概率统计思想（共12篇）
概率统计思想 篇1
一、统计与概率中,随机思想与其它思想方法之间的内在联系
1. 随机思想与分类、归纳等确定性数学思想的联系
随机包含两方面的含义:一方面,单一事件的不确定性和不可预见性;另一方面,事件在经历大量重复试验中表现出规律性。虽然随机思想是从解决现实世界中的不确定性问题发展起来的,但随机思想不过是高维的确定性问题作低维处理的一种方式。比如:每次掷骰子的结果,应该是其初始条件与过程中很多细微因素共同形成的,因这些因素无力掌握和控制它们,才将其中的很多因素统一地以一个随机变量来表示。其实,确定数学亦如此,在其数学模型的建立过程中也丢掉了不少“弱”因素。随机数学与确定数学仅仅只是处理方法上的差别而已。
从随机思想的起源来看,又是分类、归纳等确定性数学思想的进一步发展和具体运用。事实上,作为定量研究随机思想的概率和统计方法最先起源于归纳法,概率的发展经历了从归纳法到概率归纳法再到概率论的发展过程,而统计思想则是由局部到整体、由特殊到一般,是归纳法在数学上的具体应用。
2. 随机思想与统计、概率思想的联系
概率是从数量的角度来研究大量的随机现象,从中寻找这些随机现象所服从的统计规律,并用严格的数学方法研究各种随机现象的统计规律之间的相互联系。统计思想则是从一组样本分析、判断这个系统的状态,或判定某一论断能以多大的概率来保证其正确性,或计算出发生错误判断的概率。尽管随机思想与统计、概率思想研究的都是随机现象,但随机思想更基本,因为无论是对概率还是统计的研究,都必须建立在事件的发生具有随机性这一前提之上,没有随机思想,就没有统计与概率。而概率与统计思想则更深刻、更精确,是对随机思想的量化发展。随机思想既具有偶然性一面,又具有必然性一面,然而必然性并不会自动显现出来,它总是隐藏在偶然现象背后,那么如何来发现和把握偶然现象背后的必然性呢?这就需要统计和概率的方法来准确把握———显示其统计规律和概率规律。比如:抛一枚硬币,究竟是正面朝上还是反面朝上?通常被认为是完全随机的,但这是根据经验或直觉得出来的,因此它只是一种经验性的随机思想,而如果通过统计的方法,计算出某一次试验中正面朝上和反面朝上的频数,再进一步通过概率方法计算出正面朝上和反面朝上的概率,那么就可以揭示出这一试验的内在规律了———正面朝上和反面朝上的概率几乎相等。
3. 随机思想与等可能性假设的联系。
随机思想与等可能性假设之间存在着密切的联系,这种联系主要表现为随机思想与等可能性假设之间既对立又统一。一方面,这两者之间存在着差别,随机思想是人们对现实世界中大量随机现象的一种本质认识,而等可能假设则是人们为了便于研究问题所做的一种理想化假设,前者是一种规律性认识,后者是一种假设;另一方面,这两者之间又存在统一性,随机思想是研究随机现象的立足点和出发点,而等可能假设则是研究随机现象的一种具体方法,它是随机思想在研究随机现象过程中的具体运用。没有等可能假设,随机思想就只能是空想。随机总会表现为一定程度的等可能性,如果不存在丝毫的等可能性,那么这样的随机又怎么能称得上随机呢?同样,没有随机思想,等可能假设也就成了无源之水、无本之木。比如:抛硬币的试验,尽管我们都知道并不存在真正意义上的等可能事件,但我们却可以假定每次试验都是等可能的,否则我们就无法进行研究。
二、概率与统计与其它数学思想之间的内在联系
1. 统计概率与分类思想的联系
分类思想方法对统计与概率的研究有着基础的重要性,深入领会分类思想方法是灵活运用其它各种思想方法的前提。统计与概率中所涉及的许多问题,最后都要通过分类思想方法转化为确定性问题。比如:古典概率问题的计算需要应用排列与组合,而排列与组合又离不开分类的方法。特别是对于一些比较复杂的概率问题,由于试验的复杂性和条件的特殊性,试验结果往往不是等可能出现的,一般很难运用统一的方法进行处理,这时常常要按照一定的标准,采用一定的方法,将试验结果分成若干个“类”来进行计算;再如统计中的分层抽样计算也需要运用分类的思想方法。
2. 概率思想与归纳思想的联系
归纳与概率之间存在着密切的联系。归纳法中的概率归纳推理是从归纳法向概率法发展的标志。概率归纳推理是根据一类事件中部分事件出现的概率,推出该类所有事件出现的概率的不完全归纳推理,是由部分到全体的推理,其特点是对可能性的大小作数量方面的估计,它的结论超出了前提所断定的范围,因而是或然的。从某种程度上来说,归纳是一种特殊的概率,概率方法是归纳法的自然推广,概率是归纳法发展到一定程度的必然产物。概率方法本身是对大量随机事件和随机现象所进行的一种归纳,是对随机事件发生的结果的归纳,它并不关心事件发生的具体过程;而归纳法不仅关注事件发生的结果,它还关注事件发生的具体过程,它承认事件发生过程中的规律性,并以此为基础来研究事件发生过程中的规律性。归纳法主要适用于少变量因果关系的简单事件所决定的问题;而概率方法则主要适用于多变量因果关系的复杂事件所决定的问题。从归纳法到概率方法反映了人们的认识从确定性走向不确定性的一种历史必然。
3. 统计思想与特殊化思想的联系
特殊化思想,是将研究对象或问题从一般状态转化为特殊状态进行考察和研究的一种思想方法。特殊化思想方法的哲学基础是矛盾的普遍性寓于特殊性之中。而数理统计思想方法是通过对样本的研究来把握总体内在规律的一种研究方法,换句话说,统计是通过对特殊事物的认识来把握一般性规律,因此它是一种特殊化思想方法。特殊化方法主要处理确定性问题,更侧重过程和对具体方法的把握;而统计法则主要研究随机现象,它更强调对结果和整体的把握。数理统计思想方法并不局限在具体的方法层次,它主要是从思想层次来把握问题,是一种真正意义上的特殊化思想方法。如果把通常意义上的特殊化思想方法说成是一种狭义的特殊化思想方法,那么统计思想就是一种广义的特殊化思想方法。
摘要：文章讨论了概率统计中随机思想与其它思想方法的联系,概率与统计与其它相关数学思想方法的联系。
关键词：统计与概率,随机思想,数学思想,联系
概率统计思想 篇2
一年多来，我校课题组全体成员解放思想，勇于创新，以推进素质教育为出发点，认真学习相关理论，围绕《统计与概率》课堂教学改革和课题的实验工作，认真分析课堂案例，调查研究，收集材料，努力探究《统计与概率》课堂教学的有效模式，对照课题实验方案，顺利地完成了各项教育教学任务和课题研究的阶段工作。下面就这近一年来的课题研究工作总结如下。
一、做好课题研究的准备工作。
1、在课题实施之前，我们积极主动的收集和学习相关知识和理论，我们深入课堂，了解、分析我校《统计与概率的教学现状，找出教学中存在的各种问题，确定本课题的研究内容。
（1）关于小学数学统计与概率部分教学现状、存在问题的调查研究；
（2）对于人教版小学数学教材关于统计与概率部分内容的分布、与原有教材对比变化、教学难点及其编写特点的分析研究；
（3）在统计知识教学中，强化学生数据的收集、记录和整理能力的培养，促进学生关于数据的分析、处理并由此作出解释、推断与决策的能力，对数据和统计信息有良好的判断能力的教学策略改进，加强目标设定与目标达成的实验研究；
（4）培养小学生用数据表示可能性的大小并对事件作出合理推断和预测的能力的教法研究；（5）在统计和概率部分教学中，创设教学情境，促进教学有效性的研究；
（6）进行统计与概率部分的课堂教学有效模式的研究。
2、落实好课题组人员，成员如下：
组 长：陈 丽
副 组 长：陈万江 吴学峰
核 心 成 员：马玉凤 王立波 李天凤 陈维 李玉静 孙晓慧 薛丽华
二、加强对课题组的管理，进一步发挥课题的作用。
1、严格按计划实施研究，积极开展课题研究活动。
课题立项之后，我们集中大家认真学习了《统计与概率》课题研究方案，制定了课题的研究计划，对组内教师合理分工，在管理上做到定计划、定时间、定地点、定内容，让实验老师们深刻理解了《人教版小学数学教材“统计与概率”课堂教学有效性研究》课题中研究项目的主要内容和意义，进一步增强科研能力，树立科研信心每次的校本教研既有骨干教师的教学论坛，也有年青教师的课堂展示，有理论学习，也有实际的课堂点评。
2、优化听课制度，促进课题实验
学校教导处规定，每周的周三各备课组进行集体备课，下一周的周一课题组成员走进课堂听课，一方面是为课题组成员搭建相互交流的平台，另一方面也是验证前一周集体备课设计方案的可行性，这样有利于及时、灵活地掌握课题实施情况和课堂教学情况，有效地促进教师上课改课、上优质课，从而真正地把课题理念落实到每一节课堂教学之中；同时，课题组还要求听课者带着一定的目的从多个角度进行听课，并对收集到的事实材料进行多角度诠释、解读和分析，有针对性地提出讨论的问题和改进的建议。听课制度的优化，有效地避免形式主义的听课、评课活动，对促进课题研究和实验起到了很大的作用。
三、课题研究的实施过程
课题申报后，课题组成员就着手调查我校《统计与概率》的教学现状以及存在的问题。
1、人教版小学数学各册教材使用中，关于统计与可能性部分教学问题及其改进策略的调查研究。
教学现状：课堂教学多数“照本宣科”，教学目标定位不准，教师和学生都不很重视这一领域的教和学。原因有如下几点：一是教师专业知识不能适应新课程的教学需要；二是《统计与概率》这一领域里的可学习和参考的案例较少，教师看得不多，所以课堂改革的水平提高不快；三是在小学阶段，关于《统计与概率》的考试内容相对较少，且难度不大，所以教师和学生重视不够。
存在问题：统计教学中，教师只按教材帮助学生收集、整理数据，而忽视了对数据的分析和运用；概率教学中比较突出的问题是重结果、轻过程，没有把学生随机意识的培养放在重要的位置。比如，有一个老师在执教二年级《可能性》一课时，没有充分地让学生感受确定现象和不确定现象，而是把训练的重点放在让学生用“一定”“可能”和“不可能”的说话训练上，把数学课当作了语文课来上。再如，有一个老师在执教《用分数表示可能性的大小》时，始终把重点放在学生的计算训练上，而忽视了学生对事件发生的可能性从感性描述到定量刻画的过程训练上。
改进策略：（1）加强教师的专业知识的学习和培训。要求课题组的成员认真学习新课标并深刻领会其主要精神，同时督促教师学习《统计与概率》的相关理论，聘请教学骨干做专题讲座，提高教师的理论素养；（2）定期召开研讨会，选择有典型的课例进行会课或教学比赛，有的是采取同课异构的形式进行多层次的研究；（3）围绕某一难点进行针对性讨论，反复研究，取得了较为显著的成效。如，在教学《等可能性》时，多数教师都遇到了一个较为棘手的问题：当袋子里放有相同数量的黄球和白球，启发学生猜想：从中任意摸40次，摸到黄球和白球的可能性怎样？学生很容易猜想并认可结果：摸到黄球和白球的可能性相等。可是，学生实验后，立刻质疑并迅速推翻自己的猜想。此时教师无所适从，只好自圆其说：同学们，当实验的次数越多，摸到黄球的次数和摸到白球的次数就越接近。针对上述存在的问题，我们开展了一次又一次的研究，最终按照“现实情境—猜想—实验—验证猜想—分析原因”的步骤，紧紧抓住“任意”关键词，培养学生的随机意识，让学生真切地感到：袋子里放有相同数量的黄球和白球，任意去摸若干次，摸到黄球的可能性和白球的可能性相等，但结果是随机的，即摸到黄球的次数和白球的次数不一定相等。
2、创设教学情境对于小学统计与概率教学效果的作用与影响的研究。
良好的教学情境，能使学生积极主动地、充满自信的参与到学习之中，使学生的认知活动与情感活动有机地结合，从而促进学生非智力因素的发展和健康人格的形成。比如我们在研究一年级下册第98页的《统计》这一内容时，就历经了“没有教学情境—一创设有教学情境——创设有效的教学情境”的过程，研究中我们发现教学效果差异较大。
„„反复的实践和研究使我们深深地体会到：教学情境对教学效果的影响较大。只有创设有效的教学情境，创设贴近学生生活实际的教学情境，才能把学生真正地带入到具体的情境中去，使学生对数学产生一种亲近感，使学生感到数学是活生生的，感受到数学源于生活，生活中处处有数学。
3、“统计与概率”有效教学模式研究
课题研究之前，多数教师反映《统计与概率》的教学有着一定的困难，教学时也只是“照本宣科”，根本谈不上有效和优化。为此，我们通过典型引路，反复研究，不断实践，在数次的实践中摸索了“统计与概率”的教学模式：创设情境――猜想探究――验证概括――实践运用。
“创设情境”旨在把学生带入到具体的生活情境中，一方面是为了帮助学生借助已有的生活经验自主探究新知，另一方面也可以让学生初步感悟统计与概率在生活中的作用，从而调动学生学习数学的兴趣；“猜想探究” 就是先鼓励学生大胆猜想结果，然后引领学生探究新知，这样可以充分发挥学生的主体作用，把学习的主动权交个学生，让学生真正成为学习的主人，在具体的学习过程中锻炼学生的学习能力，同时也能让学生体验自主探究新知的快乐；“验证概括”就是运用多种手段帮助学生验证自己的猜想，从而使学生获得成就感，增强学生学习的自信心，同时把刚刚获得的新知高度、凝练地概括出一般的规律，培养学生分析问题的能力和严谨的思维品质“实践运用”就是将所学的知识运用于实际，体现了数学源于生活、服务生活的思想。
通过改革实验，我们高兴地发现课堂成效发生了较为显著的变化。课堂的教学结构完整了，教学板块清晰了教学目标定位准确而又全面，教师经过了迷茫无奈－有条有理－精心设计教学环节的过程。学生从被动学习－主动探究，学习方式的转变，使课堂气氛活跃了许多，也大大提高了课堂教学效率。
四、课题研究的成效
1、对课题研究的意义的理解和认识。
21世纪的数学课程改革，把《统计与概率》作为一个单独的领域，进入小学数学课程，这是一个重大的举措具有里程碑的意义。因为在信息社会，收集、整理、描述、展示和解释数据，根据情报作出决定和预测，已成为公民日益重要的技能。加强《统计与概率》课题的研究，可以强化学生数据的收集、记录和整理能力的培养，提高学生分析、处理数据并由此作出解释、推断与决策的能力。
2、重视学生学习过程的研究，把学习的主动权还给了学生
新课标明确指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。所以我们在数学课题的研究中，非常关注学生学习过程的研究，注重在具体的情境中对随机现象的体验，而不是单纯地只获取结论结合学生生活的实际，精心创设教学情境，使学生主动地投入到学习的状态，提出关键的问题；搜集、整理数据分析数据，作出推测，并用一种别人信服的方式交流信息。不仅让学生亲身经历统计与实验的过程，而且还让学生在实践中自我感悟信息的价值。根据获取的信息作出合理的推断，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3、营造教研氛围，提高研究实效
我们以课题研究为契机，开展形式多样的教研活动，旨在增强教师的教科研意识，营造良好的教研氛围，丰富教师的科研素养，提高课堂教学效率。一年来，我们召开了《统计与概率》的专题研讨会，举行了课题研讨会课比赛，开展了教师百花奖比赛、课堂教学擂台赛等全校性教学教研活动，收到了较好的效果，得到了老师们的认可，兄弟学校的积极参与，社会的肯定。每次活动，我们坚持“实践、思考、再实践、再思考”的基本方法，确立一个研究主题，本着“学有所获，研有所果”的原则，发动每个教师全程参与，45周岁以下的教师必须参与课堂展示或设计，年老的教师参与课堂点评，实实在在的教研活动，不仅调动了校内教师的教研热情，也吸引了区内兄弟学校老师的加盟，他们积极参与了我们的课题研究。
五、今后的思考
虽然在课题的前期研究过程中，我们取得了初步的成效，但我们深知我们的课题研究工作还有许多不尽如人意的地方。为了进一步做好下一阶段课题的研究工作，我们想从以下几个方面力求突破：
1、细化分工，明确职责。根据课题的研究内容和前期的研究进展，我们决定对后期的研究工作作一些适当的调整，更加细化分工，各负其责，确保课题的研究工作顺利进行。通过课堂教学研究，提高学生收集、整理数据的能力，重点培养学生推断与决策的能力，体会数学的价值。以课堂教学为主阵地，重点研究概率教学，培养学生的随机意识，提高学生分析问题和预测未来的能力。
2、加强理论学习，提高研究水平。前期的研究工作我们主要把精力放在课堂教学研究上，了解《统计与概率》的教学现状、教学困惑，寻找课堂教学的有效模式，应该说在实际层面探讨的比较多。接下来的课题研究工作我们 将在关注课堂教学的同时，重视理论学习，把目光聚焦在理论层面的研究上，遵循理论结合实际的原则，用理论丰富研究成果。
概率统计思想 篇3
关键词： 数学建模 概率论与数理统计 教学应用
一、将数学建模的基本思想融入到概率论及数理统计教学改革的必要性
想要用基本的数学方法解决现实中的实际问题，就需要建立有效的数学模型。虽然传统的数学教学拥有完善的教学体系，却忽略了数学的来源，只是一种封闭的系统，这种教学存在一定的缺陷。在数学教学中融入数学建模的思想，开设相应的数学实验或是数学建模的教学课程，促进学生在学习的同时体会到知识被发现及创作的过程。如今，随着教育的不断改革，已有多个院校将数学建模的基本思想融入到数学的分支学科中。在教育不断改革的背景下，许多院校都开始扩招大学生，但是要面临学生毕业后就业难的现状。大学中的概率论及统计课程的相关教学，不能仅停留在数学定义和各种公式的传授，而是在学生学到基本的数学概念及结论的同时，学会数学的思维方法，体会数学的内在含义，了解数学知识具体的来龙去脉，受到数学文化的熏陶。因此，应该在数学教学中让学生体会数学知识的真正魅力，并不只是停留在数学枯燥乏味的公式上。目前，虽然很多院校都开设了数学建模的相关课程，但是，如果不能将数学建模的基本思想融入到概率论及数学统计的课程中，将无法发挥数学建模思想在数学学科中的重要作用。
二、将数学建模的基本思想融入到概率论及数学统计的教学课堂上
1.课设数学教学的实验课
一般情况下，数学的实验课程都需要结合数学建模的基本思想，将各种数学软件作为教学的平台，模拟相应的实验环境。随着科学技术的不断发展，计算机软件应用到教学中已经越来越普遍，一般概率论及数学统计中的计算都可以利用先进的计算机软件进行计算。教学中经常使用的教学软件有SPSS及MABTE等，对于一些数据量非常大的教学案例，比如数据模拟技术等问题，都能够利用各种软件进行准确的处理。在数学实验的课程教学中，学生能够真实地体会到数学建模的整个过程，从而提高学生的实际应用能力，促进学生自发主动探索概率论及数学统计的相关知识内容。通过专业软件的学习和应用，增强学生实际动手及解决问题的能力。
2.利用新的教学方法
传统数学说教式的教学方法并不能取得较强的教学效果，这种传统的教学也已经无法满足现代教学的基本要求。在概率论及数学统计的教学中融入数学建模的基本思想并采用新的教学方法，能够有效强化课堂教学效果。将讲述教学与课堂讨论相互结合，在讲述基本概念时穿插各种讨论的环节，能够激发学生主动思考。启发式教学法，通过已经掌握的知识，对新的知识内容进行启发，引导学生发现问题解决问题，自觉探索新的知识。案例教学法，实践教学证明，这是在概率论中融入数学建模基本思想最有效的教学方法。在学习新的知识概念时，首先引入适当的教学案例，案例的选择要新颖，具有针对性，从浅到深，教学的内容从具体到抽象，对学生起到良好的启发作用。学生在学习过程中改变了以往被动学习的状态，开始主动探索，案例的教学贴近学生的生活，学生更容易接受。这种教学方法加深了学生对概率论相关知识的理解，发散思维，并利用概率论及数学统计的基本内容解决现实中的实际问题，激发了学生的学习兴趣，同时提高了学生解决实际问题的综合能力。
3.有效的学习方式
对于概率论及数学统计的相关内容，在教学过程中不能只是照本宣科，数学建模的基本思想并没有固定不变的模式，需要多种技能的相互结合，综合利用。在实际的教学中，教师不应该一味参照课本内容进行教学，而是引导学生学会走出课本，自主解决现实中的各种问题，鼓励学生查阅相关的资料背景，提高学生自主学习的能力。在教学前，教师首先补充一些启发式的数学知识，传授教学中新的观念及新的学习方法，拓展学生的知识面。在进行课后习题练习时，教师需要适当引入部分条件并不充分的问题，改变以往课后训练的模式，注重培养学生自己动手，自己思考，在得到基本数据后，建立数学模型的能力。还可以在教学中加入专题讨论的内容，鼓励学生能够勇敢地表达自己的想法和见解，促进学生之间的讨论和交流。
4.将数学建模的基本思想融入课后习题中
课后作业的练习是巩固课堂所学知识的重要环节，也是教学内容中不可忽视的过程。对于课后习题的布置，可以将数学建模的思想融入其中，并用这种思想真正地解决现实中的各种问题。在实践中学会应用，不仅能够巩固课堂学到的理论知识，还能够提高学生的实践能力。例如：课后的习题可以布置为测量男女同学的身高，并用概率统计学的相关知识分析身高存在的各种差异，或者分析中午不同时间段食堂的拥挤程度，根据实际情况提出解決方案，或者分析某种水果具体的销售情况与季节变化存在的内在关系等。在解决课后习题时，学生可以进行分组，利用团队的合作共同完成作业的任务，通过实践活动完成训练。学生在完成作业的过程中，不仅领会到了数学建模的基本思想，还能将概率统计的相关知识应用到实际问题中，并通过科学的统计和分析解决实际问题，培养了学生自主探究及实际操作的综合能力。
三、结语
将数学建模的基本思想融入到概率统计教学中，有效提高了学生学习数学的兴趣，有利于培养学生利用所学的课本知识解决现实问题的能力。
参考文献：
[1]甘静.从数学建模角度看《概率论与数理统计》教学[J].赤子（上中旬），2015，05：238.
概率统计中的哲学思想 篇4
1 概率论的发展———量变到质变的重大飞跃
数学从产生之日起, 就不断积累、抽象, 概括升华到理论, 在实践中去伪存真。当成果积累到一定程度时, 势必寻求更高层次的抽象, 向更为深刻的高度概括的概念上升, 同时还进一步追求基础与原始概念分析的深化与逻辑的完美。从惠更斯1657年发表概率论中第一篇论著《论掷骰子游戏中的计算》开始, 到18世纪初, 伯努利发现了大数定律, 到隶模佛、拉普拉斯、李雅普诺夫等对中心极限定力的研究, 成功解决了许多问题, 极大促进了概率论的发展, 1900年皮尔逊发表了著名的统计量, 成功解决检验经验分布与某个理论分布是否相符的问题, 1933年苏联科学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构, 明确定义了基本概念, 为概率论奠定了严格的逻辑基础, 使概率论成为严谨的数学分支, 对概率论的迅速发展起了十分积极的作用。目前, 概率论与数理统计已经成为最重要最活跃的数学学科之一, 它既有严密的数学基础, 又与各学科紧密联系, 在核物理、电子学, 管理科学, 工农业生产等方面都有其极其重要的应用。
2 辩证法在概率论产生和发展的过程中由始至终都是存在的
对立统一思想的体现是唯物辩证法的实质, 对立统一规律是唯物辩证法的核心, 这两者是唯物辩证法中最基本的规律。概率论作为一门学科, 并且作为研究事物发展不确定性的学科, 它更贴切的使理论与实际联系起来, 使确定性与不确定性联系起来。辩证法在概率论产生和发展的过程中由始至终都是存在的。比如说, 在我们熟悉的概率定义的发展过程里, 其中就包含了以下几个方面的对立与统一,
(1) 过程和结果的对立与统一;
(2) 有限和无限的对立与统一;
(3) 近似和精确的对立与统一;
(4) 理论和实践的对立与统一;
(5) 现象和本质的对立与统一;
(6) 肯定和否定的对立与统一。
例如在一次抛硬币的试验中, 我们知道当落下后正面向上的概率是50%, 对这个实验来说, 这是最终所得到结果。因为每次实验的最终结果并非都是50%, 所以这个过程和结果就是对立的, 然而随着实验次数n的增加, 实验结果的频率值越来越接近于概率值的50%, 这又反映了过程和结果的统一。过程中存在着结果, 而结果验证了过程。同时这两个数值无限接近的过程恰恰就是由近似到准确的变化过程。其次, 这个实验结果0.5的得出, 反映了有限和无限的对立和统一。很显然, 有限次的实验是不能得出准确的结果的, 只有无限次的实验, 从无限次的结果中, 得出无限接近的值才能得出准确的极限值。此处反映了单次实验结果的波动性和大量重复实验结果的稳定性的相对与统一。同时也符合从“有限中找到无限”的认识方法。而且像这样的分析方法, 同时又体现出从实践到理论再到实践的过程中的变化规律, 体现了实践和理论的相对与统一。每一次实验结果的值都是表面现象, 只有无限次实验之后得到的极限值才能够反映出本质。实验中存在某此实验结果的值恰好等于极限值的时候, 此时就是准确反映本质;而实验中实验结果和极限值不相等的时候, 既是不能准确反映本质。而准确值也就是极限值, 是依靠抽象思维来决定的。最后, 从实验中得到的实验结果值上来讲, 下一次的实验得到的结果是对上一次实验得到的结果的否定;从实验的过程方面来讲, 下一次实验的过程是对上一次实验过程的肯定。如此周而复始, 使实验得到的结果, 越来越准确。
3 概率论中的偶然与必然
偶然性与必然性之间有着十分紧密的联系, 是既对立、又统一的矛盾双方, 偶然性当满足一定的条件时, 就会转化成为必然性。恩格斯曾指出:“在表面上是偶然性在起作用的地方, 这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的, 而问题只是在于发现这些规律”。概率统计的基本思想是通过对偶然性的研究和考察, 从认识偶然现象出发, 指出了偶然性之必然存在, 从而揭示大量偶然现象在整体上呈现出的必然性特征———统计定律。所有不同形式的大数定律, 只要是以极限定理来描述的, 这些都是概率统计学对随机现象统计规律性的反映, 其中只大量客观存在于宇宙里的随机现象, 也是在一定条件下偶然性转化成必然性的体现。规律虽然是必然性和偶然性的一种统一, 但它却高于必然性, 不要把它归于必然性的一种范畴, 从而使它直接对立于偶然性的范畴。概率统计思想中的必然性实际上指的就是当大量的偶然性的现象在一定条件下而所表现出来的稳定性, 并不是必然性之间所表现出的因果联系, 因此, 必然性有了自己新的解释:它是一种整体的趋势以及统计的结果。有的人的观点是, 概率其实是必然性以及偶然性的总和, 从量得精确性中表现出了哲学中的这两个概念, 认为概率的大小就是必然性和偶然性相加的大小。其实并不是那样, 概率自身根本不能代表必然性, 而且也不能代表偶然性。比如, 概率为“1”的必然性事件指的是, 每当达到某一种条件一次, 随之相对应的事件也会发生一次。比如, 在标准大气压下, 要想使水达到100℃, 你做一万次这样的实验, 就会成功一次。可是概率自身没有表示出具备了一定的条件, 也就是“水为什么会沸腾?”要想把这个问题解决, 就需要超出单纯的概率表述, 运用概率以外的知识来找出条件和事件之间的因果关系, 也就是其中的规律, 如果不这样的话根本解释不了其必然性的东西。概率小于“1”大于“0”的随机事件, 并不是就表示缺乏必然性。所有的随机事件, 与它发生的概率大小无关, 不管多大或是多小, 都是有一定的因果关系, 也就是必然性。概率统计思想的哲学意义正是因为它对于人们对事物间因果关系的探索得到了促进。
4 概率统计思想的发展
随着概率统计思想的发展, 人们不但深刻认识到随机性存在于自然现象和社会现象中, 还将随着数学理论应用到哲学认识领域中。通过反思和对思维的规律的再认识, 表达出了人类认识是存在随机性的, 并使认识论的研究重心得到了转变, 从对思维的宏观考察逐渐转化为对思维微观机制的讨论。概率统计思想使人们认识到了一个假想的存在各种可能的世界, 这个世界不同于客观世界, 是一个潜在的世界。这种思想虽然是一种认识论, 但它突破了对认识的局限性, 使人们对认识有了新起点, 从而告诉我们:可以以可能性空间的存在为前提来研究事物的规律。该思想使我们对微观世界结构有了一种新的认识, 并且对认识科学抽象有了新起点, 注重认识过程中:“主体的相对位置”、“能动作用”以及“选择功能”。人们就可以在大量的可能性的空间里, 来进行“主动的”、“多自由度的”以及“多向的”选择与探索, 这是马克思主义反映论的高层次的发展。数学中充满着哲理, 数学思考蕴含着哲学思考。教数学除了教数学概念、理论、方法外, 还应当注意进行哲学反思, 也只有抓住了数学具有的这个特点, 数学教学才会给人以较深的启迪。
摘要：概率哲学思想的发展, 同自然科学和社会科学相联系, 连同本身的内在矛盾相互制约、彼此推动, 偶然中蕴含着必然, 从对立冲突矛盾发展到相对和谐统一, 逐步形成了概率论的基本内容和基本形式以及方法论上的重大变革。在教学中及时进行哲学反思, 才会使数学教学给人以较深的启迪。
关键词：概率统计,哲学思想,偶然与必然
参考文献
[1]沙青.《偶然性之光与必然性王国》.河北学刊.1989年第6期.
[2]孙雨仁.《哲学在概率论学科发展中的作用》贵阳师专学报 (社会科学版) (季刊) 1996年第2期.
统计与概率试题 篇5
一、填空。
1、简单的统计图有统计图、()统计图和()统计图。
2、扇形统计图的优点是可以很清楚地表示出()与(
3、()统计图是用长短不同、宽窄一致的直条表示数量，从图上很容易看出()。
4、为了表示某地区一年内月平均气温变化的情况，可以把月平均气温制成()统计图。
5、4、7.7、8.4、6.3、7.0、6.4、7.0、8.6、9.1这组数据的众数是()，中位数是()，平均数是()。
6、在一组数据中，()只有一个,有时()不止一个，也可能没有()。(填众数或中位数)
二、选择题。
1、对于数据2、4、4、5、3、9、4、5、1、8，其众数、中位数与平均数分别为()。
A4,4,6B4,6,4.5C4,4,4.5D5,6,4.5
2、对于数据2，2，3，2，5，2，10，2，5，2，3，下面的.结论正确有()。
①众数是2②众数与中位数的数值不等③中位数与平均数相等
④平均数与众数数值相等。A1个B2个C3个D4个
三、下面记录的是六(1)班第一组学生期中考试成绩(单位：分)
83、89、81、55、62、70、78、94、84、97、86、100、66、75
请根据上面的记录的分数填写下表，并回答问题。
分数合计10090~9980~8970~7960~6960分以下人数
(1)该小组的平均成绩是()分。
概率统计教学探讨 篇6
[关键词]概率统计教学；学习兴趣；应用能力
概率统计是一门抽象性、规律性较强的学科，它要求学生能够理解繁多的抽象概念，处理复杂的公式推算，并形成逻辑性思维，与之前开设的高等数学相比，概率统计更为复杂，也更不容易被学生掌握。随着计算机技术的迅速发展以及大量数学软件的出现，概率统计在生产生活中的应用更为广泛，因此高校学生应当掌握这门课程的基本理论与知识，并能够将其运用到生活实践中去，为了实现这一目标，高校必须不断加强概率统计教学的改革。
1、高校概率统计教学中存在的问题
1.1课时设置不合理，学生主动性不强
随着高校教育改革的不断深入，公共基础课的课时数越来越少，概率统计课程也不例外，由于概率统计是一门基础性的课程，具有很强的实践性，为了在有限的时间内完成教学任务，高校教师大多采取满堂灌的填鸭式教学方法，这种教学方法存在很大的缺陷，在这样被动式的教学模式中，学生的主动性难以发挥，教师完全占据着课堂的主体地位，因此学生学习积极性不高。其实在教学过程中，只有发挥出学生的主观能动性，才能够使学生更好的掌握知识，并学以致用。
1.2课堂教学重理论、轻实践
由于在课堂教学中，教师仅仅注重基本概念与理论知识的讲解，忽视对学生实践应用方面的训练，因此大多数学生往往依靠死记硬背来掌握基本概念与理论知识，并不能够将所学的知识应用到生活实际中去，碰到概率统计问题时，学生往往束手无策，无法用概率统计的方法去分析与解决问题。
1.3教育思想有待改进
传统的应试教育思想依旧影响着现代高等教育，因此在概率统计教学中，教师往往只教授考试会考的知识，其他的知识则一带而过，这样的教学方式不利于学生形成完整的知识网络，也不利于学生完整的了解概率统计这一学科。概率统计课程培养的是学生的逻辑思维能力和分析能力，如果学生仅仅是为了考试而学习，对知识不加以理解，概率统计教学很难收到满意的教学效果。
2、提升概率统计教学效果的有效措施
2.1上好绪论课，激发学生的学习兴趣
对于每一门学科来说，绪论都是对学科的整体概述，是学习新课程的启蒙，因此在概率统计教学中，教师要认识到绪论课的重要性，向学生详细介绍概率统计科学的主要内容、发展历程、学科特点等，培养学生对这门科学的学习热情。为了培养学生的学习兴趣，教师要抓好绪论课这一契机，创设良好的教学情景，使学生对这门课充满好奇。例如：在绪论课介绍概率论是由赌博起家的学科时，教师可以和同学打这样一个赌：本班一定有两个生日相同的同学。这时，肯定有很多学生不相信，教师可以随便找几个学生，询问他们的生日，如果出现生日相同的学生时，请两个学生都举手示意。当确实出现生日相同的同学时，学生会非常惊讶，并开始询问缘由，这时，教师便可以适当引入教学内容，这样的教学方式可以增加师生之间的互动，活跃课堂气氛，还可以使学生对概率统计课程充满好奇，并期待进一步的学习。
2.2利用先进的多媒体设备辅助教学
科学技术的快速发展改变了人们的生产和生活，现代教育的教育方式也在不断更新，传统的板书教学模式已经逐渐被计算机辅助教学模式所取代。实践证明，在教学中合理运用多媒体技术可以使教师在有限的课堂时间内为学生提供更多的知识和信息，这样的教学模式可以使教学重点更为突出，提高学生的学习积极性和专注度，提高学生的学习效果。有了计算机的辅助，图形描述和图形分析等内容可以更为直观的呈现在学生的面前，便于学生的理解，同时能够减少教师在黑板上画图演示的时间。例如：向学生解释“当n很大，概率p很小时，二项分布B（n，p）可以用参数K=np的泊松分布来近似”时，教师可以用电脑动画进行演示，将两个分布的图形放在一个坐标轴中进行显示，当n逐渐增大，概率p逐渐减小时，连个分布图形会越来越逼近，并趋近于重合，这样直观的动画演示可以加深学生的印象，也便于学生理解这句话要表达的意思，此外，教师还可以用动画向学生展示随机数的生成、回归方程的配置等。
2.3培养学生的想象能力
联想是十分重要的学习方式，没有联想就无法进行思考，学习概率统计课程时，学生应当善于将所学知识与其他学科的知识联系起来，形成知识网络，这样有助于知识的理解与掌握，也可以减缓遗忘速度，如果没有形成知识网络，学生学到的知识会永远是孤立的、不成体系的，也难以在生活和实践中得到应用，因此，教师要认识到联想能力的重要性，在概率统计课堂教学中培养学生的联想能力。例如：解答下列问题：对于任意一个由n个点组成的网络，如果对于这n个点中的任意一个都与其余n-1个点相连，且从任一点出发每次等可能的选择一条线路，求从一点出发后经过m次又回到该点的概率。如果学生缺乏联想能力，就只能够按部就班地进行思考，并陷入误区，无法得出正确答案，这时，教师可以提示学生寻找一下第m次回到该点与第m-1次回到该点之间的关系，以启发学生进行联想，遵循这一规律，学生思考之后便能得到正确答案。
2.4处理好基本概念和数学证明问题
概率统计课程有很多概念、定理等，为了使学生理解这些概念、定理，教师需要向学生介绍其数学根据，在讲解定理时，讲解时间稍微长一些，数学推导稍微复杂一些，一黑板的数学公式就会打消很多学生的学习热情，之后讲定理应用时，学生很难集中精神，这样的教学效果并不理想。因此在概率统计教学中，教师要处理好基本概念和数学证明问题，板书要精益求精，讲解复杂定理时应当分步骤进行，先介绍定理，然后讲应用方法，之后总结并强调定理的内容，最后进行证明，这样的教学步骤可以同时满足不同程度学生的需求，使大家听课后都能有所收获。在概率统计教学中，教师还要密切关注学生的学习情况，使学生学会提出问题并解决问题，培养学生的想象能力和应用能力，完成教学目标。
结语
概率统计是一门基础性的学科，熟练掌握这门学科的基本知识和理论有助于学生进一步学习其他科目，也有助于这门学科在人们生产生活中的应用与推广。目前，高校概率统计教学中存在一些问题，需要引起学校足够的重视，为了激发学生的学习热情，提升教学效果，高校需要调整课程体系，合理安排教学内容，同时善于利用多媒体教学手段和数学软件等，使学生更好的掌握概率统计这门学科的基本知识和理论。
参考文献
[1]张忠群.概率统计教学中加强学生对反例的学习和运用[J].六盘水师范高等专科学校学报，2009（06）.
[2]海敏娟.高职高专概率统计教学探讨[J].考试周刊，2010（27）.
[3]王知非.高职高专院校“概率论与数理统计”教学改革刍议[J].兰州教育学院学报，2014（09）.
概率统计思想 篇7
数学建模是应用数学知识解决实际问题的一种方法, 是一种训练学生思维和应用能力的手段, 在教学与实际生活中都具有重要的地位。《概率统计》课程中蕴含着丰富而独特的数学建模思想, 国外一些知名大学教学中就非常注重数学思想的讲解, 注重案例与教学软件的结合, 注重学生的实践性环节。因此, 在《概率统计》教学中渗透数学建模思想, 具有非常重要的研究意义。
藉此, 本文从《概率统计》课程中概率论部分的基本教学环节出发, 从概率论中的概念形成阶段、例题讲解阶段和习题应用阶段, 通过分析现实生活中的问题, 探索解决途径;借助数学方法来寻求解决方案, 培养学生的探索兴趣, 提高学生实际应用的能力。无疑, 建模思想间接意义上而言, 也是引导学生形成创新意识、动手意识的良好途径, 有利于培养高素质的应用型人才。
一、在概念形成过程中渗透数学建模思想
条件概率是概率论中一个重要的但难以理解的概念。一方面, 因为现实生活中的大多数问题都是在一定条件下发生的, 因而条件概率很重要。另一方面, 条件概率的概念比较抽象, 学生理解比较困难, 遇到实际问题不知如何表达构成教学难点。因此, 下面我们从解决实际问题来探究条件概率的定义及其计算公式。
1. 问题提出。
假设甲、乙、丙三人得到一张巴西足球世界杯门票, 他们商定按甲、乙、丙的顺序抽签确定这张门票的得主。已知甲没有抽到门票, 求丙抽到门票的概率是多少?
2. 问题分析。
设Y表示有门票的签, N1, N2分别表示两张没有门票的签, A表示丙抽到门票, B表示甲没有抽到门票, 则甲、乙、丙三人抽取得结果共有六种可能情况:
YN1N2, YN2N1, N1YN2, N2YN1, N1N2Y, N2N1Y。A所包含的基本事件N1N2Y, N2N1Y。由古典概型得, 丙抽到门票的概率为
现在我们的问题是:已知甲没有抽到门票, 求丙抽到门票的概率是多少?
因为甲没有抽到门票的所有可能情况是:N1YN2, N2YN1, N1N2Y, N2N1Y, 而丙抽到门票的所有可能情况是N1N2Y, N2N1Y。由古典概型可知, 丙抽到门票的概率是
从上面的分析看到, 已知甲的抽取门票的结果会影响丙抽到门票的概率。
在这个问题中, 知道甲没有抽到门票, 等价于知道事件B一定发生, 要使A也发生, 那么基本事件必须既在A中又在B中, 亦即必须在AB中, 从而影响事件A发生的概率.一般引进符号A|B表示在B发生的条件下事件A也发生这一随机事件, 即
其中nAB, nB分别表示AB, B所包含的基本事件个数。
另一方面, 我们来考察P (A B) 的概率可否用P (AB) , P (B) 表示?由古典概型得
其中nΩ表示Ω中包含的基本事件个数。
观测发现它们之间也有内在的关系: (当P (B) >0的前提下)
上述问题从两个角度分析, 引出条件概率的定义及其计算公式, 突破难点和重点, 同时也可以培养学生分析问题、解决问题的能力, 从具体到抽象的概括能力。
二、在例题讲解过程中渗透数学建模思想
例题是教学过程的一个重要环节。例题的作用不仅巩固所学知识, 而且也培养学生运用知识解决问题的能力。因此, 在讲授理论知识的同时, 要选择与现实问题有密切关系的例题, 引导学生进行分析, 用所学知识去解决, 这样, 学生就可进一步理解运用所学知识解决实际问题的基本思想;有利于提高学生分析问题和解决问题的能力。
1. 问题提出。
罐中包含b个黑球与r个红球。随机地抽取一球。看了颜色再放回, 并且还要加进c个与所抽取球的颜色相同的球和d个相反颜色的球, 反复地进行, 其中c和d是任意的整数。c和d可以取为负数。特别当c=-1, d=0时, 则我们的抽样是无放回抽样;当c>0, d=0时, 则我们得到一个描述如传染病现象的模型[3];当c=0, d>0时, 曾由弗雷德曼提出用来描述安全运行的抽样。现在我们重点讨论当c>0, d=0时情形下, 求第n次取得黑球的概率。
2. 问题分析。
本题既是个基本题, 也是个典型题。此问题是分步进行的, 且后一步的结果受上一步结果的影响, 因此, 对上一步的结果分类, 继续用表示、分解、转化的方法处理即可。
3. 问题解决。
设Ak表示第k次取得黑球, k=1, 2, 3, …n, 则
当k=1时, 即第一次取得黑球的概率,
当k=2时, 即第二次取得黑球的概率
当k=3时, 即第三次取得黑球的概率,
归纳可证:故第n次取得黑球的概率
此例告诉我们有放回地取球, 各次取球的概率是一样的。这个结论在实际生活中一直在应用:如抓阄。另外, 此例还告诉我们一个如传染病现象的粗略的模型。
三、在习题课中渗透数学建模思想
传统习题课, 只讲教材中习题的解法, 很少强调应用方面, 这对培养学生的创新能力不利。为此, 选一道典型的应用性问题为例, 用所学概率知识来解决, 这样, 不仅学生掌握了应用所学知识解决问题的思想方法, 而且巩固了所学的知识。
1. 问题提出。
《概率轮与数理统计》 (第四版沈恒范编高等教育出版社) 中习题:将3个球随机投入4个盒子中, 求任意三个盒子各有1球的概率。
2. 问题分析。
上述问题简称球入盒问题。假设盒中可容纳任意多个球。把3个球随机放入4个盒子中, 目的是观测每一个球在盒子中的分配情况, 因此只有把3个球都放入盒子中, 才算完成一次试验。每个盒子可容纳多少个是不限的, 每一种放法对应一个基本事件。由于每个球均有4中可能放入一间房中, 因而根据可重复排列知, 基本事件总数
3. 问题解决。
解法一:任意三个盒子各有1球, 等价于每盒子最多只有1个球, 这是只有4×3×2种放法。每种放法都对应于一个基本事件, 这样, 由古典概型可计算概率设A={每个盒子最多有1球}, 则样本空间所含基本事件总数为43, 事件A含有的基本事件数为4×3×2, 故有
解法二:球入盒问题中, 随机试验的目的是观测每一个球在房子中的分配情况, 因此只有把3个球都放入盒中, 才算完成一次试验, 这样, 也可以把这一随机试验看成是需要3步才能完成的复合试验, 并且这3步试验是相互独立地, 由于问题中关心的是每个球是否放入某指定房间。因此, 某指定的房中恰有个人即指重伯努利试验中事件恰好发生次, 相应概率为
注1:可直接写出样本空间进行求解。
注2:常遇到的可转化为球入盒问题的情形有有着广泛的应用。例如: (1) m个人的生日问题相当于m个球放入356个盒子中的不同排列; (2) 把m个人按其年龄和职业来分类, 于是类就相当于盒而人就相当于球; (3) 基因的分布;等等。
总之, 概率论与数理统计课程融入数学建模思想不仅可以搭建起概率统计与数学建模的桥梁, 而且可以使概率与统计知识得以加强, 应用领域得以拓广, 对数学建模的运用和发展发挥重要的作用。从而激发学生运用数学知识解决实际问题, 培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
摘要：《概率统计》是高等院校理工、经济管理、金融类等专业本科阶段的一门必修课程, 它在现代科学技术中占有重要的地位, 也是一门应用性很强的工具课。《概率统计》课程中丰富、独特、抽象的理论和方法, 并与其他数学分支互相渗透与结合, 已广泛地应用于几乎每一科学领域之中。本文着重从概率论教学中的几个环节出发, 以培养学生应用知识为宗旨, 以问题解决为目标, 以案例研究为手段, 来探究各个教学环节的数学建模思想, 以提高学生对实际问题的分析和解决能力。
关键词：概率统计,数学建模思想
参考文献
[1]沈恒范.概率论与数理统计 (第四版) [M].北京:高等教育山版社, 2004.
概率统计思想 篇8
在科学技术与国民经济不断发展的背景下,知识更换速度越来越快,传统教学方法与教学观念难以满足新社会需要. 尤其当今社会竞争日益激烈,只有从根本上强化学生创新能力和竞争能力,才可以真正实现学生全方面的发展. 而概率统计作为数学教学中比较重要的一个教学内容,逐渐受到教育者与受教育者的重视. 目前传统教学方式逐渐和实际发展脱节,学生在学习过程中不能够真正地应用概率统计的知识,因此,需要充分结合数学概率统计知识和实际案例,同时把数学建模的思想融入概率统计中,进而提高学生学习和实践应用的能力.
二、在教学中加入应用型题目,将数学建模思想充分体 现出来
概率统计这门学科理论性和实践性都比较强,近几年已经变成数学科目中比较重要的构成部分之一. 在教学过程中,应根据课程的特点,转变传统的教学方式,采用创新型教学模式进行数学教学. 在概率统计教学过程中,融入一些新鲜元素,或在教学内容中添加应用型题目,以此激发学生的学习兴趣,使学生掌握概率统计的相关知识,充分理解概率统计的概念,从而提高学生解决问题的能力,提高学生的学习效果.
此外,概率统计的实际应用还有利于改变学生一些不好的学习习惯,将被动学习变成主动学习,彻底提高学生学习的效率. 将数学建模思想融入数学的概率统计中,不仅可以使学生掌握更多的知识,还可以使学生理解学习的重点和难点. 一般情况下,学生在学习相关案例过程中,可以理解概率统计的知识,了解整个数学建模过程,进而加深学生在概率统计的知识上的理解和认识,也有利于培养学生的学习兴趣. 不仅如此,学生在学习数学的概率统计知识过程中,可以真正达到学以致用的效果. 数学概率统计这门课程比较复杂,因此学习概率统计时要尽可能不影响学生的学习兴趣,最大限度地强化学生的数学建模能力,并将数学建模思想充分体现出来.
三、数学概率统计中融入数学建模思想的对策
1. 对教材中理论学习进行改善,强化实践性学习
学生实践活动中,为使学生全方面了解相关知识,需要在数学教材中加入一些针对性比较强的题目. 通常情况下, 教材中数学概率统计部分的教学内容基本是理论,而实践性比较少,在习题搭配、次序方面和学生基本特点不符,更甚者部分教材系统设计过程难度比较大,学生学习时会觉得吃力,也就无法激发出学生学习概率统计的兴趣. 从过去概率统计实际应用中可以看出,数学概率统计中的应用习题至关重要,通过大量习题练习可以锻炼学生的思维和逻辑,所以,编写数学教材过程中需要根据从浅到深的原则, 分门别类编写练习题,最大限度地满足各种对象和各种层次基本的需求. 目前数学概率统计的练习题中,还应该增设一些和生活相关、生动有趣的内容,并在数学习题中充分体现数学建模思想. 此外,教材编写中还要增设应用性比较强的统计案件和概率案件,例如: 数据拟合与数据统计,使学生可以学会数学的建模,这样不仅能够丰富学生的课余生活,还可以提高学生应用与操作的能力.
2. 转变传统教学的模式,寻找新型的教育方式
从过去的实践中可以看出,传统教学方法和教学模式, 已经不能满足新社会需要,无法实现现代教学的目标,不能获得教学满意的效果. 而数学建模充分融入数学概率统计的过程,能够在传统教学建模中加入新鲜的元素,同时结合相关实例,使用启发式的教学方式来教学,做到从困难到容易、从浅到深,让学生可以全方面掌握数学概率统计方式与基本的概念,激发学生对数学学习上的兴趣,将被动学习变成主动学习,最大限度地加深学生对建模思想和数学概率统计的理解和认识.
3. 转变传统数学学习的方式,构建开放性学习的方式
数学概率统计教学过程中,相关任课老师不能一直使用传统的教学模式,也就是需要在教科书的基础上对概率统计知识进行创新. 就目前而言,数学的建模并没有一个固定的模式,实行数学的建模过程中,需要积极使用各种技巧与各种各样的方式. 尽可能使用各种有趣方式主动学习,采用正确的建模方式,进而提高学生自主学习的能力与创新能力.
此外,练习数学习题过程中,学生不可以局限在片面问题上,需要不断应用各种科学合理的方式来研究,同时让学生亲自动手操作,在真正意义上体会整个操作过程,以及将各种抽象问题转化成具体的问题,最大限度地提高学生在数学学习上的能力和兴趣. 例如: 老师可以在课堂上开展一些讨论课,使得学生可以主动积极发表建议与想法,增进同学间的互相学习和交流,进而让学生可以在开放性的学习环境下学习数学知识.
四、结 语
概率统计思想 篇9
关键词：数学建模,概率论与数理统计,应用型本科,案例教学
应用型本科院校是以培养应用型人才为主的院校,它既不同于普通本科院校也不同于高职高专院校,其专业设置以新兴专业或新的专业培养方向为主体,课程体系设计侧重于学科及应用,教学方法兼顾学科性与应用性,以具备应用能力的“双师型”教师为师资队伍。
概率论与数理统计是一门研究随机现象及其统计规律性的数学学科,它从量化的角度揭示了随机事件与必然事件之间的联系,是高等院校理工、经管等专业的一门主干课程,该课程最大的特点是具有较强的应用性。比如,面对供过于求的市场环境,商家简单地采用促销手段,有的降价销售,有的买一赠一,还有的抽奖促销,对于这些活动到底参加与否?均可借助概率统计的相关知识做出决策。为增强学生运用概率统计知识解决实际问题的能力,在应用型本科院校《概率论与数理统计》课程的教学中,运用数学建模案例教学是一种行之有效的好方法。
数学建模就是把抽象的数学概念融入具体的案例并建立起数学模型的过程。即选择一个实际问题,按照其内在规律做出一些必要、合理的简化假设后,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构,借助数学的分析与计算全面探讨并求出所得模型的解,再结合相关背景知识,利用所得结果解释或回答实际问题。数学家李大潜教授曾指出:如果数学建模的精神不能融合进数学类主干课程,仍然孤立于原有数学主干课程体系之外,数学建模的精神是不能得到充分体现和认可的。因此,数学建模思想应与已有的课程教学内容有机地结合起来,从而为大学数学教学改革提供一种全新的思路。随着全国大学生建模竞赛影响力的不断扩大,数学建模这一有效的教学方式被越来越多的教师与学生所认可,数学建模既能提高学生的数学运用能力,又能克服教师在教学中对复杂知识难以用语言描述以及学生难以理解的障碍。因此,在概率统计课程的教学中融入数学建模的思想可以达到事半功倍的效用。
一、在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的必要性
(一)激发学生的学习兴趣,增强学生运用数学知识解决实际问题的能力
概率统计研究的是随机事件的统计规律性,内容比较抽象,不易理解,教师在教学中难以凭借语言与数学推导将最终的结论具体地展示出来,只能选择将笼统的概率公式与理论“填鸭式”地灌输给学生,导致学生不喜欢学习这门课程,这严重影响了运用所学的知识解决实际问题的课程设置初衷。将数学建模思想融入概率统计教学,用精湛的计算机技术将实际问题的建模过程生动地展现在学生面前,使学生耳目一新,既活跃了课堂气氛,又提高了学生的学习热情,理论难懂和抽象难记的问题均迎刃而解。
(二)拓宽教师的知识储备,提高了教学能力和科研能力
在概论统计的教学过程中融入数学建模的思想自提出以来就得到了众多教师的认可和青睐。具体运用时,教师需熟练掌握数学建模教学方法,还要筛选具体案例,将概率统计的抽象理论与实际问题相符合,构思设置模型的架构。模型选定后,借助数学软件(matlab)绘出问题分析过程的动态图,发现模型所得结果与实际不符合时,查找原因并修改模型,直至得到正确的解,数学建模的过程对教师的教学提出了很高的要求。教师既要具备在众多模型中选择最恰当的模型,又要对建模过程中所出现的任何问题及时分析并给出合适的修改,这都需要教师具有较多的知识储备。久而久之,教师的知识面得以拓宽,教学能力、水平得以提高,教师运用数学知识解决实际问题的能力增强后,科研能力的提高也就水到渠成了。
(三)提高了应用型本科院校学生发现和解决问题的能力,拓展了素质教育渠道
素质教育是以提高学生综合运用所学知识解决实际问题的能力为最终目标。目前,我国的社会经济发展和现代化建设需要专业技能强、具有创新精神与实践能力的高素质综合性人才,数学建模能有效地将理论教学与解决实际问题有机地统一在教学过程中,这种方式培养出来的学生在工作中能力的显现,很容易得到用人单位的赞赏,学校办学价值得到社会的认可,可见提高大学生的素质教育是非常重要的。
应用型本科的素质教育可以借助数学建模来实现。(1)数学建模可以提高学生的实践能力。数学建模是把实际问题抽象为数学模型,再求解模型,然后把结果返回到解决实际问题中,也就是“实践—理论—实践”的过程。这个过程可以发挥学生的主观能动性,锻炼学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。(2)数学建模可以提高学生的创新能力。数学建模的题目,一般不能运用经典数学方法直接求解,而需要把所学的理论与方法通过归纳、演绎等方法重新组合运用,这有利于锻炼学生的逻辑思维能力和推理能力。(3)数学建模可以提高学生的计算机应用能力和数据处理能力。
二、在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的可行性
概率统计的理论与方法可用于社会、科学、工程、金融等各个领域,小到抓阄的公平性、水污染的控制,大到彩票、保险、投资策略的选择等问题,都能通过数据收集,将问题诸因子数量化,然后对研究对象进行矩阵处理,求得方程的解,再将该解代入,以此解决实际问题。因此,将数学建模思想融入概率统计的教学,不仅可以使学生了解到概率统计中理论知识的背景与实际意义,而且还能帮助学生将概率统计的理论知识与统计软件相结合,提高学生的数学建模能力,促进学生知行合一。
三、在概率论与数理统计教学中融入数学建模的具体方法
(一)启发式教学方法
为了培养学生的实践能力,在讲解概率统计的概念时,应注重从现实生活的实际问题出发,选择能够引起学生兴趣的事件进行启发式教学。教师要先提出一个问题,使学生分组讨论并由小组代表总结讨论结果。在这个过程中,教师要适时地给出概率统计的相关知识点以及与数学建模有关的提示,以此鼓励学生更加深入地思考、讨论,这样既能提高学生的学习兴趣,又能提高课堂教学效率,并且能够培养学生的分析、讨论、判断、叙述、答辩等综合能力。
(二)案例分析法
在概率统计教学中,为了将概念、公式和定理的实际背景与应用贯穿起来,可以采用案例教学法。例如,用古典概率解决抓阄的公平性,用几何概型解决会面问题,用中心极限定理解决保险公司的盈利与亏损问题等等。在案例讲解时,教师要分析实际问题的背景,并解释为什么用这个知识解决这类问题,只有这样学生才能将方法进行推广,达到举一反三、融会贯通的目的。案例教学的难点在于案例的选择,教师必须具有深厚的知识储备,选择合适的、典型的案例才能精准地得出最终结果,讲解才能达到预期的效果。
四、在概率论与数理统计教学中融入数学建模的注意事项
在概率统计课程的教学中融入数学建模思想需要注意以下几点:
1.教师在授课中,不能只将概念、定理进行简单的堆砌,而应先理解理论,然后结合具体案例将理论应用于其中,采用启发式教学,一步步引导学生自己发现结论,使他们能够完全融入课程学习,把课堂交给学生,实现“教师为主导,学生为主体”的模式,以便提高学生的学习效率。
2.注重培养学生的创新思维能力。引导学生运用所学知识解决实际问题,比如参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等,这些理论不仅贯穿于概率统计的整个过程,而且能够解决生活中的许多问题,这也是数学建模能够率先并且成功地用于概率统计课程的教学实践所在。所以,教学中要注意培养学生的思维方式,特别要培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
3.创新课程考核方式,不能简单地通过理论考核和公式推导能力评定学生的学习成绩。对学科进行考核是教学中必不可少的一个环节,它不仅是为了检测教师的教学情况,更为主要的是考查学生对该门课程所学内容的掌握情况。目前的卷面考核方式与我们的培养目标完全不符,所以我们需要改革现有的考核方法,让学生知道该课程能够解决什么问题,让学生学以致用。考核方式可以更新为让学生每三个人一组去做一个实际案例数学模型,包括数据的收集、整理、分析、得出结论,最终提交一份研究报告,这样就能够让学生都融入到学习、研究中,达到学以致用的目的,通过考核评判,使学生能切身体会学习概率统计的意义所在。
随着我国经济的快速发展,社会对高素质应用型人才的需求越来越大,这就要求应用型本科院校加强对学生综合应用能力的培养。实践表明,将数学建模思想融入到应用型本科院校概率统计的教学,有利于提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,以达到应用型本科院校对人才培养的要求,在这个过程中不仅能够培养学生的创新意识,提高学生的实践能力,还能够增加教师的知识储备、提高教师的专业素养,概率统计与数学建模相结合,使该课程教学效果更有说服力,从而该课程也更有知识汲取的吸引力。
总之,在应用型本科院校概率统计课程的教学中,我们要逐步融入、渗透数学建模的思想与方法,并且要不断完善,包括案例的搜集、整理、实施,逐渐形成适合于应用型本科院校的案例库,供教师和学生使用。同时,在此基础上继续推进概率统计课程现有教学模式与教学方法的改革与创新。
参考文献
[1]刘志扬.运用数学建模案例激发学生学习兴趣的探索[J].教育现代化,2016(6):121-123.
[2]颜文勇.数学建模[M].北京:高等教育出版社,2011-6.
[3]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学,2006(1):9-11.
概率统计思想 篇10
由于概率统计研究的对象主要是随机现象, 这就决定其研究方法不同于研究因果关系的逻辑思维, 而要用概率统计固有的思想方法.因此, 它的教与学也应具有不同的特点.本文将结合自己多年对该门课程的教学实践, 就中学概率统计的教学谈几点意见.
1 精心设计课题引入, 创设最佳学习情境
课题引入是教学艺术的一个重要组成部分.好的课题引入应着眼于对所授知识的超然运用与奇巧安排.因此, 教师要从讲解本课程的理论和基本知识出发.精心设计、营造氛围, 恰到好处地引入课题, 使学生进入愤悱状态, 进而萌发高涨的学习情趣, 产生学习新知识的动力.
1.1 引趣设疑法
“概率论发展简史简介”的引入.
概率论出身“不佳”, 它起源于赌博和靠运气取胜的游戏.起先, 一些赌徒出于好奇心, 把各种各样的问题拿去请教他们在数学界的朋友.这个与赌徒有关的联系, 令人遗憾地促进了概率论的缓慢的断断续续的发展…….如今概率论已脱离了它那卑微的发源地, 成为一门理论严谨、应用广泛、发展迅速的数学学科.
评注 一个概率论出身“不佳”的话题引发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望, 为概率统计的学习开了好头.
1.2 联系实际法
“随机事件”的引入.
在自然界和生产实践中, 有一类现象是具有确定性的…….然而, 我们生活的世界是一个充满偶然的世界, 常言道:“虽计划极其周密, 然一切却难以预料.”这恰好说明了偶然性在起作用.它跟着人们的脚步, 由生到死, 始终扮演着一个重要的角色.婴儿的出生, 偶发性是其因素之一.未出生的婴儿, 是男是女, 机会各半, 甚至人们的生病、车祸……
评注 上述课题引入, 从身边具体事例出发, 使得学生倍感亲切, 从而对随机现象的每一个可能的结果——随机事件的理解自然也就水到渠成.
1.3 以旧引新法
“离散型随机变量数学期望的定义”的引入.
本节课开始, 可先给出例子:
设某射手在同样的条件下, 瞄准靶子相继射击100次, 其结果如表1.试问:该射手每次射击平均命中多少?
在教师的指导下, 学生给出了以下两种计算方法:
法1 算术平均数法.
法2 采用频率的加权平均法.
下面就在法2上借题发挥.
法2采用的是以频率为权进行加权平均的, 由于这个平均数是经过100次射击观察得出的, 因此它带有随机性, 这种随机性与频率有关.如果我们用概率来代替频率, 这样就能消除随机性.也就是说若以概率为权进行加权平均的话, 才能给出随机变量平均值的精确定义, 这就是本节课给出的“离散型随机变量的数学期望的定义”. (板书)
评注 这样的课题引入, 充分发挥了学生的主体作用, 既能促使学生知识技能产生积极的迁徒, 又能增强他们对知识加工运用的自主性、创造性.
1.4 复习引导法
“随机变量的特征数字——方差”的引入.
在不少的实际问题里, 不仅需要知道随机变量的均值, 而且还需要知道随机变量取值与均值的偏差程度.比如, 奥运会前夕, 要从两名射击运动员中挑选一名去参加奥运会, 一个公正、公平的办法就是看他们的竞技状态.假定两名射手甲与乙各射击5次所得环数如下:甲4, 8, 7, 10, 6;乙7, 7, 8, 7, 7.平均环数都是7环, 作为教练员的你, 是选择甲还是选择乙? (同学们异口同声地回答:乙.) 为什么? (同学:乙的成绩比甲稳定.) 回答得很好.从上面我们可以看出, 随机变量的这一特性用均值是反映不出来的.应当引进一个数, 用以刻划随机变量对它的均值的偏离程度.对于上述例子可以这样做, 先求每个实际取值与平均值的差的平方……, 由这个例子得到启发, 想到可用 (X-EX) 2的均值E (E-EX) 2描述X对其均值EX的偏离程度, 因而给出方差定义如下…….
评注 一个恰如其分的事例, 如饮一杯清新的甘泉, 让人浅斟细酌, 回味无穷.在这样的课堂氛围中学生会心领神会, 真正把课堂当成一种享受.
实际上, 在概率统计中, 由“醉鬼走路问题”所阐明的概率统计方法的作用开始到“n个写好地址的信封, 还有与其对应的n封信”等一类问题中有关事件概率的计算;由“贝特朗奇论”到计算几何概率时要注意的点具有所谓的均匀分布;由小概率事件的实际不可能原理, 到假设检验中的反证法;由回归一词的追溯到线性回归方程的解释……富有情趣的典故比比皆是, 令人为之驻足赏玩.在教学中抓住时机, 结合有关内容巧加应用, 创设情景, 必能妙趣横生, 使学生不但在欢愉之中巩固了知识和方法, 而且也提高了思维能力.
2 重视概念教学, 既要规范严谨, 还须形象生动
众所周知:“概念多、概型多、所用数学工具多”被称之为概率统计课的三多, 当然就中学概率统计课而言, 主要是“概念多”, 那末如何搞好中学概率统计中的有关概念的教学呢?我认为, 对概念的教学既要规范严谨, 又要形象生动, 还要善于用最通俗的语言去揭示.
比如在事件的关系及其运算中, 初学概率的人往往对“事件的对立”、“事件的互斥”、“事件的独立”以及“对立与互斥”、“互斥与独立”之间的关系搞得不太清楚.这样就直接影响到复杂事件的表述和概率的计算上.因此, 这就要求我们帮助学生自觉辨析有关概念, 促进他们的认知发展.对这部分的教学, 以我之见, 还是引入样本空间Ω为好, 因为在引入样本空间Ω后, 事件就可以用Ω的子集合来表示, 事件的关系就可以用集合之间的关系来表示, 而事件的运算又与集合的运算完全一致, 这样我们就可以借助表示集合关系的韦恩图来理解事件的包含、相等、并、交、补、互斥、对立等关系.特别是, 只要我们精心联想定义, 灵活运用集合知识, 不但能熟练地弄清事件之间的关系, 而且也能把较为复杂的事件用简单事件表示出来, 为概率论证和计算打好基础.又如, 随机变量的数学期望和方差是显示随机变量概率分布的两个重要的特征数字.教学中我们不但要引导学生从实际问题中抽象出它们的定义, 而且要注重学生的直觉思维能力的培养.使他们认识到随机变量的数学期望 (离散型) 标明了随机变量取值的“中心”位置, 而方差则刻划了随机变量离开“中心”位置的偏差程度.同时也可以视离散型随机变量期望的定义式为质点系的重心横坐标, 而方差则表示质点系相对于通过重心EX的纵轴的转动惯量.连续型随机变量的单点处的概率等于零可形象地解释为“一条线无宽度的数学想象”, 参数估计可通俗地解释为“利用样本的信息去猜未知参数的一种方法”, 假设检验的主要依据是“小概率事件的实际不可能性原理”, 所采用的方法被称之为概率论中的反证法, 等等.寥寥数语, 既帮助学生加深了对有关概念的理解, 进而促进知识的升华, 同时也引发了科学思维方法的形成.在概率统计的教学中, 只要我们认真钻研教材, 至于正态分布中密度函数及其性质, 正态分布中三倍标准差原理, 标准正态分布数值表的正确使用以及一元线性回归方程的推导和建立都可利用几何直观, 让学生在愉悦的情境下主动而有效地参与教学, 亲自体验知识的发生和发展过程, 熟悉创新规律.
3 能力培养, 贯穿始终, 愚教于乐, 融汇贯通
注重能力培养已成为我国教育改革的主旋律.在概率统计的教学中, 建议从以下几方面做起:
3.1 培养学生的概率计算能力
概率计算是概率论解题教学的一项重要内容, 它不但包括古典概率的计算问题, 而且也包括利用概率的性质, 把计算复杂事件的概率化归为计算较简单的事件的概率.刚开始学习概率论时, 学生往往感到困难, 作者认为应从两个方面来解决这个问题.首先应注意在教学中不能大量选用只是单纯计算排列组合的习题, 不能使重在掌握排列组合的计算技巧超过重在掌握概率论的基本概念;其次在解题时对概率性质的运用要予以充分的注意.下面仅就古典概型中样本空间的选取和对立事件公式
3.1.1 古典概型中样本空间的选取
古典概型是初等概率论中最基本的内容之一, 在概率论发展初期就引起了人们的关注.深入考察古典概率问题, 有助于我们直观地理解概率论的一些基本概念, 合理地解决产品质量控制等实际问题.因此, 掌握古典概率问题的解法, 对于学好概率论具有十分重要的意义.
设一个随机试验的全部可能结果 (样本点) 只有有限个:ω1, ω2, …, ωn, 其中每一个结果出现的可能性都相同, 即
例1n个朋友随机地围绕圆桌而坐, 求其中甲、乙两人坐在一起 (座位相邻) 的概率.
解 很自然会把这个问题看作圆周排列的一个简单应用, 但我们不用这种方法.设甲已先坐好, 考虑乙的坐法.显然乙总共有 (n-1) 个位置可坐, 这 (n-1) 个位置都是等可能的, 而有利场合, 即乙和甲相邻有两个, 因此所求概率为
如把上述解法作细致的分析, 那就是我们取样本空间Ω={ω1, ω2, …, ωn-1}, ωi表示乙坐在第i个位置上, 它满足有限与等可能的要求, 我们要求概率的事件A表示为Ω的子集{ω1, ωn-1}.显然, 对例1这样选取的样本空间Ω是最小的了.用其他办法做这道题目选取的样本空间只会更大, 比上述解法复杂.值得指出的是在我们的解法中用不到排列组合.
例2 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只“红车”及一只“黑车”, 求它们正好可以互相“吃掉”的概率.
解 和例1一样, 我们同样可以找到最小的样本空间.任意固定“红车”的位置, “黑车”可处在90-1=89个不同位置, 当它处于和“红车”同行同列的9+8=17个位置之一时正好互相“吃掉”.故所求概率等于
当然我们的例子是经过有意识的选择的, 但这种注重样本空间的选取的思想是很有用的, 掌握它也不困难, 但却往往不被人们重视.
3.1.2 对立事件公式
对立事件公式
例3 从0, 1, 2, …, 9十个数码中随机而可重复地取出5个数码, 求A=“5个数码中至少有两个相同”的概率.
解 事件A中包含的基本事件情况比较复杂, 它包括“5个数码全相同”, “4个数码相同而与其余一个不同”, “3个数码相同而与其它两个不同”, 等等, 计算它们的个数比较麻烦.现在考虑事件
从上面可以看出:解答概率题是一个既有法, 有时又无定法的问题, 这就要求我们要注重积累解题经验, 总结解题规律.比如概率加法公式的正确使用、条件概率与乘法公式的运用、事件的独立性的应用、古典概型中对称性的应用、几何概率以及整值随机变量的分布列与数学期望的求解中, 都有一定的解题技能和技巧.本文就不一一赘述.
3.2 培养学生的数据处理能力
数据的处理能力现已明确为数学的一种基本能力, 概率统计教学应通过真实数据、活动和直观模拟的使用, 以使学生感到教学有意义、有用, 而不是抽象、不相关.教师要从教学实际出发, 组织学生走出课堂, 到工厂、农村、医院调查研究, 取得真实资料.然后根据要求, 制作相应的统计图表, 用回归分析方法处理具体问题.这样的活动作为课堂教学的补充, 既检验了学生对书本知识的掌握, 又增加了他们的实际工作经验.同时也使得他们在成功中品尝到了欢乐.
3.3 培养学生知识间的融会贯通的能力
数学教学是培养学生的多种能力的一个重要阵地, 纵观中学概率统计的内容, 从随机现象到随机事件的引入;从随机变量的概率分布到数字特征的定义及其应用;从不相关的独立……, 到处都有展示学生能力的广阔平台, 作为教师既要言传身教, 还要善于激发学生心灵深处的探索欲望, 让学生在探索、思辨和创造的氛围中, 发掘数学知识本身所蕴藏的妙趣神韵, 自觉地用概率方法解决中学数学中的有关问题.只有这样, 学生解决实际问题的能力才能凸现出来.限于文章篇幅, 仅从以下两例来展示概率统计与其它数学内容之间的联系, 以期能给读者一些有益的启示.
例4 求证:组合等式
分析 根据所求组合等式的特征, 构造概率模型:设有一批产品共m+n件, 其中m件是废品, 从m+n件中任取r件 (r<m+n) , 问A=“r件中有i件废品”的概率是多少 (i=0, 1, 2, 3, …, r) 显然
例5 (第22届IMO试题) 设P为三角形ABC内任一点, P到三边BC, CA, AB的距离依次为d1, d2, d3, 记BC=a, CA=b, AB=c, 求
解 设x的分布列为
则
据EX2- (EX) 2≥0, 即得
于是
4 结束语
托尔斯泰说过:“成功的教学所需要的不是强制, 而是激发学生的兴趣.”学生一旦对数学学习产生兴趣, 就会专心致志地学习数学, 积极地钻研数学, 从兴趣发展到志趣.在一种愉悦的情境下成功地进行概率统计的教学, 是我们共同的追求.让我们在愉悦中产生兴趣, 在探索中获得成功, 在成功中品尝快乐.
参考文献
[1]刘崇林.詹森不等式f (EX) ≤或≥E (f (X) ) 及其应用[J].宁夏教育学院、银川师专学报, 1991, (1) .
[2]刘崇林.一类能用概率模型解决的“分析”问题[J].宁夏教育学院、银川师专学报, 1995, (3) .
概率、统计·期望与方差 篇11
1. 某射手射击所得环数[X]的分布列为：
[[X]＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&10＼&[P]＼&0.02＼&0.04＼&0.06＼&0.09＼&0.28＼&0.29＼&0.22＼&]
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（ ）
A. 0.28 B. 0.88
C. 0.79 D. 0.51
2. 样本中共有五个个体，其值分别为[a]，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）
A. [65] B. [65]
C. [2] D. 2
3.设随机变量[X～N（μ，σ2）]，且[P（X≥a）=P（X A. [σ] B. [μ] C. [-μ] D. [0][[X]＼&[1]＼&[2]＼&[4]＼&[P]＼&[0.4]＼&[0.3]＼&[0.3]＼&] 4. 随机变量[X]的分布列为 则[E（5X+4）=]（ ） A. 15 B. 11 C. 2.2 D. 2.3 5. 设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为[67]，则口袋中白球的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 6. 设[ξ]是离散性随机变量，[Pξ=x1=23，][Pξ=x2=13，且x1 A.[53] B.[73] C.3 D.[113] 7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为[x，y]，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则[|x-y|]的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若[P（X≤n）=1-a]，[P（X≥m）=1-b]，其中[m A. [（1-a）（1-b）] B. [1-a（1-b）] C. [1-（a+b）] D. [1-b（1-a）] 9. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为[X]，则[X]的均值[E（X）=]（ ） A. [126125] B. [65] C. [168125] D. [75] 10. 设离散型随机变量[ξ]满足[Eξ=-1]，[Dξ=3]，则[E[3（ξ2-2）]]等于（ ） A. 9 B. 6 C. 30 D. 36 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 若[ξ]的分布列如下表， 则[Eξ=] ，[Dξ=] . [[ξ]＼&0＼&1＼&[P]＼&[p]＼&[1-p]＼&] 12. 若随机变量[X～N（μ，σ2）]，则[P（X≤μ）=] . 13. 已知离散型随机变量[X]的分布列如下表. [[X]＼&-1＼&0＼&1＼&2＼&[P]＼&[a]＼&[b]＼&[c]＼&[112]＼&] 若[EX=0]，[DX=1]，则[a=] ，[b=] . 14. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以[A1，A2]和[A3]表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以[B]表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 . ①[P（B）=25] ②[P（B|A1）=511] ③事件[B]与事件[A1]相互独立 ④[A1，A2，A3]是两两互斥的事件 ⑤[P（B）]的值不能确定，因为它与[A1，A2，A3]中哪一个发生有关 三、解答题（共4小题，44分） [时间][频率/组距][0.025][0.0065][0.003][20 40 60 80 100] 15. （10分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）. （1）求直方图中[x]的值； （2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿； （3）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为[X]，求[X]的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 16. （10分）某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在[A]区射击3次或选择在[B]区射击2次，在[A]区每射中一次得3分，射不中得0分；在[B]区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在[A]区和[B]区每次射中移动靶的概率分别是[14]和[p（0 （1）若选手甲在[A]区射击，求选手甲至少得3分的概率； （2） 我们把在[A，B]两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在[B]区射击，求[p]的取值范围. 17. （12分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球. （1）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （2）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率； （3）记[X]为取出的3个球中编号的最大值，求[X]的分布列与数学期望. 18. （12分）某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为[14，12]；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为[12，14]；两人租车时间都不会超过三小时. （1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量[ξ]，求[ξ]的分布列与数学期望[Eξ]. 根据上述信息完成下列问题: (1) 求这次抽取的样本的容量; (2) 请在图 (2) 中把条形统计图补充完整; (3) 已知该校这次活动共收到参赛作品750份, 请你估计参赛作品达到B级以上 (即A级和B级) 有多少份? 【分析】条形统计图和扇形统计图是一种基本的统计图表, 通过条形统计图可以看到各个对象或多个因素的绝对统计数据, 能反应具体的数据;通过扇形统计图可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比.本题背景新颖, 首先考查了同学们的“图表”阅读能力, 其次考查同学们根据图表中反映出的数据解答有关问题的能力.要注意两幅图之间的对应关系, 首先由A级24人对应20%, 可求得样本容量为24÷20%=120 (人) , 所以C级为120×30%=36 (人) , D级为120-24-48-36=12 (人) , 则可把图 (2) 中条形统计图补充完整.由A、B两级所占的比例 (24+48) ÷120=60%, 可知750份的参赛作品中B级以上的作品为750×60%=450 (人) .该题在中考中还经常出现像求D级 (图 (1) 中) 所占的圆心角一类的问题, 要学会分析和转化. 例2 (2012·江苏常州) 在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球, 其中白球2只, 红球1只, 黑球1只, 它们除了颜色之外没有其他区别.从袋中随机地摸出1只球, 记录下颜色后放回搅匀, 再摸出第二个球并记录颜色.求两次都摸出白球的概率. 【分析】本题是典型的概率计算题, 同学们在做该类型摸球的题目时首先要明确是否有放回, 其次要用序号来区分相同颜色的球, 这样就不容易重复和遗漏.画树状图或列表如下: ∵共有16种等可能情况, 两次都摸出白球的情况有4种, ∴两次都摸出白球的概率为 例3 (2008·湖北天门) 如图, 有两个可以自由转动的均匀转盘A、B.转盘A被均匀地分成3等份, 每份分别标有1, 2, 3这三个数字;转盘B被均匀地分成4等份, 每份分别标有4, 5, 6, 7这四个数字.有人为小明, 小飞设计了一个游戏, 其规则如下: (1) 同时自由转动转盘A和B; (2) 转盘停止后, 指针各指向一个数字 (如果指针恰好指在分格线上, 那么重转一次, 直到指针指向某一数字为止) , 用所指的两个数字相乘, 如果积为偶数, 小明胜, 否则小飞胜. (1) 请你用列表或树形图求出小明胜和小飞胜的概率; (2) 游戏公平吗?若不公平, 请你设计一个公平的规则. 【分析】本题由列表或画树状图不难求出答案, 但是从游戏是否公平角度出发似乎又换了一种思维方式 (虽然转化幅度很小) , 判断游戏是否公平的 (或者奖项设置是否合理) 原则是双方获胜的概率是否相等.这类题既可以考查同学们正确掌握求概率方法的程度, 也可以考查同学们运用概率思想和知识解决实际问题的能力.无论是强化应用意识, 还是培养综合能力, 都是有价值的.列表如图: 【概率统计思想】推荐阅读： 概率统计方法07-18 统计概率法06-13 概率统计应用07-23 概率统计课程07-28 概率和统计数学05-12 概率统计复习疑难07-09 概率统计期末考试样卷09-02 日常生活中的统计概率09-04 概率论与数理统计心得05-29 概率论与数理统计教材06-26“统计与概率”例题精讲 篇12