概率论考研总结

概率论考研总结（精选10篇）

概率论考研总结 篇1

2018考研数学概率论与数理统计各章节重点总结

来源：智阅网

概率论与数理统计这门课程从试卷本身的难度的话，在三门课程中应该算最低的，但是从每年得分的角度来说，这门课程是三门课中得分率最低的。

这主要是由两方面造成的。一方面是时间不充裕，概率解答题位于试卷的最后，学生即使会，也来不及解答;另一方面是概率本身学科的特点，导致很多学生觉得概率非常难。

一、概率论与数理统计学科的特点

(1)研究对象是随机现象

高数是研究确定的现象，而概率研究的是不确定的，是随机现象。对于不确定的，大家感觉比较头疼。

(2)题型比较固定，解法比较单一，计算技巧要求低一些

比如概率的解答题主要考查二维离散型随机变量、二维连续型随机变量、随机变量函数的分布和参数的矩估计、最大似然估计。考生只要掌握了相应的解题方法，计算准确，就可以拿到满分.(3)高数和概率相结合

求随机变量的分布和数字特征运用到高数的理论与方法，这也是考研所要求考生所具备的解决问题的综合能力。

在复习概率与数理统计的过程中，把握住每章节的考试重点，概率一定能取得好成绩。

二、通过各章节来具体分析考试重点

第一章 随机事件与概率

本章需要掌握概率统计的基本概念，公式。其核心内容是概率的基本计算，以及五大公式的熟练应用，加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及贝叶斯公式。

第二章 随机变量及其分布

本章重点掌握分布函数的性质;离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数;常见离散型及连续型随机变量的分布;一维随机变量函数的分布。

第三章 多维随机变量的分布

在涉及二维离散型随机变量的题中，往往用到“先求取值、在求概率”的做点步骤。二维连续型随机变量的相关计算，比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点，考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。最后是要会计算二维随机变量简单函数的分布，包括两个离散变量的函数、两个连续变量的函数、一个离散和一个连续变量的函数、以及特殊函数的分布。

第四章 随机变量的数字特征

本章的复习，首先要记住常见分布的数字特征，考试中一定会间接地用到这些结论。另外，本章可以与数理统计的考点结合，综合后出大题，应该引起考生足够的重视。

第五章 大数定律和中心极限定理

本章考查的重点是一个切比雪夫不等式，以及三个大数定律，两个中心极限定理的条件和结论，考试需要记住。

第六章 数理统计的基本概念

重点在于“三大分布、八个定理”以及计算统计量的数字特征。

第七章 参数估计

本章的重点是矩估计和最大似然估计，经常以解答题的形式进行考查。对于数一来说，有时还会要求验证估计量的无偏性，这是和数字特征相结合。区间估计和假设检验只有数一的同学要求，考题中较少涉及到。

上面讲解的概率论与数理统计各章节重点，是考研数学的高频考点，大家要认真学习这部分的内容，好好学习，认真对待，此外建议大家要将学到的知识应用与实践中，多练习巩固，这样才能真正的掌握知识。《2018考研数学15年真题解析与方法指导（数学一）》这本书对大家现阶段的复习帮助很大，要认真利用哦。

概率论考研总结 篇2

关键词：概率密度函数,独立同分布,数学期望,几何分布

1.一道概率考研题及其常规解法

为了便于说清问题, 先给出这道概率考研题及其常规 (常见) 解法.

例题1: (2015全国硕士研究生入学统一考试数学 (一) 的第22题) 设随机变量x的概率密度函数为, 对X进行独立重复的观察, 直到第2个大于3的观测值出现时停止, 记Y为观测次数.1) 求Y的概率分布;2) 求Y的数学期望E (Y) .

本题的问题1) 是概率论的常见题型, 方法也是基本固定的, 不是本文讨论的重点.问题2) 是概率论中一种重要的题型, 但对不同的问题, 方法多种多样, 难易、繁简程度相差很大.就问题2) 来说, 经查阅相关资料[1,2], 发现与上面的解法大同小异, 基本相同.此种解法, 虽然用到的概率知识仅是数学期望的定义, 但求解的过程比较繁琐, 用到的解题技巧较多, 还要用到求函数项级数的和函数等高等数学知识. 如果说再用这种方法求解方差D (Y) 的话, 计算就会变得更复杂、更繁琐.

2.常规解法的不易引发的时刻和探究

从以上常规的求解方法可看出, 此种解法计算量大且较复杂.现在将问题再推广, 将“直到第2个大于3的观测值出现时停止”改为“直到第n个大于3的观测值出现时停止”, 如果还是用以上的常规解法, 计算的复杂性和计算量就会急剧增加, 变得非常复杂且困难.这显然不是一种好方法.

经过思考, 我们发现如果结合概率论中已有的相关结果, 紧扣题意并恰当利用随机变量数字特征 (如数学期望、 方差等) 的性质, 此类题型的求解就是有章可循的, 且求解过程简单明了、计算量小, 也便于推广.下面将例题1的问题2) 进行适当推广并求解, 具体见以下例题2.

下面先不加证明地用引理形式给出后面要用到的三个概率论中已有的相关结论[3].

引理1:若随机变量X服从参数为p的几何分布, 则E (X) =1/p, E (X) = (1-p) /p2.

引理2:设{X (t) , t≥0}是强度为λ的泊松过程, {Tn, n≥1}是对应的时间间隔序列, 则随机变量Tn是独立同分布的均值为λ-1的指数分布.

引理3:若随机变量服从参数为p的 (0, 1) 分布, 则E (X) =p, E (x) =p (1-p) .

例题2:设随机变量X的概率密度为, 对X进行独立重复的观察, 直到第n个大于3的观测值出现时停止, 记Y为观测次数.1) 求Y的数学期望E (Y) ;2) 求Y的方差D (Y) .

解:设观测值大于3的概率为P, 则.

再设第i-1个大于3的观测值出现后到第i个大于3的观测值出现时的观测次数为Xi, i=1, 2, 2, …, n.

则由题意知:Y=X1+X2+…+Xn, 且Y=X1, X2, …, Xn相互独立、都服从参数为p=1/8的几何分布.

由引理1知:E (Xi) =1/8=8, D (Xi) = (1-p) /p2=56

所以, 由数学期望与方差的性质有

以上解法的核心思想是:将复杂的随机变量Y (总的观测次数) 分解为若干个独立的简单随机变量之和, 然后利用数学期望和方差的性质, 再求出Y的数学期望和方差.这种方法, 具有一定的普遍性, 如果能够恰当使用, 就可以使一些复杂概率问题简单化, 做到有的放矢, 简单、快捷地解决这些问题.下面两例也是此种方法的典型应用.

例题3:设{X (t) , t≥0}是强度为λ的泊松过程, X (t) 表示t时刻事件A已发生的次数, Wn (n≥1) 表示事件A第n次发生的时刻.已知Wn的概率密度函数为

试求Wn的数学期望和方差.

解:设事件A第i-1次发生到到第i次发生的时间间隔为Ti, i=1, 2, …, n.

又由引理2知:Ti (1≤i≤n) 是独立同分布的均值为λ-1的指数分布, 所以有

在以上求解过程中, 没有用到Wn的概率密度函数.如果用一般常规的解法, 就需要用到且计算较复杂.

例题4:设某台通讯设备由nk个k类不同的元器件组成, 其中第i (1≤i≤k) 类元器件有个.已知在该通讯设备的运行过程中, 第i类中的每个元器件需要进行调整的概率都是pi.假设在该通讯设备的运行过程中, 各个元器件是否需要调整是相互独立的.记X为该通讯设备在运行过程中同时需要调整的元器件数, 试求X的数学期望和方差.

解:设

则由题意知:

相互独立,

且当j=1, 2, …, ni时, Xij均服从参数为的pi (0-1) 分布, i=1, 2, …k.

从而由引理3知:E (Xij) =pi, D (Xij) =pi (1-pi) j=1, 2, … , ni;i=1, 2, …, k.

所以, 由数学期望及方差的性质得

参考文献

[1]新东方在线.2015年考研数学一真题及答案[EB/OL].[2016-04-03].http://kaoyan.eol.cn/shuxue_3976/20141229/t20141229_121944012.shtml.

[2]中公教育.2015考研数学 (一) 真题答案及解析[EB/OL].[2016-04-03].http://learning.sohu.com/20141228/n407347641.shtml.

概率论考研总结 篇3

关键词：男病 病男 遗传概率

有关遗传病概率的计算是高中生物教学和高考中的重点和难点，学生应掌握该知识每一类题型的解法，所以教师应对易混淆的问题进行总结分类，进而再精讲。比如，有些学生遇到“男孩患病”及“患病男孩”相关概率计算时，往往不清楚何时要乘以1/2，我们必须对此类题型进行解析和总结。

一、常染色体遗传

例1：一对表现型正常的夫妇生下一患白化病的女孩，请问该夫妇：①再生一白化孩子的概率是多少？②再生一男孩白化的概率是多少？③再生一白化男孩的概率是多少？

解析：白化病为常染色体隐性遗传病，由题意可知该夫妇均为杂合子(Aa)，这里涉及到两种性状：一是肤色，由常染色体基因决定；一是性别，由性染色体决定。由此可知夫妇双方基因型分别为：AaXY,AaXX,其后代性状情况如下表：

表中精卵结合方式共8种，其中既符合“白化”性状，又符合男孩性状的只有aaXY，它占的比例为1/8，即“白化男孩”的概率为1/8；而表中男孩分别为AAXY、AaXY、AaXY、aaXY，其中aaXY为白化，占1/4，即“男孩白化”的概率为1/4。同样的道理可以求得“白化女孩”的概率为1/8，“女孩白化”的概率为1/4。

此题若不考虑性别，则在Aa×Aa婚配方式中，其后代基因型分别为：AA、Aa、aa，其中aa占1/4，即“白化孩子”的概率为1/4。据此可知：男孩白化概率=女孩白化概率=白化孩子概率=1/4；白化男孩概率=白化女孩概率=白化孩子概率×1/2。

总结:常染色体遗传与性别无关（在自然情况下，男女所占的比例为1/2）。男孩患病概率=女孩患病概率=患病孩子（所有可能后代中患病）的概率；患病男孩概率=患病女孩概率=所有后代中患病概率×1/2。

二、伴X遗传

例2：双亲正常，生了一个色盲儿子，这对夫妇再生一个色盲男孩的概率是多大？再生一个男孩色盲的概率是多大？

解析：根据题意可知双亲基因型分别为XBY、XBXb，后代分别为XBXB、XBXb、XBY、XbY，后代中既符合“色盲”性状，又符合“男孩”的只有XbY，因此色盲男孩的概率为1/4（以全部孩子为研究对象）；而所生男孩的基因型有XBY、XbY，其中XbY为色盲，所以男孩色盲的概率为1/2（以男孩作为研究对象）。

例3:一对患抗维生素D佝偻病的夫妇，婚后生一正常孩子，请问该夫妇:①生患病孩子的概率是多少？②生男孩患病的概率是多少？③生患病男孩的概率是多少？④生女孩患病的概率是多少？⑤生患病女孩的概率是多少？

解析：抗维生素D佝偻病为伴X显性遗传，与性别有关，对男女影响不同。由题目条件可知该夫妇基因型为XHXh和XHY，根据分离定律可知其所有可能后代中XHXH（患病女孩）∶XHXh（患病女孩）:XHY（患病男孩）∶XhY（正常男孩）=1∶1∶1∶1。故第①问中生患病孩子（以所有子代为研究对象）的概率为3/4。第②问中性别在前，表明性别确定为男孩，只以男孩为研究对象，而该夫妇所生男孩为XHY（患病男孩）∶XhY（正常男孩）=1∶1，故生男孩患病的概率为1/2，此时不要乘以1/2。第③问中性别在后，表明性别不确定，应以所有子代为研究对象，根据上面的比例式不难得到患病男孩占1/4，这里也不要乘以1/2。第④问应只以女孩为研究对象，子代中女孩为XHXH或XHXh，均为患病女孩，故生女孩患病的概率为l，不要乘以1/2。第⑤问应以所有子代为研究对象，由以上比例式可知所有子代中患病女孩占1/2，不要再乘1/2。

总结:伴X遗传与性别有关（即“男女不一定平等”）。男孩（或女孩）患病概率:性别在前，可理解为在男孩（或女孩）中求患病孩子的概率；患病男孩（或女孩）概率:性别在后，可理解为在所有后代中求患病男孩（或女孩）的概率。两种情况都不需要再乘以1/2。

三、两种同为常染色体遗传

例5:已知多指（D）对五指（d）为显性，正常肤色（A）对白化病（a）为显性。一对夫妇男性多指，女性正常，生了一个五指白化男孩。则这对夫妇①再生一男孩两病皆患的概率是多少？②再生一两病皆患男孩的概率是多少？

解析:两种病均为常染色体遗传。由题意推测这对夫妇的基因型分别为:AaDd和Aadd，然后将两对性状分开考虑Dd×dd→Dd（多指）的概率是1/2；Aa×Aa→aa（白化病）的概率为1/4。第①问中性别在前，只考虑男孩，其两病皆患的概率为患白化概率（1/4）乘以患多指概率（1/2）等于1/8。第②问中性别在后，两病皆患男孩的概率为患白化概率（1/4）乘以患多指概率（1/2）再乘以生男孩的概率（1/2），结果等于1/16。

总结:全部为常染色体遗传的两种病的概率计算，其解题思路和方法基本和第一种类型相同，但要注意的是:性别在后时，性别只考虑一次，然后将它们相乘。

四、两种概率考虑的实质

考研数学概率论数理统计复习 篇4

1. 概率的公式、概念比较多，怎么记?

答：我们看这样一个模型，这是概率里经常见到的，从实际产品里面我们每次取一个产品，而且取后不放回去，就是日常生活中抽签抓阄的模型。现在我说四句话，大家看看有什么不同，第一句话“求一下第三次取到十件产品有七件正品三件次品，我们每次取一件，取后不放回”，下面我们来求四个类型，第一问我们求第三次取得次品的概率。第二问我们求第三次才取得次品的概率。第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品。第四问不超过三次取到次品。大家看到这四问的话我想是容易糊涂的，这是四个完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生认为有的就是一个类型，但实际上是不一样的。

先看第一个“第三次取得次品”，这个概率与前面取得什么和后面取得什么都没有关系，所以这个我们叫绝对概率。第一个概率我想很多考生都知道，这个概率应该是等于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出来都是十分之三。这个概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是说这个概率与次数是没有关系的。所以在这里我们可以看出，日常生活中抽签、抓阄从数学上来说是公平的。

拿这个模型来说，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。下面我们再看看第二个概率，第三次才取到次品的概率，这个事件描述的是绩事件，这是概率里重要的概念，改变表示同时发生的概率。但是这个与第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以这样表述，如果用A1表示第一次取到次品，A2表示第二次取到次品，A3是第三次取到次品。

如果A表示第一次不取到次品，B表示第二次不取到次品，C表示第三次不取到次品，求ABC绩事件发生的概率。第三问表示条件概率，已知前两次没有取到次品，第三次取到次品P(C|AB)，第三问求的就是一个条件概率。我们看第四问，不超过三次取得次品，这是一个和事件的概率，就是P(A+B+C)。从这个例子大家可以看出，概率论确实对题意的理解非常重要，要把握准确，否则就得不到准确的答案。

2. 概率的数理统计要怎么复习?什么叫几何型概率?

答：几何型概率原则上只有理工科考，是数学一考察的对象，最近两年经济类的大纲也加进来了，但还没有考过，数学三、数学四的话虽然明确写在大纲里，还没有考。明年是否可能考呢?几何概率是一个考点，但不是一个考察的重点。我个人认为一是它考的可能性很小，如果考也是考一个小题，或者是选择题或者是填空题或者在大题里运用一下概率的模式，就是一个事件发生的概率是等于这个事件的度量或者整个样本空间度量的比。这个度量的话指的是面积，一维空间指的是长度，二维空间指的是面积，三维空间指的是体积。所以几何概率指的是长度的比、面积的比和体积的比。重点是面积的比，是二维的情况。

何概率其实很简单，是一个程序化的过程，按这四个步骤你肯定能做出来。第一步把样本空间和让你求概率的事件用几何表示出来。第二步既然是几何概率那就是图形，第二步把几何图形画出来。第三步你就把样本空间和让你求概率的事件所在的几何图形的度量，就是刚才所说的面积或者体积求出来。第三步代公式。以前考过的几何概率的题度量的计算都是用初等的方法做，我推测下次考的话，可能会难一点的。比如说用意项，面积可能用到定积分或者重积分计算，把概率和高等数学联系起来。

关于第二个问题，概率统计怎么复习，今年的考试分配很不正常，明年不会是这样的情况。我想明年数学一(统计)应该考一个八、九分的题是比较适中的。从今年考试中心的样题统计这一块是九分。数学三(统计)应该八分左右，统计这一块大家不要放弃，明年可能会考，分数应该是八、九分的题。至于复习，它的内容占了四分之一的样子。但是这一部分的题相对于概率题比较固定，做题的方法也比较固定，对考生来说比较好掌握，但这部分考生考得差，可能很多学校没有开这门课，或者开的话讲得比较简单，所以一些同学没有达到考试的水平。其实这部分稍微花一点时间就可以掌握了。主要就是这几块内容一是样本与抽样分布，就是三大分布搞清楚，把他们的结构搞清楚，把统计上的分布搞清楚。

然后是参数估计、矩估计、最大似然估计、区间估计、三种估计方法，三个评价标准，无偏性、有效性、一致性，重点是无偏性的考查，因为它是期望的计算，其次是有效性。一致性一般不会考，考的可能性很小。这三种估计方法重点也是前面两种，矩估计、最大似然估计，区间做了限制，考了很少，历年考试的情况也就是代代公式。

最后一部分是假设检验这部分，这一部分我个人推测明年有可能考一个概念性的小题。 一是了解U检验统计量、T检验统计量、卡方检验统计量，把这三个检验统计量的分布搞清楚。另外假设检验的思想和四个步骤了解一下就可以了。我想这部分考生少花一点时间，统计这个题是没有问题的，重点就是参数估计，就是三种估计方法，三个评价标准，重点在那个地方。

3. 我概率这块掌握的不够扎实，复习很困难，我应该怎样才能更好的复习概率这部分内容?

答：概率这门学科与别的学科是不太一样的，首先我建议这位同学你可以看一下教育部考试中心一本杂志，专门出了一个针对研究生考试的书，这个里面请我写了一篇文章，里面我举很多例子，你看了之后有一个详细复习方法。概率这门学科与概率统计、微积分是不一样的，它要求对基本概念、基本性质的理解比较强，有个同学跟我说高等数学不存在把题看不懂的问题，但是概率统计的题尤其文字叙述的时候看不懂题，从这个意义上来说同学平常复习时候，只要针对每一个基本概念，要把它准确的理解，概念要理解准确，通过例子理解概念，通过实际物体理解概念。例如：比如我们一个盒子一共有十件产品，其中三件次品，七件正品，我们做一个实验，每次只取一件产品，取之后不再放回去，现在我提两个问题：一个是第三次取的.次品是什么事件，这个事件就是积事件，第一次没有取到次品，第二次没有取到次品，第三次是取到次品，求这么一个事件的概率，但是换一个问题，我说你求前面两次没有取到次品情况下，第三次取到次品的概率，这个就不是积事件了，我第二个问题是知道了前面两次没有取到次品，这个信息已经知道了，然后问你第三次取到次品概率是多少，这是条件概率，这个信息已经知道了，另外一个事件发生的概率，这叫条件概率，这是容易混淆的。还有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，这就说明了这种课程的特点。

4. 概率的公式非常难背，有什么好方法吗?

答：背下来是基本的要求，概率的公式并不多，但是概率的公式和高等数学的公式相比，仅仅记住它是不够的，比如给一个函数求导数，你会做，因为你知道是求导数，概率问题，比如全概率公式，考试的时候从来没有哪一年是请你用全概率公式求求某概率，所以从分析问题的层面来说概率的要求高一点，但是从计算技巧来说概率的技巧低一些，所以我建议大家结合实际的例子和模型记它。比如二向概率公式，你可以这么记它，记一个模型，把一枚硬币重复抛N次，正面冲上的概率是多少呢?这个公式哪一个符号在实际问题里面是什么东西，这样才是在理解的基础上记忆，当然就不容易忘记了。

5. 关于数理统计先阶段复习应该抓哪些?

概率论考研总结 篇5

在考研数学中，除数二外，数一和数三都考查概率统计的知识，在整张试卷中占22%的分值，和线性代数所占比重是一样的，考生要想取得高分，学好概率统计也是必要的。纵观考研数学各科，概率这门学科与别的学科是不太一样的。概率要求对基本概念、基本性质的理解比较强，对计算的技巧要求反而较少。

概率论与数理统计可分为概率和数理统计两部分。在考研中，概率的重点考查对象在于随机变量及其分布和随机变量的数字特征。从历年试题看，概率论与数理统计这部分内容考查考生对基本概念、原理的深入理解以及分析解决问题的能力要求较高，需要考生做到能够灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用高等数学中的极限、连续、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决概率问题。

建议大家参考2013年考研数学大纲规定（2014考研新大纲还没有发布），将概率论与数理统计的内容细细梳理一遍，将基本概念、基本理论和基本方法结合一定的基本题练习彻底吃透，这样才能在题目形式千变万化的情况下把握“万变不离其宗”的本质，做到灵活应变。同时，在学习中要明确重点，对于不太重要的内容，如古典概型与几何概型，只要掌握一些简单的概率计算即可，不需要投入太多精力。

数理统计这部分考查的重点则在于与抽样分布相关的统计量的分布及其数字特征。建议考生首先做到将基本概念都了解清楚。χ2分布、t分布和F分布的概念及性质要熟悉，考题中常会有涉及。参数估计的矩估计法和最大似 然估计法，验证估计量的无偏性是要重点掌握的。假设检验考查到的不多，但只要是考纲中规定的都不应忽视。显著性检验的基本思想、假设检验的基本步骤、假设检验可能产生的两类错误以及单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验是考点。

概率论考研总结 篇6

现在回想起来所以付出的一切都值得。今年华工的概率统计复试线355，虽然是理学院最高，高出基础数学、运筹学和计算数学整整40分，高出应用数学31分，但是依然非常值得报考，这个等你走进华工就会知道。现在将我的复习建议和全部资料留给心怀梦想的你们。(本人今年数分122，高代130)

一、关于数分

个人建议把课本多看几遍，把课后题动笔做一下，不会的再答案。初试我看的华东师范大学的教材，课本看了三四遍，课后题连做带看过了三遍。其它的资料我没看，不过建议如果有时间的话看下钱吉林的《数学分析题解精粹》和裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》。建议把课本上定理知识点弄熟，不然会本末倒置。真题的价值我就不用说了，特别是数分的真题，大家一定要特别重视，通过真题可以看出它重点考察的知识点。我是剩下一个月才开始做真题，比较后悔，感觉至少花了一般的时间去搞比较难的知识点和习题，看了真题才知道几乎从来不考的。

二、关于高代

高代用的北京大学的那版，感觉这本教材很是不错，特别是课后习题很经典。书看了五六遍，课后题认认真真做了3、4遍。自我感觉高代还是有点学通了，虽然没考好。其实下了考场感觉能考将近140的。高代辅导教材推荐钱吉林的《高等代数题解精粹》，我当时是动笔做的，最后由于数分进度太慢，后期高代分的`时间就比较少，剩下大概两章没做，抽了一些题翻看了一下。真题掐着时间做一下，时间应该是比较充足的，有助于掌握华工出题的难易度。

关于英语和政治的帖子比较多，你们可以参阅一下，在此我就不多讲了。感觉政治是事半功倍的，花的功夫并不多，因为平时看的新闻多，当代经济与政治那些我本来都比较熟。后期联系模拟题正确率还是令同桌眼红的，最终考了74，算是我最满意的一个科目了。推荐几本书吧，英语：考研真相(真 题 解 析)，黄皮书(阅读理解150篇)。政治：肖秀荣1000题(好书)，肖老爷子最后的预测还是很靠谱的，今年中了两个大题吧。

三、关于复试

重点在笔试，面试自信从容面对。整个面试过程气氛蛮融洽的，老师都面带微笑，今年我们进去是直接抽题，没让自我介绍，五个题目，在一个纸条上面。我抽到的那张第一题是用英语介绍专业和志向，比较简单。第二题题是数学专有名词，尽量多记，常见的一定要记。后面三个题，一个是数分、一个概率、一个实变，比较简单，所以答得比较轻松。华工的复试是很公平的，我是没感觉到丝毫的水分。复试完与其它同学聊天，感觉自己答得相对算好的，结果也仅仅略高了几分，今年大家面试成绩基本都差不多，拉不开差距。当时面试时还是花了一番功夫的，自己做了一个简历，嫌网上表格不合适，就是自己动手做了个表。见到老师后把个人简历，本科发表的论文(一个科研项目的成果，本人第一作者)，还有两个数学建模奖状的复印件交给老师了，老师都扫了一下，没认真看。感觉这些也没发挥作用的。

一直很欣赏心中有梦且为之不懈努力的人，而我一直在努力成为这样的人。

考研数学概率复习重点归纳(精) 篇7

考研数学的概率部分也是考查的重点所在,下面万学海文的数学考研辅导专家将概率中的复习重点逐一归纳如下,以方便2011年的考生对照复习。

一、随机事件与概率 重点难点: 重点:概率的定义与性质,条件概率与概率的乘法公式,事件之间的关系与运算,全概率公式与贝叶斯公式

难点:随机事件的概率,乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算

常考题型:(1事件关系与概率的性质(2古典概型与几何概型(3乘法公式和条件概率公式(4全概率公式和Bayes公式(5事件的独立性(6贝努利概型

二、随机变量及其分布 重点难点

重点:离散型随机变量概率分布及其性质,连续型随机变量概率密度及其性质,随机变量分布函数及其性质,常见分布,随机变量函数的分布

难点:不同类型的随机变量用适当的概率方式的描述,随机变量函数的分布常考题型

(1分布函数的概念及其性质(2求随机变量的分布律、分布函数(3利用常见分布计算概率(4常见分布的逆问题(5随机变量函数的分布

三、多维随机变量及其分布 重点难点

重点:二维随机变量联合分布及其性质,二维随机变量联合分布函数及其性质,二维随机变量的边缘分布和条件分布,随机变量的独立性,个随机变量的简单函数的分布

难点:多维随机变量的描述方法、两个随机变量函数的分布的求解 常考题型

(1二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布(2二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布(3二维随机变量函数的分布(4二维随机变量取值的概率计算(5随机变量的独立性

四、随机变量的数字特征

重点难点

重点:随机变量的数学期望、方差的概念与性质,随机变量矩、协方差和相关系数

难点:各种数字特征的概念及算法 常考题型

(1数学期望与方差的计算(2一维随机变量函数的期望与方差(3二维随机变量函数的期望与方差(4协方差与相关系数的计算(5随机变量的独立性与不相关性

五、大数定律和中心极限定理 重点难点

重点:中心极限定理

难点:切比雪夫不等式、依概率收敛的概念。常考题型(1大数定理(2中心极限定理

(3切比雪夫(Chebyshev不等式

六、数理统计的基本概念

重点难点

重点:样本函数与统计量,样本分布函数和样本矩 难点:抽样分布 常考题型

(1正态总体的抽样分布(2求统计量的数字特征(3求统计量的分布或取值的概率

七、参数估计 重点难点

重点:矩估计法、最大似然估计法、置信区间及单侧置信区间 难点:估计量的评价标准 常考题型

(1求参数的矩估计和最大似然估计(2估计量的评价标准(数学一(3正态总体参数的区间估计(数学一

八、假设检验(数学一 重点难点

重点:单个正态总体的均值和方差的假设检验难点:假设检验的原理及方法 常考题型

考研考试概率复习三大注意事项 篇8

20全国硕士研究生入学统一考试中，数学一与数学三所考科目中除高等数学(微积分)与线性代数外就是概率论与数理统计了，所占比例都是22%，分值约为34分(总分150分)。

如果把三个科目按次序划分的话，总是高等数学(微积分)排第一，这也无可厚非，因为它不论从大学时学习的先后次序，还是从其知识的递进，拟或从考研数学中所占比例来说都是当仁不让的;线性代数可排第二了，因为对大多数同学来说，线性代数相对来说要简单一些;概率论与数理统计总是排末位，这也许有其客观原因，即概率中需要用到一些高等数学(微积分)的理论与方法，只有学习完高等数学(微积分)之后才能顺利学习它。

考研所考三个科目的排列顺序并不表明其重要程度。事实上概率在实际中的应用更广泛一些，所以学好概率论与数理统计有很大现实好处。现在我们来乙胰绾文芩忱通过考研中概率部分的题目并取得高分，这是目前考研的同学们的`重要任务。

第一，我要说的是同学们在学习概率论与数理统计的时候不要一头扎入古典概型的概率计算中不可自拔。概率论的第一部分就是关于古典概型与几何概型的计算问题，有很多问题是很复杂的，一旦陷入这一类问题的题海中，要么你的脑瓜会越来越聪明，要么打击你的信心，对概率论失去兴趣。一般同学都会处于后一种状态。那么怎么办呢?请转阅第二条。

第二，对概率论与数理统计的考点要整体把握。考研中，概率论的重点考查对象在于随机变量及其分布和随机变量的数字特征。所以对于第一条中所讲的古典概型与几何概型这部分，只要掌握一些简单的概率计算就可，把大量精力放在随机变量的分布上。数理统计的考查重点在于与抽样分布相关的统计量的分布及其数字特征。

第三，在心理上重视。考研数学试题中有关概率论与数理统计的题目对大多数考生来说有一定难度，这就使得很多考完试的同学感慨万千，概率题太难了!同时也为学弟学妹们传达了概率题目难的信息。所以同学们在复习之前就已经有了先入为主的看法：概率比较难!但同学们没有注意到，在自己复习之初做得准备都是关于高等数学(微积分)的，在概率上的时间本身就不足。而且如果你的潜意识中觉得一件事情难的话，那么那件事情对你来说就真的很难。人的潜力是非常巨大的，这也与“有多少想法，就有多大成就”的说法相合。如果你相信自己，那么概率复习起来是简单的，考试中有关概率的题目也是容易的，数学满分不是没有可能的。那么，从现在开始，在心理上告诉自己：概率并不难!

复习概率达到成功的最大概率取决于你的复习方法的适合度和投入的精力的多少，既如此，同学们，行动起来，让我们加大“概率”复习成功的概率吧!

概率论考研总结 篇9

一、填空： 1.水受热后，（）会增大，（）不变。2.水受热时体积（），受冷时体积（），我们把水的体积的这种变化叫做（）。３.钢铁造的桥在温度变化时会（）。因此，铁桥都架在（）上。４.通过直接接触，将热从（）传递给（），或者从（）传递到（）的传热方法叫（）。

５.像金属这样导热性能好的物体称为热的（），像塑料、木头这样导热性能差的物体称为（）。

６.装冷水的小塑料袋放入热水中会（）；装热水的小塑料袋放入冷水中会（），这说明热水比冷水（）。水在变热过程中，如果水温发生了变化，它的沉浮也可能发生变化。

7.水、空气、铜和钢都有热胀冷缩的性质，所以我们可以得出（）的结论。8.热总会从温度较（）的一端传递到温度较（）的一端。从温度（）的物体向温度（）的物体传递，直到两者温度（）。9.在做（）实验时，我们发现试管口的气球皮（）了，我对这个现象的解释是（）。

二、判断：对的请在括号里打“√”，错的请在括号里打“×”。

（）1.物体由冷变热或由热变冷的过程中会发生体积的变化，这可以通过我们的感官感觉到或通过一定的装置和实验被观察到。

（）2.多穿衣服会使人感到暖和，这是因为衣服能给我们增加热量。

（）3.把一小袋加热了的水放在冷水里，它会浮起来。

（）4.所有的固体、液体、气体都有热胀冷缩的性质。

（）5.不同材料制成的物体，导热性能是不一样的。

（）6.空气是一种热的良导体。

（）７.两手相互摩擦不能产生热。

（）８.锅用铁制成，锅柄用塑料或木头制成，因为铁、塑料、木头都是热的良导体。

三、选择

1.热的不良导体，可以（）物体热量的散失。

① 加快

② 减慢

③ 不改变 2.下面物体是热的良导体的是（）① 塑料勺

② 木勺

③ 钢勺

3.下面物体有热缩冷胀性质的是（）① 空气

② 铁

③ 锑

4.把压瘪了的乒乓球，浸人开水里烫一下，让乒乓球重新鼓起来的原理是（）① 液体的热胀冷缩

② 气体的热胀冷缩

③固体的热胀冷缩

5.密封的小塑料袋中装一些冷水，密封水袋会慢慢地从热水底部浮到水面，是因为（）① 小塑料袋中的冷水受热体积膨胀增大了浮力

②小塑料袋中的冷水受热后重量变轻了

③热水受冷体积缩小增大了浮力

6.铜、铁、铝等都是金属，都是热的良导体，它们的导热性能（）① 都相同

② 存在差异

③ 没法确定 7.热的良导体吸热快散热（）① 快

②

慢

③ 一般

四、看图填空 请用以下材料设计实验证明 “空气具有热胀冷缩的性质”，列出实验计划。热水足量、常温水足量、冰水足量、1只小锥形瓶、3只烧杯、1个气球。

五、简答

1.为什铁路上的每根钢轨之间都留有一定间隙？

概率论考研总结 篇10

（1）事件的包含和相等

包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作相等：若且，或

性质：，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。

（2）和事件

概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作

或A＋B。

解释：

包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。

性质：①，；②若

；则

（3）积事件

概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。

解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。

性质：①，；② 若，则AB＝A。

（4）差事件

概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A－B.性质：① A－（5）互不相容事件

概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝，则称事件A与事件B互不相容。；② 若，则A－B＝

推广：n个事件A1，A2，„，An两两互不相容，即AiAj＝，i≠j，i，j＝1，2，„n。

（6）对立事件：

概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做

.解释：事件A与B互为对立事件，满足：①AB＝ф；②A∪B＝Ω 性质：①；

②，；

③A－B＝

＝A－AB ④A与B相互对立A与B互不相容.小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；

运算：和，积，差，对立.（7）事件的运算性质

①（和、积）交换律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；

②（和、积）结合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；

③（和、积）分配律 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

④对偶律 ；

.由频率的性质推出概率的性质

①推出①

②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1

推出③P（A∪B）=P（A）＝P（B），可推

③A，B互不相容，广到有限多个和无限可列多个.2.古典概型

概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：

①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；

②每个基本事件发生的可能性相同。

计算公式：

概率的定义与性质

（1）定义：设Ω是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为

P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件：

①P（A）≥0；

②P（Ω）＝1；

③设，„，„是一列互不相容的事件，则有，；

； ；

④

..（2）性质 ①

②对于任意事件A，B有

③条件概率与乘法公式

定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）

计算公式：设AB为两个事件，且P（B）>0，则。

乘法公式：当P（A）>0时，有P（AB）＝P（A）P（B|A）；

当P（B）>0时，有P（AB）＝P（B）P（A|B）推广：

①设P（AB）>0，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）

②设，则

2.全概率公式与贝叶斯公式

（1）划分：设事件

①

②，„，，„，满足如下两个条件：，i＝1，2，„，n；，„，至少有一个发生，则称，„，互不相容，且，即，为样本空间Ω的一个划分。

当，„，为样本空间Ω的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。

（2）全概公式：设随机试验的样本空间为Ω，，„，为样本空间Ω的一个划分，B为任意一个事件，则注意：当0

.就是Ω的一个划分，对任意事件B则有全概公式的最，„，为样本空间Ω的（3）贝叶斯公式：设随机试验的样本空间为Ω，一个划分，B为任意一个事件，且P（B）>0，则

，i＝1，2，„，n.注意：①在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P（B）；

②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.事件的独立性

（1）概念：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。

（2）性质：① 设P（A）>0，则A与B相互独立的充分必要条件是。

② 若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。（3）推广：① 3个事件相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足

P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。

② 3个事件两两相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足

P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），则称A，B，C两两相互独立。

显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。

③ n个事件相互独立：设A1，A2，„，An为n个事件，若对于任意整数k

（1≤k≤n）和任意k个整数1≤i1< i2<„ik≤n满足

则称A1，A2，„，An相互独立，简称A1，A2，„，An独立 n重贝努利试验

概念：如果一次试验只有两个结果：事件A发生或不发生，且P（A）＝p（0

计算：在n重贝努利试验中，设每次试验事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率Ｐn（k）为，k＝0，1，2，„，n。

第二章 随机变量及其概率分布

随机变量的概念 定义：设E是随机试验，样本空间为Ω，如果对于每一个样本点ω∈Ω，有一个实数X（ω）与之对应，则称X＝X（ω）为随机变量，记做X, Y, Z,„。

（4）解释：① 随机变量不是普通变量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一个值的，即具有随机性，因此称为“随机变量”；

② 在一次随机试验中，可以根据不同的需要来定义不同的随机变量。

③ 引入随机变量后，可用随机变量来描述事件，如掷骰子，设出现的点数为随机变量X，则“出现4点”可表示为{X＝4}，“不少于4点”可表示为{X≥4},等等 离散型随机变量定义：若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。

离散型随机变量的分布律：设X为离散型随机变量，可能取值为x1，x2，„，xk，„，且P{X＝xk }＝pk，k＝1，2，„，则称{ pk }为X的分布律（或分布列，概率分布）。

分布律也可以用表格形式表示：

（3）分布律{pk}的性质：① pk≥0，k＝1，2，„；②.反之，若一个数列{pk}具有以上两条性质，则它可以作为某随机变量的分布律。

（4）用途：可用分布律求任意事件的概率

三种常用的离散型随机变量的分布

（1）0－1分布（两点分布）

定义：若随机变量X只取两个可能值0，1，且P{X＝1}＝p，P{X＝0}＝q, 其中0

（2）二项分布

定义：若随机变量X的可能取值为0，1，2，„，n，而X的分布律为，k＝0，1，2，„，n其中0

解释：n＝1时，二项分布即为0－1分布，所以，二项分布是服从0－1分布的随机试验进行n次的情况。

泊松定理：设λ>0是常数，n是任意正整数，且，则对于任意取定的非负整数k，有。

泊松定理的应用：当n很大，p很小时，二项分布可以用泊松逼近来近似计算。

在实际计算中，当n≥20，p≤0.05时计算效果颇佳（3）泊松分布

定义：设随机变量X的可能取值为0，1，2，„，n，„，而X的分布律为，k＝0，1，2，„，其中λ>0，则称X服从参数为λ的泊松分布，记做X ～ P（λ）分布函数的概念

定义：设X为随机变量，称函数F（x）=P（X≤x），x∈（-∞,+∞）为X的分布函数。

离散型随机变量X的分布函数为

分布函数的性质

（1）0≤F（x）≤1。

（2）F（x）是不减函数，即对于任意的x1

（3）F（-∞）=0，F（+∞）=1，即

（4）F（x）右连续，即。

用分布函数表示事件的概率：设随机变量X的分布函数为F（x）, 则

（1）P{X≤b}=F（b）；

（2）P{a

（3）P{X>b}=1-F（b）连续型随机变量及其概率密度

（1）定义：设随机变量X的分布函数为F（x），若存在非负函数f（x），使得对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，并称f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度（或密度函数）。

解释：连续型随机变量的“连续”指的是其密度函数在某区间或整个实轴上是连续函数。

（2）概率密度的性质：① f（x）≥0；

②

③④ 设x为f（x）的连续点，则存在三种常用连续型随机变量的分布

Ⅰ.均匀分布

，且

；

（1）定义：若随机变量X的概率密度为上的均匀分布，记做X～U（a,b），则称X服从区间[a,b]（2）分布函数为 Ⅱ.指数分布

（1）定义：若随机变量X的概率密度为称X服从参数为λ的指数分布，记做X～E（λ）.，其中λ>0为常数，则

（2）指数分布的分布函数为Ⅲ.正态分布

，（1）定义：若随机变量X的概率密度为

22，－∞

2μ,σ为常数，－∞<μ<+∞，σ>0，则称X服从参数为μ,σ的正态分布，记做X～N（μ,σ）

（2）概率密度函数的性质：

①曲线关于直线x=μ对称，则对于任意h>0，有P（μ-h

②当x=μ时取得最大值.在x=μ±σ处曲线有拐点，曲线以x轴为渐近线.③当σ给定，μ1<μ2时，对应的密度函数的图象可沿x轴互相平移得到.④当μ给定，σ1<σ2时，对应的密度函数的图象如图下图所示，σ越小，图象越尖锐，σ越大，图象越平缓.（3）分布函数为.（4）标准正态分布：当μ=0，σ=1时的正态分布N（0,1），称为标准正态分布，其概率密度和分布函数分别记做和Φ（x），即，，（5）标准正态分布的分布函数的性质

①Φ（-x）=1-Φ（x）；

②.（6）正态分布与标准正态分布的关系

设X～N（μ,σ），分布函数为F（x），标准正态分布的分布函数为Φ（x），则

①

②

③.Ⅳ.上侧α分位数

（1）定义：设X～N（0,1），若uα满足条件P{X>uα}=α，0<α<1，则称点uα为标准正态分布的上侧α分位数。（2）求法：反查标准正态分布表

随机变量函数的概念：设

是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.设离散型随机变量的分布律为

则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为

但是，若

有相同的情况，则需要合并为一项.连续型随机变量函数的概率密度

定理：设为连续型随机变量，其密度函数为其值域为，且

.记

.设的反函数，则

是严格单调的可导函数，的概率密度为

.两个重要结论：当 时，,且随机变量称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换，这两个结论十分有用，必须记住

仍是正态随机变量，即aX+b～第三章 多维随机变量及概率分布

设（，）为一个二维随机变量，记为二维随机变量（，）的联合分布函数，或称为（＝

＝

，则称函数

和，称二元函数函数.记函数，）的分布为二维随机变量（，）的两个分量 和 的边缘分布函数.二维随机变量分布函数的性质：

（1）

（2）0，（3）是变量（或）的不减函数；

1，对任意给定的，；

.；对任意给定的，；关于和关于均右连续，即，有（4）对任意给定的二维离散型随机变量

设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（各个可能取值的概率为（＝1，2，„）为（X，Y）的分布律，（），（＝1，2，„），（X，Y）的，＝1，2，„），称（X，Y）分布律的性质

[1]，（＝1，2，„）；

[2]

二维连续型随机变量的概率密度

（1）设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y），若存在非负可积函数使得对任意实数x，y，有量；并称，则称（X，Y）为二维连续型随机变为（X，Y）的概率密度或X与Y的联合密度函数.的性质：

；

（2）概率密度

① 非负；

②

③ 若在 处连续，则有

； ④ 两种二维连续型随机变量分布

（1）均匀分布

①定义：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S＞0，如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为

则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X,Y）在D上服从均匀分布），记作（X,Y）～UD。

②两种特殊区域的情况：

ⅰ.D为矩形区域a≤x≤b，c≤y≤d，此时

ⅱ.D为圆形区域，如（X,Y）在以原点为中心，R为半径的圆形区域上服从均匀分布，则（X,Y）概率密度为

二维随机变量的边缘分布

（1）定义：对于连续型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为

（2）求法：它们可由（X,Y）的概率密度f（x，y）求出，P71

定义：设F（x,y），FX（x）和FY（y）分别是二维随机变量（x,y）的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数x，y，有F（x,y）= FX（x）FY（y），则称X与Y相互独立.（2）等价关系：P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}

设（X,Y）为二维连续型随机变量，其概率密度为f（x,y）及关于X和Y的边缘概率密度为和 则X与Y相互独立的充分必要条件是等式

几乎处处成立

P81 两个相互独立且都服从泊松分布（参数分别为 和）的随机变量之和仍服从泊松分布，且具有参数（泊松分布可加性）

求Z=X+Y的概率密度

设（X，Y）为二维连续型随机变量，其密度函数为f（x，y），关于X，Y的边缘概率

分别为fx（x），fY（y），又设X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度：

这就是二维连续型独立随机变量和的卷积公式

第四章 随机变量的数字特征

离散型随机变量的期望

定义：设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k＝1，2，„.若级数（即级数收敛），则定义X的数学期望（简称均值或期望）为三种离散型随机变量的数学期望

① 两点分布

设离散型随机变量X的分布律为

② 二项分布 设X～B（n,p），即③ 泊松分布

（i＝0,1，2，„，n），q=1-p，则E（X）=np.绝对收敛

其中0

设X～P（λ）其分布律为，i＝0，1，2，„，则E（X）= λ.定理4－1 设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k＝1，2，„ 令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为

连续型随机变量的期望

（1）定义：设连续型随机变量X的概率密度f（x），若广义积分称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为E（X），即（2）三种连续型随机变量的期望

① 均匀分布

绝对收敛，则

.设X～U（a,b），其概率密度为

② 指数分布

，则.设X～E（λ），其概率密度为③ 正态分布

，则.设X～N（μ,σ），其概率密度为 2，-∞

二维随机变量分量的期望

定理4－3：（1）若（X,Y）为离散型随机变量，其分布律为分布律为，则，边缘

说明：也可以先求Y的概率，.（2）若（X,Y）为连续型随机变量，其概率密度与边缘概率密度分别为f（x,y），fX（x），fY（y），则

二维随机变量函数的期望，.定理4－4： 设g（x,y）为二元连续函数，对于二维随机变量（X,Y）的函数Z=g（X,Y），（1）若（X,Y）为离散型随机变量，级数则

；

绝对收敛，则

.绝对收敛，（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分

期望的性质

（1）常数的期望等于该常数，即E（C）=C，C为常数；

（2）常数与随机变量X乘积的期望等于该常数与随机变量期望的乘积，即E（CX）=CE（X）；

（3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）；

综合性质（2）和（3），则有E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1,C2为常数.一般地，其中Ci为常数.（4）两个相互独立的随机变量的乘积的期望等于随机变量期望的乘积，即若X,Y为相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y）

4.2节 方差

定义：设随机变量X，且（X-E（X））的期望存在，则称E（X-E（X））为随机变量X 的方差，记为D（X），即D（X）=E（X-E（X））；又称 若离散型随机变量X的分布律为P（X=xk）=pk，k＝1，2，„，则

若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则

为随机变量X的标准差...方差计算公式：①D（X）=E（X）-（E（X））即X的方差等于X的期望—X的期望的平方 ② 若离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k＝1，2，„，则③若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则 常用随机变量的方差

（1）0－1分布

设离散型随机变量X的分布律为

（2）二项分布 设X～B（n,p），即（3）泊松分布

（i＝1，2，„，n），q=1-p，则 D（X）=npq.其中0

..设X～P（λ），其分布律为（4）均匀分布，i＝0，1，2，„，则 D（X）=λ.设X～U（a,b），即概率密度为

（5）指数分布

，则.设X～E（λ），即概率密度为（6）正态分布

，则.设X～N（μ，σ），即概率密度为2，-∞

（1）常数的方差等于零，随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，即

D（C）=0，D（X+C）=D（X）

2.常数与随机变量乘积的方差等于该常数的平方与随机变量方差的乘积，即D（CX）=CD（X）.（3）两个相互独立随机变量之和的方差等于它们方差之和，即若X，Y相互独立，则

D（X+Y）=D（X）+D（Y）

下表是六种常见分布的期望和方差的结果。

4.3 协方差与相关系数

定义：设二维随机变量（X,Y），且E（X），E（Y）存在，如果E[（X-E（X））（Y-E（Y））]存在，则称之为X与Y的协方差，记为cov（X,Y），即cov（X,Y）=E[（X-E（X））（Y-E（Y））].（2）若离散型二维随机变量（X,Y）的分布律为

则.（3）若连续型二维随机变量（X,Y）的概率密度为f（x,y），则

.，（i,j＝1，2，„），（4）计算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）特例：当X=Y时，cov（X,X）=D（X）（5）协方差的性质

① cov（X,Y）=cov（Y,X）； ② cov（aX,bY）=abcov（X,Y），其中a,b为任意常数；

③

④ 若X与Y相互独立，则cov（X,Y）=0.f（x,y）≠fX（x）·fY（y）,知X，Y一定不相互独立。可见Cov（X,Y）=0是X与Y相互独立的必要非充分条件。2.相关系数

（1）定义：若D（X）>0，D（Y）>0，称为X与Y的相关系数，记为，即（2）性质

①

.② 相关系数的绝对值=1的充分必要条件是存在常数a，b，使 P{Y=aX+b}=1且a≠0.（3）不相关定义：若相关系数ρXY=0，则称X与Y不相关.（4）相关系数的意义：两个随机变量的相关系数是它们之间线性关系程度的度量：，表示它们之间存在完全线性关系，即一次函数关系；

ρXY=0，表示它们之间无线性相关关系，但是，不表示它们之间不存在其他相关关系；，表示它们之间存在一定的线性相关关系.若ρXY>0，表示它们之间存在正线性相关关系，即上式中a>0； 若ρXY<0，表示它们之间存在负线性相关关系，即上式中a<0.（5）两个重要结论

① 随机变量X与Y相互独立

X与Y不相关；反之未必.② 若二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，则ρXY=ρ，且二维随机变量（X,Y）的两个分量不相关两个分量相互独立.ρ=0.3.矩、协方差矩阵

kk

（1）矩的定义：设X为随机变量，k为正整数，① 如果E（X）存在，则称E（X）为X的k阶原点矩，记为vk=E（X）；② 如果X的k阶中心矩，记为

＝

.k

存在，则称 为（2）两种随机变量的矩

① 离散型随机变量的矩：若离散型随机变量X的分布律为P{X=xi}=pi，i＝1，2，„，则，②连续型随机变量的矩：若连续型随机变量的概率密度为，则，.显然，一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方差.（3）混合矩定义：设X，Y为随机变量，① 若为X和Y的阶混合原点矩；②若

（k,l＝1，2，„）存在，则称其

存在，则称其为X和Y的阶混合中心矩.显然，协方差是二阶混合中心矩.（4）协方差矩阵

① 二维随机变量的协方差矩阵定义：设二维随机变量（X1,X2）的4个二阶中心矩为

C11=E[X1-E（X1）]=cov（X1 ,X1）=D（X1），C12=E[（X1-E（X1））（X2-E（X2））] =cov（X1 ,X2），C21=E[（X2-E（X2））（X1-E（X1））] =cov（X2 ,X1），

2C22=E[（X2-E（X2））] =cov（X2 ,X2）= D（X2），则称矩阵

为二维随机变量（X1,X2）的协方差矩阵.② n维随机变量（X1,X2,„,Xn）的协方差矩阵定义：设n维随机变量（X1,X2,„,Xn）的二阶中心矩为矩阵

（i,j＝1，2，„，n），则称为维随机变量（X1,X2,„,Xn）的协方差矩阵.第五章 大数定律及中心极限定理

切比雪夫不等式定理：设随机变量X的期望E（X）及方差D（X）存在，则对任意小正数

ε＞0，有 因为事件

与事件

是对立事件，所以 贝努利大数定律

定理：设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对于任意正数ε，有

独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律

定理：设X1, X2，„，Xn，„是独立同分布随机变量序列，E（Xi）=μ，D（Xi）=σ，（i

2＝1，2，„）均存在，则对于任意ε＞0有

独立同分布随机变量序列的中心极限定理

定理：设X1, X2，„，Xn，„是独立同分布随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ，（i＝1，2，„）均存在；再设随机变量 2的分布函数为F（，则对任意实数x有nx）其中Φ（x）为标准正态分布函数 两个结论

① 定理说明，当n充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其和近似服从正态分布；

② 定理说明：当n充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其平均值

棣莫弗-拉普拉斯D－L中心极限定理

定理：设随机变量Zn是独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任意实数x有，其中q=1-p，Φ（x）为标准正态分布函数.由D-L定理得到 计算公式

两个结论：

①当n充分大时，②当n充分大时，；

第六章 统计量及其抽样分布

统计量与抽样分布

定义：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，若样本函数T=T（x1, x2，„，xn）中不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布.2.经验分布函数 定义：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，总体X的分布函数为F（x），若将样本观察值x1, x2，„，xn按由小到大排列为x（1），x（2），„，x（n），则称之为有序样本；用有序样本定义函数，k＝1，2，„，n-1，则称Fn（x）为经验分布函数.显然，Fn（x）是一个非减右连续函数，且满足Fn（-∞）=0，Fn（+∞）=1 样本均值及其抽样分布

（1）样本均值的定义：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，其算术平均值称为样本均值，一般记为，即.在将样本分为k组的情况下，样本均值的计算公式为

fi为第i组的频数.样本均值的性质，其中，k为组数，xi为第i组的组中值，① 若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即

② 偏差平方和最小，即对任意常数c，函数样本均值的抽样分布，当时取得最小值.定理：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，为样本均值，（1）若X～N（μ，σ），则的精确分布为

22（2）若总体X的分布未知或不是正态分布，且E（X）= μ，D（X）= σ，则当样本容量n较大时，的渐近分布为样本方差与样本标准差

.这里的渐近分布是指n较大时的近似分布。

（1）定义：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，则它关于的平均偏差平方和

称为样本方差；其算术根称为样本标准差.在上面的定义中，称为样本偏差平方和，它有3个不同的表达式：

＝

样本均值的数学期望和方差, 以及样本方差的期望

定理：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，具有二阶矩，即E（X）= μ，D（X）= σ，和

2s分别为样本的均值和方差，则2，E（s）=σ此定理表明，样本均值

22的均值与总体均值相同，而样本均值的方差是总体方差的1/n.样本矩及其函数

定义：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，则称统计量为样本k阶原点矩；

称统计量2

为样本k阶中心矩.样本均值是样本一阶原点矩，但本书中样本

表示，以示区别 方差s不是样本k阶中心矩，而用顺序统计量

定义：设总体X的分布函数为F（x），分布密度为f（x），样本为x1, x2，„，xn，则称 x（1）=min{x1, x2，„，xn}和x（n）=max{x1, x2，„，xn}为此样本的极小顺序统计量和极大顺序统计量

定理：设总体X的分布函数为F（x），分布密度为f（x），样本为x1, x2，„，xn，x（1），x（n）为样本的极小、极大顺序统计量，则x

（1）的分布密度为f1（x）=n（1-F（x））

n-1f（x），x（n）的分布密度为fn（x）=nFn-1（x）f（x）

正态总体的抽样分布（1）分布

① 定义：设X1, X2，„，Xn为相互独立且服从同分布N（0,1）的随机变量，则统计量的分布称为自由度为n的分布，记为

.②

求法：反查（2）F分布 分布的α分位点：当随机变量的分布表

时，对给定的α∈（0，1），称满足

分布的α分位点.为自由度为n的① 定义：设X1，X2相互独立，且，则称的分布为自由度为m与n的F分布，记为F～F（m,n）, 其中m称为分子自由度，n称为分母自由度.② F分布的α分位点：当随机变量F～F（m,n）时，对给定的α∈（0，1），称满足

P{F>Fα（m,n）}= α 的Fα（m,n）为自由度为m与n的F分布的α分位点.③ F分布的α分位点的性质：若F～F（m,n），则1/F～F（n,m）.从这个性质可以推出

④ 求法：当α较小时，分位点Fα（m,n）可直接从附表5中查得，而分位点F1-α（m,n）可通过上式查得（3）t分布

① 定义：设X1，X2相互独立，且X1～N（0,1），为自由度为n的t分布，记为t～t（n），则称的分布

② t分布的α分位点：当随机变量t～t（n）时，对给定的α∈（0，1），称满足 P{t>tα（n）}= α的tα（n）为自由度为n的t分布的α分位点.③ t分布α分位点的性质：由于t分布的密度函数关于0对称，则有t1-α（n）=-t α（n）.④ 求法：同上

（4）一些重要结论

定理：设x1, x2，„，xn是来自正态总体N（μ，σ）样本，其样本均值与方差分别为

和，则有 ①与s相互独立；

②；

③.（推论6－1）

推理6－2 设x1, x2，„，xm是来自的样本，y1, y2，„，yn是来自的样本，记，其中，则有；特别的，若，则 推理6－3 在推理6－2的条件下，设，并记

则

第七章 参数估计

点估计的两种常用方法

（1）替换原理和矩法估计

① 替换原理：替换原理常指如下两句话：一是：用样本矩替换总体矩；二是：用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数.② 矩估计的方法：根据替换原理，用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。例如： 用样本均值估计总体均值E（X），即用样本二阶中心矩估计总体方差，即；

；

用事件A的频率估计事件A的概率等 极大似然估计

设总体的概率函数为p（x,θ），是参数θ，其中θ是一个未知参数或未知参数向量，的取值范围，x1,x2,„xn是该总体的样本，将样本联合概率函数记为，简记为存在统计量，使得

则称为样本的似然函数.如果，则称为θ的极大似然估计 计算方法：

① 构造似然函数；② 求似然函数的对数.由于似然函数是以乘积形式构成，对数函数是的单调增加函数，则似然函数的对数与其有相同的极值点，所以在求导数之前先求似然函数的对数；③ 用导数求似然函数对数的极值，得极大似然估计值

分别给出离散型随机变量和连续型随机变量的极大似然估计求未知参数 的估计 的步骤

（一）离散型随机变量

第一步，从总体X取出样本x1,x2,„,xn 第二步，构造似然函数

L（x1,x2,„,xn，）＝P（X＝x1）P（X＝x2）„P（X＝xn）第三步，计算ln L（x1,x2,„,xn，）并化简 第四步，当＝时ln L（x1,x2,„,xn，）取最大值则取＝ 常用方法是微积分求最值的方法。

（二）连续型随机变量

若X～f（x,）

第一步 从总体X取出样本x1,x2,„,xn 第二步 构造似然函数

L（x1,x2,„,xn，）＝f（x1，）f（x2，）„f（xn，）第三步 计算ln L（x1,x2,„,xn，）并化简

第四步 当＝时ln L（x1,x2,„,xn，）取最大值则取＝ 常用方法是微积分求最值的方法

二项分布：设总体X～B（1，P）即

抽样x1,x2,„,xn，问最大似然法求

设P（A）＝，从总体X中

是最大点 ∴取

例抽样n次A发生m次，则在x1，x2„xn中有m个1，其余为0，∴设总体X服从泊松分布p（），求的极大似然估计；

p（X=k）=解得的极大似然估计易知的矩估计亦为

设总体X服从指数分布E（），求的极大似然估计

X～E（）∴

设，即从中取样x1，x2„xn，试用最大似然法求

若,从中抽样x1，x2„xn，试用最大似然估计法求：，驻点，的极大似然估计为，给出的极大似然估计

极大似然估计的一个简单而有用的性质：若是θ的极大似然估计，则对任一θ的函数

g（θ）, 它的极大似然估计为相合性 定义：设为未知参数，这就是极大似然估计的不变性。

是θ的一个估计量，n是样本容量，若对

，则称

为参数θ的相合估计 任何ε>0，有

是μ的相合估计； 是σ的相合估计；

也是σ的相合估计。

2相合性判定定理：设，则称无偏性 定义：设

是θ

为参数θ的相合估计.的一个估计量，若，是θ的一个估计，θ的参数空间为，若对任意，有，则称为θ的无偏估计；否则称为有偏估计.解释：无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差.几个有用的结论 ①是的无偏估计 ②

即

是σ的渐进无偏估计；③s是σ的无偏估计；

不是gθ的无偏估计.2

2④ 若为θ的无偏估计，一般地，除gθ是θ的线性函数外，所以，无偏性没有不变性。

有效性 定义：设一个，是θ的两个无偏估计，如果对任意的比

有效.有，且至少有使上式的不等号严格成立，则称解释：这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。7.3 参数的区间估计

点估价的两点不足：① 很难准确；② 没有用数量表示的可信度。为此，引入区间估计 置信区间的定义：设θ为总体的未知参数，是由样本x1，x2，„，xn给出的两个统计量，若对于给定的概率1－α（0<α<1），有，则随机区间[称为置信下限，称为置信上限.]称为参数θ的置信度为1－α的置信区间，（3）解释：参数θ落入区间[]的概率为1－α

（4）置信度与精度的关系

① 在样本容量固定的条件下，置信度增大，将引起置信区间长度增大，使区间估计的精度降低；置信度减小，将引起置信区间长度减小，使区间估计的精度提高；

② 在置信度固定不变的条件下，样本容量增大，将引起置信区间长度减小，区间估计的精度提高；反之，精度降低.步骤：① 选取合适的估计函数；② 根据置信度查表求上置信区间公式，求出置信区间.分位点；③ 根据样本及相应的单正态总体参数的置信区间： 设总体X～N（μ，σ），x1，x2，„，xn为其样本.2（1）σ已知时，μ的置信度为1－α的区间估计（2）σ未知时，μ的置信度为1－α的区间估计

.选择统计量～，得到μ的置信度为1－α的置信区间为，其中，是σ的无偏估计

23.μ未知，σ的置信区间 2

.第八章 假设检验

统计假设检验中的一些基本概念

（1）参数检验与非参数检验

如果需要检验的量仅仅涉及总体分布的未知参数，则称之为参数检验.这是本章讲解的主要内容；如果涉及分布函数形式等时，则称之为非参数检验.（2）原假设与备择假设

引例中的假设H0，即正常情况下放弃H0是小概率事件，则称H0为原假设或零假设；

与之相对立的是假设H1，称之为备择假设.两个假设有且仅有一个为真.（3）检验统计量

引例中的，称为检验统计量.对样本数据进行加工并用来判断是否接受原假设的统计量称为检验统计量.检验统计量应满足：①必须与统计假设有关；②当H0为真时，检验统计量的分布是已知的.（4）显著水平

假设检验的基本理论根据是小概率原理，即小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，根据这一原理，如果小概率事件不发生，则接受原假设，否则拒绝原假设。那么，确定多大范围算作小概率呢？选择一个小数α（0<α<1）作为标准，通常取0.05,0.01等，称之为显著水平，所以，假设检验问题要规定一个显著水平α.（5）接受域与拒绝域

应用检验统计量及其分布和显著水平，可以求出小概率事件发生和不发生的临界值，即引例中的.此数值将统计量可能取值划分为两部分，一部分是原假设成立的取值范围，称为接受域；另一部分是使小概率事件发生的统计量取值范围，即拒绝原假设的范围，称为拒绝域，本书用W表示.3.假设检验中的两类错误

第一类错误是：在H0为真的情况下，样本值落入拒绝域W，因而拒绝H0.这种错误也称为“拒真”错误，犯这类错误的概率是α.第二类错误是：在H0为不真的情况下，样本值落入接受域，因而接受H0.这种错误也称为“取伪”错误，犯这类错误的概率是β.（2）如何减小犯错误的可能？

①犯两类错误的概率是相互关联的.当样本容量n固定时，犯一类错误的概率的减小将导致犯另一类错误的概率增加.②要同时降低犯两类错误的概率，只有增大样本容量n.在实际使用中，只能采取折中方案.一般地，先控制α值，再尽可能减少β值，并把这一检验方法称为显著性水平为α的显著性检验，简称水平为α的检验.4.假设检验的基本步骤（1）提出假设：根据实际问题提出原假设H0和备择假设H1，要求H0与H1有且仅有一个为真.（2）选统计量：选择适当的检验统计量，并在原假设H0成立的条件下确定该检验统计量的分布.（3）求拒绝域：根据给定的显著水平α，查检验统计量的分布表，求出对应于α的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W.（4）作出决策：计算样本的统计量的值，若落入拒绝域W，则认为H0不真，拒绝H0，接受备择假设H1；否则，接受H0.1.u检验（在其他书上也称Z检验）

（1）单正态总体，方差已知，均值的检验(小样本情况下)

22设x1，x2，„，xn为正态总体N（μ，σ）的一个样本，σ已知，欲检验假设H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，其中，μ0为已知数.可选择统计量，并且，在H0成立的条件下，u～N（0，1）.当给定的显著水平为α时，查标准正态分布表求得临界值绝域

.，从而得到拒（2）双正态总体，方差已知，均值差的检验(小样本情况下)

设总体X～，Y～，其中，已知，又x1，x2，„，xm和y1，y2，„，yn分别为X和Y的样本，且相互独立.欲检验 H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.～.当给定的显著水平为α时，查标准正态分布表求得临界值

.，从而得到拒绝域

（1）（2）由样本观察值计算统计量u的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝H0的决策，否则，接受H0.2.t检验

（1）单正态总体，方差未知，均值的检验

22设x1，x2，„，xn为正态总体N（μ，σ）的一个样本，σ未知，欲检验假设 H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0.其中，μ0为已知数.2222由于σ未知，不能应用u检验.但是，由点估计知，s是σ的无偏估计，考虑用s代替σ，构造新的检验统计量 2

.当给定的显著水平为α时，查t分布表求得临界值

.，从而得到拒绝域

由样本观察值计算统计量t的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝H0的决策，否则，接受H0.（2）双正态总体，方差未知，均值差的检验

设总体X～Y的样本，且相互独立.① 方差未知，但

.欲检验H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.构造如下检验统，Y～，x1，x2，„，xm和y1，y1，„，yn分别为X和计量

著水平为α时，查t分布表求得临界值

～，从而得到拒绝域..当给定的显

由样本观察值计算统计量t的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝H0的决策，否则，接受H0.（2）方差未知，但m=n（配对问题）.欲检验

H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.令 Zi=Xi-Yi，i＝1，2，„，n，由正态分布的可加性，Zi也服从正态分布总体的样本，则有

E（Zi）=E（Xi-Yi）=μ1-μ2=d，2，上式中所设的d，σ均未知，但所设的假设等价于下述假设：H0：d=0，H1：d≠0.可构造检验统计量，其中，.在H0为真，从而得到时，t～t（n-1）.当给定的显著水平为α时，查t分布表求得临界值拒绝域

.由样本观察值计算统计量t的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝H0的决策，否则，接受H0.1.检验

单正态总体，均值未知，方差的检验

设x1，x2，„，xn为正态总体N（μ，σ）的一个样本，μ未知，欲检验假设

HO：，H1：，其中，为已知数.由点估计知，s是σ的无偏估计，2

2即当HO为真时，s应该在σ附近波动，则22

应该在1附近波动；如果的值与1相比过大或过小，都应否定HO，因此构造检验统计量.由§6.3定理可知，当HO为真时，～.当给定的显著水平为α时，查 分布表求得临界值

.与，从而得拒绝域

由样本观察值计算统计量策，否则，接受HO.2.F检验

双正态总体，均值未知，方差是否相等的检验

设总体X～，Y～

：的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝HO的决，x1，x2，„，xm和y，y2，„，yn分别为X和Y，：

.由于

和

分别为

和的样本，且相互独立.欲检验假设的无偏估计，当HO为真时，由§6.3定理的推论6－4可得到检验统计量，当HO为真时

.当给定的显著水平为α时，查F分布表求得临界值与，从而得拒绝域.由样本观察值计算统计量F的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝HO的决策，否则，接受HO.下面，讨论单边检验问题.（1）单正态总体，方差已知，均值μ的单边检验

设x1，x2，„，xn为正态总体X～N（μ，σ）的一个样本，σ已知，欲检验假设

HO：μ≤μO，H1：μ>μO，其中，μO为已知数.由于是μ的无偏估计，故当HO为真时，不应过大，若u过大，应拒绝HO，即，uα待定.根据前面讲过的内容知，～，故待定数值，即临界值uα应满足

，其中，α为显著水平，O<α<1.显然，uα是标准正态分布的上，+∞）.α分位点，通过查标准正态分布表求得，从而得到拒绝域 W=（类似地，对于单边假设检验问题： H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0，仍取计量，得到拒绝域为 W=（-∞，）.为检验统（2）对于单正态总体，方差未知的情况。

设x1，x2，„，xn为正态总体X～N（μ，σ）的一个样本，σ未知，欲检验假设

H0：，H1：

及 H0：，H1：，其中，为已知数.仍选择检验统计量～，分别得到拒绝域 及.（3）两个正态总体方差未知的情况。假设检验见表8－4.第九章 回归分析，这就是Y与x之间的线性关系经验公式.我们称此式为Y关于x的一元线性回归方程，称此方程的直线为回归直线，称线的截距

为回归系数，称

为回归常数，它是回归直

则有

其中，.若引进记号，容易验证，β0，β1的最小二乘估计

（i），；，有如下性质：

（ii），.由此结果知