给出中心极限定理的更完善发展。林德贝格直率地承认李雅普诺夫的优先权, 并致以感谢。而勒维及其他法国数学家始终未认可俄罗斯数学家的贡献。
深受泊松和柯西的影响, 很早以前李雅普诺夫就引进了特征函数和狄利克雷间断因子。这里他利用特征函数精确描述了中心极限定理的条件, 第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。这是对拉普拉斯和切比雪夫方法的发展。
另外一个从理论和应用上都应当关心的问题是, 仅知道某个概率分布渐近正态分布是不够的, 还必须知道换成正态分布后误差有多大。李亚普诺夫又给出了这个误差的一个上限, 并准确估计出正态分布随机变量和收敛的速度。[19]
后马尔可夫一直追求恢复矩方法的声誉。由于李雅普诺夫放弃了随机变量所有矩存在的条件, 马尔可夫也不得不弃之。但利用矩方法这是最基本的条件, 是无法超越的障碍。
经过8年的努力马尔可夫终于获得成功, 在《论院士李雅普诺夫所建立的概率极限定理》 (Теорема о пределе вероятности для случаевакадемика А.М.Ляпунова ) 一文中, 他创造了一种“截尾术”, 即在适当的地方截断随机变量使其有界, 这样就可以既不改变它们和的极限分布, 又能保证其任意阶矩的存在。这一成果不仅克服了特征函数法过分依赖独立性的弱点, 开辟了通向非独立随机变量研究的道路, 而且突破了特征函数仅适用于弱极限理论范畴的局限, 为强极限理论发展提供了有力的手段。应用这一技术, 马尔可夫一举实现了他多年来精确论证中心极限定理的理想, 其研究成果被收入其《概率演算》的第3版中。马尔可夫和李雅普诺夫关于概率论方法论的竞争, 极大地丰富了本世纪初概率论的内容, 对该学科的现代化产生了深远的影响。今天, “截尾术”与“对称化”、“中心化”成为现代极限理论中的三大技术, 发挥着难以估量的作用。
三结束语
圣彼得堡概率论学派所从事的中心极限定理研究还属于古典极限定理范畴。当时这门学科的基础尚未奠定, 一些重要的理论工具如集合论、测度论也不具备, 甚至概率论本身也隐藏着循环推理的致命内伤, 贝特朗 (J.Bertrand, 1822-1900) 悖论又使几何概型陷入困窘的境地。圣彼得堡概率论学派正是在这荆棘丛生、危机四伏的环境中开出一条新路。他们所完成的方法论基本变革不仅满足于严格证明的要求, 而且能够随时精密地估计试验的结果。切比雪夫引出的一系列概念和研究题材为俄罗斯以及后来苏联的数学家继承和发展。马尔可夫对“矩方法”作了补充, 圆满地解决了随机变量的和按正态收敛的条件问题。李雅普诺夫则发展了特征函数方法, 从而引起中心极限定理研究向现代化方向上的转变。
高中概率题中的数学思想方法运用 篇4
关键词：高中数学；概率；数学思想方法
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-231-02
从某种意义上说，数学教学是数学活动的教学。数学思想方法是数学活动的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。引导学生领悟以数学知识为载体的数学思想方法，是现代数学教育的重要观点之一。忽视数学思想方法的教学，就可能会拘泥于细节而丢弃精髓。数学知识（例如数学概念的定义、数学定理的逻辑证明、数学体系的逻辑结构等）反映的多是结果，而数学思想方法反映的多是得出结果的过程。为了使学生有更大的发展潜能，对于“过程”的教学应该充分重视。数学知识与数学思想方法在教学中的有机结合，是需要进一步探讨的问题。
概率问题中蕴含着丰富的数学思想及方法。本文拟通过几道例题的解析，就概率问题中的数学思想方法作一些粗浅的探讨。
“认识概率”中的数学思想方法 篇5
一、枚举思想
枚举思想是解决概率问题的一个重要思想方法,一些简单的问题,通过枚举法即可获解.
例1 (2014·金华)一个布袋里面装有5个球,其中3个红球,2个白球,每个球除颜色外其他完全相同,从中任意摸出一个球,是红球的概率是( ).
A.1/6B.1/5C.2/5D.3/5
【分析】首先根据题意利用枚举法可得,摸出的球可能是红1,红2,红3,白1,白2,共五种情况,所以是红球的概率为3/5.
【答案】选D.
【点评】本题中“袋中的五个球”被抽到的可能性相等,且该实验出现的结果为有限多个,从而应用“枚举思想”解决了本题.这两个特点也正是能运用枚举法求解的两个基本特征. 另外,本题还巩固了简单概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=m/n.
二、方程思想
方程思想是指解决数学问题时,先分析问题中的等量关系,设出未知数,建立方程或方程组,然后求解方程(组),使原问题获解.这一思想方法,在概率解题中应用广泛.
例2 (2014·泰州)某篮球运动员去年共参加40场比赛,其中3分球的命中率为0.25,平均每场有12次3分球未投中.
(1)该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球?
(2)在其中的一场比赛中,该运动员3分球共出手20次,小亮说,该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球,你认为小亮的说法正确吗?请说明理由.
【分析】(1)设该运动员共出手x个3分球,则3分球命中0.25x个,未投中0.75x个,根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛,平均每场有12次3分球未投中”列出方程,解方程即可;
(2)根据概率的意义知某事件发生的概率,就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值,由此加以理解即可.
解:(1)设该运动员共出手x个3分球,根据题意,得0.75x/40=12,解得x=640,
0.25x=0.25×640=160(个).
答:该运动员去年的比赛中共投中160个3分球.
(2)小亮的说法不正确.
3分球的命中率为0.25,是相对于40场比赛来说的,而在其中的一场比赛中,虽然该运动员3分球共出手20次,但是该运动员这场比赛中不一定投中了5个3分球.
【点评】此题考查了一元一次方程的应用及概率的意义. 解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程及正确理解概率的含义.
三、函数思想
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.
例3 (改编)已知一纸箱中装有5个只有颜色不同的球,其中2个白球,3个红球.
(1)求从箱中随机取出一个白球的概率是多少?
(2)若往装有5个球的原纸箱中,再放入x个白球和y个红球,从箱中随机取出一个白球的概率是1/3,求y与x的函数解析式.
【分析】(1)从装有5个只有颜色不同的球的纸箱中摸出一个球,共有3+2=5(种)不同的结果,其中摸到白球的结果有2个,所以取出一个白球的概率是2/5;
(2)往装有5个球的原纸箱中,再放入x个白球和y个红球后,箱中共有球5+x+y(个),其中白球2+x(个),根据取出一个白球的概率是1/3列出关于x、y的方程,然后用含x的代数式表示y,即可得到y与x的函数解析式.
解:(1)取出一个白球的概率
(2)∵取出一个白球的概率
【点评】函数思想是一种重要的数学思想方法. 函数思想的实质是用联系和变化的观点研究数学对象,并抽象其数量特征,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决. 这种思想方法的特点在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量进行动态研究.
四、数形结合思想
数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”“数”和“形”之间有着密切的联系,在一定条件下,可以相互转化,相互渗透. 根据研究问题的需要,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,进而探求问题的解答的思想方法即数形结合的思想方法. 本章中,利用表格、频率分布折线图、图形面积等探求概率的过程,便体现了“数形结合的思想方法”.
例4 (2014·邵阳)有一个能自由转动的转盘如图1,盘面被分成8个大小与形状都相同的扇形,颜色分为黑白两种,将指针的位置固定,让转盘自由转动,当它停止后,指针指向白色扇形的概率是______.
【分析】只要先弄清黑色区域面积和整个图形的面积关系即可.
【解答】根据题意,这个转盘是将“圆平均分成了8份”而制得,所以圆分得的8块图形的面积相等,故黑色区域的面积是整个图形面积的一半.所以,转盘指向白色区域的可能性为1/2.
【点评】本题借助图形面积使问题获解,体现了数形结合的思想,同时本题解答时也渗透了“整体的数学思想”.
五、分类讨论思想
在解决一些稍复杂的概率问题时,如问题中含有多种可能的情况,往往需要考虑各种情况对应的结果数,这就需要进行分类讨论.
例5 (改编)已知关于x的不等式ax+3>0(其中a≠0).
(1)当a=-2时,求此不等式的解,并在数轴上表示此不等式的解集;
(2)小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片,上面分别写有整数-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1,将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上. 从中任意抽取一张,以卡片上的数作为不等式中的系数a,求使该不等式没有正整数解的概率.
【分析】(1)当a=-2时,不等式ax+3>0为-2x+3>0,解之得x<3/2;
(2)当a取-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1时分别计算ax+3>0的解集,只有当a=-1和a=-2时,不等式有正整数解,取其他值时,不等式没有正整数解,所以该不等式没有正整数解的概率是8/10=4/5.
解:(1)x<3/2,在数轴上正确表示此不等式的解集如图2所示.
(2)用列举法
取a=-1,不等式ax+3>0的解为x<3,不等式有正整数解.
取a=-2,不等式ax+3>0的解为x<3/2,不等式有正整数解.
取a=-3,不等式ax+3>0的解为x<1,不等式没有正整数解.
取a=-4,不等式ax+3>0的解为x<3/4,不等式没有正整数解.
……
∴整数a取 -3至 -10中任意一个整数时,不等式没有正整数解.
∴P(不等式没有正整数解)=8/10=4/5.
休谟的概率思想探赜 篇6
一“三位一体”的概然性
在《人性论》和《人类理解研究》中,休谟细致剖析了概然性。在论证的不同阶段,休谟均提及了概然推断。可见概然性在休谟哲学中的重要地位。
首先,休谟的哲学体系需要概然性。假使缺少概然性的参与,便无法解释为何可将恒常结合看作因果的常态。[2]21“休谟的推理概念不是从已观察事物到未观察事物的推理,而是从因到果的推理。”[3]休谟最初假定,因果关系表现为对象之间必然的联系,但是,“必然”、“恒常”的秩序在客观世界中并不现实,“多数”、“通常”才是 经验世界 的可能状态。[2]21在经验世界中,很难体验到一成不变的秩序,纵然不同对象总是结合在一起,心灵也不认定这种结合是必然联系。因此,休谟的哲学亟须概然性的支撑,即使对象之间的联结是通常的,也远不是恒常的。
其次,休谟对知识的划分有赖概然性,由此析出的经验推移的合理性问题是诸多哲学讨论的开端。根据洛克的知识分类,解证处于观念层面,概然性的适用对象则是经验,两者之间不存在转变问题。在休谟看来,尽管不同的事实推理得以成立的依据均为经验,结论为真的程度却不尽相同。休谟对洛克的观点进行了扬弃,将概然性重新区分为证明与概然推断。证明和概然推断的基础都是经验,二者的确证程度不同。证明是基于完全经验的论证,占有充分的信度,概然推理却是或然的。那么,主体的信念增强到什么程度能使概然推断上升为证明? 倘若存在着从可能信念到确定知识的过渡,就必须对过渡阶段进行描述。休谟对概然性的分析开启了一片新领域,他是这一领域的第一位哲学探索者。尽管只是初次尝试,休谟确实意识到了概然性的重要作用。归纳逻辑的发展历史也表明,休谟所开创的领域在后来的统计学、归纳悖论以及确证,甚至知识的合理接受难题中均会涉及。
再者,机会理论是休谟理论体系的重要组成部分,而休谟是从概然性角度谈论机会的。在《人性论》中,休谟说机会是隐秘的原因。此后他又声明:任何开始的存在都应当有原因,这并没有绝对的或形而上学的必然性。[4]197这两种说法似乎存在着矛盾,休谟怎么可以确定任何机会都有隐秘的原因?耶恩·哈金( Ian Hacking) 说,准确的表述应是任何事实背后都有或可能有一个原因。[2]24休谟了解机会世界里充斥着原因,却没认识到原因背后也隐藏着机会。但是,他着实在机会与原因之间进行了对比,并将机会作为论证原因非恒常结合性的模型。休谟的机会理论蕴涵在概然性中。
因此,从宏观的历史视域来看,概然性至关重要,从微观的因果理论出发,概然性必不可少。这种必要性体现在三个层次,在不同层次中,概然性的含义不同。在第一个层面,概然性是与恒常结合照应的通常结合,界定了因果关系的非恒常性。在第二个层面,概然性指代概然推断,是论证的一个种类,与必然的解证和确定的证明存在着确信程度的差异,将具有合理根据的命题置于必然的真理和必然的荒谬之间。经验推理可以得到假说,即使假说不具备确定性,却有成立的可能性,人们对此持有置信度,这是对认知概率的说明。在第三个层面,概然性扮演先验角色,依靠主体的无差别信念来界定等概率事件。在机会理论中,休谟以掷骰子为例,描述了等可能的物理概率。这三种概然性并非彼此孤立,在机会与原因的概然性中,概然推断也必不可少。休谟的概然性是非恒常结合、概然推断和先验概率的三位一体,呈现了概率的古典状态。
二信念的等级
休谟将概然性分为两类,一种关于机会,一种关于原因。机会与原因内在相关,机会是隐秘的原因,关于原因尤其是相反原因的案例,也可以视作对机会的说明。休谟使用“差值”( subtraction) 来描述概然性,使机会与原因的概然性都与表示信念强弱程度的“活力”( vivacity) 联系起来。休谟的概率思想扎根于信念理论。
在《人性论》中,休谟用活力的大小来表述知觉的量化。印象与观念的区别在于活力的不同,印象指代主体较活跃的知觉,不活跃的知觉则叫作观念,活力是区分印象与观念的标准。在观念内部也存在着活力的等级划分,对于一个特定对象的观念,只能增加或减少它的活泼程度。信念可以赋予观念额外的活力,因为“信念是和现前的一个印象关联着的或联结着的一个生动的观念”[4]114,信念的活力大于普通的观念,可以成为主体行动的支配原则。同样可用活力的不同来对比记忆与其他信念。记忆相对于其他观念的优越性就在于记忆的活力最为强烈,人们“对于记忆官能可靠性的信任达到了最大的程度,并且在许多方面等于对一个理证所有的信念”[4]176。
信念的本性是强烈而生动的观念,通过这种界定,休谟将信念与纯粹的幻想区别开来,因为信念“比空中楼阁 的散漫幻 想较为强 烈、牢固而活泼”[4]117。但是,信念与普通观念的差异性亦在于此,休谟的说法也淡化了纯粹幻想与其他观念之间的区别。因此,休谟对信念本性的说明值得怀疑,“信念”和“强烈而生动的观念”是否同一? 如果答案是肯定的,二者可以相互代换,而这显然不可能实现。因为接近关系和类似关系“无疑地会帮助因果关系,并且在想象中以更多的力量灌注于相关的观念”[4]129,从而增加观念的力量,但是尚不能达到信念的程度。因而,对于一个具体的对象,心灵之中有一个强烈而生动的观念,并不等于心灵产生了关于这个对象的信念。马赫认为信念自身存在着绝对与相对之分,以优越的活力程度为特征的信念是绝对的,在绝对信念中,不存在等级差别。相反,承认活力等级的信念是相对的。[1]140这就区分了本体性信念和认知性信念。在本体层面,信念的作用在于指称,信念即是优越的活力,而在认知层面,信念代表主体对具有合理依据的对象的置信程度,是休谟用活力来鉴定的对象。但是,这两点蕴涵着信念与占据最优越等级的信念相等同,在认知上具有最高置信度的信念也就是本体上所指称的信念,即主体自然地接受概率大于某个临界值的信念,而这与信念的两个直觉原则不相容:
( 1) 主体相信一个命题,也应相信其逻辑后承,这是演绎闭合条件的要求。
( 2) 主体不能相信一组矛盾,这是信念一致性条件的要求。
概率临界值条件与这两个原则的合取可以构建出悖论,“彩票悖论”就是一个著名的范例。[1]140
可以看到,休谟对信念活泼性的分析与概率的主观主义或私人主义解释存在相似之处。“私人主义概率是一种信念型概率。人们可能会认为私人概率是完全‘主观的’,对于归纳逻辑来说没有任何价值。实际上,它是一种非常强有力的观念。人们要实现内在一致必须要有符合概率基本规则的私人概率。”[5]私人主义概率代表着个体信念的等级。“尽管休谟的概然性思想与当代的私人主义观点并不完全相同,它包含简单一致性额外的限制条件,并且不随个体的不同而改变,但是休谟的原初概率概念在特征上是主观的。在某种程度上,休谟可被视为概率主观主义的先驱。”[6]概然性的主观特征深刻地体现在休谟用描述性方法呈现的概率计算中。
三客观概率: 信念机制下的等可能事件
帕特里克·苏佩斯( Patrick Suppes) 认为休谟对机会本身兴趣不大,对机会概然性的说明是为了引入原因概然性。[2]24然而,正是出于这一目的,休谟对机会的讨论必然经过了深思熟虑。
休谟描述了古典的等概率事件。假定骰子的四面标记同一种形象,其余两面标记另一种相同形象。不参考骰子各面的标记,仅考虑投掷后哪面朝上,骰子各面占有相等的机会。如果加之形象的参与,前一形象出现的概然性显然大于后者,赌者下注时会选取刻在多数面上的形象,这是赌者的一种信念,这种信念产生于心灵对骰子各面所刻形象的作用。如果继续增加被下注的形象,占据优势地位的形象的活力会更加凸显。假使骰子的五面所刻形象相同,掷出这一形象的概然性会更大,赌者对此形象的信念得到加强,期望更加强烈,下注决心也愈加坚定。
将休谟的说法简述如下: 假设骰子的六面分别刻着A、B、C、D、E、F,每一面占有的活力相等,均为1 /6。如果A、B、C、D面代表形象“长城”,E、F代表另一相同形象,则“长城”占有的信念活力为P = P( A∨B∨C∨D) = 2 /3。如果将代表“长城”的面数增加至5面,则P = 5 /6 > 2 /3,如果将代表“长城”的面数减少到3面,则P = 1 /2 < 2 /3。
在等概率事件中,机会包含一定的优势结合,这种优势结合会因相同形象的数量改变而加强或减弱。休谟对机会的关注只是边缘化的涉及统计概率,他却意识到了机会可以被计算。[7]4休谟描述机会数学的方法不是形式化,而是将机会置于信念的支配之下。在休谟这里,信念既是主体所相信的观念,又是主体相信的这个观念的特征。[8]因为有信念的作用,人们相信一个既不能确证又不能否定的命题,这些命题的概然性程度是0和1之间的分数。对于抛掷骰子实验结果的信念,若将其活力进行等分,机会结果的概然性就表述为一个六重析取。用m来表示信念程度、n来表式投掷结果的形象的个数,信念m就等价于n重析取,每个析取枝都承担m / n程度的信念。在对机会结果进行判断的过程中,赌者的信念是所有冲动汇合后将某个观念深刻印在想象上所产生的强烈力量。休谟意识到观念的冲动和活力可以成功解释信念的起源和维持,却无法证明信念的合法性,即便在信念已被强烈持有之后,人们也难以置信非常规事件能够被机会事实所支持。但是,通过信念可以说明确定世界中为何会有机会,以及它们怎样服从于数学技术。
四主观概率: 信念的程度之差
休谟将信念与命题为真的程度联系起来,通过对信念等级的分配进行一致性限制,为概然性推理提供了基础。[9]巴瑞·高尔( Barry Gower) 认为,休谟对机会概然性的探讨清晰地表明了这种概率可以计算,这点由机会是中立的而且总是相等的可以看出来。因此,根据信念的活力可以计算投掷到某个点数的概然性。[7]9但是,主体的选择过程是否可以同样归之于信念控制? 休谟给出了一个肯定的回答。
在现实中,人们对某一事物的经验总是不完全的,只能对它产生概然的信念,这是由不完全经验引起的概然性。即使人们透过观察得知经验B总是伴随经验A而来,也只能断定这是可能出现的情况,B伴随A而来的微薄证据不能为心灵提供更多期望。即使有大量经验出现,也可能会是相反的经验。休谟没有过多关注不充分证据产生的概然性,因为休谟对概然性的考虑基于信念度的量化,这涉及支持或反对某一结果的对比,而不完全经验不能为这些数据的提炼提供帮助。此外,休谟最后走向了精神心理学。在心理学解释模型中,冲动的高下之分依赖冲突论证的结合,难以为缺乏证据形成的概然性提供解释。[7]11所以,休谟对这种概然性采取了规避态度。但是,在对不完全经验的描述中,休谟涉及了一个重要的问题:
( a) 对原因A进行观察的次数为100,其中90次引起结果B。
( b) 对原因A进行观察的次数为10,其中9次引起结果B。
根据等概率事件,在( a) 和( b) 中,A引起B的概率相等,而观察数量的增减是否影响概率却未得到清晰地呈现。事实上,即使概率相同的论证,它们的论证力度不一定相同。
休谟认为,概然性事件发生的一个重要原因是相反经验,即矛盾证据。休谟对相反原因的解释与机会相似。假定有十艘渔船出海捕鱼,这些渔船会满载而归,即使人们对此有足够丰富的经验,这个结果依然只是概然的,并非所有的渔船都能够如愿而返。多数医生可以抢救病人于危急之中,并非所有医生都可以妙手回春,病人家属仍然会对医生的抢救充满期待,尽管这一美好结果并不必然,却是人们习惯的倾向。原因和条件可以为概然结论提供辩护,也可以被其他的原因和条件所中和。相反原因可能阻碍渔船满载而归,也可能阻碍医生成功从危急中抢救病人。在机会游戏中,一些机会起支持作用,一些起反对作用,机会的本性是均等,正反例之间只有数量的多少之分。根据自然齐一性假设,休谟认为这些特性同样适用于因果序列。在因果关系中,观察和实验的特性也是均等,一些观察为正实例,它们起支持作用,一些反实例起削弱作用,心灵的置信正是由“减掉较弱影响之后剩余下来的那种力量所决定”[4]161。
仍以抛掷骰子为例。投掷结果为其中一面朝上的活力为1,每个面的活力均为1 /6。其中四面刻有相同形象M,抛掷结果为这一形象朝上的活力为2 /3,为另一形象M朝上的活力为1 /3。因为事件相反,活力互相反对,活力较弱的一面对消力量较强的一面。[4]152在赌者的信念中,投掷结果为多数形象朝上的优势概率为2 /3 - 1 /3 = 1 /3,这个差值决定了心灵的偏向。在此,休谟提出了一个关于活力与主观置信概率的公设: 概率即为信念的程度之差。如果有相同数量的证据支持“甲赢得比赛”和“甲输掉比赛”,相对于给出的证据,人们对两种选择结果的置信均为0概率。从这个视角来看,某个信念被大量的正实例所支持,而且没有明显的对立面,这个信念如何被确证的问题就是归纳问题。
休谟在论述相反原因的概然性时,与机会做了一个假定的类比,这似乎弱化了原因与机会的区别,但是休谟坚持认为机会概然性和原因概然性之间存在差异。在原因概然性中,起支持作用的观察决定结果,起反对作用的观察决定结果的概然性,正反实例中存在着信念的差值。原因与机会之间的重要区别就是概率的主观与客观之分,即使某事件确有要发生的倾向或客观概然性,主体对它的置信度也可能为0。人们要做出归纳预测,就要判断原因A的下一次出现同样引起结果B这一信念的概率,即V( h) 。首先进行归纳概括,统计证据A的M( m + n)次出现,若A有m次引起结果B,其概率p( h) 等于m / ( m + n) ,n次没有引起B,其概率p( h) 等于n /( m + n) 。V( h) 的概率值满足以下情况:
( a) 当 n = 0,即 p( h) = 1 时,V( h) = 1
( b) 当 m≥n,即 p( h) ≥1 /2 时,V( h) = ( m n) / ( m + n)
( c) 当 m < n,即 p( h) < 1 /2 时,V( h) = 0
在休谟的系统中,0不代表不可能。同样,1不代表必然,而表示休 谟在知识 划分中所 说的证明。[7]15从0到1伴随着信念的逐步增加,实质上“只是若干新的概然性的积累”[4]206的过程。休谟将所有知识都降为了概然推断,普遍地知识性结论是与正实例相继的高概率断言。
五概然性的哲学启示
现实中的概率比休谟的论述复杂,但是,人们进行复杂概然推理的能力可以根据简单的结合机制做出解释。[10]32“休谟的概然性思想不是谬误,恰好相反,他站在了现代科学思维的前沿。”[10]21休谟关心的是人们如何在不确定条件下进行预测推理,他维持了概然性的哲学化解释,将概然性的探讨根植于因果理论中。然而,概然性却将因果理论推向了困境。因果理论假定原因总是伴随结果出现,根据这种连续的不变形式进行因果分析,这是因果的规律理论。规律理论面临诸多难题,因果关系并非总是恒常结合,而是易变的联结,人们对未来的展望只能依赖部分的信念。因果不仅是非恒常的,而且是非相干的。“休谟强调了因果推理的偶然相干性,即其他因素保持不变,结果相对于原因却是偶然的,原因的出现改变了结果出现的概率。”[11]但是,概然性也为因果理论提供了新的进路。休谟对于因果关系与概然性的交织论述,实现了因果与概率的最初联姻,促进了概率论因果路径的开辟。
与前沿的科学理念相应,休谟人性科学的探索方法也具有前瞻性。休谟在对概然性的思考中,意识到了实验在科学研究中的重要性。尽管休谟的实验方法相对次于同时代的物理学家,他承诺了用精确的实验来支持人性科学。对于所有支持预测和假说的证据,如果结论是对证据的直接归纳,它具有极大的概然性,这就是证明。对于相对薄弱的证据,只要有观察的支持,归纳的结论即有概然性。概然性如同实验,不论在过去的经验中有什么实例被观察,它都决定了一个既不是0也不是1的结果,卡尔纳普将此演化为正则原则。同理,休谟利用相反证据和信念的等级之差去批判神迹,概然性使利于神迹的证言失去了意义,因为神迹缺乏现实实例的支持,没有信念的根据,它们不能为任何宗教性假设保真。
休谟分析概然性所得的认知性结论具有重要价值,而起中介作用的信念方法同样大有裨益。休谟将概然性诉诸信念的程度,一切经验推断都只是概然的。知识能够划归为具有主观概率的推断,取决于主观信念的实际力量,即使某事件的发生为必然,主体对它进行认知的信念也可能为概然。“如果知识和信念的性质不同,它们不能在不知不觉中相互渗透,知识就不可能归约为概然性。”[12]这对当代的认知科学和知识论研究具有重要的启示价值。
综合而言,休谟否认任何声称的知识可以达到必然知识的程度,开启了一段颠覆之旅,他不再以是否具有演绎必然性作为知识的标准,而是转向概然性,将一切依赖因果关系的推理看作概然推断,根据概然性的大小来衡量知识的确定程度。休谟的概然性思想与当代的概率理论密切相关,概然性与信念的同构开创了主观主义概率的先河。可见,休谟不仅是一个消极的怀疑论者,也是一位积极将科学方法应用于哲学研究的实践家。
参考文献
[1]Maher P.Probability in Hume’s Science of Man[J].Hume Studies,1981(2).
[2]Hacking I.Hume’s Species of Probability[J].Philosophical Studies,1978(33).
[3]Beebee H.Hume on Causation[M].Landon and New York,Routledge,2006:36.
[4]休谟.人性论[M].北京:商务印书馆,2010.
[5]Hacking I.An Introduction to Probability and Inductive Logic[M].Cambridge University Press,2001:142.
[6]Mura A.Hume’s Inductive Logic[J].Synthese,1998(115):303.
[7]Gower B.Hume on Probability[J].The British Journal for the Philosophy of Science,1991(1).
[8]Owen D.Locke and Hume on Belief,Judgment and Assent[J].Topoi,2003(22):17.
[9]Lipton P.Hume’s Problem:Induction and the Justification of Belief[J].The British Journal for the Philosophy of Science,2002(53):579.
[10]Collier M.A New Look at Hume’s Theory of Probabilistic Inference[J].Hume Studies,2005(1).
[11]Blanco F,Matute H,Vadillo M A.Interactive Effects of the Probability of the Cue and the Probability of the Outcome on the Overestimation of Null Contingency[J].Learning&Behavior,2013(41):333.
统计与概率的思想方法及其联系 篇7
1. 随机思想与分类、归纳等确定性数学思想的联系
随机包含两方面的含义:一方面,单一事件的不确定性和不可预见性;另一方面,事件在经历大量重复试验中表现出规律性。虽然随机思想是从解决现实世界中的不确定性问题发展起来的,但随机思想不过是高维的确定性问题作低维处理的一种方式。比如:每次掷骰子的结果,应该是其初始条件与过程中很多细微因素共同形成的,因这些因素无力掌握和控制它们,才将其中的很多因素统一地以一个随机变量来表示。其实,确定数学亦如此,在其数学模型的建立过程中也丢掉了不少“弱”因素。随机数学与确定数学仅仅只是处理方法上的差别而已。
从随机思想的起源来看,又是分类、归纳等确定性数学思想的进一步发展和具体运用。事实上,作为定量研究随机思想的概率和统计方法最先起源于归纳法,概率的发展经历了从归纳法到概率归纳法再到概率论的发展过程,而统计思想则是由局部到整体、由特殊到一般,是归纳法在数学上的具体应用。
2. 随机思想与统计、概率思想的联系
概率是从数量的角度来研究大量的随机现象,从中寻找这些随机现象所服从的统计规律,并用严格的数学方法研究各种随机现象的统计规律之间的相互联系。统计思想则是从一组样本分析、判断这个系统的状态,或判定某一论断能以多大的概率来保证其正确性,或计算出发生错误判断的概率。尽管随机思想与统计、概率思想研究的都是随机现象,但随机思想更基本,因为无论是对概率还是统计的研究,都必须建立在事件的发生具有随机性这一前提之上,没有随机思想,就没有统计与概率。而概率与统计思想则更深刻、更精确,是对随机思想的量化发展。随机思想既具有偶然性一面,又具有必然性一面,然而必然性并不会自动显现出来,它总是隐藏在偶然现象背后,那么如何来发现和把握偶然现象背后的必然性呢?这就需要统计和概率的方法来准确把握———显示其统计规律和概率规律。比如:抛一枚硬币,究竟是正面朝上还是反面朝上?通常被认为是完全随机的,但这是根据经验或直觉得出来的,因此它只是一种经验性的随机思想,而如果通过统计的方法,计算出某一次试验中正面朝上和反面朝上的频数,再进一步通过概率方法计算出正面朝上和反面朝上的概率,那么就可以揭示出这一试验的内在规律了———正面朝上和反面朝上的概率几乎相等。
3. 随机思想与等可能性假设的联系。
随机思想与等可能性假设之间存在着密切的联系,这种联系主要表现为随机思想与等可能性假设之间既对立又统一。一方面,这两者之间存在着差别,随机思想是人们对现实世界中大量随机现象的一种本质认识,而等可能假设则是人们为了便于研究问题所做的一种理想化假设,前者是一种规律性认识,后者是一种假设;另一方面,这两者之间又存在统一性,随机思想是研究随机现象的立足点和出发点,而等可能假设则是研究随机现象的一种具体方法,它是随机思想在研究随机现象过程中的具体运用。没有等可能假设,随机思想就只能是空想。随机总会表现为一定程度的等可能性,如果不存在丝毫的等可能性,那么这样的随机又怎么能称得上随机呢?同样,没有随机思想,等可能假设也就成了无源之水、无本之木。比如:抛硬币的试验,尽管我们都知道并不存在真正意义上的等可能事件,但我们却可以假定每次试验都是等可能的,否则我们就无法进行研究。
二、概率与统计与其它数学思想之间的内在联系
1. 统计概率与分类思想的联系
分类思想方法对统计与概率的研究有着基础的重要性,深入领会分类思想方法是灵活运用其它各种思想方法的前提。统计与概率中所涉及的许多问题,最后都要通过分类思想方法转化为确定性问题。比如:古典概率问题的计算需要应用排列与组合,而排列与组合又离不开分类的方法。特别是对于一些比较复杂的概率问题,由于试验的复杂性和条件的特殊性,试验结果往往不是等可能出现的,一般很难运用统一的方法进行处理,这时常常要按照一定的标准,采用一定的方法,将试验结果分成若干个“类”来进行计算;再如统计中的分层抽样计算也需要运用分类的思想方法。
2. 概率思想与归纳思想的联系
归纳与概率之间存在着密切的联系。归纳法中的概率归纳推理是从归纳法向概率法发展的标志。概率归纳推理是根据一类事件中部分事件出现的概率,推出该类所有事件出现的概率的不完全归纳推理,是由部分到全体的推理,其特点是对可能性的大小作数量方面的估计,它的结论超出了前提所断定的范围,因而是或然的。从某种程度上来说,归纳是一种特殊的概率,概率方法是归纳法的自然推广,概率是归纳法发展到一定程度的必然产物。概率方法本身是对大量随机事件和随机现象所进行的一种归纳,是对随机事件发生的结果的归纳,它并不关心事件发生的具体过程;而归纳法不仅关注事件发生的结果,它还关注事件发生的具体过程,它承认事件发生过程中的规律性,并以此为基础来研究事件发生过程中的规律性。归纳法主要适用于少变量因果关系的简单事件所决定的问题;而概率方法则主要适用于多变量因果关系的复杂事件所决定的问题。从归纳法到概率方法反映了人们的认识从确定性走向不确定性的一种历史必然。
3. 统计思想与特殊化思想的联系
特殊化思想,是将研究对象或问题从一般状态转化为特殊状态进行考察和研究的一种思想方法。特殊化思想方法的哲学基础是矛盾的普遍性寓于特殊性之中。而数理统计思想方法是通过对样本的研究来把握总体内在规律的一种研究方法,换句话说,统计是通过对特殊事物的认识来把握一般性规律,因此它是一种特殊化思想方法。特殊化方法主要处理确定性问题,更侧重过程和对具体方法的把握;而统计法则主要研究随机现象,它更强调对结果和整体的把握。数理统计思想方法并不局限在具体的方法层次,它主要是从思想层次来把握问题,是一种真正意义上的特殊化思想方法。如果把通常意义上的特殊化思想方法说成是一种狭义的特殊化思想方法,那么统计思想就是一种广义的特殊化思想方法。
摘要：文章讨论了概率统计中随机思想与其它思想方法的联系,概率与统计与其它相关数学思想方法的联系。
感受概率问题中丰富的数学思想 篇8
一、建模思想
经过七年级、八年级的学习，我们已经具备了一些概率模型，如抛硬币、摸小球、掷骰子等，现实生活中抓阄、抽签等问题都可以转化为这样的数学模型，这样我们就可以用列表法或者画树状图的方法列出等可能的各种结果，求出随机事件的概率，从而也可判断游戏的公平性. 想一想，下面的问题可以转化为怎样的数学模型呢？
例1 只有一张电影票，小明和小丽用抽签的方法来决定谁可以去看电影，于是准备了两张相同的小纸条，一张写“去”，另一张写“不去”，谁抽到“去”，则这个人就去看电影，这种方法公平吗？
例2 我们用抽签的方法从3名同学中选一名去参加某音乐会. 事先准备3张相同的小纸条，并在1张纸条上画上记号，其余两张纸条不画. 把3张纸条放在一个盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，这种方法公平吗？
【分析】例1实际上就是：抛一枚硬币，求正面朝上（或反面朝上）的概率问题；例2可以转化为摸球问题，如：一只小袋子装有两个白球和一个红球，这三个球除了颜色外完全一样.甲、乙、丙三人依次从袋子中摸出一个球，求每人摸到红球的概率.
二、数形结合的思想
有关概率的问题层出不穷，解决的方法也多种多样，我们常用的方法是列举法，即用列表或画树状图的方法来解决问题，这种图文并茂的解题方法直观形象地展示了随机事件的所有等可能结果，可以说是数形结合的完美体现，而现在又出现了很多概率问题与几何知识相结合的例子，真可谓是“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔断分家万事难”.
例3 如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上.
（1）现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是______；（只需要填一个三角形）
（2）先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取的这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）.
【分析】（1） ∵△ABC的面积为1/2×3×4=6， 只有△DFG或△DHF的面 积 也 为6且不与△ABC全等，故填△DFG或△DHF；
（2） 画树状图：
由树状图可知：共有六种等可能的结果，其中与△ABC面积相等的三角形 有3种，即：△DFG、△DHF、△EGF，所以所画三角形与△ABC面积相等的概率P=3/6=1/2.
三、方程思想
方程思想是数学解题的重要思想方法，在解决概率问题时，如能根据题目中所给的数量关系，列出方程或方程组，则可使问题圆满解决.
例4 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有两个，蓝球有一个，现从中任意摸出一个是红球的概率为1/2.
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
（3）若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸一个球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？
【分析】（1） 设口袋中黄球的个数为未知数m，根据摸到红球的概率=红球个数/球的总数，列方程2/(2+1+m)=1/2，解得m=1；
（2） 通 过 列 表 或 画 树 状 图 来 计 算 两 次都摸到红球的概率为1/6；
（3） 设 小明 摸 到 红 球 有x次 ，摸 到 黄 球有y次，则摸到蓝球有（6-x-y）次，根据摸到三种球的分数和等于20，列出关于x、y的二元一次方程5x+3y+（6-x-y）=20，即2x+y=7，所以y=7-2x，然后讨论二元一次方程组的自然数解的个数来确定摸法种数. 因为x、y、6-x-y均为自然数，当x=1时，y=5，6-x-y=0；当x=2时，y=3，6-x-y=1；当x=3时，y=1，6-x-y=2. 综 上 ， 小 明 共有 三 种 摸 法 ： 摸 到 红 、黄、蓝三种球分别为1次、5次、0次或2次、3 次、1次或3次、1次、2次.
节目成功概率论 篇9
可见明年节目市场的火爆。
这种火爆背后一方面是由于品牌综艺带来的节目市场强大的吸金诱惑——《中国好声音3》60秒进账1070万元，《爸爸去哪儿2》冠名加特约累计吸金13亿元，湖南卫视对该节目第三季的预估收入为“再多两亿元左右”。招标会尚未开始，《爸爸去哪儿3》目前已拿到伊利5亿元总冠名。
另一方面，“一剧两星”“一晚两集”新政带来的版面震荡也是主因。卫视以往第3集电视剧的空间被一条狭长的920（930）综艺节目带取代。
在大型综艺编排上，2015年，各大卫视普遍开辟了多条季播节目带。如湖南卫视、浙江卫视在周五、周六、周日均安排了季播节目，江苏卫视在保留原有周五大型季播时段的同时，开辟了周日后晚间季播节目带。天津、安徽、山东等卫视也开辟了双季播节目带。
然而，“新节目多”并不意味着“创新节目多”。何况对于一档成功的节目来说，创新只是一个维度，由其带动的市场前景、商业模式、社会话题度、平台上升度等均是考核指标。最终“谁主沉浮”是大家都想知道的谜底。
亲子、喜剧降温，新类型节目受期待
2015年，大型综艺节目类型空前丰富。今年大火的户外真人秀、亲子、喜剧类节目热度有所起伏，新出的大型公益和社会实验类节目值得关注。
“加强版限娱令”仍在生效，2015年的歌唱类节目大多延续以往品牌，如央视三套《中国好歌曲2》《中国正在听2》、湖南卫视《我是歌手3》、浙江卫视《中国好声音4》、安徽卫视《我为歌狂3》、东方卫视《中国梦之声3》等。新增的音乐节目目前看来只有央视一套《歌者无敌》、浙江卫视《流行之王》以及江西卫视《中韩赛歌会》等少数几档。其中，浙江卫视瞄准第二季度缺乏重磅音乐节目时机打造的《流行之王》有可能再次引爆经典音乐热潮。该节目引入荷兰The Best Singer模式，邀请李宗盛、陈奕迅、庾澄庆领衔，七位华语乐坛顶尖人物轮流坐庄7场音乐私享会，每期由1位坐庄，其余6位各选唱一首坐庄歌手的经典作品。
今年大热的喜剧和亲子类节目在明年有所降温。
亲子方面，除了《爸爸去哪儿》《爸爸回来了》《加油好BABY》等固有节目之外，未见有新开发的节目。这或许是今年《爸爸去哪儿2》收视下跌的最直观市场反应。
喜剧节目今年并未完成全年20多档节目的宏伟目标，明年也没有明显增加，部分卫视选择停播。其中，《我们都爱笑》《笑傲江湖》《我为喜剧狂》《超级笑星》在2015年继续推出，业已公开的资源中，江西卫视《谁能逗乐喜剧明星》和浙江卫视《中国喜剧星》没有延续品牌。新节目方面，东方卫视将推出《生活大爆笑》和《王牌帮帮忙》两档新节目。《生活大爆笑》每期由12-15个板块的短剧构成，以小品形式在剧场中面向观众演出并录制，版块内容聚焦社会话题，反映社会热点，该节目模式借鉴韩国综艺节目《Gag concert》，由国内团队及《Gag concert》韩国原版节目的导演、编剧团队联合制作。《王牌帮帮忙》是一档原创的以王自健和张国立为主角的大型季（周）播喜剧综艺秀，全方位挖掘各路明星素人不为人知的秘密需求，以各种歪招帮他们一解燃眉之急，力求给不同年龄段的观众带来新奇爆笑体验。加上《笑傲江湖》，东方卫视明年至少三档喜剧节目，成为明年的喜剧大户。
偶像粉丝类真人秀是明年新开拓的节目类型。如天津卫视《百万粉丝2》、湖南卫视暑期大型粉丝选秀活动《偶像来了》、深圳卫视大型偶像团体养成节目《下一个是谁》、四川卫视女子团体偶像养成节目《麻辣女生》等。一些大型公益项目也值得关注，如央视《等着我2》、安徽卫视《归来》《梦想星空》、辽宁卫视《归来》《筑梦中国》等。
湖南卫视在周日晚间时段开辟的大型节目带以创新型节目为主，新开发的几档社会实验真人秀以及人與动物互动类节目《动物园奇遇记》的创新度值得期待。《动物园奇遇记》将选择热爱动物的明星去动物园当饲养员，进而记录人与动物之间发生的关系与情感。湖南卫视副总监兼总编室主任丁诚表示，湖南卫视曾经播出的《神犬奇兵》产生了很高的收视，这次打造《动物园奇遇记》聚焦人与动物的关系，是国内真人秀里面一个很新的触角，代表着湖南卫视不断开拓的创新能力，“我们对这档节目有很高的收视期待。”
浙江卫视推出的两档穿越型真人秀也很有开拓性。《一路上有你》让5对明星情侣穿越到特定年代的社会环境，扮演指定社会角色，完成有趣的生存任务。《回到公元前》则将9位明星分为三组，不携带任何现代工具，回到人类历史之初，他们要凭借自己的智慧与相互间的合作完成节目组设置的任务，改善自己的生存条件。
明星旅行真人秀大热
今年，《爸爸去哪儿》《花儿与少年》持续发力，将韩式户外真人秀推向一个小高潮。明年，这类型节目将呈现大爆发态势。仅湖南卫视就有《花儿与少年2》《爸爸去哪儿3》《变形计》《一年级2》《真正的男人》等5档，天津卫视推明星婚后生活体验真人秀《囍从天降2》、明星野外挑战真人秀《秘境》、亲情户外真人秀《全家总动员》等3档。此外，浙江卫视推出明星夫妻囧途大片《真爱在囧途》、安徽卫视将推明星情侣喜感户外真人秀《亲爱的，出发吧》、东方卫视将推旅行真人秀《花样姐姐》、江西卫视推明星旅行亲情孝道真人秀《带着爸妈去旅行》……
可以看到，在以上户外真人秀中，旅行真人秀占据多数席位，并且这些节目呈现两两捉对“撞车”现象，如《花儿与少年》与《花样姐姐》花样搭配男女明星、《真爱在囧途》与《亲爱的，出发吧》主打明星情侣或夫妻档、《全家总动员》与《带着爸妈去旅行》主打明星代际沟通。
“人在旅途是一个传播母题，以明星为主体又可以最大化吸引眼球，分得市场蛋糕，这是众多旅行真人秀涌出的原因。”天津师范大学新闻与传播学院教授陈立强表示。
不过，有《花儿与少年》珠玉在前，各卫视如何打出自己的特色并在同类型节目中脱颖而出成为一大课题。陈立强认为，明星元素是永恒的，但如何运用得当，就要看各台的艺术手段了，再者，任何轻描淡写的明星渲染都是徒勞，物理式的明星堆砌只会是资源浪费，要做出新境界、新气场基于能否挠到当下社会的痒点和人性部分。
类型化真人秀则成为一些后进卫视前进的手段，如东南卫视将推大型人文旅行真人秀《茶路真兄弟》，四川卫视推《律动中国》《明星警察》《我住大咖家》《超级经纪人》4档真人秀。
角逐第二战场
2015年，各大卫视在推出原有品牌节目的基础上加大了新节目研发步伐。湖南卫视8档季播节目中新品大型节目占据5档，安徽卫视推出13档季播，新季播节目占据8档，甚少有大型季播活动的山东卫视明年新推12档节目（包括920节目带），东方卫视10余档节目六成以上为新节目……
从编排上看，一线卫视大型综艺除了固有的周五档品牌综艺较量之外，开始火拼周日的“第二战场”。其中，湖南卫视的大型综艺节目从2014年的周五档延伸至周五周六周日三天。周五为品牌节目，《我是歌手》《花儿与少年》《爸爸去哪儿》铺排前三个季度，这些节目与《天天向上》一起构成周五强势综艺板块。周六《快乐大本营》之后，一、二、四季度播出《我们都爱笑》，暑期所在的第三季度将打造大型粉丝选秀活动《偶像来了》。周日《变形计》之后播出周日季播节目，目前确定的有《真正的男人》《动物园奇遇记》《常回家看看》等。
江苏卫视官方没有正式公布明年的综艺节目编排，不过网传的一份编排表显示，第一季度周五档将播出《最强大脑》第二季，江苏卫视对外宣布此为最终季，第二季度为《星厨驾到》。《非诚勿扰》应为周六播出，周日为新开辟的季播节目带，目前锁定节目为大型全民互动竞技挑战秀《最强战队》。浙江卫视周三到周日均有季播节目，周五至周日为主打。《中国好声音4》《奔跑吧兄弟2》是周五档保留节目。周五其新开发的节目还有《我看你有戏》《流行之王》《一路上有你》等。周六除《爸爸回来了》《十二道锋味》外，还有《真爱在囧途》《中国好舞蹈》《梦幻制造者》等节目。周日有《回到公元前》《拜师记》《额外一公里》《星星的密室》《奇迹创造者》。
周五档大家已经找到了各自的席位，总体来说各有收获。以2014年第一季度为例，《中国好歌曲》《我是歌手》《最强大脑》特色各异，第三季度《爸爸去哪儿》和《中国好声音》持续火热。明年同期，这些节目将再次正面PK，各节目也做好了迎战准备，如《爸爸去哪儿》第三季宣布将继续呈现电影化的品质，同时更加接地气，邀请嘉宾更加多元化，比如增加双胞胎家庭、单亲家庭等。《我是歌手》被曝已签约了几位明星。《最强大脑》宣布节目挑战更不可思议、对决国家更多、主持阵容超级强大、明星更大咖……预计明年的周五档同期是品牌节目延续热度的创新度较量。一季度唯一的变数在于浙江卫视的参战。浙江卫视将在同期推出全新节目《我看你有戏》，该节目投入两亿元，由成龙、张国立、冯小刚担任导师，帮助选手完成个人蜕变。
周日档这个“第二战场”则不一样。这个战场完全属于“新兵”，能否迸发出现象级，想象空间巨大。
除了一线卫视，东方、安徽、北京、天津等卫视的新节目出于平台等因素考虑也有出彩机会。不过，周日档的混战由于一线卫视的加入显得更为激烈。众多综艺节目一起开火势必分散观众注意力，现象级节目的出现显得更为艰难，也就要求节目更加没有短板。
投入上自然都是上亿的大手笔，但由于卫视目前公布的新节目资料大多只为创意，落实到制作阶段的少之又少，目前尚无法判断众节目的品相。节目的制作团队实力究竟如何？准备是否充足？能否准确切中社会痛点引起共鸣？宣传如何？同档期竞争对手又是谁？这些都是需要考虑的因素。
新节目如此之多，广告主能否吃得下这么大盘子存疑。中国社会科学院世界传媒研究中心秘书长冷凇表示，明年，季播节目在播出方式上不排除出现“一季两星”或“一季三星”现象（即一个节目同时在两家或三家卫视播出）的状况。以此增大投入量级、分散风险，共享收益。
不能忽视的“920节目带”
不论怎么编排，一晚两集的硬性规定使得所有卫视版图上都多了一条狭长的920节目带。这个节目带的特点是时长受限——加上广告总共也就40分钟时间（21：20-22：00），因此，只能安排“小节目”。但920节目带的地位对于拉动卫视晚间收视至关重要。它关系到两集电视剧过后，观众能否顺利过渡到这些小节目并进而将其导入22：00档的节目或剧场。
丁诚表示，湖南卫视一定要把这个带做出品牌来。据悉，从周一到周四，湖南卫视砍掉《我们约会吧》《百变大咖秀》等招牌周间节目，开发了《扑通扑通的良心》《中华文明之美》《一起吃饭吧》《妈妈的味道》《健康来敲门》等多档新节目。丁诚透露，这些节目目前已处于样片录制阶段。
对有些卫视来说920节目带意味着未雨绸缪。大型季播之前的那些年，各大卫视其实都是通过一些自制的小节目奠定了自己频道的特色和基调，比如江苏卫视“幸福中国”的定位从其曾经的王牌栏目《人间》始发，东方卫视则在众多卫视中具有鲜明的新闻性特质，深圳卫视也有《直播港澳台》等时事性栏目招牌。如今，这些频道可以借助品牌和品质的力量重拾辉煌。
资料显示，江苏卫视的920节目带从周一到周五将持续推出《人间》的升级版——《人间真情》，节目由曾经的《人间》团队和湖南卫视《真情》团队共同打造并拟邀请柴静和王志担任主持。东方卫视的小节目由新闻节目《直播上海》+社会话题类非娱乐节目《东方风云会》组成，后者邀请崔永元加盟，再次彰显东方卫视曾经新闻立台的基调。深圳卫视周一到周四播出《决胜制高点》《军情直播间》《关键洞察力》《百佬会》等四档时事类节目。
值得一提的是，由于江西卫视从2011年开始就坚持每晚两集的编排，此次“一剧两星”规定的“一晚两集”政策对于这家卫视没有造成多大版面变化。周间仍然安排了《家庭幽默录像》《传奇故事》+十点档的《金牌调解》三档老牌节目。“对江西卫视来说，这是一个利好。”江西卫视总监朱育松说。
也有卫视正在考虑920时段的市场化运作。比如安徽卫视宣布将进行定制化的模式创新，在“920节目带”中开启“五个一起”的产品定制模式，充分与市场进行对接。
概率统计中的哲学思想 篇10
1 概率论的发展———量变到质变的重大飞跃
数学从产生之日起, 就不断积累、抽象, 概括升华到理论, 在实践中去伪存真。当成果积累到一定程度时, 势必寻求更高层次的抽象, 向更为深刻的高度概括的概念上升, 同时还进一步追求基础与原始概念分析的深化与逻辑的完美。从惠更斯1657年发表概率论中第一篇论著《论掷骰子游戏中的计算》开始, 到18世纪初, 伯努利发现了大数定律, 到隶模佛、拉普拉斯、李雅普诺夫等对中心极限定力的研究, 成功解决了许多问题, 极大促进了概率论的发展, 1900年皮尔逊发表了著名的统计量, 成功解决检验经验分布与某个理论分布是否相符的问题, 1933年苏联科学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构, 明确定义了基本概念, 为概率论奠定了严格的逻辑基础, 使概率论成为严谨的数学分支, 对概率论的迅速发展起了十分积极的作用。目前, 概率论与数理统计已经成为最重要最活跃的数学学科之一, 它既有严密的数学基础, 又与各学科紧密联系, 在核物理、电子学, 管理科学, 工农业生产等方面都有其极其重要的应用。
2 辩证法在概率论产生和发展的过程中由始至终都是存在的
对立统一思想的体现是唯物辩证法的实质, 对立统一规律是唯物辩证法的核心, 这两者是唯物辩证法中最基本的规律。概率论作为一门学科, 并且作为研究事物发展不确定性的学科, 它更贴切的使理论与实际联系起来, 使确定性与不确定性联系起来。辩证法在概率论产生和发展的过程中由始至终都是存在的。比如说, 在我们熟悉的概率定义的发展过程里, 其中就包含了以下几个方面的对立与统一,
(1) 过程和结果的对立与统一;
(2) 有限和无限的对立与统一;
(3) 近似和精确的对立与统一;
(4) 理论和实践的对立与统一;
(5) 现象和本质的对立与统一;
(6) 肯定和否定的对立与统一。
例如在一次抛硬币的试验中, 我们知道当落下后正面向上的概率是50%, 对这个实验来说, 这是最终所得到结果。因为每次实验的最终结果并非都是50%, 所以这个过程和结果就是对立的, 然而随着实验次数n的增加, 实验结果的频率值越来越接近于概率值的50%, 这又反映了过程和结果的统一。过程中存在着结果, 而结果验证了过程。同时这两个数值无限接近的过程恰恰就是由近似到准确的变化过程。其次, 这个实验结果0.5的得出, 反映了有限和无限的对立和统一。很显然, 有限次的实验是不能得出准确的结果的, 只有无限次的实验, 从无限次的结果中, 得出无限接近的值才能得出准确的极限值。此处反映了单次实验结果的波动性和大量重复实验结果的稳定性的相对与统一。同时也符合从“有限中找到无限”的认识方法。而且像这样的分析方法, 同时又体现出从实践到理论再到实践的过程中的变化规律, 体现了实践和理论的相对与统一。每一次实验结果的值都是表面现象, 只有无限次实验之后得到的极限值才能够反映出本质。实验中存在某此实验结果的值恰好等于极限值的时候, 此时就是准确反映本质;而实验中实验结果和极限值不相等的时候, 既是不能准确反映本质。而准确值也就是极限值, 是依靠抽象思维来决定的。最后, 从实验中得到的实验结果值上来讲, 下一次的实验得到的结果是对上一次实验得到的结果的否定;从实验的过程方面来讲, 下一次实验的过程是对上一次实验过程的肯定。如此周而复始, 使实验得到的结果, 越来越准确。
3 概率论中的偶然与必然
偶然性与必然性之间有着十分紧密的联系, 是既对立、又统一的矛盾双方, 偶然性当满足一定的条件时, 就会转化成为必然性。恩格斯曾指出:“在表面上是偶然性在起作用的地方, 这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的, 而问题只是在于发现这些规律”。概率统计的基本思想是通过对偶然性的研究和考察, 从认识偶然现象出发, 指出了偶然性之必然存在, 从而揭示大量偶然现象在整体上呈现出的必然性特征———统计定律。所有不同形式的大数定律, 只要是以极限定理来描述的, 这些都是概率统计学对随机现象统计规律性的反映, 其中只大量客观存在于宇宙里的随机现象, 也是在一定条件下偶然性转化成必然性的体现。规律虽然是必然性和偶然性的一种统一, 但它却高于必然性, 不要把它归于必然性的一种范畴, 从而使它直接对立于偶然性的范畴。概率统计思想中的必然性实际上指的就是当大量的偶然性的现象在一定条件下而所表现出来的稳定性, 并不是必然性之间所表现出的因果联系, 因此, 必然性有了自己新的解释:它是一种整体的趋势以及统计的结果。有的人的观点是, 概率其实是必然性以及偶然性的总和, 从量得精确性中表现出了哲学中的这两个概念, 认为概率的大小就是必然性和偶然性相加的大小。其实并不是那样, 概率自身根本不能代表必然性, 而且也不能代表偶然性。比如, 概率为“1”的必然性事件指的是, 每当达到某一种条件一次, 随之相对应的事件也会发生一次。比如, 在标准大气压下, 要想使水达到100℃, 你做一万次这样的实验, 就会成功一次。可是概率自身没有表示出具备了一定的条件, 也就是“水为什么会沸腾?”要想把这个问题解决, 就需要超出单纯的概率表述, 运用概率以外的知识来找出条件和事件之间的因果关系, 也就是其中的规律, 如果不这样的话根本解释不了其必然性的东西。概率小于“1”大于“0”的随机事件, 并不是就表示缺乏必然性。所有的随机事件, 与它发生的概率大小无关, 不管多大或是多小, 都是有一定的因果关系, 也就是必然性。概率统计思想的哲学意义正是因为它对于人们对事物间因果关系的探索得到了促进。
4 概率统计思想的发展
随着概率统计思想的发展, 人们不但深刻认识到随机性存在于自然现象和社会现象中, 还将随着数学理论应用到哲学认识领域中。通过反思和对思维的规律的再认识, 表达出了人类认识是存在随机性的, 并使认识论的研究重心得到了转变, 从对思维的宏观考察逐渐转化为对思维微观机制的讨论。概率统计思想使人们认识到了一个假想的存在各种可能的世界, 这个世界不同于客观世界, 是一个潜在的世界。这种思想虽然是一种认识论, 但它突破了对认识的局限性, 使人们对认识有了新起点, 从而告诉我们:可以以可能性空间的存在为前提来研究事物的规律。该思想使我们对微观世界结构有了一种新的认识, 并且对认识科学抽象有了新起点, 注重认识过程中:“主体的相对位置”、“能动作用”以及“选择功能”。人们就可以在大量的可能性的空间里, 来进行“主动的”、“多自由度的”以及“多向的”选择与探索, 这是马克思主义反映论的高层次的发展。数学中充满着哲理, 数学思考蕴含着哲学思考。教数学除了教数学概念、理论、方法外, 还应当注意进行哲学反思, 也只有抓住了数学具有的这个特点, 数学教学才会给人以较深的启迪。
摘要：概率哲学思想的发展, 同自然科学和社会科学相联系, 连同本身的内在矛盾相互制约、彼此推动, 偶然中蕴含着必然, 从对立冲突矛盾发展到相对和谐统一, 逐步形成了概率论的基本内容和基本形式以及方法论上的重大变革。在教学中及时进行哲学反思, 才会使数学教学给人以较深的启迪。
关键词：概率统计,哲学思想,偶然与必然
参考文献
[1]沙青.《偶然性之光与必然性王国》.河北学刊.1989年第6期.
[2]孙雨仁.《哲学在概率论学科发展中的作用》贵阳师专学报 (社会科学版) (季刊) 1996年第2期.