几何教学（共12篇）
几何教学 篇1
平面几何难, 难在入门, 而入门的关键在于对学生几何语言系统的建立和培养.数学家斯托利亚尔曾说过:“数学教学就是数学语言的教学.”数学语言是表达数学关系和形式的符号系统, 它是学生进行数学思维及教师传授数学知识的载体和工具, 是学生理解数学概念, 掌握数学思想方法以及进行再学习的基础.尤其是在抽象思维过程中, 数学语言充当第一信号系统的情感刺激物, 起着其他信号无法替代的作用.而相对于“代数语言”而言的“几何语言”, 由于其精练性和抽象性, 更不易为初学者所掌握.所以, 重视平面几何语言的教学, 帮助学生突破语言瓶颈, 这是解决平面几何入门的首要前提.
一、平面几何语言的分类及其特点
几何语言一般可以分为三类:文字语言、图形语言和符号语言.
文字语言, 就是用文字来叙述几何的概念或性质.例如, 平行线的概念是“在同一平面内不相交的两条直线”;三角形的概念是“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形”;直线的基本性质是“经过两点有且只有一条直线”;线段的性质是“在所有连结两点的线中, 线段最短”.这些表达概念或性质的语言都准确、严密地描述了不同几何图形的特征或性质.文字语言的特点是用词准确, 用语严谨, 不能轻易增减一字.
图形语言, 就是通过识图、作图并伴及一定的文字说明来表达几何的特征, 研究几何的性质.图形语言是对文字语言的“翻译”, 它比文字语言更具体, 更便于研究.因此, 几何中的识图、作图是一项重要的基本功.图形语言的特点是直观性强, 形象生动.
符号语言, 就是用一系列特定的符号简洁地描述几何图形及其性质.例如, 两直线平行用“∥”来表示, 两直线垂直用“⊥”来表示, 三角形用“△”来表示等.符号的表述克服了文字语言叙述的冗长, 同时给理解、书写、记忆和应用带来了极大的便利.其特点是简洁精练, 严谨抽象.文字语言、图形语言和符号语言构成了几何中的语言系统.这些语言是相互交错和渗透的, 它们互相配合, 密不可分.
二、突破平面几何语言障碍的策略
浙教版数学新教材中的平面几何入门教学通常是指七年级上册“图形的初步知识”、七年级下册“三角形的初步知识”、八年级上册“平行线”和“特殊三角形”这四部分内容的教学.要搞好平面几何的入门教学, 关键是解决以下四个问题.
1. 紧扣教材, 抓住句型, 突破语言理解关
数学新教材编写方式有了很大改进, 降低了一定的教学难度, 重视知识的形成过程, 配备了章头图和节前图等, 努力创设教学情境, 提高学生的学习兴趣.同时, 由于多媒体的辅助教学, 使得知识的掌握过程变得越发轻松有趣.但是, 不可避免, 几何教材一开始就以比较抽象的文字语言介绍出许多新概念和性质.对于教材中出现的这些概念和性质, 切忌死记硬背, 关键要在理解上下功夫.为此, 教师必须让学生熟悉教材, 看懂教材, 其中, 阅读是很重要的一个基本环节.教师要像上语文课那样咬文嚼字, 划分主谓宾, 确定修饰语, 帮助学生进行文字疏通.如直线的基本性质“经过两点有且只有一条直线”, 这样的叙述方式, 学生还是第一次见到, 不容易理解它的含义.在教学中应抓住关键词进行剖析:“有”表明了直线的存在性, 即存在着这样的直线;“只有”表明了直线的惟一性, 即存在的直线只有一条, 而不是两条或多条.同时结合语文课中所学的“有……且只有……”这种递进句型来领会其含义, 学生就容易理解和掌握了.又如, “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离.”这可从以下几个方面去理解:第一, 垂线段≠垂线, 垂线段是线段, 垂线是直线;第二, 垂线段≠距离, 垂线段是“形”, 距离是“数”;第三, “长度”是纽带, 是桥梁, 有了它的连接, “垂线段”与“距离”才数形结合, 得到有机统一.
2. 讲清性质, 对照图形, 突破语言表达关
几何中的概念、性质是今后进一步学习的基础, 也是进行推理、论证的依据.它们一般是用文字语言叙述的, 但在具体解答、论证时又要画出图形, 标上字母, 转化为图形语言和符号语言.例如, 文字语言“C是线段AB的中点”, 转化为图形语言如图1, 用符号语言表示图1是“AC=BC”或“”或“AB=2AC (AB=2BC) ”.又如, 文字语言“对顶角相等”, 转化为图形语言如图2, 用符号语言表示是“∠1=∠2”.因此, 在平面几何的教学中, 几何语言的变通性显得尤为重要.教师要重视数学语言的转化教学, 每讲一个概念或性质, 就要让学生掌握它的三种语言表示形式, 并能根据需要进行互译, 灵活转换.
3. 化整为零, 由易到难, 突破识图、作图关
所谓识图, 就是要认识图形的本质特征, 分清图形之间的联系与区别.所谓作图, 包括两个方面:一是指使用刻度尺、三角板、量角器和圆规等多种工具画图;二是指尺规作图.图形是几何的主要研究对象, 能识图、会作图是学习平面几何的前提.学生不能准确地认识图形以及正确地画出图形往往成为学习几何的障碍.教学中应在学生正确理解概念的基础上, 加强识图、作图训练.
识图训练要循序渐进, 分步进行:
(1) 从简单图形到复杂图形.例如, 教材先让学生认识角的图形, 然后逐步认识各种不同的角 (平角、周角, 直角、锐角和钝角) 的图形, 再进一步认识涉及两个角位置关系或数量关系的图形, 如对顶角、同位角、补角等, 直至交错叠合的图形.当然, 对于一些线条纵横交错, 局部图形重叠遮盖的复杂图形, 也要能够根据需要对它进行剖析、分离, 构造出简单有用的基本图形.
(2) 从标准图形到变式图形.开始先认识标准图形, 然后逐步改变图形的方向、位置或结构, 认识各种变式图形.
(3) 从静止图形到运动图形.在“三角形”这一部分教学中, 就要求学生识别经过翻折、平移和旋转变换后的图形.
(4) 从多方面感知图形.如图3, 在一直线上依次有A、B、C三个点, 既可说点C在直线AB上, 又可说点B在线段AC的延长线上.又如图4, ∠ADC既是△ADC的一个内角, 又是△ABD的一个外角.
作图训练中的工具画图, 目的是使学生熟悉画图语言, 为尺规作图作准备.如“连接AB”, “直线AB、CD相交于点O”, “延长线段AB到C, 使BC=AB”, 等等.要求学生对上述几何语言进行严格的训练, 一方面教师念, 学生画图;另一方面教师画图, 学生说画法.只有这样反复训练, 不断渗透, 才能使学生熟悉画图语言, 形成感性认识.至于尺规作图, 应先让学生模仿基本作图方法, 然后要求学生口头叙述作图过程, 再达到能正确地书写“已知、求作和作法”.
在对学生进行作图训练时, 还应注意以下几点:一是作图不能太特殊.如两直线相交, 不要画成两条直线垂直;在线段AB上任取一点, 不要取线段AB的中点;任意画一三角形, 不要画成直角三角形或等腰三角形, 等等.二是作图语句的写法要规范.如“过A、B两点作直线AB”不能写成“连接AB”;“延长线段AB到C, 使BC=AB”一般不写成“延长线段AB到C, 使AB=BC”;“过点P作PC⊥AB”还应写明“垂足为C”等.三是注意细节.如图上所标字母应与叙述句一致;点的字母要大写, 切不可大写字母与小写字母混用;所添辅助线应在图中画出, 并标注相关字母等.
4. 循序渐进, 逐步渗透, 突破推理论证关
推理论证是不同于代数方法的一种新的解题方式, 是提高学生分析问题、解决问题能力的重要手段, 是发展学生逻辑思维能力的核心环节.又由于推理论证是对文字语言、图形语言和符号语言三者的综合运用, 对学生的能力要求必然很高, 因此, 推理训练既是几何入门教学的重点, 又是几何入门教学的难点.
推理训练必须遵照“循序渐进, 逐步渗透, 耐心期待, 水到渠成”的原则, 具体可分为三个阶段进行. (1) 教师讲解, 示范引路.结合“图形的初步知识”教学, 使学生对推理有一个初步的认识, 如因为点C是线段AB的中点 (已知) , 所以AC=BC (线段中点的意义) .因为OC平分∠AOB (已知) , 所以∠AOC=∠BOC (角平分线的意义) . (2) 学生尝试, 填写理由.在“图形的初步知识”和“三角形的初步知识”中, 对学生进行填写过程, 填写理由的推理训练, 要求学生能看懂推理过程, 懂得言必有据.在训练中, 一定要强调文、图、式三者的统一. (3) 放手实践, 独立推理.通过对全等三角形的教学, 要求学生能独立进行简单的推理论证, 正确书写推理过程, 做到步步有据, 处处符合逻辑推理要求.
此外, 在对学生进行推理训练时, 还应做好以下几点.
(1) 明确推理层次关系.
几何论证一般是由若干个推理组成, 每个推理都包括“因”、“果”以及“理由”三部分, 且因果关系要合理, 可以一因一果、一因多果, 也可以多因一果.而有时, 从第二个推理起常省略它的“因”, 因为这个“因”往往就是上一推理的结果.初学几何, 由于学生的年龄限制, 对推理的“言必有据”以及“因果对应”一时难以适应, 往往会根据需要临时“创造”出“新因”或“新果”来.
(2) 发挥基本图形功能.
几何中的基本图形就是指课本中那些简单、特殊的几何图形, 是构成复杂图形的具体元素.在教学中要有意识地引导学生从不同角度观察、分析课本中的基本图形, 并进行适当演变.在解题中, 充分发挥基本图形的功能, 就很容易找到解题的突破口, 使问题的解决变得简便易行.
(3) 重视三角形全等教学.
“三角形全等”是平面几何入门教学的核心内容.我们应把三角形全等教学作为突破口, 从容易处入手, 由简单题开始, 扫除几何入门障碍.在推理上要求学生能用三角形全等的知识独立论证一次全等或二次全等.二次全等是几何入门推理论证的深入和难点, 突破这个难点, 学生的推理论证能力就会有较大的提升.这里须使学生明确连续推理的结构形式是把第一次推理的结论作为第二次推理的条件.另外, 要把培养学生的分析能力, 掌握分析方法, 用综合法写出推理过程作为这一阶段的训练重点.分析是找寻思路的钥匙, 会由结论推到已知条件 (逆向思维) , 再从已知条件推到结论 (正向思维) , 这是初学几何者真正入门的标志.
参考文献
[1]李胜.浅谈初中数学教学中的语言[J].中小学数学, 1998 (7/8)
[2]陈晓东.平几入门闯“三关”[J].数学大世界, 2000 (3)
[3]杨燕.怎样学好几何语言?[J].数学大世界, 2000 (6)
[4]罗鹏江.浅谈平面几何语言的入门[J].数学大世界, 2001 (5)
几何教学 篇2
一、动态演示图形中数量和几何关系的变化过程和趋势
传统的平面几何教学是利用简单的几何图形和一系列的公理、命题、定理、推论等来推导、证明几何关系和几何结论，从而揭示几何图形中各部分之间的.数量关系，不易动态地揭示图形中数量和几何关系的变化趋势，正是从这点出发，运用《几何画板》辅助教学，动态地演示图形中数量和几何关系的变化过程，使学生通过作图、观察、总结得出几何概念和几何规律，从而更好地领会几何公理、定理和几何命题。
如，在讲述直线与圆的位置关系时，传统的教法是把先研究圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，然后再把这个关系与直线与圆的位置关系对应起来。有了《几何画板》，我们可用电脑演示直线与圆的相对运动的变化过程，并鼓励学生观察思考：当圆运动时，它和直线发生了哪些方面的变化?这些变化可分成几类?分类标准是什么?能否用数量关系来揭示直线和圆的这种位置关系?
二、测量和计算
《几何画板》计算功能的最大特点是：不论几何图形如何变化，图形中各元素的属性都可以动态地表现出来。
如，在讲三角形的性质时，我们可以在画板上做一个任意三角形，度量出三角形三边的长和三个角的度数，然后拖动三角形的任一顶点，让学生去探索三角形边的关系和角的关系以及它们之间是否存在某种不变的数量关系?接下来利用《几何画板》的计算功能，罗列出任意两边的和与第三边的比，任意两边的差与第三边的比，以及三内角的和。再做三角形任一顶点的动画，让学生认真观察，讲述其中的内在关系。
三、显示动点轨迹的形成过程
利用《几何画板》还能直观地呈现出动点轨迹的形成过程，能激发学生的求知欲，从而鼓励他们去探究、猜想、培养学生的创新意识。
例如，圆锥曲线的统一定义是：到定点(焦点)的距离与到定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹，当01时是双曲线，当e=1 时是抛物线。这一定义表明了圆锥曲线间的内在统一，教材中是通过分别求出轨迹方程加以说明的，实际教学中以传统教学手段较难体现其内在的统一性，更无法进行如《全日制普通高级中学数学教学大纲》( 年2 月)所要求的“结合教学内容，进行运动，变化观点的教育”.若借助《几何画板》这一动态几何工具辅助教学，则能揭示其间的规律，加强互动性，利于学生的认知和掌握。
现在的数学教育，计算机已走进课堂，教师用《几何画板》辅助教学，可以很方便地做数学实验，这时教师应该用更多的时间让学生去思考和理解更本质的东西，学会提出问题和自己动手解决问题，从而达到帮助学生更深入地思考数学，培养学生的数学思想，方法及其应用的理解和掌握，重现现实问题的解决。《几何画板》辅助教学正好提供了这种实现的方法，它呈现在人们面前的是动态的几何，弥补了传统几何教学的不足，是我们实施素质教育的有力工具。
参考文献：
赵国义。用《几何画板》教学的体会[J].数学通报，2002(11)。
几何教学 篇3
关键词：高等几何；射影几何；蝴蝶定理
《高等几何》课程属于高等院校数学专业的核心基础课之一，在数学教育专业的课程中它与《数学分析》、《高等代数》早期被称为是数学专业课程的“三高”（又或称为老三高），可见它在数学专业学习中是十分重要的课程之一。我们可以把《高等几何》的教学目概况总结为两点：其一是通过学习《高等几何》这门课程让数学专业的学生知识领域更为广阔，为学生今后学习好其它数学专业的课程打好坚实的基础。其二是经过高等几何的研究学习能够让学生对中学几何理论与方法的理解有更深刻的认识，从而使他们在毕业之后走上讲台可以站在一个比较高的角度来处理和解决中学几何中的问题。
一、通过高等几何的学习了解欧氏几何和射影几何的关系，可以加深对初等几何的理解
我们在中学学习的几何可以统称为欧氏几何，在大学里，我们学习的高等几何其中包含了仿射几何和射影几何。通过高等几何的学习我们应该让学生指导他们之间的关系。就几何的大小而言，射影几何学仿射几何学欧氏几何学。让学生了解，我们中学学习的几何（欧式几何）只是我们高等几何讲解的射影几何的一个特例。另外一个方面，又由于集合越大，它们共性就会越少，因此我们如果从研究的内容上来看，这几个几何的关系应该是：
射影几何学仿射几何学欧氏几何学。从这个角度，我们可以让学生了解到为什们我们大学学习的射影几何学的内容比较少，而中学学习的欧氏几何学的内容却比较丰富的原因。在学习高等几何的时候，老师要让学生了解这种几何学之间的区别和联系，从而也就扩大学生关于几何的视野。让他们可以站得更高看得更远。
二、利用高等几何知识证明初等几何题
1、 利用Desargues定理证明初等几何题
在初等几何里我们学习了，三角形三线共点，我们还记得它的证明非常的麻烦。下面我
们利用高等几何来证明其中的一个定理。
通过这个例子，我们应该让学生知道，利用高等几何的知识来解决中学的一些问题比利用欧氏几何来解决要简单的多。
2、利用交比、调和比证明初等几何题
通过高等几何的学习我们知道交比是射影不变量，我们可以利用它的定义及性质证明初等几何中的共点线、共线点、角分线、线段相等等问题。
例2、过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE，DF，连结EF，CD交AB于G，H。求证：GO=OH。（蝴蝶定理）
三、利用高等几何知识指导中学几何作图问题。
参考文献：
[1] 舒见贤.在高等几何教学中加强对初等几何的指导[J].怀化师专学报，1993，10.
[2] 赵宏量.高等几何教学杂淡[J].西南师范学院学学报，1984，3.
几何教学 篇4
欧氏几何与非欧几何的显著区别之一就是欧氏几何的计算和证明不能避开直观的几何图形进行纯逻辑推理, 必须以直观图形为载体.在几何计算和证明的实践活动中, 图形往往是纷繁复杂、千变万化的, 从而使学生在解题过程中难以抓住图形的本质和重点, 对题目所给信息不能正确提取和重组, 找不到解决问题的突破口而无从下手或者思维混乱.这是造成学生觉得几何难学的主要原因.但是, 任何一个复杂的几何图形都是由相关的基本图形所构建、整合而成的, 也就是说一个几何题往往是多个知识点的有机整合.因此, 对复杂图形进行合理分解从中分离出基本图形, 然后根据基本图形去联想由图所对应的概念、公理或定理所需的条件以达到对题目所给条件的正确组合, 可以为学生寻找解题的突破口提供线索.这种“模块化”的思维方式, 可以有效防止无关信息干扰, 快速凸显解题突破口, 提高思维的敏捷性.所以在平面几何的教学中应该重视基本几何图形的提炼与应用.
有调查表明:83%的学生认为“几何较难”, 其中因为几何概念多、定理和性质容易混淆的占31%.几何的入门学习中概念的学习尤其重要, 因为他们是定理学习的基础准确地识记概念和熟练地运用定理, 这是“双基”的要求在抓好“双基”的基础上, 要努力培养学生解决问题的能力, 培养创新精神.实践表明, 运用几何基本图形教学, 建立知识点和基本图形对应关系, 由定理 (或概念) 联想图形, 由图形联想定理 (或概念) , 实现直观与抽象的有机转换, 促进学生几何思维能力和解题经验的发展, 是提高几何教学质量的有效措施.
1. 重视概念, 夯实基础, 利用基本图形理解和记忆概念
几何的学习是从概念开始的, 与定义、概念相对应的图形称为概念型基本图形.如下表1:
几何概念和代数概念的显著区别就在于几何概念以陈述性概念为主, 且它的定义必须以直观图形为基础.所以, 几何概念教学尤其要重视概念理解与基本图形的认知相结合, 可以按如下步骤进行:画图;揭露本质;图形变式.
案例1邻补角的概念教学
第一步:给出相关情境, 让学生从中感受邻补角;
第二步:从情境中提炼出基本图形, 并让学生自己动手画出如下图3:
第三步:结合基本图形, 揭露概念的本质;
第四步:图形变式, 辨别真伪, 如下图4:
学生通过情境感受邻补角, 经历了画邻补角的过程, 在交流中理解邻补角的概念, 在变式中领悟和提炼基本图形, 实现了图与概念的统一, 也就能从复杂图形中识别出邻补角.
2. 立足定理, 重视能力, 利用基本图形破解解题思路
公理和定理的运用在推理中起决定性作用, 与公理或定理相对应的图形称为定理型基本图形.例如:
(1) 角平分线上的点到角的两边的距离相等, 角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上.如图5.
(2) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等, 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上如图6.
(3) 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.如图7.
定理型基本图形较概念型基本图形要复杂得多, 往往是多个概念性基本图形的有机整合.如果再把图形又置于复杂的几何综合题中, 学生很难避开干扰图形看到问题的本质, 导致解题困难.所以, 定理型基本图形的提炼和反复操练十分重要.
案例2探究垂径定理
第一步:提供问题情境, 如何将圆形纸片的一条弦平分 (不借助工具) , 见图8.
第二步:在活动中, 让学生开动脑筋, 思考起来, 做起来, 理解“折叠”的过程.
第三步:在交流中, 老师与学生共同探讨“折痕”的本质, 画出图形, 如图9, 并证明.
第四步:例题与练习, 引导学生去发现计算和证明真正起决定作用的图形, 如图10.
第五步:在练习的基础上进行经验总结, 提炼出两种基本图形, 如图9和图10.
提炼定理型基本图形建立了定理与图形的对应关系, 定理图形化便于记忆, 减少了记忆单元, 便于从复杂图形中联想解决问题的相关知识点, 利于复杂图形分解, 打开解题思路.
因此, 教师在几何定理教学中要让学生结合基本图形来掌握定理, 加深学生对基本图形的认知, 帮助学生建立图形与定理的密切联系.在引导学生对复杂图形进行拆积木式的分解过程中, 能训练学生的识图能力, 有利于能力的迁移, 有利于在复杂图形中快速找到解题的思路.
3. 精练习题, 总结经验, 利用基本图形寻找解题规律
《数学课程标准》过程性目标要求:“学生在特定的数学活动中, 获得一些初步的经验;参与特定的数学活动, 在具体情境中初步认识对象的特征, 获得一些经验……”学生在几何解题过程中, 要善于去发现问题的共性, 及时总结形成自己的经验.
在书本例题、习题和平时考试中经常出现的建立在同一图形结构上的几何题, 他们所包含的部分几何图形的本质完全相同, 称具有共同本质而出现频率较高的图形为经验型基本图形.例如:被删掉的射影定理及面积相等法, 如图11所示;一对有用的相似三角形△ABC∽△CDE, 如图12所示.
几何问题是千变万化的, 但是“万变不离其宗”!“熟能生巧”是几何学习的一条很有用的规律, 巧的实质是理解其“宗”.所以, 教师要在解题中不断引导学生进行解题回顾与反思, 总结通法, 明确算法流程, 提炼解题所需的基本图形, 有效促进解题思维定式的正迁移, 从而提高解题效益.
几何体教学 篇5
素描在绘画艺术中是指一切所有的单色绘画。只有用黑、白、灰三种颜色来表示物体的明暗变化，我们所看到的世界里物体的外部形态千变万化，但归纳起来，可概括为几种最为基本的几何形态，几何立方体、圆柱体、圆锥体、球体等，就是千变万化物象的形态概括，总之、要明白世间万物间任何事物都是由几何体构成的。
那么我们应该怎样来学习这门课程、怎样来更好的了解它？ 首先我们必须把它看作是一件‘事情’去对待，一件每天都不可缺少的是‘事情’，就像是每天必须吃饭一样，要去喜欢它、接触它要找到我们的目标。
我们的目的是让初学者能够在大量的、不间断的写生练习中，掌握正确的观察方法、表现手段、作画步骤，提高自身对结构、形体、解剖、比例、透视等造型因素的理解能力和把握能力。
下面我就具体谈谈怎样把石膏几何体这门课程学好。
单个物体的画法技巧 初学者从最简单的单个物体画起，要注意当你看到对象时不要急着去动笔（后面我还会详细介绍）要观察它的形状，是圆的、还是方的，先搞清楚对象在动笔不迟。用软铅笔构图、打轮廓，初学者一般要求他用直线，这样能培训概括“形”的能力；(用直线在画纸上定出最高点和最低点，以及等量长度的宽，注意构图的位置重心应在纸张的中心偏上。)
注意在打轮廓时我们肯定会有画不准的地方，这时不要急着用橡皮，把画错的与将要画的进行对照，这样为找准外轮廓线很有帮助。同时我也经常看到我们班上很多同学在画轮廓线时不敢画重，我要强调我们的学生画轮廓线时要大胆，不要怕。铺大体明暗，从暗部铺起，找出明暗交接线。(注意：明暗交接线在球体上的表现并非是截然的明暗分界，而是一个较模糊的，并且受反光影响，明暗交接线在色度上也并非一成不变，在表现上就更应注意观察，避免画死和概念化。)把黑、白、灰三大面准确的表现出来。画明暗的主要技法是直线排列法。通过直线排列，组成一个个面。画得用力，就显得深一些，暗一些，轻了，就浅一些；线排得密就深暗一些，疏就亮浅一些；重叠次数多就暗一些，少了，相对就亮一些。排线要做到“齐而不齐”，不能一面倒，也不能乱糟糟。深入刻画，进一步刻画物体的明暗变化表现出物体的质感。调整，1、物体的明暗关系是否正确。是不是画得灰了（是缺乏对比，层次没拉开）、画得了花（是缺乏整体感，过于注重零零碎碎的细节）
2、虚实关系如何？
组合物体的画法技巧
一 观察（整体观察，而不是一上来就画。选一个你认为最适合自己画的角度，构图这个过程，很容易被忽视，往往会画得过快，急躁，要知道快是建立在熟练的基础上的，一味的求快，反而留下后遗症。整体观察的根本方法就是比较。
二 构图这个阶段其实有很多的事要做：
1、所画对象在画面上应处在什么位置才是最合适的；(用直线在画纸上定出最高点和最低点，以及等量长度的宽，注意构图的位置重心应在纸张的中心偏上。)
2、各物体之间的比例；
3、形状要和对象相似（包括结构、透视以及物体自身各部分比例要正确）。而所有这一切都是靠“打轮廓”这一技法手段实现的。把握整体构图，包括比例，特征，要经常退远看。）
第三步：大体明暗。大的明暗关系画大体明暗是用出大的体积关系，甚至大的空间关系。如果大的明暗却不能表现出大的体积关系，那么，这种明暗画出来，是十分表面的，是不到位，是没有用的。
画明暗就要懂得明暗关系的基本知识，懂得“三大面五调子”。在画大体明暗的时候，不强调把明暗层次画得十分丰富，而是画出节奏，明暗的几个大层要分明，不追求微妙过渡。
画整体的明暗关系要眼睛眯起来看。
第四步：深入。深入阶段是一幅用时最长的阶段。在这个阶段里，一方面把塑造全面推向具体化，另一方面要画出丰富明暗调子，使整个画面具有旋律感。在这个阶段不仅要画所表现对象的立体感，还要画出对象的质感，以及对象所占空间。
第五步：调整。
1、整体的明暗关系是否正确。是不是画得灰了（是缺乏对比，层次没拉开）、画得了花（是缺乏整体感，过于注重
零零碎碎的细节）。
2、主次关系如何？主体物要突出。
3、虚实关系如何？
一、球体
教学目标：学习球体的画法；学习并掌握球体明暗素描的三 大面和五大调子；找准明暗交界线和投影，能较好地表现球 体的明暗关系。
教学重点：球体三大面和五大调子的理解和表现。
教学难点：
1、形体的准确性及形体的塑造。
2、明暗交界线和投影的确定与表现。
教学工具：画板、素描纸、铅笔、橡皮、石膏球体范画
教学过程：
1、画球体先画好正方形，然后在切去四个角。注意：切去的四个角要一样大，否则画出的圆形就不准了。切去四个角后形成八边形，八条边要一样长。
2、将八边形再一次切角，然后将直线改成圆线，画出明 暗交界线和投影。从明暗交界线处画明暗。注意：中间略深，两头略淡。在画上投影，球体的底部要留出反光。从明暗交 界线处开始，越靠近受光面越淡。光线的变化要匀称自然，不能深一块浅一块。
几何教学 篇6
【关键词】几何画板 平面解析几何 数学概念 数学定理 问题解决 应用
【中图分类号】 G 【文献标识码】 A
【文章编号】0450-9889（2014）12C-0156-06
几何画板是一个易学易用的数学软件，为教师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的教学平台。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、度量、计算和跟踪生成轨迹等方式，能构造出较为复杂的数学图形和动画效果，能根据普通方程、参数方程和极坐标方程准确地画出其对应的图形。几何画板较之其他数学软件最大的优势在于几何图形的动态化、“形”与“数”的同步化和操作的简单直观化。
笔者在平面解析几何课程教学过程中，结合几何画板的优势和五年制高职生的认知特点，有针对性地设计了大量的教学案例，并借助这些教学案例所创设的问题情境展开教学活动，充分调动了学生在操作中观察、在探索中思考、在合作中交流，不仅点燃了学生的学习热情，而且克服了传统教学中的不足，有效地促进了学习活动的开展。本文拟借助这些案例讨论几何画板在平面解析几何教学中数学概念的形成、数学定理的发现与验证、数学问题解决过程中的应用。
一、几何画板在揭示数学概念本质特征和形成过程中的应用
数学概念是对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象，或是在已有数学理论上的逻辑建构，教师在进行概念教学时，应选择适当的素材，分析概念的特性，设计恰当的问题情境，使学生在经历概念发生、发展的过程中，认识理解数学概念。对于某些具有过程性特征的数学概念，如抛物线、离心率等概念，传统教学手段不易为学生提供过程性的认识材料与背景，不能很好地揭示这一类数学概念的本质特征，学生在不理解的前提下，大多对概念的认识停留在事物的表面，不能深刻理解概念的本质。几何画板可以为过程性概念提供形象、生动、直观的过程背景，有效地促进学生对数学概念的本质特征的发现与理解。
案例1：抛物线概念的理解。
用没有伸缩性的绳索可以画出椭圆和双曲线，但却难以用传统教具流畅地画出抛物线的运动轨迹。通常情况下，教师用语言直接给出抛物线的定义，抛物线上的点所满足的条件完全由教师告知，学生难以信服与理解。而借助几何画板的动画技术，则可以流畅地表现抛物线轨迹的形成过程，有助于学生发现运动轨迹的本质特征，从而理解概念。如图1所示，点M作为动圆的圆心，在运动过程，动圆始终保持过定点F并和定直线l相切，学生通过观察动点M的运动过程和形成的运动轨迹，不仅能抽象概括出抛物线的本质属性，还能给抛物线下定义。
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图1 抛物线轨迹的形成过程
案例2：“椭圆离心率”概念的认识。
如图2所示，学生学习“椭圆离心率”时，借助几何画板中的度量、计算与跟综轨迹工具，能直观、动态地呈现焦距与长轴比值保持不变，椭圆由大不断变小，但扁平程度不变的过程，得到“离心率相同的椭圆相似或重合”的结论。如图3所示，保持椭圆长轴不变，让两个焦点距椭圆中心的距离越来越近，离心率越小，椭圆越接近圆，反之椭圆越扁平。通过几何画板的动态演示，既能直观地帮助学生认识椭圆离心率的几何意义，又能在此基础上帮助学生建立椭圆和圆之间的关系，实践证明有了上述的感性认识之后，学生不仅能够接受教材中关于离心率定义的规定，而且对其本质也有了深刻的认识，有效地提升了学生对椭圆离心率的认知水平。
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图2 离心率不变、椭圆的大小改变时的对比图
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图3 保持椭圆长轴不变、焦距变小时的前后对比图
二、几何画板在揭示数学定理、性质、公式发现过程中的应用
数学理论不会凭空产生，一般都会有一个实际需要或具体的问题背景，数学家们通常要经过具体的操作、演算，通过观察、分析，从中发现数学规律，形成猜想，然后从理论上给出严格的证明。平面解析几何中所涉及的数学理论，是许多数学家经过长期研究积累而形成的逻辑严密、抽象完整的理论体系，在传统教学中，学生学习这些抽象的数学理论时，往往会被忽略理论产生的背景和探索的过程。现代心理学、教育学成果揭示：学生在学习数学时，会以浓缩的形态再现人类数学发现的历程，传统教学中，由于受条件、技术、时间等诸多因素的限制，问题发现的过程均被削弱了，注重的是数学理论成果的快速学习，数学的系统性、抽象性和理论证明的逻辑性、严谨性成了课堂的主旋律，这也是学生觉得数学难学的最为主要的原因之一。几何画板可以为学生提供可进行观察、分析、思考的问题背景，让学生在丰富的感性材料中经历探索、发现数学规律过程，获得数学猜想的喜悦体验。
（一）用几何画板揭示数学定理的发现过程
案例3：发现两条直线互相垂直的充要条件。
“两直线垂直的充要条件”这一数学定理的教学，通常是教师出示定理内容，然后进行推理证明，学生对定理的内容及证明在理解与认同上总有一些困难。如图4所示，用几何画板能迅速作出两条互相垂直的直线，直接测算出这两条直线的斜率，用计算工具，求出两者之积，保持这两条直线的垂直关系不变，用鼠标任意改变这两条直线的方向，屏幕上即时呈现出两直线的斜率随两直线的方向的改变而改变，观察两直线的斜率，可以发现两直线的斜率互为负倒数关系，两直线的斜率的乘积始终为-1。学生通过观察分析，能猜想出两条直线垂直的必要条件。
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图4 两条直线垂直时斜率之间的关系
反过来，如图5所示，用几何画板先任意作出一条直线，然后再作出另一条与它斜率为负倒数的直线，任意改变第一条直线的方向，测算出，两直线的夹角始终为90度。学生可以猜想出两条直线垂直的充分条件。学生获取“两直线垂直的充要条件”，不再是教师直截了当地给出，而是通过操作、观察、分析猜想得来的。学生学习定理证明时，就会兴趣盎然，信心百倍。实践证明有了上述的观察猜想之后，学生不仅能够接受教材中关于两直线垂直的充要条件，而且能够通过自己的努力证明定理。
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图5 两直线斜率互为负倒数、两条直线垂直
（二）用几何画板揭示数学性质的发现过程
案例4：揭示抛物线开口大小的性质。
目前的数学教材往往在问题讨论之初，就直接给出相关数学性质内容，导致学生对数学性质的感性认识的缺乏，使得学生在数学性质的接受或认同上产生困难。借助几何画板所创设的提供的感性材料和问题情境，在一定程度上可以消除这方面的影响。几何画板能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究图形的性质。如图6所示，用鼠标沿着x轴的正方向拖动焦点F，使焦点到准线的距离p值逐渐增大，这时抛物线的开口大小也随之逐渐变大，反之，抛物线的开口变小。学生通过观察抛物线开口大小与p值大小关系的动态演示过程，不仅能自己猜想出抛物线开口大小的性质，而且加深了方程与图形对应关系的认识，同时也激发了学生进一步从理论上证明这一数学性质的兴趣。
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图6 改变P值，开口大小改变
（三）用几何画板揭示数学公式的发现过程
案例5：发现数轴上有向线段的数量公式。
用几何画板在作出数轴上的有向线段AB（如图7a），测算出有向线段AB的端点A、B两点的坐标值（XB，XA），并用鼠标沿坐标轴拖动点A或点B，引导学生观察，可以猜想出数轴上有向线段的数量与终点坐标、起点坐标的关系式。如图7b所示，计算XB、XA、XB-XA 三者的值，改变A、B两点在x轴的任意位置，可以进一步验证猜想。几何画板中的度量“横坐标”工具既能直观地帮助学生发现数轴上有向线段的数量与端点坐标的关系，又能在此基础上帮助学生验证当A、B两点处于各种位置时公式的正确性，能有效地提升学生对有数轴上有向线段数量公式的认知水平。
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图7 数轴上有向线段的数量与端点坐标的关系
（四）用几何画板揭示数学概念之间的联系
某些数学概念或对象之间既存在着联系，也存在着差异，借助几何画板的动态功能，能够很好地揭示数学概念之间所存在的联系与差异，并可以流畅地呈现由此及彼的运动变化过程，这无疑能够帮助学生深刻地认识概念的内涵与外延，概念间的联系与区别，进而发展学生的理解能力和认知水平。
案例6：用几何画板揭示椭圆、双曲线、抛物线三者之间的区别与联系。
传统教学中，学生难以理解椭圆、双曲线的第二定义，传统教具不能根据椭圆的第二定义直观的演示出轨迹图形，这也是学生心里不能完全接受和理解第二定义的原因。借助几何画板的动态演示功能不仅能够直观演示出离心率不同的椭圆轨迹图形，还可以通过改变离心率的大小，动态直观地呈现出由椭圆到抛物线、双曲线的变化过程，动态直观地揭示了椭圆、双曲线、抛物线三者之间的区别与联系。如图8所示，用几何画板的“追踪”和“轨迹”工具，能实现到定点与定直线的比为常数（可通过拖动点改变常数值）的点的轨迹的动态演示，动点M在运动时，保持到定点F的距离MF和定直线的距离MA的比值是常数0.59292时，动点M的轨迹是椭圆。如图9所示，用鼠标沿线段OS 拖动点T，可以任意改变比值e的大小。当e=1时，动点M的轨迹也随之而变为抛物线，当e>1时，动点M的轨迹也随之而变为双曲线，这样离心率的大小与椭圆、双曲线、抛物线之间的辩证关系清楚地呈现出来了，既降低了学生认知与理解上的难度，又让学生对离心率的定义和圆锥曲线的特点有了本质的认识，还能为后续学习圆锥曲线的极坐标方程服务，价值巨大。
图8 比值小于1时动点M的轨迹
大于1时，动点M的轨迹
图9 比值e不小于1时动点M的轨迹
（五）用几何画板直观、形象地揭示相关定理间的联系
数学中的某些重要定理及其相关知识，不仅需要让学生认识、理解定理的条件和结论部分，掌握定理的推理证明方法，知道定理的由来，而且还需要让学生把握这个定理与其相关定理或知识间的内在联系，从而帮助学生系统地认知数学，培养学生的数学发现能力和数学思维能力。借助几何画板其动态演示功能，可以把相关定理等知识的演变过程直观、形象地揭示出来，从而帮助学生深刻地认识相关定理之间的联系。
案例7：揭示两直线三种位置关系充要条件定理之间的区别与联系。
几何画板能测算出直解坐标系中直线的点斜式方程，通过拖动或旋转某一直线，可以探究观察两条直线的位置与两直线的斜率与截距之间的关系。如图10所示，直线l1可以做上下平移运动，运动过程中与直线AB平行或重合，通过引导学生观察两直线方程的斜率和在Y轴上的截距，学生能发现两条直线平行或重合的必要条件。让直线l2绕C点旋转，学生可得出两直线相交的必要条件，通过以上的两个动态演示，学生发现了两直线平行、重合、相交必要条件及之间的联系，这样进行教学不仅有益于学生发现定理内容与定理之间的联系，而且还能培养学生系统地把握和认识数学知识的能力。endprint
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图10 两直线的三种位置关系与对应直线方程的显示
三、几何画板在问题解决过程中的应用
数学发展史表明，某类数学问题的解决会产生与之相关的数学理论或数学方法，譬如，微分学及求导等一系列数学理论和数学方法的产生，就是源于求运动物体的即时速度这类问题的解决，解析几何中所涉及的大部分数学理论或数学方法，都是前人在求解相应的数学问题时所得到的，尽管学生目前所遇到的数学问题不是那么深奥复杂，但对于学生来说，却是难于求解的数学问题，其中的一些问题借助几何画板不仅能帮助学生更加深刻地认识问题本身，而且还能帮助学生在解答的过程中寻找问题求解的一般方法，从而降低解决问题的难度，提高问题解决能力。
（一）借助几何画板快速呈现平面上点的运动轨迹
探求点的轨迹是平面解析几何研究的重要问题之一，一直以来都是学生难以理解和掌握的内容，传统教学中，学生只能手工画出动点轨迹的草图或在头脑中简单地想象，轨迹的精准性、完备性往往难以把握，手工画图常使学生、教师在解题思考时，考虑得不够完整全面，遗漏了动点的特殊位置以及动点运动的多种情形，从而造成轨迹的遗漏和不完整。借助几何画板，可以直观、动态地描绘出运动轨迹的形成过程，帮助学生认识轨迹的本质特征，有助于学生从中获得解决问题方法。
案例8：求分别位于两定圆上两动点连线段中点的集合。
如图11a所示，点A和点B分别是两个相离的定圆上的动点，点C为线段AB的中点，当点A和点B同时在两个圆上任意运动时，求点C的集合。如果知道了动点的运动轨迹，就有助于问题求解，借助几何画板的可以迅速画出动点C的轨迹图形，如图11b所示，原来是一个圆环（限于篇幅这里不展开求解过程）。在此基础之上可以继续探索：如果两圆相交、相切、内含时，点C的轨迹如何呢，通过拖动的方式，点C的轨迹图形能准确快速地呈现出来。求轨迹方程是解析几何教学过程中的重难点之一，学生往往不知道运动轨迹是什么图形，从而会影响问题的解答，然而借助几何画板不仅能够直观、形象地帮助学生“绘出”相应的满足条件的所有点的集合，而且在此基础上还能进一步分析、寻找问题求解的方法，达到全面地、本质地认识数学问题的目的。
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图11 点C的轨迹是一个圆环
（二）借助几何画板快速呈现直线的运动轨迹
几何画板的绘图功能和动态移动功能，不仅能对点进行“追踪”显示“轨迹”，而且也能对直线或其他图形对象进行“追踪”并显示“轨迹”。能够直观、动态地呈现运动对象的轨迹图形，从而帮助学生“找到”相应的问题求解集合，在此基础上，启发学生思维，为学生提供问题求解的线索和一般方法。
案例9：求满足条件的折痕所在直线集合。
一张纸上画有半径为r的圆C，在圆C外有一定点T，且OT=b，折叠纸片，使点T刚好与圆周上某一点T′重合，这样不断进行折纸，每一种折法，都有一条直线折痕。当点T′取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线的集合。按求轨迹方程的一般方法求直线集合中的点的横纵坐标x，y之间的关系式是极为困难的。如图12所示，借助几何画板的“轨迹”工具，能迅速得到所求点的集合的图形是“双曲及其外部”。进一点探讨：如果点T在圆C内时，折线的集合又是怎样的图形呢？通过拖动改变点T的位置和圆的大小，能很快能地得到所求点的集合的图形是“椭圆及其外部”，如图13所示。限于篇幅，这里略去问题的最终求解表达式求及解过程的相关叙述。借助几何画板能有效突破问题求解过程中的“画出轨迹图形”这个难点，显然这是传统教学手段无法达到的。把几何画板和问题解决有机地结合起来，可以开辟问题求解的新平台，对这个平台的使用能极大地促进学生的问题解决能力的提高，促进学生思维品质的提升，这无疑是对解析几何教学的促进。
图12 T点在圆外折痕集合
图13 T点在圆内折痕集合
综上所述，用几何画板辅助平面解析几何教学是传统教学手段的有力补充，借助其所创设的问题情境开展数学教学能够极大地促进学习活动的有效开展，但使用时要根据教学的实际需要恰当地选择，科学地设计，要以激发学生思考、提升学生的思维品质、提高教学效果为目的，不能为了用几何画板而生硬地使用，这样会适得其反。
【参考文献】
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[2]莫平.论信息技术优化高职数学课堂学习环境[J].商丘职业技术学院学报，2014（2）
[3]赵生初，杜薇薇，卢秀敏.《几何画板》在初中数学教学中的实践与探索[J].中国电化教育，2012（3）
【作者简介】莫 平（1965- ），女，武汉人，柳州城市职业学院副教授，硕士，研究方向：高职数学教育、高职计算机教育。
几何教学 篇7
关键词：高等几何,初等几何,指导意义
引言
高等几何是高等师范院校数学教育专业的主干课程之一, 不少学者将它与数学分析、高等代数并称为数学教育基础课程的“三高”, 其重要性不言而喻。但现实教学工作中, 教师可能会因为感受不到高等几何与初等几何知识之间的直接联系, 忽视高等几何而造成了初等几何与高等几何知识的脱节, 无法构建起较为完整的几何知识体系。
事实上, 无论是数学的哪一个分支, 都遵循由浅及深的发展规律。高等几何是初等几何的承接, 在知识上是初等几何的因袭和扩张, 在观念上是初等几何的深化与发展[1]。在高等几何中贯穿着大量的现代数学的思想、方法和观点, 不仅能扩展几何知识领域, 开阔几何视野, 提高个人的数学素养, 还能加深教师对初等几何的理解, 进而站在更高的层次灵活引导学生处理初等几何问题, 这对于教师从事的数学教学工作有着极其重要而深远的影响。
高等几何对初等几何的指导意义这个论题有着非常广阔而丰富的研究空间, 多年来有不少的国内外学者潜心钻研在这一问题上, 而且也得到了许多精彩的结论。本文笔者借鉴前人的研究成果, 尝试从高等几何课程地位和新大纲背景下对中职初等几何教学要求的角度来认识高等几何与初等几何的关系, 浅谈高等几何学习对丰富初等几何研讨方法和拓宽初等几何解题途径的指导意义。
1 高等几何对初等几何教学的指导意义
1.1 高等几何和初等几何的界定与联系
在探讨高等几何对初等几何解题研究的指导作用之前, 首先就本文所涉及到的高等几何和初等几何这两个概念所涵盖的范围加以限定, 并简单了解其内容特点以及在克莱因群论观点下存在的内在联系, 明确高等几何与初等几何之间并不是相互孤立的:初等几何是高等几何的基础, 而高等几何是初等几何的延伸和拓展。
习惯上, 我们把小学和中学阶段所接触的几何知识都纳入初等几何范围。初等几何以欧氏几何为理论基础, 是几何学中最为基础的部分, 包括空间与图形、平面解析几何、立体几何等等。初等几何所涉及的思想方法具有较强的针对性, 内容相对直观, 学生可以先直接采用观察、测量等实验手段了解几何图形, 发现其中规律, 再根据实际认知水平逐步抽象思维, 完成逻辑演绎证明。而我们所说的“高等几何”通常是指在19世纪初期产生的另一几何学重要分支———射影几何。它的开辟和盛行, 一方面是由于它有巨大的美学魅力, 另一方面是由于它把几何作为一个整体来研究时所获得的明显效果以及它与非欧几何的紧密联系[2]。高等几何主要以克莱因的几何学群论观点为指导, 他提出采用变换群对几何学进行分类, 重点突出变换不变性的基本数学思想, 这在几何学不同的理论体系中具有一定的普适性。结合克莱因的群论观点, 我们可以这样概括:欧氏几何涵盖于射影几何, 欧氏几何是射影几何的一个特例。
1.2 高等几何和初等几何的课程地位
初等几何一直都是中等职业院校数学教育的重要组成部分之一, 而高等几何是高等师范院校数学教育专业的基础课程之一, 初等几何与高等几何的课程开设都具有其必要性和重要性。研究高等几何知识体系的构建对中职数学教学工作产生的影响, 有必要关注高等几何课程的教学目的和新大纲背景下对初等几何教学的要求。
1.2.1 高等几何的教学目的
培养具有现代数学思想, 并能应用现代数学思想指导教学的数学教师, 是高等师范院校数学教育的培养方向。高等几何作为高师数学专业的重要专业课程之一, 是数学教育任务的重要组成部分, 其课程的开设一般是安排在学习了解析几何和高等代数之后, 目的是在具备一定的初等几何、解析几何和高等代数知识的基础上, 系统地学习射影几何知识, 引入变换群观点, 抓住变换和不变性的基本数学思想。高等几何涵盖了大量现代数学思想、方法、理论、应用等, 对于发展空间概念, 丰富高层次的几何知识, 提高数学专业素养, 培养数学逻辑推理和合情推理能力具有重要作用。不仅能更深入地认识几何学, 为进一步的学习微分几何、画法几何或者其他高等数学知识做好准备, 还训练了抽象思维, 增强了数学审美意识, 加强了数学修养, 提高了从师能力, 为数学教学工作打下坚实的基础。
1.2.2 新教学大纲对初等几何的要求
清华大学萧树铁教授说, 在我国的传统文化中, 逻辑思维一直比较薄弱, 数学, 尤其是欧氏几何, 在这方面的训练是大有可为的。著名数学家陈省身在2002年接受采访时更是强调, 中学一定要讲欧氏几何, 几何推理的部分不能取消, 整个数学就是建立在推理之上的。2009年重新修订的《中等职业学校数学教学大纲》就是在教育形势的发展和教学改革的不断深入的大环境下应运而生的, 它明确了“以服务为宗旨, 以就业为导向, 以提高质量为重点”的办学方针, 提出本课程的任务是:使学生掌握必要的数学基础知识, 具备必需的相关技能与能力, 为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。新大纲将数学课程划分为基础模块、职业模块和拓展模块, 在各模块间进行知识组合, 在各学科间进行知识渗透。在新大纲下, 培养目标已经由重点培养逻辑思维能力转向培养几何直观能力和空间想象能力, 这要求教师调整教学观念和教学方法, “注意突出几何的本质, 引导学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索与研究几何问题的过程, 发展学生的空间观念和几何直觉”。[3]几何学的教育价值不容小觑, 欧氏几何长期以来作为训练逻辑推理的素材的地位不可取代, 几何对学生多种能力的塑造和培养有着至关重要的影响。
1.3 丰富初等几何研讨方法, 拓宽初等几何解题途径
明确了高等几何与初等几何的关联, 将有利于我们把高等几何中获得的观点、体会反馈于初等几何。事实上, 将高等数学知识下放到初等数学教材中的成分越来越多, 我们所熟悉的初等几何中有部分内容是需要以高等几何为理论依据的, 例如平面几何的平移、旋转是在正交变换群下的合同变换;立体几何直观图的画法、截面图的作法分别是以透视仿射对应性质及笛沙格定理的理论为作图依据[4]。前苏联几何学家亚格龙曾经指出:“在初等几何中……, 包含了两个重要的有普遍意义的思想, 它们构成了几何学的一切进一步发展的基础, 其重要性远远超出了几何学的界限。其中之一是演绎法和几何学的公理基础;另一个是几何的变换和几何学的群论基础。”可见, 学生在学习初等几何的过程中, 实际上也是接受高等几何数学意识和思想方法渗透的过程。利用这一特点, 我们可以考虑用高等几何理论来解决部分初等几何问题, 从而为初等几何研究探讨和解题方法寻求更广泛的途径[5]。另一方面, 由于许多高等几何定理、命题可以给出初等几何的证明或解答, 因此也可以将此类高等几何问题进行改编, 创作出初等几何中的提高题、压轴题等, 这无疑为教师们探索初等几何的教学和科研指明了方向。
下文将通过仿射变换寻找初等几何命题解题思路。
在高等几何中, 只要经过适当的仿射变换, 任意一个三角形、平行四边形、梯形或椭圆可对应变为特殊的正三角形、正方形、等腰梯形或圆形。如果所给命题在这些特殊的图形中结论成立, 则根据仿射变换保持同素性、结合性、平行性、共线三点的单比不变、封闭图形的面积之比不变等性质即可推出在原命题中结论也成立[4]。
例如:将任意三角形每一顶点与对边上的三等分点相连得六条直线, 求证这六条直线所围成的六边形三双对顶点的连线共点。
由于点线的结合性在仿射变换上都不变, 所以可以利用仿射变换将任意三角形ΔA'B'C' (图1) 变成正三角形ABC (图2) , 且各边的三等分点及中点对应变成正三角形各边的三等分点和中点, 因而本题就正三角形的情况证之。
因此, 上述命题等价于:设L1、M1、N1 (i=1, 2) 分别为正三角形ABC三边上的三等分点, 由六条直线围成六边形P1R2Q1P2R1Q2, 求证三双对顶点的连线P1P2, R1R2, Q1Q2共点。
显然, 运用高等几何的知识来处理上述题目时解法相当简单。当然这种高等解法不能直接进入中职数学课堂, 但仍具有重要的参考价值, 为教师思考问题指明方向, 在一定程度上起到启发和诱导的作用。高等几何让我们处于更高的立足点, 以更远的视野、更丰富的知识, 从几何学的全局和整体来理解和把握初等几何。面对初等几何题目, 我们的思路不再单一, 可以尝试站在另一种角度去思考、分析和理解初等问题, 以寻求更为简捷的处理方法, 在不断的探索中不仅丰富了初等几何解题的途径, 还可以创新初等几何问题, 充分发挥高等几何对初等几何的指导作用。
参考文献
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[5]刘德金, 张全信.试论高等几何对初等几何的指导作用[J].德州师专学报, 1997.
几何教学 篇8
关键词：高中数学,几何画板,教学
在高中数学教学过程中, 现在有一种全新的教学手段, 即几何画板, 这种教学手段主要就是一种计算机软件, 可以实现数学图形的有效展现, 这样软件的推出实现了使高中数学抽象的表达式具有了生机、使得立体几何图形不断运动起来, 使得学生更加容易地理解其中所包含的知识和内容.
一、几何画板的概念
几何画板是上世纪末进入我国的教育领域的, 是当时的教育部在中小学数学教学过程中重点推广的一种教学新软件, 这一软件实现了数学教学平台的有效升级[1]. 在随后的多年推广过程中, 这一教学软件得到了进一步的发展的普及. 这一软件主要由点工具等六种应用工具条组成. 主要的用途就是构建数学图形, 这一软件中的圆规和直尺可以实现高中数学所涉及的几乎所有的解析几何和立体几何中包括的所有图形.
二、几何画板的主要应用
1. 利用图形解决数学问题
高中的数学学习很多时候可能遇到相对抽象的问题, 这些问题使得思维发展相对较弱的高中生很难接受, 在教学过程中不能有效的理解相关问题. 几何画板将一些数学表达式使用图形表示出来, 很多的数学关系应用图形之间的关系进行解答, 这是最为直观形象的教学方式, 将抽象的问题化解为具体形象的问题解决.
例如, x+y-z=0, 7x+5y+3z=0 解的含义相对比较抽象, 有时一个表达式, 即10x+8y=0, 但是使用图形进行解释相对更加容易, 两个三元一次方程可以使用软件表述成两个平面, 这两个平面在三维坐标系中有着自己的位置, 但它们相交的时候, 会出现一条相交直线, 这一直线就是这两个三元一次方程的解所表达的图形, 图形和最终的解是相对应的, 即解是一个二元一次方程, 对应着一条直线. 这种问题使用图形解决相对比较具体形象, 有助于学生的理解.
2. 动画可以演示更多的立体几何问题
在高中阶段的立体几何问题中, 很多的知识点都需要进行动画的演示, 实现更为直观形象的展示. 在几何画板上, 可以实现很多的立体几何的图形, 它们之间的相对关系表示就变得更加容易. 在传统的教学过程中, 如果将一个圆锥从不同角度截开, 得到不同的截面形状, 但是这种演示相对比较困难, 需要教师使用相应的教具进行比划, 学生没有形象的理解. 在几何画板的教学过程中, 可以实现立体几何图形的运动, 一个圆锥图形可以实现与一个平面的相交, 不同角度的相交, 将出现圆形、椭圆形、三角形等多种截面形状. 几何画板可以将这些形状一一展示出来, 有效的帮助学生更好的理解相关的问题.
例如, 在教学解析几何的抛物线的定义和开口方向都是很多学生理解难点. 在教学过程中可以实现其定义和开口方向的动画演示, 实现学生更为直观的认识 ( 如图1) .
三、几何画板的应用建议
几何画板是一种现代化的教学工具, 教学过程中需要进一步加强应用的针对性, 保证教学效果的实现.
1. 服务教学目标的实现
高中数学的知识点学习理解相对比较难, 很多学生认知的过程中存在一定模糊概念. 图形的解释是最直观的教学思路, 教师需要本着帮助学生理解的教学目的, 使用更多的图形解释相关的数学几何问题, 有效的实现抽象问题的形象具体化. 教师所设计的图形和动画需要围绕教学的内容展开, 针对教学过程中可能出现的问题进行有效的设定图形和动画, 实现教学目标的有效实现. 例如, 已知圆x2+ y2= 4, 直线y = x + b, 当b为多少的时候, 圆有三个点到直线的距离为1. 几何画板利用动态的变化, 可以实现学生对于问题的理解, 如图2.
2. 教师加强练习, 熟练掌握几何画板
教师是教学的引导者, 在教学过程中实现整个教学过程的走向, 几何画板软件是一种很好的教学工具, 教师熟悉其使用技巧, 在教学过程中才能灵活使用. 教师要想充分使用好几何画板, 在教学过程中充分使用这一软件, 就需要在平时认真练习, 掌握软件的使用技巧, 这一软件在使用过程中掌握起来相对比较容易, 只要教师加以练习, 就可以有效掌握, 最终保证教师在教学过程中有着更加灵活的使用[2]. 例如, 本地区的教师在几何画板的认识上存在一定的误区, 很多教师使用这样软件的熟练程度都不是很高, 因此教研所针对这一问题进行了软件的集中培训, 手把手的教会教师使用这样软件.
3. 拓展学生对于几何画板的使用
学生是现代高中几何教学的主体, 他们参与教学的主动性是现代教学质量提升的基础和前提, 加强学生对于这一软件的学习. 学生只有掌握这一软件的使用, 在教学过程中才能更好地参与教学之中, 几何问题不同于其他的教学过程, 需要学生更加主动参与其中, 才能更好的理解相关问题, 只有学生学会使用这一软件, 才可以在课后使用这一软件进行几何问题的解决, 为他们更加积极主动的参与几何教学提供保证. 同时这一软件也需要加强学生使用的人性化考虑, 更多的实现一些动画功能, 保证学生在自己演示的过程中, 更加容易的操作过程. 例如, 开设专门的上机实验课, 对学生进行集中软件培训, 软件使用过程中需要工具条进行重点讲解, 同时列举椭圆、圆柱等解析和立体几何图形进行案例教学, 实现学生更好地掌握软件的使用.
高中几何问题相对比较抽象, 主要目的在于构建学生的空间想象能力. 这一素养的实现需要教师使用更多的教学手段实现. 几何画板实现几何图形的有效展示, 同时可以实现图形的运动, 保证学生更加形象的理解相关问题, 构建学生的空间想象能力.
参考文献
[1]郭衎, 曹一鸣, 等.数学课程中信息技术运用的国际比较研究[A].全国数学教育研究会2014年国际学术会议, 2014 (6) :123-124.
几何教学 篇9
一、多样化教学, 提高学生对几何图形的认识能力
在几何平面教学过程中, 借助几何变换来认识和了解平面几何图形, 不仅能提高平面几何教学质量, 还能够提高学生对平面几何中基础图形的结构特点的认识. 结合运动变换的观点来解决平面几何教学中的问题, 可以活跃学生思维, 为学生发挥多样化思维提供良好的空间.
例如, 平行四边形的四个角分别表示为∠A, ∠B, ∠C, ∠D, 结合平面几何教学的定义可以得出AB = CD且AB∥CD从几何变换的角度分析, 可以根据数量关系和位置关系来看待这个问题, 从这两方面来引导学生认识图形. 还可以利用平面几何中平移的角度来分析, 或者将平行四边形AC和BD连接起来, 两条连接线的中心点就是平面几何的中心对称, 由此得出AB = CD且AB∥CD.
二、几何图形变换性质教学, 使学生从更高的角度认识几何图形
初中平面几何教学涉及的几何知识大多属于基础几何, 在几何教学过程中, 教师可以引导学生了解基本图形在变换过程中所体现的基本性质, 从这一方面着手, 让学生能够理性地认识几何变换;然后教师可以一步步地深入, 让学生能够认识到几何变换在平面图形中的有效性, 在探索图形性质的过程中, 不仅能够让学生加深对图形变换的理解, 还能够拓展学生从更高的角度分析和认识几何图形.
例如, 教师可以根据圆的基本性质通过几何变换的形式来挖掘圆的其他性质. 首先, 圆是轴对称图形, 也是中心对称图形, 其所具备的两种图形性质较为特殊. 其次, 根据圆对称的特殊性, 在实际教学中可以围绕圆的对称性展开讨论和分析, 突出阐述圆的对称性质, 这样能够很容易得出圆的其他性质. 这种方法能够在讲解圆这个单元时, 更加直观、简便地表达出圆的性质, 而且学生可以将这种方法应用到其他图形中, 起到事半功倍的效果.
三、利用运动变换的观点探索图形特征, 能够提高学生的图形直觉和推理能力
平面几何相对于立体图形更加直观、形象, 所涉及的内容也相对比较简单. 在初中平面几何教学中, 教师可以根据不同层次的学生亲自动手操作, 了解不同层次学生对几何图形的直观感知能力. 通过自我感知使学生认识图形对称、平移等变换, 并根据图形变换了解图形的几何性质, 将原本静止的图形想象成为动态图形, 这样能够激发学生的空间感知能力和推理能力. 利用运动变换的观点探索图形特征, 可以使学生将抽象的几何概念、理论和方法, 变得更加直观生动在开拓学生创新性思维、提高学生实践操作技能、激发学生发散性思维等方面具有十分重要的教学价值.
四、利用几何变换解题, 能够培养学生思维的灵活性和敏捷性
大多几何问题中所涉及的几何元素较为分散, 要深入了解和认识各个元素之间的关系, 就需要根据几何问题的具体要求, 利用几何变换将分散的元素集中在一起. 通过几何变换来转变几何图形中不同元素之间的关系, 将不规则图形变换为规则图形, 将一般性质转换成特殊性质, 通过这种图形性质变换来挖掘几何问题中各元素之间的关系, 通过这种方法来探讨图形在运动过程中的量化关系, 并找出规律, 这样既能解决几何问题, 还能够利用相同的手段解决其他几何图形中遇到的相同或类似问题. 在初中平面几何教学中应用几何变换有利于培养学生思维的灵活性和敏捷性.
五、结语
综上所述, 在初中平面几何教学中应用几何变换, 需要借助实践操作和生活空间实例来引导学生, 使学生认识几何图形的变换. 通过观察、实践活动、动手操作等方式将几何变换合理利用到平面几何教学中, 从不同角度利用几何变换探索图形的性质与特征, 使学生能够更好地解决几何问题并活跃学生思维, 使其了解图形之间的关系. 几何变换在平面几何教学中的应用有利于学生感受和欣赏图形的美, 认识数学知识与客观世界的联系, 还有利于增强学生的创新性思维.
摘要：新课程改革后, 数学中几何与代数知识的划分更加清晰.在数学课程中, 几何变换是一个独立的单元, 将几何变换应用于平面几何教学中, 能够让平面几何教学更加生动形象, 也是一种良好的教学方法.本文就几何变化在初中平面几何教学的应用进行分析和研究, 了解其在初中平面几何教学中的应用效果, 以此提供更多有效的平面几何教学方法.
关键词：几何变换,平面几何,初中教学
参考文献
[1]陈阿文.几何变换在初中几何解题中的应用[J].中学理科园地, 2010 (4) .
[2]宋业存.基于几何变换的拱轴线的构成与特性研究[J].南京理工大学学报:自然科学版, 2012 (4) .
几何教学 篇10
关键词：几何入门,概念,语言,图形,推理
平面几何是整个几何学的重要基础, 也是培养学生逻辑思维能力和空间想象能力的重要途径。长期以来, 在平面几何教学中, 如何引导学生入门一直是一个难点, 这主要是学生从“数”转入“形”, 从“单纯计算”转入“推理论证”不习惯;加上几何概念大量集中出现, 几何语言比较抽象, 学生很难适应;同时初一学生正处于生理、心理急剧变化的阶段, 学生的思维结构还未形成, 抽象能力较弱, 虽好奇心强, 但很不稳定, 刻苦钻研、坚忍不拔的品质尚不成熟等。这些给平面几何的入门教学增加了难度。
良好的开端是成功的一半。平面几何教学效果的优劣, 极大程度上取决于入门教学的成败, 因此如何加强和改进平面几何的入门教学, 必须引起足够的重视, 我根据新课程标准, 在教学中重视学生兴趣培养和学法指导的同时, 着力突破概念、语言、图形和推理论证四大难关, 收到了理想的教学效果。
一、过好几何概念关———图形特征描述和本质概括要准确
概念是形象思维到抽象思维的第一要素, 是学习几何知识的基础。概念在入门阶段大量出现, 学生往往死记硬背, 理解模糊, 容易产生混淆。因此概念教学的成败极大地影响着几何的学习能否入门。
1.遵循学生的认知规律。学生学习一个新的几何概念一般有三个阶段:直观形象—图形抽象—本质抽象。教学中, 必须遵循学生的认知规律, 才能让学生理解概念, 学会应用概念。例如, 对于射线这个概念, 教学中先举例:手电筒射出的光线, 给学生以射线的直观形象, 然后画出从点A出发, 沿着某一个固定方向前进的路线, 给学生以射线的图形形象, 再阐述它仅有一个端点, 它没有长短, 也没有粗细, 它是把线段向一方无限延伸所形成的图形, 这样便上升为射线的本质概念, 从而给出射线的定义。最后再提问, 图1中有几条线段?几条射线?几条直线?通过提问, 不仅使学生掌握了线段、射线、直线的区别和联系, 同时也加深了对概念本质特征的认识。
2.处理好概念和图形的关系。在概念教学中, 要处理好几何概念和几何图形的对应关系, 同时也为推理教学作准备。如在讲角平分线时, 首先让学生通过用量角器画及对折的方法, 认识到角的平分线是从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线, 从而给出角平分线定义, 其次要和学生一起讨论, 图2中, 已知OC平分∠AOB, 可以得出什么结论, 反之又怎样?让学生总结, 相互补充, 弄清角平分线的概念和用法。
3.加深对概念本质的理解。在概念教学中可以从正反两方面加深对概念本质属性的理解, 引导学生把感知抽象化。学习“互为余角”概念时, 可举反例:“已知∠1﹢∠2=90°, ∠1, ∠2是余角吗?”“∠AOB=90°, ∠AOB是余角吗?”“∠α﹢∠β=180°, ∠α, ∠β互为余角吗?”“∠α﹢∠β﹢∠γ=90°, ∠α, ∠β, ∠γ互为余角吗?”等等。从而强化概念的条件“两个角”、“和为90°”, 突出概念的本质属性。
二、过好几何语言关———文字、符号和图形语言要转译
语言是思维的工具, 任何一门学科都有自己特有的语言, 几何要通过一些符号和字母去表达, 它抽象、精确、简要。要跨入几何的大门, 要十分重视过好“语言关”。
1.理解几何语言的含义。初一学生刚接触几何, 对有些几何语言、术语很陌生, 不容易理解。如对“任取一点”、“任意一点”、“每两点”、“无限延伸”、“反向延长”、“互相”、“有且仅有”、“在同一平面内”等, 往往不能透彻理解, 特殊的几何语言往往成为教学中的又一障碍。教师应十分注意教学语言的准确性以及培养学生的几何表达能力, 还要及时纠正学生几何语言中的错误, 逐渐培养学生对几何语言的理解能力。
三、过好几何图形关———读图、画图能力要重视
图形教学包括识图和作图, 初一学生刚学几何从“数”转入“形”还不习惯, 必然会表现出识图不准确、作图不规范、表达不清楚等问题, 因此在教学中要加强识图能力的培养和规范作图的训练。
1.重视变式图形。识图教学中, 要处理好基本图形和变式图形的关系, 防止学生常把图形画成“平稳”、“正直”, 这对识图能力可能产生负迁移。因此教学中要重视变式图形的教学。如图5, 过点P作PQ⊥AB于点C。通过变换点P与直线AB的位置画垂线, 使学生真正掌握垂直的基本特征。
2.分解复杂图形。随着几何内容的逐渐丰富, 几何图形也就越来越复杂。因此我们必须重视培养学生对复杂图形的认识, 能够看懂图形, 能把复杂图形分解成各种简单图形, 能找出图形中的各个元素, 以及各个元素之间的关系。如在讲“线段”和“角”的概念时, 在学生认识, 单一图形的基础上, 就可以分别画出图6和图7, 让学生找出图中有哪些线段、哪些角。
再如, 如图8, ∠1与∠2是内错角吗?∠2与∠3呢?教学中可让学生把∠1, ∠2从复杂图形中分离出来, 看∠1与∠2有没有形成“Z”字型, ∠2与∠3可采用同样的方法。
3.训练几何作图。作图是识图的组成部分, 是几何的技能训练, 要着重抓好基本作图的学习, 教师的作图要规范, 要步步有根据, 有推理内容, 为正确使用几何书面语言作准备, 要培养学生良好的作图的习惯。
四、过好几何论证推理关———学习习惯和教学示范要早落实
推理论证是综合的智力活动, 是几何入门教学中最困难之处, 入门阶段的任务是培养“初步的”逻辑推理能力, 而这种能力的培养, 应按照早渗透、分阶段、重分析进行。
1.“早渗透”, 即在概念教学中通过教师的口述, 使学生逐步熟悉推理中常用的“三段论”论证模式———因为什么, 所以什么, 其理由是什么。如在讲角平分线概念时, 教师要有意识地引导学生按“三段论”的模式来说明。如图9, 因为OB平分∠AOC, 所以∠AOB=∠BOC, 理由是角平分线的定义。对于性质、定理的教学也是如此。
2.“分阶段”, 主要体现推理论证能力在不同的教学阶段的要求不同, 教学中不能操之过急, 应扎扎实实小步前进。在开始阶段主要以教师口述为主, 学生进行模仿, 课堂上可采用讨论的形式, 让学生人人动口、动脑。在学习平行线时要加强简单推理论证的训练, 同时要特别注意每一步推理的理由是什么。
例如, 已知:如图10, AD⊥BC于D, EG⊥BC与G, ∠E=∠3。
试问:AD是∠BAC的平分线吗?若是, 请说明理由。
解:AD是∠BAC的平分线, 理由如下:
因为AD⊥BC, EG⊥BC (已知) ,
所以∠4=90°, ∠5=90° (_____) ,
所以∠4=∠5 (_____) ,
所以AD∥EG (_____) ,
所以∠1=∠E (_____) ,
∠2=∠3 (_____) 。
因为∠E=∠3 (已知) ,
所以_____=_____ (_____) ,
所以AD是∠BAC的平分线 (_____) 。
推理论证能力的培养是平面几何教学的重要任务, 这种能力的培养必须“分阶段”进行, 必须明确每个阶段的任务, 逐步培养, 不可能一步登天。
3.“重分析”, 即要从学生的实际出发, 注意培养学生正确的分析方法, 对于较简单的问题可通过“逆推法”进行分析, 较复杂的问题要从“已知”入手, 通过已知条件可以推出哪些结果?从“求证”入手, 若要得到结论需要具备什么条件?再通过“两头凑”的方法进行分析, 在初学时最好写出分析思路。培养学生的推理能力, 应从简单的题目开始, 通过例题, 逐步让学生掌握。由于学生初学几何, 对证明的必要性认识不足, 对论证格式、论证中严格的逻辑性很不习惯, 所以一开始做证明题时就要重视分析、重视规范化训练。
总之, 在平面几何入门教学中, 要根据教材及学生心理、思维的发展情况妥善安排, 着力突破概念、语言、图形和推理论证四大难关, 一定能引领学生走入绚丽多彩的几何大门, 否则欲速则不达。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准 (2011) 版[S].北京:北京师范大学出版社, 2012.
“几何概型”教学反思 篇11
1 关于新课引入创设情境的反思
下面三个是新课引入环节的问题：
【问题1】本市人本超市进行有奖销售活动，购物满500元可摇奖一次如图1，规则如下：1奖电视机一台； 2奖高压锅一个；3奖2L食用油一桶；4奖肥皂一块；5奖铅笔一支；6谢谢惠顾.问顾客中得电视机的概率是多大？
【问题2】2008北京奥运会射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环(如图2).从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”.比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
【问题3】在500ml的水中有一只草履虫，现从中取出2ml的水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率？
预设是为引出几何概型的概率公式中区域的度量可以是长度、面积和体积．但实际的教学证明效果不是很好．
对于问题1，虽然是不等分区域，但学生立即反应的是区域的面积之比．从运算结果来说是正确的，因为是在圆形的转盘中．但这样的引入还是没能达到预期的目的，不能恰如其分地引导学生关注基本事件是指针的位置，指出基本事件空间和事件发生的区域都有无限多个基本事件，而且等可能，从而启发学生通过角度（或弧长）度量概率．基于以上想法，我认为可以按教材的转盘模型引入（说明概率与区域的位置无关），再添加一个不等分的方形盘（如图3），可以引起学生思维上的冲突，这样老师就能恰到好处地揭示几何概型的本质．
归纳出几何概型的特征后，还可再设计一个反例：如图4，某女生投铅球投到区域1的概率是多少？这个问题不能用几何概型来解，虽然在一次试验中出现的结果有无限个，但是每个结果的发生并不是等可能性．因为某女生的力气较小，1号区域较远，所以投到该区域的可能性当然小一些，所以不能用几何概型计算．这样可加深学生对几何概型特征的理解．
对于问题2，这是一个简单的用面积之比求概率的问题，学生在初中时就计算过此类概率问题．教案预设是点出几何概型的概率也可用面积来度量，但事实上问题1中已有体现．因此，在这里设置问题2，过于简单，思维水平的层次只能停留在原来的状态，仅仅是图式的重现而已．但可以把问题2从“课头问”变为“课中问”．安排在得出概率公式之后．问题设计为：向一个圆中投一石子，击中圆心所在的阴影区域的概率有多大？石子刚好击中圆心的概率是多少？（如图5）．让学生认识到概率为零的事件不一定是不可能事件，进一步认识到几何概型的特殊性，与古典概型的区别．这样知识点可拓宽引申、纵横联系，教学上也有波有澜．
给出问题3时，学生答不上．当我引导学生：“总的基本事件个数可以用500ml水来刻画，事件A包含的基本事件个数可以用取得2ml水来刻画，所以概率为2500．”大多数学生还是一脸的疑惑，不能接受．我再启发他们想象这一条草履虫均匀地溶解在水中等云云，他们还是不思其解．在课堂上我只好跳过，继续后面的内容，但学生的学习热情受到了挫伤．可见问题3设问过难．课后和同事讨论这个问题时，有老师提出质疑：若把条件变为500ml的水中有250只草履虫，此时概率就是1吗？若水中有500只，难道概率就是2吗？后来查阅了一些资料，正确的解释是：500ml水分成250份2ml，看作250个不同的盒子，1只草履虫看作一个小球，可以建立模型：把一个小球放入250个不同的盒子中，任取一个盒子，发现有球的概率是多少.显然概率为1250.变题的模型：把250个不同的小球放入250个不同的盒子中，任取一个盒子，发现有球的概率是多少.概率为1-249250250≈0996016，不是1.当500个小球时，1-249250500≈0996016，不是2.几何概型是新课程的新增内容，对教学内容的理解程度还需深化．
教学中创设成功的情景不仅可以促进学生认知的发展、知识的构建，更有利于学生的兴趣、情感、价值观的生成和体验精神的成长．新课程主张科学世界向生活世界的回归，强调情景创设的生活性．为此，创设成功的问题情境，首先要注重联系学生的现实生活，在学生鲜活的日常生活环境中发现、挖掘学习情景的资源；其次要挖掘和利用学生的经验，把设置问题的难易度确定在学生的“最近发展区”．情景创设还要体现数学学科特色，紧扣教学内容，能够简单明了地让学生发现情景中蕴藏的数学内容和数学问题，激发学生的求知欲，使之产生非知不可之感，达到启发积极思维的目的．
2 关于例题教学的反思
2.1 例题教学要强调“对应点”
人教A版几何概型是这样定义的：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)=构成事件A的区域全部结果所构成的区域(长度、面积或体积)人教版A版《数学必修3》教师教学用书对几何概型的特点补充说明：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个；它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为．
因此，几何概型的教学要突出两点：(1) 事件A发生与哪些点对应；(2) 求出这些点的区域的测度（长度、面积或体积）与全部结果构成区域的测度之比．尤其要强调(1)，即“对应点”的思想．
例 取一根长度为3m的绳子如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
我觉得教学时可以引导学生思考以下几个问题：
(1) 一个基本事件能否看作与线段上一个点对应？与所有基本事件对应的这些点构成的几何区域是什么？
(2) 事件A发生剪刀应剪在什么位置？
(3) 事件A发生应与线段上什么样的点对应？这些点构成的几何区域又是什么？
(4) 这里的几何区域用什么来度量？
通过这些思考，使学生理解几何概型的概率就是事件A发生对应点的区域测度与从任一个位置剪断对应点的区域测度之比．
2.2 例题教学要抓住“等可能”
教学中，我们发现,学生在把事件空间转化为与之对应的区域时，常常构造出错误的几何区域，往往是因为没有抓住几何概型中的等可能,应引起我们足够的重视．
例2已知等腰直角△ABC中，如图8，∠C=90°，在∠CAB内作射线AM，求∠CAM＜30°的概率．
不少学生给出了下列解决问题的思路：在线段CB上截取CM1，使得∠CAM1=30°，当点M位于线段CM1内时，∠CAM＜30°，故∠CAM＜30°的概率为CM1CB=33．
学生的理由是线段CB上的点M与过顶点Ａ在∠CAB内部作的射线AM是一一对应的，这种认识在很大程度上影响了学生对等可能性的理解．为此，我利用《几何画板》软件设计了一个动画，如图9，以A为圆心， AB为半径作出过B的圆弧,设与AC延长线交于点D．设射线AM与该圆弧的交点为P，双击动画按钮，当点P在圆弧BD上匀速运动时，射线ＡM在∠CAB内部作匀速运动,而点M在线段CB上作变速运动，近D点快，近B点慢．这表明，当射线AM在∠ACB内部等可能分布时,相应的点M并不是等可能地分布在线段上．事实上，如图10，设P1、P2为弧BD的两个三等分点，连接AP1、AP2分别交线段CB于M1、M2，不难计算CM2 通过动画演示及理论探讨,使学生即直观又理性地认识到几何概型中的等可能性． 2.3 例题教学适当运用变式 几何概型教学中还有一个难点是概率计算测度的选择．在类似的双动点问题中，该设一个变量还是两个变量，即对几何概型问题作出一维的还是二维的判断，是比较困难的． 为了使学生知其然且知其所以然，我在例题教学上运用变式，即通过对表面相似而实质不同的两道题进行深入的研究，使学生真正理解何时设一个变量，何时设两个变量． 例3 (1) 甲、乙两人各自在300米长的环形跑道上跑步，在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米(跑道上的曲线长度)的概率为多少？ (2) 甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率为多少？ 图11 先看(1)：处理方法是把甲(记为点P)看作定点，乙(记为点Q)可在圆周上任意运动（如图11），PA的长度为50m，PB的长度为50m，当点Q在APB上时，甲、乙相距不超过50m，这样双动点几何概型就转化为单动点几何概型．为什么可以这样处理呢？原因是当点P在任意位置时，满足条件的点Q应在APB上运动，而圆弧APB长都等于定值100m，圆周长为300m，所以所求事件的概率是100300=13． 再看(2)：甲、乙各自在跑道上跑步，能不能也固定一个动点处理呢？不妨先看具体的数据：假设线段AB=300m，若甲距离A处20m，则乙距离A处70m之间，事件“两人相距不超过50m”发生；若甲距离A处30m，则乙距离A处80m之间事件发生；若甲距离A处50m，则乙距离A处100m之间事件发生；若甲距离A处80m，则乙距离A处30m到130m之间事件发生；……，由此不难看出，当甲的位置发生变化时，对应地乙到达位置区域测度也在发生变化，不是一个定值，故不能用上述方法处理．事实上，当P、Q在圆周上运动时，将圆周分成两段弧，属于一维几何概型问题，当P、Q在线段上运动时，将线段分成三段，属于二维几何概型问题． 这样的处理可以让学生到达知其然，知其所以然的高度，为以后解决同类问题打开知识的窗口，把学生从题海中解放出来，使学生自主地去类比解决问题． 参考文献: ［1］赵斌，唐永．对几何概型教学的几点建议［J］．中小学数学（高中版），2009，(4)：35—37． ［2］夏文凯．一节精彩的“几何概型”公开课［J］．数学通讯（教师阅读），2009，(8)：13—15． ［3］中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实验）［M］．北京：人民教育出版社，2003． ［4］人民教育出版课程教材研究所编著．普通高中课程标准实验教科书数学3必修A版［M］．北京：人民教育出版社，2007． 几何直观是为更好的数学理解而服务的。我们不能只限于形式化的表达, 要强调对数学本质的认识, 否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在“形式化的海洋里”。在低年级的一些基础课中, 如“数的顺序”一课中, 对前后的理解大可发挥画一画、动动手等形式, 充分利用几何的直观性, 使学生更具体生动地理解其含义, 从而留下难忘的印象, 这对于数学理解是很有效的。 策略二:注重几何直观的两重作用, 发挥其对创造性思维的影响 其一, 几何直观能让学生借助于直观, 跳出复杂的推导, 更好地领会和掌握所学内容的实质, 掌握解决问题的基本方法。针对学生不能灵活运用的现实困境, 让学生灵活运用几何直观, 不断自觉地进行合理、有效地成功体验, 在这一过程中逐步形成创造性思维。如果只是偶尔呈现相关材料, 只有短时效应。所以教师应该有意识地选择一些学习材料让学生经常性地运用, 这样才能让几何直观这种方法稳定下来, 为学生所喜爱。 其二, 可以训练学生从几何直观去思考分析问题的能力, 形成结构化的思维方式, 借助于类比、联想, 提高思维的灵活性和深刻性, 激发学生的创造意识, 进而提高创造性思维能力。 策略三:注重数形结合, 发展逻辑思维 数学的形象思维, 是运用直观形象信息来间接反映事物的本质规律。先是直觉地思维, 然后是分析地思维, 这是思维的一般顺序。如果我们把画图等动手行为看成学生的直觉思维, 起点较低。如果学生能较自觉的动手, 那么通过数形结合来思考问题就是一个逻辑思维, 处于学生的“最近发展区”, 起点相对较高。 几何直观的优势, 就是在于从多角度多侧面运用图形与数学模型的形象来研究数学问题。但对于低段学生, 如果直观形象特征较复杂, 对直观形象的认识较模糊时, 可从逻辑思维的角度出发来思考数学问题, 利用数形结合, 通过实践, 学生对用计算的方法算出的答案也会表现出极大的喜悦。几何直观的教学策略 篇12