口诀助你学考研数学概率的统计

2024-10-20

口诀助你学考研数学概率的统计（精选8篇）

口诀助你学考研数学概率的统计篇1

口诀助你学2012考研数学概率统计

参数估计占数理统计的一多半内容，所以参数估计是重点。统计里面第一章是关于样本、统计量的分布，这部分要求统计量的数字特征，要知道统计量是随机变量。统计量的分布及其分布参数是常考题型，常利用分布，分布及分布的典型模式及其性质以及正态总体样本均值与样本方差的分布进行。为此应记清上述三大分布的典型模式。关于三大分布，有一个口诀，有方便大家记忆：

正态方和卡方(x2 )出，卡方相除变F;

若想得到t分布，一正n卡再相除

第一个口诀的意思是标准正态分布的平方和可以生成卡方分布，而两卡方分布除以其维数之后相除可以生成F分步，第二个口诀的意思是标准正态分布和卡方分布相除可以得到分布。

参数的矩估计量(值)、最大似然估计量(值)也是经常考的。很多同学遇到这样的题目，总是感觉到束手无策。题目中给出的样本值完全用不上。其实这样的题目非常简单。只要你掌握了矩估计法和最大似然估计法的原理，按照固定的程序去做就可以了。矩法的基本思想就是用样本的阶原点矩作为总体的阶原点矩。估计矩估计法的.解题思路是：

1)当只有一个未知参数时，我们就用样本的一阶原点矩即样本均值来估计总体的一阶原点矩即期望，解出未知参数，就是其矩估计量。

2)如果有两个未知参数，那么除了要用一阶矩来估计外，还要用二阶矩来估计。因为两个未知数，需要两个方程才能解出。解出未知参数，就是矩估计量。考纲上只要求掌握一阶、二阶矩。

最大似然估计法的最大困难在于正确写出似然函数，它是根据总体的分布律或密度函数写出的，我们给大家一个口诀，方便大家记忆。

样本总体相互换，矩法估计很方便;

似然函数分开算，对数求导得零蛋;

第一条口诀的意思是用样本的矩来替换总体的矩，就可以算出参数的矩估计;第二个口诀的意思是把似然函数中的未知参数当成变量，求出其驻点，在具体计算的时候就是在似然函数两边求对数，然后求参数的驻点，即为参数的最大似然估计。

如果大家记住了上面的口诀，那么统计部分的知识点就很容易掌握了，最后预祝考生在考试中能取得自己满意的成绩!

◆

口诀助你学考研数学概率的统计篇2

一、顺序·公平

抽签问题也是古典概率中一个历史问题。袋中有a只白球, b只黑球。从中依次摸球, 试求第k次取出的球是白球的概率。

设:A=“第k次取出的球是白球”k=1, 2, …, a+b

解法一:把a只白球和b个黑球看作是不同的, 若把抽出的球依次排成一列, 则每个排列就是试验的一个基本事件, 基本事件数就等于a+b个球的所有全排列共有 (a+b) !, 事件A包含的基本事件特点就是在第k个位置上排的一定是白球, 共有a (a+b-1) !。因此,

解法二:把a只白球和b个黑球看作是不同的, 由于考虑第k个球的情况, 所以只需考虑从a+b中抽出k个球即可。因此若把抽出的k球依次排成一列, 则每个排列就是试验的一个基本事件, 基本事件数就等于个球的所有选排列共有Aka+b, 事件A包含的基本事件特点就是在第k个位置上排的一定是白球, 共有

从上述两种解法中可以看出抽到白球的概率是, 这个值与顺序k没有关系。对待同一个题目, 看待问题的角度不同使用的方法也就有所不同, 这就要求我们多角度、多方向地分析问题, 这样就既可以增加对题目的理解, 又可以开阔我们的思维。这个题目的模型在我们生活中也是随处可见。为了公平常常会进行抽签, 这个值与k没有关系, 也就是说抽签与顺序无关。比如, n张彩票中有一张奖券, 每个人摸到的概率在理论上概率是相等的。当然有人会说, 前面都抽完了后面还有什么意义, 这就我们对概率的理解问题。概率就是我们对未知事件的一种估计, 它最终的结果要么发生, 要么不发生, 只有这两种情况, 概率大的时候就说明事件发生的可能性大, 容易发生。

在讲完全概率公式后, 又把这个问题提出来, 从不同角度继续分析。

设在n张彩票中有一张奖券, 求第二人摸到奖券的概率是多少?

解:记Bi=第i个人摸到奖卷。

根据全概率公式可得:

这个结果仍然跟我们利用古典概型的结果一致, 再次说明了抽签与顺序没有关系。这也就希望大家以后在抽签的时候能“绅士”些!

二、感性·理性

讲完独立性概念, 我就会出这样的课堂讨论:

一个家庭中有若干个小孩, 假设生男生女是等可能的。令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}, B={一个家庭中最多有一个女孩}。对下列两种情形, 讨论A与B的独立性:

1. 家庭中有两个小孩。

2. 家庭中有三个小孩。我会首先问学生猜猜这个结果, 课堂总会是一片笑声。我说, 我们每个人对待任何事物都要有自己的观点。下面看看你们猜的结果是否正确?

分析:情形1的样本空间为:

此种情形下, 事件A、B是不独立的。

情形2的样本空间为:

此种情形下, 事件A、B是独立的。

通过分析会得出:家庭中有两个孩子与三个小孩对于A、B事件它的结果不一样。我就会说, 感性的东西并不可靠, 可靠的是我们的理性。而这种可靠的理性就是建立在我们严格的逻辑推理基础之上。数学课不仅仅是一门枯燥的定理公式, 而是教会我们一种理性的思维方法。

三、偶然·必然

贝努力概型是学习完独立性之后一个非常重要的概型, 也会涉及到概率中两个重要的原理, 小概率事件发生原理和小概率事件不发生原理。在每次试验中, 事件A发生的概率为p (0<P<1) , 且P很小, 称这种事件为小概率事件。我们在实际中认为, 小概率事件在一次试验中是不发生的, 称为小概率事件不发生原理。但是在多次试验中是发生的, 又称为小概率事件发生原理。

(用数学证明小概率实际发生原理)

可看作是相互独立的, 从而

原理的解释, 如:高速行驶在高速公路上的汽车, 我们认为在一次中不发生事故, 但是在一个时间段必然发生事故, 那降低事故的办法就是, 降低p的值。就是说, 我们规范行驶, 以减少在交通中的事故数。换句话说, 这两个原理也解释了我们常说的偶然与必然。小概率事件发生的概率非常小, 一次发生的概率几乎是0, 可以看作是偶然事情, 但是在众多中必然会发生。偶然中有必然, 必然中伴随着偶然。我们再来分析彩票问题[5]。从01, …, 35中选7个号码.其中7个基本号码, 1个特殊号码。中奖规则如下:

一等:7个基本号码;

二等:6个基本号码+1个特殊号码;

三等:6个基本号码;

四等:5个基本号码+1个特殊号码;

五等:5个基本号码;

六等:4个基本号码+1个特殊号码;

七等:4个基本号码, 或3个基本号码+1个特殊号码。

这个一等奖奖金是500万, 是我们梦寐以求的。

根据古典概率计算可知一、二、三、四、五、六、七等奖的中奖率分别为:0.149×10-6、1.04×10-6、28.11×10-6、84.32×10-6、1.096×10-3、1.827×10-3、30.4×10-3。

从上面可以得出, 不中奖的概率为0.966515, 中奖概率为0.033485, 中奖概率小于0.05, 说明中奖是一个小概率事件。也就是说中500万的概率非常的小, 可以认为在一次抽奖中是不发生, 但是当买的人非常多的时候, 必有一人中奖。因此, 我们应该理性地看待彩票问题, 任何人都想着一夜暴富, 不劳而获。我们从概率角度可以看出每个人中500万的概率是0, 因此对待彩票我们可以看作是一次娱乐活动, 中了高兴, 不中就当是为公益事业做出自己微薄的贡献。

四、方差·风险

方差和期望是随机变量非常重要的两个数字特征。在方差课堂教学中, 首先给出一个引例:甲、乙两射手各打了6发子弹, 每发子弹击中的环数分别为:

甲:10, 7, 9, 8, 10, 6

乙:8, 7, 10, 9, 8, 8

问哪一个射手的技术较好?

对于这个问题, 首先教会学生如何分析问题和在分析问题的顺序。在比较了两组数据后, 同学们肯定是想到了数学期望, 结果发现两个甲乙两人的均值都为8.3环, 此时问题陷入了僵局。在均值一致的是时候要反映两人的水平就需考虑稳定程度, 也就是两人的水平的稳定性, 如何反映稳定性呢?就需要考虑他们进一步比较平均偏离平均值的程度, 通过具体的实证分析引入了了方差的概念。

再给出方差的一个例题后会分析下面的例子:

某人有一笔资金, 可投两个项目———房地产和商业, 其收益都与市场状态有关。若把未来市场划分为好、中、差三个等级, 其发生的概率分别为0.2, 0.7, 0.1。通过调查, 该投资者认为投资房地产的收益X (万元) 和投资商业的收益Y (万元) 的分布列为:

请问:该投资者如何投资为好?

解:我们首先考察数学期望 (平均收益) , 可得E (X) =4.0, E (Y) =3.9。从平均收益来看差别不大。下面我们计算它们的各自方差, 他们的标准差为:σ (X) =3.93σ (Y) =1.81.

对初中数学统计与概率的教学思考篇3

在初中阶段如何处理统计与概率的内容？怎样发挥统计与概率在提高学生数学素养方面的功能？下面就这些问题，谈几点粗浅的看法。

一、统计与概率改革的意义

统计与概率内容的改革，对促进初中数学教学内容的现代化、结构的合理化，推动教育技术手段的现代化，改进教师的教学方式和学生的学习方式等都有积极的作用。

1．使初中数学内容结构更加合理

现行初中数学教学内容主要包括代数、几何，统计含在代数之中。初中三年总课时大约500左右，代数约占258课时，统计约占14课时，几何约占228课时。从课时分配上可以看出，代数和几何占有相当的份量，约占总课时的95%，统计仅占4%。代数、几何属于“确定性” 数学，学习时主要依赖逻辑思维和演绎的方法，它们在培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间观念方面发挥着重要作用。而统计与概率属于“不确定性”数学，要寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法，它在培养学生的实践能力和合作精神等方面更直接、更有效。统计、概率与现实生活密切联系，学生可以通过实践活动来学习数据处理的方法。

2．有效地改变教师的教学方式和学生的学习方式

轉变方式是学习统计与概率的内在要求。由于统计与概率中存在着大量的活动，学生需要通过亲自参与活动来学习统计与概率的内容，掌握数据处理的方法。这些活动以有效地导致教师与学生地位的根本改变，促进教师教学方法的改进和学生学习方式的改变。教师由知识的传授者成为活动的组织者、引导者、合作者，学生由被动接受知识的容器转变为活动学习的设计者、主持者、参与者；传统的传授式教学已不能满足教学的需要，学生的学习方式由被动接受变为主动探究。

二、处理统计与概率的基本原则

1．突出过程，以统计过程为线索处理统计与概率的内容统计学的主要任务是，研究如何以有效的方式收集和处理受随机性影响的数据，通过分析数据对所考察的问题作出推断和预测，从而为决策和行动提供依据和建议。统计是一个包括数据的收集、整理、描述和分析（包括概率）的完整过程。根据统计的这个特点，初中阶段的统计内容应该反映这个完整的过程，以过程为线索设计整个初中的统计内容。首先是数据的收集，然后是对收集到的数据进行整理和描述，最后对数据进行分析。在具体内容的处理上也应突出统计的基本过程，让学生经历收集数据，整理数据、描述数据和分析数据得出结论，利用结论进行合理预测和判断的统计过程。

2．强调活动，通过活动体验统计的思想，建立统计的观念

统计与生活实际是密切联系的，在收集数据、处理数据以及利用数据进行预测、推断和决策的过程中包含着大量的活动，完成这些活动需要正确的统计思想观念的指导。统计的学习要强调让学生从事简单的数据收集、整理、描述、分析，以及根据统计结果进行判断和预测等活动，以便渗透统计的思想，建立统计的观念。

3．循序渐进、螺旋上升式安排内容

统计是一个包括数据的收集、整理、描述和分析的完整过程，这个过程中的每一步都包含着多种方法。例如，收集数据可以利用抽样调查，也可以进行全面调查；在描述数据中，可以用象形图、条形图、扇形图、直方图、折线图等各种统计图描述数据。对统计过程中的任意一步，教材不可能在一个统计过程中全面介绍，因此教材可以采用循序渐进、螺旋上升的方式处理内容，在重复统计活动的过程中，逐步安排收集数据和处理数据内容。这样安排内容不仅符合统计的特点，也符合学生的认知规律。学生对统计的过程是陌生的，这样螺旋上升式安排内容，可以使学生在重复统计活动的过程中，不断完善对统计的认识，逐步掌握统计分析的各种方法。

三、处理统计与概率时值得注意的几个问题

1．统计与概率宜分别相对集中安排

概率是刻画事件发生可能性大小的量，统计是通过处理数据，利用分析数据的结果进行预测或决策的过程。从统计学内在的知识体系看，概率是统计学的有机组成部分，在数据的分析阶段，可以利用概率进行统计分析，从数据中得出结论，根据结论进行预测或判断。因此，在初中阶段，可以把概率看成是统计过程的一个阶段。

2．使用信息技术，突出统计量的统计意义

信息技术的发展，使收集数据和处理数据变得更方便、更快捷。我们可以通过计算机网络收集数据，利用计算机软件制作统计表，绘制各种统计图以及进行概率实验，这是统计与概率在各行各业得到广泛应用的一个重要原因。在教材编写和实际教学中，应当提供使用计算机处理一些内容的方案，作为弹性处理，供有条件使用计算机的学校或学生选用。

3．淡化处理概念

虽然概率与统计的概念不多，但有些概念给出定义是困难的，教材不必追求严格定义，应将重点放在理解概念的意义上来。例如概率的概念，在中学阶段给出严格的定义是不可能的，也是没有必要的，因此在编写时，可以通过大量的例子来说明，让学生感受到概率是对随机现象中规律性的一种刻画，是对事情发生可能性大小的一种估计就可以了。

4．选材广泛，文字叙述通俗、简洁

统计（包括概率）的现实生活素材是非常丰富的，编写教材时应当充分挖掘，尽量从学生的生活实际出发来引出和呈现内容，通过丰富的素材处理内容。选材可以是学生感兴趣的生活实际问题、社会问题或人与自然的问题等，突出现实性与时代感。

统计与概率的内容虽然有大量的图表，但也需要一定的文字语言解释说明。为不影响学生的阅读兴趣、分散学生的注意力，要避免大段的文字叙述。

5．体现对教学方法和学习方式的指导

考研数学概率论与数理统计解析篇4

考研结束了，相信很多考生松了一口气。今年的考研数学试题从整体上看，与去年差别不大，难度相比去年略有提升。专家现从概率论与数理统计这个科目出发，对今年的考试做一下几方面分析。

首先，出题的方向和题目的类型也都完全在预料之内，没有偏题怪题。只要考生有比较扎实的基础，复习全面，是很容易拿到高分的。细致地分析起来，今年的题目有这样几个特点：

一是依旧强调对概念的理解。如数学一和数学三的填空题，都是考查概念。数一的第七题，考查对概念的进一步理解。只要掌握好概念，客观题是很容易拿到分数的。

二是仍以计算为主。如在正确掌握概念的基础上，还是以计算为主。无论是数一数三的.解答题还是客观题，每道题都需要计算。所以计算还是我们考试的主体。

三是考查学生的分析能力。如数学一的第8题，就考查我们的分析能力。直接根据概念做是做不出来的，需要分析出他们的关系,从而解出最后结果。还有数三的第8题,需要先分析出X+Y=2的所有可能情况，然后才能得出正确结果。

概率论与数理统计和高等代数不同，高等代数中计算技巧多一些，而概率论与数理统计概念和公式比较多，对计算技巧的要求低一些，但对考生分析问题的能力要求高一些，概率论与数理统计中的一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。

要达到考试的要求只要公式理解的准确到位，并且多做些相关题目，考卷中碰到类似题目时就一定能够轻易读懂和正确解答。概率论与数理统计中的公式不仅要记住，而且要会用，要会用这些公式分析实际中的问题。我在这里推荐一个记忆公式的方法，就是结合实际的例子和模型记忆。比如二项分布，要结合他的实际背景，伯努利试验中成功的次数的概率。这样才是在理解基础上的记忆，记忆的东西既不容易忘，又能够正确运用到题目的解决中。

口诀助你学考研数学概率的统计篇5

(1)事件之间的关系与运算，以及利用它们进行概率计算；(2)概率的定义及性质，利用概率的性质计算一些事件的概率；(3)古典概型与几何概型；

(4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；(5)事件独立性的概念，利用独立性计算事件的概率；(6)独立重复试验，伯努利概型及有关事件概率的计算。

要求：考生理解基本概念，会分析事件的结构，正确运用公式，掌握一些技巧，熟练地计算概率。随机变量及概率分布考查的主要内容有：

(1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算；

(2)掌握一些重要的随机变量的分布及性质，主要的有：（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布，会进行有关事件概率的计算；

(3)会求随机变量的函数的分布。

(4)求两个随机变量的简单函数的分布，特别是两个独立随机变量的和的分布。要求：考生熟练掌握有关分布函数、边缘分布和条件分布的计算，掌握有关判断独立性的方法并进行有关的计算，会求两个随机变量函数的分布。

随机变量的数字特征考查的主要内容有：(1)数学期望、方差的定义、性质和计算；(2)常用随机变量的数学期望和方差；(3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差；(4)协方差、相关系数和矩的定义、性质和计算；

要求：考生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算，掌握由给出的试验确定随机变量的分布，再计算有关的数字的特征的方法，会计算协方差、相关系数和矩，掌握判断两个随机变量不相关的方法。大数定律和中心限定理考查的主要内容有：

(1)切比雪夫不等式；(2)大数定律；(3)中心极限定理。

要求：考生会用切比雪夫不等式证明有关不等式，会利用中心极限理进行有关事件概率的近似计算。数理统计的基本概念考查的主要内容有：

(1)样本均值、样本方差和样本矩的概念、性质及计算；(2)χ2分布、t分布和F分布的定义、性质及分位数；

(3)推导某些统计量的（特别是正态总体的某些统计量）的分布及计算有关的概率。要求：考生熟练掌握样本均值、样本方差的性质和计算，会根据χ2分布、t分布和F分布的定义和性质推导有关正态总体某些统计的计量的分布。参数估计考查的主要内容有：(1)求参数的矩估计、极大似然估计；(2)判断估计量的无偏性、有效性、一致性；(3)求正态总体参数的置信区间。

要求：考生熟练地求得参数的矩估计、极大似然估计并判断无偏性，会求正态总体参数的置信区间。假设检验考查的显著的主要内容有：

(1)正态总体参数的显著性检验；(2)总体分布假设的χ2检验。

要求：考生会进行正态总体参数的显著性检验和总体分布假设的χ2检验。常有的题型有：填空题、选择题、计算题和证明题，试题的主要类型有：

(1)确定事件间的关系，进行事件的运算；(2)利用事件的关系进行概率计算；(3)利用概率的性质证明概率等式或计算概率；(4)有关古典概型、几何概型的概率计算；(5)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；(8)利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率；(9)由给定的试验求随机变量的分布；(10)利用常见的概率分布（例如（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等）计算概率；(11)求随机变量函数的分布(12)确定二维随机变量的分布；(13)利用二维均匀分布和正态分布计算概率；(14)求二维随机变量的边缘分布、条件分布；(15)判断随机变量的独立性和计算概率；(16)求两个独立随机变量函数的分布；(17)利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式，或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差；(18)求随机变量函数的数学期望；(19)求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性；(20)求随机变量的矩和协方差矩阵；(21)利用切比雪夫不等式推证概率不等式；(22)利用中心极限定理进行概率的近似计算；(23)利用t分布、χ2分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质；(24)推证某些统计量（特别是正态总体统计量）的分布；(25)计算统计量的概率；(26)求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量；(27)判断估计量的无偏性、有效性和一致性；(28)求单个或两个正态总体参数的置信区间；(29)对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验；(30)利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。

这一部分主要考查概率论与数理统计的基本概念、基本性质和基本理论，考查基本方法的应用。对历年的考题进行分析，可以看出概率论与数理统计的试题，即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求考生能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。

在解答这部分考题时，考生易犯的错误有：

（1）概念不清，弄不清事件之间的关系和事件的结构；（2）对试验分析错误，概率模型搞错；（3）计算概率的公式运用不当；

（4）不能熟练地运用独立性去证明和计算；

概率论与数理统计考研复习题5 篇6

大数定理与中心极限定理

1．设随机变量X的数学期望E（X）=, 方差D（X）=，则由切比雪夫不等式PX3_____________.2．设X1,X2,,Xn是n个相互独立同分布的随机变量，E(Xi),D(Xi)8（i=1，2，．．．，n）.对于X2Xi 写出所满足的切比雪夫不等式____________，并估计ni1n

P{|X|62____________.n

3．设随机变量X，Y的数学期望分别为2，2，方差分别为1，4，而相关系数为0.5,根据切比雪夫不等式，P{|XY|6}____________.4．甲、乙两个戏院竞争1000名观众，假定每一个观众随意地选择一个戏院，且观众之间的选择是相互独立的，问每个戏院应设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%.5．在n次独立试验中，设事件A在第i次试验中发生的概率为pi(i1,2,,n)，试证明A发生的概率稳定于概率的平均值.6．假设一条自动生产线生产的产品合格率是0.8，要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，稳这批产品至少要生产多少件？

7．某餐厅每天接待400个顾客，设每位顾客消费额（元）服从[20，100]上的均匀分布，顾客的消费是相互独立的，试求：

（1）该餐厅的日平均营业额；

（2）日营业额在平均营业额上下不超过760元的概率.8．一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费。已知一年内投保人死亡率为0.006，如死亡，公司付给家属1000元，求：

（1）保险公司年利润为0的概率；

（2）保险公司年利润不少于60000元的概率.9．设Xn表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则P{aXnb}__________.10．投掷一枚骰子，为了至少有95%的把握使点向上的频率之差在（-0.01, 0.01）的范围内，问需要掷多少次？