概率论基础

概率论基础（精选3篇）

概率论基础 篇1

概率论是一门研究随机现象中数量规律的数学学科, 随机现象在自然界和人类生活中无处不在。随着人类社会的进步, 科学技术的发展, 经济全球化的日益快速进程概率论在众多邻域内扮演着越来越重要的角色, 取得越来越广泛的应用。基于概率论理论及应用的重要性, 目前在我国的大学本科教育中, 已与高等数学和线性代数渐成鼎足之势, 但在教材建设和师资方面则比后两者略有滞后。本文就数学类本科生的概率论基础这门课程的教学谈谈自己的看法。

作为数学类本科生开设的概率论基础这门课程, 既要对概率论的基本概念给与严密的陈述, 又要让学生切实了解它们的直观意义, 领悟其应用价值, 这就要求授课者认真处理好直观性和严密性的关系, 使它们达到有机的统一。当然, 概率论又是一门有着严密数学理论基础的学科, 它的公理化体系是建立在集合论和测度论基础上的, 只有在这个公理化体系之下学习概率论, 才能弄清它的概念和理论, 也才能为学习概率统计的系统知识打下必要的基础, 但国内的大多数院校在课程设置上很少有开设测度论课程的, 有的也只是开设实变函数这门初等测度论课程, 而且会出现与概率论基础这门课程同期开设的情况, 导致学生学起实变函数来十分枯燥, 而对概率论基础的学习又帮助甚少, 无法运用测度论的观点来强化概率论基础某些概念和定义的理解。

学生们在学习概率论时通常的反映之一是“课文看得懂, 习题做不出”, 特别是古典概型的题目。要弄清概念, 最好的途径恐怕还是看例题和做习题, 因此要让学生学好概率论基础这门课, 课堂上涉及相关知识点的例题要设计的得当, 既要体现相关知识点的本质特征, 又要让学生领悟其应用的价值, 例题取材于生活但解决实际问题又要从生活中体会总结并抽象成概率模型, 培养学生形成一种概率素养, 即能有效地应用概率论的思想解决实际生活中的相关问题的能力。

概率论基础课程按知识点可分成五个章节, 分别是事件与概率、条件概率与统计独立性、随机变量与分布函数、数字特征与特征函数、极限定理, 下面就各个章节的内容谈谈具体教学。

1 事件与概率的重要

作为概率论基础这门课程的开篇之章节, 事件与概率是十分重要的。

“事件”与“概率”是概率论中最基本的两个概念, 它们贯穿于概率论基础这门课程的所有知识点之中, 教学过程中对于第一堂课的设计好坏和一些基本概念的引入的得当会直接影响到学生对于概率的理解, 讲直接点就是会对学生关于概率的第一直观感知有主导性的影响, 从而影响其往后知识点的学习和理解。常规的课堂教学中教师理应在严密的公理化结构下给学生严格地叙述这两个概念的定义, 但这两个概念的定义对于初学者来说较枯燥也不易理解和接受, 从而应让学生先清楚地理解事件与概率的直观意义, 教学过程中应采用由具体到抽象, 由简单到复杂, 由特殊到一般的方式向学生介绍频率、古典概型、几何概型, 从中归纳出事件与概率的本质特征, 为公理化定义作准备, 同时要让学生区分频率与概率并强调它们之间的关系。事件的运算与概率的性质也是本章节基本内容, 应在教学中同过典型例题的形式让学生牢固掌握。

2 事件概率与独立性

在“条件概率与统计独立性”这一章节的教学中, 教师应先通过一些实际的概率模型例子让学生体验独立性的实际背景及其重要性, 然后在此基础上引出事件独立性与试验独立性的定义, 并让学生区别两个事件独立性与多个事件的独立性的定义。

条件概率也是概率论中的重要概念, 它与独立性有密切的联系, 在教学过程中应先把它当成是一种概率引入, 再给出其形式上的记号, 并向学生指出条件概率的真正定义远非形式上那么简单明了, 但作为学生能够形式上接受且达到能解决具体概率模型的计算问题就足够了。同时这一章节的公式较多也较重要, 具体有乘法公式及其推广形式、全概率公式、贝叶斯公式等, 在教学设计上应构造具体直观的概率模型, 强化学生对这些公式的记忆与应用。

3 随机变量与分布函数

“随机变量与分布函数”这一章节可以说是在前两章知识基础上的一个飞跃, 是教学的重点也是学生学习的难点。

在这一章节的教学中, 教师应让学生接受用随机变量的观点来描述随机现象习惯用随机变量来描述随机事件。在引入随机变量的定义后, 让学生明白其引入的重要作用, 引发学生思考它要取哪些值以及怎样的概率取这些值, 进而自然地引入分布函数的概念, 并通过一些数学上的分析说明分布函数能完整地描述随机变量从而最终让学生接受分布函数是研究随机变量的良好工具。接下来的教学就通过具体的分布转入一些性质、定理、公理的介绍、定义和推导, 让学生掌握随机变量函数分布律的推导, 在有实际模型介绍的基础上让学生理解性得记忆一些重要和常见的分布, 如二项分布、泊松分布、正太分布等, 在教学进度允许的情况下可以增加一些具体分布的实际应用背景以增加学生对这门课程的兴趣。

4 随机变理的特征与概率论

由于随机变量 (或分布函数) 的数字特征与特征函数是概率分布的某种表征, 故这一章节的主要目的是要使学生深化对随机变量的认识, 同时也是为下一章的教学作必要的准备。

本章节教学的重点是几个重要概念的引入:数学期望、方差、相关系数等, 在授课过程中应要使学生明确其概率意义, 让学生知道这些数字特征在概率论与数理统计中的重要地位和实际应用价值, 并让学生通过作业练习掌握计算数字特征中一些级数求和和积分的技巧。

5 极限定理与概率论

最后一章“极限定理”, 是概率论基础中比较深入的结果, 前几章的知识在这里得到了综合应用。

教师在课程设计中应从伯努利试验场合开始叙述, 接着再向学生介绍独立同分布场合, 这是伯努利试验的直接推广, 并举例说明其在实际问题中特别是数理统计中的应用。这边要指出的是收敛性的概念及特征函数是深入学习极限定理不可缺少的, 但这一部分的内容较多且有一定难度, 而作为初学者能掌握其结论并会应用即可, 故在教学中不妨略去其证明。最后的教学内容即向学生介绍强大数定律及一般场合的中心极限定理, 让学生能够深刻体会其在概率论中的重要意义和现实生活中的应用价值, 并会通过建立概率模型利用中心极限定理解决具体实际问题。

摘要：概率论是一门研究随机现象中数量规律的数学学科, 随机现象在自然界和人类生活中无处不在。随着人类社会的进步, 科学技术的发展, 经济全球化的日益快速进程, 概率论在众多邻域内扮演着越来越重要的角色, 取得越来越广泛的应用, 也获得了越来越大的发展动力。基于概率论理论及应用的重要性, 目前在我国的大学本科教育中, 已与高等数学和线性代数渐成鼎足之势, 但在教材建设和师资方面则比后两者略有滞后。本文就数学类本科生的概率论基础这门课程的教学谈谈自己的看法。

关键词：教学设计,教学方法,概率论基础

参考文献

[1]严士健, 王隽骧, 刘秀芳.概率论基础[M].北京:科学出版社, 1982.

[2]李贤平.概率论基础[M].北京:高等教育出版社, 1997.

[3]李贤平, 沈崇圣, 陈希孺.概率论与数理统计[M].上海:复旦大学出版社, 2003.

概率论基础 篇2

第1章 随机事件与概率

例1 填空题

（1）设A与B是两个事件，则P(A)P(AB)+。

（2）若P(A)0.4,P(AB)0.3，则P(AB)。

（3）设A,B互不相容，且P(A)0，则P(BA)

。解：（1）因为 AABAB，且AB与AB互斥 所以 P(A)P(AB)+P(AB)应该填写： P(AB)（2）因为 AABAB，P(AB)P(A)P(AB)0.40.30.1

P(B)P(AB)P(AB)0.10.30.4

所以

P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.40.40.10.7 应该填写：0.7（3）因为A,B互不相容，即P(AB)0 所以 P(BA)应该填写： 0

例2 单项选择题

（1）事件AB又可表示为（）.A.AB

B.AB

C.AAB

D.ABAB

（2）掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（）A.***P(AB)P(A)0

B.C.D.（3）若等式（）成立，则事件A,B相互独立。

A.P(AB)P(A)P(B)

B.P(AB)P(A)P(BA)

C.P(B)P(BA)

D.P(A)1P(B)

（4）设A与B是相互独立的两个事件，且P(A)A.1212,P(B)13，则P(AB)（）

B.56

C.23

D.34

解：（1）依定义，事件AB表示A发生但B不发生，因此AB也可以表示为AAB.应该选择：C（2）基本事件总数为36，点数之和为3的事件有（1，2）和（2，1），即事件数为2，故“点数之和为3”的概率是

236118。

应该选择：B（3）因为当式子P(B)P(BA)时，由乘法公式P(AB)P(A)P(BA)，得

P(AB)P(A)P(B)

所以事件A,B相互独立。应该选择：C（4）因为A与B是相互独立，所以由加法公式

P(AB)P(A)P(B)121356。

应该选择：B 例3 A,B为两事件，已知P(A)P(AB)，P(AB)。

12,P(B)13,P(BA)12，求P(AB)，解 P(AB)P(A)P(BA)12121412

1314712P(AB)P(A)P(B)P(AB)

1P(AB)P(AB)34 1P(B)43例4 已知两个事件A，B相互独立，且已知P(A)0.6，P(B)0.3，求P(AB)． 解

由P(B)0.3，得 P(B)1P(B)10.30.7

所以 P(AB)P(A)P(B)P(AB)

P(A)P(B)P(A)P(B)

0.60.70.60.70.88

例5 设P(A)0.5，P(AB)0.3，求P(BA)．

解

因为P(BA)

P(AB)P(A)

AA(BB)ABAB

P(A)P(AB)P(AB)

P(AB)P(A)P(AB)

0.50.30.2 P(AB)0.2所以 P(BA)0.4

P(A)0.5

例6 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮4次，⑴ 求投中篮框不少于3次的概率； ⑵ 求至少投中篮框1次的概率。

解 设Ai{第i次投中}的事件，i1,2,3,4，P(Ai)0.8，P(Ai)0.2相互独立（1）投中篮框不少于3次的事件可表为 A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4

其概率为

P(A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4)

=P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=(0.8)440.2(0.8)30.8192（2）因为，投篮4次均未投中的概率为

P(A1A2A3A4)(0.2)40.0016

所以，至少投中篮框1次的概率为

概率论的起源 篇3

几百年前在欧洲的许多国家，贵族间赌博之风盛行，当时有一个“赌金分配问题”曾引起热烈的讨论，并经历了长达一百多年才得到正确的解决，在这过程中孕育了概率论这个重要的基本概念. “赌金分配问题”可以简化为：甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙获胜的机会均等. 约定：谁先胜满3局就可以赢得全部赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，后来因故中断赌局，问这60元赌注该如何分给二人才算公平？

初看觉得应按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，还有人认为没有分出胜负，甲、乙应该平分. 当时的一些学者，对这类赌情问题进行研究，有的还出版了著作，然而都没有得出正确的结论. 直到一百多年后，一个名为德·梅勒（De Mere，1607～1684）的法国人把这个问题寄给了当时的数学天才帕斯卡，这个问题也把帕斯卡难住了，他苦苦思考了两三年，直到1654年才算有了点眉目，于是他写信给他的好友费马. 随后在这两位伟大的数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，两人用不同的方法正确地解决了这个问题.他们认为赌注的分配应考虑如果继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何？不难看出至多再赌2局即可分出胜负，这2局获胜的情况有4种：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙，前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为3∶1，故赌注的公平分配应按3∶1的比例，即甲得45元，乙得15元.

通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念——数学期望，概率论从此发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科.

帕斯卡和费马以“赌金分配问题”开始的通信形式的讨论，开创了概率论研究的先河，后来荷兰数学家惠更斯（1629～1695）也参加了这场讨论，并写出了关于概率论的第一篇正式论文《赌博中的推理》.帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人.时至今日，概率论已不再是只与赌博问题相联系的学科了，它已经在各行各业中得到了广泛的应用，发展成为一门极其重要的数学学科.