概率论期末复习

2024-10-13

概率论期末复习（共9篇）

概率论期末复习篇1

信计专业《概率论》复习提纲

题型：填空题（16分，每小题2分）；选择题（18分，每小题3分）；计算题（5个小题共60分），证明题（一个小题共6分）。

第一章

1.2.3.4.熟练掌握概率的性质与计算。熟悉几种常用的古典概型和几何概型的计算。会求条件概率，掌握事件独立、事件互斥的定义与关系。熟练掌握乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的应用。

第二章

1.要非常熟悉常用分布的分布函数、分布列或密度函数、数学期望、方差等，特别要注意指数分布、均匀分布、泊松分布、正态分布的定义及有关计算。

2.对于一维离散型随机变量，要会求其落在某个区间的概率，会求数学期望和方差。

3.对于一维连续型随机变量，给定密度函数或分布函数，会求未知系数，会求概率，求数学期望和方差。特别注意二项分布与其他分布相结合的题目。

4.已知X服从某种分布，会求Yg(X)的分布列或密度函数。

第三章

1.熟悉二维均匀分布、二维指数分布的概念与计算，总结二维正态分布的各种性质。熟悉连续型随机变量的密度函数和分布函数的定义与性质。

2.会求较为简单的二维离散型随机变量的联合分布列，会求相应的概率，会求边际分布列，会求协方差和相关系数，会判断独立性，会判断X,Y是否相关。

3.对于二维连续型随机变量，给定联合密度函数，要会求未知系数，求概率，求期望和方差，会求边际分布，会求协方差和相关系数，判断独立性，会判断X,Y是否相关。

4.已知X,Y各自的分布列，会求ZXY,Zmax(X,Y),min(X,Y)的分布列，要注意总结哪些常用分布具有可加性。

5.要非常熟悉期望、方差、协方差、相关系数的计算与性质。

6.会用切比雪夫不等式估计概率。

第四章

1.会判断某随机变量序列是否服从大数定律。

概率论期末复习篇2

1.下列选项中, 显示部分在总体中所占百分比的统计图是 () .

A.扇形图B.条形图C.折线图D.直方图

2.数据21, 21, 21, 25, 26, 27的众数、中位数分别是 () .

A.21, 21 B.21, 23 C.23, 21 D.21, 25

3.一个不透明的布袋中, 放有3个白球, 5个红球, 它们除颜色外完全相同, 从中随机摸取1个, 摸到红球的概率是 () .

4.如图是一个可以自由转动的正六边形转盘, 其中三个正三角形涂有阴影.转动指针, 指针落在有阴影的区域内的概率为a;如果投掷一枚硬币, 正面向上的概率为b.关于a, b大小的正确判断是 () .

A.a>b B.a=b

C.a<b D.不能判断

5.以下是某手机店1~4月份的两个统计图, 分析统计图, 对3、4月份A型手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论, 其中正确的为 () .

A.4月份A型手机销售额为65万元

B.4月份A型手机销售额比3月份有所上升

C.4月份A型手机销售额比3月份有所下降

D.3月份与4月份的A型手机销售额无法比较, 只能比较该店销售总额

6.从2, 3, 4, 5中任意选两个数, 记作a和b, 那么点 (a, b) 在函数图像上的概率是 () .

7.一天晚上, 小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时, 突然停电了, 小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起, 则其颜色搭配一致的概率是 () .

8.甲乙两布袋都装有红、白两种小球, 两袋装球总数相同, 两种小球仅颜色不同.甲袋中, 红球个数是白球个数的2倍;乙袋中, 红球个数是白球个数的3倍, 将乙袋中的球全部倒入甲袋, 随机从甲袋中摸一个球, 摸出红球的概率是 () .

二、填空题

9.“从超市货架上任意取一盒月饼进行检验, 结果合格”这一事件是_______. (填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”)

10.已知一组数据5, 8, 10, x, 9的平均数是8, 那么这组数据的方差是_______.

11.从分别标有数-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3的七张卡片中, 随机抽取一张, 所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是_______.

12.从1, 2, 3这三个数中, 任意抽取两个不同数字组成一个两位数, 则这个两位数能被3整除的概率是_______.

13.某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中, 随机调查了若干名学生 (每名学生分别选了一项球类运动) , 并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图.已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人, 则该校被调查的学生总人数为_______名.

三、简答题

14.中华文明, 源远流长;中华汉字, 寓意深广.为了传承优秀传统文化, 某校团委组织了一次全校3 000名学生参加的“汉字听写”大赛, 赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况, 随机抽取了其中200名学生的成绩 (成绩x取整数, 总分100分) 作为样本进行整理, 得到下列不完整的统计图表:

请根据所给信息, 解答下列问题:

(1) a=________, b=________;

(2) 请补全频数分布直方图;

(3) 这次比赛成绩的中位数会落在________分数段;

(4) 若成绩在90分以上 (包括90分) 的为“优”等, 则该校参加这次比赛的3 000名学生中成绩“优”等的大约有多少人?

15.一个不透明袋子中有1个红球, 1个绿球和n个白球, 这些球除颜色外无其他差别.

(1) 当n=1时, 从袋中随机摸出1个球, 摸到红球与摸到白球的可能性是否相同?_______ (填“相同”或“不相同”) ;

(2) 从袋中随机摸出1个球, 记录其颜色, 然后放回.大量重复该实验, 发现摸到绿球的频率稳定于0.25, 则n的值是_______;

(3) 在一个摸球游戏中, 所有可能出现的结果如下:

根据树状图呈现的结果, 求两次摸出的球颜色不同的概率.

16.某运动品牌店对第一季度A, B两款运动鞋的销售情况进行统计, 两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示:

(1) 一月份B款运动鞋的销售量是A款的4/5, 则一月份B款运动鞋销售了多少双?

(2) 第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变, 求三月份的总销售额 (销售额=销售单价×销售量) ;

《概率》期末复习检测题篇3

1．（2007年四川绵阳）下列说法错误的是（）

A．必然发生的事件发生的概率为1

B．不可能发生的事件发生的概率为0

C．随机事件发生的概率大于0且小于1

D．不确定事件发生的概率为0

2．（2007年江苏淮安）根据最新规则,乒乓球比赛采用七局四胜制(谁现赢满四局为胜),2007年5月27日晚9点10分,第19届世乒赛男单比赛结束了前四局,马琳以3:1领先王励勤,此时甲、乙、丙、丁四位同学给出了如下说法（）

甲：马琳最终获胜是必然事件

乙：马琳最终获胜是随机事件

丙：王励勤最终获胜是不可能事件

丁：王励勤最终获胜是随机事件

四位同学说法正确的是（）

A．甲和丙B. 乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁

3．（2007年山西省太原）下面有关概率的叙述，正确的是（）

A．投掷一枚图钉，钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同

B．因为购买彩票时有“中奖”与“不中奖”两种情形，所以购买彩票中奖的概率为

C．投掷一枚均匀的正方体骰子，每一种点数出现的概率都是，所以每投掷6次，肯定出现一次6点

D．某种彩票的中奖概率是1%，买100张这样的彩票一定中奖

4．（2007年北京）一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为()

A．B．C． D．

5．（2007年黑龙江哈尔滨）随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）

A． B．C． D．

6．（2007年福建福州）随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（）

A． 1 B．C．D．

7．（2007年河北）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）

A． 12B． 9C． 4D． 3

8．（2007年山东潍坊）小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏。三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢。下面说法正确的是（）

A．小强赢的概率最小

B．小文赢的概率最小

C．小亮赢的概率最小

D．三人赢的概率都相等

9．（2007年湖北天门）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）

A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率

B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率

C．抛一枚硬币，出现正面的概率

D．任意写一个整数，它能被2整除的概率

10. （2007年浙江杭州）将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a,b,c，则a,b,c正好是直角三角形三边长的概率是()

A.B.C.D.

二、填空题（每小题3分，满分30分）

11．（2007年湖南永州）夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩_______（填“可能”，“不可能”，“必然”）是优秀。

12．（2007年福建泉州）口袋中放有黄、白、红三种颜色的小球各1个，这3个球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取1个球，写出这个实验中一个可能发生的事件：。

13．（2007年湖南湘潭）足球比赛前，裁判用抛一枚硬币猜正反面的方式让甲、乙两个队长选进攻方向，猜对正面的队长先选，则队长甲先选的概率是。

14．（2007年四川资阳）现有50张大小、质地及背面图案均相同的北京奥运会吉祥物福娃卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘福娃的名字后原样放回，洗匀后再抽，不断重复上述过程，最后记录抽到欢欢的频率为20℅，则这些卡片中欢欢约为____________张。

15.（2007年海南）在一个不透明的布袋中装有 2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则n =。

16．（2007年广东梅州）小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是。

17．（2007年江苏南通）把6张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1、2、3、4、5、6，且洗匀后正面朝下放在桌子上，从这6张卡片中同时随机抽取两张卡片，则两张卡片上的数字之和等于7的概率是___________。

18．（2007年湖南益阳）如图，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②、③或同时闭合开关④⑤⑥都可使一个小灯泡发光，问任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为

。

19．（2007年湖南株州）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b，且a，b分别取数字0，1，2，3，若a，b满足│a-b│≤1 ，则称甲、乙两人“心有灵犀”。现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为。

20．（2007年山东济宁）如图所示，将转盘等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6，指针的位置固定。自由转动转盘，当它停止时，指针指向偶数区域的概率是(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)；请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止转动时，指针所指区域的概率为。

三、解答题（第21、22题各6分，第23、24题各8分，第25、26题各10分，第27题12分，满分60分）

21．（2007年广东佛山）一个瓶中装有一些幸运星，小王为了估计这个瓶中幸运星的颗数，他是这样做的：先从瓶中取出20颗幸运星做上记号，然后把这些幸运星放回瓶中，充分摇匀；再从瓶中取出30颗幸运星，发现有6颗幸运星带有记号。请你帮小王估算出原来瓶中幸运星的颗数。

22．（2007年湖南株州）一枚质量均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次。（1）用列表法或树状图表示出朝上的面上的数字所有可能出现的结果；（2）记两次朝上的面上的数字分别为p，q，若把p，q分别作为点A的横坐标和纵坐标，求点A（p，q）在函数y=的图象上的概率。

23．（2007年山东青岛）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物。如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元。

（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；

（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由。

24．（2007年湖北咸宁)某中学九年级共有6个班，要从中选出两个班代表学校参加一项重大活动，九(1)班是先进班，学校指定该班必须参加，另外再从九(2)班到九(6)班中选出一个班，九(4)班有同学建议用如下方法选班：从装有编号为1，2，3的三个白球的A袋中摸出一个球，再从装有编号也为1，2，3的三个红球的B袋中摸出一个球（两袋中球的大小、形状与质地完全一样），摸出的两个球编号之和是几就派几班参加。

(1)请用列表或画树形图的方法列举出摸出的两球编号的所有可能出现的结果；

(2)如果采用这一建议选班，对五个班是一样公平的吗？请说明理由。

25．（2007年浙江丽水）在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次。

（1）若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表法说明）

（2）若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由。

26．（2007年山东威海）如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜。如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止。

（1）请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率。

（2）你认为该游戏规则是否公平？若游戏规则公平，请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则。

27．（2007年贵州贵阳）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：

（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率。

（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次。”小颖和小红的说法正确吗？为什么？

（3）小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率。

参考答案

1.C2.C3.A4.B5.A6.D7.A8.A

9.B10.C11.可能12.随机从口袋中任取1个球，可能是白球的概率为13. 14.10张

15.816.17.18.19. 20. ；

分别将1和2所在的扇形涂成红色，3和4所在的扇形涂成绿色，5和6所在的扇形涂成黄色，则指针指向红色区域的概率为。 21.100颗22.（1）略；

（2）P= = 23.⑴50× +30× +20× =11.875（元）； ⑵ ∵11.875元＞10元，∴选择转转盘。 24.（1）

（2）不公平。∵P(2班）= ；P(3班）= ；P(4班）= ；P(5班）= ；P(6班）=∴P(4班）＞P(3班）=P(5班）＞P(2班）=P(6班），即不公平。

25.（1）踺子踢到小华处的概率是。

（2）小王。理由：若从小王开始踢，三次踢踺后，踺子踢到小王处的概率是，踢到其它两人处的概率都是，因此，踺子踢到小王处的可能性是最小。

26.（1）画树状图如下：

可见，共有12种等可能的情况，其中和小于10的有6种。小颖获胜的概率为 = 。（2）该游戏规则不公平。由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，小亮获胜的概率为 = ，显然 ≠ ，故该游戏规则不公平。

游戏规则可修改为：①当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜。②当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；为偶数时，小颖获胜。

27．（1）“3点朝上”出现的频率是 = ；“5点朝上”出现的频率是 = ；（2）小颖的说法是错误的。这是因为，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的频率最大。只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近。小红的判断是错误的，因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次。（3）列表如下：

P（点数之和为3的倍数）= = 。

(责任编辑钱家庆)

概率论期末复习篇4

考研真题、考研经验、复习大纲、复习资料、复习重点

一、专业课代码及名称

811概率论

二、考试大纲

一、考试目的

要求考生比较系统地理解和掌握概率论的基本概念、基本理论和基本方法。同时，考察考生的逻辑推理能力、计算能力和运用所学知识分析问题和解决问题的能力。要求考生概念清楚，对定理理解准确，基础知识掌握扎实，还要求有较强的计算能力，对概率论的理论方法能灵活应用。

二、考试内容

1、概率论的基本概念

1)随机试验、随机事件及其运算 2)概率的定义及概率的性质 3)概率空间的概念 4)条件概率和三个重要公式 5)事件的独立性

6)贝努利试验和二项概率公式

2、一维随机变量及其分布 1)随机变量的概念和分布函数 2)离散型随机变量及其分布 3)连续型随机变量及其分布 4)六个常用的分布 5)随机变量函数的分布

3、多维随机变量及其分布

1)多维(离散型和连续型)随机变量及其分布 2)边缘分布、条件分布和随机变量的独立性 3)多维随机变量(包括二维到二维)函数的分布

高硕教育新祥旭考研

4、随机变量的数字特征

1)一维随机变量的数学期望、方差和矩 2)数学期望、方差的性质 3)常用分布的数学期望和方差

4)二维随机变量的协方差(矩阵)和相关系数及其性质 5)切比雪夫不等式和柯西-施瓦兹不等式

5、随机变量的特征函数

1)(一维和多维)随机变量的特征函数及其性质 2)n维正态(高斯)随机变量的性质

6、大数定律和中心极限定理

1)马尔科夫大数定律、切比雪夫大数定律、贝努利大数定律和辛钦大数定律 2)独立同分布的中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

三、试卷结构

1、考试时间为3小时，满分150分；

2、题目类型：填空题、计算题、证明题。

考研专业课复习方法

好笔记让你事半功倍

说到专业课复习，我们不得不要提起一个最佳助攻手，就是我们的专业课复习笔记。但是记笔记这件事还是大有学问的。很多小伙伴，尤其是女孩子，很容易进一个误区，就是记笔记是为了“好看”的，但是事实却是花了大量的时间和精力做了一本堪比手账的笔记之后就再也没有翻过了，那请问小伙伴们记笔记是为了什么?

笔记，应该是我们在看书的过程中对重点的问题、难懂的问题的归纳、总结和整理。笔记的内容主要包括两部分，一部分是我们根据自己的理解，对书本上重点内容的梳理和总结，另一部分是我们看书的心得和体会，我们要把自己对于书本内容的理解记下来，在日后翻看笔记的时候随时添加心得思考和整理。

好笔记是我们辅助我们复习的一个工具，它可以让原本杂乱的书本内容变得高硕教育新祥旭考研

有条理，我们复习起来必然会更方便，提高复习效率也就是分分钟的事啦。

背书不能依赖，但也不是完全不可取

只要小伙伴们去考研自习室走一圈，一定会看到许多抱着厚厚的专业书猛背的小伙伴们。在这里小编要为背书证明，背书并不是完全不可取，但是想要完全依靠背书拿下考研，也是一样的不理智，尤其是对文科专业的小伙伴们来说，背书是我们必不可少的一种复习途径。

当小伙伴们拿到一本专业书的时候，首先要打开目录，熟悉整本书的知识结构和框架，然后再翻开正文，通读一遍全书，根据之前整理好的知识结构一点一点地填入具体的知识点。然后再看书的时候，因为我们对书本已经有了一个具体的把握，所以再根据我们之前整理好的框架看书，这一遍看书我们就能感受到哪些是重点，哪些是难点，哪些是需要细细揣摩的，哪些是需要一带而过的。

这样找准方向之后再选择重难点的内容进行背诵，重点是要学习人家的专业思维和模式。这样不光能对复习的内容了如指掌，方便我们随时查漏补缺。

要思考!要思考!要思考!

重要的事情说三遍。背完了书我们也不能忘了思考，学会了知识并不是我们的最终目的，重要的是我们应该怎么去应用，否则上了考场换了一种提法我们就答不上来了。小伙伴们把知识点都记住了，但是缺少实际中的演练的话，也就无法弄清楚自己的复习质量。

所以，小伙伴们在复习的过程中，要重视练习和应用的作用。小伙伴们在复习的过程中，要不停地进行头脑风暴，发散自己的思维，看到一个知识点要联想到更多的相关的知识点，猜测围绕着这个知识点可能出现的各种出题方式，要善于总结，善于思考，才能真正将书本上的知识变成自己的。

任何一门课，专业参考书都是我们复习的基本，我们不管怎么复习都不能脱离了书本，但是同时我们还要在复习的过程中“兜一个大圈子”，从书本中来，最终回到书本上去。才算是完整走了一圈专业课的复习“套路”。希望小伙伴们能从这篇文章中受益，让自己的复习效率高到飞起来，顺利度过难捱的备考期。

概率论与数理统计考研复习题5 篇5

大数定理与中心极限定理

1．设随机变量X的数学期望E（X）=, 方差D（X）=，则由切比雪夫不等式PX3_____________.2．设X1,X2,,Xn是n个相互独立同分布的随机变量，E(Xi),D(Xi)8（i=1，2，．．．，n）.对于X2Xi 写出所满足的切比雪夫不等式____________，并估计ni1n

P{|X|62____________.n

3．设随机变量X，Y的数学期望分别为2，2，方差分别为1，4，而相关系数为0.5,根据切比雪夫不等式，P{|XY|6}____________.4．甲、乙两个戏院竞争1000名观众，假定每一个观众随意地选择一个戏院，且观众之间的选择是相互独立的，问每个戏院应设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%.5．在n次独立试验中，设事件A在第i次试验中发生的概率为pi(i1,2,,n)，试证明A发生的概率稳定于概率的平均值.6．假设一条自动生产线生产的产品合格率是0.8，要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，稳这批产品至少要生产多少件？

7．某餐厅每天接待400个顾客，设每位顾客消费额（元）服从[20，100]上的均匀分布，顾客的消费是相互独立的，试求：

（1）该餐厅的日平均营业额；

（2）日营业额在平均营业额上下不超过760元的概率.8．一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费。已知一年内投保人死亡率为0.006，如死亡，公司付给家属1000元，求：

（1）保险公司年利润为0的概率；

（2）保险公司年利润不少于60000元的概率.9．设Xn表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则P{aXnb}__________.10．投掷一枚骰子，为了至少有95%的把握使点向上的频率之差在（-0.01, 0.01）的范围内，问需要掷多少次？

中考复习指导之七:概率与统计篇6

【阅读课本，回忆知识点】

中考复习，需进行全面系统的阅读.可能大家会有疑问：这么多内容怎么阅读呀?这里介绍阅读“三步曲”：第一步翻看目录，尝试串一串.抓住目录，加以分类、整理、综合、构造，形成一个适合自己的知识结构网络图.如下列框图中留有空白，请同学们想想应填什么.

第二步围绕线索，用心记一记.围绕知识网络线索，用心记一记核心的知识.

例如：

1.收集数据的方式有____、_____两种.____是通过调查总体的方式来收集数据的_____，是通过调查样本的方式来收集数据的.

2.最常用的统计图有____、___、___、___四种.这四种统计图各具特点____：可以直观地反映出数据的数量特征;____可以直观地反映出数据的数量变化规律;____可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额;____分布规律.

可以直观地反映出数据的

3.在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的____.将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数(或正中间两个数据的平均数)叫做这组数据的____.

4.一组数据中的最大值减去最小值所得差称为____.

5.一组数据的方差越大，数据的波动越____;方差越小，数据的波动越____.

6.在记录实验数据时____，称为频数._____称为频率.绘制频数分布直方图的步骤是: (1) ___; (2) ___; (3) ___; (4) ___; (5) ___.

第三步展开联想，努力想一想.充分回忆教材中知识的形成过程和教师对课本例题、习题引申和适当变形的情景，对遗忘度大的例题、习题自己要重新推演计算，进一步体会其解法的特点.

另外复习要善于进行交叉比较、综合运用，打通知识点和各章节间的联系，而不是孤立地进行复习，这样才能提高效率.

【考题回放，把握重难点】

重点一：平均数、众数、中位数、极差、方差的意义及求法，会用它们表示数据的集中与离散程度.

例1 (2009成都)为了解某小区居民的日用电情况，居住在该小区的一名同学随机抽查了15户家庭的日用电量，结果如下表：

则关于这15户家庭的日用电量，下列说法错误的是 () .

A.众数是6度B.平均数是6.8度

C.极差是5度D.中位数是6度

解析：本题考查了平均数、众数、中位数、极差的求法.

【答案】D.

例2 (2009吉林)某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的().

A.中位数B.众数C.平均数D.极差

解析：本题考查了平均数、众数、中位数、极差的意义.

【答案】A.

例3 (1) (2009年宁德) 在本赛季NBA比赛中，姚明最后六场的得分情况如下：17、15、21、28、12、19，这组数据的极差为___.

(2) (2009长沙)甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，2方差分别为s2甲=0.56, s2乙=0.60)，.s2丙=0.50, s丁=0.45，则成绩最稳定的是(

A.甲B.乙C.丙D.丁

解析：本题分别考查了极差的计算方法与方差的性质.极差是一组数据中最大值与最小值的差.方差表示的是一组数据的波动大小，方差越小，说明数据的波动越小，数据就越稳定.

【答案】(1) 16; (2) D.

重点二：频数、频率的概念及求法，会对数据进行分析，初步掌握数据分析的方法与步骤.

例1 (2009内蒙古包头)某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在反思：(1)频数(率)分布直方图中频数、频率的计算方法：频数=样本容量×频率;(2)在绘制频数(率)分布直方图时，组距是一个固定值，也就是说，已知矩形高的比，实际上是各小组频数(率)之比.15～20次之间的频率是().

A.0.1 B.0.17 C.0.33 D.0.4

解析：本题考查了频数分布直方图的认识和频数、频率的求法.仰卧起坐次数在15～20间的频数是30-5-10-12=3，其频率为，所以选A.

例2 (2009安徽) 某校九年级学生共900人, 为了解这个年级学生的体能, 从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试, 并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理, 下图是这四名同学提供的部分信息:

甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图(如图);

乙：跳绳次数不少于106次的同学占96%;

丙：第 (1) 、 (2) 两组频率之和为0.12，且第 (2) 组与第 (6) 组频数都是12;

丁：第 (2) 、 (3) 、 (4) 组的频数之比为4∶17∶15.

根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：

(1)这次跳绳测试共抽取多少名学生?各组有多少人?

(2)如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到优秀的人数为多少?

(3)以每组的组中值(每组的中点对应的数据)作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值.

解：(1)第 (1) 组频率为：1-96%=0.04,

∴第 (2) 组频率为：0.12-0.04=0.08.这次跳绳测试共抽取学生人数为：12÷0.08=150(人).

∵ (2) 、 (3) 、 (4) 组的频数之比为4∶17∶15，可算得：第 (1) ～ (6) 组的人数分别为6、12、51、45、24、12.

(2)第 (5) 、 (6) 两组的频率之和=0.16+0.08=0.24，由于样本是随机抽取的，估计全年级有900×0.24=216(人)达到跳绳优秀.

评析：本题难度中等，试题取材于实际生活，采用的是最常见的条形统计图，涉及的是跳绳这个最常见的话题，将图形、数据、文字等多种信息形式综合为一体，需要考生对各种不同信息“互译”转化，才能顺利解答.

重点三：全面调查和抽样调查，条形图、扇形图、折线图、直方图的特点和画法，会用扇形统计图表示数据，并能根据统计图与统计表分析问题.

例1 (2009新疆)2008年国际金融危机使我国的电子产品出口受到严重影响，在这种情况下有两个电子仪器厂仍然保持着良好的增长势头.

(1)下面的两幅统计图，反映了一厂、二厂各类人员数量及工业产值情况，根据统计图填空：

(1) 一厂、二厂的技术员占厂内总人数的百分比分别是___和___; (结果精确到1%)

(2) 一厂、二厂2008年的产值比2007年的产值分别增长了___万元和___万元.

(2)下面是一厂、二厂在2008年的销售产品数量占当年产品总数量的百分率统计表，根据此表，画出表示一厂销售情况的扇形统计图.

(3)仅从以上情况分析，你认为哪个厂生产经营得好?为什么?

解析：本题考查了条形图、扇形图、折线图的特点，扇形图画法和从统计图、统计表获取信息并分析问题的能力.

【答案】(1) (1) 18%，8%, (2) 1500, 1000.

(2)

如上图，∠AOB=72°.(3)一厂生产经营得好，因为从题目给出的信息可以发现人少产值高.

例2 (2009齐齐哈尔)为了解某地区30万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的喜爱情况，根据老年人、成年人、青少年各年龄段实际人口3∶5∶2的比例，随机抽取一定数量的观众进行调查，得到如下统计图.

(1) 上面所用的调查方法是 (填“全面调查”或“抽样调查”) ;

(2)写出折线统计图中A、B所代表的值;

A：___;B：___;

(3)求该地区喜爱娱乐类节目的成年人的人的热点.解决这类数.问题须将不同统

解析:本题重点考查了全面调查 (普查) 与抽样调查的概念, 折线统计图、扇形统计图的特点及扇形统计图与圆心角的计算方法.试题以“三类节目的喜爱情况”为背景, 贴近生活, 富有时代气息, 它充分体现了从现实情境出发, 考查运用统计知识解决实际问题的能力.

【答案】(1)抽样调查;(2)

【考题预测，整合知识点】

1.关注应用，倡导“学以致用”

能用数学的眼光去看待生活、认识世界，从数学角度提出问题、理解问题，并综合运用数学知识和思想方法去解决和处理身边的问题，是每位同学应具备的基本素养之一.从试卷中，我们看到单纯的统计量的考查基本已经退出了舞台，而关注数学应用的社会价值，加强对应用意识的考查，这类有时代气息的试题，已成为主角.

例1根据《某市统计局关于2005年国民经济和社会发展的统计公报》，2005年底该市各类教育在校学生数约为190万.各类教育在校学生数占在校学生总数的百分比如图所示.请回答下列问题：

(1)接受幼儿和小学教育的总人数是___万人;

(2)已知接受小学教育的人数比接受幼儿教育的人数的5倍少2.6万人，那么接受幼儿教育和小学教育的人数各是多少万人?(写出解题过程)

(3)根据本题提供的材料，你还能得到什么信息?请写出两条.

解答：(1) 87.4; (2)设接受幼儿教育和小学教育的人数分别是x万人、y万人.

(2)根据题意，得，解之得.

答：接受幼儿教育和小学教育的人数分别是15万人、72.4万人.

(3)例如，接受普通中学教育的人数占在校学生总数的43%;接受普通中学教育的人数比接受幼儿教育和小学教育的人数少，等等.

反思：此题将统计知识与方程进行整合，构思新颖，第(2)小题还可以用一元一次方程求解.

2.少考算，多考想，关注统计观念

发展学生的统计观念是新课标的一个重要目标，而统计技能是统计活动得以顺利完成的保障，统计观念的发展离不开一定的统计技能，因此在数学学业考试中进行有关统计技能的考查十分必要，但笔者认为试题书写量、运算量都不会过大.从试卷中，我们可以看到这类试题删繁就简，不堆砌技巧，突出了对知识的理解、把握和活用，考生有较大的自由度和思维空间.

例2经市场调查，某种优质西瓜质量为(5±0.25) kg的最为畅销.为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下(单位：kg):

(1)若质量为(5±0.25) kg的为优等品，根据以上信息完成下表：

(2)请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价;从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好.

解答：(1)依次为16颗，10颗;

(2)从优等品数量的角度看，因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好;

从平均数的角度看，因A技术种植的西瓜质量的平均数更接近5kg，所以A技术较好;

从方差的角度看，因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为稳定;

从市场销售角度看，因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近5kg，因而更适合推广A种技术.

概率论期末复习篇7

回答

对于算法初步这章内容，考查用自然语言叙述算法思想的可能性不大，而应重视流程图表示的算法及算法语句（伪代码）表示的算法.虽然不同版本教材中的算法语句不同，但是流程图是相同的，因此更应该重视对流程图的复习.在对本章内容进行复习的时候，不宜搞得太难，掌握基本思想及格式即可.另外要注意的是流程图与其他知识相结合的实际应用型题目，如2008年江苏高考第7题.

要做好算法的题目，首先必须熟练掌握程序框图和基本算法语句.不管做哪种形式的算法问题，都要特别注意条件结构和循环结构.常常用条件结构来设计算法的有分段函数的求值、数据的大小关系等问题，而循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题.在循环结构中，要注意分析计数变量、累加变量以及循环结构中条件的表达和含义,特别要注意避免出现多一次循环或少一次循环的情况.

问题二复数问题会以什么形式出现？主要考查哪些知识点？

回答高考对复数的要求还是围绕着“数系扩充”和基本概念、基本运算展开的，在考查时，题型仍以小题为主，难度不大.

复数的基本概念中，难点在于对复数中诸多概念的正确理解.特别要领会和掌握的有以下几点： ① 复数是实数的条件：z=a+bi∈R（a,b∈R）b=0z=z-；② 复数是纯虚数的条件：z=a+bi（a,b∈R）是纯虚数z+z-=0（z≠0）；③ 两个复数相等的条件：a+bi=c+dia=c且b=d（其中，a,b,c,d∈R），特别地，a+bi=0a=b=0；④ 复数z=a+bi（a,b∈R）的模|z|=a2+b2，共轭复数z-=a-bi.

复数的代数形式运算类似多项式的运算，加法类似合并同类项，乘法类似多项式相乘，除法实际是分母实数化（类似分母有理化）.复数运算常用的结论有：① i2=-1；② i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i，其中n∈N；③ （1±i）2=±2i；④ ω=-12+32i,ω2=ω-,ω=1ω2,ω3=1,1+ω+ω2=0.

复数的几何意义是复数中的难点，化解难点的关键是对复数的几何意义的正确理解.理解复数的几何意义可以从以下方面入手：① 复数z=a+bi（a,b∈R）的模|z|=a2+b2实际上就是指复平面上的点Z（a,b）到原点O的距离；|z1-z2|的几何意义是复平面上的两点Z1，Z2之间的距离；② 复数z、复平面上的点Z及向量OZ一一对应，即z=a+bi（a,b∈R）Z（a,b）OZ.

解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解.如果遇到复数就设z=a+bi（a,b∈R），则有时会给问题的解答带来不必要的运算上的困难，如能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍.

问题三概率统计部分考查的侧重点是什么？会出哪些题型？

回答统计初步主要考查对统计思想、统计方法的理解与运用.

统计初步的考查重点是：

（1）随机抽样的三种方法，即简单随机抽样：适用于总体中的个体数量不多的情况；系统抽样：适用于总体中的个体数量较多的情况；分层抽样：适用于总体中的个体具有明显层次的情况.三种抽样方法的共同点是：它们都是等概率抽样，体现了抽样的公平性.

（2）频率分布表和直方图是表示样本数据的图表，在频率分布表中我们可以看出样本数据在各个组内的频数以及频率；而频率分布直方图更加直观地表示了样本数据的分布情况，值得注意的是频率分布直方图中纵轴上的点表示频率除以组距.解答频率分布图表问题的关键是弄清楚其含义.

（3）理解样本数据平均数与方差的意义和作用，能从已有样本数据中提取基本的数字特征（如平均数，方差）.

概率部分的考查内容主要包括古典概型、几何概型以及随机变量的概率问题.古典概型是学习以及高考的重点，几何概型是等可能概型的一种，直观性强，特别要注意对几何图形的构造，体会测度的含义——对线段而言为长度，对平面图形而言为面积，对立体图形而言是体积.对古典概型和几何概型的考查多以小题的形式出现，以中等难度题目为主.

古典概型和几何概型的复习关键是：

（1）一个事件是否为古典概型，在于这个实验是否具有“有限性和等可能性”这两个基本特征.

（2）几何概型具有“无限性和等可能性”这两个特点.化解实际问题向几何概型的转化过程中，要清楚几何概型的意义和计算公式，特别要注意的是很多几何概型往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来.在解决问题时要善于根据问题的具体情况进行转化，如把从两个区间内取出的实数看成坐标平面上的点的坐标，将问题转化为平面上的区域问题等，这种转化策略是化解几何概型试题难点的关键.

（3）在求互斥事件概率时，要合理利用公式P（A+B）=P（A）+P（B）.在求对立事件概率时，要运用公式P（A-）=1-P（A）.对于比较复杂的概率问题，可尝试利用其对立事件求解（即逆向思维），或分解成若干个互斥事件（即分类讨论），利用互斥事件的概率加法公式求解.

概率初步研究的是孤立的事件发生与否的概率，而随机变量研究的概率问题是在一次试验中，某类现象发生概率的状态（即分布）.要理解离散型随机变量的数学期望与方差的意义，掌握其计算公式，而超几何分布和二项分布需要引起重视.

离散型随机变量的期望公式是E（X）=x1p1+x2p2+…+xnpn+…，此外有：E（aX+b）=aE（X）+b；方差公式是V（X）=（x1-μ）2p1+（x2-μ）2p2+…+（xn-μ）2pn=∑ni=1（xi-μ）2pi或 V（X）=∑ni=1x2ipi-μ2，此外也有：V（aX+b）=a2V（X）.

问题四近几年高中计数原理的重点在哪里？会以什么样的题型进行考查？

回答近几年高中普遍提高了对计数原理应用的考查要求，即高考对计数问题的考查更多着眼于对计数原理的应用，而淡化了技巧与繁琐的运算，很多考题已经很难区分是单独地考查计数原理还是排列组合，更多的是趋于统一与融合.

计数原理的复习关键是：

（1）要理解两个原理的含义，分类加法计数原理强调完成一件事有若干种方法，每一种方法都可以独立完成这件事，各种方法互不干涉；而分步计数原理强调完成一件事分成几个步骤，各步之间彼此依赖，只有完成所有的步骤才能完成这件事，缺少其中任何一步都不能完成这件事且各步中的方法是相互独立的.

（2）解排列、组合应用题时，首先要认真审题，弄清是组合问题还是排列问题，可以按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；然后要弄清楚题目中的关键字眼“在”与“不在”，“相邻”与“不相邻”等，常用的方法有“先排特殊元素或特殊位置”、“捆绑法”、“插空法”等.

（3）常见的解题策略有以下几种：① 特殊元素优先安排的策略；② 合理分类与准确分步的策略；③ 排列、组合混合问题先选后排的策略；④ 正难则反、等价转化的策略；⑤ 相邻问题捆绑处理的策略；⑥ 不相邻问题插空处理的策略；⑦ 定序问题除法处理的策略；⑧ 分排问题直排处理的策略；⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩ 构造模型的策略.

（4）对于排列数与组合数的计算问题，要注意依据排列数与组合数公式及其变形，在计算过程中要注意阶乘的运算、组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用.另外，含有排列数或组合数的方程都是在正整数范围内求解.利用这一点可以根据题目的条件将方程及时化简.证明题一般用Amn=n!（n-m）!或Cmn=n!m!（n-m）!及组合数的性质，证明过程中要注意阶乘的运算及技巧.

概率统计复习重点篇8

1.全概率公式应用题。

练习题：有两只口袋，甲袋装有a只白球，b只黑球，乙袋中装有n只白球，m只黑球，(1)从甲袋中任取1球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1球，求最后从乙袋中取出的是白球的概率。

(2)从甲袋中任取2球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1球，求最后从乙袋中取出的是白球的概率。

(3)从甲袋中任取3球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1球，求最后从乙袋中取出的是白球的概率。

2.一个正态总体方差的区间估计。两个正态总体的区间估计不考。

3.二维连续型随机变量联合概率密度函数及其性质，边缘概率密度函数的求法，判断两个

随机变量的独立性。

4.已知二维连续型随机变量的联合概率密度函数，求两个随机变量的数学期望，协方差。5.6.7.8.一个正态总体均值的假设检验，方差未知。两个正态总体的假设检验不考。切比雪夫不等式。会求两随机变量的函数的相关系数。样本方差与样本二阶中心矩的关系。

9.常见分布如均匀分布、正态分布、泊松分布的数学期望和方差；数学期望与方差的性质。

10.条件概率公式、加法公式。

11.矩估计、无偏估计。

概率统计复习重点：

1.全概率公式应用题。

(2)从甲袋中任取2球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1球，求最后从乙袋中取出的是白球的概率。

(3)从甲袋中任取3球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1球，求最后从乙袋中取出的是白球的概率。

2.一个正态总体方差的区间估计。两个正态总体的区间估计不考。

3.二维连续型随机变量联合概率密度函数及其性质，边缘概率密度函数的求法，判断两个

随机变量的独立性。

4.已知二维连续型随机变量的联合概率密度函数，求两个随机变量的数学期望，协方差。

5.一个正态总体均值的假设检验，方差未知。两个正态总体的假设检验不考。

6.切比雪夫不等式。

7.会求两随机变量的函数的相关系数。

8.样本方差与样本二阶中心矩的关系。

9.常见分布如均匀分布、正态分布、泊松分布的数学期望和方差；数学期望与方差的性质。

10.条件概率公式、加法公式。

高考数学复习概率统计典型例题篇9

例1 下列命题：

(1)3，3，4，4，5，5，5的众数是5；

(2)3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5；

(3)频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率；

(4)频率分布表中各小组的频数之和等于1

以上各题中正确命题的个数是 [ ]．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分析：回忆统计初步中众数、中位数、频数、频率等概念，认真分析每个命题的真假．

解：(1)数据3，3，4，4，5，5，5中5出现次数最多3次，5是众数，是真命题．

(2)数据3，3，4，4，5，5，5有七个数据，中间数据是4不是4.5，是假命题．

(3)由频率分布直方图中的结构知，是真命题．

(4)频率分布表中各小组的频数之和是这组数据的个数而不是1，是假命题．

所以正确命题的个数是2个，应选B．

例2 选择题：

(1)甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.4，乙的样本方差是0.2，那么 [ ]

A．甲的波动比乙的波动大；

B．乙的波动比甲的波动大；

C．甲、乙的波动大小一样；

D．甲、乙的波动大小关系不能确定．

(2)在频率直方图中，每个小长方形的面积等于 [ ]

A．组距 B．组数

C．每小组的频数 D．每小组的频率

分析：用样本方差来衡量一个样本波动大小，样本方差越大说明样本的波动越大．

用心爱心专心

122号编辑

解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波动比乙的波动大，选A．

例3 为了了解中年人在科技队伍中的比例，对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记，结果如下(单位：岁)

44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28．

列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．

解：按五个步骤进行：

(1)求数据最大值和最小值：

已知数据的最大值是67，最小值是28

∴最大值与最小值之差为67-28=39

(2)求组距与组数：

组距为5(岁)，分为8组．

(3)决定分点

(4)列频分布表

用心爱心专心

122号编辑

(5)绘频率分布直方图：

例4 某校抽检64名学生的体重如下(单位：千克)．

列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．

分析：对这组数据进行适当整理，一步步按规定步骤进行．

解：(1)计算最大值与最小值的差：48-29=19(千克)

(2)决定组距与组数

样本容量是64，最大值与最小值的差是19千克，如果取组距为2千克，19÷2=9.5，分10组比较合适．

(3)决定分点，使分点比数据多取一位小数，第一组起点数定为28.5，其它分点见下表．

(4)列频率分布表．

用心爱心专心

122号编辑

(5)画频率分布直方图(见图3-1)

说明：

长方形的高与频数成正比，如果设频数为1的小长方形的高为h，频数为4时，相应的小长方形的高就应该是4h．

例5 有一个容量为60的样本，(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表：

(1)填出表中所剩的空格；

(2)画出频率分布直方图．

分析：

用心爱心专心

122号编辑

各组频数之和为60

各组频率之和为1

解：

因为各小组频率之和=1

所以第4小组频率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35

所以第4小组频数=0.35×60=第5小组频数=0.3×60=18

(2)

例6 某班学生一次数学考试成绩的频率分布直方图，其中纵轴表示学生数，观察图形，回答：

(1)全班有多少学生？

用心爱心专心

122号编辑

(2)此次考试平均成绩大概是多少？

(3)不及格的人数有多少？占全班多大比例？

(4)如果80分以上的成绩算优良，那么这个班的优良率是多少？

分析：根据直方图的表示意义认真分析求解．

解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人．

共计 1+2+3+8+10+14+6=44(人)

(2)取中间值计算

(3)前三个小组中有1+2+3=6人不及格占全班比例为13.6%．

(4)优良的人数为14+6=20，20÷44=45.5%．

即优良率为45.5%．

说明：频率分布表比较确切，但直方图比较直观，这里给出了直方图，从图也可以估计出一些数量的近似值，要学会认识图形．

例7 回答下列问题：

用心爱心专心

122号编辑

总是成立吗？

(2)一组数据据的方差一定是正数吗？

总是成立吗？

(4)为什么全部频率的累积等于1？

解：(1)证明恒等式的办法之一，是变形，从较繁的一边变到较简单的一边．这

可见，总是成立．

顺水推舟，我们用类似的方法证明(3)；注意

那么有

(2)对任一组数x1，x2，„，xn，方差

这是因为自然数n＞0，而若干个实数的平方和为非负，那么S2是有可对等于0的

从而x1=x2=„=xn，就是说，除了由完全相同的数构成的数组以外，任何数组的方差定为正数．

用心爱心专心

122号编辑

(4)设一个数组或样本的容量为n，共分为m个组，其频数分别为a1，a2，„，am，按规定，有

a1+a2+„+am=n，而各组的频率分别a1／n，a2／n，„，am／n，因此，有

说明：在同一个问题里，我们处理了同一组数据x1，„，xn有关的两个数组f1，f2，„，fk和a1，a2，„，am，前者是说：在这组数中，不同的只有k个，而每个出现的次数分别为f1，„，fk；后者则说明这组数所占的整个范围被分成了m个等长的区间，出现在各个区间中的xi的个数分别为a1，„，am，可见，a1，„，an是f1，„fk的推广，而前面说过的众数，不过是其fi最大的那个数．

弄清研究数组x1，„，xn的有关数和概念间的联系与区别，是很重要的．

例8 回答下列问题：

(1)什么是总体？个体？样本？有哪些抽样方法？

(2)反映样本(或数据)数量水平的标志值有哪几个？意义是什么？怎样求？

(3)反映样本(或数据)波动(偏差)大小的标志值有哪几个？怎样求？有什么区别？

(4)反映样本(或数据)分布规律的数量指标和几何对象是什么？获得的一般步骤是什么？

解：这是一组概念题，我们简略回答：

(1)在统计学里，把要考查对象的全体叫做总体；其中每个考查对象叫个体；从总体中抽出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本中个体的数目，叫做样本的容量．

应指出的是，这里的个体，是指反映某事物性质的数量指标，也就是数据，而不是事物本身，因此，总体的样本，也都是数的集合．

抽样方法通常有三种：随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，基本原则是：力求排除主观因素的影响，使样本具有较强的代表性．

(2)反映样本(或数据)数量水平或集中趋势的标志值有三个，即平均数、众数和中位数．

有时写成代换形式；